Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marek Basovník Prostoročas uvnitř černých děr Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Oldřich Semerák, Dr. Studijní program: Obecná fyzika 21
Rád bych zde věnoval poděkování doc. Oldřichu Semerákovi za ochotné vedení a skvělou spolupráci při vzniku této práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 27. května 21 Marek Basovník 2
Obsah 1 Obecná teorie relativity 5 2 Invariantní vlastnosti prostoročasů 9 2.1 Invarianty křivosti.......................... 1 3 Kretschmannův skalár 12 3.1 Kerrova-Newmanova metrika..................... 12 3.2 Schwarzschildova černá díra s Bachovým-Weylovým prstencem.................. 21 3.3 Majumdarovo-Papapetrouovo řešení................. 24 4 Závěr 29 Literatura 3 A Weylovy prostoročasy 31 A.1 Kretschmannův invariant....................... 32 3
Název práce: Prostoročas uvnitř černých děr Autor: Marek Basovník Katedra (ústav): Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Oldřich Semerák, Dr. e-mail vedoucího: semerak@mbox.troja.mff.cuni.cz Abstrakt: V této práci jsme se snažili zjistit, jak je ve vnitřních oblastech (původně) Schwarzschildova prostoročasu ovlivněn průběh křivosti přítomností dalšího jednoduchého zdroje. Konkrétně jsme spočítali a vykreslili průběh základního invariantu Riemannova tenzoru, tzv. Kretschmannova skaláru, pro statickou a axiálně symetrickou superpozici Schwarzschildovy černé díry s Bachovým- Weylovým tenkým prstencem a pro Majumdarovy-Papapetrouovy prostoročasy se dvěma černými dírami. Pro seznámení s problematikou a s programy MAPLE a MATHEMATICA, které v práci využíváme, jsme nejdříve prozkoumali průběh Kretschmannova invariantu v Kerrově a Kerrově-Newmanově prostoročasu. Průběh je překvapivě složitý a nesouvisející s polohou horizontů a statických mezí, v Kerrových-Schildových souřadnicích je však zároveň pozoruhodně symetrický. Klíčová slova: obecná relativita, černé díry, invarianty křivosti Title: Spacetime inside black holes Author: Marek Basovník Department: Institute of Theoretical Physics Supervisor: Doc. RNDr. Oldřich Semerák, Dr. Supervisor s e-mail address: semerak@mbox.troja.mff.cuni.cz Abstract: In the present work we try to find out, how is affected the continuance of curvature by presence of added simple source in inner areas of the (originally) Schwarzschild space-time. We count and project continuance of the elementary invariant of Riemann tensor, so-called Kretschmann scalar, for static and axially symetric superposition of the Schwarzschild black hole with the Bach-Weyl thin ring and for Majumdar-Papapetrou space-times with two black holes. For familirazation with problem and with programs MAPLE and MATHEMATICA, which we uses in work, we explore the continuance of Kretschmann invariant in the Kerr-Newman space-time first. The continuance is dramatic complicated and inconsequent with location of horizons and static boundaries. In the Kerr-Schild coordinates it is extraordinary symetric. Keywords: general relativity, black holes, curvature invariants 4
Kapitola 1 Obecná teorie relativity Obecná teorie relativity popisuje, jak souvisejí vlastnosti prostoročasu s chováním hmoty, která se v něm vyskytuje je tedy teorií gravitační interakce. Byla zformulována Albertem Einsteinem v letech 197-1915. Einstein byl při jejím hledání a interpretaci ovlivněn hlavně Ernstem Machem a jeho myšlenkou ( Machův princip ), že setrvačnost není vnitřní vlastností těles, že je dána interakcí mezi všemi tělesy ve vesmíru. Skutečným východiskem se však pro Einsteina stal tzv. princip ekvivalence, podle kterého je gravitační zrychlení lokálně ekvivalentní setrvačnému zrychlení. Přesněji řečeno, všechny fyzikální procesy, v nichž hraje roli jen intenzita gravitačního pole g (nikoli její nehomogenita), probíhají stejně i v prostoru bez gravitačního pole, pokud tam přejdeme do systému urychleného se zrychlením g. Tato velmi nesamozřejmá vlastnost přírody znamená, že veškerá hmota (totiž příspěvky k její hmotnosti od všech druhů energie) je gravitací ovlivněna stejně, tedy že gravitační působení je universální (zobecnění Galileiho universality volného pádu). Díky tomu jej lze připsat vlastnostem samotného prostoročasového podloží. Vývoj, který se v Newtonově teorii chápe jako pohyb pod vlivem gravitační síly, je tak v obecné relativitě nahlížen a popsán jako pohyb po nejrovnějších, extremálních spojnicích v prostoročasu, tzv. geodetikách. Tomuto posunu se říká geometrizace : interakce určující vývoj daného systému (či dokonce vývoj všech systémů, pokud se jedná o interakci universální) je modelována vlastnostmi určitého fiktivního konfiguračního prostoru. V případě teorie gravitace je tímto konfiguračním prostorem sám prostoročas a standardně se nechápe jako fiktivní, ale jako možný skutečný vesmír, odpovídající danému rozložení a chování hmoty. Vztah mezi chováním hmoty a geometrickými vlastnostmi prostoročasu poskytují Einsteinovy rovnice (Einsteinův gravitační zákon). Vzhledem k tomu, že v našem vesmíru se hmota zjevně vyskytuje, je tak hlavní předpovědí obecné teorie relativity tvrzení, že prostoročas, ve kterém žijeme, není plochý, ale určitým způsobem zakřivený. 5
Einsteinovy rovnice gravitačního pole 1 R µν 1 ( 2 Rg µν + Λg µν = 8πT µν R µν = 8π T µν 1 ) 2 T g µν + Λg µν (1.1) obsahují na pravé, zdrojové straně tenzor energie a hybnosti T µν a na levé, polní (geometrické) straně kontrakce Riemannova tenzoru křivosti R µ νκλ Ricciho tenzor R νλ R κ νκλ a Ricciho skalár R R λ λ a tzv. kosmologický člen, daný konstantním násobkem metrického tenzoru g µν. Tzv. kosmologickou konstantu Λ lze interpretovat bud jako další (druhou) konstantu charakterizující gravitační interakci (kromě Newtonovy gravitační konstanty G), nebo jako parametr určující hustotu a tlak zdroje zatím neznámé povahy (tzv. temné energie), který, jak se v současné době zdá, přispívá největším dílem k celkové hustotě energie ve vesmíru. Tato konstanta však nemusí být fundamentální, může jen efektivně parametrizovat vliv kosmických nehomogenit, gravitačních vln, dodatečných prostorových rozměrů nebo nějaké jiné vlastnosti neprojevující se znatelně v lokální fyzice. Einsteinovy rovnice představují v obecnosti systém deseti nezávislých nelineárních parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu pro deset složek metrického tenzoru. Díky nulové kovariantní divergenci levé strany implikují čtyři zákony zachování T µν ;ν =, které omezují zdroje, zatímco zbylých šest rovnic určuje gravitační pole. V případě pomalu se pohybujících a slabých zdrojů přecházejí Einsteinovy rovnice (pro Λ = ) v Newtonovu rovnici Φ = 4πρ, (1.2) v níž jsou zdroje charakterizovány hustotou hmotnosti ρ a gravitační pole potenciálem Φ. Řešení Einsteinových rovnic se výrazněji liší od newtonovských zejména v případě velmi silných polí v okolí velmi hmotných a hustých zdrojů. Obecná relativita speciálně předpovídá, že pokud se soustředí dostatečné množství hmotnosti (M) do dostatečně malé oblasti (obecně se zdá, že je třeba, aby vlastní obvod oblasti byl ve všech směrech menší než 4πM), stočí se v ní světelné kužely takovým způsobem, že jakákoliv hmota, která se do ní dostane, nebude moci zpátky ven a dokonce bude muset klesat směrem k jejímu středu. Oblasti s těmito vlastnostmi se nazývají černými dírami, jejich hranice se nazývají 1 Užíváme standardního tenzorového složkového zápisu a konvencí a značení učebnice [5]. Prostoročasové složky veličin (nabývající hodnot -3) značíme malými řeckými indexy, prostorové složky (1-3) malými latinskými indexy; užíváme Einsteinovy sumační konvence, tedy přes dva stejné indexy v opačné pozici (jeden kontravariantní a jeden kovariantní) se automaticky sčítá. Parciální derivace je značena čárkou a kovariantní derivace středníkem v indexové pozici. Metrický tenzor g µν má signaturu ( +++) a Riemannův tenzor R µ νκλ je definován vztahem V ν;κλ V ν;λκ = R µ νκλv µ, kde V µ je libovolný kovektor. Všude budeme užívat geometrizovanou soustavu jednotek, v níž jsou rychlost světla a gravitační konstanta rovny jedné, c = 1, G = 1. 6
horizonty a ve stacionárním případě jsou to světelné nadplochy. Ukázalo se dále, že uvnitř horizontů musejí existovat prostoročasové singularity, tedy určité patologie prostoročasu. Výskyt singularit naznačuje, že od určitých hustot přestává obecná relativita jako nekvantová teorie platit. Tyto hustoty jsou ovšem nesmírně vysoké, řádu 1 93 g/cm 2, takže je vidět, že oblast použitelnosti obecné relativity je zřejmě velice široká. Kromě velmi silných polí v okolí kompaktních objektů je druhou aplikační oblastí obecné relativity kosmologie. Tam se kromě okolí singularit na počátku a/nebo konci vývoje některých kosmologických modelů velmi silná pole obvykle nevyskytují, ale obecné relativity je třeba proto, že v globálním měřítku se i velmi malé průměrné zakřivení prostoročasu výrazně projeví. Konečně poslední významnou předpovědí obecné relativity je existence gravitačních vln. Přímý experimentální důkaz této existence zatím nebyl podán, ale je mu již delší dobu věnováno značné teoretické i technologické úsilí. Gravitační vlny by měly přinášet mnoho zásadních informací, které není možno získat prostřednictvím elektromagnetického záření, a to právě o chování systémů s extrémně silným polem a také z počátečních fází vývoje vesmíru. Einsteinovy rovnice jsou složité a není snadné a často ani možné je analyticky řešit, takže nejzajímavější případy nestacionárních vývojů zahrnujících velmi silná pole jsou studovány teprve v poslední době a především numerickými metodami. Výjimkou jsou speciální, obvykle vysoce symetrické situace s velmi jednoduchým uspořádáním a typem zdrojů. Takovou situací je například izolovaná černá díra v asymptoticky plochém prostoročasu. Bylo ukázáno, že takovýto objekt se přinejmenším po určitém (typicky velmi krátkém) čase usadí do stacionárního stavu, v němž je charakterizován pouze třemi parametry (hmotností, rotačním momentem hybnosti a elektrickým nábojem) a geometrie jím generovaného prostoročasu je popsána tzv. Kerrovou-Newmanovou metrikou. (Této geometrii se budeme věnovat v kapitole 3.1.) Za předpokladu ještě silnější časové symetrie statičnosti lze přesně najít i pole soustavy více zdrojů, což je díky nelinearitě Einsteinových rovnic (na rozdíl od situace v Newtonově teorii) obecně neřešitelný problém. Významnou možností je v tomto směru případ tzv. Weylových prostoročasů. Jsou to statické a axiálně symetrické prostoročasy, jejichž metrika se dá přinejmenším vně zdrojů zapsat pomocí pouhých dvou neznámých funkcí, z nichž jedna splňuje Laplaceovu rovnici, a tedy platí pro ni lineární superpozice. (Konkrétním případům těchto prostoročasů se budeme věnovat v kapitole 3.2 a jejich základní obecné vlastnosti shrneme v doplňku.) Speciální a velice jednoduchou možností přesného analytického řešení pro soustavu více zdrojů je tzv. Majumdarova-Papapetrouova (MP) třída metrik, které popisují gravitační pole soustavy extrémně nabitých zdrojů (speciálně černých děr), tedy soustavy, v níž každý ze zdrojů má elektrický náboj stejně velký jako hmotnost a náboje všech zdrojů mají stejné znaménko (díky tomu jejich elektrické odpuzování právě kompenzuje gravitační přitahování, podobně jako podle klasického 7
pohledu). Řešením z této třídy se budeme věnovat v kapitole 3.3. 8
Kapitola 2 Invariantní vlastnosti prostoročasů Základním předpokladem teorie relativity je nezávislost fyzikálního obsahu přírodních zákonů na souřadnicové soustavě, tzv. princip obecné kovariance. Tento princip je možno naplnit zápisem zákonů v tenzorovém tvaru. Tenzory jsou veličinami definovanými nezávisle na bázi, avšak jejich složky invariantní nejsou invariantní, tedy fyzikální, jsou jen skaláry získané z tenzorů úženími a/nebo vnitřními součiny, a ovšem také tetrádové složky tenzorů, získané projekcemi tenzorů do lokálních kartézských bází nesených fyzikálními (časupodobnými) pozorovateli. Vzhledem k důrazu, který teorie relativity klade na kovarianci fyzikálních zákonů, je jasné, že zvláštní význam přikládá takovým vlastnostem prostoročasů, které jsou nezávislé na souřadnicové soustavě jejich absolutním (či invariantním) rysům. Takovýchto vlastností je řada, například existence určitých typů podprostorů (speciálně nadploch, ploch či křivek), algebraický typ (daný existencí a vlastnostmi určitých nulových vektorových polí) či do značné míry globální struktura. Kromě toho jsou to vlastnosti vyjádřené pomocí invariantních veličin. Na souřadnicích jsou, jak jsme připomněli, nezávislé také tetrádové složky tenzorů, ale ty závisejí na pozorovateli. Na druhé straně invarianty jsou skutečně absolutní, avšak nemusejí vždy odpovídat fyzikálně měřitelné veličině a tudíž nemusejí být příliš intuitivní. Zásadní vlastností obecně relativistických prostoročasů je jejich křivost (v newtonovském jazyce nehomogenita gravitačního pole). Je to vlastnost, která vlastně činí prostoročas obecně relativistickým, poněvadž v případě plochého prostoročasu (homogenního gravitačního pole) lze vždy metriku převést globálně do Minkowského tvaru a pracovat jako ve speciální relativitě. Křivost je také vlastností, která přímo vystupuje v Einsteinových rovnicích, popsána Riemannovým tenzorem, přesněji řečeno jeho netriviálními kontrakcemi. Z těchto důvodů 9
také invarianty určené Riemannovým tenzorem a jeho kontrakcemi jsou nejvýznamnějšími invarianty obecné teorie relativity. Týká se to zvláště invariantů získaných přímo z Riemannova tenzoru, protože Ricciho tenzor a Ricciho skalár jsou v případě všech vakuových prostoročasů s Λ = nulové [viz pravý tvar Einsteinových rovnic (1.1)], takže invarianty jimi určené tam žádnou další informaci neposkytují. Přitom vakuové prostoročasy jsou studovány nejčastěji, poněvadž jsou jednak jednodušší (odpovídají řešení homogenních Einsteinových rovnic), jednak odpovídají obvyklé otázce nalezení pole vně zdrojů. Tato otázka není na místě v kosmologii, ale je vždy kladena v případě diskrétních zdrojů nebo jejich omezených soustav tedy tam, kde je navíc často oprávněné zanedbat kosmologickou konstantu. 2.1 Invarianty křivosti Z Riemannova tenzoru se dá obecně získat libovolně mnoho nezávislých invariantů, a to vnitřními součiny tohoto tenzoru se sebou samým a podobně vnitřními součiny jeho libovolně vysokých kovariantních derivací. Nejjednodušší jsou invarianty dané samotným, nederivovaným Riemannovým tenzorem R µ νκλ, = Γ µ νλ,κ Γ µ νκ,λ, +Γ µ ικγ ι νλ, Γ µ ιλγ ι νκ, (2.1) kde Γ µ αβ 1 2 gµν (g να,β + g βν,α g αβ,ν ) jsou Christoffelovy symboly 2. druhu odpovídající metrice g αβ. Existuje 14 algebraicky nezávislých invariantů daných součiny Riemannova tenzoru [3]. (To znamená takových výrazů polynomiálních v Riemannově tenzoru či jeho kontrakcích, z nichž žádný se nedá vyjádřit jako algebraický výraz obsahující jen ostatních 13.) Deset z nich se dá vyjádřit pomocí Ricciho tenzoru a zbylými čtyřmi jsou R αβγδ R αβγδ, kde R αβγδ R αβγδ, R αβ γδr γδ ρσr ρσ αβ, R αβ γδr γδ ρσr ρσ αβ, R αβγδ 1 2 ϵ αβκλr κλ γδ značí levý duál Riemannova tenzoru (alternativně lze uvažovat pravý duál) a ϵ αβκλ g [αβκλ] je Levi-Civitův tenzor. Ve vakuových prostoročasech 1
jsou invarianty dané Ricciho tenzorem nulové, takže jako netriviální a nezávislé zbývají jen 4 uvedené skaláry. Ve Weylových prostoročasech jsou navíc identicky nulové invarianty obsahující duál Riemannova tenzoru, takže tam zůstává jen kvadratický Kretschmannův skalár a obdobný skalár kubický. 11
Kapitola 3 Kretschmannův skalár 3.1 Kerrova-Newmanova metrika Na úvod této metriky uvedeme známý teorém citovaný z [1]: Teorém černá díra nemá vlasy Vnější elektromagnetické a gravitační pole stacionární samostatné černé díry ve vakuu, které navíc splňuje asymptotickou plochost, je zcela určeno jen třemi nezávislými parametry : celkovou hmotností M, elektrickým nábojem Q a vlastním rotačním momentem hybnosti 1 J, bez ohledu na to, z čeho a jakým způsobem černá díra vznikla. Řešením Einsteinových rovnic (1.1) pro takovou černou díru se nazývá Kerrovo- Newmanovo řešení (KN). Podle zmíněného teorému je tedy KN zcela obecným řešením pro stacionární černou díru bez dalších vnějších zdrojů gravitace. Toto řešení splňuje navíc axiální symetrii. Pokud by černá díra nebyla axiálně symetrická, musela by nutně vyzařovat gravitační vlny a tím pádem by již nebyla stacionární. V Boyerových-Lindquistových cylindrických souřadnicích (t, r, θ, ϕ) má KN metrika tvar kde ds 2 = Σ A dt2 + A Σ sin2 θ(dϕ ωdt) 2 + Σ dr2 + Σdθ 2, (3.1) = r 2 2Mr + Q 2 + a 2, Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ, A = (r 2 + a 2 ) 2 a 2 sin 2 θ, ω = (2Mr Q 2 ) a A. 1 Moment hybnosti J budeme dále popisovat parametrem a definovaným a J M. 12
Tato metrika se vyznačuje mimo jiné tím, že má kolem singularity dva horizonty. Vnější z nich se chová jako pravý horizont, pro který platí, že v oblasti v jeho nitru směřují světočáry nutně směrem k singularitě. Světelné kužely jsou tedy orientovány směrem do černé díry. Tato oblast je přerušena vnitřním horizontem, pod kterým již světelné kužely mají standardní tvar. Polohy těchto horizontů jsou r ± = M ± M 2 Q 2 a 2. (3.2) Lze si povšimnout, že pro případ M 2 = Q 2 + a 2 se horizonty spojí v jeden. V takovém případě metrika (3.1) popisuje extrémní Kerrovu-Newmanovu černou díru. Pro M 2 < Q 2 +a 2 dále hovoříme o nahé singularitě 2. Další význačné oblasti KN jsou statické meze, které vymezují oblast, kde se testovací částice musí vůči nekonečnu pohybovat ve směru rotace černé díry. Jsou vyjádřeny vztahy r,1 = M ± Kretschmannův invariant má pro KN známý tvar M 2 Q 2 a 2 cos 2 θ. (3.3) K = 8 Σ 6 [6M 2 (r 2 a 2 cos 2 θ)(σ 2 16r 2 a 2 cos 2 θ) 12MQ 2 r(r 4 1r 2 a 2 cos 2 θ + 5a 4 cos 4 θ) + +Q 4 (7r 4 34r 2 a 2 cos 2 θ + 7a 4 cos 4 θ)], (3.4) což je překapivě jednoduchý výraz vzhledem k obecnosti KN. Dále budeme průběh Kretschmannova invariantu zkoumat v Kerrových-Schildových cylindrických souřadnicích (R, Z), ve kterých se lépe zobrazují centrální části KN. Získají se transformací z Boyerových-Lindquistových souřadnic (B-L) Z = r cos θ, R = r 2 + a 2 sin θ. V B-L souřadnicích má již (3.4) podstatně složitější tvar. Budeme se nejprve zabývat případem, kdy má černá díra nulový náboj Q =. V takovém případě přechází KN v Kerrovo řešení 3. Kretschmannův invariant má v tomto případě tvar K = 48M 2 Σ 6 (r 2 a 2 cos 2 θ)(σ 2 16r 2 a 2 cos 2 θ). (3.5) 2 O problému existence nahých singularit pojednává článek [4]. Obecně se uznává doměnka kosmické cenzury, která tvrdí, že v původně regulárních protoročasech nemůže vzniknout singularita viditelná z nekonečna. 3 Kerrovo řešení se od KN odlišuje tím, že se jedná o vakuové řešení. Při Q = je nulový tenzor elektromagnetického pole, a tedy i tenzor energie a hybnosti. 13
Vztah (3.5) lze v B-L souřadnicích zapsat jako K = 48M 2 (R 2 + Z 2 a 2 )[a 4 + (R 2 + Z 2 ) 2 2a 2 (R 2 + 7Z 2 )] [a 4 + 2a 2 (Z 2 R 2 ) + (Z 2 + R 2 ) 2 ] 3. (3.6) Nyní se budeme zabývat podrobnou analýzou vztahu (3.6). Prvním pozorováním jsou oblasti, kde Kretschmannův invariant nabývá nulových hodnot K =. Význam ploch K = je ten, že oddělují prostoročas na oblasti, kde K > od oblastí, kde K < 4. Položením K = ve vztahu (3.6) získáme oblast, která je v rovině (R, Z) tvořená třemi kružnicemi daných rovnicemi R 2 + Z 2 = a 2, R 2 + (Z ± 3a) 2 = 4a 2. První z nich má střed v počátku a poloměr a. Středy dalších dvou leží na ose symetrie (R = ) ve vzdálenosti 3a od ekvatoriální roviny (Z = ). Obě mají poloměr roven 2a. Všechny tři kružnice se protínají v bodech (R = a, Z = ), které odpovídají singularitě černé díry. Tečny ke kružnicím svírají navzájem v těchto bodech stejný úhel π/3 viz obrázek 3.1 níže. Další vlastností Kretschmannova invariantu pro případ Kerrova řešení je K(a/M, R, Z) = k 6 K(ka/M, kr, kz). (3.7) Z této vlastnosti si lze uvědomit, že a/m zde zaujímá roli škálovacího parametru. Zvýšením hodnoty a/m a následným roztažením souřadnic (R, Z) ve stejném poměru získáme stejný relativní průběh Kretschmannova invariantu. Co se změní, je jeho absolutní velikost, a to se šestou mocninou poměru, ve kterém jsme zvýšili hodnotu parametru a/m. Zajímavým pozorováním je, že Kerrova černá díra má stále stejný relativní průběh Kretschmannova invariantu pro různé hodnoty a/m (dokonce i pro případy a > M nahých singularit). Vzhledem k horizontům (3.2) a statickým mezím (3.3) si lze všimnout, že jejich polohy s chováním Kretschmannova invariantu nijak podstatně nesouvisejí. Tato povaha lze vypozorovat i ze série obrázků 3.3 3.7. Nyní bude následovat série obrázků, které zachycují průběh Kretschmannova invariantu pro různé hodnoty a/m v intervalu 1.4. Obrázky zachycují vrstevnice v rovině (R, Z). Tmavší odstín odpovídá větším zápornějším a světlejší větším kladnějším hodnotám Kretschmannova invariantu. Černými 4 Přestože je Kretschmannův invariant kvadratickým skalárem křivosti, tedy obsahuje kvadráty Riemannova tenzoru, může bez obav nabývat záporných hodnot. To je dáno tím, že metrický tenzor prostoročasu je indefinitní, a tak skalární součin může nabývat kladných i záporných hodnot. Fyzikální interpretace oblastí s kladným a záporným K je podána v [7] (strana 1). 14
4a 3a 2a a Z a 2a 3a 4a 2a a a 2a R Obrázek 3.1: Oblasti K = v rovině (R, Z) pro Kerrovu černou díru. tlustými čarami jsou vyobrazeny oblasti K =, červené čáry zobrazují horizonty a červené přerušované čáry statické meze. Osy jsou vyneseny v jednotkách M. Hustota vrstevnic neodpovídá konstantnímu kroku v K, ale je volena tak, aby v oblasti kolem nuly odpovídala lineárnímu průběhu a v okolí kolem singularit kompenzovala fakt, že tam Kretschmannův invariant klesá s šestou mocninou vzdálenosti. Volíme tedy škálu vrstevnic takto: K x : x(k) = Kχ [ d,d] (K) + (7d 6d7/6 K 1/6 )[H d(k) H d (K)], (3.8) kde d je hodnota, ve které na lineární škálu spojitě navazuje odmocninová škála. x je výsledná hodnota přeškálovaného Kretschmannova invariantu. Napojení jednotlivých průběhů je zajištěno pomocí charakteristické funkce χ [ d,d] a Heavisideovy funkce H d, pro které platí předpis χ [ d,d] (K) = H d (K) = { 1, K ( d, d), K (, d) (d, ) { 1, K (d, ), K (, d) 15
1.5 1. Max.5 Z..5 1. Min 1.5 2 1 1 2 R Obrázek 3.2: Průběh K pro Schwarzschildovu černou díru (Q =, a = ). 1.5M 1.M Max.5M Z.5M 1.M Min 1.5M 2M 1M 1M 2M R Obrázek 3.3: Průběh K pro Kerrovu černou díru (Q =, a =.3M). 16
1.5 M Max 1. M.5 M Z -.5 M -1. M Min -1.5 M 2M 1M R 1M 2M Obr azek 3.4: Pr ubˇeh K pro Kerrovu ˇcernou d ıru (Q =, a =.8M ). 1.5 M Max 1. M.5 M Z -.5 M -1. M Min -1.5 M 2M 1M R 1M 2M Obr azek 3.5: Pr ubˇeh K pro Kerrovu ˇcernou d ıru (Q =, a =.95M ). 17
1.5 M Max 1. M.5 M Z -.5 M -1. M Min -1.5 M 2M 1M R 1M 2M Obr azek 3.6: Pr ubˇeh K pro Kerrovu ˇcernou d ıru (Q =, a = M ). 1.5 M Max 1. M.5 M Z -.5 M -1. M Min -1.5 M 2M 1M R 1M 2M Obr azek 3.7: Pr ubˇeh K pro Kerrovu nahou singularitu (Q =, a = 1.4M ). 18
Uvažujeme-li nenulový náboj Q černé díry (nyní již obecná KN černá díra), bude platit: K(a/M, Q, R, Z) = k 6 K(ka/M, kq, kr, kz). (3.9) Zde můžeme dojít ke stejným závěrům, jako při analýze (3.7), pokud bude platit, že pro k krát navýšení parametru a/m zároveň k krát zvýšíme náboj Q. Opět dostaneme stejný relativní průběh Kretschmannova invariantu. Jak je zároveň vidět, při obecně různých hodnotách Q vůči a/m získáme již zcela odlišné průběhy Kretschmannova invariantu. Tím získáváme novou třídu průběhu Kretschmannova invariantu pro různé hodnoty náboje Q. Na další sekvenci obrázků 3.8 3.1 je zobrazen průběh Kretschmannova invariantu pro pevné hodnoty a, M a různé Q. Dá se na nich vypozorovat, že se vzrůstajícím nábojem Q se oblasti kladné křivosti kolem singularity spojí v souvislou oblast. Opět platí, že horizonty a statické meze s průběhem Kretschmannova invariantu nesouvisejí. Dalším zjednodušením KN je případ s nulovým momentem hybnosti a =. Jedná se o Reissnerovu-Nordströmovu černou díru. V tomto případě je černá díra popsaná pouze parametry M a Q. Řešení Einsteinových rovnic je pak statické a sféricky symetrické. Metrika ve Schwarzschildových souřadnicích (t, r, θ, ϕ) je ds 2 = ( 1 2M r ) + Q2 dt 2 + r 2 Kretschmannův invariant má tvar dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (3.1) 1 2M + Q2 r r 2 K = 8(6M 2 r 2 12MQ 2 r + 7Q 4 ) r 8. (3.11) Nejjednodušším typem černé díry, kdy a = a Q =, je Schwarzschildova černá díra. Zde vystupuje pouze parametr M určující hmotnost černé díry. Řešení Einsteinových rovnic je vakouvé, statické a sféricky symetrické. Metrika ve Schwarzschildových souřadnicích (t, r, θ, ϕ) je ( ds 2 = 1 2M r ) dt 2 + Kretschmannův invariant má tvar 1 1 2M r dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (3.12) K = 48M 2 r 6. (3.13) Průběh Kretschmannova invariantu pro Schwarzschildovu černou díru je vykreslen na obrázku 3.2. 19
1.5 M Max 1. M.5 M Z -.5 M -1. M Min -1.5 M 2M 1M R 1M 2M Obr azek 3.8: Pr ubˇeh K pro Kerrovu-Newmanovu ˇcernou d ıru (Q =.5M, a =.5M ). 1.5 M Max 1. M.5 M Z -.5 M -1. M Min -1.5 M 2M 1M R 1M 2M Obr azek 3.9: Pr ubˇeh K pro Kerrovu-Newmanovu ˇcernou d ıru (Q =.8M, a =.5M ). 2
1.5M 1.M Max.5M Z.5M 1.M Min 1.5M 2M 1M 1M 2M R Obrázek 3.1: Průběh K pro Kerrovu-Newmanovu nahou singularitu (Q = M, a =.5M). 3.2 Schwarzschildova černá díra s Bachovým-Weylovým prstencem Schwarzschildova černá díra je sféricky symetrický objekt a Bachův-Weylův (B- W) prstenec představuje hmotu rovnoměrně rozloženou na kružnici. Touto superpozicí máme na mysli přítomnost Schwarzschildovy černé díry ve středu Bachova- Weylova prstence. Jedná se o axiálně symetrickou statickou metriku. Vhodně ji popisují Weylovy souřadnice 5 (t, ϕ, ρ, z) ds 2 = e 2ν dt 2 + ρ 2 e 2ν dϕ 2 + e 2λ 2ν (dρ 2 + dz 2 ), (3.14) Pro samotnou Schwarzschildovu černou díru o hmotnosti M jsou funkce ν a λ, kde ν S = 1 2 ln d 1 + d 2 2M d 1 + d 2 + 2M, λ S = 1 2 ln (d 1 + d 2 ) 2 4M 2 4d 1 d 2, d 1,2 ρ 2 + (z M) 2. 5 Více o těchto souřadnicích je uvedeno v dodatku A. 21
Pro B-W prstenec o hmotnosti M a poloměru b jsou funkce ν a λ ν B = 2MK πl 2, λ B = M 2 k 2 4π 2 b 2 ρ k [(ρ + 2 b)(e2 k 2 K 2 ) ρ(k 2 + 2)(E k 2 K) 2 ], kde E π/2 k 2 1 l2 1, l l2 2 1,2 (ρ b) 2 + z 2, 1 k 2 sin 2 θdθ, K π/2 k 2 = 1 k 2. dϕ 1 k 2 sin 2 θ, Při superpozici se funkce ν získá prostým součtem ν = ν S + ν B. Funkci λ nelze tímto postupem získat. Její vyjádření je pomocí soustavy parciálních diferenciálních rovnic λ,ρ ρ(ν,ρ ) 2 + ρ(ν z ) 2 =, λ,z 2ρν,ρ ν,z =, (3.15) s okrajovou podmínkou λ = na ose symetrie. Tato soustava není pro náš případ superpozice analyticky řešitelná a jsme odkázáni na numerický výpočet. Nyní bude následovat dvojice obrázků 3.11 a 3.12 různě hmotných B-W prstenců kolem Schwarzschildovy černé díry. Třetí obrázek 3.13 popisuje situaci samotného B-W prstence. Škálu Kretschmannova invariantu volíme podle vztahu (3.8). Na obrázku 3.13 si lze všimnout, že na ose symetrie vznikají u Kretschmannova invariantu lokální minima. V superpozici se Schwarzschildovou černou dírou se tyto lokální extrémy rozšíří do dvou prstenců kolem osy symetrie, jak ukazují obrázky 3.11 a 3.12. 22
4M Max 2M z 2M 4M Min 5M 5M Ρ Obrázek 3.11: Schw. černá díra (M) s B-W prstencem (M = M, b = 5M). 4M Max 2M z 2M 4M Min 5M 5M Ρ Obrázek 3.12: Schw. černá díra (M) s B-W prstencem (M = 3M, b = 5M). 23
4 Max 2 z 2 4 Min 5 5 Ρ Obrázek 3.13: Samotný B-W prstenec (M = 1, b = 5). 3.3 Majumdarovo-Papapetrouovo řešení Majumdarovo-Papapetrouovo řešení 6 je přesné řešení Einsteinových rovnic pro superpozici N extrémních Reissnerových-Nordströmových černých děr, pro které platí rovnost Q = M a zároveň mají všechny náboje stejné znaménko. Černé díry v takovém případě mají právě takový náboj, aby byly ve statické rovnováze a šla zapsat metrika v izotropních souřadnicích následovně: kde ds 2 = U 2 dt 2 + U 2 [dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )], (3.16) U 1 + N i=1 r = (r, θ, ϕ). M i r i r, Dále r i zde chápeme jako hodnoty prostorových souřadnic i-té černé díry a M i její hmotnost/náboj. Explicitní vztah pro Kretschmannův invariant nabývá pro pouhou dvojici černých děr velikých rozměrů, takže jej neuvádíme. Dále následují obrázky 3.14 3.16 dvojic Majumdarových-Papapetrouových černých děr s různým poměrem hmotností a pevnou souřadnicovou vzdáleností 7 okrajů 6 Podrobněší popis lze nalézt v [2]. 7 Ve smyslu izotropních souřadnic (t, r, θ, ϕ). 24
horizontů. Tu značíme b. Vlevo je vždy vyobrazena lehčí černá díra. Opět využíváme škálování vrstevnic podle (3.8). Jako označení os je x = r cos θ a y = r sin θ. Algebraickými úpravami Kretschmannova invariantu lze vypozorovat, že na horizontu událostí i-té extrémní černé díry o hmotnosti M i bude K horizont = 8, (3.17) Mi 4 což odpovídá hodnotě Kretschmannova invariantu samostatné extrémní Reissnerovy-Nordströmovy černé díry na horizontu. Významným pozorováním tedy je, že hodnota Kretschmannova invariantu na horizontech extrémně nabitých černých děr není nijak ovlivněna dalšími extrémně nabitými černými dírami v okolí. Otázkou zůstává, jestli tomu tak je i v oblastech uvnitř horizontů. Pokusíme se nahlédnout pod horizont jedné z děr stejným způsobem jako v [9] (strana 592 596). Uvažujme, že jedna z děr má polohu r =, tedy že má zde horizont. Provedeme analytické prodloužení souřadnic do záporných r způsobem r = r. (3.18) Tím získáme oblast, která v r = zůstává horizontem černé díry a na určitých nenulových hodnotách r získáme oblast singularity (která tedy odpovídá záporným r). Zobrazení Kretschmannova invariantu v tomto případě můžeme vidět na obrázku 3.17 2 Max 1 y 1 2 4 2 2 4 x Min Obrázek 3.14: Dvojice extrémních Reissnerových-Nordströmových černých děr M 2 = M 1, b = 4M 1 25
2 Max 1 y 1 2 4 2 2 4 x Min Obrázek 3.15: Dvojice extrémních Reissnerových-Nordströmových černých děr M 2 = 3M 1, b = 4M 1 2 Max 1 y 1 2 4 2 2 4 x Min Obrázek 3.16: Dvojice extrémních Reissnerových-Nordströmových černých děr M 2 = 8M 1, b = 4M 1 26
.2.1..1 Max.2.1..1.2.3 Obrázek 3.17: Oblast pod horizontem jedné ze dvou extrémních Reissnerových- Nordströmových černých děr (M 1 = M 2 = 1, b =.1). Obrázek 3.17 odpovídá dvojici extrémních černých děr, kde jedna je umístěna v počátku souřadnic a jedna je od ní vzdálená b ve směru (θ = ). Tedy platí U = 1 M 1 M + 2 r r 2 + b 2 + 2r b cos θ. (3.19) Na obrázku 3.17 je černou tlustou čarou vynesena oblast singularity. Počátek souřadnic odpovídá horizontu událostí černé díry, jejíž oblast pod horizontem zkoumáme. To, co je na obrázku 3.17 vně černých čar, již dál nemá podstatný fyzikální význam. Můžeme si z obrázku všimnout, že v blízkosti singularity jsou k ní oblasti konstantního Kretschmannova invariantu ekvidistantní. Podrobnější 27
analýzou by bylo zkoumat průběh K pomocí vlastních vzdáleností od singularity. To je obecně dost komplikovaný postup. My se zaměříme alespoň na oblasti, které leží na ose symetrie (θ =, π). Zde díky symetrii platí, že podél osy vede prostorupodobná geodetika. Vlastní vzdálenost podél osy tedy můžeme počítat integrálem l = B A gr r dr (3.2) = [ r M 1 ln r + M 2 ln(r + b cos θ + r 2 + b 2 + 2rb cos θ) ] B A. (3.21) Následně numerickým výpočtem jsme ověřili, že hodnota Kretschmannova invariantu má směrem od singularity stejný průběh pro oba směry od singularity k horizontům na ose symetrie. Pokud by tato vlastnost zůstala zachována i pro ostatní směry θ, kde je výpočt komplikovanější, znamenalo by to, že vnější zdroje nemají u extrémních černých děr vliv na průběh Kretschmannova invariantu pod horizonty při uvažování průběhu ve vlastních vzdálenostech. 28
Kapitola 4 Závěr Nyní bychom rádi hlouběji prozkoumali vnitřek statických černých děr ovlivněných dalším zdrojem. Speciálně je zajímavou otázkou, jak se v důsledku přítomnosti poruchy zdeformuje průběh křivosti poblíž centrální singularity uvnitř černé díry. Je známo, že v případě statických černých děr zůstává singularita bodovou jako v samotném Schwarzschildově řešení. Ve fyzice se však obvykle nekonečné hodnoty veličin nepovažují za realistické. Zmíněná matematická singularita místo, kde je křivost nekonečná je tak chápána jako projev mezí platnosti obecné relativity jako nekvantové teorie. Předpokládá se, že uvnitř černých děr skutečně jsou oblasti, kde je hustota (a tím pádem křivost) velmi vysoká, ale nikoli nekonečná. Tyto fyzikální singularity oblasti konečného rozměru, kde křivost dosahuje planckovských hodnot jsou vnějším zdrojem jistě deformovány. Ukazuje se, že není teoreticky vyloučeno, aby se v důsledku velmi nesymetrické vnější poruchy protáhly až do blízkosti horizontu, popř. dokonce nad něj (viz [6]). Právě poruchy, kterými jsme se v této práci začali zabývat, tedy další černou dírou (jako v Majumdarových-Papapetrouových řešeních) nebo tenkým prstencem (popsaným Bachovým-Weylovým řešením) jsou nejsilnějšími možnými, takže od nich lze očekávat nejvýraznější změnu tvaru fyzikální singularity v centru sledované černé díry. Závěry, ke kterým jsme dospěli v kapitole 3.3 (o konstantním průběhu Kretschmannova invariantu na horizontech a jeho totožnými průběhy od singularity v obou směrech podél osy symetrie s druhou černou dírou), vedou k myšlence, že tvary fyzikálních singularit konkrétně u Majumdarova-Papapetrouova řešení, patrně z vnějšími zdroji nesouvisejí. Dalším rozšířením práce by mělo být takové zobrazení průběhu Kretschmannova skaláru (případně dalších invariantů), které by správně zachycovalo metrické poměry v prostoročasu, tedy zobrazení nikoli v souřadnicích, ale např. takové, které by odráželo vlastní vzdálenosti v relevantních směrech (izometrické vnoření izoploch). 29
Literatura [1] Carter B.: Axisymmetric black hole has only two degrees of freedom, Phys. Rev. Lett. 26, (197) 331. [2] Bini D., Geralico A., Ruffini R.: Charged massive particle at rest in the field of a Reissner-Nordström black hole, Phys. Rev. D 75, (27) 4412. [3] Stephani H., Kramer D., Maccallum M., Hoenselaers C., Herlt E.: Exact Solutions of Einstein s Field Equations, Cambridge University Press, Cambridge, (23) (Sect. 9.1) [4] Penrose R.: Gravitational collapse and space-time singularities, Phys. Rev. Lett. 14, (1965) 57. [5] Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A.: Gravitation, Freeman, San Francisco, (1973). [6] Frolov V. P., Shoom A. A., Interior of distorted black holes, Phys. Rev. D 76, (27) 6437. [7] Cherubini C., Bini D., Capozziello S., Ruffini R.: Second Order Scalar Invariants of the Riemann Tensor: Applications to Black Hole Spacetimes, Int. J. Mod. Phys. D 11, (22) 827. [8] Semerák O.: K některým vlastnostem polí černých děr, doktorská disertační práce, Praha, (29). [9] Chandrasekhar S.: The Mathematical Theory of Black Holes, Clarendon Press, Oxford, (1983, 1992) (Sect. 11.113.). 3
Příloha A Weylovy prostoročasy Vztahy tohoto dodatku jsou čerpány z [8]. V této práci se zabýváme převážně prostoročasy, které jsou statické a axiálně symetrické, a jejich oblastmi, které splňují podmínku na tenzor energie a hybnosti T ρ ρ + T z z =. (A.1) V takovém případě lze psát metriku ve Weylových souřadnicích (t, ϕ, ρ, z) ve tvaru ds 2 = e 2ν dt 2 + ρ 2 e 2ν dϕ 2 + e 2λ 2ν (dρ 2 + dz 2 ). (A.2) Neznámé funkce λ a ν, které závisejí jen na ρ, z, lze získat z Einsteinových rovnic. V případě metriky (A.2) mají tyto rovnice tvar λ,ρ ρ(ν,ρ ) 2 + ρ(ν z ) 2 = 4πρ(T ρρ T zz ), (A.3) λ,z 2ρν,ρ ν,z = 8πρT ρz, (A.4) ν,ρρ + ν,zz + 1 ρ ν,ρ = 4πe 2λ 2ν (T ϕ ϕ T t t ). (A.5) V oblastech vakua, kde jsou pravé strany rovnic rovny nule, přechází rovnice (A.5) na Laplaceovu rovnici pro ν. Z rovnic (A.3) a (A.4) pak lze získat λ výpočtem integrálu λ = ρ,z osa ρ{[(ν 2,ρ (ν,z ) 2 ]dρ + 2ν,ρ ν,z dz}. (A.6) Integrální cesta vede od libovolného místa osy symetrie (kde musí být lambda=) a musí vést nutně přes vakuovou oblast. Při superpozici dvou axiálně symetrických prostoročasů můžeme získat koeficienty λ a ν následujícím způsobem: ν = ν 1 + ν 2, (A.7) λ = λ 1 + λ 2 + 2 ρ,z osa ρ{[ν 1,ρ ν 2,ρ ν 1,z ν 2,z ]dρ + (ν 1,ρ ν 2,z + ν 2,ρ ν 1,z )dz}.(a.8) 31
A.1 Kretschmannův invariant Hodnotu Kretschmannova invariantu lze vyjádřit přímo z definice (3.1) vysčítáním sum přes čtyři indexy Riemannova tenzoru. Software Maple obsahuje relativistickou knihovnu, díky které lze efektivně spočítat komponenty Riemannova tenzoru i Kretschmannův invariant. Ve Weylových souřadnicích je možné Kretschmannův invariant vyjádřit poměrně stručným výrazem kde K = 8e 4ν 4λ [(R t ρtρ) 2 + (R ϕ ρϕρ) 2 + (R z ρzρ) 2 + 2(R t ρtz) 2 ], Explicitní výsledek je R t ρtρ = ν,ρρ + (ν,z ) 2 2(ν,ρ ) 2 + ρν,ρ [(ν,ρ ) 2 3(ν,z ) 2 ], R ϕ ρϕρ = ν,zz + (ν,ρ ) 2 2(ν,z ) 2 ρν,ρ [(ν,ρ ) 2 3(ν,z ) 2 ], R z ρzρ = ν,ρρ + ν,zz + (ν,ρ ) 2 + (ν,z ) 2, R t ρtz = ν,ρz 3ν,ρ ν,z ρν,z [(ν 2,z 3(ν,ρ ) 2 )]. K = 16e 4ν 4λ {(ν,ρρ ) 2 + (ν,zz ) 2 + (ν,ρz ) 2 + ν,ρρ ν,zz + +3(1 ρν,ρ )[(ν,ρ ) 2 + (ν,z ) 2 ] 2 + ρ 2 [(ν,ρ ) 2 + (ν,z ) 2 ] 3 + +3ν,ρρ (ν,ρ ) 2 + 3ν,zz (ν,z ) 2 + 6ν,ρz ν,ρ ν,z + +ρν,ρ [3(ν,z ) 2 (ν,ρ ) 2 ](ν,ρρ ν,zz ) + +2ρν,ρz ν,z [(ν,z ) 2 3(ν,ρ ) 2 ]}. (A.9) (A.1) U složitých případů nemusí být integrál (A.6) resp. (A.8) analyticky řešitelný a jsme v takovém případě odkázáni na numerický výpočet. Existují však užitečné informace, které lze o Kretschmannovu invariantu vyvodit i bez nutnosti počítat hodnoty λ. Definujme: ( ρ, z ), (A.11) Pak platí K = f(ν)e 4λ, K = e 4λ [ f(ν) 4f(ν) λ]. (A.12) (A.13) V rovině (ρ, z) tedy platí, že směr gradientu Kretschmannova invariantu nezávisí na λ. Zaujímá v něm roli pouze gradient koeficientu λ, který však můžeme jednoduše vyjádřit pomocí ν bez nutnosti integrace z rovnic (A.3), (A.4). S využitím vztahu (A.12) tedy lze v každém bodě roviny (ρ, z) jednoznačně určit směr maximálního vzrůstu Kretschmannova invariantu bez nutnosti výpočtu integrálu (A.6) resp. (A.8). Využití této vlastnosti demonstrujeme na zobrazení Kretschmannova invariantu u superpozice Schwarzschildovy černé díry s Bachovým-Weylovým prstencem (obrázky A.1, A.2). 32
Obrázek A.1: Zobrazení hodnoty K ve vrstevnicích. Obrázek A.2: Integrální křivky konstantního K. 33
První obrázek je zobrazení vrstevnic z přímo spočítané hodnoty K numerickým výpočtem. Druhý obrázek je vytažení integrálních křivek normálových k vektorovému poli (A.12). Druhý obrázek již není tolik vypovídající jako první, avšak k jeho vygenerování není potřeba znát hodnoty λ. Tento fakt se projevil na době nutné k výpočtu a vykreselní obrázku. U složitějších prostoročasů s komplikovaným λ tedy dobře slouží jako náhled. Zároveň jej lze dobře použít jako kontrolu správnosti vykreslení prvního obrázku. 34