Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ ÚROOVÁNÍ Auor Jazyk Haa Macholová Češia Daum vyvořeí 2. 4. 23 Cílová skupia Supeň a yp vzděláváí Druh učebího maeriálu žáci 6 9 le gymaziálí vzděláváí vzorové příklady a příklady k procvičeí Očekávaý výsup žák ovládá využií jedoduchého úrokováí a chápe vzah mezi jedoduchým úrokováím a arimeickou poslouposí. Aoace maeriál je vhodý eje k výkladu a procvičováí, ale i k samosaé práci žáků, k jejich domácí přípravě, velké uplaěí ajde zejméa při přípravě žáků k maurií zkoušce
Pozámka: Při výpočech budeme používa ásledující ozačeí: počáečí (vložeý) kapiál kapiál a koci -ého úrokovacího období i úroková míra vyjádřeá deseiým číslem k zdaňovací koeficie u daň z úroku vyjádřeá v proceech délka úrokovacího období vyjádřeá ve dech poče úrokovacích období úrok po zdaěí za jedo úrokovací období úrok po zdaěí a koci -ého úrokovacího období Budeme využíva zv. ěmecký sadard 3E/36, což je meoda určováí délky úrokovacího období, kdy počíáme, že každý měsíc má 3 dů, edy rok má 36 dů. V omo učebím maeriálu se budeme věova jedoduchému úrokováí, edy úrok budeme počía sále z počáečího kapiálu. Využijeme zejméa ásledující vzahy: u k k i 36 k i 36 k i 36 k i 36 Samozřejmě v případě, že úrokovací období bude jede rok, můžeme ze vzahů zlomek 36 vyecha, proože když dosadíme za = 36, pak dosaeme zlomek 36 36. Řešeé úlohy: ) Pa Novák uložil a koci roku a vkladí kížku 48 č. Baka úročí jedekrá ročě, a o vždy a koci kaledářího roku. Pa Novák vybírá pravidelě a začáku roku úrok za předchozí rok. Úroková míra po celou dobu eměila a byla 2,5 % a daň z úroků byla 5 %. a. Jaký byl jeho úrok před zdaěím v jedolivých (apř. řech) leech? 2
b. Jaký byl jeho úrok po zdaěí v jedolivých leech? c. Jakou čásku obdržel pa Novák a úrocích za 8 le? 48 č i,25 5 k,85 36 8 u 5% a. Úrok za jede rok před zdaěím: i 48,25 2 2 č Vzhledem ke skuečosi, že pa Novák každý rok úrok vybral, počíal se úrok za ásledující roky opě pouze z vložeého kapiálu (48 č) a byl edy sále sejý (byl rove 2 č). b. Úrok za jede rok po zdaěí: k 2 č i k 2,85 2 Opě se úrok po zdaěí v jedolivých leech počíal sále ze sejé čásky, a proo byl sále sejý a čiil 2 č. c. Úroky za 8 le: 8 8 8 86 č 82 86 Baka každý rok vyplácela úrok po zdaěí 2 č, a proo za osm le bylo pau Novákovi vyplaceo 8 6 č. 2) Jakou čásku by musel pa Novák uloži v bace a 2,5% úrok, aby ročí úrok (po zdaěí 5%) dosáhl 2 č (edy č měsíčě).? 2 č i,25 k,85 i k Odud vyjádříme : 3
2 564759 i k,25,85 5647 59 č Aby ročí úrok po zdaěí dosáhl 2, musí pa Novák v bace uloži 5 647 59 č. 3) Jakou čásku by pa Novák musel uloži v bace a 2,5% úrok, aby jeho měsíčí úrok dosáhl č (pokud by bylo úročeí a koci každého měsíce a o by si úrok mohl kocem měsíce vybra)? Daň z úroku je opě 5 %.? i,25 k,85 3 č i k 36 Odud vyjádříme I i k,25,85 36 5647 59 č : 3 36,25,85 2 2 564759,25,85 Aby měsíčí úrok dosáhl č, musí pa Novák uloži 5 647 59 č. Poz.: Vidíme edy, že při jedoduchém úročeí ezáleží a délce úrokovacího období. 4) Pa Novoý si chce půjči a osm měsíců peíze. Předem ví, že po osmi měsících bude mí a splaceí svého dluhu čásku 8 č. Jakou čásku si yí může od baky ejvýše půjči v případě, že baka mu abízí úrokovou míru 4,5 %, půjčuje pouze a celé sokoruy a úročí jedekrá a koci úrokového období. 8 i,45 83 24 k Pa Novoý espoří, ale splácí, a proo eplaí daň z úroků (u = %) k i 36 8 72949 24 k i,45 36 36 72949 č Baka ale půjčuje pouze a celé sokoruy, a proo si pa Novoý smí půjči ejvýše 72 9 č. 4
5) Vklad 3 č je v bace úroče jedou ročě s úrokovou mírou 3 % a jde o jedoduché úročeí. Daň z úroku je 5 %. a. Zakreslee do arézské sousavy souřadic prvích pě čleů poslouposi, kerá vyjadřuje závislos výše celkového úroku po zdaěí a poču le od uložeí vkladu. b. Rozhoděe, zda je daá posloupos arimeická. Pokud ao, určee prví čle a difereci. c. rčee, zda je posloupos vyjadřující závislos celkové výše kapiálu a poču le od uložeí vkladu aké arimeická (případě určee prví čle a difereci). 3 i,3 k,85 36 a. k i Poče le 2 3 4 5 Celkový úrok po zdaěí v č 765 53 2295 36 3825 Celkový úrok po zdaěí v č úrok celkem (č) 45 4 35 3 25 2 5 5 2 3 4 5 6 (poče le) b. Prví čle poslouposi je 765. aždý další čle je o 765 věší ež předcházející čle. Jde edy o arimeickou posloupos s prvím čleem 765 a s diferecí 765. c. Posloupos vyjadřující závislos celkové výše kapiálu a poču le od uložeí vkladu získáme ze vzorce: 36 k i 3 3,85,3 3 765 36 36 Jde edy o arimeickou posloupos s prvím čleem 3 765 a s diferecí 765. 5
6) Pa Bedřich si půjčil 8 č de 22. úora 22 při ročí úrokové míře 2 %. erý de musel zaplai dluh, jesliže se s bakou vyroval čáskou 95 č? i,2 k 8 č 95 č Odud vyjádříme : k i 36 k i 36 36 k i 36 k i 36 95 8 8,2 25 Pa Bedřich musel zaplai dluh po 25 dech. Při využií sadardu 3E/36, edy pokud počíáme, že jede měsíc má 3 dů, jde o 8 3 měsíce, edy o 8 měsíců a dese dů. De zaplaceí vypočíáme ak, že ejprve k dau vypůjčeí přičeme 8 měsíců, edy získáme 22.. 22. Do koce říja ám zbývá 8 dů. Chybí přičís ješě dva dy a získáme ak daum 2.. 22. Pa Bedřich musel zaplai dluh de 2.. 22. Úlohy k procvičeí:. Paí Dvořáková zakoupila dluhopis za 2 č s dobou splaosi 5 le s úrokovou mírou 3,2 %. Po uplyuí každého roku (po dobu pěi le) bude dosáva vždy úrok z čásky 2 č. Daň z úroku je 5 %. Po pěi leech obdrží s úrokem i vložeou čásku. Vypočíeje: a. Úrok za jede rok před zdaěím. b. Úrok za jede rok po zdaěí. c. Čisý výos z dluhopisu. [a. 64 č, b. 544 č, c. 2 72 č] 2. Pa rál splail úvěr a úroky čáskou 445 č. Půjčka byla splacea po devíi měsících, a o při ročím úroku 5 %. Jak velký úvěr si vzal pa rál? 6
[4 č] 3. Vypočíeje úrok, kerý vyese jisia 24 č při ročí úrokové míře 5 % za ři měsíce? Daň z úroku je 5 %. [255 č] 4. Pa Beráek si chce od baky půjči peíze a ový počíač. Dluh bude moci splai za 4 měsíce, kdy bude mí k dispozici 3 č. Baka mu je ochoa poskyou úvěr s úrokovou mírou 5 %, úročí v de splaosi a půjčuje cele sokoruy. olik si může pa Beráek maximálě půjči? [28 5 č] 5. Vklad č je úroče jedekrá ročě s úrokovou mírou 2 %, jde o jedoduché úročeí. Ověře, že poslouposi, keré vyjadřují závislos celkové výše úroku po zdaěí a poču le od uložeí vkladu pro ásledující případy výše daě z úroku u u 4, jsou arimeické (určee prví čle a difereci): u = %; u 2 =5 %; u 3 =2 %; u 4 =25%. [u = %: 2; 2; u 2 = 5%: 7; 7; u 3 = 2%: 6; 6; u 4 = 25%: 5; 5] 7
Použié zdroje a lieraura: ODVÁRO, Oldřich.: Maemaika pro gymázia- Poslouposi a řady. vydáí. Praha: Proméheus, 995. ISBN 8-85849-9-7. ODVÁRO, Oldřich. Úlohy z fiačí maemaiky pro sředí školy.. vydáí. Praha: Proméheus, 25. ISBN 8-796-33-8. PETÁOVÁ, Jidra. Maemaika: příprava k mauriě a přijímacím zkouškám a vysoké školy.. vydáí. Praha: Promeheus, 999. ISBN 8-796-99-3. 8