HUDEBÍ EFEKT DISTORTIO VYUŽÍVAJÍCÍ ZPRACOVÁÍ PŘÍRŮSTKŮ SIGÁLŮ ČASOVĚ VARIATÍM SYSTÉMEM Ing. Jaromír Mačák Ústav telekomunkací, FEKT VUT, Purkyňova 118, Brno Emal: xmacak04@stud.feec.vutbr.cz Hudební efekt dstorton je typckým zástupcem efektů využívající nelneárního zpracování sgnálů. V tomto článku je prezentován algortmus založený na zpracování přírůstků vstupního sgnálu pomocí časově varantního lneárního číslcového systému, ve kterém je zpracovávaná hodnota přírůstku sgnálu přčítána k mnulé hodnotě výstupního sgnálu. 1. EFEKT DISTORTIO V běžných stuacích je na většnu systémů kladen požadavek na co nejmenší nelneárním zkreslení, např. u zvukových zeslovačů pro zajštění věrné reprodukce hudebního sgnálu. Exstují však systémy, které záměrně pomocí nelneárního zkreslení sgnálů obohacují jejch spektrum přdáním vyšších a kombnačních složek. Typckým zástupcem tohoto typu efektů je právě efekt dstorton. V nejjednodušší formě může být realzován jako funkční měnč [1], v poslední době se však začínají objevovat nové přístupy k realzac tohoto hudebního efektu. Často je snahou smulovat analogové prototypy pomocí číslcového zpracování sgnálů [2], někdy se objeví algortmy produkující takové nelneární zkreslení, které nemá svou analogovou obdobu [3]. 1.1. KLASICKÝ PŘISTUP K REALIZACI Základním blokem efektu dstorton je blok nelneárního zkreslení, který lze popsat nelneárním operátorem Ψ(). Vztah mez vstupním a výstupním sgnálem je pak [ ] Ψ x[ n] y n = ( ). (1) Tento systém je systémem nesetrvačným [1], tj. současný výstupní vzorek sgnálu závsí pouze na současném vstupním vzorku. Systém proto bývá označován jako tvarovač vlny č funkční měnč. Jako funkce Ψ() může být použta lbovolná nelneární funkce, typckým příkladem můžou být funkce Ψ(x) = tanh(x), Ψ(x) = atan(x), jejchž průběhy jsou zobrazené na obr. č. 1. Často však potřebujeme získat průběh, který nedokážeme popsat jednoduchou funkční závslostí. K tomu lze využít aproxmace, nejčastěj pomocí Taylorova rozvoje, kdy výstupní sgnál je určen jako [4] y n =, (2) [ ] ax [ n] 0 kde a určuje koefcenty polynomu a pak jeho řád. Pomocí tohoto rozvoje jsme schopn v úzkém okolí popsat jakoukolv nelneární funkc. V případě, kdy je potřeba popsat nelneární funkc v šrší oblast, lze využít skládání dílčích úseků, které požadovaný průběh nelneární funkce po částech aproxmují [2]. Obr. č. 1: Průběhy některých funkčních měnčů. 1.2. REALIZACE MĚKKÉHO OŘEZÁVAČE Typckým zástupcem systémů, které provádějí měkké ořezání sgnálů, je efekt soft-lmter, jehož průběh je zobrazen na obr. č. 1. Je zadán nelneární funkcí [4] 2x pro 0 x 1 3 2 3 (2 3 x) Ψ ( x) = pro 1 3 x 2 3 3 1 pro 2 3 x 1. (3) Funkce Ψ(x) je záměrně volena tak, aby jednotlvé úseky na sebe navazovaly, a navíc dochází k navazování prvních dervací funkce Ψ(x) v bodech nespojtost [1]. Díky těmto vlastnostem narůstá zkreslení vyšším harmonckým velm pozvolna; pokud bude vstupní sgnál omezen v rozsahu ±1, výstupní sgnál jž bude zkreslený, ale zkreslení nebude ve výsledném sgnálu moc slyšet. Př výrazně vyšších úrovních vstupního sgnálu dochází zde k slnému omezení sgnálu, jehož výsledkem je velm bohaté spektrum. V tomto režmu je možné soft-lmter využít jako typcký kytarový efekt dstorton. espornou výhodou tohoto řešení je, že sgnál může plynule přecházet mez nezkresleným a slně zkresleným stavem bez výraznějšího rušení, které vznká skokovým výskytem vyšších harmonckých složek u tvrdých ořezávačů sgnálu [1], [5]. 10-1
2. ZPRACOVÁÍ PŘÍRŮSTKŮ ČASOVĚ VARIATÍM SYSTÉMEM Systém vychází z předlohy analogových nelneárních prvků, kde pomocí nastavení pracovního bodu určujeme, mmo jné, napěťové zesílení daného elektronckého prvku. apěťové zesílení μ v pracovním bodě je dáno µ = uy( t), u( t) x (4) kde symboly x a y označují vstupní, respektve výstupní napětí. Pokud je převodní charakterstka daného prvku lneární, pak je μ konstantní. U nelneárních prvků se ale bude μ v čase měnt podle toho, ve které část převodní charakterstky se pracovní bod momentálně nachází. Bude tedy zřejmě platt uy( t) µ ( t) =. u ( t) x Podobně lze zavést zesílení v číslcové oblast jako [ ] [ 1] [ ] [ 1] y n y n m[ n] = x n x n a odtud vyjádřt výstupní vzorek [ ] = [ ] + [ ]( [ ] [ ]) (5) (6) y n y n 1 m n x n x n 1, (7) kde m[n] označuje časově proměnný parametr zesílení. Ten je možné obecně nahradt časově proměnnou přenosovou funkcí. Takový systém pak lze popsat blokovým schématem na obr. č. 2. Dosazením do rovnce (3) a po úpravě je m rovno (2 x) m1 = = 2 x 2 3 (2 3 x) m2 = = 6x 4 x 3 (1) m3 = = 0. x (9) a obr. č. 3 je vynesen průběh parametru m vypočítaného podle (9) z původní realzace funkčního měnče (3) během jedné perody zpracovávaného číslcového harmonckého sgnálu o kmtočtu 100 Hz. Pro lustrac je zobrazen výstupní sgnál. Je zde patrné, že opravdu dochází k navázání prvních dervací. Graf má navíc očekávaný tvar, neboť uprostřed převodní charakterstky (m 1), kde je Ψ(x) lneární, dosahuje m nejvyšší hodnoty, je zde tedy největší zesílení a m je konstantní. Směrem k okrajům převodní charakterstky se zesílení postupně zmenšuje (m 2), až v oblast saturace je zesílení nulové (m 3). Obr. č. 2: Blokové schéma systémů zpracovávajícího přírůstky sgnálu. Přenosová funkce H(z) je určena v závslost na vstupní nebo výstupní velčně (na obr. č. 2 čerchovaně) - je tedy řízena současným stavem systému. Obr. č. 3: Průběh výstupního sgnálu a parametru zesílení u funkčního měnče podle (3). Blok řízení bude tedy obsahovat rovnce, které závsí pouze na vstupní hodnotě sgnálu x, blokové schéma z obr. č. 2 se proto zjednoduší na obr. č. 4, kde je jž realzován funkční měnč podle (3) novým algortmem. 2.1. REALIZACE FUKČÍHO MĚIČE ČASOVĚ VARIATÍM SYSTÉMEM Pro realzac funkčního měnče z (3) stačí místo přenosové funkce H(z) využít měnící se parametr zesílení m[n]. Ten lze určt ze vztahu (6) pomocí hodnot vstupu a výstupu z předchozího taktu. Př dostatečně malém vzorkovacím ntervalu, bude parametr m ze vztahu (6) roven y m =. (8) x Obr. č. 4: Realzace funkčního měnče podle (3) novým algortmem. 10-2
Systém pracuje teratvně: ze současné hodnoty vstupního sgnálu x[n] je určena nová hodnota m[n], pomocí ní a mnulé hodnoty výstupního sgnálu y[n-1] je určena nová hodnota výstupu y[n]. a obr. č. 6 je zobrazeno spektrum sgnálu na výstupu funkčního měnče realzovaného časově varantním systémem. Vstupním sgnálem byl číslcový harmoncký sgnál o kmtočtu 100 Hz s ampltudou 1. V porovnání se spektrem na obr. č. 5, kde byl výstupní sgnál vypočten klasckým způsobem, je vdět, že výstupní sgnál obou realzací je téměř totožný. Jednou výraznější odchylkou je výskyt stejnosměrné složky u nové realzace. Ta je způsobena tím, že algortmus pracuje teratvně, takže se vždy pouze blíží ke správnému výsledku. Lze j odstrant pomocí fltru typu horní propust, to však v řadě aplkací není nutné, protože vznklá stejnosměrné složka má velm malou hodnotu. 2.2. PROBLÉM STABILITY U SIGÁLU S VYŠŠÍM KMITOČTEM Jak bylo patrné z obr. č. 6, systém pracuje správně se sgnály s nízkým kmtočtem. U těchto sgnálu dochází totž k velm malým změnám hodnoty sgnálu mez sousedním vzorky. Problém však nastává u sgnálů s vyšším kmtočtem, kdy je změna hodnoty sousedních vzorků velm výrazná. a obr. č. 7 je zobrazena odezva systému na vstupní číslcový harmoncký sgnál o kmtočtu 10 khz a ampltudě 1. Je zde vdět, že teratvní algortmus opravdu selhává. Obr. č. 5: Spektrum výstupního sgnálu vypočteného podle (3). Obr. č. 6: Spektrum výstupního sgnálu vypočteného časově varantním systémem. Obr. č. 7: establta řešení časově varantního systému u vyšších kmtočtů. Řešením tohoto problému je zajštění malých přírůstků sgnálu mez dvěma následujícím teracem. Pro výstupní sgnál platí [ ] [ ] [ ] y n = y n 1 + m n x, (10) kde Δx je přírůstek vstupního sgnálu, který je potřeba zmenšt. Jednou možností je zvětšení vzorkovacího kmtočtu, to je však výpočetně velm náročné. Druhou možností je rozdělt přírůstek vstupního sgnálu Δx na rovnoměrných úseků x podle x x = (11) a podobně parametr zesílení m[n] rozdělt na úseků m [n], které budou tentokrát nerovnoměrné a budou se určovat teratvně. Rovnc (10) lze upravt na 0 [ ] m n x y[ n] = y[ n 1 ] +. (12) Vzhledem k tomu, že hodnota x je pro jednu terac všech mez-terací konstantní, lze rovnc (12) dále upravt na 0 [ ] m n y[ n] = y[ n 1 ] + x. (13) 10-3
Takto se do výsledného parametru zesílení m[n] akumuluje správná hodnota a algortmus dává správné výsledky pro sgnály s vyšším kmtočtem vz obr. č. 8, kde je zobrazena odchylka výstupních sgnálů realzací podle rovnc (3) a (13). (pracovním) ntervalu. Takto by bylo tedy možné realzovat funkční měnče z obr. č. 1 založené na gonometrcké funkc. Průběh parametru zesílení m pro tyto gonometrcké funkce je zobrazen na obr. č. 9 a lze jej popsat jako m 1 1 = (15) 1 + x arctg(5) arctg 2 a m = 1. cosh( x) (16) tgh 2 Obr. č. 8: Odchylka výstupních sgnálů realzací podle rovnc (3) a (13). Zásadním problémem pro efektvtu výsledného algortmu je určení počtu úseků, tedy počet mez-terací. Pokud bude zvolen konstantně, efektvta algortmu bude degradována u sgnálů s nízkým kmtočtem, protože tam není potřeba vůbec nějaké mez-terace provádět. Počet mez-terací bude také samozřejmě závset na ampltudě sgnálu. Př velkých ampltudách se můžou vyskytnout velké rozdíly mez sousedním vzorky vstupního sgnálu u nízkých kmtočtů. Řešením je určt maxmální možný přírůstek vstupního sgnálu Δx max, se kterým ještě algortmus pracuje správně a pak určt počet mez-terací jako x =. xmax (14) Pro kmtočty f 0bude x 0 a tím pádem 0, tedy pro x xmax bude po zaokrouhlení na vyšší celé číslo = 1. S rostoucím kmtočtem se bude Δx zvětšovat a poroste tedy počet mez-terací. Expermentálně byl Δx max určen jako Δx max = 0,02. Př tomto kroku je zajštěna stablta u sgnálů o kmtočtu blížícím se yqustovu kmtočtu. Počet mez-terací pro různé kmtočty a ampltudu 1 je uveden v tab. č. 1. Tab. č. 1: Počet mez-terací pro různé kmtočty. f [Hz] 100 500 1000 5000 10000 15000 20000 1 3 6 32 60 81 93 2.3. REALIZACE DALŠÍCH ELIEÁRÍCH FUKCÍ Popsaný algortmus (vz obr. č. 4) není omezen pouze pro realzac funkčního měnče podle (3), ale je možné jej využít praktcky pro jakoukolv nelneární funkc, u které lze určt průběh její první dervace na požadovaném Obr. č. 9: Parametr zesílení u gonometrckých funkcí. Př smulac nelneární funkce aproxmované Taylorovým polynomem z (2) bude parametr m roven 1 = m a x. (17) 1 2.4. DALŠÍ MOŽÉ VYUŽITÍ ALGORITMU Doposud prezentované nové modely nepřnáší žádné vylepšení a jsou navíc výpočetně více náročné. Do algortmu je však možné zařadt další funkční bloky a značně tak rozšířt jeho možnost. Jednou z možností je využít algortmus k omezení saturace na vyšších kmtočtech a tím částečně potlačt alasngové zkreslení, které př nelneárním zpracování vznká [4]. Je potřeba zajstt, aby se systém pro vyšší kmtočty choval lneárně, zatímco u nžších kmtočtů bude pracovat v původním režmu. Z rovnce (9) vyplývá, že pokud se má systém chovat lneárně, pak musí být parametr zesílení m konstantní. Je tedy nutné zajstt, aby se parametr m u nízkých kmtočtů měnl v závslost na vstupním sgnále a u vyšších kmtočtů nabýval určté konstantní hodnoty. Jednoduchým řešením je fltrace parametru m fltrem typu dolní propust, konkrétně bylo využto fltru druhého řádu s mezním kmtočtem 4 khz. a obr č. 10 je zobrazen původní průběh parametru m pro vstupní sgnál s kmtočtem 13,4 khz a ampltudou 10. a obr. č. 11 je pak zobrazen jeho vyfltrovaný průběh, který se přblžuje ke konstantní hodnotě přblžně m = 0,09. 10-4
Obr. č. 10: Průběh parametru zesílení u realzace funkčního měnče časově varantním systémem. Obr. č. 13: Spektrum výstupního sgnálu u realzace funkčního měnče časově varantním systémem. Kmtočet sgnálu je 13,4 khz. Obr. č. 11: Vyfltrovaný průběh parametru zesílení u realzace funkčního měnče časově varantním systémem. Obr. č. 14: Spektrum výstupního sgnálu u realzace funkčního měnče podle (3). Kmtočet sgnálu je 100 Hz. Obr. č. 12: Spektrum výstupního sgnálu u realzace funkčního měnče podle (3). Kmtočet sgnálu je 13,4 khz. Obr. č. 15: Spektrum výstupního sgnálu u realzace funkčního měnče časově varantním systémem. Kmtočet sgnálu je 100 Hz. 10-5
a obr. č. 12 a obr. č. 13 lze porovnat spektra výstupních sgnálů z původní realzace podle (3) a nové realzace časově varantním fltrem s fltrací parametru m. Vstupním sgnálem v obou případech byl číslcový harmoncký sgnál o kmtočtu 13,4 khz. U realzace s fltrací parametru m došlo k částečnému potlačení alasngového zkreslení. Pro strmější fltr parametru m by bylo potlačení výraznější, protože by nelneární zkreslení bylo menší. a obr. č. 14 a obr. č. 15 jsou pak zobrazena spektra výstupních sgnálů př buzení systémů číslcovým harmonckým sgnálem o kmtočtu 100 Hz. Rozdíl spekter je způsoben skupnovým zpožděním fltru, kdy je průběh parametru m opožděn vůč původnímu. Zajímavou vlastností je fakt, že čím vyšší je úroveň vstupního sgnálu, tím nžší je úroveň vyfltrovaného parametru m. To je způsobeno tím, že saturace nastává častěj a parametr m má tedy častěj nulovou hodnotu. Důsledkem je, že sgnály s vyšším kmtočtem nejsou více saturovány ale více zeslabeny. Proto také nebudou nabývat daleko vyšších úrovní než sgnály s nžším kmtočtem, které byly saturovány na určtou hodnotu. Další možností, zmíněnou už výše, je zabudování časově proměnné přenosové funkce. Tím je možné dovntř systému zavést dynamku. Toho lze využít pro smulac analogových nelneárních efektů. Přenosová funkce H(z) je fltr navržený z obvodového schématu smulovaného efektu a převedený blneární transformací do číslcové oblast [6]. Parametry tohoto fltru závsí na momentální pozc pracovního bodu na převodní charakterstce a je ho nutné přepočítat s každým novým vzorkem vstupního sgnálu. v Brně, Fakulta elektrotechnky a komunkačních technologí. 2008. [3] PEKOE, J. Coeffcent-Modulated Frst-Order Allpass Flter as Dstorton Effect. In Proc. of the 11th Int. Conference on Dgtal Audo Effects (DAFx-08). [onlne] Espoo, Fnland. 2008, 5 p. ISB 978-951-22-9517-3. Dostupný z <http://www.acoustcs.hut.f/ dafx08/papers/dafx08_16.pdf>. [4] ZÖLZER, U. DAFX - Dgtal Audo Effects, 1st ed. ew York: John Wley & Sons, Ltd, 2002, 533 p. ISB 0-471-49078-4. [5] BARBATI, S., SERAFIY, T. A Perceptual Approach on Clppng and Saturaton. [onlne] 2002. Dostupný z <http://smulanalog.org/clp.pdf>. [6] PROAKIS, J. G., MAOLAKIS, D. G. Dgtal Sgnal Processng: Prncples, Algorthms and Applcatons, 3 rd Ed. USA: Prentce-Hall, Inc., 1995, 967 p. ISB 0133737624 3. ZÁVĚR avržený časově varantní systém zpracovávající přírůstky sgnálů, který v nejjednodušší formě obsahuje pouze časově proměnný parametr zesílení, dává stejné výsledky jako klascké funkční měnče. Pro tyto účely je však tato struktura zbytečně těžkopádná. Své uplatnění najde v nových algortmech, kdy lze tvořt nové zvukové efekty zařazením dalších funkčních bloků do této struktury. Příkladem je omezení zkreslení u vyšších kmtočtů, kdy jsme schopn částečně potlačt alasngové zkreslení. Velké pole působnost se otvírá u realzace dynamckých zkreslovacích efektů, které mohou smulovat některé své analogové protějšky. Tímto směrem se také bude ubírat následující práce. LITERATURA [1] SCHIMMEL, J. Syntéza zvukových efektů s využtím nelneárního zpracování sgnálů. Dsertační práce. Brno: Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta elektrotechnky a komunkačních technologí. 2006. [2] MAČÁK, J. ávrh algortmů číslcového zpracování sgnálů pro smulac kytarových zeslovačů založených na obvodové analýze analogových prototypů. Dplomová práce. Brno: Vysoké učení techncké 10-6