Fraktály aneb krásné obrázky v matematice Mgr. Jan Šustek 22. 10. 2009
Grafy funkcí Mějme funkce f, g : [ 6, 6] R definované vztahy f(x) = 2 3 Jak vypadají jejich grafy? x 2 + x 6 x 2 + x + 2 + 36 x 2 a g(x) = 2 x 2 + x 6 3 x 2 + x + 2 36 x 2. x 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 f(x) 0,36 3,61 4,65 5,20 5,32 4,92 4,00 4,92 5,32 5,20 4,65 3,61 0,36 g(x) 0,36 3,02 4,29 5,20 5,99 6,92 8,00 6,92 5,99 5,20 4,29 3,02 0,36 y x Lindenmayerovy systémy Mějme počáteční slovo S 0 a množinu přepisovacích pravidel {x j ϕ(x j ) j = 1,..., k}. Příslušný L-systém dostaneme postupnou aplikací přepisovacích pravidel na počáteční slovo. Jestliže S 0 = a 1 0a 2 0... a n 0, pak S 1 = ϕ(a 1 0)ϕ(a 2 0)... ϕ(a n 0). Jestliže S 1 = a 1 1... a n 1, pak S 2 = ϕ(a 1 1)... ϕ(a n 1). Takto pokračujeme dále. Vezměme počáteční slovo S 0 = 0 a přepisovací pravidla {0 1, 1 10}. Postupně dostaneme 0 1 10 101 10110 10110101 1011010110110 101101011011010110101 1011010110110101101011011010110110 1011010110110101101011011010110110101101011011010110101 Pokračováním donekonečna dostaneme známou králičí posloupnost, mající mnoho zajímavých vlastností. 2
Kochova vločka Mějme počáteční slovo a množinu přepisovacích pravidel { }. Postupně dostaneme Nekonečným opakováním vznikne Kochova vločka. U běžných křivek je délka třikrát zvětšené křivky třikrát delší než délka původní křivky. Ale délka třikrát zvětšené Kochovy vločky je čtyřikrát větší než délka původní vločky. Sierpińského koberec { Mějme počáteční slovo a množinu přepisovacích pravidel }. 3
Postupně dostaneme Nekonečným opakování vznikne Sierpińského koberec. U běžných obrazců je obsah dvakrát zvětšeného obrazce čtyřikrát větší než obsah původního obrazce. Ale obsah dvakrát zvětšeného Sierpińského koberce je třikrát větší než obsah původního koberce. Trocha biologie Složitějšími L-systémy lze modelovat biologické procesy, například růst rostlin. Více lze najít v pracech skupiny kolem prof. Przemys lawa Prusinkiewicze. Komplexní čísla Komplexní číslo je číslo tvaru z = a + bi, kde a, b R a i 2 = 1. Množinu všech komplexních čísel značíme C. Komplexní čísla lze zapsat v goniometrickém nebo exponenciálním tvaru z = a + bi = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ, kde z = a 2 + b 2. 4
Druhá mocnina komplexního čísla je z 2 = (a 2 b 2 ) + 2abi = z 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) = z 2 e 2iϕ. Im b z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z 1 ϕ 1 1 1 a Re Posloupnosti komplexních čísel Podobně jako posloupnost reálných čísel definujeme posloupnost komplexních čísel. Je to zobrazení N C. Posloupnost komplexních čísel {z n } n=1 se nazývá omezená, pokud existuje konstanta K > 0 taková, že pro všechny členy posloupnosti platí z n K. Jinými slovy existuje kruh v Gaussově rovině takový, že všechny členy posloupnosti leží uvnitř tohoto kruhu. Vezměme posloupnost definovanou vztahy z 1 = i a z n+1 = z 2 n + z 1. Tato posloupnost má členy Vezměme posloupnost takovou, že platí z 1 = = i 1 a z n+1 = z 2 n + z 1. Tato posloupnost má členy z 2 = z1 2 + z 1 = i 2 + i = i 1, z 3 = z2 2 + z 1 = (i 1) 2 + i = i, z 4 = z3 2 + z 1 = ( i) 2 + i = i 1, z 5 = z4 2 + z 1 = (i 1) 2 + i = i, z 2 = z1 2 + z 1 = (i 1) 2 + (i 1) = i 1, z 3 = z2 2 + z 1 = ( i 1) 2 + (i 1) = 3i 1, z 4 = z3 2 + z 1 = (3i 1) 2 + (i 1) = 5i 9, z 5 = z4 2 + z 1 = 91i + 55, Tato posloupnost je periodická a proto je Členy rostou nade všechny meze, proto tato omezená. posloupnost není omezená. Vzniká přirozená otázka, pro která čísla z 1 C je posloupnost definovaná vztahem z n+1 = = zn 2 + z 1 omezená? Mandelbrotův fraktál Množina čísel z 1 z předchozí otázky se nazývá Mandelbrotova množina, { M = z 1 C ( ) ( n: z n+1 = zn 2 + z 1 K n: zn K )}. 5
Jak poznat, že je skutečně posloupnost {z n } n=1 omezená a že z 1 M? Pokud pro některé m platí z m > 2, pak {z n } n=1 není omezená a z 1 / M. Proto platí M = { z 1 C ( ) ( n: z n+1 = zn 2 + z 1 n: zn 2 )}. Im 1 1 1 Re 1 Z předchozího víme, že i M. Na druhou stranu z obrázku nahoře je vidět, že i+0,001 / / M. Celá Mandelbrotova množina je zobrazena dole. 6
Přidání barev Jednotlivým číslům z 1 C lze přiřadit barvu podle času, kdy posloupnost {z n } n=1 opustí kruh z 2, tedy podle F (z 1 ) = min { n N z n > 2 }. Platí z 1 M F (z 1 ) =. Na následujících obrázcích je Mandelbrotova množina postupně zvětšována. 7
8
Počítání cibulek Každé cibulce na hlavním kardioidu lze přiřadit racionální číslo p. Jmenovatel q určuje q počet větví antény na cibulce (včetně hlavní větve). Čitatel p určuje pořadí nejkratší větve počítané od hlavní větve proti směru hodinových ručiček (bez hlavní větve). Cibulka 1 3 Cibulka 2 5 Největší cibulka mezi cibulkami p a r q s kardioidu cibulky pro všechna čísla p q v přirozeném pořadí. p+r je cibulka. V důsledku toho jsou na hlavním q+s (0, 1) Q a tyto cibulky jsou navíc seřazeny 9
5 13 3 8 4 11 1 3 2 5 5 12 3 7 4 9 Použité zdroje Robert L. Devaney: The Dynamical Systems and Technology Project at Boston University. http://math.bu.edu/dysys Przemys law Prusinkiewicz et al.: Algorithmic Botany at The University of Calgary. http://algorithmicbotany.org Manfred Schroeder: Fractals, Chaos, Power Laws. W. H. Freeman & Co., 1991. Wikipedia contributors: Misiurewicz Point. Wikipedia, The Free Encyclopedia. http://en.wikipedia.org/wiki/misiurewicz_point Wikipedia contributors: Mandelbrot Set. Wikipedia, The Free Encyclopedia. http://en.wikipedia.org/wiki/mandelbrot_set phaumann: Mandelbrot Set Zoom 10E125. YouTube. http://www.youtube.com/ watch?v=g0nmvuu_7iq 10