Kinematika robotických systémů

Kinematika robotických systémů prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. ČVUT v Praze Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 1

Obsah Postup modelování robotických systémů Strukturní analýza robotů Maticový popis pohybu tělesa Metoda základních matic Metoda řešení kinematických smyček Metody numerického řešení kinematických vazeb Metody analytického řešení kinematických vazeb 2

Postup modelování robotických systémů Model je základ návrhu a systému řízení robota Modelování = vývojový proces mechanického modelu Mechanický model je dále transformován na matematický a/nebo simualční model pro další zkoumání (analýza, simulace, syntéza, návrh řízení, systém řízení, kalibrace, diagnostika atd.) Model = konceptuální model = fyzikální (mechanický) model = matematický model = simulační model Proces modelování je velmi náročný, protože Užívá znalosti a zkušenosti mnoha vědních oborů Nelze ho popsat úplným systémem teorémů a pravidel a systematickým postupem Musí se naučit vykonáváním (learning by doing) 3

Postup modelování robotických systémů Životní cyklus vývoje simulačního modelu Reálný svět Konceptuální svět Modelový svět Simulační (matematický) svět Konceptualizace Modelování Implementace Řešení Objekt reálného světa Reálný systém Otázka Objekt konceptuálního světa Konceptuální model Model okolí Objekt modelového světa Fyzikální model Vstup modelu Objekt simulačního (matematického) světa Simulační (matematický) model Metoda řešení Testovací vstup Simulační (matematický) model s metodou řešení Vstup modelu Odpověď Cíl modelování Výstup modelu Testovací výstup Výstup modelu Interpretace řešení 4

Postup modelování robotických systémů Ideální objekty Základ modelování je transformace reálných objektů (strojů, technických systémů, např. robotických systémů) na fiktivní abstraktní objekty s idealizovanými vlastnostmi = tzv. ideální objekty Ideální objekty hmotný bod, tuhé těleso, lineární pružina, pružné těleso, ideální plyn, elektrická kapacita Věda umí formulovat teorémy jen o ideálních objektech, věda přímo nepředpovídá nic o reálných objektech Vlastnosti reálných objektů jsou pouze do jistého rozsahu podobné vlastnostem ideálních objektů Věda (inženýrský výpočet) je platná pro reálné objekty podle stupně shody vlastností reálného a ideálního objektu (idealizovaný model) Proto je modelování absolutně základní pro každého inženýra. Modelování je základ každého řešení inženýrského problému. Důležitost modelování roste plynule s používáním počítačů 5

Postup modelování robotických systémů Kroky vývoje simulačního modelu 1. step - the analysis of the real world object (real, hypothesized) within certain experimental frame in order to answer some question 2. step the conceptual task (conceptualization) where the real world object is transformed into conceptual world object the considered components are selected 3. step the physical modelling where the conceptual world object is transformed into physical world object each component is replaced by one or more ideal objects 4. step the simulation model assembly where the physical world object is transformed into simulation world object simulation model implementation and simulation experiments replacements of model by a computer-executable set of instructions from ideal objects into mathematical equations (model) plus solving procedure and into computer code 6

Postup modelování robotických systémů Iterační proces vývoje modelu Reálný svět Konceptuální svět Modelový svět Simulační svět 7

Postup modelování robotických systémů Příklad 8

Strukturní analýza robotů Robotické systémy jsou modelovány jako tzv. soustavy mnoha těles (multibody system) Základní ideální objekty jsou: těleso, kinematická dvojice, síla Kinematická analýza vytváří kinematický model a pracuje s ideálními objekty: dokonale tuhé těleso (člen) a kinematická dvojice Kinematický model vytváříme metodou kinematických řetězců 12

Strukturní analýza robotů Kinematický řetězec je tvořen několika tělesy (členy) spojenými (vázanými) kinematickými dvojicemi (KD) (vazbami, klouby) Kinematický řetězec je spojení několika těles KD Kinematický model znázorňujeme kinematickým schématem nebo přidruženým grafem Kinematické schéma: těleso=hrana, KD=uzel Přidružený graf: těleso=uzel, KD=hrana 3 3 1 2 1 2 13

Strukturní analýza robotů 2 1 φ 1 s 2 1 s 2 φ 2 φ 3 1 φ 1 φ 2 14

Strukturní analýza robotů Rozlišujeme Těleso stupně n = těleso (člen) spojený s okolními tělesy n KD (unární, binární, ternární) Jednoduchý /složený kinematický řetězec = všechna tělesa jsou/nejsou jen binární nebo unární Kinematický řetezec otevřený/uzavřený, pokud obsahuje/neobsahuje jeho graf smyčku Smíšená terminologie - Mixed notation Jednoduchý /složený otevřený/uzavřený - smíšený 15

Strukturní analýza robotů y O 12 1 a) b) c) d) e) 2 12 E 4 34 23 O 23 3 O 34 14 x rot. k.d. O 12 rot. k.d. O 23 1 2 rot. k.d. O 34 3 4 předepsaný pohyb Mechanismus vznikne z kinematického řetězce položením jednoho členu rámem 16

Strukturní analýza robotů s 14 O 23 O 12 2 12 3 O 34 4 1 1 rot. KJ O 23 2 3 rot. KJ O 12 rot. KJ O 34 1 4 tran. KJ 2 3 L y O 12 1 2 12 rot. KJ O 12 E 4 34 23 1 O 23 rot. KJ O 23 2 3 rot. KJ O 34 3 O 34 4 Prescribed motion 4 14 x 1 4 1 4 2 3 3 5 6 2. loop 1 2 1. loop 4 1 6 5 3 2 1 4 1 6 5 3 2 1. loop 6 5 1 4 3 2. loop 2 1 17

Strukturní analýza robotů Vedle KD je pro strukturní analýzu zvláště robotů zavést také nový druh kinematické dvojice v podobě předepsaného pohybu mezi tělesy soustavy Klíčové je určení počtu stupňů volnosti a počtu kinematických smyček Je-li u počet členů včetně rámu, w j počet KD třídy j, d počet všech KD, l počet nezávislých smyček, m počet předepsaných pohybů, pak d 5 w j j 1 18

Strukturní analýza robotů Počet nezávislých smyček určíme z analýzy přidruženého grafu. Je to rozdíl mezi počtem hran a počtem hran kostry tohoto grafu Souřadnice jsou parametry popisující vzájemnou polohu těles Nejmenší počet souřadnic potřebných jednoznačné určení polohy soustavy těles je roven počtu stupňů volnosti (DOF) KD, která odnímá j stupňů volnosti, je třídy j. Tato KD má (6-j) stupňů volnosti a j reakčních sil. 19

Strukturní analýza robotů Souřadnice dělíme na nezávislé a závislé Závislé souřadnice jsou vzájemně vázány nějakými vztahy kinematickými vazbami Nezávislé souřadnice popisující pohyb v KD nazýváme relativní souřadnice Každá jednoduchá kinematická smyčka s n stupni volnosti má n nezávislých a 6 závislých souřadnic mezi relativními souřadnicemi KD. Mechanický systém s n stupni volnosti a l nezávislými kinematickými smyčkami má n nezávislých a 6l závislých souřadnic mezi relativními souřadnicemi KD. 20

Strukturní analýza robotů Druhy souřadnic Relativní souřadnice nezávislé souřadnice KD 1 2 φ 1 s 2 21

Strukturní analýza robotů Druhy souřadnic Kartézské (absolutní, fyzikální) souřadnice souřadnice popisující polohu příslušného tělesa vzhledem k rámu x,y,z (kartézskými) souřadnicemi referenčního bodu tělesa (často těžiště), který je počátkem kartézského souřadnicového systému pevně spojeného s tělesem, a souřadnicemi popisujícími orientaci tohoto souřadnicového systému vůči souřadnicovému systému rámu (Eulerovy úhly, Cardanovy úhly, kvaternióny) [x,y] [x,y,z] + Cardanovy úhly x, y, z 22

Strukturní analýza robotů Druhy souřadnic Přirozené souřadnice kartézské souřadnice význačných bodů a jednotkových vektorů těles soustavy. Význačné body jsou obvykle středy KD, body na jejich osách. Význačné jednotkové vektory jsou obvykle směry os KD. Výhoda = sdílení význačných bodů a jednotkových vektorů přirozeně popisuje spojení těles příslušnými KD. Vazbové podmínky jsou podmínky tuhosti těles. 23

Strukturní analýza robotů Druhy souřadnic 24

Strukturní analýza robotů Druhy souřadnic 25

Strukturní analýza robotů Příklad x i, y i, z i, xi, yi, zi 26

Strukturní analýza robotů Pozor: existují tzv. singulární případy, kdy strukturní vzorce na základě teorie grafů neplatí Počet stupňů volnosti je pak dán Kde φ je Jacobiho matice kinematických vazeb f včetně předepsaných pohybů se souřadnicemi s 27

Postup modelování robotických systémů Prolog Robotické systémy Průmyslové roboty sériové struktury Průmyslové roboty paralelní struktury Mobilní roboty Antropomorfické, humanoidní roboty 28

Maticový popis pohybu tělesa z 1 z 2 L Osy souřadnicového systému x 1 O 1 1 r 1L x 2 2 r 2L O 2 y 2 y 1 a r bl Počátek souřadnicového systému Zkoumaný bod Pohyb tělesa jako transformace mezi souřadnicovými systémy 29

Maticový popis pohybu tělesa Souřadnicové systémy se shodným počátkem z 1 L z 2 1 r 1L = 2 r 2L k 2 i 1 k 1 i 2 j 1 j 2 y 2 y 1 x 1 x 2 O 1 =O 2 30

Maticový popis pohybu tělesa Transformace jednotkových vektorů 31

Maticový popis pohybu tělesa Matice směrových kosinů 32

Maticový popis pohybu tělesa Maticový výpočet násobení vektorů 33

Maticový popis pohybu tělesa Matice úhlových rychlostí 34

Maticový popis pohybu tělesa Matice úhlových zrychlení 35

Maticový popis pohybu tělesa Souřadnicové systémy s paralelními osami z 1 z 2 L 1 r 1L 2 r 2L u 12 O 2 y 2 O 1 x 2 y 1 x 1 36

Maticový popis pohybu tělesa Obecné souřadnicové systémy z 1 z 2 L 2 r 2L 1 r 1L O 2 y 2 x 2 O 1 y 1 x 1 37

Maticový popis pohybu tělesa Transformační matice 38

Maticový popis pohybu tělesa Pohyb jako časově proměnná transformace z 1 z 2 L 2 r 2L 1 r 1L O 2 y 2 1 r 1O2 x 2 O 1 y 1 x 1 39

Maticový popis pohybu tělesa Rychlosti 40

Maticový popis pohybu tělesa Matice rychlostí 41

Maticový popis pohybu tělesa Zrychlení 42

Maticový popis pohybu tělesa Matice zrychlení 43

Metoda základních matic Současné (složené) pohyby L z 3 z 1 z 3 2 r y 3 3L O 3 1 r 1L 2 r 2L x 3 O 2 y 2 x 2 O 1 y 1 x 1 44

Maticový popis pohybu tělesa Současné (složené) pohyby 45

Metoda základních matic Základní pohyby O 2 x 1 =x 2 z 1 z 2 x O 1 O 1 y 1 y 2 x 1 x 2 z 1 z 2 y O 2 y 1 =y 2 x 2 x 1 z 1 =z 2 z O 2 O 1 y 2 y 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 1 =z 2 φ x O 1 =O 2 φ x y 1 y 2 x 1 φ y φ y O 1 =O 2 y 1 =y 2 x 1 φ z O 1 =O 2 φ z y 1 y 2 x 1 =x 2 x 2 x 2 46

Metoda základních matic 3 posuvy podél os x,y,z O 2 z 2 x z 1 O 1 y 2 y 1 T ( x Z1 ) x 1 =x 2 O 1 z 1 z 2 y O 2 T ( y Z 2 ) x 1 x 2 y 1 =y 2 x 2 z 1 =z 2 z O 2 O 1 y 2 y 1 T ( z Z 3 ) x 1 47

Metoda základních matic 3 rotace kolem os x,y,z z 2 z 1 φ x O 1 =O 2 y 2 T Z ) ( 4 x φ x y 1 x 1 =x 2 z 2 z 1 φ y O 1 =O 2 T Z ) ( 5 y x 1 φ y y 1 =y 2 x 2 z 1 =z 2 O 1 =O 2 y 2 T Z ) ( 6 z x 1 φ z φ z y 1 x 2 48

Metoda základních matic Odvození rotace y 1 y 2 y 1L L x 2 y 2L x 2L O z x 1L x 1 49

Metoda základních matic Příklad: rovinný robot x 4 y 4 4 L y 1 y 3 l 2 3 d y 2 3 x 3 l 3 1 2 s 1 2 x 1 =x 2 50

Metoda základních matic Příklad: prostorový robot 51

Metoda základních matic Základní maticové diferenciální operátory 52

Metoda základních matic Inverze, komutativnost, derivace 58

Metoda základních matic Příklad: rychlosti prostorového robota 59

Metoda základních matic Algebraizace řešení pro bod Řešení kinematického popisu otevřeného řetězce je převedeno na násobení základních matic a jejich maticových diferenciálních operátorů Pro bod M: 60

Pro těleso S: Metoda základních matic Algebraizace řešení pro těleso n=s M 1 2 61

Metoda základních matic Příklad: Puma 560 62

Metoda základních matic Popis pohybu KD Tělesa a a b jsou spojena KD s osou o ab z a x b z 1 O b O a y a y b o ab =z b x a x 1 O 1 y 1 Na tělesech a a b jsou zvoleny dva souřadnicové systémy tak, že je z b =o ab Dále je zvolen souřadnicový systém O 0 x 0 y 0 z 0, který je pevně spojen s tělesem a a je na začátku pohybu shodný se souřadnicovým systémem O b x b y b z b 65

Metoda základních matic Popis pohybu KD Pohyb v KD je popsán celý pohyb pohyb relativní pohyb z a do b z a do 0 v KD Z O a x a y a z a do O 0 x 0 y 0 z 0 5 pohyby (bez rotace kolem o ab ) 66

Rotační KD Metoda základních matic Popis pohybu KD 67

Metoda základních matic Popis pohybu KD Posuvná KD 68

Metoda základních matic Popis pohybu KD Válcová KD Šroubová KD 69

Metoda základních matic Popis pohybu KD Sférická KD Eulerovy úhly 70

Metoda základních matic Popis pohybu KD Eulerova kinematická rovnice 71

Metoda základních matic Popis pohybu KD Sférická KD Cardanovy úhly 72

Metoda základních matic Popis pohybu KD Výhodný popis pro linearizaci Eulerova kinematická rovnice 73

Metoda základních matic Popis pohybu KD Sférická KD Roll, pitch, yaw z 1 o x 1 O 1 y 1 74

Metoda základních matic Popis pohybu KD Sférická KD Eulerovy parametry Eulerovy parametry jsou prvky normovaného kvaterniónu 75

Metoda základních matic Popis pohybu KD Kvaternión je součet skaláru a vektoru Je to zobecnění komplexních čísel do prostoru Konjugovaný kvaternión Norma kvaterniónu Norma Eulerových paranmetrůje 1 Eulerovy parametry jsou vázány vazbou Kvaterniónové násobení je definováno Umožňuje vyjádřit rotaci v prostoru 76

Metoda základních matic Popis pohybu KD Od Eulerových parametrů k matici směrových kosinů Od matice směrových kosinů k Eulerovým parametrům 77

Metoda základních matic Popis pohybu KD 1. Nechť k je rovno indexu prvku diagonály matice B s největší absolutní hodnotou, k=0,1,2,3. 2. Vypočteme 3. Nechť 4. Výsledek je 78

Metoda základních matic Popis pohybu KD Úhlové rychlosti z Eulerových parametrů 79

Metoda základních matic Popis pohybu KD Zrychlení z Eulerových parametrů 80

Plochá KD Metoda základních matic Popis pohybu KD 81

Metoda řešení kinematických smyček Otevřený kinematický řetězec je obvykle popsán nezávislými (relativními) souřadnicemi. Kinematická smyčka obsahuje závislé (relativní) souřadnice. Metody pro sestavení rovnic pro určení závislých souřadnic. Metoda uzavřené smyčky Metoda rozpojené smyčky řezem Metoda rozpojené smyčky vyjmutím tělesa Metoda přirozených souřadnic Metoda kartézských souřadnic metoda kompartmentů 82

Metoda řešení kinematických smyček 1. Metoda uzavřené smyčky Na vybraném tělese smyčky (nemusí být rámem) zvolíme souřadnicový systém. Kinematická transfor-mace z tohoto souřadnicového systému skrze celou smyčku do toho samého souřadnicového systému je popsána. Výsledek je identita Jinou variantu dostaneme po vynásobení obou stran 83

Metoda řešení kinematických smyček 1. Metoda uzavřené smyčky V obou případech sestavíme 12 nelineárních rovnic a 4 identity. Mezi nimi je pouze 6 nezávislých rovnic vzhledem k identitám v matici směrových kosinů. 84

Metoda řešení kinematických smyček Příklad: 1. Metoda uzavřené smyčky Univerzální kloub 85

Metoda řešení kinematických smyček Příklad: 1. Metoda uzavřené smyčky 86

1 Metoda řešení kinematických smyček 2. Metoda rozpojené smyčky řezem Počet neznámých a počet rovnic může být snížen. Kinematická smyčka je rozpojena řezem v některé KD a jsou sestaveny podmínky uzavřenosti smyčky. Vzniklé rovnice neobsahují relativní souřadnice v řezu smyčky. Sférická KD Podmínka je rovnost rádiusvektorů středu sférické KD na tělese k a k+1. Výsledek jsou 3 rovnice. Neobsahují 3 relativní souřadnice sférické KD. 89

Metoda řešení kinematických smyček 2. Metoda rozpojené smyčky řezem Rotační KD Podmínka je rovnost rádiusvektorů středů na ose rotační KD na tělese k=m a k+1=n a rovnost jednotkových vektorů osy rotační KD. 3 rovnice (nezávislé) 3 rovnice (2 nezávislé) Výsledek je 6 rovnic, 5 z nich je nezávislých. Neobsahují relativní souřadnici rotační KD. 90

Metoda řešení kinematických smyček 2. Metoda rozpojené smyčky řezem Posuvná KD Podmínka je rovnost jednotkových vektorů osy, kolinearita BD a jednotkového vektoru osy a konstantní úhel AB, DF 3 rovnice (2 nezávislé) 3 rovnice (2 nezávislé) 1 rovnice (nezávislá) Výsledek je 7 rovnic, 5 z nich je nezávislých. Neobsahují relativní souřadnici posuvné KD. 91

Metoda řešení kinematických smyček 2. Metoda rozpojené smyčky řezem Válcová KD Podmínka je rovnost jednotkových vektorů osy a kolinearita AB a jednotlového vektoru osy. 3 rovnice (2 nezávislé) 3 rovnice (2 nezávislé) Výsledek je 6 rovnic, 4 z nich je nezávislých. Neobsahují relativní souřadnice válcové KD. 92

Metoda řešení kinematických smyček 2. Metoda rozpojené smyčky řezem Plochá KD Podmínka je rovnost jednotkového vektoru kolmého na rovinu a kolmost AB a jednotkového vektoru kolmého k rovině. 3 rovnice (2 nezávislé) 1 rovnice (nezávislá) Výsledek je 4 rovnic, 3 z nich jsou nezávislé. Neobsahují relativní souřadnice ploché KD. 93

Metoda řešení kinematických smyček 3. Metoda rozpojené smyčky vyjmutím tělesa 1 Počet neznámých a počet rovnic může být dále snížen. Kinematická smyčka je rozpojena dvěma řezy ve dvou KD na jednom tělese a těleso je vyjmuto a jsou sestaveny podmínky uzavřenosti smyčky. Vzniklé rovnice neobsahují relativní souřadnice dvou KD v řezech smyčky. 94

Metoda řešení kinematických smyček 3. Metoda rozpojené smyčky vyjmutím S 1 S 2 1 Sférická sférická KD Podmínka je rovnost vzdálenosti středů sférických KD na tělese. Výsledek je jen 1 rovnice. Neobsahuj 6 relativních souřadnic sférických KD. POZOR: Těleso se může volně otáčet kolem S1S2. 95

Metoda řešení kinematických smyček 3. Metoda rozpojené smyčky vyjmutím Sférická rotační KD Podmínka je vzdálenost středu sférické KD od osy rotační KD. Výsledek jsou 2 rovnice. Neobsahují 4 relativní souřadnice sférické a rotační KD. 96

Metoda řešení kinematických smyček 3. Metoda rozpojené smyčky vyjmutím Rotační rotační KD Podmínka je vzdálenost a úhel mimoběžných os rotačních KD. Výsledek jsou 4 rovnice. Neobsahují 2 relativní souřadnice rotačních KD. 97

Metoda řešení kinematických smyček Příklad: 3. Metoda rozpojené smyčky vyjmutím RRSRR mechanismus 98

Metoda řešení kinematických smyček 3. Metoda přirozených souřadnic Přirozené souřadnice kartézské souřadnice význačných bodů a jednotkových vektorů těles soustavy. Význačné body jsou obvykle středy KD, body na jejich osách. Význačné jednotkové vektory jsou obvykle směry os KD. Výhoda = sdílení význačných bodů a jednotkových vektorů přirozeně popisuje spojení těles příslušnými KD. Vazbové podmínky jsou podmínky tuhosti těles. 99

Metoda řešení kinematických smyček 3. Metoda přirozených souřadnic Sférická KD je popsána sdílením souřadnic středů KD. Rotační KD je popsána sdílením bodu na ose a jednotkového vektoru osy. Válcová KD je popsána sdílením jednotkových vektorů a AB//u. Posuvná KD je popsána sdílením jednotkových vektorů, AB//u a konstantní úhel AC, BD. 100

Podmínky tuhosti tělesa Metoda řešení kinematických smyček 3. Metoda přirozených souřadnic 101

Metoda řešení kinematických smyček Příklad: 3. Metoda přirozených souřadnic RRSRR mechanismus 102

Metoda řešení kinematických smyček 5. Metoda kartézských souřadnic Kartézské (fyzikální) souřadnice každé těleso je popsáno kartézskými souřadnicemi (souřadnice počátků lokálních souřadnicových systémů) a jejich orientace (např. Cardanovy úhly) Vazbové podmínky jsou popsány pro spojení se sousedními tělesy metodou rozpojení smyčky T 1k = T x (x k )T y (y k ) T z (z k )T x ( xk )T y ( yk ) T z ( yk ) 1 r 1L = T 1k k r kl 103

Metoda řešení kinematických smyček Příklad: 5. Metoda kartézských souřadnic Pětibodový závěs kola auta [x y z] T, x, y z Cardanovy úhly Virtuální smyčka A i B i =l i 6 souřadnic 5 skalárních vazbových podmínek 6-5=1 DOF 104

Metoda řešení kinematických smyček Příklad: 5. Metoda kartézských souřadnic Hexapod x, y, z, x, y, z, l i = l i (t), i=1,2,,6 A i B i =l i 12 souřadnic 6 skalárních vazbových podmínek 12-6=6 DOF 105

Metody numerického řešení kinematických vazeb Robotický systém je popsán souřadnicemi Ty lze rozdělit na nezávislé souřadnice a závislé souřadnice Z vazbových podmínek vypočteme závislé souřadnice v závislosti na nezávislých 106

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha polohy 1. problém nelinearita Jde obecně o systém nelineárních transcendentních rovnic Analytické řešení je možné jen ve zvláštních případech Numerické řešení je nutné obecně pomocí modifikované Newtonovy metody 107

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha polohy Je-li k-tá iterace Vazbové podmínky jsou rozvinuty do Taylorovy řady kolem k-té iterace kde je Jacobiho matice Získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro neznámé 108

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha polohy Řešením Iterace klasické Newtonovy metody je Velká nevýhoda klasické Newtonovy metody je, že konverguje jen v okolí řešení. Proto je užita modifikovaná Newtonova metoda kde skalární parametr je určen z minimalizace 109

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha polohy Algoritmus While do end Konec iterace 110

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha polohy Platí silná věta o konveregenci Věta: V omezené oblasti nechť funkce má stejnoměrně omezené první a druhé parciální derivace. Nechť v této oblasti je zobrazení jednojednoznačné a a nechť existuje bod (je jediný) tak, že. Pak modifikovaná Newtonova metoda konverguje z libovolného odhadu, tj. pro. z* R R R Dvě řešení Problém oscilací singulární Problém konvergence 111

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha polohy 2. problém přeurčené rovnice obecně obdélníková matice Řešitelnost a řešení A x b r A =rank(a) m = r B =rank([a,b]) n 9 3 0 0 0 1 Frobeniova věta Systém LAE je řešitelný právě tehdy když r A =r B. Jednoznačné řešení existuje právě tehdy když r A =r B =n. 112

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha polohy Physical interpretation 113

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha rychlosti pro řešení polohy Časovou derivací Shodná matice soustavy jako pro úlohu polohy 114

Metody numerického řešení kinematických vazeb úloha zrychlení Další časovou derivací Opět shodná matice soustavy jako pro úlohu polohy Matice soustavy a její inverze je pro všechny úlohy shodná, tedy shodné vlastnosti všech úloh 115

Metody numerického řešení kinematických vazeb Obecné řešení rozkladem SVD Ortonormální matice popisující rotaci souřadnicových systémů 116

Metody numerického řešení kinematických vazeb Diagonální matice reprezentuje hodnost matice d i S= rank(a)=r 117

Metody numerického řešení kinematických vazeb 118

Metody numerického řešení kinematických vazeb Fyzikální interpretace - počet stupňů volnosti Počet vazeb Hodnost Jacobiho matice Vztah občas selže 119

Metody numerického řešení kinematických vazeb Existují singulární polohy mechanismu, kde je náhlý nárůst počtu stupňů volnosti. Mechanismus regulární singulární v nějaké poloze trvale singulární Maticová metoda poskytuje 12 rovnic, jen 6 z nich je nezávislých 9 3 0 0 0 1 Které prvky (rovnice) jsou opravdu nezávislé, je určeno numericky je určeno nejlepší regulární jádro 120

Metody numerického řešení kinematických vazeb příklad Turbula 121

Metody numerického řešení kinematických vazeb Kinematické problémy mechanismů Mechanismus je popsán souřadnicemi s Některé z nich jsou pohony nebo dány nezávislé souřadnice q Kinematické problémy mechanismů spočívají v určení závislých souřadnic z Robotika zavedla terminologii: Robot má pohony s hnacími souřadnicemi a koncový efektor G popsaný souřadnicemi s pohybem Dopředný kinematický problém určit ze známých souřadnic pohonů neznámé souřadnice polohy koncového efektoru Inverzní kinematický problém určit ze známé polohy koncového efektoru neznámé souřadnice pohonů 125

Metody numerického řešení kinematických vazeb Koncový efektor G G G 2 pohony n=s pohony 1 126

Metody numerického řešení kinematických vazeb Dopředný (přímý) kinematický problém pro sériové řetězce žádné smyčky, žádné vazby použití relativních souřadnic a přímého výpočtu Dopředný kinematický problém pro soustavy se smyčkami vazby řešeny nejdříve a pak přímý výpočet polohy Inverzní kinematický problém podmínka předepsaného pohybu je další vazbou 127

Metody numerického řešení kinematických vazeb mechanismus 2 pohony G pohyb M pohony G M 1 Některé kinematické problémy lze řešit analyticky. Dopředný kinematický problém pro sériové roboty je snadný. Inverzní kinematický problém pro sériové roboty je obtížný. Dopředný kinematický problém pro paralelní roboty je obtížný. Inverzní kinematický problém pro paralelní roboty je snadný. 128

Metody analytického řešení kinematických vazeb Analytické řešení je možné jen tehdy, když lze soustavu rovnic rozdělit na dvě soustavy rovnic se třemi neznámými To je možné v těchto strukturních případech: 1) tři posuvné KD 2) tři rotační KD s protínajícími se osami (sférická KD) 129

Metody analytického řešení kinematických vazeb 3) ekvivalent ploché KD (tři paralelní osy rotace po sobě, dvě paralelní osy rotace a na ně kolmá osa posuvu, dva posuvy a na ně kolmá osa rotace) 4) dva posuvy a dvě paralelní osy rotace 130

Metody analytického řešení kinematických vazeb - příklad 131