Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28
Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149 2 y = 2 1 2 1............................. 191
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) Omezení na definiční obor vyplývá (1 2 ze ) 2 jmenovatele zlomku. Výraz 2 1 nesmí= být 1 nulový. 2 2 2 (1 2 ) 2 To je však zajištěno pro = 1 všechna reálná čísla. 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 Čitatel,, je lichá funkce, = 1 2 jmenovatel, 2 2 (1 2 ), je funkce sudá. (1 2 ) 2 Jako celek je tedy zlomek = 1 lichá funkce. 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 Určíme průsečík s osou a znaménko = 1 funkce na jednotlivých intervalech. 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 Určíme průsečík s osou a znaménko = 1 funkce na jednotlivých intervalech. 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 Zlomek je roven nule právě = tehdy, 1 2 když čitatel je nulový. (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 Zakreslíme průsečík = na = 1 osu. Funkce nemá žádný bod nespojitosti. 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = Jmenovatel (1 2 ) je y = 1(1 stále 2 kladný. ) ( 2) Čitatel zlomku má proto stejné (1 2 ) znaménko 2 jako celý zlomek = 1 2 2 2 1. 2 (1 2 ) 2 Funkce je kladná, je-li = 1 kladné a naopak. 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 Určíme ity v nekonečnu. = 1 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = Víme, že o výsledku rozhodují y = 1(1 jenom vedoucí členy v čitateli a ve 2 ) ( 2) jmenovateli. (1 2 ) 2 Zelenou část lze vynechat. = 1 2 2 2 Zbytek zkrátíme: (1 2 ) 2 = 1 2. = 1 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = Dosadíme. y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 = = ± 1 = 1 2 ± = 1 ± = y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 Obě hodnoty 1 = 1 2 2 2 i 1 jsou nulové. (1 2 ) 2 Funkce má vodorovnou = 1 asymptotu y = pro jdoucí k ±. 2 (1 2 ) 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 Vypočteme derivaci. Derivujeme podíl podle vzorce y pro = derivaci podílu. 1 2 = 2 2
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 Upravíme. 1 2 y = 2 2 =
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1(1 2 ) ( 2) (1 2 ) 2 = 1 2 2 2 (1 2 ) 2 = 1 2 (1 2 ) 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 Upravíme. 1 2 y = 2 2 =
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Hledáme řešení rovnice y =.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Dosadíme za derivaci.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Zlomek je nulový, má-li nulový čitatel.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = Vyjádříme 2. min MAX
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = 1 2 (1 2 ) 2 = 1 2 = 2 = 1 1 = 1 2 = min MAX Vypočítáme. Dostáváme dvě řešení.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 Nakreslíme osu = 2(1 a stacionární 2 )[(1 2 body. ) (1 2 )2] Nejsou žádné body nespojitosti. (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( y 1 2 = (1 2 ) 2 = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) Testujeme = 2. Dostáváme (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y 1 4 (2) = (1 2 ) kladná hodnota 4 <. = 2[ 2 ] ) 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 Testujeme =. = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y () (1 = 12 ) 4 = 2[ 1 > 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( y 1 2 = (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) Funkce má lokální minimum v bodě (1 = 2. ) 4 Funkční hodnota je = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y() = (11 () 2 ) 4 = 2 2. = 2[ 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( y 1 2 = (1 2 ) 2 = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) Testujeme = 2. Platí (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] y 1 4 (2) = (1 2 ) kladná hodnota 4 <. = 2[ 2 ] ) 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 min MAX 1 ( ) y 1 2 = (1 2 ) 2 Funkce má lokální = 2(1 maimum v 2 ) 2 bodě (1 = 2 )2(1 1. Funkční 2 )( hodnota 2) je (1 2 ) 4 = 2(1 y(1) = y() = 1 2 )[(1 2 ) (12, 2 )2] kde jsme využili toho, že funkce(1 je lichá 2 ) 4 a hodnota y() již byla vypočítána. = 2[ 2 ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) Vypočteme druhou derivaci. (1 2 )
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 Derivuje podíl = 2[ podle vzorce 2 ] pro derivaci podílu. (1 2 ) Jmenovatel derivujeme jako složenou funkci. Tím se nezbavíme možnosti vytknout = 2 (2 v čitateli ) a zkrátit zlomek. (1 2 )
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) Vytkneme = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) (1 2 )
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) Zelené části se zkrátí. (1 Zjednodušíme 2 ) výraz v hranaté závorce.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) 2 ; 1,2 = ±1 y = ( 1 2 (1 2 ) 2 ) = 2(1 2 ) 2 (1 2 )2(1 2 )( 2) (1 2 ) 4 = 2(1 2 )[(1 2 ) (1 2 )2] (1 2 ) 4 = 2[ 2 ] (1 2 ) = 2 (2 ) (1 2 )
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Vyřešíme y =.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Zlomek je nulový, je-li nulový jeho čitatel.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Jsou dvě možnosti: bud =, nebo 2 =. Druhá z možností vede na rovnici 2 = = ±.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Vyznačíme body na osu. Nejsou zde žádné body nespojitosti.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme = 2. y 2(4 ) (2) = 2 kladná hodnota <.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme =. Funkce je v tomto bodě konvení, protože je zde lokální minimum.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. V bodě = je inflee. Funkční hodnota je y( ) = 1.4.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme = 1. Funkce je v tomto bodě konkávní, protože je zde lokální maimum.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Testujeme = 2. Dostáváme y 2(4 ) (2) = 2 něco kladného >.
y = D(f ) = R; lichá; 1 2 y = 1 2 (1 2 ) ; 2 1,2 = ±1 min MAX 1 y = 2 (2 ) 2 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (2 ) = =, 4 =, 5 = in. in. in. Inflee v bodě =. Funkční hodnota je y( ) = 1.4.
min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 Vypíšeme si nejdůležitější výsledky.
min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1 Zakreslíme souřadný systém.
min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1 V bodě = je průsečík s osou. Funkční hodnoty se v tomto bodě mění z kladných na záporné.
min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1 Zachytíme informaci o vodorovné tečně v ±. Dáváme si pozor na znaménko funkce, musíme graf správně nakreslit nad nebo pod asymptotu.
min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1
min MAX 1 in. in. in. f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± ) ±.4 y ents 1
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = 1 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± = 2 = ±
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = 1 1 1 = 1 = Určíme definiční obor. 1 = 1 = Ve jmenovateli nesmí být 1nula. = ± ± = 2 =
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = 1 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 Určíme průsečík s osou jako řešení = rovnice ± ± = y = 2 =.
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = 1 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± = 2 = ±
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = 1 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± = 2 = ±
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y = 1 = 1 = = 1 1 1 = 1 = 1 = 1 = Funkce má s osou jediný průsečík 1 = 1 = ± ± = 2 =
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± Určíme znaménka funkce. 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Rozdělíme osu pomocí průsečíků a y = ( 1) 2 2( bodů nespojitosti ) na podintervaly, kde se znaménko zachovává. ( 1) = ( ) 2 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Uvažujme interval zcela vlevo. Zvolme = a vypočteme y = ( 1) 2 2( ) y() = 1 = 2 >. ( 1) = ( ) 2 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Uvažujme prostřední interval, zvolme = 1 4 a vypočteme 1 y( 1 y = ( 1) 2 2( ) 4 ) = 4 1 = = 6 <. 1 1 ( 1) 64 64 = ( ) 2 6 1 4
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = V posledním intervalu zvolme = 1 a vypočteme y = ( 1) 2 2( ) y(1) = 1 = 4 >. 1 ( 1) = ( ) 2 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) ( 1) Najdeme jednostranné ity v bodech= nespojitosti. ( ) 2 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) nenulový výraz ( 1) Dosazení = vede k výrazu typu. = ( ) 2 nula 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = Z přednášky víme, že jednostranné ity jsou nevlastní. Schéma se znaménkem funkce umožňuje y = ( 1) 2 2( odhalit, ) zda se funkce blíží k plus nebo minus nekonečnu. ( 1) = ( ) 2 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 Určíme ity v nevlastních bodech. = ( ) 2 2( ) ( 1) 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) Víme, že pouze vedoucí členy jsou podstatné v itě ( tohoto 1) typu a ostatní členy můžeme vynechat. = ( ) 2 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 Zkrátíme. y = ( 1) 2 = ( ) 2 2( ) ( 1) 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 Dosadíme. y = ( 1) 2 = ( ) 2 2( ) ( 1) 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 ± 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ± 2 = = 1 y = ( 1) 2 2( ) Limita je vypočtena. ( 1) Funkce má vodorovnou asymptotu y = v ±. ( ) 2 6
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = 2 1 4 4 4 MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 Derivujeme MAX podíl. 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = 2 1 4 4 4 MAX 1 2 ( ) ( u v ) = u v uv v 2
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = 2 1 4 4 4 MAX 1 2 MAX Vytknutím 1 2 rozložíme na součin. ( )
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = 2 1 4 4 4 MAX Zkrátíme. Roznásobíme závorku. 1 2 MAX 1 2 ( )
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = 2 1 4 4 4 MAX 1 2 MAX Zjednodušíme. 1 2 ( )
y = 1 D(f ) = R \ {} ; 1 y = ( 1) 2 ( ) 2 = y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 2( ) ( 1) 6 = 1 = 2 1 = 2 1 4 4 4 MAX 1 2 MAX 1 Máme derivaci. 2 ( )
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 1 MAX 1 2 MAX 1 2 Máme derivaci. ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 1 MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 Rovnice y = je ekvivalentní = 6 4 2 rovnici ( 2 2) 1 =. = 6 8 8 c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 1 MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 Vyznačíme stacionární = 6 4 bod 2 a bod nespojitosti ( 2)na osu. = 6 8 8 c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 1 MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 y () = 2 1 = > 1 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 1 MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 y ( 1 ) <, protože funkce = 6 4 2 mění znaménko ( z kladného na záporné. 2) = 6 8 8 c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 1 MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 Funkce má lokální minimum v bodě = 24 8 4 4 = 1. Funkční hodnota = 64 4 je 2 y( 1 8 8 2 ) = 2 1 = 1 2 = 4. 1 8 = 6 4 1 8 2 ( 2) = 6 8 8 c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 = 1 2 1 MAX 1 2 MAX 1 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 y (1) = 1 = 9 < = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 2 1 MAX y = 6 2 5 ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 = 6 2 5 in. c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 2 1 MAX y = 6 2 5 ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 = 6 2 5 in. c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 2 1 MAX y = 6 2 5 ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 = 6 2 5 in. c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 2 1 MAX y = 6 2 5 ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 = 6 2 5 in. c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 2 1 MAX y = 6 2 5 ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 = 6 2 5 in. c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 2 1 MAX y = 6 2 5 ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 = 6 2 5 in. c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; 1 2 1 MAX y = 6 2 5 ; 2 = 2 ( ) 2 1 y = = 24 (2 1)4 4 ( 4 ) 2 = 24 8 4 4 = 64 4 8 8 = 6 4 2 ( 2) = 6 8 8 = 6 2 5 in. c Robert Mařík, 28
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; y = 6 2 5 ; 2 = 2 1 2 1 MAX in. 2
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; y = 6 2 5 ; 2 = 2 1 2 1 MAX in. 2 y = pro 2 =, t.j. = 2.
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; y = 6 2 5 ; 2 = 2 1 2 1 MAX in. 2
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; y = 6 2 5 ; 2 = 2 1 2 1 MAX in. 2 y () = 6 = 6 >
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; y = 6 2 5 ; 2 = 2 1 2 1 MAX in. 2 y ( 1 ) = 6 2 1 5 <
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; y = 6 2 5 ; 2 = 2 1 2 1 MAX in. 2 Inflení bod = 2. y(2 ) = 2 1 25 5.75
y = 1 D(f ) = R \ {} ; y () = 2 1 4 ; y = 6 2 5 ; 2 = 2 1 2 1 MAX in. 2 y (1) = 6 5 1 = >
1 MAX 1 2 in. 2 f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 f ( 2 ).4 f (± ) =, f () =, f () = Shrneme dosažené výsledky.
1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () = 2 1 2 1
1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () = 2 1 2 1
1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () = 2 1 2 1
1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () = 2 1 2 1
1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () = 2 1 2 1
1 MAX 1 2 in. 2 lacements f ( 1 ) = f ( 1 2 ) = 4 y 1 f ( 2 ).4 f (± ) =, y f () =, f () = 2 1 2 1
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 = 2 c Robert Mařík, 28
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = Určíme definiční obor z podmínky Platí 1 1. 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1. = 2 c Robert Mařík, 28
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 Určíme průsečík 2( 2 s osou 1) y. = 2 1 ( 1) 2 = Dosadíme = a hledáme y(). 2( 2 1) = 2 = 2 c Robert Mařík, 28
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = Určíme průsečík 2( 2 s osou. 1) = 2 Dosadíme 1y = (a řešíme 1) 2 rovnici = 2( 2 1) 2 2 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = Čitatel musí být nula. 2( 2 1) 2 2 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 2( 2 1) ( 1) 2 = 2 1 = Tato kvadratická rovnice nemá řešení, protože ze vzorce 1 2( 2 1,2 = b ± b 2 4ac 1) = 2 2a 1 ( 1) 2 = Obdržíme záporný diskriminant. 2( 2 1) 2 1 D = (b 2 ) 4ac 2 = 1 4.1.1 = = < 2( 2 1) 2 2 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( y 2 1 Nakreslíme osu = 2 a bod nespojitosti ( 1) 2 = 1.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Víme, že y() = = 22 >. Funkce ( 1) 2 je kladná na (, 1). )
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( 2(4 y 2 2 1) Vypočteme y(2) = 1 >. Funkce je kladná na (1, ). = 2 (2 1) ( 1) 2 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( y 2 1 Určíme jednostranné = 2 ity ( 1) 2 v bodě nespojitosti
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Dosadíme = 21. ( 1) 2 )
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Odvodíme výsledek. = 2 ( 1) 2 )
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ( y 2 1 Určíme ity= v 2±. ( 1) 2 )
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( y 2 1 Uvažujeme jenom = 2 vedoucí ( 1) 2 členy.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou 1 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) = 2 1 ( 1) 2 = 2( 2 1) 2 2 = ± ( 1) 2 ± = 2 2 ± 1 = 2 ) ( Funkce má kladnou y 2 itu v 1±. Vodorovná přímka y = 2 je asymptotou ke = 2grafu v bodech ( 1) 2 ±.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 Vypočteme derivaci ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = 2 22 2 1 (2 2 2 2) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 Užijeme vzorec pro derivaci podílu. ( 1) 4 = 2 22 2 ( 1 (2 2 2 2) u ) ( 1) u v uv =. = 2 1 v ( 1) = 2 1 v 2 Užijeme vzorec pro derivaci ( složené 1) funkce při derivování výrazu ( 1) 2. 1
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou Vytkneme ( 1). ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = 2 22 2 1 (2 2 2 2) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
Roznásobíme závorky a zkrátíme ( 1). 1 c Robert Mařík, 28 y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = 2 22 2 1 (2 2 2 2) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1)
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou Upravíme čitatel. ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = 2 22 2 1 (2 2 2 2) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou ( y 2 1 = 2 ( 1) 2 Derivace je nalezena. ) = 2 (2 1)( 1)2 ( 2 1)2( 1)(1 ) (( 1) 2 ) 2 = 2( 1) (2 1)( 1) (2 1)2 ( 1) 4 = 2 22 2 1 (2 2 2 2) ( 1) = 2 1 ( 1) = 2 1 ( 1) 1
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 2 1 ( 1) = 1 = = min 1 ( ) 1 y = 2 Řešíme rovnici y =. ( 1) 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 )
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 2 1 ( 1) = 1 = = min 1 ( ) 1 y = 2 Čitatel musí být nula. Stacionárním ( 1) bodem je tedy =. 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 )
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = 2 2 4 ( 1) = 4 2 Zakreslíme stacionární bod a bod 4 nespojitosti ( 1) 4 na reálnou osu.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 Určíme y (2). min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y (2) = 2 2 1 hodnota = 2 2 4 = ( 1) = 4 2záp. (2 1) záp. 2 hodnota < 4 ( 1) 4
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 Určíme y (). min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y () = 2 1 kladná hodnota = 2 2 4 = 2 ( 1) ( 1) = 4 záporná 2 hodnota > 4 ( 1) 4
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 min ( ) 1 y = 2 ( 1) = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) Lokální minimum je v bodě =. Funkční 2 hodnota je 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y() = 2(()2 () 1) = 2 2 4 ( 1) = 4 2 = 2. ( 1) 2 4 = 2. 4 ( 1) 4 1
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 min ( ) 1 y = 2 ( 1) 1 = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 y (2) = 2 2 = 2 4 2 1 (2 ( 1) = 4 1) = 22 1 < 4 ( 1) 4
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Vypočteme druhou derivaci. = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = 2 2 4 ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = 2 2 4 ( 1) = 4 2 4 ( 1) 4 Použijeme y = 4 2 pravidlo pro derivaci podílu. Jmenovatel ( 1) ; 4 2 budeme = 2 derivovat jako složenou funkci. 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Vytkneme ( 1) 2 v čitateli. = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = 2 2 4 ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Upravíme. = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = 2 2 4 ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 ( ) 1 y = 2 ( 1) = 2 1( 1) ( 1)( 1) 2 (1 ) (( 1) ) 2 2 ( 1) ( 1) = 2( 1) ( 1) 6 = 2 2 4 ( 1) 4 = 4 2 ( 1) 4 y = 4 2 ( 1) ; 4 2 = 2 Obdrželi jsme druhou derivaci. 2
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 4 2 ( 1) 4 = 2 = = 2 in. 2 1 Řešíme y =.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 4 2 ( 1) 4 = 2 = = 2 in. 2 1 Jediné řešení je = 2.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 Budeme určovat intervaly konvenosti a konkavity. Zakreslíme bod, kde je druhá derivace nulová a bod nespojitosti na reálnou osu.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 y 2 () = 4 kladná hodnota <
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 y 2 () = 4 kladná hodnota >
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 Inflení bod je v bodě = 2. Funkční hodnota je (Vypočtěte si sami.) y(2) = 14 9.
y = 2(2 1) ( 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2; není průsečík s osou y = 2 1 ( 1) ; 1 =... lok. minimum, y() = 2 y = 4 2 ( 1) 4 ; 2 = 2 in. 2 1 y 2 1 (2) = 4 kladná hodnota >
min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f () = 2 f (2) = 14 9 Shrneme dosavadní znalosti.
y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = 2 2 1 f (1±) = f () = 2 y f (2) = 14 9 1 2 2 2 1 Nakreslíme souřadnou soustavu.
y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = 2 2 1 f (1±) = f () = 2 y f (2) = 14 9 1 2 2 2 1 Vyznačíme průsečík s osou y. Funkce v tomto bodě roste.
y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = 2 2 1 f (1±) = f () = 2 y f (2) = 14 9 1 2 2 2 1 Nakreslíme asymptoty.
y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = 2 2 1 f (1±) = f () = 2 y f (2) = 14 9 1 2 2 2 1 Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty.
y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = 2 2 1 f (1±) = f () = 2 y f (2) = 14 9 1 2 2 2 1 Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty.
y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = 2 2 1 f (1±) = f () = 2 y f (2) = 14 9 1 2 2 2 1 Nakreslíme lokální minimum funkce.
y 1 min 1 1 in. 1 2 f () = 2 f (± ) y = 2 2 1 f (1±) = f () = 2 y f (2) = 14 9 1 2 2 2 1 Hotovo!
y = 2 ( 2 ) ( 2) ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2 c Robert Mařík, 28 y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ±
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Definiční obor určíme y z podmínky = 2 ( 2 ) 2. (Dostáváme 2) dva body nespojitosti ±. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± = 2 ± = = 2 ± Průsečík s osou y má druhou souřadnici y = 2 y() (= 2 ) ( 2) =. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Řešením rovnice y = 2 = získáváme ( 2 ) jediný ( průsečík 2) s osou, bod 2 =. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± y = 2 ( 2 ) ( 2) Nulový bod a body nespojitosti ( vyneseme ( 2 ) 2 na ) reálnou osu. 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± = Platí 2 y(2) = 8 y = 2 ( 2 ) 4 = 8 > ( 2) a graf funkce je nad osou ( na intervalu ( 2 (, ) 2 ) ). 2 2 2 = ±
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± = Platí 2 y() = y = 2 ( 2 1 = ) 2 < ( 2) a graf funkce je pod osou ( na intervalu ( 2 ( ) 2 ), ). 2 2 2 = ±
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Platí y(1) = 1 y = 2 ( 2 1 = 1 ) 2 > ( 2) a graf funkce je nad osou ( na intervalu ( 2 (, ) 2 ) ). 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Platí y(2) = 8 y = 2 ( 4 = 8 < 2 ) ( 2) a graf funkce je pod osou ( na intervalu ( 2 () 2, ) ). 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± y = 2 ( 2 ) ( 2) Budeme zkoumat jednostranné ( ity ( v bodech 2 ) 2 ) nespojitosti. 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± = 2 ± = = 2 ± nenulový výraz Všechny ity jsou typu a jednostranné ity jsou nevlastní. Správné znaménko y = 2 ( snadno 2 ) zjistíme ( ze 2) schematu uvedeného výše. ( ( 2 ) 2 ) 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± y = 2 ( 2 ) ( 2) Vypočteme ity v nevlastních ( bodech. ( 2 ) 2 ) 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = = 27 2 = 2 = 27 = 27 = 2 = 2 = 27 = ± 2 = ± 2 = = ± Jedná se o podíl polynomů. y = 2 V (nevlastních 2 ) bodech ( 2) je podstatná pouze závislost na vedoucích členech ( polynomů ( 2 ) 2 v ) čitateli a ve jmenovateli. 2 2 2
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = y = 2 ( 2 ) ( 2) ( 2 ) 2 2( ( 2 ) 2 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) = Budeme hledat derivaci funkce. ( 2 Derivujeme ) 2 podíl podle vzorce 2 2( 9 2) y = ; ( 2 ) 2 ( u ) u v u v =. v v min 2 MAX
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = y = 2 ( 2 ) ( 2) ( 2 ) 2 2( ( 2 ) 2 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) y Vytkneme = 2. ; ( 2 ) 2 min MAX
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = y = 2 ( 2 ) ( 2) ( 2 ) 2 2( ( 2 ) 2 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) = ( 2 ) 2 2( 9 2) y Upravíme = závorku. ; ( 2 ) 2 min MAX
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] Řešením rovnice = 2 (9 2 ) = jsou body = a = ±. Tyto stacionární body vyneseme(spolu 2 s) [ body nespojitosti na reálnou osu. ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) Červeně označené = výrazy v derivaci ( jsou 2 ) 4 kladné a neovlivní výsledné znaménko derivace. Stačí tedy zjišt ovat znaménko 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] výrazu (9 2 ). Pro = 4 platí = 9 2 = 9 ( 2 ) [ (4) 2 <. ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 2 platí 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] = 9 2 = 9 ( 2 ) [ (2) 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) V bodě = je lokální minimum. Funkční ( 2 ) 4 hodnota je 2 [279 y() 2 = 6 2 27 2 4 18 2 2 4] = 9 = 27 6 = 9 2 ( 2 ) [ ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = platí 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] = 9 2 = 9 ( 2 ) [ () 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 1 platí 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] = 9 ( 2 = 2 ) 9 [ 1 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 2 platí 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] = 9 ( 2 = 2 ) 9 [ 2 2 >. ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 Pro = 4 platí 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] = 9 ( 2 = 2 ) 9 [ 4 2 <. ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 průsečík s : = 2( 9 2) y = ( 2 ) 2 ; min MAX y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) V bodě = je lokální maimum. Funkční ( 2 ) 4 hodnota je 2 [279 y() 2 = 6 27 2 4 18 2 2 4] = 9 = 27 6 = 9 2 ( 2 ) [ ] 2 c Robert Mařík, 28
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] Derivujeme= funkci ( 2 ) 2 [27 2 2] (9 2 ) ( 2 ) = 92 4 2 ( 2 ) 2 = podle vzorce ( 2 ) ( u ) 2 [27 2] u v u v =. v v 2 y = ; = ( 2 )
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) = ( 2 ) 4 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] = ( 2 ) 2 [27 2] Protože jsme ve jmenovateli neroznásobovali, ale derivovali jako = složenou funkci, ( 2 nezbavili ) jsme se možnosti vytknout. Nyní tedy vytkneme 2 [27 2] členy, které se v čitateli opakují. y = ; = ( 2 )
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 = = = [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) ( 2 ) 4 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] ( 2 ) 2 [27 2] ( 2 ) Zkrátíme 2 [27 2] y a roznásobíme závorky. = ; = ( 2 )
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 y = (18 4 ) ( 2 ) 2 (9 2 4 ) 2( 2 )(2) (( 2 ) 2 ) 2 = = = [ ] 2( 2 ) (9 2 2 )( 2 ) (9 )(2) ( 2 ) 4 2 [279 2 6 2 2 4 18 2 2 4] ( 2 ) 2 [27 2] ( 2 ) Výrazy 2 [27 2] y v hranaté závorce se sečtou resp. = ; = odečtou. ( 2 )
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. Druhá derivace je vypočtena. Nyní hledáme řešení rovnice y =. Protože výraz (27 2 ) je stále kladný, je jediným řešením této rovnice bod =.
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. Na reálnou osu vyneseme bod = (y () = ) a body, kde je druhá derivace nespojitá.
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Platí Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 (2) [kladný výraz] záporný výraz (2) = = ( (2) 2 ) záporný výraz > a funkce je konvení na intervalu obsahujícím číslo 2.
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Platí Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 () [kladný výraz] záporný výraz () = = ( () 2 ) kladný výraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo.
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce Platí má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 1 [kladný výraz] kladný výraz (1) = = ( 1 2 ) kladný výraz > a funkce je konvení na intervalu obsahujícím číslo 1.
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 2 [27 2] y = ; = ( 2 ) Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce Platí má proto v nevlastních bodech asymptotu y =. y 2 2 [kladný výraz] kladný výraz (2) = = ( 2 2 ) záporný výraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo 1.
y = D(f ) = R \ {± }; y() = 2 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí = 2 2 První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y =.
min MAX f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = Shrneme nejdůležitější výsledky.
2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y 1 2 2 y Zakreslíme svislé asymptoty a funkci v okolí těchto asymptot.
2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y 1 2 2 y Podobně zakreslíme šikmou asymptotu a funkci v okolí této asymptoty. Dáváme pozor na konkavitu/konveitu.
2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y 1 2 2 y Zakreslíme funkci v okolí stacionárního bodu, který není lokálním etrémem.
2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y 1 2 2 y Zakreslíme lokální etrémy.
2 1 min MAX 1 2 f () = ; f (±) = 9 2 f (± ) = ; f ( ±) = ; f ( ±) = y 1 2 2 y Dokreslíme celý graf.
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = = 1 Určíme definiční obor ve jmenovateli nesmí 2 být nula. Řešením rovnice y = (2 1) ( 2 1) 1 = ( 2 1) ( 2 1) je = ±1. Tyto body je nutno vyloučit ( 2 z 1) definičního 2 oboru a jedná se o body nespojitosti. = 2 (2 1) ( 2 1) 2 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Dosazením = určíme y() = 1 =, 2 což je průsečík s osou y. = 2 (2 1) ( 2 1 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = Rovnice y = (2 1) ( 2 1) 1 = ( 2 1) ( 2 1) nemá v oboru reálných čísel řešení (a 2 funkce 1) 2 tedy není nikdy rovna nule. Graf nemá průsečík = 2 s osou. (2 1) ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = Znaménko funkce y = se (2 může 1) změnit ( 2 1) nanejvýš ( 2 v1) bodě ( 2 nespojitosti 1) (protože není průsečík s osou ). Vyneseme ( 2 1) 2 tedy body nespojitosti na reálnou osu. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Dosazením = 2 zjistíme, že y(2) = (2)2 1 ( 2 1) (2) 2 2 1 = 5 > a funkce je kladná na intervalu = 2 obsahujícím číslo (2 1) ( 2 2. 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = Dosazením = y = jsme (2 již1) dříve ( 2 zjistili 1) (když ( 2 jsme 1) ( počítali 2 1) průsečík s osou y), že y() = a funkce je (záporná 2 1) 2 na intervalu obsahujícím číslo. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Dosazením = 2 zjistíme, že y(2) = (2)2 1 ( 2 (2) 1) 2 2 1 = 5 > a funkce je kladná na intervalu = 2 obsahujícím číslo (2 1) ( 2 2. 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = Určíme jednostranné ity y = (2 1) v bodech ( 2 nespojitosti. 1) ( 2 Všechny 1) ( 2 1) jednostranné ity jsou typu 2 a výsledkem ( 2 1) 2 budou nevlastní ity, tj. nekonečno, opatřené = 2 správným znaménkem. (2 1) ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) Podle znamének funkce na jednotlivých ( 2 1) podintervalech 2 snadno odvodíme správné výsledky. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 2 1 2 1 = 2 = 1 2 2 1 1 2 1 = 2 = 2 1 1 2 1 = 2 = Určíme ity v nevlastních y = (2 1) bodech. ( 2 1) Protože ( 2 se 1) jedná ( 2 o 1) racionální funkci, jsou pro itu v nevlastním(bodě 2 1) rozhodující 2 pouze vedoucí členy čitatele a jmenovatele. = 2 (2 1) ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) 2 2 1 ( 2 1) Derivujeme podíl = ( 2 1) ( ) 2 y = 2 1 2 2 2 1 = ( 2 1) = 4 podle vzorce ( u 2 ) ( 2 1) 2 u v u v =. y 4 v = MAX v 2 ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) 2 2 1 ( 2 1) = ( 2 1) ( ) 2 2 2 = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Dopočítáme y 4 derivace. = MAX ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) 2 2 1 ( 2 1) = ( 2 1) ( ) 2 2 2 = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Vytkneme y 4výraz 2 v čitateli. = MAX ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) 2 2 1 ( 2 1) = ( 2 1) ( ) 2 2 2 = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Upravíme y 4závorku. = MAX ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 1 y = (2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 (2 1) ( 2 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) 2 2 1 ( 2 1) = ( 2 1) ( ) 2 2 2 = ( 2 1) = 4 2 ( 2 1) 2 Dokončíme y 4 úpravy = MAX ( 2 1) 2
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( 2 1 4 2) = 4 ( 2 1) 4 = 4 2 1 ( 2 1) = 4 2 1 ( 2 1) Derivace y je2 nula 1 pro =, což je = 4 jediný stacionární bod. Vyneseme tento stacionární ( 2 1) bod a body nespojitosti na 1 reálnou osu.
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( 2 1 4 2) = 4 ( 2 1) 4 Jmenovatel zlomku je pořád nezáporný = 4 2 1 ( 2 1) = 4 2 (jedná se o sudou mocninu). O znaménku tedy rozhoduje pouze 1čitatel zlomku. ( 2 1) Protože v čitateli je (4), má derivace přesně opačné znaménko jako y proměnná 2 1. = 4 ( 2 1) 1
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( 2 1 4 2) = 4 ( 2 1) 4 = 4 2 1 ( 2 1) = 4 2 1 ( 2 1) V bodě y = 2 má 1 funkce lokální = 4 maimum. Funkční hodnota v tomto bodě je y() ( 2 = 1) (bylo počítáno jako průsečík 1 s osou y).
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 Budeme hledat druhou derivaci. ( 2 1) Derivujeme ( 2 1 podíl 4 2) = 4 y ( 2 1) = 4 4 = 4 2 1 ( 2 1) ( 2 1) = 4 22 1 podle vzorce ( 2 1) ( u ) u v u v y 2 1 =. = 4 v v 2 ( 2 1) 1
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( 2 1 4 2) = 4 ( 2 1) 4 = 4 2 1 ( 2 1) = 4 2 1 ( 2 1) Protože jsme y 2 výraz 1 ( 2 1) 2 derivovali = 4 jako složenou funkci, nezbavili jsme se možnosti ( 2 1) vytknout v čitateli a poté zkrátit. 1
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( 2 1 4 2) = 4 ( 2 1) 4 = 4 2 1 ( 2 1) = 4 2 1 ( 2 1) y 2 1 Provedeme = 4 ( 2 krácení 1) a upravíme výraz v závorce. 1
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 1 MAX 1 y = 4 1 (2 1) 2 2( 2 1) 2 ( 2 1) 4 ( 2 1) ( 2 1 4 2) = 4 ( 2 1) 4 = 4 2 1 ( 2 1) = 4 2 1 ( 2 1) y 2 1 Dokončíme = 4 ( 2 úpravy. 1) 1
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 2 1 ( 2 1) 1 MAX 1 1 Druhá derivace není nikdy nulová, protože rovnice ( 2 1) = nemá řešení v oboru reálných čísel. Znaménko derivace se může změnit nejvýše skokem v bodě nespojitosti. Vyneseme na reálnou osu body nespojitosti.
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 2 1 ( 2 1) 1 MAX 1 1 Funkce je konvení na intervalu (, ), protože číslo (2) leží v tomto intervalu a y (2) = 4 kladný výraz [(2) 2 1] >
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 2 1 ( 2 1) 1 MAX 1 1 Funkce je konkávní na intervalu (, 1), protože číslo leží v tomto intervalu a funkce je v tomto bodě nutně konkávní (je zde stacionární bod a lokální maimum funkce je pod tečnou).
y = 2 1 2 1 není průsečík s osou y = y = 4 D(f ) = R \ {, 1}; průsečík s osou y: [, ]; 4 ( 2 1) 2 2 1 ( 2 1) 1 MAX 1 1 Funkce je konvení na intervalu (1, ), protože číslo 2 leží v tomto intervalu a y kladný výraz (2) = 4 > (2 2 1)
MAX 1 1 1 f () = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± Shrneme nejdůležitější výsledky.
1 2 MAX 1 1 1 f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± 1 2 2 y y 1 1 Zakreslíme soustavu souřadnic a asymptoty.
1 2 MAX 1 1 1 f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± 1 2 2 y y 1 1 Načrtneme funkci v okolí svislých asymptot. Využijeme monotonie.
1 2 MAX 1 1 1 f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± 1 2 2 y y 1 1 Načrtneme funkci v okolí vodorovné asymptoty. Opět využijeme schema s monotonií.
1 2 MAX 1 1 1 f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± 1 2 2 y y 1 1 Zakreslíme lokální maimum.
1 2 MAX 1 1 1 f () y = ; f (± ) = 1; f (±) = ; f (1±) = ± 1 2 2 y y 1 1 Dokreslíme celý graf.
KONEC