Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = b(x), a 0 (x), a 1 (x), a 2 (x), b(x) C(I) jsou spojité fce a 0 (x) 0 pro všechna x I Homogenní LDR (HLDR)... b(x) = 0 pro všechna x I Nehomogenní LDR (NLDR)... existuje x I takové, že b(x) 0. Funkce a 0 (x), a 1 (x), a 2 (x) nazýváme koeficienty LDR. LDR s konstantními koeficienty... a i (x) nezávisí na x (jsou to čísla) Např. y xy + (cos x)y = 0... HLDR 2. řádu s nekonstantními koeficienty 2y 3y + 5y = x 3... NLDR 2. řádu s konstantními koeficienty 2/15

Věta o existenci a jednoznačnosti Proč "lineární"? L(y) = a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y... je lineární zobrazení. Při řešení y + xy = cos x, hledáme všechny funkce y C 2 (R), které se při lineárním zobrazení L zobrazují na funkci b(x) = cos x. Při řešení y + xy = 0, hledáme hledáme jádro N (L). Věta: Necht a 0 (x), a 1 (x), a 2 (x), b(x) C(I) a a 0 (x) 0 pro x I. Pro libovolné x 0 I a y 0, y 1 R existuje právě jedno řešení y C n (I) diferenciální rovnice a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = b(x), které vyhovuje počátečním podmínkám y(x 0 ) = y 0 a y (x 0 ) = y 1. Např. xy xy + x 3 y = ln x y(1) = 2, y (1) = 1 } má právě jedno řešení Pozn. Počáteční podmínky vždy v jednom x 0. 3/15

Řešení LDR 1. řádu - opakování z MI 4/15 a 0 (x)y + a 1 (x)y = b(x) L(y) = a 0 (x)y + a 1 (x)y je lineární zobrazení Využijeme y = y H + y P a postupujeme ve 2 krocích: 1 Řešení HLDR 1. řádu: L(y) = 0 = hledání jádra L umíme řešit např. metodou separace proměnných (nebo vzorec) obecné řešení je tvaru: y H (x) = C 1 y 1 (x) = C ϕ(x). (tj. y H je lineární podprostor dimenze 1) 2 Řešení NLDR 1. řádu L(y) = b(x) y P hledáme metodou variace konstanty y P = C(x) ϕ(x) 3 obecné řešení NLDR y = y H + y P

Homogenní LDR 2. řádu a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = 0 V H = množina všech řešeni této HLDR. Protože L(y) = a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y je lineární zobrazení V H = {y C 2 (I); L(y) = 0} = N (L) = jádro L Věta: Množina V H je lineární podprostor C 2 (I) dimenze 2. Definice: Bazi prostoru V H názýváme fundamentální systém Tedy: Pro vyřešení HLDR 2.řádu je třeba najít 2 LN řešení {f 1 (x), f 2 (x)}, tzv. fundamentální systém potom obecné řešení je tvaru y H (x) = C 1 f 1 (x) + C 2 f 2 (x). Pozn. Pro HLDR n-tého řádu je V H lineární podprostor C n (I) dimenze n. y H (x) = C 1 f 1 (x) + C 2 f 2 (x) + + C n f n (x). 5/15

Postup řešení LDR 2. řádu Věta: Obecné řešení NLDR 2. řádu je ve tvaru a 0 (x) y (x) + a 1 (x) y (x) + a 2 (x) y(x) = b(x), y = y H + y p kde y H jsou všechna řešení příslušné HLDR a y p je jedno libovolné partikulární řešení NLDR. 1. krok Nalezneme všechna řešení y H příslušné HLDR (obecně umíme jen pro LDR s konst. koeficienty) a 0 y (x) + a 1 y (x) + a 2 y(x) = 0 2. krok Nalezneme 1 libovolné řešení y p rovnice a 0 y (x) + a 1 y (x) + a 2 y(x) = b(x) 2 základní metody METODA VARIACE KONSTANT METODA ODHADU 3. krok všechna řešení... y = y H + y p (4. krok pokud máme počáteční podmínky, určíme konstanty v y H ) 6/15

7/15 1. krok - Obecné řešení přiřazené HLDR s konst. koeficienty a 0 y (x) + a 1 y (x) + a 2 y(x) = 0 charakteristická rovnice: a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0 Najdeme kořeny λ 1,2 této kvadratické rovnice. Mohou nastat 3 případy: λ 1 λ 2 R fundamentální systém = {e λ 1x, e λ 2x } y H (x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x λ 1 = λ 2 = λ R fund. systém = {e λx, x e λx } y H (x) = C 1 e λx + C 2 x e λx λ 1,2 = a ± i b C fund. systém = {e ax cos(bx), e ax sin(bx)} y H (x) = C 1 e ax cos(bx) + C 2 e ax sin(bx), (ve všech případech x R, C 1, C 2 R)

8/15 Vsuvka - komplexní funkce reálné proměnné Připomenutí: C komplexní čísla dvojice reálných čísel (a, b) z = a + i b. Navíc platí i 2 = 1. a... reálná část z b... imaginární z Definice: f : R C je komplexní funkce reálné proměnné. f (x) = u(x) + i v(x) (komplexní funkce je vlastně dvojice obyč. (reálných) funkcí) Pro z C definujeme e z takto: e z = e a+i b = e a e i b = e a (cos b + i sin b) = e a cos b + i e a sin b Věta: Je-li f (x) = u(x) + i v(x) řešením HLDR, potom i reálné funkce u(x) a v(x) jsou řešením této DR. (a + i b)x Specielně: Je-li e řešením HLDR, potom i reálné funkce e ax cos bx a e ax sin bx jsou řešením této HLDR, navíc jsou LN ( tvoří fundamentální systém).

2. krok - hledání y P - Metoda variace konstant a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = b(x) Je-li y H = C 1 f 1 (x) + C 2 f 2 (x) obecné řešení přidružené HLDR, pak partikulární řešení y P hledáme ve tvaru: y p (x) = c 1 (x) f 1 (x) + c 2 (x) f 2 (x) Hledáme funkce c 1 (x) a c 2 (x) splňující rovnice: c 1(x) f 1 (x) + c 2(x) f 2 (x) = 0 c 1(x) f 1(x) + c 2(x) f 2(x) = b(x) a 0 (x), (Pozn. Matice soustavy je Wronského matice fund. systému) Potom c 1 (x) = c 1(x)dx a c 2 (x) = c 2(x)dx. Dostáváme: y p (x) = c 1 (x) f 1 (x) + c 2 (x) f 2 (x) Pozn. Variaci konstant můžeme použít i pro LDR 2. řádu s nekonstantními koeficienty. 9/15

2. krok - hledání y P - Metoda odhadu - pro LDR 2.řádu s konst. koeficienty a speciální pravou stranou, tj. a 0 y + a 1 y + a 2 y = e α x (P(x) sin(β x) + Q(x) cos(β x)) (P(x), Q(x) jsou polynomy, α, β, a 0, a 1, a 2 R jsou konstanty.) Partikulární řešení y p lze vždy najít ve tvaru: y p (x) = x k e α x (R(x) sin(β x) + S(x) cos(β x)), kde k {0, 1, 2} je násobnost α + iβ jakožto kořene char. rovnice, tj. k=0 α + iβ není kořen charakteristické rovnice k=1 α + iβ je jednonásobný kořen char. rovnice k=2 α + iβ je dvojnásobný kořen char. rovnice R(x), S(x) - polynomy stupně max{st. P(x), st. Q(x)} Odhadneme tedy "přibližný tvar" y p. Jednotlivé konstanty určíme tak, aby y p bylo řešením NLDR. 10/15

11/15 Metoda modifikace odhadu Věta: Je-li y 1 (x) řešením LDR a 0 y + a 1 y + a 2 y = b 1 (x) a y 2 (x) řešením LDR a 0 y + a 1 y + a 2 y = b 2 (x), potom y 1 (x) + y 2 (x) je řešením a 0 y + a 1 y + a 2 y = b 1 (x) + b 2 (x). Příklad: y y = 2e x x 2 Řešení: y y = 2e x y 1 (x) = C 1 e x + C 2 e x + xe x y y = x 2 y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e x + x 2 + 2 y(x) = C 1 e x + C 2 e x + xe x + x 2 + 2, x R.

Okrajové úlohy 12/15 Uvažujme obecnou LDR 2. řádu a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = b(x), x a, b Počáteční podmínky Okrajové podmínky y(a) = y 0, y (a) = y 1 y(a) = y 0, y(b) = y 1 Platí věta o existenci a jednoznačnosti. existuje právě jedno řešení splňující počáteční podmínky Neplatí věta o existenci a jednoznačnosti. existuje jediné řešení neexistuje řešení existuje nekonečně mnoho řešení splňující okrajové podmínky.

Metoda snížení řádu Základní myšlenka: Pokud se v DR nevyskytuje y, lze provést substituci z = y, tím získáme DR nižšího řádu. Pokud tuto DR umíme vyřešit, získáme řešení z(x) jehož integrací dostame řešení y(x) původní DR. Příklad: xy + y = 3x 2, y(1) = 1, y (1) = 3 Řešení: substituce z = y xz + z = 3x 2 Umíme řešit z(x) = x 2 1 + C 1 x y(x) = z(x)dx = x 2 + C 1 dx = x 3 3 + C 1 ln x + C 2 y(1) = 1, y (1) = z(1) = 3 C 1 = 2, C 2 = 2 3. Řešením je funkce y(x) = x 3 3 + 2 ln x + 2 3, x (0, ). Pozn. 1 Fund. systém původní HLDR je f 1 (x) = ln x, f 2 (x) = 1. Pozn. 2 Nevyskytuje-li se v DR y ani y, lze provést substituci z = y,... 13/15

Lineární diferenciální rovnice n- tého řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu je rovnice tvaru a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = b(x), kde: y C n (I) je hledaná funkce a 0 (x), a 1 (x),..., a n (x), b(x) C(I) jsou spojité fce a 0 (x) 0 pro všechna x I Věta: (o existenci a jednoznačnosti) Necht a 0 (x), a 1 (x),..., a n (x), b(x) C(I) a a 0 (x) 0 pro x I. Pro libovolné x 0 I a y 0, y 1, y 2,..., y n 1 R existuje právě jedno řešení y C n (I) diferenciální rovnice a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = b(x), které vyhovuje počátečním podmínkám y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1, y (x 0 ) = y 2,..., y n 1 (x 0 ) = y n 1. Pozn. Počáteční podmínky vždy v jednom x 0. 14/15

15/15 Řešení lineárních DR vyšších řádů Uvažme NLDR n-tého řádu a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = b(x) (1) a příslušnou HLDR a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = 0 (2) Pro LDR n-tého řádu platí analogické věty jako pro LDR 1. a 2. řádu: Věta: Obecné řešení NLDR (1) je ve tvaru y = y H + y p kde y H jsou všechna řešení příslušné HLDR (2) a y p je jedno libovolné partikulární řešení NLDR (1). Věta: Pro HLDR n-tého řádu je V H lineární podprostor C n (I) dimenze n, tj. y H (x) = C 1 f 1 (x) + C 2 f 2 (x) + + C n f n (x).