Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9
Slovník základních pojmů Množina generátorů lineárního prostoru, (uspořádaná) báze lineárního prostoru, dimense lineárního prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi. Spojení dvou lineárních podprostorů lineárního prostoru. Základní fakta o dimensi Pro každé n 0 je dim(f n ) = n. Pro n = 0 je K 0 = (jediná, tudíž i kanonická) uspořádaná báze prostoru F 0 = { o}. Pro n je seznam K n = (e,..., e n ) kanonická báze prostoru F n. Zde e i má na i-té posici, všude jinde 0. Příklady lineárních prostorů, které nemají konečnou dimensi: Prostor R[x] všech reálných polynomů. Prostor C(R; R) všech spojitých funkcí z R do R. Prostor R (s obvyklými operacemi) nad tělesem Q. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9
Důležitá poznámka Dimense lineárního prostoru typicky závisí na volbě skalárů. Například: Prostor R nad tělesem R má dimensi. Prostor R nad tělesem Q nemá konečnou dimensi. Kdykoli není jasné nad jakým tělesem F o daném lineárním prostoru L uvažujeme, budeme poctivě psát lineární prostor L nad F. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9
Báze a dimense: početní příklady Rozhodněte, zda seznamy B, B, B jsou (uspořádané) báze lineárního prostoru R nad R, kde 0 B = (,, 0 ) B = ( B = (,, ), 4 4 4 ) Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 4/9
Báze a dimense: početní příklady (pokrač.) Chápejte C (spolu s obvyklými operacemi) jako lineární prostor nad tělesem R. Nalezněte dvě různé uspořádané báze B, B lineárního prostoru C nad R. Uspořádané báze B a B se nesmí lišit pouze pořadím svých prvků. Porovnejte: dim(c n ), kde C n je lineární prostor nad tělesem C. dim(c n ), kde C n je lineární prostor nad tělesem R. Nalezněte dvě různé uspořádané báze B, B lineárního prostoru Q [x] = {p(x) Q[x] deg(p(x)) } nad Q. Uspořádané báze B a B se nesmí lišit pouze pořadím svých prvků. 4 Nalezněte bázi lineárního podprostoru span{ + x, + x} v prostoru C[x] nad C. 5 At V a W jsou lineární podprostory prostoru R 5 nad R, at dim(v ) = dim(w ) =. Co lze říci o dim(v W )? Co lze říci o dim(v W )? Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 5/9
Báze: teoretické příklady At seznam B = ( b,..., b n ) tvoří uspořádanou bázi lineárního prostoru L nad F, n. At se seznam C liší od seznamu B pouze pořadím svých prvků. Dokažte, že C je uspořádaná báze prostoru L. Dejte tomuto tvrzení geometrickou interpretaci. Dokažte, že žádný seznam tvaru B = ( b,..., b n ) nemůže tvořit bázi prostoru F n nad F, kde n. At L je lineární prostor konečné dimense nad F. Navrhněte algoritmy, řešící následující problémy: Pro lineárně nezávislý seznam S hledáme uspořádanou bázi B prostoru L tak, aby seznam S byl prefixem seznamu B. a Pro konečnou množinu G, která generuje L, hledáme uspořádanou bázi B prostoru L tak, aby seznam B obsahoval pouze prvky množiny G. b a Tj. seznam S chceme rozšířit na bázi B. b Tj. z konečné množiny generátorů G chceme vybrat bázi B. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 6/9
Báze: teoretické příklady (pokrač.) 4 Navrhněte algoritmus pro nalezení (nějaké) báze lineárního prostoru konečné dimense. Souřadnice: početní příklady ( Najděte souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi ( ) ( ) B = (, ) ( ) ( ) C = (, ) ( ) ( ) D = (, ) ) v prostoru R nad R Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 7/9
Souřadnice: početní příklady (pokrač.) V prostoru R [x] nad R nalezněte souřadnice polynomu p(x) = 6x 7x + vzhledem k bázi B = (, x, x, x ) C = (, 7x, 5x, 6x ) Jak se změní souřadnice v bázi B pro polynom d dx p(x) = 8x 7? At B = ( b, b, b ) je jakákoli uspořádaná báze prostoru R v nad R. Označme coord B ( v) = v. v Ukažte, že platí: jestliže v 0, potom je seznam ( v, b, b ) opět uspořádaná báze prostoru R. Dejte tomuto výsledku a geometrickou interpretaci. a V plné obecnosti se tomuto výsledku říká Exchange Lemma (také: Steinitzova věta o výměně), viz další stranu. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 8/9
Exchange Lemma (Steinitzova věta o výměně) Dokažte následující tvrzení: a At B = ( b,..., b n ) je jakákoli uspořádaná báze lineárního prostoru L nad F, n. At v je libovolný vektor z L a at B[ v b i ] je seznam vektorů, který se od B liší pouze výměnou vektoru b i za vektor v. v v Dále označme coord B ( v) =.. Potom pro libovolné i =,..., n platí: jestliže v i 0, potom je seznam B[ v b i ] opět uspořádaná báze prostoru L. a Nevíte-li jak: projděte si podrobně Lemma..0 skript. v n Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 9/9