První derivace a lokální extrémy Robert Mařík 6. března 2007
Obsah Extrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1.... 3 ( ) 1 + x 4 Extrémyfunkce y =.... 19 1 x x Extrémyfunkce y = (1 + x) 3..... 33 Extrémyfunkce y = x3... 47 x 1 Extrémyfunkce y = 3x + 1 x 3... 63 Extrémyfunkce y = x 2 e x... 80 Extrémyfunkce y = x2 ln x.... 93
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1aurčete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x + 1 + 0 = 3x 2 4x + 1 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 = 4 ± 2
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1aurčete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x + 1 + 0 = 3x 2 4x + 1 Určíme definiční 3x 2 4x obor + 1 funkce. = 0 Nejsou žádná omezení, je x 1,2 = 4 tedy ± ( 4) funkce 2 definovaná(a 4 3 1 spojitá) na R. 2 3 = 4 ± 2
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x + 1 + 0 = 3x 2 4x + 1 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 Vypočteme derivaci. Užijeme= vzorec 4 ± 2 pro derivaci součtu a násobku. 6
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x + 1 + 0 = 3x 2 4x + 1 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 Vypočítámejednotlivéderivacepodlevzorce = 4 ± 2 (x n ) = nx n 1. 6
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x + 1 + 0 = 3x 2 4x + 1 Upravíme. 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 = 4 ± 2 6
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 = 4 ± 2 6 Chcemezjistit,kdefunkcerosteakdeklesá. x 1 = 1 Ktomustačízjistit,kdejekladnáakdejezápornáderivace. x 2 = 1 3 Musíme tedy nejprve hledat body, kde derivace může změnit znaménko. Body MAX nespojitosti derivace nemá a soustředíme se min na body, kde je derivace nulová. x 2 = 1 x 1 = 1
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 = 4 ± 2 6 x 1 = 1 Řešímekvadraticourovnici.Řešenírovnice x 2 = 1 ax 2 + bx + c = 0 je 3. xmax 1,2 = b ± b 2 4ac 2a min x 2 = 1 x 1 = 1
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 = 4 ± 2 6 x 1 = 1 x 2 = 1 3 Upravíme. MAX min x 2 = 1 x 1 = 1
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) 2 4 3 1 2 3 = 4 ± 2 6 x 1 = 1 x 2 = 1 3 MAX min Určíme řešení. Rovnice má x 2 = 1 dva reálné různé x 1 kořeny. = 1
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. Body nespojitosti nejsou, nevynášíme tedy už nic dalšího.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Zvolímečíslozprvníhointervalu (, 1 3 ).Uvažujmenapříklad číslo ξ 1 = 0. Vypočteme y (0) = 3 0 2 4 0+1 = 1 > 0.Funkcejerostoucí naintervalu (, 1 3 ).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Podobně,protožeplatí y ( 1 2 ) = 31 4 41 2 + 1 = 1 4 < 0,jefunkce klesajícínaintervalu ( 1 3, 1).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonieseměnívbodě x 2.Funkcemávtomtobodělokání maximum.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Platí y (2) = 3 2 2 4 2 + 1 = 5
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonieseměnívbodě x 1 = 1ajezdelokálníextrém lokální minimum.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 Hotovo!
min c Robert Mařík, 2007 Najděte lokální extrémy funkce y = monotonosti. ( ) 1 + x 4 aurčeteintervaly 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) 3 1 + x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x + 1 + x (1 x) 2 (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 Stacionárníbod: x 1 = 1
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) 3 1 + x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x + 1 + x (1 x) 2 Určíme definiční obor(1 funkce. + x)3 Jediné omezení pochází ze = 8 jmenovatele zlomku. (1 x) 5 1 x 0, t.j. Stacionárníbod: x 1 = 1 x 1. min
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) 3 1 + x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x + 1 + x (1 x) 2 Derivujeme složenou (1 + x)3 funkci. Vněší složka je mocninná funkce, kterouderivujemepodlepravidla = 8 (1 x) 5 (x 4 ) = 4x 3. Vnitřní složka je zlomek, který derivujeme podle pravidla ( u ) u v uv Stacionárníbod: = v x 1 v 2 = 1. min
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) 3 1 + x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x + 1 + x (1 x) 2 (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 Stacionárníbod: x 1 = 1 Upravíme druhý zlomek. min
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) 3 1 + x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x + 1 + x (1 x) 2 (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 Stacionárníbod: x 1 = 1 Ještě upravíme. min
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 Stacionárníbod: x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Našlijsmederivaci y. Omezenína xplynoucízy jsoustejná,jakobylaupůvodní funkce.derivacejetedydefinovánanamnožině R \ {1}.
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 Stacionárníbod: x 1 = 1 min x 1 = 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Hledámebody,kde y = 0. Podíljenula,pokudječitatelnula. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice (1 + x) 3 = 0. 1
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Vyznačíme stacionární bod a bod nespojitosti na osu. Osa je rozdělena na tři podintervaly. Na každém podintervalu má funkce ve všech bodech tentýž typ monotonie.
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Zkoumáme typ monotonie na intervalu (, 1) Vybereme libovolný testovací bod z tohoto intervalu. Buď ξ 1 = 2takovýtestovacíbod. Určíme derivaci v tomto bodě.
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y (1 2)3 ( 2) = 8 (1 ( 2)) 5 = 8 1 3 5 < 0. Derivacejezápornáafunkceklesávbodě ξ 2 = 2anaintervalu (, 1).
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobněnaložímesbodem ξ 2 = 0,kterýnáležídointervalu ( 1, 1) asplňuje y (0) = 8 1 1 5 > 0. Funkcejerostoucívbodě ξ 2 = 0anaintervalu ( 1, 1).
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně,bod ξ 3 = 2patřídointervalu (1, )asplňuje y (1 + 2)3 (2) = 8 (1 2) 5 < 0. Funkcejeklesajícívbodě ξ 3 = 2anaintervalu (1, ).
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Funkcemálokálníminimumvx= 1. Funkce nemá žádný další lokální extrém. Zejména, funkce nemá extrémvbodě x = 1,protože 1 Dom(f ).
Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 Hotovo!
MAX c Robert Mařík, 2007 Najděte lokální extrémy funkce y = monotonie. x (1 + x) 3 aurčeteintervaly Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x (1 + x) 4 Stacionárníbod: x 1 = 1 2
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 Určíme definiční obor. = Jediné 1 2x (1 + omezení x) 4 plyne ze jmenovatele zlomku: Stacionárníbod: t.j. x 1 = 1 2 1 + x 0, x 1. MAX
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x Derivujeme funkci podle (1 + x) pravidla 4 pro derivaci podílu. Přiderivováníjmenovatele (1 + x) 3 neumocňujeme,alepoužijemeřetězovépravidlo Stacionárníbod: x 1 = 1 ((1+x) 3 ) = 3(1+x) 2 (1+x) = 3(1+x) 2. Tento trik umožní 2 v dalším kroku vytknout a zkrátit. MAX
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x (1 + x) 4 Stacionárníbod: x 1 = 1 Upravímečitateldruhéhozlomku.Vytknemevýraz 2 (1 + x) 2 před závorku v čitateli. MAX
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x (1 + x) 4 Stacionárníbod: x 1 = 1 2 Zkrátíme (1 + x) 2 aupravíme. MAX
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Mámederivaci y. Definiční obor této derivace se shoduje s definičním oborem původnífunkce,t.j. R \ { 1}. Budeme zkoumat znaménko derivace.
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = 1 2 MAX 1 x 1 = 1 2 Hledámenejprvebody,kdeplatí y ( 2) > 0 y y = 0. (0) > 0 y (2) < 0 Zlomek je nulový, pokud je nulový čitatel. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice 1 2x = 0.
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. Osa je rozdělena na tři podintervaly. Funkce zachovává na každém intervalu typ monotonie.
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Zkoumejme interval (, 1) Zvolíme v tomto intervalu testovací bod. Nechť ξ 1 = 2jetestovacíbod. Určíme derivaci v tomto bodě.
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y ( 2) = 1 2( 2) (1 2) 6 = 5 1 > 0. Derivacejekladnáafunkcerostevbodě ξ 2 = 2anaintervalu (, 1).
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobně,bod ξ 2 = 0ležívintervalu ( 1, 1 2 )asplňuje y (0) = 1 1 > 0.Funkcejerostoucívbodě ξ 2 = 0anaintervalu ( 1, 1 2 ).
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně,platí y (2) = 1 4 3 4 < 0.Funkceklesávbodě ξ 3 = 2ana intervalu ( 1 2, ).
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Funkcemálokálnímaximumvbodě x = 1 2. Funkce nemá žádný další lokální extrém.
Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 1 MAX x 1 = 1 2 Hotovo!
Najdětelokálníextrémyfunkce y = monotonie. x3 x 1 aurčeteintervaly Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 x 2 (2x 3) Určíme definiční obor. Nesmí být nula ve jmenovateli.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 Derivujeme podíl podle vzorce (x 1) 2 = x2 (2x 3) ( (x u ) 1) 2 u v uv = v v 2. x 2 (2x 3)
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 Doderivujeme y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 x 2 (2x 3)
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 Upravíme. Zde je jedno jestli nejprve roznásobíme nebo vytkneme, protože roznásobujeme jenom mocninou x. x 2 (2x 3)
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 Rozložíme na součin. y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 x 2 (2x 3)
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 2 (2x 3) (x 1) 2 = 0 x 2 (2x 3) = 0 x 1,2 = 0 Našlijsmederivaci.Zajímánás,kdyjetatoderivacekladnáa x 3 = 3 kdy záporná. 2 Předně: derivace není definovaná pro x = 1. min Dáleřešímerovnici y = 0. x 1,2 = 0 x = 1 x 3 = 3 2
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 2 (2x 3) (x 1) 2 = 0 x 2 (2x 3) = 0 x 1,2 = 0 x 3 = 3 2 min Zlomek je nulový x 1,2 = právě 0 tehdy, když x = 1je nulový čitatel zlomku. x 3 = 3 2
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 2 (2x 3) (x 1) 2 = 0 x 2 (2x 3) = 0 x 1,2 = 0 x 3 = 3 2 Součin je nula jestliže jealespoň jeden zesoučinitelů minrovennule. Řešímetedyrovnice x 1,2 = 0 x 2 = 0 a x 2x = 1 3 = 0. x 3 = 3 2
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Máme stacionární body a body, kde derivace není definována (a je nespojitá). Jedině v těchto bodech může derivace měnit znaménko. Vynesemetytobodynareálnouosu.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Počítáme derivace v libovolných bodech, po jednom z každého podintervalu. y ( 1) = ( 1)2 ( 2 3) něcokladného = 5 něcokladného < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y ( 1 1 2 ) = 4 (1 3) něcokladného < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y (1, 2) = (1, 2)2 (2, 4 3) něcokladného < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y (2) = (2)2 (4 3) něcokladného > 0
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Pouzevbodě x = 3 2 seměnícharaktermonotonie.vtomtoboděje lokální minimum.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Hotovo.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. x 3 ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 MAX x 1 = 1 2 0 x 6
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 MAX x 1 = 1 Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení 0 plyne ze jmenovatele zlomku.tedy x 0. 2 x 6
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 Stacionárníbod: Derivujeme podílxpodle 1 = vzorce 1 2. x 6 1 = 1 kde u = 3x + 1av= x 3. 2 ( MAX u ) u = v uv v v 2 0
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 Hledáme nejprve body, Stacionárníbod: x 1 = 1 2. kde je derivace nulová. Abychom měli později snadné a pohodlné, co nejvíce upravíme a rozložíme na součin. MAX x 1 = 1 Vytknemetedyfaktor 3x 2. 0 2 x 6
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 Zkrátímefaktorem MAX x 2. x 1 = 1 Konstantní násobek 3 napíšeme před 0zlomek. 2 x 6
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 x 6 Upravíme. MAX x 1 = 1 2 0
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 x 6 MAX x 1 = 1 Vytkneme záporné znaménko. 2 0
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = 1 2. MAX x 1 = 1 2 0 Definiční obor derivace je shodný s definičním oborem původní funkce. Hledáme nejprve stacionární body.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = 1 2. MAX x 1 = 1 2 0 Podíl je nulový, pokud je nulový čitatel. 2x +1 = 0pro x = 1 2.Bod x 1 = 1 2 jejedinýmstacionárním bodem zadané funkce.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 Vyznačíme bod nespojitosti a stacionární bod na osu x. Osa x je rozdělena na podintervaly. Na každém podintervalu je zachován tentýž typ monotonie pro všechna x náležející do tohoto podintervalu.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 Zvolímetestovacíbodzintervalu (, 1 2 ).Nechťjetobod ξ 1 = 1.Vypočtemederivacivbodě ξ 1.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 y ( 1) = 3 2 + 1 ( 1) 4 > 0 Funkcejetedyrostoucívbodě ξ 1 = 1atotéžplatíprovšechny bodyzintervalu (, 1 2 ).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 Zvolímebod ξ 2 = 1 4 zintervalu ( 1 2, 0).Určímederivacivtomto bodě.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 y 1 2 ( 1/4) = 3 + 1 kladnývýraz < 0 afunkcejetedyklesajícívbodě ξ 2 = 1/4ainacelémintervalu ( 1 2, 0).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 Podobně,pro ξ 3 = 1dostáváme y 2 + 1 (1) = 3 kladnývýraz < 0 afunkcejeklesajícívbodě ξ 3 = 1anaintervalu (0, ).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 Funkcejespojitána R \ {0}. Funkcemálokálnímaximumvbodě x = 1 2 anemážádný další lokální extrém.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = 1 2 0 Problém je vyřešen! Všechno co se týká monotonie plyne z nakresleného schematu.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Na proměnnou x nemní třeba naložit žádné omezující podmínky a proto je defičním oborem celá množina R.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min Použijeme pravidlo pro xderivaci 1 = 0 součinu MAX x 2 = 2 (uv) = u v + uv pro u = x 2 a v = e x.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Dálepoužijemederivacimocninnéfunkce x 2 afunkci e x derivujeme podle pravidla pro derivaci složené funkce.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX Hledámebodysnulovouderivací: x 1 = 0 y x = 2 0. 2 Abychom tuto rovnici snadno vyřešili, rozložíme na součin. Vytknemeopakujícísevýraz e x.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Kvadratický výraz v závorce je možno rozložit na součin vytknutím x.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Nyní vidíme všechny stacionární body. Derivacejenulatehdyajentehdy,kdyžalespoňjedenzvýrazů v součinu je nulový. Výraz e x nenírovennulenikdy. Výraz (x 2)jerovennulepro x = 2.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. Body nespojitosti derivace nemá Osa je rozdělena na tři podintervaly. Ve všech bodech jednoho každého podintervalu je stejný typ monotonie.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Zvolíme libovolného reprezentanta z prvního intervalu (, 0). nechťtímtoreprezentantemječíslo ξ 1 = 1.Vypočtemederivaciv ξ 1 : y ( 1) = e ( 1) ( 1)(2 ( 1)) = e 1 ( 1)3 < 0 Funkcejetedyklesajícívbodě ξ 1 atotéžplatíprovšechnybody intervalu (, 0).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Zvolímereprezentanta ξ 2 = 1vintervalu (0, 2).Derivace y (1) = e 1 1(2 1) = e 1 > 0 jevtomtoboděkladnáafunkcerostevbodě ξ 2 = 1aivcelém intervalu (0, 2).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Zvolímereprezentanta ξ 3 = 3vintervalu (2, ).Derivace y (3) = e 3 3(2 3) = 3e 3 < 0 jezápornáafunkceklasávbodě ξ 3 = 3aklesáivcelémintervalu (2, ).
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Funkcejespojitána R. Zeschématusmonotoniíplynežefukncemálokálníminimum vbodě x = 0amaximumvbodě x = 2.
Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Vyřešeno!
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x.určetetéžintervaly monotonosti. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) Určíme definiční obor. = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x Omezenízlogaritmickéfunkceje x > 0. min Omezenízejmenovatelezlomkuje 0 1 ln x 0.Protože x 1 = e 1/2 ln x = 0 pro x = e 0 = 1,jetotoekvivalentnípodmínce x 1. Definičníoborje Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ).
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x Derivujeme pomocí vzorce pro derivaci podílu 0 min ( 1 x 1 = e 1/2 u ) u v uv = v kde u = x 2 a v = ln x. v 2
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2 Upravíme čitatele.
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x min Najdemebodykdeplatí 0 1y = 0. x 1 = e 1/2 Zlomekjerovennule,jestližejejehočitatelrovennule.Rozložíme tedy čitatel na součin vytknutím x.
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x min 0 Nyní snadno najdeme stacionární 1 body. x 1 = e 1/2 Zlomek je nulový, jetstliže některý z činitelů v čitateli je roven nule.
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2 Činitel (2 ln x 1)jenulapro ln x = 1,tj.pro x = e1/2 2
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x min Činitel x 0 není na uvažovaném 1 definičním x 1 = e 1/2 oboru nikdy roven nule. Nedostáváme žádný další stacionární bod.
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2 K dalšímu výpočtu potřebujeme již jen derivaci a stacinární bod. Omezení na definiční obor derivace jsou stejná jako omezení pro původní funkci a derivace tedy existuje na celém definičním oboru funkce.
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2 Vyznačíme definiční obor derivace(i s bodem nespojitosti) a stacionární bod na osu x. Protože 1 = e 0 a 0 < 1/2,platí 1 < e 1/2.(Exponenciálnífunkce je rostoucí).
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2 Osa xjenynírozdělenananěkolikpodintervalů.levýznich neleží v definičním oboru. Uvnitř každého z podintervalů, které náleží do definičního oboru, je zachován typ monotonie pro všechna x.
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x 0 1 min x 1 = e 1/2 Buď ξ 1 = e 1 reprezentantzprvníhopodintervalu.derivacevbodě ξ 1 jezáporná,protože y ( 1) = e 1 ( 2 1) ( 1) 2 < 0,kdejsmepoužili ln(e 1 ) = 1.Funkceklesávbodě ξ 1 atotéžplatíinacelém intervalu (0, 1).
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x 0 1 min x 1 = e 1/2 Bod ξ 2 = e 1/4 splňuje 1 < e 1/4 < e 1/2 a ln(e 1/2 ) = 1 2.Odsud y (e 1/4 ) = e1/4 ( 1 2 ( ) 1) 2 < 0. 1 2
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2 ξ 3 = esplňuje 1 < ealn(e) = 1.Odsud y (e) = e(2 1) 1 2 > 0.
Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/2. 0 1 min x 1 = e 1/2 Hotovo.Funkcemájedinélokálníminimumvbodě x = e 1 2 anemá žádné lokální maximum.
Konec