Jméno a příjmení: Třída:. VÝRAZY.... LOMENÉ VÝRAZY.... ROVNICE.... SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ ROVNICEMI.... SOUSTAVY ROVNIC... 8. SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ SOUSTAVOU ROVNIC... 8. NEROVNICE A SOUSTAVY NEROVNIC... a + a = a a a = a a a = 0 a. a = a a a = a : a = a
strana Výraz Vzorce (a + b) = a + ab + b Vtýkání před závorku (a b) = a ab + b a ± b ± c =. (a ± b ± c) a b = (a + b). (a b) a b = (a + b). VÝRAZY. Vpočítejte hodnotu výrazu ( ) pro: a) = b) = c) = d) = e) =. Upravte výraz: a) 8 + = a + a + a = + = z + z 0z = b) + = a a a = = c) a + a + 8a a = + = d) b + b b b = + 0 + 0 = e) a.a =. =.8 =.8 =. = f) 0a.a = b.b =. = 0. = m.m =. Upravte výraz: a). + 0. 0. = b).8. 8. = c) a.8a + a 8.a a.a = d). +. = e) a.a + a.a a.a = f). +.. =. Vdělte výraz: a) a:a = 0 :0 = :8 = :8 = : = b) 0a :a = b :b = 0 : = 0 : = m :m = c) 8m m. Upravte výraz: a a 00a 0a a) a a 0a 0a 8 a a 0a a a a b) 8a a a a 8 0 0b b 00b 8b c) d) 8 b 0b b. Upravte výraz: a) ( 8 ) ( ) = ( ) ( ) = ( 8 ) ( ) = b) ( ) = ( ) = () ( ) =. Roznásobte závork: a).(a ) =.(a ) =.( ) =.( + 8) = b) n.(n ) =.( ) = a.(a ) =.(a + a) = c).(8m ) = b.(b 8 + 8b) = 0.(0, 0,) =,w.(w w) = 8. Upravte výraz: a).(s ) + 8 = 0a.(a ) =.( + ) +.( ) = b).( ).( ) =.( ) = a a.(a 0) = c).( ) +.( + ) =.(a a).(a,a) = (8 ) + = d).(b + b) +.(b b) =.( 8) 0.( ) = a (a ) + a.( a) + a.( a) = e) (a + ) ( a + ) =.( + ) ( + ) = ( + ) ( ) =. Upravte výraz: a).( ) +.( ) = b) b.( + ) b.( + 8 8) = c).( + ) +.( ) +.( ).( ) = d) a.(a a).(a + a ) a.(a a ) = e) 8.(8 ) ( 8 ) = f) (b + b).( b) + (b b). +.(b 8b ).(b b) =
strana. Vnásobte výraz: (roznásobte závork) a) ( + ).( + ) = b) ( ).( + ) = c) ( + ).( ) = d) ( 8).(8a ) = e) (a + ).(a ) = f) (8 ).( ) = g) (b + ).(b + ) = h) ( ).( ) = i) ( c).(c ) =. Upravte výraz: a) (8 ).( ) + ( ).( ) = b) (a + ).(a + ) (a ).(a + ) = c) ( + ).( ) + ( + ).( ) = d) (a + ).(a + ) (a ).(a ) =. Upravte výraz podle vzorců: a) ( + ).( ) = ( ).( + ) = ( + a).( a) = b) (0, + ).(0, ) = (0 0,).(0 + 0,) = (,b + a).(,b a) = c) (, + ).(, ) = (0 0,).(0 + 0,) = (, + 0a).(, 0a)= d) ( ) = ( + ) = ( + ) = e) (z ) = ( ) = ( ) = f) (a ) = (8b + ) = ( + 0,) = g) (b + ) = ( + ) = (a + ) = h) ( + ).( ) = (0,a 8 + ).(0,a 8 ) = ( + ).( ) =. Upravte výraz: a) ( ) + ( + ) = b) (z ) + (z + ) = c) (a ) + (a + ) = d) (b 8) + (b + ) = e) ( ) ( + ) = f) (z ) (z ) =. Vdělte výraz a určete podmínk pro dělitele: a) (a ): = (a ): = ( ): = ( + 8):8 = b) (n n):n = (0 0): = (a a ):( a) = (a + a ):( a ) = c) (b 8 + 8b ):b = (8m m ):m = ( w w):( ) = (0, 0,):( 0,) =. Rozložte výraz na součin vtýkáním před závorku: a) a = + = 8a 8a = + = = b) + = a a = a a + 8a = 8 = c) c + 0c + c = 8 + = a b a b + a b =. Vtkněte číslo před závorku = c + = = + 8 = = = = a 8 =. Zjednodušte výraz a výsledek upravte vtýkáním před závorku: a).( + ) +.( ) = b) a.( + a ) a.(a + ) + a = c).( + 8).( 0) = d) z.(z +).(z + z) = 8 0 80 0 0 0 e) f) 0 0 g).( ) +.( + ) +.( ).( ) = h) ( + ).( + ) + ( ).( + ) = i) ( + ).( ) + ( ).( ) = j) (a + ).(a ) + (a + ).(a + ) = k) ( + ) + ( ) = 8. Rozložte výraz na součin podle vzorce: a) 8 = 0 = = = c = b) 0 = = 0, 00 = a 000 =, = c) a 8 = = 0,a 00 = 0, 00 = =. Rozložte výraz na součin podle vzorců: a) + + = + 8 + 8 = a + a + = m 0m + 0 = b) w w + 0, = c 0c + 00 = a a + = 8 + = c) m + m + = + = 0a 0ab + b = + 8 + =
strana. LOMENÉ VÝRAZY. Vkraťte zlomek: a) 8 a a 0c 8c 8 a b ab b) 8 8 a b 8a b 8 8 z 0 z 8.... z 8 z..8... Upravte výraz krácením ve zlomku (nejprve upravte vtýkáním před závorku): 8 a) 0 b) 8 m m m a a a a 8a 8a 8 a a a 8. Upravte výraz krácením ve zlomku (nejprve upravte vtýkáním před závorku): a 0 b 8m m a) a b 0 m 8 8 b) a 0a a a a a a a 8 c) 8 8 a a a a. Upravte lomené výraz: k a k a b b k k 0 m 8 m z z 8c c a a k k. Upravte lomené výraz (upravte vtýkáním před závorku a rozkladem na součin pomocí vzorců): a) b) a e) a 8 f) c) a a g) d) 8 h). Upravte lomené výraz (upravte vtýkáním před závorku a rozkladem na součin pomocí vzorců): a) b d) b 0b 0 a b) a a 0 0 e) 8 8 c) a f) a a 0 g) a a 8 a a h) a a i) a a
strana. Upravte výraz: a) d) g) j) b) a a a e) 0 h) α α α k) 8 z z c) f) 0 d d i) 8 Rovnice Ekvivalentní úprav rovnic Proměnná (,, z ) v rovnici se nazývá neznámá. Řešit rovnice znamená najít taková čísla, která z ní po dosazení do rovnice za neznámou vtvoří platnou rovnost. Každé takové číslo nazýváme kořenem nebo řešením dané rovnice. Výsledek lze zapsat jako množinu kořenů K = { ; } Ekvivalentní úprav jsou takové, které mění tvar rovnice, ale zachovávají stejné řešení.. zrcadlová výměna levé a pravé stran rovnice bez dalších úprav = nebo = = =. přičtení odečtení téhož čísla (nebo neznámé) k oběma stranám rovnice (neboli převedení z jedné stran na druhou s opačným znaménkem) 8 = nebo = + = + 8 =. vnásobení nebo vdělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem = / : =. úprav výrazů na jednotlivých stranách rovnice + = 8 = Někd se neznámá v rovnici odečte a zůstane např.: 0 = 0; nebo 0 = pokud vjde 0 = 0 rovnice má nekonečně mnoho řešení pokud vjde 0 = rovnice nemá řešení Zkouškou nazýváme kontrolu správnosti řešení, kterou provedeme dosazením kořenů do původní rovnice. Lineární rovnice a = b = b a = a = a = a = a + a = b = a + b = a b = b a = a b. b = a. = a b a. = b pro a 0 a. = 0 = 0
strana. ROVNICE. Řešte rovnice a proveďte zkoušku a) 0 00 a 8a 0 b) a 8a 0 c) 0 a 8 a 0 d) 8 a 8 0. Řešte rovnice a proveďte zkoušku a) 8 = b) a = a + c) = + + d) + + = e).( + ) = 8 + f).(a ) =.(a + ) g).(a + ) = a + 8.(a ) h) ( ) =.( + 8) i).( + ) ( + ) = j).(b ) + 0 = b k).( a) =.( a) + a l).( ) + =.( 0,). Řešte rovnice a proveďte zkoušku a) (a + 0) + = 0 b) (a 0) 0 = a c) ( ) = d) 8 ( ) = ( ) e) ( ) = 8.( ) f) (a ) = 0 g) ( ) ( ) = 0 h) + 0,( 8) = i) 0,( + ) =. Řešte rovnice a proveďte zkoušku a a a) b) c) d) e) f) g) 0,. Řešte rovnice a proveďte zkoušku c c a a a a) b) c) d) n n e) f) 0, z g) z h) i) j) 0, k) 8 8 l) ( a a ) a n) a m) b b b 8 o) ( ) 0 p) q) a a a r) a 0, s). Řešte rovnice a proveďte zkoušku 8 a) b) c) d) e) f) g) 0, a a. SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ POMOCÍ ROVNIC. V parku rostou líp, javor, smrk a borovice. Lip je dvakrát více než javorů, smrků je o patnáct více než lip a borovic je dvakrát více než smrků. Dohromad je tam stromů. Kolik kterých druhů roste v parku?. Do prodejn přivezli kg ovoce. Jahod blo o pět kg méně než banánů, třešní blo dvakrát více než jahod a melounů blo o dva kg více než třešní. Vpočítej, kolik kg blo jahod, banánů, třešní a melounů.
strana. V prodejně měli žlutá, červená, modrá a zelená trička. Žlutých bla celkového počtu, modrých bla celkového počtu, zelených bla celkového počtu a červených blo ks. Vpočítej, kolik triček blo celkem v prodejně a kolik kterých barev.. Na infekčním oddělení bla pacientů s AIDS, měla sfilis a pacientů mělo kapavku. Vpočítej, kolik pacientů leželo na infekčním oddělení s AIDS a kolik mělo sfilis.. Petr spotřeboval při vaření celkového množství brambor, zůstalo mu kg brambor. Kolik kg spotřeboval a kolik blo celkem kg brambor?. V cukrárně měli celkem ks zákusků. Větrníků blo třikrát více než laskonek, indiánů blo o deset více než laskonek a pařížských dortů blo o pět více než indiánů. Kolik blo kterých druhů?. V prodejně automobilů bl tto značk Ford, Renault, Octavia a Audi. Fordů bla celkového počtu, Renaultů bla polovina celkového počtu, Octávií blo třikrát více než Fordů a Audi blo deset vozů. Kolik kterých značek blo v prodejně? 8. Ve škole studují kuchaři, číšníci, cukráři. Kuchařů je polovina celkového počtu, číšníků jsou a cukrářů je 80. Kolik je celkem žáků ve škole a kolik je kuchařů a kolik číšníků? celkového počtu. Jana si koupila tričko a čepici. Platila 00 Kč. Tričko blo o dražší než čepice. Kolik stálo tričko a čepice?. Obvod trojúhelníku je, cm. Strana A je o cm delší než strana B. Strana C je dvakrát menší než strana A. Kolik měří která strana?. Obvod trojúhelníku je cm. Strana B je o cm menší než strana A, strana C je o cm menší než strana B. Kolik měří která strana?. Eva si koupila chléb, máslo, sýr a mléko. Dohromad platila Kč. Chléb stojí dvakrát více než sýr, máslo o,0 Kč více než chléb a mléko o,0 Kč více než sýr. Kolik která potravina stojí?. Žáci při úpravě okolí škol vsázeli první den celkového počtu stromků, druhý den zbtku a třetí den stromků. Kolik jich celkem vsázeli?. Josef otci koupil dárek za čtvrtinu svých úspor a matce koupil dárek za 0 Kč. Zůstalo mu 0 Kč. Kolik měl naspořeno?. Součástka měla před opracováním hmotnost 0 g. Jakou hmotnost měla součástka opracovaná, je-li hmotnost odpadu dvacetkrát menší než hmotnost opracované součástk?. Otci je let. Jeho třem dcerám je, a let. Za kolik let se bude věk otce rovnat součtu let jeho dcer?. V soutěži zručnosti soutěžil tříd KA, KB a KC. Získali celkem 8 bodů. Třída KB získala o 0 bodů více než KA, třída KC získala o 8 bodů méně než KB. Kolik bodů získala každá třída? 8. Maminka koupila Mirkovi a Tomášovi košili. Zaplatila celkem 00 Kč. Tomášova košile bla o polovinu dražší než Mirkova. Kolik Kč stál košile?. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu pětkrát menší než velikost vnitřního úhlu. Úhel α je třikrát větší než. Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. 0. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu o větší než velikost vnitřního úhlu. Úhel α je dvakrát menší než. Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC.. Tč má být rozříznuta na čtři části tak, že délka první části má být rovna délk celé tče, délka druhé části třetině délk celé tče a další dvě části mají mít stejnou délku po cm. Určete délk prvních dvou částí tče a délku celé tče. Šířku řezů zanedbejte.
strana 8. SOUSTAVY ROVNIC. Řešte soustav rovnic a proveďte zkoušku: a) + = b) + = 8 c) + = d) = = 8 = = 8 + = e) + = f) = g) + = h) = + = + = = =. Řešte soustav rovnic a proveďte zkoušku: a) + = b) + = c) + = d) + = = = = + = e) = f) + = g) + + = h) ( ) + = 0 + = + = 8 + + 0 = ( + ) + =. Řešte soustav rovnic a proveďte zkoušku: a) ( ) 0 = b) ( + ) = c) ( ) = ( + ) 0 = 00 + ( ) + = - ( + ) + = d).( ) + = 0 e).(a + b) +, =.(a + b) +.(8 ) = 8 0 (a b) = 0b. Řešte soustav rovnic a proveďte zkoušku: a b a b a) a b) c) + = 8 d), a e) b a b f) 0, 0. SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ POMOCÍ SOUSTAVY ROVNIC. Do lahví, z nichž některé jsou půllitrové a některé mají objem 0, l, máme uskladnit l malinového sirupu. Kolik musíme mít lahví půllitrových a kolik o objemu 0, l?. Účetní měla v pokladně v hotovosti 0 Kč ve bankovkách, zčásti padesátikorunových, zčásti stokorunových. Kolik blo kterých bankovek?. litrů vína jsme rozdělili beze zbtku do pětilitrových a třílitrových demižonů. Celkem máme demižonů. Kolik blo třílitrových a kolik pětilitrových?. Kč jsme zaplatili ve dvoukorunách a pětikorunách. Dohromad máme mincí. Kolik jsme měli pětikorun a kolik dvoukorun?. Na školním výletě spali chlapci v chatkách a platili 00 Kč za noc, dívk spal v hotelu a platil 0 Kč za noc. Dohromad blo chlapců a dívek, celkem všichni zaplatili 00 Kč. Kolik blo chlapců a kolik dívek?. Při zlepšování životního prostředí areálu škol blo žáků rozděleno do dvou skupin A a B. Ve skupině A každý žák odpracoval šest brigádnických hodin, ve skupině B čtři hodin. Celkem žáci odpracovali hodin. Kolik žáků blo ve skupině A a kolik v B?. Lístk na vlak stál celkem 80 Kč. Lístek pro dospělé stál 0 Kč, lístek pro děti Kč, dohromad jelo osob. Vpočítej, kolik blo dospělých, a kolik dětí.
strana. NEROVNICE A SOUSTAVY NEROVNIC Vberte čísla, která patří do intervalu ( ; ), 0 0, 8 8 0 Zapište vznačenou množinu pomocí nerovnice a jako interval. Vberte čísla, která jsou prvk zadané množin. 8, Zapište interval zobrazený na grafu....... 8.. Vberte správnou variantu odpovědi Zapište množinu pomocí intervalu a) ; b) ; c) ; Zapište množinu pomocí intervalu a) ; b) ; c) ; Které z čísel patří do intervalu ; 0,) a) = b) = c) =, d) = 0, d) ; d) ;
strana Které z čísel patří do intervalu ε ( ; ) a) = 0, b) = 0 c) =, d) = 0, Zapište množinu pomocí intervalu a) ; b) ; c) ; d) ; Zapište množinu pomocí intervalu a) ; b) ; c) ; d) ; Které z čísel patří do intervalu 0,; a) = b) = c) =, d) = 0, Které z čísel patří do intervalu ( ; a) = b) = 0 c) =, d) = 0,. Řešte nerovnice, řešení znázorněte na číselné ose a zapište pomocí intervalu a) ( ) ( + ) b) (a + ) (a ) c) + ( ) 0 d) a 0 a + 0 e) ( ) f) ( ) ( ). Zapište pomocí intervalu množin A, B, C. Pak zapište průnik množin A B. A B C. Řešte soustav nerovnic, řešení znázorněte na číselné ose a zapište pomocí intervalu a) + + ( ) b) + 8 8 c) (a ) (a + ) (a + ) (a ) d) 8( + ) ( ) + + 0 0 e) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) g) ( + ) ( ) + ( 0) 0 h) a a + a a +