Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti
Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování význačných vlastností funkcí a) Monotónnost funkce Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu platí: a má v každém bodě intervalu (a, b) derivaci, pak Funkce f(x) je KONSTANTNÍ na intervalu jestliže f (x)=0 pro každé. Funkce f(x) je NEKLESAJÍCÍ na intervalu jestliže pro každé. Funkce f(x) je NEROSTOUCÍ na intervalu pro každé. Funkce f(x) je ROSTOUCÍ na intervalu jestliže pro každé. Funkce f(x) je KLESAJÍCÍ na intervalu jestliže pro každé. b) Lokální extrémy funkce Má-li funkce f(x) v bodě x 0 lokální extrém, pak buď derivace f (x 0 ) neexistuje, nebo f (x 0 )=0. V bodě x 0 s vlastností f (x 0 )=0 může, ale nemusí mít f(x) lokální extrém. Říkáme proto, že každý STACIONÁRNÍ BOD x 0 (bod, pro který je f (x 0 )=0) je PODEZŘELÝ Z EXTRÉMU. Jestliže derivace funkce f(x) v bodě x 0 nemění znaménko, nemá funkce f(x) v tomto bodě lokální extrém. Při určování charakteru stacionárního bodu se rozhodujeme podle znaménka u f (x) Nechť f (x 0 )=0 a nechť existuje druhá derivace f (x 0 ), pak: Je-li f (x 0 ) 0, pak má funkce f(x) v bodě x 0 LOKÁLNÍ MINIMUM. Je-li f (x 0 ) 0, pak má funkce f(x) v bodě x 0 LOKÁLNÍ MAXIMUM. c) Konvexnost a konkávnost funkce (konvexní = vypuklý, konkávní = vydutý) Je-li funkce f(x) spojitá na na intervalu funkce f(x) je: a má v intervalu (a, b) druhou derivaci, pak KONVEXNÍ na právě tehdy, když f (x) pro každé RYZE KONVEXNÍ na právě tehdy, když f (x) pro každé KONKÁVNÍ na právě tehdy, když f (x) pro každé RYZE KONKÁVNÍ na právě tehdy, když f (x) pro každé
d) Inflexní body grafu funkce Je-li f (x 0 ), pak říkáme, že bod x 0 je podezřelý z inflexe. Inflexní bod je takový bod x 0, ve kterém funkce f(x) přechází z konvexní na konkávní nebo obráceně. Mění-li druhá derivace v bodě x 0 znaménko, bod x 0 je INFLEXNÍM BODEM funkce f(x). e) Asymptoty grafu funkce Asymptoty y = kx + q se nazývají ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ, když existují vlastní limity Asymptoty x = x 0 rovnoběžné s osou y se nazývají ASYMPTOTY BEZ SMĚRNICE, když platí: Postup při vyšetřování průběhu funkce a sestrojení grafu: 1. Určíme D(f). Určíme body nespojitosti 3. Určíme průsečíky s osami souřadnic. Určíme stacionární body 5. Určíme intervaly, na kterých je funkce rostoucí a klesající 6. Určíme charakter stacionárních bodů 7. Určíme intervaly, na nichž je funkce konkávní a konvexní 8. Určíme inflexní body 9. Určíme asymptoty 10. Určíme další vlastnosti funkce 11. Určíme několik bodů, které leží na grafu funkce 1. Sestrojíme graf 13. Určíme H(f).
Řešené příklady: Př.1: Vyšetřete průběh funkce: Řešení: funkci upravíme do tvaru součinu 1. D(f)=R. body nespojitosti nejsou 3. průsečíky: P y [0,0] (dosadíme do rovnice za x nulu a vypočítáme y) P x1 [-3, 0] a P x [0, 0] (dosadíme do rovnice vypočítáme x) za y nulu a. určíme stacionární body vypočtením derivace funkce a zjištěním, pro které body je derivace rovna nule: 5. určíme intervaly, na kterých je funkce rostoucí nebo klesající: stacionární body jsou tedy x 1 = -3 a x = -1-3 -1 6. charakter stacionárních bodů maximum, minimum: vypočítáme druhou derivaci funkce f(x) a zjistíme její hodnotu ve stacionárních bodech Určíme hodnoty f(x) ve stacionárních bodech: f(-3)=0 a f(-1)=-
7. určíme, na kterých intervalech je funkce konvexní nebo konkávní:. funkce je konvexní na intervalu. funkce je konkávní na intervalu 8. určíme inflexní body: f(-) = - 9. Asymptoty nejsou 10. Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická 11. Další body nepotřebujeme 1. Zakreslíme graf ze známých bodů a vlastností P y [0,0], P x1 [-3, 0], P x [0,0], [-3,0], [-1, -], [-, -] 8 6 3 1 1 3 13. H(f)=R
Př. Vyšetřete průběh funkce: 1. D(f)=R-{0}. Bod nespojitosti je x=0.. asymptota bez směrnice je a 1 : x=0 3. průsečíky: P y není, P x není... stacionární body jsou tedy x 1 = -1 a x = +1 5. 6. -1 0 1 f(-1)=- a f(1)= 7...funkce je konvexní na intervalu..funkce je konkávní na intervalu 8. určíme inflexní body:.. inflexní body nejsou 9. Asymptoty: asymptota bez směrnice: a 1 : x=0 (viz. bod ) asymptota se směrnicí: a : y=x
10. Funkce je lichá 11. Další body nepotřebujeme 1. Zakreslíme graf ze známých bodů a vlastností: 6 6 6 6 13.
Př.3: Zakreslete graf funkce: pomocí programu MATHEMATICA : Pomocí příkazu Plot zakreslíme graf: Ověřte výpočtem Pomůcka: kořeny kubické rovnice zjistíme pomocí programu MATHEMATICA a funkci zapíšeme v součinovém tvaru: