7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná rovnice ve tvaru ax + by + c = 0 není jednoznačná. Obsahuje tři parametry, rovnice, teré jsou navzájem svými násoby, popisují stejné přímy. Ja popsat přímu jednoznačně? Nápad: zápis lineární funce y = x + je jednoznačný, různé předpisy znamenají různé přímy. Můžeme na tento tvar převést aždou obecnou rovnici přímy? ax + by + c = 0 by = ax c / : b vydělit můžeme jen, dyž platí b 0 a c y = x b b - tohle jsme chtěli Pro teré přímy, tento tvar nezísáme? dyž b = 0 tedy přímy ax + 0y + c = 0 ax = c - přímy rovnoběžné s osou y. O těch jsme u lineárních funcí nemluvili, nejde o grafy funcí. Rovnici aždé přímy, terá není rovnoběžná s osou y můžeme napsat ve tvaru y = x +. Tato rovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímy. Číslo se nazývá směrnice přímy. Význam oeficientů: : posunutí po ose y : udává směr přímy, jde o tgϕ, de ϕ je úhel, terý svírá příma s ladnou poloosou x. y=x+ y=x
Z pravoúhlého trojúhelníu je vidět, že platí: tgϕ = = Př. : Je dána příma 6x + 3y 4 = 0. Najdi směrnicový tvar rovnice této přímy, urči odchylu této přímy od ladné poloosy x. 6x + 3y 4 = 0 3y = 6x + 4 4 y = x + 3 směrnice přímy = tgϕ = ϕ = 6 34 Př. : Napiš obecnou rovnici a směrnicový tvar rovnice přímy se směrnicí =, terá A ;. prochází bodem [ ] Dosadíme do směrnicového tvaru y = x + : = + teď dosadíme bod A[ ; ] y x = + = 3 Směrnicový tvar: y = x 3 Obecná rovnice: x y 3 = 0 Př. 3: Napiš ve směrnicovém tvaru rovnici přímy se směrnicí, terá prochází bodem A a ; a. [ ] Směrnicový tvar: y = x +. Dosadíme bod [ ; ] A a a do rovnice a dopočítáme : = a a Dosadíme do rovnice: y = x + = x + a a a = a + Častěji píšeme rovnici ve tvaru: y a ( x a snadno doážeme zapsat přímu, terá prochází bodem [ ; ] = největší výhoda směrnicového tvaru - A a a. Přímu, terá má směrnici a prochází bodem [ ; ] ( y a = ( x a. Ja to funguje? A a a zapíšeme rovnicí Př. 4: Ověř dosazením, že bod A[ a ; a ] vyhovuje rovnici ( y a ( x a na směrnici. ( y a = ( x a dosadíme bod A[ a ; a ] = bez ohledu
( a a = ( a a 0 = 0 vyjde bez ohledu na Pedagogicá poznáma: Přílady 3 a 4 opět ověřují správné chápání rovnic v analyticé geometrii (rozdíl mezi oeficienty a, b, c (teré se u onrétních příme liší a teré určují o terou přímu jde a neznámými x, y (teré slouží jao připravená místa pro dosazení souřadnic bodů, jejichž vztah přímce chceme zjišťovat. Ja zapsat všechny přímy procházející daným bodem? mají různý směr použijeme R ; y a = x a prochází bodem A[ a a ] použijeme tvar ( ( POZOR!!! Přímu rovnoběžnou s osou y nemůžeme napsat ve směrnicovém tvaru musíme ji napsat zvlášť: x = a Př. 5: Zapiš všechny přímy, teré procházejí bodem [ 3; ]. Použijeme směrnicový tvar: y a ( x a y = ( x 3, R ještě rovnoběža s osou y: x = 3 = R Směrnice i směrový vetor udávají směr přímy musí spolu souviset. Ja? y=x+ y=x u u u u Z obrázu je vidět, že platí tgϕ = = = u Př. 6: Pomocí směrnicového tvaru napiš rovnici přímy AB, terá prochází body A [ ;3], B[ ;4 ]. Nejdříve určíme směrnici pomocí směrového vetoru, pa dosadíme do tvaru pro přímu procházející bodem. u směrový vetor: B A = ( ; u = ( ; = = = u Příma procházející bodem: ( y a = ( x a 3
Dosadíme bod A [ ;3] a směrnici y = x + + 3 7 y = x + = : y 3 = ( x Dodate: Zísaná rovnice samozřejmě nezávisí na tom, terý bod použijeme pro dosazení: Dosadíme bod B[ ;4 ] : y 4 = ( x ( y 4 = ( x + y = x + 4 7 y = x + stejný výslede. Jaý je vztah mezi směrnicemi navzájem olmých příme? Napíšeme si dvě olmice ve směrnicovém tvaru: p : y = x + : y = x + Přepíšeme do obecného tvaru: p : x y + = 0 : x y + Kolmost můžeme určit z normálových vetorů: n p = ( ; n = ( ; Dva vetory jsou olmé, dyž je jejich salární součin roven nule. np n = ( ; ( ; = + ( ( = 0 + = 0 = = Př. 7: Najdi směrnicový tvar rovnice přímy, terá prochází bodem A [ ; ] a je olmá na přímu y = x +. Směrnice původní přímy: = směrnice olmice: Do rovnice y x = + dosadíme bod [ ; ] Hledaná příma má rovnici: = = A : = + = y = x + Př. 8: Petáová: strana 05/cvičení 3 Shrnutí: Směrnicový tvar (předpis lineární funce umožňuje snadno zapsat přímu procházející bodem. 4