Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu



Podobné dokumenty
Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Lineární zobrazení. 5. f(u) = u + v, kde v je pevně daný nenulový vektor z R f(u) = o.

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

1 Lineární prostory a podprostory

Transformace souřadnic

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

10. Vektorové podprostory

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

Lineární algebra : Báze a dimenze

Báze a dimenze vektorových prostorů

Matematika 2 pro PEF PaE

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

Česká republika - ŽENY

2016 Česká republika ŽENY (aktuální k )

Lineární algebra : Lineární prostor

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

Program SMP pro kombinované studium

Matematika B101MA1, B101MA2

Cvičení z Lineární algebry 1

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

Polynomy. Matice a determinanty. 1. Rozložte na součin kořenových činitelů polynom. P(x) = x 4 6x Řešení: x 4 6x 2 +8 = (x+2)(x 2)(x+ 2)(x 2)

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

Obecná úloha lineárního programování

1 Soustavy lineárních rovnic

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

)(x 2 + 3x + 4),

19. Druhý rozklad lineární transformace

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:

1 Řešení soustav lineárních rovnic

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

Lineární algebra : Změna báze

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

15 Maticový a vektorový počet II

Úlohy nejmenších čtverců

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

Arnoldiho a Lanczosova metoda

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

Vlastní čísla a vlastní vektory

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Lineární (ne)závislost

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

7. Lineární vektorové prostory

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Lineární algebra Eva Ondráčková

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Principy indukce a rekurentní rovnice

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Singulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)

Symetrické a kvadratické formy

1 Projekce a projektory

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

Lineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

9. Vektorové prostory

Matematika B101MA1, B101MA2

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

Transkript:

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9

Slovník základních pojmů Množina generátorů lineárního prostoru, (uspořádaná) báze lineárního prostoru, dimense lineárního prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi. Spojení dvou lineárních podprostorů lineárního prostoru. Základní fakta o dimensi Pro každé n 0 je dim(f n ) = n. Pro n = 0 je K 0 = (jediná, tudíž i kanonická) uspořádaná báze prostoru F 0 = { o}. Pro n je seznam K n = (e,..., e n ) kanonická báze prostoru F n. Zde e i má na i-té posici, všude jinde 0. Příklady lineárních prostorů, které nemají konečnou dimensi: Prostor R[x] všech reálných polynomů. Prostor C(R; R) všech spojitých funkcí z R do R. Prostor R (s obvyklými operacemi) nad tělesem Q. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9

Důležitá poznámka Dimense lineárního prostoru typicky závisí na volbě skalárů. Například: Prostor R nad tělesem R má dimensi. Prostor R nad tělesem Q nemá konečnou dimensi. Kdykoli není jasné nad jakým tělesem F o daném lineárním prostoru L uvažujeme, budeme poctivě psát lineární prostor L nad F. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9

Báze a dimense: početní příklady Rozhodněte, zda seznamy B, B, B jsou (uspořádané) báze lineárního prostoru R nad R, kde 0 B = (,, 0 ) B = ( B = (,, ), 4 4 4 ) Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 4/9

Báze a dimense: početní příklady (pokrač.) Chápejte C (spolu s obvyklými operacemi) jako lineární prostor nad tělesem R. Nalezněte dvě různé uspořádané báze B, B lineárního prostoru C nad R. Uspořádané báze B a B se nesmí lišit pouze pořadím svých prvků. Porovnejte: dim(c n ), kde C n je lineární prostor nad tělesem C. dim(c n ), kde C n je lineární prostor nad tělesem R. Nalezněte dvě různé uspořádané báze B, B lineárního prostoru Q [x] = {p(x) Q[x] deg(p(x)) } nad Q. Uspořádané báze B a B se nesmí lišit pouze pořadím svých prvků. 4 Nalezněte bázi lineárního podprostoru span{ + x, + x} v prostoru C[x] nad C. 5 At V a W jsou lineární podprostory prostoru R 5 nad R, at dim(v ) = dim(w ) =. Co lze říci o dim(v W )? Co lze říci o dim(v W )? Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 5/9

Báze: teoretické příklady At seznam B = ( b,..., b n ) tvoří uspořádanou bázi lineárního prostoru L nad F, n. At se seznam C liší od seznamu B pouze pořadím svých prvků. Dokažte, že C je uspořádaná báze prostoru L. Dejte tomuto tvrzení geometrickou interpretaci. Dokažte, že žádný seznam tvaru B = ( b,..., b n ) nemůže tvořit bázi prostoru F n nad F, kde n. At L je lineární prostor konečné dimense nad F. Navrhněte algoritmy, řešící následující problémy: Pro lineárně nezávislý seznam S hledáme uspořádanou bázi B prostoru L tak, aby seznam S byl prefixem seznamu B. a Pro konečnou množinu G, která generuje L, hledáme uspořádanou bázi B prostoru L tak, aby seznam B obsahoval pouze prvky množiny G. b a Tj. seznam S chceme rozšířit na bázi B. b Tj. z konečné množiny generátorů G chceme vybrat bázi B. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 6/9

Báze: teoretické příklady (pokrač.) 4 Navrhněte algoritmus pro nalezení (nějaké) báze lineárního prostoru konečné dimense. Souřadnice: početní příklady ( Najděte souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi ( ) ( ) B = (, ) ( ) ( ) C = (, ) ( ) ( ) D = (, ) ) v prostoru R nad R Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 7/9

Souřadnice: početní příklady (pokrač.) V prostoru R [x] nad R nalezněte souřadnice polynomu p(x) = 6x 7x + vzhledem k bázi B = (, x, x, x ) C = (, 7x, 5x, 6x ) Jak se změní souřadnice v bázi B pro polynom d dx p(x) = 8x 7? At B = ( b, b, b ) je jakákoli uspořádaná báze prostoru R v nad R. Označme coord B ( v) = v. v Ukažte, že platí: jestliže v 0, potom je seznam ( v, b, b ) opět uspořádaná báze prostoru R. Dejte tomuto výsledku a geometrickou interpretaci. a V plné obecnosti se tomuto výsledku říká Exchange Lemma (také: Steinitzova věta o výměně), viz další stranu. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 8/9

Exchange Lemma (Steinitzova věta o výměně) Dokažte následující tvrzení: a At B = ( b,..., b n ) je jakákoli uspořádaná báze lineárního prostoru L nad F, n. At v je libovolný vektor z L a at B[ v b i ] je seznam vektorů, který se od B liší pouze výměnou vektoru b i za vektor v. v v Dále označme coord B ( v) =.. Potom pro libovolné i =,..., n platí: jestliže v i 0, potom je seznam B[ v b i ] opět uspořádaná báze prostoru L. a Nevíte-li jak: projděte si podrobně Lemma..0 skript. v n Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu 9/9