FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie obvodů. Autor textu: Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc.

Transkript

1 FAKLTA ELEKTROTECHNKY A KOMNKAČNÍCH TECHNOLOGÍ VYSOKÉ ČENÍ TECHNCKÉ V BRNĚ Teore obvodů Autor tetu: Prof. ng. Tomáš Dostál, DrSc. Brno.8. 6

2 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Obsah ÚVOD.... ZAŘAZENÍ PŘEDMĚT VE STDJNÍM PROGRAM.... CÍL PŘEDMĚT....3 ANOTACE PŘEDMĚT....4 VSTPNÍ TEST... ELEKTRONCKÉ OBVODY.... ZÁKLADNÍ POJMY A DĚLENÍ OBVODŮ.... ZÁKONY A TEORÉMY V ELEKTRONCKÝCH OBVODECH..... Proudový Krchhofův zákon a jeho zobecnění..... Prncp superpozce Thévennův teorém Nortonův teorém Teorém o přenosu mamálního výkonu Teorém recprocty KONTROLNÍ OTÁZKY Z TÉTO KAPTOLY OBVODOVÉ FNKCE A PARAMETRY ZÁKLADNÍ OBVODOVÉ FNKCE KMTOČTOVÉ CHARAKTERSTKY PÓLY A NLOVÉ BODY MATCOVÉ PARAMETRY DVOJBRANŮ OBRAZOVÉ PARAMETRY DVOJBRANŮ KONTROLNÍ OTÁZKY Z TÉTO KAPTOLY MODELOVÁNÍ SKTEČNÝCH OBVODOVÝCH PRVKŮ FLOZOFE MODELOVÁNÍ APROXMACE NELNEÁRNÍCH CHARAKTERSTK LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ MODELY MODELOVÁNÍ SKTEČNÉ POLOVODČOVÉ DODY Podrobný rezstvní model polovodčové dody rčování parametrů dody Jednoduchý model dody Modelování setrvačných vlastností dody Specfkace parametrů dody MODELOVÁNÍ BPOLÁRNÍHO TRANZSTOR Globální nelneární modely bpolárního tranzstoru Specfkace parametrů BJT Lokální lneární modely BJT Modelování BJT v oblast VF MODELOVÁNÍ NPOLÁRNÍHO TRANZSTOR Lokální lneární model FETu Globální nelneární model FETu MODELOVÁNÍ TRODY MODELOVÁNÍ FNKČNÍCH BLOKŮ MODELY REÁLNÉHO OPERAČNÍHO ZESLOVAČE KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY TOPOLOGE ELEKTRONCKÝCH OBVODŮ ZÁKLADNÍ POJMY POPS NCDENČNÍM MATCEM SOBOR ŘEZŮ GRAF NCDENČNÍ MATCE SMYČEK A VĚTVÍ KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY ZÁKLADNÍ MATCOVÉ METODY ANALÝZY OBVODŮ ANALÝZA LNEARZOVANÝCH OBVODŮ...48

3 Teore elektronckých obvodů 3 6. METODA SMYČKOVÝCH PRODŮ Prncp MSP Algortmus sestavování mpedanční matce vhodný pro počítač rčování obvodových funkcí pomocí algebrackých doplňků METODA ZLOVÝCH NAPĚTÍ Prncp MN Algortmus sestavování admtanční matce vhodný pro počítač rčování obvodových funkcí pomocí algebrackých doplňků Úplný admtanční pops soustavy KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY ANALÝZA OBVODŮ S REGLÁRNÍM DVOJBRANY A VÍCEBRANY METODA SMYČKOVÝCH PRODŮ ZOBECNĚNÁ PRO REGLÁRNÍ VÍCEBRANY METODA ZLOVÝCH NAPĚTÍ ZOBECNĚNÁ PRO REGLÁRNÍ VÍCEBRANY KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY ANALÝZA OBVODŮ S NEREGLÁRNÍM PRVKY NEREGLÁRNÍ PRVKY A FNKČNÍ BLOKY PRNCP ANALÝZY ZALOŽENÉ NA METODĚ LNEÁRNÍ TRANSFORMACE TRANSFORMACE POMOCÍ OPERACÍ S ŘÁDKY A SLOPC ANALÝZA SOSTAV S DEÁLNÍM ZESLOVAČ LSTRATVNÍ PŘÍKLADY ŘEŠENÍ NEREGLÁRNÍCH OBVODŮ KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY METODY SMÍŠENÉHO POPS OBVODŮ MODFKOVANÁ METODA ZLOVÝCH NAPĚTÍ DAKOPTCKÁ HYBRDNÍ METODA KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY METODA ORENTOVANÝCH GRAFŮ PODSTATA METODY KONSTRKCE GRAF MC VYHODNOCENÍ GRAF MC TRANSFORMAČNÍ GRAFY NEREGLÁRNÍCH PRVKŮ GRAFY SGNÁLOVÝCH TOKŮ KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY ELEKTRONCKÝ OBVOD JAKO SOSTAVA OBVOD JAKO LNEÁRNÍ DYNAMCKÁ SOSTAVA OBECNÉ VLASTNOST PŘENOSOVÉ SOSTAVY OBVODŮ deální přenosová soustava Souvslost mez časovým a kmtočtovým charakterstkam Podmínky realzovatelnost přenosové soustavy Obvody s mnmálním a nemnmálním argumentem Hlbertova transformace Všepropustné fázovací dvojbrany ZAVŘENÁ SOSTAVA A JEJÍ POPS OSCLAČNÍ PODMÍNKY STABLTA SOSTAV LNEARZOVANÝCH OBVODŮ Nyqustovo krterum Bodeho krterum ZPĚTNÁ VAZBA V ELEKTRONCKÝCH OBVODECH Prncp zpětné vazby Základní rovnce zpětné vazby Druhy zpětné vazby dle zapojení Vlv zpětné vazby na parametry obvodu Zapojení zpětné vazby v zeslovačích KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY... 5 METODY ŘEŠENÍ NELNEÁRNÍCH OBVODŮ... 6

4 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně. OBECNĚ O ANALÝZE NELNEÁRNÍCH OBVODŮ...6. NELNEÁRNÍ DVOJPÓLY A DVOJBRANY LNEARZACE Lnearzace neřízeného nelneárního rezstoru Lnearzace řízeného nelneárního rezstoru Lnearzace nelneárního dvojbranu GRAFCKÉ METODY....5 ANALYTCKÉ METODY Prncpy zjednodušování řešení Stavy a děje v nelneárních obvodech Metoda stavových proměnných Řešení nelneárních obvodů. řádu Metoda lnearzace po částech Metoda ekvvalentní lnearzace Metoda pomalu se měnící ampltudy....6 NMERCKÉ METODY ŘEŠENÍ NELNEÁRNÍCH OBVODŮ Stejnosměrná analýza obvodů Řešení setrvačných obvodů....7 RČENÍ SPEKTRA SGNÁLŮ V NELNEÁRNÍCH OBVODECH Působení jednoho harmonckého sgnálu na nelneární rezstor rčení složek spektra rčení složek spektra proudu př apromac mocnnovým polynomem rčení složek spektra proudu př apromac eponencálou rčení složek spektra proudu př apromac lomenou přímkou Působení několka harmonckých sgnálů na nelneární rezstor Prncp harmoncké a energetcké rovnováhy Spektrální analýza sgnálů v parametrckých obvodech Obecné vztahy mez výkony KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY CTLVOSTNÍ ANALÝZA OBVODŮ DEFNCE ZÁKLADNÍCH CTLVOSTÍ CTLVOST OBVODOVÉ FNKCE CTLVOST KMTOČTOVÝCH CHARAKTERSTK CTLVOST PÓLŮ A NLOVÝCH BODŮ CTLVOST PARAMETRŮ PÓLŮ SOČN ZSK A CTLVOST VÍCEPARAMETROVÉ SOHRNNÉ CTLVOST NVARANCE CTLVOSTÍ KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY TOLERANČNÍ ANALÝZA A SYNTÉZA OBVODŮ PRNCP NÁHODNÝ CHARAKTER PARAMETRŮ PRVKŮ KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY ANALÝZA ŠM V ELEKTRONCKÝCH OBVODECH ŠM V ELEKTRONCKÝCH OBVODECH Tepelný šum rezstoru Tepelný šum u obecné mpedance Výstřelový šum Blkavý šum Kmtočtová závslost šumového výkonu ŠMOVÉ MODELY Šumový model bpolárního tranzstoru Šumový model unpolárního tranzstoru Šumový model operačního zeslovače DALŠÍ ŠMOVÉ PARAMETRY Šumová šířka pásma Šumové číslo...56

5 Teore elektronckých obvodů Míra šumu Vlastní šumová teplota obvodu KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY ZÁKLADY SYNTÉZY OBVODŮ ÚVOD DO SYNTÉZY OBVODŮ SYNTÉZA OBVODŮ RLC mtanční funkce dvojpólů RLC Vlastnost poztvně reálných funkcí mtanční funkce dvojpólů RC a RL mtanční funkce dvojpólů LC Syntéza dvojpólů RLC Rozklad poztvně reálné funkce na řetězový zlomek Rozklad poztvně reálné funkce na parcální zlomky KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY MODERNÍ ANALOGOVÉ OBVODY OBVODY SE SPÍNANÝM KAPACTORY Vlastnost obvodů se spínaným kapactory Obvod SC smulující rezstor ntegrátory SC Složtější obvody SC OBVODY SE SPÍNANÝM PRODY Vlastnost obvodů se spínaným proudy Základní paměťový blok S ntegrátory S Složtější obvody S OBVODY V PRODOVÉM MÓD Různé druhy pracovních módů Přdružená transformace Obvody s proudovým konvejory Proudové ntegrátory nverzální vícefunkční fltry v proudovém módu KONTROLNÍ OTÁZKY Z KAPTOLY

6 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Seznam obrázků OBR. : JEDNODCHÉ OBVODY.... OBR. : ZOBECNĚNÍ PRODOVÉHO KRCHHOFOVA ZÁKONA.... OBR. 3: AKTVNÍ OBVOD SE DVĚMA NEZÁVSLÝM ZDROJ...3 OBR. 4: ŘEŠENÍ OBVOD DVĚMA NEZÁVSLÝM ZDROJ NA ZÁKLADĚ PRNCP SPERPOZCE....4 OBR. 5: ŘEŠENÍ OBVOD NA ZÁKLADĚ THÉVENNOVA TEORÉM....5 OBR. 6: THÉVENNŮV TEORÉM...5 OBR. 7: NORTONŮV TEORÉM...5 OBR. 8: OBR. 9: ŘEŠENÍ OBVOD DVĚMA NEZÁVSLÝM ZDROJ NA ZÁKLADĚ THÉVENNOVA TEORÉM...6 ŘEŠENÍ OBVOD S ŘÍZENÝM ZDROJEM NAPĚTÍ NA ZÁKLADĚ NORTONOVA TEORÉM...7 OBR. : ZÁVSLOST PŘENÁŠENÉHO VÝKON NA HODNOTĚ ZATĚŽOVACÍHO ODPOR R OBR. : KÁZKA APLKACE TEORÉM RECPROCTY...8 OBR. : DVOJBRAN (A) JAKO PŘENOSOVÝ ČLÁNEK (B)... OBR. 3: PASVNÍ FLTR LC(R).... OBR. 4: MODLOVÁ (A) KMTOČTOVÁ CHARAKTERSTKA (B)... OBR. 5: HODOGRAF PŘENOS NAPĚTÍ....3 OBR. 6: NLOVÝ BOD V POČÁTK (A) A ODPOVÍDAJÍCÍ MODLOVÁ CHARAKTERSTKA (B)....4 OBR. 7: REÁLNÝ ZÁPORNÝ PÓL (A). ODPOVÍDAJÍCÍ MODLOVÁ (B) A FÁZOVÁ (C) CHARAKTERSTKA...4 OBR. 8: APROXMACE A-V CHARAKTERSTKY POLOVODČOVÉ DODY....3 OBR. 9: MODEL SETRVAČNÝCH VLASTNOSTÍ DODY....3 OBR. : EBERSŮV - MOLLŮV MODEL BPOLÁRNÍHO TRANZSTOR...33 OBR. : GMELLŮV-POONŮV MODEL BPOLÁRNÍHO TRANZSTOR OBR. : JEDNODCHÝ MODEL BJT SE ZÁKLADNÍM DFERENČNÍM PARAMETRY OBR. 3: DVOJBRANOVÝ MODEL S Y-PARAMETRY OBR. 4: DVOJBRANOVÝ MODEL S H-PARAMETRY...36 OBR. 5: GACOLETTŮV MODEL BPOLÁRNÍHO TRANZSTOR...36 OBR. 6: RČENÍ PŘENOSOVÉ VODVOST TRANZSTOR OBR. 7: GACOLETTŮV MODEL NA VF...37 OBR. 8: LOKÁLNÍ LNEÁRNÍ MODEL NPOLÁRNÍHO TRANZSTOR...38 OBR. 9: GLOBÁLNÍ MODEL NPOLÁRNÍHO TRANZSTOR OBR. 3: REZSTVNÍ MODEL REÁLNÉHO OZ...4 OBR. 3: JEDNOPÓLOVÝ MODEL REÁLNÉHO OZ...4 OBR. 3: NELNEÁRNÍ MODEL REÁLNÉHO OZ....4 OBR. 33: MAKROMODEL (5. ÚROVNĚ) REÁLNÉHO NAPĚŤOVÉHO OZ...4 OBR. 34: MODEL 6. ÚROVNĚ REÁLNÉHO OZ....4 OBR. 35: JEDNODCHÝ PASVNÍ OBVOD RLC (A) A JEHO TOPOLOGCKÝ ORENTOVANÝ GRAF (B)...43 OBR. 36: OBVOD SE DVĚMA SEPARÁTNÍM ČÁSTM (A) A JEHO TOPOLOGCKÝ GRAF (B)...44 OBR. 37: ÚPLNÉ STROMY TOPOLOGCKÉHO GRAF...44 OBR. 38: K POJM ŘEZ TOPOLOGCKÉHO GRAF...46 OBR. 39: FNDAMENTÁLNÍ SOBORY ŘEZŮ...46 OBR. 4: GRAF SE SOBOREM NEZÁVSLÝCH SMYČEK...47 OBR. 4: ŘEŠENÍ OBVOD RLC METODO SMYČKOVÝCH PRODŮ OBR. 4: VOLBA SOSTAVY HLEDANÝCH NAPĚTÍ....5 OBR. 43: ŘEŠENÍ OBVOD RC METODO ZLOVÝCH NAPĚTÍ...5 OBR. 44: MODEL OBVOD PŘ ÚPLNÉM ADMTANČNÍM POPS SOSTAVY OBR. 45: POPS SAMOSTATNÝCH VÍCEBRANŮ...57 OBR. 46: OBVOD OBSAHJÍCÍ TRANSFORMÁTOR SE TŘEM VNTÍM OBR. 47: ZESLOVAČ SE DVĚMA TRANZSTORY....6 OBR. 48: OBVOD SE DVĚMA TRANZSTORY....6 OBR. 49: OBECNÝ MTANČNÍ DVOJBRANOVÝ KONVERTOR JAKO NEREGLÁRNÍ PRVEK VŮČ MN OBR. 5: ZVLÁŠTNÍ TYPY MTAČNÍCH KONVERTORŮ...65 OBR. 5: ŘÍZENÉ ZDROJE JAKO NEREGLÁRNÍ PRVKY VŮČ MN OBR. 5: RŮZNÉ TYPY OPERAČNÍCH ZESLOVAČŮ, DLE ZAPOJENÍ BRAN...66 OBR. 53: PŘPOJENÍ NEREGLÁRNÍHO PRVK (K) K REGLÁRNÍ ČÁST OBVOD OBR. 54: DVĚ MOŽNOST TRANSFORMACE A REDKCE NAPĚTÍ ZPŮSOBENÉ PŘPOJENÍM K OBR. 55: DVĚ MOŽNOST TRANSFORMACE A REDKCE PRODŮ ZPŮSOBENÉ PŘPOJENÍM K OBR. 56: OBR. 57: OBR. 58: OA-SSO PŘPOJENÝ DO SOSTAVY JAKO DVOJBRAN (A) NEBO TROJPÓL (B)...7 ZAPOJENÍ MODERNÍCH TYPŮ OA DO SOSTAVY...7 ZESLOVAČ S TRANZSTOREM A S DEÁLNÍM TRANSFORMÁTOREM...7

7 Teore elektronckých obvodů 7 OBR. 59: AKTVNÍ DOLNÍ PROPST RC S OPERAČNÍM ZESLOVAČEM... 7 OBR. 6: JEDNODCHÝ SYNTETCKÝ NDKTOR (A) A JEHO NÁHRADNÍ SCHÉMA (B) OBR. 6: NEGATVNÍ MTANČNÍ KONVERTOR S OA-DSO OBR. 6: YANGSAWŮV PŘENOSOVÝ DVOJBRAN S NEGATVNÍM K OBR. 63: RORDANŮV GYRÁTOR SE DVĚMA OA OBR. 64: PŘPOJENÍ DALŠÍHO PRVK K REGLÁRNÍ SOSTAVĚ OBR. 65: NVERTJÍCÍ ZESLOVAČ S OA OBR. 66: TRANZSTOROVÝ ZESLOVAČ V ZAPOJENÍ SE OBR. 67: ROZETNTÍ OBVOD A JEHO SMÍŠENÝ POPS OBR. 68: PODSTATA GRAFŮ MC OBR. 69: GRAFY MC NEJPOŽÍVANĚJŠÍCH PRVKŮ... 8 OBR. 7: TRANZSTOROVÝ ZESLOVAČ V ZAPOJENÍ V ZAPOJENÍ SE (A) A JEHO GRAF MC (B)... 8 OBR. 7: PRAVENÝ GRAF MC TRANZSTOROVÉHO ZESLOVAČE (OBR. 7) OBR. 7: TRANSFORMAČNÍ GRAFY NEREGLÁRNÍCH PRVKŮ OBR. 73: POŽTÍ GRAF T PRO ZÍSKÁNÍ VÝSLEDNÉHO GRAF MC OBR. 74: KONSTRKCE GRAF MC OBVOD S OZ OBR. 75: KONSTRKCE GRAF MC OBVOD S ZN OBR. 76: JEDNODCHÝ PŘÍČKOVÝ ČLÁNEK (A) A JEHO GRAF M OBR. 77: PASVNÍ LCR FLTR PŘÍČKOVÉ STRKTRY OBR. 78: OBVOD S TRANSKODKTORY OBR. 79: SPOJENÍ PODOBVODŮ V SOSTAV OBR. 8: MODEL SOSTAVY KANONCKÉ STRKTRY FLF-OS OBR. 8: OBVOD. ŘÁD S MNMÁLNÍ FÁZÍ OBR. 8: OBVOD. ŘÁD S NEMNMÁLNÍ FÁZÍ OBR. 83: AKTVNÍ OBVOD 4. ŘÁD OBR. 84: COLPTTSŮV OSCLÁTOR OBR. 85: NYQSTOVO KRTERM OBR. 86: VYŠETŘOVÁNÍ STABLTY BODEHO KRTEREM... OBR. 87: BLOKOVÉ SCHÉMA SOSTAVY SE ZPĚTNO VAZBO.... OBR. 88: VSTPNÍ MPEDANCE SOSTAVY SE ZPĚTNO VAZBO... 3 OBR. 89: VLV ZPĚTNÉ VAZBY NA CHARAKTERSTKY OBVOD... 3 OBR. 9: TRANZSTOROVÝ ZESLOVAČ SE ZPĚTNO VAZBO OBR. 9: PARAMETRY NELNEÁRNÍHO DVOJPÓL... 7 OBR. 9: RČOVÁNÍ PARAMETRŮ ŘÍZENÉHO NELNEÁRNÍHO DVOJPÓL OBR. 93: PRNCP LNEARZACE NELNEÁRNÍHO REZSTOR OBR. 94: LNEARZOVANÝ MODEL ŘÍZENÉHO NELNEÁRNÍHO REZSTOR OBR. 95: LNEARZACE NELNEÁRNÍHO DVOJBRAN... OBR. 96: ADMTANČNÍ MODEL BPOLÁRNÍHO TRANZSTOR SE... OBR. 97: VÝSLEDNÁ A-V CHARAKTERSTKA DVO NELNEÁRNÍCH REZSTORŮ... OBR. 98: ODVOZENÍ PRŮBĚH PROD V NEO METODO TŘÍ ROVN... OBR. 99: METODA ZATĚŽOVACÍ PŘÍMKY.... OBR. : SESTROJENÍ PRACOVNÍ CHARAKTERSTKY OBVOD S ŘÍZENÝM NELNEÁRNÍM REZSTOREM.. 3 OBR. : NELNEÁRNÍ SETRVAČNÝ OBVOD... 4 OBR. : STATCKÝ MODEL NELNEÁRNÍHO SETRVAČNÉHO OBVOD OBR. 3: TRANZSTOROVÝ ZESLOVAČ SE (A) A JEHO MODLOVÁ CHARAKTERSTKA (B)... 5 OBR. 4: STAVOVÁ TRAJEKTORE OBR. 5: NELNEÁRNÍ RLC OBVOD OBR. 6: TYPCKÉ STAVOVÉ PORTRÉTY OBVOD. ŘÁD... 8 OBR. 7: STAVOVÉ TRAJEKTORE A ODPOVÍDAJÍCÍ ČASOVÉ PRŮBĚHY STAVOVÝCH VELČN OBR. 8: SROVNÁNÍ EKVVALENTNÍHO A DFERENCÁLNÍHO PARAMETR... OBR. 9: ŘEŠENÍ NEO METODO TEČEN.... OBR. : NELNEÁRNÍ OBVOD. ŘÁD OBR. : PŮSOBENÍ JEDNOHO HARMONCKÉHO NAPĚTÍ NA NELNEÁRNÍ REZSTOR... 4 OBR. : MODFKOVANÉ BESSELOVY FNKCE K-TÉHO ŘÁD ARGMENT (B) OBR. 3: APROXMACE A-V CHARAKTERSTKY LOMENO PŘÍMKO... 6 OBR. 4: ČNTELÉ ROZKLAD V ZÁVSLOST NA POLOVČNÍM ÚHL OTEVŘENÍ... 7 OBR. 5: PŮSOBENÍ NĚKOLKA HARMONCKÝCH SGNÁLŮ NA NELNEÁRNÍ REZSTOR OBR. 6: REZONANČNÍ OBVOD RLC OBR. 7: AKTVNÍ FLTR RC SE DVĚMA ZESLOVAČ OBR. 8: NAVRŽENÁ PÁSMOVÁ PROPST RLC

8 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně OBR. 9: TOLERANČNÍ OBLAST V PROSTOR DVO PARAMETRŮ...4 OBR. : TOLERANČNÍ SYNTÉZA VE DVOROZMĚRNÉM PROSTOR PARAMETRŮ...43 OBR. : JEDNODCHÝ DĚLČ PROD (A) A DĚLČ NAPĚTÍ (B)...44 OBR. : HSTOGRAM HODNOTY REZSTORŮ...44 OBR. 3: ROZLOŽENÍ PRAVDĚPODOBNOST HODNOTY R OBR. 4: GASSOVO ROZLOŽENÍ HSTOTY PRAVDĚPODOBNOST OBR. 5: DALŠÍ TYPCKÉ ROZLOŽENÍ HSTOTY PRAVDĚPODOBNOST...46 OBR. 6: DVĚ NÁHODNÉ VELČNY S NORMÁLNÍM ROZLOŽENÍM...46 OBR. 7: VYSTŘEDĚNÍ TOLERANČNÍHO NÁVRH OBR. 8: ŠMOVÝ MODEL OBVOD OBR. 9: MODEL REÁLNÉHO ŠMÍCÍHO REZSTOR OBR. 3: CHARAKTERSTCKÝ PRŮBĚH KMTOČTOVÉ ZÁVSLOST SPEKTRÁLNÍ ŠMOVÉ HSTOTY....5 OBR. 3: POROVNÁNÍ ŠMOVÝCH VLASTNOST VYBRANÝCH OPERAČNÍCH ZESLOVAČŮ...5 OBR. 3: ŠMOVÝ MODEL BPOLÁRNÍHO TRANZSTOR V ZAPOJENÍ SB....5 OBR. 33: ŠMOVÝ MODEL ZÁKLADNÍHO TRANZSTOROVÉHO STPNĚ V ZAPOJENÍ SE OBR. 34: ŠMOVÝ MODEL NPOLÁRNÍHO TRANZSTOR...54 OBR. 35: ŠMOVÝ MODEL REÁLNÉHO OPERAČNÍHO ZESLOVAČE OBR. 36: ŠMOVÝ MODEL NVERTJÍCÍHO ZESLOVAČE S OZ...55 OBR. 37: K DEFNC ŠMOVÉ ŠÍŘKY PÁSMA OBR. 38: ANALÝZA A SYNTÉZA OBVODŮ OBR. 39: VÝVOJOVÝ DAGRAM NÁVRH OBVODŮ OBR. 4: JEDNODCHÝ DVOJPÓL RC....6 OBR. 4: JEDNODCHÝ DVOJPÓL LC....6 OBR. 4: PŘÍČKOVÝ ČLÁNEK DVOJPÓLŮ OBR. 43: EKVVALENTNÍ OBVODY VZNKLÉ ROZKLADEM Z(S) DO ŘETĚZOVÉHO ZLOMK OBR. 44: ZAPOJENÍ OBVOD ODPOVÍDAJÍCÍ VZTAH ( 6.9 )...65 OBR. 45: EKVVALENTNÍ OBVODY VZNKLÉ ROZKLADEM Z(S) NA PARCÁLNÍ ZLOMKY OBR. 46: OBECNÉ BLOKOVÉ SCHÉMA OBVOD SC...66 OBR. 47: SPÍNANÝ EKVVALENT R-SC...67 OBR. 48: NTEGRÁTOR SC-FD OBR. 49: DALŠÍ TYPY NTEGRÁTORŮ SC...68 OBR. 5: ZÁKLADNÍ PAMĚŤOVÝ BLOK S...69 OBR. 5: NENVERJÍCÍ (BEZEZTRÁTOVÝ) S NTEGRÁTOR TYP FD...7 OBR. 5: ZTRÁTOVÝ S NTEGRÁTOR TYP FD...7 OBR. 53: MODLOVÁ CHARAKTERSTKA NTEGRÁTOR S....7 OBR. 54: PŘDRŽENÉ OBVODY V NAPĚŤOVÉM A PRODOVÉM MÓD....7 OBR. 55: PŘDRŽENÉ AKTVNÍ FNKČNÍ BLOKY....7 OBR. 56: TRANSFORMACE STRKTRY BKVAD ARC OBR. 57: AKTVNÍ HORNÍ PROPST RC. ŘÁD V PRODOVÉM MÓD OBR. 58: TŘÍBRANOVÝ KONVEJOR CC + A JEM PŘDRŽENÝ BLOK CC -V PRODOVÉM MÓD...74 OBR. 59: VÍCEFNKČNÍ FLTR. ŘÁD S DVCC V NAPĚŤOVÉM A PRODOVÉM MÓD...74 OBR. 6: OBR. 6: MODLOVÉ CHARAKTERSTKY NVERZÁLNÍHO FLTR V PRODOVÉM MÓD...75 PRODOVÝ NTEGRÁTOR S TRANSKONDKTOREM...75 OBR. 6: PRODOVÝ NTEGRÁTOR S KONVEJOREM CC

9 Teore elektronckých obvodů 9 Seznam tabulek TAB. : PARAMETRY DODY V KNHOVNĚ PROGRAM PSPCE TAB. : PARAMETRY TRANZSTOR V KNHOVNĚ PSPCE TAB. 3: HODNOTY PARAMETRŮ Y TAB. 4: HODNOTY PARAMETRŮ H TAB. 5: KASKÁDNÍ PARAMETRY NEREGLÁRNÍCH DVOJBRANŮ TAB. 6: ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ ZPĚTNÝCH VAZEB.... TAB. 7: ROZDĚLENÍ ZPĚTNÝCH VAZEB DLE ZAPOJENÍ... TAB. 8:. ZÁKLADNÍ PRAVDLA PRO VÝPOČET RELATVNÍCH CTLVOSTÍ TAB. 9: HODNOTY PRVKŮ PÁSMOVÉ PROPST PRO DVĚ SPECFKACE ZADÁNÍ TAB. : REALZACE ELEMENTÁRNÍCH MTANCÍ

10 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Úvod. Zařazení předmětu ve studjním programu Předmět Teore elektronckých obvodů (MTEO) je zařazen na FEKT VT Brno, v magsterském studjním programu Elektronka a radová komunkace (M-ERK), v zmním semestru. ročníku, jako povnný v oboru EST voltelný oborový předmět u TT a mmooborový předmět u BE. Předmět MTEO úzce navazuje na základní teoretcké předměty Elektrotechnka a, Analogové elektroncké obvody a Sgnály a soustavy. Jejch poznatky přímo využívá a dále rozvíjí. Pro jeho studum je zapotřebí dobrých předchozích znalostí z matematky (komplení proměnná a matcový počet), programů MATLAB, PSpce a SNAP. Znalost z MTEO využjete v dalších oborových předmětech užší specalzace, všude tam, kde se využívají analogové obvody a systémy.. Cíl předmětu Student se seznámí s rozšířeným základy obecné teore obvodů a systémů, s jejch aplkací na moderní elektroncké obvody. Naučí se používat různé metody analýzy obvodů, včetně analýzy ctlvostní, toleranční a šumové. Prohloubí s znalostí využtí počítače k podpoře a řešení těchto úloh. Seznámí se s prncpy moderních netradčně pracujících obvodů a se základy syntézy a návrhem nejpoužívanějších elektronckých obvodů. Získají další praktcké dovednost př měření typckých elektronckých obvodů..3 Anotace předmětu Modelování obvodových prvků a paraztních jevů v obvodech. Topologe elektronckých obvodů. Obvodové funkce a parametry. Metody analýzy nelneárních a lnearzovaných elektronckých obvodů. Analýza obvodů s regulárním neregulárním dvojbrany a mnohobrany. Matcové a grafové metody analýzy obvodů. Ctlvostní toleranční a šumová analýza obvodů. Syntéza a návrh obvodů. Soustava obvodů a zpětné vazby.analýza stablty obvodů. Prncpy čnnost moderních netradčně pracujících obvodů..4 Vstupní test Na základě znalostí z předchozích předmětů odvoďte soustavu rovnc popsující následující jednoduché obvody. Použjte Krchhofovy a prvkové rovnce (Ohmův zákon).. Lneární nesetrvačný obvod nultého řádu na Obr.a.. Lneární setrvačný obvod prvního řádu na Obr.b. 3. Nelneární nesetrvačný obvod nultého řádu na Obr.c. Doda (D) je popsána rovncí D au ( e ) D D. (. )

11 Teore elektronckých obvodů 4. Setrvačný obvod prvního řádu na Obr.d. Doda je opět popsána rovncí (. ). 5. Výsledky zobecněte a vyslovte závěr jakým typy rovnc jsou popsány jednotlvé druhy obvodů. (t) (t) u (t) R R u (t) u (t) u (t) C R u (t) u (t) (t) a) b) (t) u (t) R D u (t) u (t) u (t) C D u (t) u (t) Obr. : Jednoduché obvody. c) d) a) Lneární nesetrvačný obvod nultého řádu. b) Lneární setrvačný obvod prvního řádu. c) Lneární nesetrvačný obvod nultého řádu. d) Nelneární setrvačný obvod prvního řádu.

12 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Elektroncké obvody Cíle kaptoly: kázat vzájemnou souvslost a neodděltelnost mez obvody a sgnály. Vysvětlt základní pojmy a dělení obvodů. Prohloubt znalost studentů o zákonech, teorémech prncpech a jejch aplkac v elektronckých obvodech.. Základní pojmy a dělení obvodů Elektroncký obvod je prostorově ohrančená soustava (systém), který je schopen vytvářet, přenášet nebo přeměňovat analogový sgnál. Obvod obsahuje navzájem propojené obvodové prvky. Schéma zapojení je přehledný obrazec reprezentující danou soustavu pomocí tzv. schematckých značek (grafckých symbolů) jednotlvých obvodových prvků. Ve své podstatě je většna reálných obvodů v elektronce nelneární. V řadě z nch však zpracováváme tak malé sgnály, že parametry součástek lze považovat za konstantní a obvod můžeme považovat za lneární. Mez lneárním a nelneárním obvody je zásadní rozdíl, jak v chování a vlastnostech, tak v přístupech k analýze a syntéze těchto obvodů. obvodů lneárních je přechodný děj vždy tlumený, trvá omezenou dobu, je dán vlastnostm obvodu, počátečním podmínkam a buzením. stálený stav obvodu nezávsí na počátečních podmínkách. Spektrum sgnálu na výstupu je stejné jako na vstupu. Platí prncp superpozce. Na něm jsou v podstatě založeny všechny efektvní metody analýzy těchto obvodů. obvodů nelneárních estuje několk ustálených stavů, paměť a hystereze, neplatí prncp superpozce! Dochází zde ku změna spektra zpracovávaných sgnálů (přesun energe ve spektru). To dovoluje provádět v nch specfcké operace a pracovní funkce (jako je např. usměrňování, směšování a j.).. Zákony a teorémy v elektronckých obvodech.. Proudový Krchhofův zákon a jeho zobecnění 3 3 a) b) c) N... N N Obr. : n d) e) Zobecnění proudového Krchhofova zákona. Věta. Zobecnění proudového Krchhofova zákona.

13 Teore elektronckých obvodů 3 Na lbovolném řezu, který rozděluje obvod na podobvody je nulová suma proudů tekoucích větvem řezu. Příklady aplkace této věty jsou uvedeny na Obr.... Prncp superpozce Příklad. Aktvní obvod se dvěma nezávslým zdroj. važujeme aktvní obvod na Obr. 3. rčt máme výstupní napětí. Obvod je buzen dvěma nezávslým zdroj a. Řešení: Výstupní napětí je dáno lneární kombnací příspěvků od obou zdrojů k + k, (. ) kde R ( + B) RR k, k (. ) R + R + B R + R + B ( ) ( ). R B* CCCS R Obr. 3: Aktvní obvod se dvěma nezávslým zdroj. Poznatek z předchozího příkladu lze zobecnt na lbovolný lneární elektroncký obvod. Věta. Odezva obvodu na více budcích sgnálů. Jstá odezva (y) na vícenásobné buzení lneárního obvodu ( )je dána vztahem y N k o, (.3 ) kde k jsou konstanty závslé na parametrech součástek. Příklad. Řešení obvodu na základě prncpu superpozce. kážeme s jný způsob řešení Příklad. a to na základě prncpu superpozce znázorněného na Obr. 4. Řešení: a) V obvodě na Obr. 4a deaktvujeme zdroj nezávslého proudu (, rozpojená větev) Obvod A (Obr. 4b), působí zde jen napěťový zdroj. Jeho řešením dostáváme R ( + B) A. (.4 ) R + R ( + B) b) V obvodě na Obr. 4a deaktvujeme zdroj nezávslého napětí (, zkrat této větve) Obvod B (Obr. 4c), působí zde jen zdroj proudu. Řešením obvodu B dostáváme RR B. ( ) (.5 ) R + R + B Výsledné výstupní napětí je pak dáno

14 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně. (.6 ) + A B Tento poznatek lze zobecnt na lbovolný počet budcích zdrojů. R R CCCS R CCCS R A B* B* a) b) R CCCS R B B* Obr. 4: c) Řešení obvodu dvěma nezávslým zdroj na základě prncpu superpozce. Věta.3 Prncp superpozce. Jstou odezvu v lneárním elektronckém obvodu řešíme postupně jako příspěvky od jednotlvých zdrojů, přčemž ostatní zdroje deaktvujeme...3 Thévennův teorém Příklad.3 Řešení obvodu na základě Thévennova teorému. V Příklad. (Obr. 3) uplatníme předchozí řešení s jnou nterpretací. Do rovnce (. ) dosadíme (. ) a vytkneme společný člen ( + B) R ( ) + R + B + B R. (.7 ) R + Nyní defnujeme R R N + + RN,, kde R + B N + B, (.8 ) a rovnc přepíšeme do jednoduššího tvaru R N. (.9 ) RN + R Tato rovnce (.9 ) odpovídá obvodu (dělč) na Obr. 5b. To se dá nterpretovat tak, že vše nalevo od brány a-b jsme nahradl jedným náhradním zdrojem napětí N v sér s náhradním odporem R N. Tento výsledek se dá zobecnt v následující defnc. Věta.4 Thévennův teorém.

15 Teore elektronckých obvodů 5 Lbovolnou část lneárního obvodu na určté bráně a-b (Obr. 6a) lze nahradt ekvvalentním obvodem (THE) sestaveným z jednoho náhradního zdroje napětí N v sér s náhradním odporem R N (Obr. 6d). Napětí N je dáno napětím na svorkách a-b naprázdno (Obr. 6b). Odpor R N je roven vstupnímu odporu nahrazovaného obvodu na svorkách a-b, když nezávslé zdroje jsou deaktvovány (Obr. 6c). Tato defnce se dá zobecnt na lneární elektroncký obvod s akumulačním prvky. Pak však budeme pracovat v harmoncky ustáleném stavu s mpedancem. R a R N a CCCS R N R B* b b Obr. 5: a) b) Řešení obvodu na základě Thévennova teorému. Nahrazovaný obvod (NO) Obvod a b Zbytek obvodu Nahrazovaný obvod (NO) Obvod a b Zbytek obvodu a) a) Nahrazovaný obvod (NO) a b N b) Nahrazovaný obvod (NO) a b N b) NO s deaktvovaným zdroj, a b R N c) NO s deaktvovaným zdroj, a b R N c) a a N Obr. 6: R N Thévennův ekvvalent b Zbytek obvodu Thévennův teorém. d) N R N Nortonův ekvvalent b Zbytek obvodu d) Obr. 7: Nortonův teorém. Příklad.4 Řešení obvodu na základě Thévennova teorému. Nyní budeme řešt Příklad. (Obr. 3) s použtím Thévennova teorému (Obr. 8). Náznak řešení:

16 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně V prvním kroku řešíme napětí na svorkách (a-b) nahrazovaného obvodu naprázdno (Obr. 8b). V druhém kroku (Obr. 8c) deaktvujeme neřízené zdroje (napěťový zdroj zkratujeme, proudový rozpojíme, řízený zůstává) a určujeme vstupní odpor do nahrazovaného obvodu. Protože v obvodě zůstává řízený zdroj, určíme vstupní odpor nepřímo. Na bránu a-b přpojíme eterní doplňkový zdroj konstantního proudu (obr. 6c) a odvodíme hodnotu napětí vybuzeného na svorkách a-b. Z těchto dvou velčn ( a ) vypočteme hodnotu odporu R np R N R. (. ) + B R a CCCS R B* Nahrazovaný obvod b a) R a CCCS N B* R a b b) a CCCS R np B* b b R N R N R np c) d) Obr. 8: Řešení obvodu dvěma nezávslým zdroj na základě Thévennova teorému...4 Nortonův teorém Místo zdroje napětí N v sér s odporem R N je možno model nahradt ekvvalentním paralelním spojením R N a zdroje proudu N Nortonův ekvvalent. Věta.5 Nortonův teorém Lbovolnou část lneárního obvodu na určté bráně a-b (Obr.7a) lze nahradt ekvvalentním obvodem (NOR) sestaveným z jednoho náhradního zdroje proudu N paralelně s náhradním odporem R N (Obr.7d). Kde N je určen jako proud, který vytéká ze svorky (a) do svorky (b), př jejch zkratu (Obr.7b). Odpor R N je roven vstupní rezstenc na bráně a-b, když všechny nezávslé zdroje jsou deaktvovány (Obr.7c).

17 Teore elektronckých obvodů 7 tato defnce se dá zobecnt na elektroncký obvod s akumulačním prvky. Pak opět budeme pracovat v harmoncky ustáleném stavu s mpedancem. Mez oběma modely (NOR a THE) je souvslost přes známou transformac zdrojů. Tyto náhradní obvody jsou tedy duální. Platí následující vztahy NOR THE THE THE N R N RN RN, N RN N, N. (. ) R Příklad.5 Řešení obvodu na základě Nortonova teorému. Pro obvod na Obr. 9 s řízeným zdrojem napětí (VCVS) určete na bráně a-b Nortonův ekvvalentní model. Náznak řešení: V prvním kroku zkratujeme svorky (a-b), * a tedy řízený zdroj VCVS zkratujeme. Dostáváme jednoduchý dělč proudu, kde proudy odpovídají příslušejícím vodvostem. Řešením dostáváme N 6 A. V druhém kroku, pro určení R N přes vstupní odpor R np, deaktvujeme (rozpojením) neřízený zdroj proudu. Řízený zdroj VCVS zůstává. Vstupní odpor do nahrazovaného obvodu určujeme opět nepřímo. Místo zátěže R 4 přpojíme na bránu a-b lbovolný eterní zdroj napětí a odvodíme hodnotu proudu. Z těchto a vypočteme hodnotu odporu R np R N Ω. Získal jsme tak Nortonův model dle je tvořen jen zatěžovacím rezstorem R 4. N Obr. 7d, kde zbytek obvodu * R 3 Ω a out 8 A R 9 Ω R 3 4 Ω out Obr. 9: Řešení obvodu s řízeným zdrojem napětí na základě Nortonova teorému. Pro tento obvod můžeme psát vztah RN out 6. (. ) R + R + N 4 R4 Pro uvedenou hodnotu zátěže (R 4 4 Ω) vychází ze vztahu (. ) hodnota proudu out 4 A...5 Teorém o přenosu mamálního výkonu Příklad.6 Přenos mamálního výkonu. V předchozím Příklad.5 (Obr. 9) budeme uvažovat proměnou hodnotu zátěže (R 4 ). rčete přenos výkonu v závslost na hodnotě odporu R 4. Kdy bude přenášený výkon mamální? Řešení: Proud zátěží R 4 je dán vztahem (. ) a tedy výkon v zátěž je b R 4 4 Ω

18 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně P R 44 R 4 4 * out ( + R ) (.3 ) 4 Tento vztah je grafcky znázorněn na Obr.. Z něj je vdět, že P ma 8 W je pro R 4 Ω, kdy R 4 R N. Tento výsledek se dá zobecnt v následující defnc. Obr. : Závslost přenášeného výkonu na hodnotě zatěžovacího odporu R 4. Věta.6 Teorém o přenosu mamálního výkonu. Mamální výkon je do zátěže přenášen tehdy když odpor zátěže (R L ) má stejnou hodnotu jako náhradní Thévennův resp. Nortonův odpor THE NOR N RN N R L RN RN RN, tehdy P MAX. (.4 ) 4 R 4..6 Teorém recprocty Věta.7 Teorém recprocty. Poměr odezvy (vybuzené nebo ) v jedné část lneárního elektronckého obvodu k budcímu zdroj nebo je stejný, zaměníme-l místo odezvy a zdroje. Tato defnce neplatí v nelneárních obvodech a pro řízené (závslé) zdroje. Příklad.7 Aplkace teorému recprocty. vedenou defnc recprocty (Věta.7) aplkujte na jednoduchý obvod na a dokažte její platnost. N 4 V R Ω R 4 Ω R 3 Ω R Ω R 4 Ω R 3 Ω 4 V Obr. : a) b) kázka aplkace teorému recprocty. Věta.8 Chování nelneárního prvku.

19 Teore elektronckých obvodů 9 Chování lbovolného nelneárního prvku v elektronckém obvodě je plně určeno jeho A-V charakterstkou, která může být určena testem mmo řešený obvod, bez blžších souvslostí s ostatním prvky obvodu, s kterým je vyšetřovaný prvek spojen..3 Kontrolní otázky z této kaptoly. Vysvětlete proudový Krchhofův zákon, jeho zobecnění a ukažte jeho použtí.. Vysvětlete prncp superpozce. Jak deaktvujeme jednotlvé budcí zdroje? 3. Vysvětlete Thévennův teorém a ukažte jeho použtí. 4. Vysvětlete Nortonův teorém a ukažte jeho použtí. 5. Vysvětlete teorém o přenosu mamálního výkonu a ukažte jeho aplkac. 6. Vysvětlete teorém recprocty a ukažte jeho aplkac.

20 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 3 Obvodové funkce a parametry Cíle kaptoly: Seznámt se základním obvodovým funkcem (přenosovým a mtančním), s jejch symbolckým tvarem, kmtočtovým charakterstkam, póly a nulovým body. Obvod zpracovávající sgnál jako dvojbran, jeho pops různým parametry (admtančním, mpedančním, kaskádním a obrazovým). 3. Základní obvodové funkce Na elektroncký obvod, který zpracovává určtý sgnál lze většnou pohlížet jako na dvojbran. Věta 3. Dvojbran. Dvojbranem (Obr. a) nazýváme soustavu obvodů, která je s vnějším obvody spojena dvěma páry svorek (pólů) a přtom je zaručeno, že každý z těchto párů tvoří jednu bránu. Nejčastější trvální uspořádání je, že na vstupní bránu je přpojen zdroj sgnálu a na výstupní bránu je přpojena zátěž (Obr. b). Předpokládejme nyní, že daný dvojbran je lneární. Vstupní a výstupní napětí jsou dána jako rozdíl příslušných uzlových napětí. Navíc proudy protékající oběma póly jedné brány až na znaménko jsou shodné. Není-l tomu tak obvod není dvojbranem!. ZG np. - out np u np Lneární dvojbran u out out u G u np a a a a u out Z L Obr. :. zdroj Lneární dvojbran a) b) Dvojbran (a) jako přenosový článek (b). zátěž Zavedeno je šest obvodových funkcí dvojbranu. Jsou to dvě přenosové funkce: Přenos napětí př výstupu naprázdno K u out np out. Defnovat lze přenos napětí př určté hodnotě zátěže R z na výstupu. Přenos proudu př výstupu nakrátko ( 3. ) out K ( 3. ) np out. Opět lze defnovat přenos proudu se zátěží na výstupu R z. Pozor na znaménko a orentac výstupního proudu! Dále pak používáme čtyř mtanční funkce, z nchž dvě nazveme bránové a dvě přenosové mtance. Nejčastěj používaná vstupní mpedance naprázdno je dána vztahem

21 Teore elektronckých obvodů Z np np np out ( 3.3 ) Lze j také defnovat př výstupu nakrátko nebo př určté hodnotě zátěže na výstupu. Obdobně je defnována výstupní mpedance nakrátko. Duálně jsou defnovány bránové admtance. Z přenosových mtancí používáme přenosovou mpedanc př výstupu naprázdno out Z T ( 3.4 ) np out. Popřípadě duální přenosovou admtanc př vstupu nakrátko. Každou obvodovou funkc lbovolné soustavy lnearzovaných obvodů je možné vyjádřt jako raconální lomenou funkc, tj. podíl dvou polynomů čtatele (N) a jmenovatele (D), jenž jsou funkcem zobecněné kmtočtové proměnné s (u nás někdy také značené jako p) a příslušných obvodových parametrů F( s, ) Y( s) X ( s) N( s, ) D( s, ) j n m k a ( ) s j b ( ) s k j k. ( 3.5 ) Funkce F(s) jsou zobecněním funkcí F(jω), které popsují obvod v kmtočtové oblast. Obecně jsou defnovány podílem Laplaceových obrazů odezvy Y(s) a buzení obvodu X(s). Ze vztahu ( 3.5 ), př znalost buzení X(s) a obvodové funkce F(s) lehce určíme obraz odezvy obvodu Y(s). Pomocí nverzní Laplaceovy transformace můžeme pak vypočítat odezvy obvodu v časové oblast y(t). Y ( s) F( s) X ( s) y( t) LT [ Y ( s) ]. ( 3.6 ) Všechny uvedené obvodové funkce lze vypočítat pomocí algebrackých doplňků admtanční matce obvodu, jak s ukážeme v kaptole Jednoduše je získáme počítačem podporovanou analýzou, například programem SNAP. 3. Kmtočtové charakterstky Každá obvodová funkce F je komplení funkcí reálného kmtočtu f nebo ω, což se dá obecně vyjádřt následujícím vztahem ( ω ) Re F& ( ω ) jϕ ( ω ) [ ] + j m[ &( ω )] F( ω ) e F & F. ( 3.7 ) Z něj vyplývají čtyř druhy kmtočtových charakterstk. S kmtočtovou závslostí reálné a magnární složky pracujeme jen zřídka. Zato k popsu obvodů hodně používáme modulovou charakterstku F ( ω) a argumentovou charakterstku ( ω) ϕ. Nejčastěj žádanou obvodovou funkcí je přenos napětí ( 3. ). Modulová kmtočtová charakterstka přenosu napětí je defnována vztahem ( ω) K ( ω) Re K& ( ω) ( ) K& ( ω) K & + m( ) ( 3.8 ). Zsk v decbelech (db) pak k( ω ) K( ω ) db log K( ω ). ( 3.9 )

22 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Argumentová (fázová) kmtočtová charakterstka přenosu napětí je defnována vztahem m K& ( ) ( ω ) ϕ ω arctg Re K& ( 3. ) ( ω ). Obdobně jsou defnovány také mtanční obvodové kmtočtové charakterstky. Příklad 3. lustratvní příklad - pasvní fltr. vedené pojmy s blíže lustrujeme na příkladu lneárního obvodu, jehož schéma je uvedeno na Obr. 3. Jedná se o pasvní fltr LC(R) 3. řádu. rčete přenos napětí. L u np R u C C R out Obr. 3: Pasvní fltr LC(R). Analýzou programem SNAP jsme získal přenos napětí v následujícím symbolckém tvaru (ve formě výpsu výsledků řešení z SNAP): Network functon: Voltage gan (open output) symbolc R R +R +s*( L +R*R*C +R*R*C ) +s^()*( R*L*C +R*L*C ) +s^(3)*( R*R*L*C*C ) Úpravou dostáváme hledaný výsledný vztah K R 3 s ( RR LC C ) + s ( RL C + RLC ) + s( L + RRC + RRC ) + R + R ( 3. ) Jmenovatel v ( 3. ) je polynom 3. řádu, což koresponduje s řádem obvodu, určeným třem nezávslým akumulačním prvky. K [ db ] -5 ϕ Obr. 4: -4 k 5k k 5k M 5M M 5M mag. n db frequency f -8 phase k 5kk 5k M 5M M 5M frequency a) b) Modulová (a) kmtočtová charakterstka (b). Obvodovým smulátorem PSpce (standardní AC analýzou), ale také programem SNAP (numerckou nadstavbou symbolcké analýzy), lehce získáme modulovou f

23 Teore elektronckých obvodů 3 charakterstku na Obr. 4a a argumentovou charakterstku na Obr. 4a. Na modulové charakterstce s všmneme, že má sklon - 6 db/dekáda, což je dáno řádem obvodu (n). Obecně platí vztah (.a). Na argumentové charakterstce pak, mamální natočení fáze je určeno vztahem (.b), v našem případě 3*9 o 7 o. Sklon n* db/dekáda (3.a) Fáze ma n*9 o (3.b) ( 3. ) Někdy (zřídka) pracujeme s hodografem přenosu napětí na Obr. 5. -m ( out ) m -m ω -m -3m -36m -m m m 3m 4m 5m mag. part real part Re ( out ) Obr. 5: Hodograf přenosu napětí. 3.3 Póly a nulové body Lbovolnou obvodovou funkc vyššího řádu lze postupně sestavovat z dílčích obvodových funkcí, nebo-l realzovat j skládáním odpovídajících dílčích (jednodušších) podobvodů. Původní funkc ( 3.5 ) rozložíme na kořenové čntele m j a m j s j ( s z )( s z)( s z3)...( s zm ) j F n n k ( s p)( s p)( s p3)...( s pn ) b k s k k ( s zm ) F( s). ( 3.3 ) ( s p ) Ve vztahu ( 3.3 ) je počáteční hodnota obvodové funkce (počáteční přenos) dána a F. ( 3.4 ) b Kořeny čtatele v ( 3.3 ) z j nazýváme nulovým body a kořeny jmenovatele ( 3.3 ) p k jsou póly obvodové funkce. Pro odborníka znalost jejch počtu, polohy (hodnoty) a případně mgrace dávají dokonalý obraz o chování a vlastnostech obvodu. Z rozložení pólů a nulových bodů můžeme sestrojt apromac průběhu kmtočtových charakterstk. K průpravě nám budou sloužt následující příklady. Příklad 3. Nulový bod v počátku. Odvoďte modulovou a argumentovou charakterstku obvodu s nulovým bodem v počátku (Obr. 6a). Řešení: Přenos K(s) takového obvodu je dán jednoduchým vztahem (3.5a). Dosazením za s jω dostáváme přenosovou funkc K(jω) (3.5b). ( s) K s, (3.5a) ( jω) K jω. (3.5b) ( 3.5 ) K K n

24 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Modulovou kmtočtovou charakterstku (vyjádřenou v decbelech) určíme aplkací obecného vztahu ( 3.9 ). Logartmováním vztahu (3.5b) dostáváme rovnc K( ω)[ db] log K + logω ( 3.6 ) y q + k což je přímka uvedená s parametry na Obr. 6. Argumentovou kmtočtovou charakterstku určíme aplkací obecného vztahu ( 3. ) ( ω) ( ω) m K& π Re K& ( ω ), ϕ( ω) arctg arctg Re K& ( 3.7 ) Natočení fáze je tedy konstantní o π +. Př nenulové počáteční fáz pak ( ω) π ϕ ϕ +. m s k db k(ω) + db/dek log ω z Obr. 6: Re s log K a) b) Nulový bod v počátku (a) a odpovídající modulová charakterstka (b). Příklad 3.3 Pól bod v počátku. Odvoďte modulovou a argumentovou charakterstku obvodu s pólem v počátku. Příklad 3.4 Reálný záporný pól. Odvoďte modulovou a argumentovou charakterstku stablního obvodu, který má reálný záporný pól (Obr. 7a). p m s Re s k db a) b) c) Obr. 7: Reálný záporný pól (a). Odpovídající modulová (b) a fázová (c) charakterstka. Náznak řešení: Přenos K(s) takového obvodu je dán vztahem ω k(ω) - db/dek s K ( s) +. ( 3.8 ) p Z něj odvodíme vztah pro modulovou charakterstku p log ω ϕ π 4 ω p ϕ(ω) log ω

25 Teore elektronckých obvodů 5 / ω K( ω ) log +. ( 3.9 ) p Grafcké vyjádření tohoto vztahu je na Obr. 7b. Pro argumentovou charakterstku odvodíme ω ϕ( ω) arctg, ( 3. ) a průběh na Obr. 7c. p Příklad 3.5 Reálný nulový bod. Odvoďte modulovou a argumentovou charakterstku obvodu, který má reálný nulový bod: a) kladný, b) záporný. 3.4 Matcové parametry dvojbranů Regulární lneární obvod nebo jeho část (podobvod) lze vedle obvodových funkcí (kap. ) popsat matcovým parametry ekvvalentního dvojbranu. Nejčastěj používaným jsou admtančním parametry y y y. y. ( 3. ) Vedle toho můžeme použít parametry: mpedanční, hybrdní a kaskádní [ 5 ]. Mez nm estují transformační vztahy (tabulky), podle kterých je lze vzájemně přepočítat [ 5 ]. Obecně jakýkolv lneární dvojbran ( neregulární) může být popsán kaskádním parametry v následujícím matcovém tvaru a a. ( 3. ) a a Pak vstupní mpedanc dvojbranu zatíženého Z L (Obr. b) lze pak vyjádřt vztahem a Z& a Z& & + & L. np ( 3.3 ) a& Z& + a& L Obdobně jeho výstupní mpedance je za předpokladu buzení ze zdroje sgnálu o vntřní mpedanc Z G (Obr. b) dána a Z& a Z& & + & G. out ( 3.4 ) a& Z& + a& G Obvod složený z recprokých prvků je sám taky recproký. Jeho mtační matce (Y, Z) jsou souměrné podél hlavní dagonály (y y ). Platí pro něj taky det A. Obvod bude podélně mpedančně souměrný, když je recproctní a zároveň platí y y, resp. a a. 3.5 Obrazové parametry dvojbranů Obrazové mpedance (charakterstcké, nebo také vlnové mpedance) dvojbranu jsou defnovány jako geometrcký střed vstupních, resp. výstupních mpedancí, je-l druhá brána jednou naprázdno a podruhé nakrátko, což označíme v ndeu do závorky

26 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně & Z& np Z&, (3.5a) Z Z& ( ) npt ( ) out Z& () out ( ) Z &. (3.5a) ( 3.5 ) Po dosazení defnčních vztahů ( 3.3 ) resp. ( 3.4 ), vychází pro obě obrazové mpedance užtečné vztahy a& a& &, (3.6a) Z a& a& a& a& &. (3.6b) ( 3.6 ) Když se dvojbran zatíží na výstupní bráně (Obr. b) mpedancí Z& L Z& bude jeho vstupní mpedance právě rovna obrazové mpedanc Z a obdobné platí naopak. Je-l dvojbran zatížen na obou branách příslušným obrazovým mpedancem, pak je mpedančně přzpůsoben a na žádné z obou bran nenastávají odrazy a přenos výkonu bude mamální. Je-l dvojbran mpedančně souměrný, platí rovnost a& a& a obě obrazové mpedance mají podle ( 3.6 ) stejnou hodnotu, takže pak platí vztah Z& & & a& a& Z Z. ( 3.7 ) Velm často jsou dvojbrany využívány jako přenosové články mez zdrojem budcího sgnálu a zátěží (Obr. b). K popsu přenosových vlastností jsme v kap defnoval přenos napětí ( 3. ) a přenos proudu ( 3. ). Použít můžeme přenos výkonu, nebo-l čntel přenosu výkonu & & & & ( & ) G Ku K. & & ( 3.8 ) Př harmonckém buzení je to bezrozměrné komplení číslo G & Ge ja. V pra se zavedlo jeho logartmcké vyjádření a nazývá se míra přenosu výkonu & ln & & & g G ln b+ ja, & ( & ( 3.9 ) ) kde b je míra útlumu (útlum), zatímco a je míra posuvu. Dříve se útlum vyjadřoval podle ( 3.9 ) v neperech [Np], dnes pomocí dekadckého logartmu v decbelech [db] b log, [db]. ( 3.3 ) Mez těmto jednotkam platí převod: Np 8,636 db nebo db,5 Np. Míra posuvu a se vyjadřuje buď v obloukové míře nebo ve stupních. Pro mpedančně přzpůsobený dvojbran přechází vztah ( 3.9 ) v defnc obrazové míry přenosu (v přímém směru) & & g& o ln b ja & ( & o + o. ( 3.3 ) ) Lze j vypočíst pomocí následujících vztahů: g + ln ln, (3.3a) g& ln( & & & & o a a a a ) Z Z Z a& a&. (3.3b) ( 3.3 ) Obdobně defnujeme obrazovou míru útlumu ve zpětném směru &g o. Tu lze vyjádřt pomocí &g o, a to

27 Teore elektronckých obvodů 7 g& g& ln(det A ), ( 3.33 ) o o kde det A je determnant kaskádní matce A. recpročních dvojbranů je det A, takže g& o g& o g& o. ( 3.34 ) Obrazová míra přenosu je u těchto dvojbranů stejná v obou směrech ( když dvojbran není souměrný). V tomto případě je možné zpětně vyjádřt jednotlvé kaskádní parametry pomocí obrazových mpedancí a obrazové míry přenosu [ 5 ]. 3.6 Kontrolní otázky z této kaptoly. Vysvětlete jak modelujeme dvojbranem určtý obvod přenášející sgnál. Defnujte základní přenosové funkce lneárního dvojbranu.. Defnujte základní mtanční funkce lneárního dvojbranu, reprezentujícího určtý obvod. 3. Jaké druhy kmtočtových charakterstk přenosu napětí znáte, jak jsou defnovány. Jak souvsí jejch průběh s řádem obvodu? 4. Vysvětlete defmc obecné obvodové funkce z matematckého pohledu a její rozlad. Co jsou to nulové body a póly? 5. Vysvětlete souvslost mez kmtočtovým charakterstkam a polohou nulového bodu (v počátku, reálný kladný a reálný záporný). 6. Vysvětlete souvslost mez kmtočtovým charakterstkam a polohou pólu. (v počátku, reálný kladný a reálný záporný). 7. Defnujte admtanční parametry dvojbranu, jako modelu regulárního lneárního dvojbranu. Kdy je obvod recproký a kdy mpedančně souměrný? Jaké další parametry dvojbranu znáte? 8. Defnujte kaskádní parametry dvojbranu, jako modelu lneárního dvojbranu. Kdy je obvod recproký a kdy mpedančně souměrný? Jaké další parametry dvojbranu znáte? 9. Jak jsou defnovány obrazové mpedance dvojbranu? Kdy je obvod mpedančně přzpůsoben?. Defnujte pojmy: přenos výkonu, míra přenos výkonu, míra útlumu, míra posuvu.

28 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 4 Modelování skutečných obvodových prvků Cíle kaptoly: Seznámt studenty s prncpy a flozof modelování obvodových prvků. Modely různých úrovní nejpoužívanějších polovodčových prvků (doda, BJT, FET) a moderních funkčních bloků (operační zeslovače, konvejory etc.), se zaměřením na použtí těchto modelů v smulátoru. 4. Flozofe modelování V dnešní době, kdy máme k dspozc výkonné osobní počítače a profesonální programy pro analýzu a smulac obvodů, je optmální modelování jednou ze základních kvalt nženýrské práce. Př analýze obvodů musíme, tak jako u každé fyzkální soustavy, některé nepodstatné jevy zanedbat, abychom úlohu vyřešl dostupným prostředky za reálnou cenu, popřípadě aby výsledky nebyly zbytečně přehlcené balastem. Vytvoříme s model, v němž jsou uvažovány faktory, mající rozhodující vlv, za určtých podmínek a stupně dealzace. Př prvním přblížení řešíme dealzovaný obvod, v němž jsou součástky nahrazeny jednoduchým modely. Hovoříme o obvodech s deálním obvodovým prvky. Např. rezstor s jednou vlastností odporem. Skutečný rezstor (jako součástka) má však další paraztní vlastnost, které v případě potřeby zahrneme do podrobnějšího modelu. Míra složtost modelů je ovlvněna na jedné straně věrností výsledků, na druhé straně rozumným rozsahem výpočtů. Vytvářené modely musí adekvátně zachycovat vlastnost prvku v předpokládaných pracovních podmínkách. Př tvorbě modelu nutno brát v úvahu: velkost sgnálu - sgnál malý (lneární model), - sgnál velký (nelneární model), Dále uvážíme: rychlost změn (kmtočet) sgnálu fyzkální podstatu prvků, požadovanou přesnost řešení, stupeň obtížnost, Modely mohou být: matematcké modely obvodové modely statcké modely, - sgnál pomalý, nf (rezstvní model), - sgnál rychlý, vf (reaktanční model). účel řešení, programové vybavení. pro analytcká nebo numercká řešení, bez mez kroku výpočtového schématu, globální modely, popsují prvek v celé pracovní oblast, lokální modely, popsují prvek pouze v okolí pracovního bodu, parametry obvodové velčny jsou pouze reálné, dynamcké modely, parametry obvodové velčny jsou komplení.

29 Teore elektronckých obvodů 9 4. Apromace nelneárních charakterstk Nelneární charakterstku f(), která je dána tabulkou, grafem, tolerančním polem nebo nevhodným analytckým výrazem, nahrazujeme apromující funkcí g() v ntervalu <, >, př čemž odchylka (chybová funkce) Δ nepřesáhne dovolenou hodnotu. Krterem shody (mírou přblížení) může být mamální stejnoměrná nebo středně kvadratcká odchylka. Apromac provádíme ve třech krocích - nejprve vybereme apromující funkcí g(), pak určíme její parametry (koefcenty) a nakonec zkoumáme shodu mez apromující funkcí g() a charakterstkou f(). V zoetremální (Čebyševově) apromac hledáme g() ve tvaru polynomu n-tého řádu F(), př mnmální hodnotě mamální odchylky. Vytýčíme-l toleranční kanál f() ± ε, apromující funkce g() se kolem charakterstky f() vlní tak, že se zoetremálně dotkne hrance kanálu v (n+) bodech. Máme-l k dspozc naměřené body (tabulku) charakterstky f() s výhodou použjeme nterpolační apromac. Tehdy se apromující polynom F() shoduje s charakterstkou f() v uzlech (bodech shody) k. Tyto uzly vybíráme z naměřených bodů. Koefcenty polynomu F() určíme ze soustavy (k n) rovnc shody. Zjstíme zda mamální odchylka je menší než dovolená tolerance ε. Není-l tomu tak, zvýšíme řád polynomu. Často se charakterstky f() apromují v okolí pracovního bodu Q[,y ] Taylorovou řadou, což je lokální mamálně plochá apromace. Tehdy F() a f() mají v Q stejnou hodnotu a stejné hodnoty vyšších (n) dervací r ( n) r ( n) F(, a) f ( ), F (, a) f ( ). ( 4. ) Koefcenty polynomu F() určíme ze známých vztahů n d f ( ) a f ( ), an n n! d X. Vhodných apromujících funkcí je celá řada (výběr je mnohoznačná úloha): mocnnový polynom (s konstantním koefcenty a n ) 3 F( ) a + a + a + a a 3 n n ( 4. ), ( 4.3 ) apromace přímkou - lnearzace (první dva členy mocnnového polynomu), y a + a, ( 4.4 ) transformovaný mocnnový polynom (transformace souřadnc pro okolí pracovního bodu Q[,y ]) F $ ( ) a$ a$ ( ) a$ ( ) a$ ( ) 3... a$ n ( ) n , ( 4.5 ) eponencální polynom F a a e b a e b a e b 3 b ( ) a e n, ( 4.6 ) 3 apromace eponencálou (4.7a), posunutou eponencálou (4.7b), což je vhodné pro přechod P-N, eponencálou transformovanou pro okolí pracovního bodu Q[X,Y ] (4.7c) y a e b, (4.7a) y a e b ( ) ( ), (4.7b) y$ a$ e b X o. (4.7c) ( 4.7 ) n

30 3 FEKT Vysokého učení technckého v Brně ep R S Z A A B A D u Obr. 8: Apromace A-V charakterstky polovodčové dody. 4.3 Lokální a globální modely Lnearzací charakterstk nelneárního dvojbranu v okolí pracovního bodu lze vytvořt lnearzovaný dvojbran, jako vhodný lokální model původně nelneárního dvojbranu. Příkladem lokálního modelu tranzstoru je model s y-parametry.takovéto modely nazýváme lokální, protože popsují prvek pouze v jstém pracovním bodě a jeho okolí. Využívají se př popsu obvodu pro malé sgnály a výrazně zjednodušují řešení obvodu. Jný obecnější typ modelů, které modelují daný prvek v celé pracovní oblast, budeme nazývat globálním. Obecně jsou tyto modely nelneární. Mohou však být lneární, jejchž prncp spočívá v apromac charakterstk v celé pracovní oblast lomeným přímkam. Tuto soustavu lomených přímek pak vhodně obvodově modelujeme. Př tom vycházíme ze známých charakterstk deálních řízených rezstorů, zdrojů napětí, zdrojů proudu a deálních dod pracujících jako spínače. 4.4 Modelování skutečné polovodčové dody 4.4. Podrobný rezstvní model polovodčové dody Nejprve s ukážeme složtější, avšak jen rezstvní, model polovodčové dody, vhodný pro počítač (nesmuluje setrvačné vlastnost). Takovýto model je použt v obvodovém smulátoru PSpce. Vychází z podrobné vícenásobné apromace A-V charakterstky skutečné polovodčové dody na Obr. 8. Polovodčová doda (přechod P-N) má v propustném směru v okolí počátku (na Obr. 8 červený úsek OA) ryze eponencální A-V charakterstku au pro < u < A : ( e ), ( υ), a a( υ). ( 4.8 ) S S S Emsní konstanta ( S ) a čntel teplotního napětí (a) jsou slně závslé na teplotě (υ). V bodě A se skutečná charakterstka začíná odchylovat od (červené) eponencály (vlv úbytku na odporu polovodče) a jednoduše j nahradíme přímkou (na Obr. 8 zelený úsek)

31 Teore elektronckých obvodů 3 pro u > A : ( R u A ) + A, A A ( υ ). ( 4.9 ) S V zjednodušených úvahách můžeme A nahradt dfúzním napětím D. V závěrném směru apromujeme charakterstku dody lomenou přímkou pro Z < u < : u, RP RP( υ ), ( 4. ) R P zde Z je Zenerovo napětí. Druhá část je pak pro u < Z : ( u Z ) + B, B B ( υ). ( 4. ) R 4.4. rčování parametrů dody Z Nejsou-l potřebné parametry dané dody v knhovně našeho smulátoru, můžeme je určt z bodů naměřené A-V charakterstky. Některé smulátory mají k tomu zabudované pomocné programy (takový je např. Parts v PSpce). V propustné oblast př apromac eponencálou a uvažování odporu lze psát rovnc d S [ ep( aud RSd ) ], a, T 5,855mV, ( 4. ) m T kde jsou tř neznámé S, m, R S. Pro jejch určení potřebujeme tř rovnce. Napíšeme tedy třkrát rovnc ( 4. ), pro tř body A-V charakterstky. Tak odvodíme následující potřebné vztahy k určení neznámých parametrů: emsní konstanta B A m, B ( 4.3 ) T ln A R odpor v propustném směru S C B m C proud nasycení B T ln C B, ( 4.4 ) B S. ( 4.5 ) ep [ a( B BRS )] Jednoduchý model dody V řadě případů, obzvláště př manuálních výpočtech, se spokojíme s hrubší apromací charakterstky dody lomenou přímkou a tomu odpovídajícímu jednoduchému modelu. Př větších sgnálech (u >> D,7 V) lze dfúzní napětí zanedbat a charakterstku apromovat pro u > : R u S, (4.6a) pro u < : R u (4.6b) ( 4.6 ) P.

32 3 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Dodu pak jednoduše modelujeme dvěma rezstory Zanedbáme-l proud dody ve zpětném směru, rovnce model se zjednoduší (vypustíme R P ) pro u > : R u S, (4.7a) pro u < :. (4.7b) ( 4.7 ) Pro malé sgnály musíme vzít v úvahu dfúzní napětí D, pak je vhodná apromace na popsaná rovncem pro u > D : ( u D ) (4.8a) pro u < :. (4.8b) ( 4.8 ) RS, Rovncím ( 4.8 )(a) odpovídá obvodový model, tvořený sérovým spojení rezstoru R S a napěťového zdroje D.. C d C p C b A R p L S K d (u d ) R S Obr. 9: Model setrvačných vlastností dody Modelování setrvačných vlastností dody Pro rychlé sgnály (v oblast vf) se začínají v dodě uplatňovat setrvačné jevy, které modelujeme akumulačním prvky L a C (Obr. 9), kterým doplníme rezstvní model uvedený v předchozí kaptole Na Obr. 9 je rezstvní model dody smulován řízeným zdrojem proudu d f(u d ). V propustném směru se především uplatňuje dfúzní kapacta C d, projevující hromaděním nosčů náboje v oblast přechodu P-N, kde náboje nedosáhnou okamžtě svůj ustálený stav. V závěrném směru jsou dynamcké vlastnost přechodu dány především barérovou kapactou C b, která je nelneární a napěťově závslá, blíže vz. [ ] Specfkace parametrů dody Podrobný model polovodčové dody je zabudován v obvodových počítačových smulátorech. V některých programech bývají jeho parametry mplctně zadány. Možno je však měnt a tak přzpůsobt výpočet danému skutečnému obvodu. Lepší smulátory mají knhovny běžných prvků od známých světových výrobců. Nejlépe je vybavena knhovna v smulátoru PSpce. V Tab. je uveden příklad specfkace parametrů dody v této knhovně. 4.5 Modelování bpolárního tranzstoru Bpolární tranzstor je obecně nelneární dvojbran, který lze za určtých podmínek (zpracování malých sgnálů) v okolí pracovního bodu lnearzovat a získat tak lneární lokální model.

33 Teore elektronckých obvodů 33 Tab. : Parametry dody v knhovně programu PSpce. MODEL DN94/5C D S.5833E-5 RS N.6743 TT.46E-7 CJO 3.77E- VJ.4 M.4753 EG. XT KF AF FC BV 94 BV 5E-6 Saturaton current Seres resstance Emsson coeffcent Transt tme Zero-bas depleton capactance Juncton potental Juncton gradent coeffcent Energy gap Temperature eponent for s Flcker nose coeffcent Flcker nose eponent Forward bas depleton coeffcent Reverse breakdown voltage Current at breakdown voltage 4.5. Globální nelneární modely bpolárního tranzstoru Pro globální pops bpolárního tranzstoru NPN odvodl Ebers a Moll rovnce aube + α, ( e ), E F R R F FS aubc α, ( e ), C F F R R RS ( 4.9 ) kterým odpovídá nelneární model na Obr.. Zde FS / RS jsou saturační proudy přechodů, α F /α R je proudový zeslovací čntel v dopředném (zpětném) režmu. B R F C E α F. F α R. R Obr. : Ebersův - Mollův model bpolárního tranzstoru. V aktvním režmu lze tento model zjednodušt. Doda D F je pólována v propustném směru. Model můžeme lnearzovat a dodu nahradt rezstorem R S a zdrojem napětí D. Doda D R je pólována v závěrném směru, proud RS lze zanedbat a dodu D R vypustt. kvaltních tranzstorů je zpětný přenos mnmální a můžeme ho zanedbat (α R ), pak v modelu můžeme tento řízený zdroj vypustt. Pro řešení obvodů s bpolárním tranzstory na počítač používáme podrobný globální EM model, který vznkl doplněním základního modelu o další jevy. V něm navíc uvažujeme: ) Setrvačné vlastnost smulují nelneární kapactory C R, C F (jako u dody). ) Earlyho jev (sbíhání charakterstk) smuluje řízený nelneární rezstor R CE. 3) Svodové odpory mez elektrodam R CB a R EB. 4) Odpory otevřených přechodů R CC, R EE a R BB. Tyto sérové odpory použjeme jen výjmečně (neúměrně totž narůstá počet uzlů v obvodě). Ve většně smulátorů jsou veškeré parametry tohoto modelu navíc teplotně závslé.

34 34 FEKT Vysokého učení technckého v Brně V některých programech (PSpce, MC4) je použt globální model Gumellův-Poonův (Obr. ), který má pouze jeden zdroj proudu, avšak řízený dvěma proudy (v obou směrech). Podrobněj smuluje veškeré jevy v tranzstoru ( paraztní jevy vzhledem k substrátu). Podrobný Gumellův-Poonův model v obvodovém smulátoru PSpce obsahuje šest dod (dvě vzhledem k substrátu), tř rezstory a šest nelneárních kapactorů. Kvazsaturační jev je smulován dalším řízeným zdrojem (VCCS). V programu PSpce model obsahuje 59 nastavtelných parametrů (řada z nch je však pro danou třídu tranzstorů stejná). Tento model dokonale posthuje teplotní závslost a šumové vlastnost tranzstorů. C R C C R R B R C f( R, F, T) B C F F R E E Obr. : Gumellův-Poonův model bpolárního tranzstoru Specfkace parametrů BJT Na jednom příkladě evropského bpolárního tranzstoru BC 7A s ukážeme specfkac jeho parametrů v knhovně Pspce (Ebpolar.lb). Tab. : Parametry tranzstoru v knhovně PSpce. Lbrary of European Bpolar Transstor Models Small-Sgnal Bpolar Transstors model BC7A NPN (s7.49f Xt3 Eg. + Vaf6.3 Bf375.5 se7.49f Ne.8 kf Nk.5 Xtb.5 Br.6 sc.7p Nc kr5.33 Rc.464 Cjc5.38p Mjc.39 Vjc.68 + Fc.5 Cje.5p + Mje.77 Vje.5 Trn + Tf45p tf6.94 Xtf7.43 Vtf) * PHLPS pdbc7a caseto Lokální lneární modely BJT Lokální lneární modely popsují bpolární tranzstor v okolí pracovního bodu a to jen pro malé sgnály (změny obvodových velčn). Rozlšujeme je podle toho kolk obsahují řízených zdrojů: obsahují jeden řízený zdroj, obsahují dva řízené zdroje. Další dělení: jednoduchý model se základním dferenčním parametry (g m a r), modely s dvojbranovým parametry (z, y, h a j.), fyzkální modely s technologckým parametry.

35 Teore elektronckých obvodů 35 Jednoduchý model vychází z lnearzovaného popsu BJT se základním dferenčním parametry přenosovou vodvostí g m (strmostí S ), odporů r CE, a r BE, dle následující soustavy rovnc ( 4. ) B ube, (4.a) C g m ube + uce r r BE CE, (4.b) ( 4. ) kde u, jsou změny obvodových velčn, způsobené zpracováním sgnálů (někdy je označujeme Δ u, Δ). Těmto rovncím ( 4. ) odpovídá obvodový model na Obr.. B B C C u BE r BE g m *u BE r CE u CE Obr. : Jednoduchý model BJT se základním dferenčním parametry. Dvojbranové modely dělíme podle použtých parametrů: E modely admtanční (Y) vhodné pro oblast VF (snadno se měří), modely mpedanční (Z), modely hybrdní (H) vhodné pro oblast NF, a další (G, A, K). Použté parametry pro pomalé sgnály uvažujeme jako reálné, pro rychlé (vf) sgnály pak jako komplení, čímž vhodně posthneme setrvačné vlastnost tranzstoru. Hodnoty parametrů závsí nejen na typu tranzstoru, ale na nastavení pracovního bodu. Dají se vzájemně přepočítat (estují přepočtové tabulky). Často lze některé parametry zanedbat a model zjednodušt. B B C C u BE y u CE y y y u BE E u CE Obr. 3: Dvojbranový model s y-parametry. Nejpoužívanější dvojbranový model bpolárního tranzstoru, pro oblast vyšších kmtočtů a pro zapojení se společným emtorem, je model s admtančním (y) parametry na Obr. 3, který odpovídá rovncím B C y y e e y y e e. BE CE. ( 4. ) Pro lustrac v Poznamenejme, že tyto parametry jsou různé pro různá zapojení tranzstoru: SE, SC, SB. Možný je jejch vzájemný přepočet. Nejpoužívanější jsou parametry měřené v zapojení SE.

36 36 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Tab. 3 uvádíme příklad hodnot těchto parametrů. Poznamenejme, že tyto parametry jsou různé pro různá zapojení tranzstoru: SE, SC, SB. Možný je jejch vzájemný přepočet. Nejpoužívanější jsou parametry měřené v zapojení SE. Tab. 3: Hodnoty parametrů y. Tranzstor KC 47 Q: CE 6 V, C ma y 45 μs, y 45 ms, y -,5 μs, y μs. B B h C C u BE h u CE h B h u CE Obr. 4: Dvojbranový model s h-parametry. Pro oblast NF se lépe hodí dvojbranový model s hybrdním (h) parametry na Obr. 4: Dvojbranový model s h-parametry., který odpovídá rovncím BE C h h e e h h e e. V Tab. 4 opět uvádíme příklad hodnot těchto parametrů. Tab. 4: Hodnoty parametrů h. Tranzstor KC 57 Q: CE 6 V, C ma B CE E. ( 4. ) h 4 kω, h,8.-4, h 3, h 7 μs. Vedle uvedených dvojbranových modelů se používají také fyzkální lokální modely, jejchž struktura je odvozena z fyzkální podstaty čnnost bpolárního tranzstoru. Tyto modely obsahují buď jeden nebo více řízených zdrojů. Jedním z nejčastěj používaných takovýchto modelů je Gacolettův model na. Charakterstcký je uzlem vntřní báze (B ). Podobné jsou lokální modely ve tvaru T-článku nebo Π-článku. B B r BB B r B C C C u BE r B E u B E g m u B E r CE u CE Obr. 5: Gacolettův model bpolárního tranzstoru. Dferenční parametry bpolárního tranzstoru, používané v uvedených lokálních modelech, můžeme určt grafcko-početní metodou z naměřených charakterstk. Například přenosovou vodvost g m (strmost tranzstoru) určíme ve výstupních charakterstkách tak, jak je naznačeno na Obr. 6. Ve výstupních charakterstkách určujeme výstupní vntřní odpor E

37 Teore elektronckých obvodů 37 tranzstoru r CE Obdobně ve vstupních charakterstkách určujeme vstupní odpor tranzstoru r BE. Proudový zeslovací čntel β určujeme v charakterstkách proudových převodních Modelování BJT v oblast VF Na vlastnost tranzstoru v oblast vyšších kmtočtů mají zásadní vlv: setrvačné vlastnost BJT (přenosu sgnálu), kmtočtová závslost proudových zeslovacích čntelů β (ω), α(ω), paraztní kapacty C EB, C CB. výstupní charakterstky C Δ ube Δ C u CE EA g m Δ Δu C BE CE konst 4 C Obr. 6: rčení přenosové vodvost tranzstoru. Možnost modelování: dvojbranové parametry uvažovat jako komplení a kmtočtově závslé (doplnt magnární složky), do obvodových modelů přdat akumulační prvky, použít k popsu rozptylové parametry, posuzování vf vlastností podle f mez, t on, t off. Doplnění modelů akumulačním prvky může lustrovat na Gacolettovém modelu (Obr. 5). Ten pro oblast vf doplňujeme paraztním kapactam C BE, C BC tak, jak je uvedeno na Obr. 7. Obdobně lze doplnt ostatní lokální rezstvní modely. C B C B B r BB r B B C C C u BE r B E C B E u B E g m u B E r CE u CE E Obr. 7: Gacolettův model na VF.

38 38 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 4.6 Modelování unpolárního tranzstoru 4.6. Lokální lneární model FETu Polem řízený tranzstor (FET) obecně představuje nelneární, napětím (u GS ) řízený rezstor. V okolí kldového pracovního bodu ho lze lnearzovat a nahradt lokálním modelem uvedeným na Obr. 8. Tento model vychází z popsu FET dferenčním parametry (g D, g T ) pro malé změny obvodových velčn a vyjadřuje vztah D g u + g u. ( 4.3 ) D DS T GS Pro oblast VF sgnálů model doplníme kapactory (mez elektrodam), modelujícím setrvačné vlastnost tranzstoru. Podobně můžeme tento model doplnt dalším prvky, smulujícím paraztní jevy a to různě u tranzstorů MOSFET a JFET. G G D D u GS g m *u GS g D u DS S Obr. 8: Lokální lneární model unpolárního tranzstoru Globální nelneární model FETu Pro velké sgnály lze FET v prvním přblížení modelovat nelneárním řízeným zdrojem (Obr. 9) D f(u DS, u GS, u SB ). Písmenem B je zde označen substrát (Bass). Model jako v předchozích případech doplníme rezstory R S, R D, upravující statcké chování FETu. Setrvačné vlastnost FETu, dané složtým mechansmy vytváření nverzního kanálu modelují kapactory C GD, C GS (ty jsou obecně jsou nelneární a napěťově závslé) a C GD a C out. Takovýto model na Obr. 9 je jeden z mnoha používaných modfkací. Nazývá se podle svého autora Shchmanův. V podrobnějších modelech jsou ještě zahrnuty jevy modulace délky kanálu a změny pohyblvost nosčů náboje. C out D C GB B R D G C GD C GS C f (u DS, u GS, u SB ) R S S Obr. 9: Globální model unpolárního tranzstoru. Shchmanova modelu je řízený zdroj proudu popsán následujícím rovncem:

39 Teore elektronckých obvodů 39 D, pro ugs< T, D β ( + λ uds )( sat uds uds ), pro ugs T, uds < sat, β D + uds sat ugs uds ( λ ), pro T, sat. ( 4.4 ) Prahové napětí T a saturační napětí sat jsou dány následujícím vztahy T T + γ ϕ + usb γ ϕ, sat ugs T ( 4.5 ) Zde T je prahové napětí př nulovém předpětí substrátu, γ je koefcent vlvu prostorového náboje substrátu, ϕ je povrchový potencál substrátu, λ je čntel výstupní vodvost (modeluje modulac délky kanálu, jeho zkracování). Nejdůležtější parametr modelu, proudový čntel β je dán rozměry kanálu. 4.7 Modelování trody Vakuová troda se doposud používá v koncových stupních velm výkonných komerčních vysílačů. Lokální lneární model je shodný s modelem FETu na Obr. 8. Jsou zde však použtý jné symboly (místo g m je vžtá strmost S) a zkratky (A-anoda, G-mřížka, K-katoda). Nelneární globální model vychází ze známé ( třípolovnové ) rovnce popsující anodový proud 3 / A k * ( vgk + k * v AK ) ( 4.6 ) Tuto rovnc můžeme v PSpce modelovat odpovídajícím bloky ABM. 4.8 Modelování funkčních bloků Nové technologe přnesly celou řadu nových funkčních bloků. S některým jsme se seznáml v BAEO [ ]. Stává se, že tyto bloky zatím nenajdeme v knhovně svého obvodového smulátoru. Můžeme je popsat defnčním vztahy a ty modelovat řízeným zdroj, případně jným funkčním bloky, které jsou v daném nástroj k dspozc. Jná stuace může nastat, když př studu nějakého obvodu jsou výsledky, řečeno obrazně, zahlceny balastem a v něm zanká studovaný jev. Do toho můžeme zahrnou počáteční studum pro nás nového obvodu, kdy potřebujeme rychlá a jasná řešení, zda-l obvod plní očekávanou základní funkc. Takovéto modely (. úrovně) zdealzovaného funkčního bloku vyjadřují pouze jeho základní vlastnost. Nejčastěj modelují tyto základní parametry: napěťový (proudový) přenos (zsk), přenosové vodvost (odpory). Neposthují žádné paraztní vlastnost. Použjeme je př prvotních smulacích obvodů, ověřujících základní funkce a prncpy. Obsahují pouze řízené zdroje [ ]. Až potom postupně složtějším modely studujeme paraztní jevy v daném bloku. Proto jsme zavedl modely šest úrovní. Blíže s to ukážeme na modelech nejpoužívanějšího funkčního bloku - reálného napěťového OZ.

40 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 4.9 Modely reálného operačního zeslovače Na Obr. 3 je jednoduchý rezstvní model reálného napěťového OZ. važujeme-l zde jedný reálný parametr a to je napěťový přenos A 5 (dferenční vstup s mpedancí Z np a symetrcký výstup s Z out ), modelujeme OZ jen pomocí zdroje napětí řízeného napětím (E) s parametrem (gan) odpovídajícím A. Jde tedy o nejjednodušší zdealzovaný model -. úrovně. V modelu. úrovně pak uvažujeme vstupní a výstupní odpor s konkrétním hodnotam. Tyto parametry v PSpce můžeme varovat a studovat jejch vlv. Obr. 3: Rezstvní model reálného OZ. Model 3. úrovně, apromují kmtočtovou závslost zesílení A(f) reálného OZ s jedním domnantním pólem, odpovídající vztahu Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. je na Obr. 3. Zde zesílení má hodnotu A 5 a pól je na kmtočtu f 6 khz. Kmtočtová závslost je smulována dolní propustí RC. Můžeme však použít ABM bloky s defnovaným Laplaceovým obrazem přenosu, např. v PSpce je blok ELAPLACE a tak smulovat složtější závslost (vícepólový model) Tyto modely používáme pro kmtočtovou (AC Sweep) časovou (Transent) malosgnálovou analýzu. Obr. 3: Jednopólový model reálného OZ. V některých případech, př zpracování větších sgnálů, nutno vzít v úvahu, že OZ je nelneární. Pracovní charakterstka vedle využívané lneární část má dvě oblast saturace. Lneární model nžší úrovně proto doplníme lmtujícím nelneárním podobvodem. Příklad nelneárního modelu 4. úrovně reálného OZ je na Obr. 3. Vznkl doplněním jednopólového modelu (Obr. 3) dvěma dodam s předpětím, smulujícím omezení pracovní charakterstky (saturac OZ). Obvod je dále doplněn proudovým stejnosměrným zdroj ( DC ), smulujícím proudovou (a nepřímo napěťovou) nesymetr vstupních obvodů OZ. Profesonální modely 5. úrovně (makromodely) byly vytvořené pro výrobce profesonály. Charakterstcké jsou tím, že důležté podobvody, které určují podstatné vlastnost daného funkčního bloku se modelují podrobně na dskrétní tranzstorové úrovn ostatní část ABM bloky a řízené zdroje. Makromodely od světových výrobců součástek jsou obsaženy v knhovně PSpce. Model 5. úrovně reálného OZ je na Obr. 33. Zde je vstupní dferenční zeslovač modelován podrobněj tranzstory. Další stupně pak pouze řízeným zdroj a RC prvky. Tento model dovoluje lépe smulovat vstupní mpedance, proudovou a napěťovou nesymetr,

41 Teore elektronckých obvodů 4 kldové proudy, nelneární pracovní charakterstku vstup-výstup, dferenční souhlasné zesílení kmtočtové charakterstky reálného OZ. V programu PSpce, je model z Obr. 33 doplněn ještě dalším prvky, smulujícím podružné paraztní jevy. Tento makromodel pak jako podobvod (.SBCKT) najdeme v knhovně (LNEAR.LB) v tetové formě. Obr. 3: Nelneární model reálného OZ. Obr. 33: Makromodel (5. úrovně) reálného napěťového OZ. Nejvyšší, 6. úroveň, modelování funkčních bloků je smulace (většnou na počítač) jejch skutečných podrobných zapojení, v dskrétní tranzstorové podobě. Na Obr. 33 je schéma zapojení standardního (napěťového) operačního zeslovače smulovaného v programu Mcrocap MC-6. Tyto modely pak dovolují určt nejen vnější obvodové funkce, ale veškeré obvodové velčny uvntř bloku. Jejch tvorba řešení je však náročnější. 4. Kontrolní otázky z kaptoly 4. veďte co vše je nutno uvážt př tvorbě modelu skutečné obvodové součástky. veďte různé úrovně modelování a druhy modelů.

42 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně. Vysvětlete účel a způsob apromace nelneárních charakterstk, krtera shody. Které funkce používáme nejčastěj k apromac nelneárních charakterstk. 3. Nakreslete obvodovou realzac apromace nelneární charakterstky lomenou přímkou. 4. Jak je v obvodovém smulátoru podrobně apromována A-V charakterstka polovodčové dody? Vysvětlete způsob určování parametrů dody apromované eponencálou. 5. Nakreslete VF model polovodčové dody, posthující setrvačné vlastností. 6. Nakreslete a popšte Gumell-Poonův model bpolárního tranzstoru. 7. Nakreslete a popšte podrobný globální Ebersův-Mollův model bpolárního tranzstoru. 8. Nakreslete a popšte Ebersův-Mollův model bpolárního tranzstoru zjednodušený pro normální aktvní režm. 9. Vysvětlete lnearzac bpolárního tranzstoru. Jaké lokální lneární modely používáme? Nakreslete a popšte jednoduchý model bpolárního tranzstoru s dferenčním parametry g m, r BE, r CE.. Nakreslete a popšte lokální model bpolárního tranzstoru s y-parametry.. Nakreslete a popšte lokální model bpolárního tranzstoru s h-parametry.. Nakreslete a popšte Gacolettův model bpolárního tranzstoru. 3. kažte jak doplníme rezstvní model bpolárního tranzstoru pro oblast VF, aby model smuloval setrvačné jevy. 4. Nakreslete a popšte globální Shmanův model unpolárního tranzstoru (MOSFET). 5. Nakreslete a popšte lokální model unpolárního tranzstoru (FET). 6. Nakreslete a popšte jednopólový model (3. úrovně) standardního OZ. 7. Na modelu standardního OZ blíže ukažte vlastnost nelneárních modelů (4. úrovně). 8. Na makromodelu standardního OZ blíže ukažte vlastnost modelů 5. úrovně. 9. Nakreslete a popšte jednopólový model (3. úrovně) standardního OZ.. Popšte dva způsoby modelování kmtočtových závslostí reálného OZ v smulátoru PSpce Obr. 34: Model 6. úrovně reálného OZ.

43 Teore elektronckých obvodů 43 5 Topologe elektronckých obvodů Cíle kaptoly: Seznámt studenty se základy topologe elektronckých obvodů tak, aby pochoply algortmzac řešení obvodů na počítač a způsob přechodu od schématu k rovncím popsujícím daný obvod v smulátoru. 5. Základní pojmy Topologe je vědní obor (odvětví matematky), zabývající se vlastnostm geometrckých obrazců, struktur a objektů. Topologcký graf jako obraz obvodu vznkne ze schématu když, každý obvodový prvek nahradíme segmentem grafu. Dvojpól nahradíme větví (hranou edge). zel je místo, ve kterém jsou spojeny svorky (póly) dvou nebo více dvojpólů č mnohopólů a zpravdla se označuje plným kroužkem. Větev představuje souhrn všech obvodových prvků zapojených mez dvěma uzly a schematcky se znázorňuje čarou spojující tyto dva uzly. Pozn.: deální zdroj proudu zapojený mez dvěma uzly se z topologckého hledska nepovažuje za větev vzhledem k jeho nekonečně velké vntřní mpedanc. Topologcké schéma obvodu je překreslené schéma globálního lnearzovaného modelu celé soustavy tak, že jsou v něm uzly a větve nahrazeny jejch zjednodušeným značkam. zlový pár je tvořen lbovolnou dvojcí uzlů. Větve, které jsou přpojené k jednomu uzlovému páru, jsou tzv. paralelní větve. Orentovaný graf vynkne přřazením určté orentace každé větv pomocí špky a může např. odpovídat orentac napětí nebo proudů příslušných větví. Smyčka představuje posloupnost konečného počtu větví, které na sebe v jednotlvých uzlech navazují a tvoří uzavřenou dráhu. Lze j též přsoudt určtou orentac. Vstupní (výstupní) uzel je uzel s jednou vystupující (vstupující) větví. Příklad 5. Jednoduchý pasvní obvod. Nakreslete topologcký orentovaný graf pro jednoduchý obvod RLC na Obr. 35. v6 v6 v4 v4 C 4 R 6 L 5 v v5 v v3 v R R 3 - v3 C 3 3 Obr. 35: a) b) Jednoduchý pasvní obvod RLC (a) a jeho topologcký orentovaný graf (b). Náznak řešení: Topologcký (orentovaný) graf obvodu RLC na Obr. 35a je na Obr. 35b. Separátní část je taková část soustavy obvodů, která není vodvě spojena s ostatním částm soustavy (vazba mez nm je realzována např. magnetckým polem). Příklad 5. Obvod se dvěma separátním částm. Nakreslete topologcký graf obvodu se dvěma separátním částm na Obr. 36a.

44 44 FEKT Vysokého učení technckého v Brně L 3 R 3 R 3 C 3 u (t) 6 R 6 3 (t) R 4 R 6 L L R Obr. 36: 5 C 4 M 7 a) b) Obvod se dvěma separátním částm (a) a jeho topologcký graf (b). Náznak řešení: Topologcký graf (neorentovaný) obvodu se dvěma separátním částm (Obr. 36a) je na Obr. 36b. Úplný strom grafu tvoří větve, které navzájem spojující všechny uzly a př tom netvoří žádnou uzavřenou smyčku. Větvím úplného stromu se říká závslé větve nebo haluze. Větve, které nejsou součástí zvoleného úplného stromu, se nazývají hlavní (nezávslé) větve nebo tětvy. Přdáním jedné nezávslé větve k úplnému stromu soustavy vznkne nezávslá smyčka Příklad 5.3 Úplné stromy grafu. Pro topologcký graf v Příklad 5. nakreslete různé stromy. Řešení: Z topologckého schématu obvodu (Obr. 35b) lze vytvořt řadu úplných stromů (Obr. 37). Jsou-l tvořeny plynulou posloupností, jde o tzv. lneární stromy (Obr. 37a,b). Typcké jsou též tzv. hvězdcovté (vějířovté) stromy (Obr. 37c, d). Soustava obsahující několk separátních částí má úplný strom u každé separátní část, a jejch souhrn tvoří les stromů Obr. 37: a) b) c) d) Úplné stromy topologckého grafu. Pro aplkac základních zákonů elektrckých obvodů je nutné určt počet nezávslých uzlů, resp. uzlových párů ( p ), který určuje počet nezávslých rovnc podle. KZ a počet nezávslých smyček () s, který určuje počet těchto rovnc podle. KZ. soustav obsahujících regulární dvojpóly, se dá snadno zjstt, že tyto velčny jsou dány jednoduchým vztahy p n d, (5.a) s v p v n+ d, (5.b) ( 5. ) kde n je počet uzlů dané soustavy, d je počet jejích separátních částí a v je celkový počet větví. Pro obvody s regulárním mnohopóly č mnohobrany budou tyto vztahy zobecněny v kap 7.

45 Teore elektronckých obvodů Pops ncdenčním matcem Příklad 5.4 Pops ncdenčním matcem. važujte obvod a topologcký graf (Obr. 35b) z Příklad 5.. Pro nezávslé uzly napšte. KZ. Pozn.: Proudy vstupující do uzlu se znaménkem (+) vystupující (-). Řešení: Pro jednotlvé uzly ( až 3) napíšeme rovnce. KZ. : + +, () 4 6 ( ) : 4 + 5, () 3 : ( 5. ) Rovnce ( 5. ) lze zapsat v matcovém tvaru M, ( 5.3 ) kde M je (zkrácená) ncdenční matce uzlů a větví. Doplněním pro vztažný uzel () získáme úplnou ncdenční matc M *. větve: uzly: M * () - () - - ( 5.4 ) (3) () Matce M má n řádků a v sloupců. Hodnost M je (n-). Zkrácená matce je regulární. Naopak úplná je sngulární, det M *, součet prvků v řádku nebo ve sloupc je nula. Prvek matce m k, jestlže z -tého uzlu k-tá větev vystupuje, m k -, jestlže do -tého uzlu k-tá větev vstupuje a m k, když větev z uzlem nesouvsí. Veškerá větvová napětí (Obr. 35 červeně) jsou určeny napětím uzlovým (Obr. 35 modře). Například větvové napětí v 4. ( 5.5 ) V souvslost se všem uzly pak vektorově Podobně [ ] v 4,,. ( 5.6 ) 3 [ ] v 5,,, ( 5.7 ) 3 což se dá zobecnt pro všechna větvová napětí do sumárního matcového tvaru v T M. ( 5.8 ) Rovnce ( 5.3 ) reprezentuje. KZ a rovnce ( 5.8 ) reprezentuje. KZ.

46 46 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 5.3 Soubor řezů grafu. Řez je soubor větví, které jsme odstranl, aby se graf rozpadl na dvě nesouvsející část (ne však více). V grafu zakreslujeme řez čárkovanou čarou, která protíná odstraněné větve (Obr. 38a). Za jednu část rozříznutého grafu považujeme samotný uzel (Obr. 38b) řez Obr. 38: a) K pojmu řez topologckého grafu. Ze všech možných řezů vybíráme soubor základních fundamentálních řezů, kdy každý z nch protíná jen jednu haluz. Dva fundamentální soubory řezů, souvsející s Příklad 5. jsou na Obr. 39a,b. Fundamentálních řezů je tolk, kolk je větví stromu (haluzí). Řezům přsuzujeme orentac a to tak, že haluze je protínají zprava (Obr. 39a). b) řez- řez- řez-3 řez- řez- b 5 b 6 c b b b 3 b 4 c 4 b 7 Obr. 39: řez-3 a) b) c) Fundamentální soubory řezů. Řezy označíme c a větve b k (Obr. 39c). Pak soubor řezů můžeme zachytt ncdenční matcí řezů a větví Q. Prvek této matce q k, protíná-l k-tá větev -tý řez zprava, q k -, protíná-l k-tá větev -tý řez zleva a q k, když k-tá větev -tý řez neprotíná. Příklad 5.5 Graf s fundamentálním souborem řezů. Na Obr. 39c je příklad takto popsaného grafu s fundamentálním souborem řezů. Haluze b až b 4 jsou zde vyznačeny plně černě, tětvy b 5 až b 7 čárkovaně černě a fundamentální řezy c až c 4 čárkovaně červeně. Napšte ncdenční matcí řezů a větví Q. Řešení: ncdenční matce řezů a větví odpovídající grafu na Obr. 39c je haluze: tětvy: řezy: b b b 3 b 4 b 5 b 5 b 6 c - c ( 5.9 ) Q c 3 c 4 c c 3

47 Teore elektronckých obvodů ncdenční matce smyček a větví b 3 b b 4 Každá orentovaná smyčka l je tvořena posloupností několka větví (b k ). Všechny nezávslé smyčky sestavíme do vektoru L a všechny větve do vektoru B, pak můžeme jejch souvslost vyjádřt matcovou rovncí l 3 b l l b 5 b 5 b6 L D B. ( 5. ) kde D je (zkrácená) ncdenční matce smyček a větví. Prvek této matce d k, jestlže se orentace -té smyčky shoduje s orentací k-té větve, d k -, když je orentace -té smyčky opačná k orentac k-té větve, d k, když k-tá větev není součástí -té smyčky. Obr. 4: Graf se souborem nezávslých smyček. Příklad 5.6 Graf se souborem smyček. Na Obr. 4 je topologcký graf s vyznačeným souborem tří nezávslých smyček l, l a l 3. Napšte ncdenční matcí smyček a větví D. Řešení: ncdenční matce smyček a větví odpovídající grafu na Obr. 4 je větve: smyčky: b b b 3 b 4 b 5 b 5 l ( 5. ) D l - - l 3 Jsou-l větve v ncdenčních matcích M a D stejně uspořádány, pak mez nm platí ortogonální vztahy T T M D D M. ( 5. ) ncdenční matce zavedl Poncaré. Obrazně řečeno dovolují převést topologcké grafy do řeč počítačů. kázal jsme s, že pomoc nch můžeme vyjádřt základní zákony (KZ) elektrckých obvodů. Použjeme je př obecném a pro počítače lehce algortmzovatelném sestavování matcového popsu obvodů. 5.5 Kontrolní otázky z kaptoly 5. K čemu slouží topologe obvodů? Na zvoleném příkladu ukažte sestrojení topologckého grafu.. Vysvětlete pojmy haluze, tětvy a úplný strom topologckého grafu. 3. Vysvětlete pojmy smyčka, řez a fundamentální soubor řezů topologckého grafu. 4. Jak jsou defnovány a k čemu slouží ncdenční matce řezů a větví. 5. Jak jsou defnovány a k čemu slouží ncdenční matce smyček a větví.

48 48 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 6 Základní matcové metody analýzy obvodů Cíle kaptoly: Prohloubt znalost studentů v řešení lnearzovaných obvodů metodou smyčkových proudů a uzlových napětí. Naučt je určovat obvodové funkce pomocí algebrackých doplňků mtačních matc. Seznámt je s využtím ncdenčních matc (kap. 5) pro algortmzac řešení obvodů na počítač. 6. Analýza lnearzovaných obvodů Analýzou se zjšťují vlastností elektrckých obvodů, jejíž struktura, tj. propojení prvků jejch parametry jsou dány. Př malé ampltudě zpracovávaných sgnálů, lze jednotlvé nelneární prvky č bloky nahradt jejch lnearzovaným modely, popsaným dferencálním parametry závslým na kldových pracovních bodech, jejchž polohu je př numercké analýze nutné znát. K tomu slouží stejnosměrná analýza obvodu, což je relatvně komplkovaná úloha nelneární analýzy řešená zpravdla numercky na počítač. Př symbolcké analýze používáme obecných symbolů pro jednotlvé dferencální parametry a znalost konkrétních pracovních bodů v tomto případě není nezbytná. Př analýze se vychází ze základních zákonů elektrckých obvodů. Výsledkem je pops modelu pomocí soustavy algebrackých rovnc o n neznámých obvodových velčn nebo určujeme požadované obvodové funkce, např. přenos napětí, vstupní mpedanc apod. Př harmonckém buzení a analýze ustáleného stavu se užívá záps v komplením nebo operátorovém tvaru v kmtočtové oblast (p nebo ω). Zajímají-l nás přechodné děje v časové oblast následuje navíc ještě zpětná Laplaceova transformace. Počty a tvar nezávslých rovnc vyplynou z topologckého rozboru daného zapojení obvodu a provedeného podle kap Metoda smyčkových proudů 6.. Prncp MSP Prncp této metody byl uveden v [ 7 ], [ 8 ]. Tam jste se také seznáml s postupem sestavování mpedanční matce Z u jednoduchých regulárních obvodů. Poznamenejme, že tento postup je vhodný jen pro ruční výpočty a soustavy obsahující pouze dvojpóly. Zopakujte s jej na sestavení matce Z v následujícím příkladu. v7 R 7 v 4 C L v4 4 R 4 R v6 6 v v3 v5 R R 3 3 C 5 L 6 Obr. 4: Řešení obvodu RLC metodou smyčkových proudů. Příklad 6. Řešení obvodu RLC metodou smyčkových proudů.

49 Teore elektronckých obvodů 49 važujme obvod RLC na Obr. 4, který má 4 uzly 7 větví a 4 souhlasně orentované smyčky. (označeny modře). Postupem vám známým z [ 8 ] sestavte mpedanční matc Z. Základem metody smyčkových proudů (MSP) je zavedení menšího počtu fktvních proudů tekoucích kolem dokola jednotlvých nezávslých smyček (na Obr. 4 vyznačeny modře). Vztah mez skutečným proudy jednotlvých větví v (na Obr. 4 vyznačeny růžově) a nově zavedeným proudy nezávslých smyček lze zapsat v matcovém tvaru v T D, ( 6. ) kde je sloupcový vektor smyčkových proudů, v je vektor proudů jednotlvých větví, D je obdélníková transformační matce mez původním a nově zavedeným souřadncem, která je totožná se zkrácenou ncdenční matcí smyček a větví, zavedenou v kap. 5.4, matce T D je k ní transponovaná. Př volbě nezávslých smyček je výhodný vějířovtý tvar úplného stromu soustavy, neboť pak jsou jednotlvé smyčky přehledně rozprostřeny a navzájem se stýkají mnmálním počtem větví. Každé nezávslé smyčce se přsoudí jeden smyčkový proud a sestaví se s nezávslých rovnc podle KZ. Před tím všechny zdroje proudu musí být přepočítány na ekvvalentní zdroje napětí. Standardní matcový tvar těchto rovnc je Z, ( 6. ) kde je vektor známých budcích smyčkových napětí, tj. součtů napětí všech zdrojů zapojených v každé nezávslé smyčce (kladný směr se přtom bere prot směru jednotlvých smyčkových proudů), je vektor neznámých smyčkových proudů a Z je čtvercová mpedanční matce. Aby soustava rovnc () měla řešení, musí být samozřejmě matce Z regulární. Pak estuje její nverzní matce Z a řešení lze zapsat v obecném tvaru Z, ( 6.3 ) jehož každý řádek vyjadřuje proud v příslušné nezávslé smyčce, tj. ( ; ; ; ) k k + k + + s k s Δ Δ Δ... Δ, k,,..., s. ( 6.4 ) Symbol Δ zde označuje determnant mpedanční matce Z, Δ ; k je její algebracký doplněk, tj. ( ) α - krát determnant zkrácené matce, která vznkne z matce Z vynecháním -tého řádku a k-tého sloupce, kde α značí počet lchých čísel mez ndey a k. Rovnce ( 6.4 ) je jstým způsobem vyjádření prncpu superpozce (kap...). Skutečné proudy v jednotlvých větvích se nakonec vypočítají z transformačních rovnc ( 6. ). 6.. Algortmus sestavování mpedanční matce vhodný pro počítač Nyní s ukážeme jný způsob sestavování mpedanční matce, vhodný pro počítače. Založen je na použtí ncdenční matce větví a smyček D (kap. 5.4) a tzv. mpedanční matce větví Z v, což je čtvercová dagonální matce, v jejíž hlavní dagonále jsou mpedance jednotlvých větví a prvky mmo hlavní dagonálu jsou nulové. Tato matce je součástí mpedančního popsu jednotlvých větví v globálním matcovém tvaru v Z v v, kde v a v jsou vektory napětí a proudů všech větví. Výslednou mpedanční matc obvodu (soustavy) Z je možné vyjádřt jako součn tří matc v T T Z DZ v D D Z D. ( 6.5 )

50 5 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Tato lneární transformace představuje obecnější metodcký přístup k řešení daného problému, neboť je v ní jž vyjádřena souvslost mez původním (větvovým) popsem jednotlvých prvků soustavy jako dílčích podsoustav a výsledným popsem celé soustavy. Způsob zapojení jednotlvých prvků do této soustavy je zakódován v obou navzájem transponovaných transformačních matcích D a T D. Zatímco u obvodů obsahujících pouze dvojpóly není tento obecný postup ještě nutný, u soustav s regulárním dvojbrany a mnohobrany je jž nezbytný. Příklad 6. Řešení obvodu RLC s využtím ncdenčních matc Právě uvedeným postupem, s využtím ncdenčních matc, sestavte mpedanční matc Z obvodu RLC na Obr. 4, který jste řešl jným způsobem v Příklad 6.. Řešení: V prvním kroku sestrojíme dle kap. 5.4 zkrácenou ncdenční matcí smyček a větví b b b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 D l l - ( 6.6 ) l 3 - l Transponovanou ncdenční matc T D získáme záměnou řádků a sloupců. Zvolená množna čtyř souhlasně orentovaných neznámých smyčkových proudů ( až 4 ) je na Obr. 4 vyznačena modře. Množna sedm větvových proudů ( v až v7 ) je na Obr. 4 vyznačena červeně.. Jejch vzájemný vztah je dán transformační matcovou rovncí ( 6. ) v tomto konkrétním tvaru v v - v v4-4 ( 6.7 ) v5 - v6 v7 mpedanční matce větví bude mít pro volně ložené prvky obvodu na Obr. 4 následující dagonální tvar R /pc Z v R 3 R 4 +pl 4 /pc 5 R 6 +pl 6 R 7 ( 6.8 ) Výslednou mpedanční matc obvodu Z získáme dle vztahu ( 6.5 ) jako součn těchto T tří matc Z DZ D (postupným řádko sloupcovým násobením) v Z R +R 3 +/pc -R 3 R 6 +pl 6 +/pc 5 -/pc 5 -R 3 -/pc 5 R 3 +R 4 +pl 4 +/pc 5 R 7 +R 4 +pl 4 +/pc ( 6.9 )

51 Teore elektronckých obvodů rčování obvodových funkcí pomocí algebrackých doplňků Pro jednoduchost př výpočtu obvodových funkcí uvažujeme první nezávslou smyčku jako vstupní, buzenou ze zdroje napětí a druhou smyčku jako výstupní. Estují-l další budcí zdroje napětí, tak je zkratujeme a ve vztahu (4) uvažujeme 3... s. Pak oba sledované smyčkové proudy (vstupní a výstupní) jsou dány zjednodušeným výrazy Δ Δ ; ;, (6.a) Δ Δ. (6.b) ( 6. ) Z těchto rovnc ( 6. ) lze snadno vyjádřt následující obvodové funkce. Vstupní admtance (nakrátko) jako poměr vstupního proudu a vstupního (budcího) napětí Δ ; Y np. ( 6. ) Z Δ np Přenosová admtance (nakrátko) je poměr výstupního proudu a vstupního napětí Δ ; YT. ( 6. ) Z Δ T Přenos proudu (nakrátko) je dán poměrem výstupního a vstupního proudu Δ ; K. ( 6.3 ) Δ ; 6.3 Metoda uzlových napětí 6.3. Prncp MN Metoda uzlových napětí (MN) je duální k MSP, takže postup výkladu bude zcela analogcký. Podle toho, jakým způsobem se zvolí nezávslá napětí (tj. nezávslé uzlové páry), rozdělují se soustavy souřadnc napětí na souhlasně a nesouhlasně orentované. kážeme s to na Obr. 4, v obvodě se čtyřm uzly a šest větvem, jehož topologcké schéma je na Obr. 4a. Souhlasně orentovaná soustava uzlových napětí (Obr. 4b) má všechna nezávslá napětí vztažena k jednomu společnému vztažnému uzlu (tzv. referenční uzel). Všechny ostatní kombnace tvoří vždy nesouhlasně orentovanou soustavu napětí uzlových párů (Obr. 4c). Pokud je to možné, snažíme se volt souhlasně orentovanou soustavu, neboť její pops je nejjednodušší Obr. 4: 4 4 a) b) c) Volba soustavy hledaných napětí.

52 5 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Základem MN je opět zavedení menšího počtu ( p ) zvolených napětí uzlových párů. Vztah mez skutečným napětím ve větvích v a nově zavedeným napětím nezávslých uzlových párů lze zapsat v matcovém tvaru v T M, ( 6.4 ) kde M je ncdenční matce uzlových napětí (nezávslých uzlových párů) a větví (kap. 5.) a matce T M je k ní transponovaná. Každému nezávslému uzlu (uzlovému páru) se přsoudí hledané napětí a sestaví se p nezávslých rovnc podle. KZ. Před tím musí být všechny zdroje napětí přepočítány na ekvvalentní zdroje proudu. Standardní matcový tvar těchto rovnc je Y, ( 6.5 ) kde je vektor známých uzlových proudů (budcí velčny), je vektor neznámých napětí nezávslých uzlových párů a Y je čtvercová admtanční matce. Aby soustava rovnc ( 6.5 ) měla řešení, musí být samozřejmě matce Y regulární. Pak estuje její nverzní matce Y a řešení lze zapsat v obecném tvaru Y, ( 6.6 ) jehož každý řádek vyjadřuje napětí příslušného nezávslého uzlového páru, tj. k ( k + k + + p k p) Δ Δ Δ Δ ; ;... ;, k,,..., p. ( 6.7 ) Symbol Δ zde označuje determnant admtanční matce Y, Δ ; k je opět její algebracký doplněk, tj. ( ) α - krát determnant zkrácené matce, která vznkne z matce Y vynecháním -tého řádku a k-tého sloupce, kde α značí počet lchých čísel mez ndey a k. Rovnce ( 6.7 ) je dalším ze způsobů matematckého vyjádření prncpu superpozce (kap...). Skutečná větvová napětí se nakonec vypočítají z transformačních rovnc ( 6.4 ). Také u této metody je možné matcovou rovnc ( 6.6 ) sestavt přímo podle zapojení obvodu, a to včetně matce Y, jejíž tvar je zde rozhodující pro výpočet obvodových funkcí. Algortmus přímého sestavení Y je opět velm jednoduchý, zejména u obvodů obsahujících pouze dvojpóly. Seznáml jste se s nm v v [ 7 ], [ 8 ].. V tomto případě je matce Y stejně jako Z, souměrná okolo hlavní dagonály ( y y ) a to v důsledku recprocty celé soustavy. Postup s zopakujte na sestavení matce Y v následujícím příkladu. Příklad 6.3 Řešení obvodu RC metodou uzlových napětí. Postupem známým z [ 8 ]. sestavte admtanční matc obvodu RC na Obr. 43. j j v3 v v R 3 v4 R C 3 C 4 R R v5 3 4 v6 4 Obr. 43: Řešení obvodu RC metodou uzlových napětí.

53 Teore elektronckých obvodů Algortmus sestavování admtanční matce vhodný pro počítač Nyní s ukážeme obecnější způsob sestavování výsledné admtanční matce obvodu (soustavy) Y, který je vhodný pro aplkace na počítač. Založen je na použtí ncdenční matce větví a uzlových párů M (kap. 5. ) a matce k n transponované T M v následujícím vztahu součnu tří matc v T T Y MYv M M Y M. ( 6.8 ) Ten je duální ku vztahu ( 6.5 ) u MSP. Matce Y v je tzv. admtanční matce větví. Je to čtvercová dagonální matce, v jejíž hlavní dagonále jsou admtance jednotlvých větví a prvky mmo hlavní dagonálu jsou nulové. Tato matce je součástí admtančního popsu jednotlvých větví v globálním matcovém tvaru v Yv v, ( 6.9 ) kde v a v jsou vektory napětí a proudů všech větví. Transformace opět představuje obecnější metodcký přístup. zde je vyjádřena souvslost mez původním větvovým popsem a výsledným popsem celé soustavy. Způsob zapojení jednotlvých prvků do této soustavy je zakódován v matc M resp. T M. Zatímco u obvodů obsahujících pouze dvojpóly není tento obecný postup nutný, u soustav s regulárním vícebrany je nezbytný. Příklad 6.4 Řešení obvodu RC s využtím ncdenčních matc. Postupem založeným na vztahu ( 6.8 ) sestavte admtanční matc obvodu RC na Obr. 43, který jste řešl jným způsobem v Příklad 6.3. Řešení: Zvolená množna čtyř souhlasně orentovaných neznámých uzlových napětí ( až 4 ) je na Obr. 43 vyznačena modře. Množna šest větvových napětí ( v až v6 ) růžově. Jejch vztah je dán transformační matcovou rovncí ( 6.4 ) v tomto konkrétním tvaru v - v - v v4-4 v5 v6 ( 6. ) Ten napíšeme přímo na základě nspekce obvodu na Obr. 43. Nejprve jako soustavu šest rovnc, vyjadřující vztah mez původním napětím ve větvích v a nově zavedeným uzlovým napětím, např.: v -. Soustavu rovnc pak přepíšeme do matcového tvaru ( 6. ), kde obdélníková matce je hledaná T M. Admtanční matce větví následující dagonální tvar G pc Y v bude mít pro volně ložené prvky obvodu na Obr. 43 Y v G 3 pc ( 6. ) G G 4

54 54 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Výslednou admtanční matc obvodu Y získáme dle vztahu ( 6.8 ), jako součn tří odvozených matc (postupným řádko sloupcovým násobením). Výsledkem je Y G -G -G G + G 3 +pc -pc -G 3 -pc pc +pc -pc -G 3 -pc G 3 +G 4 +pc ( 6. ) rčování obvodových funkcí pomocí algebrackých doplňků važujme opět základní aplkac obvodů pro zpracování sgnálů, kdy lneární soustavu lze považovat za dvojbran, který je buzen pouze jedním zdrojem sgnálu na vstupní bráně a zatížen na výstupní bráně určtou mpedancí. Tehdy je vhodné (ne však nutné) volt první nezávslý uzlový pár soustavy jako vstupní, tj. buzený ze zdroje proudu, a druhý uzlový pár jako výstupní. Estují-l v obvodě další budcí zdroje tak je deaktvujeme (kap...3). Pro výpočet hledaných obvodových velčn dosadíme do vztahu ( 6.7 ) za 3... p. Pak obě sledovaná uzlová napětí (vstupní a výstupní) jsou dány zjednodušeným výrazy Δ Δ ; ;, (6.3a) Δ Δ. (6.3b) ( 6.3 ) Z těchto rovnc ( 6.3 ) lze snadno vyjádřt základní obvodové funkce a to v tomto případě př výstupu naprázdno. Vstupní mpedance (naprázdno) je poměr vstupního napětí a vstupního (budcího) proudu Δ ; Z np. Y Δ ( 6.4 ) np. Přenosová mpedance (naprázdno) je defnována jako poměr výstupního napětí a vstupního proudu Δ ; Z T. ( 6.5 ) Y Δ T Přenos napětí (naprázdno) je dán poměrem výstupního a vstupního napětí a z podílu vztahů ( 6.3 ) pak vychází vzorec ; K u. ( 6.6 ) Δ ; Δ vedené obvodové funkce lze místo naprázdno také defnovat s určtou hodnotou zátěže Z L, ne však př výstupu nakrátko, jako u MSP Úplný admtanční pops soustavy Souhlasně orentovanou soustavu uzlových napětí lze rozšířt o jedno napětí tak, že vztažný uzel položíme mmo uvažovanou soustavu, takže počet uzlových napětí bude roven počtu uzlů soustavy n (jedno napětí bude samozřejmě závslé vz Obr. 44). Vlastnost soustavy obvodů je možné opět popsat základní matcovou rovncí ( 6.5 ), která však má v tomto případě tvar

55 Teore elektronckých obvodů 55 * Y * *, ( 6.7 ) kde * je úplný vektor uzlových (budcích) proudů, * je úplný vektor uzlových napětí a Y * je tzv. úplná admtanční matce. Pops soustavy podle ( 6.7 ) je zřejmě nadbytečný, neboť jedna z n rovnc je dána jednoduchou lneární kombnací zbývajících. Úplná admtanční matce Y *, popsující soustavu jako n-pól, má na rozdíl od matce Y, popsující tutéž soustavu jako (n-)-bran, tyto odlšné vlastnost [ 5 ]: a) Obsahuje n řádků a sloupců, tj. právě tolk, kolk má soustava uzlů. b) Je sngulární, neboť Δ *, což je dáno lneární závslostí nadbytečného řádku a sloupce. c) Součet prvků v každém řádku a sloupc je roven nule, n * tj. y a y *. s r s n r r s d) Lbovolný jednoduchý algebracký doplněk má stejnou hodnotu a je to tzv. nvarant soustavy Δ * C *. ; j a c ab Y * cd b * * * b a c * d d Obr. 44: Model obvodu př úplném admtančním popsu soustavy. Vzhledem k sngulartě úplné admtanční matce Y *, nelze vyjádřt řešení základní matcové rovnce ( 6.7 ) pomocí nverzní matce. Všechny potřebné obvodové funkce lze však vyjádřt pomocí tzv. dvojnásobných algebrackých doplňků matce Y * [ 5 ]. važujme opět základní uspořádání pro přenos sgnálu mez dvěma branam, s modelem na Obr. 44. Zde vstupní bránu (uzlový pár) tvoří uzly a a b, výstupní bránu pak uzly c a d. Napětí vstupní a výstupní brány jsou zřejmě vždy dána jako rozdíl příslušných uzlových napětí, tj. * *, * *. ab a b cd c Základní obvodové funkce naprázdno lze pak vyjádřt následujícím vztahy [ 5 ]: Vstupní mpedance (naprázdno) d Z np * ab Δ ab; ab, ( 6.8 ) C * přenosová mpedance (naprázdno)

56 56 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Z T * cd Δ ab; cd, ( 6.9 ) C * přenos napětí (naprázdno) K u * Δ cd ab; cd. ( 6.3 ) * ab Δ ab; ab + Znaménko dvojnásobných algebrackých doplňků se stanoví jako ( ) α β, kde α je opět počet lchých čísel v obou dvojcích ndeů a β je počet vzájemných výměn (permutací) nutných k tomu, aby čísla v obou skupnách ndeů měla přrozenou posloupnost. Vztahy ( 6.8 ) až ( 6.3 ) jsou obecnější než vztahy ( 6.4 ) až ( 6.6 ), vycházející ze zkrácené matce Y. Je to dáno tím, že každý řádek č sloupec úplné matce Y *, odpovídá vždy přímo příslušnému uzlu soustavy. Proto je možné vypočítat podle vzorce ( 6.3 ) přenos napětí soustavy obvodů, kde vstupní a výstupní uzlový pár nemá žádný společný uzel. Přtom dvojnásobné algebracké doplňky jsou v podstatě stejně složté jako jednoduché doplňky u adekvátního zkráceného popsu. Jednotný jednoduchý algortmus pro sestavování úplné admtanční matce je navíc také výhodný pro aplkac v programech pro řešení obvodů na počítač. 6.4 Kontrolní otázky z kaptoly 6. Vysvětlete prncp metody smyčkových proudů. Jak pomocí ncdenčních matc sestrojujeme výslednou mpedanční matc?. Vysvětlete prncp metody uzlových napětí. Jak pomocí ncdenčních matc sestrojujeme výslednou admtanční matc? 3. Vysvětlete prncp mpedančního popsu obvodů. Jak určujeme obvodové funkce u metody smyčkových proudů pomocí algebrackých doplňků? 4. Vysvětlete prncp admtančního popsu obvodů. Jak určujeme obvodové funkce u metody uzlových napětí pomocí algebrackých doplňků? 5. Vysvětlete prncp a výhody úplného admtančního popsu soustavy obvodů.

57 Teore elektronckých obvodů 57 7 Analýza obvodů s regulárním dvojbrany a vícebrany Cíle kaptoly: Naučt studenty řešt obvody s lneárním dvojbrany (s bpolárním a unpolárním tranzstory, s transformátory s dvěma vnutím) a vícebrany (s vázaným cívkam, s tří a vícebranovým transformátory), a to jak metodou smyčkových proudů, tak uzlových napětí. Na řadě příkladů procvčt sestavování mtačních matc a určování obvodových funkcí. 7. Metoda smyčkových proudů zobecněná pro regulární vícebrany Z hledska metody smyčkových proudů se považuje za regulární takový prvek, který lze popsat mpedančním parametry, tj. má svoj vlastní mpedanční matc. Postup analýzy soustav s regulárním mnohopóly, resp. mnohobrany, je v podstatě shodný s postupem naznačeným v kap. 6. pro regulární dvojpóly. Jednotlvé kroky je však nutné pro regulární vícebrany zobecnt, resp. modfkovat. První rozdíl se projeví př stanovení počtu nezávslých smyček, kde jž nelze vycházet z počtu větví v, ale je zde nutné stanovt modfkovanou velčnu ekvvalentní počtu větví jako rozdíl vekv q m, kde m je počet všech regulárních obvodových prvků (včetně dvojpólů) a q je celkový součet všech jejch pólů (svorek, vývodů). Protože soustava může obsahovat také transformátory a tedy několk separátních částí d, bude počet nezávslých smyček dán obecně s q m n+ d. ( 7. ) Další podstatný rozdíl spočívá v popsu dílčích obvodových prvků, kde jž nestačí jedný parametr, jako v případě mpedance regulárního dvojpólu, resp. jednoduchá dagonální mpedanční matce větví pro výchozí pops celé soustavy, ale je nutné vycházet z dílčího mpedančního popsu jednotlvých prvků Z,,,..., m, ( 7. ) kde a jsou vektory původních smyčkových proudů a budcích smyčkových napětí samotného -tého prvku a Z je jeho původní mpedanční matce. M 3 M M 3 L L L 3 3 a) Obr. 45: Pops samostatných vícebranů. a) trojbranový transformátor, b) tranzstor jako dvojbran. T b) Dva často používané regulární vícebrany jsou na Obr. 45. Trojbranový transformátor na Obr. 45a je popsán vztahem ( 7. ), s dílčí mpedanční matcí

58 58 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Z trafo ( ) ( ) ( 3) ( ) ( ) ( 3) pl pm pm 3 pm pl pm 3 pm 3 pm 3 pl 3 kde L jsou vlastní a M j vzájemné ndukčnost vnutí. ( 7.3 ) Bpolární tranzstor v zapojení se společným emtorem (SE) na Obr. 45b je popsán vztahem ( 7. ), s dílčí mpedanční matcí ( ) ( ) z z ( 7.4 ) ( ) kde z j jsou mpedanční parametry tranzstoru se společným emtorem. V případě možné záměny, přdáme ještě nde e (z e ). K provedení regulární transformace dílčích matc do výsledných souřadnc soustavy musíme znát vztahy mez původním a novým výsledným smyčkovým proudy resp. napětím, obecně v následujícím matcovém tvaru C D, ( 7.5 ). ( 7.6 ) regulárních obvodových prvků jsou transformační matce navzájem transponované T D C ) a stačí tedy znát pouze vztah ( 7.5 ) mez proudy. ( Dílčí mpedanční matce -tého prvku přetransformovaná do nových společných souřadnc je dána součnem tří matc T Z C Z C,,,... m. ( 7.7 ), Výslednou mpedanční matc soustavy lze pak zapsat jako součet dílčích transformovaných matc C m m Z Z T C Z, ( 7.8 ) Tento vztah ( 7.8 ) vyjadřuje zobecněný pohled na strukturu celé soustavy jako sérového spojení dílčích prvků popsaných svým transformovaným mpedančním matcem Z. Výpočet obvodových funkcí se provádí podle stejných vzorců jako v kap Protože součn tří matc ( 7.8 ) není pro ruční výpočet přílš vhodný, byly hledány způsoby, jak tento krok obejít nebo provést zjednodušeně. soustav s dvojpóly jste jž v kap.6. použl jednodušší algortmus pro přímé sestavení mtančních matc. Pro soustavy s mnohobrany estuje několk možností, které s ukážeme na konkrétních příkladech.

59 Teore elektronckých obvodů 59 3 R 3 L 3 M M 3 3 M L R L R C C Obr. 46: Obvod obsahující transformátor se třem vnutím. Příklad 7. Obvod s transformátorem. Sestavte mpedanční matc obvodu na Obr. 46, obsahující lnearzovaný transformátor se třem vnutím. Řešení: V prvním kroku defnční pops transformátoru dle (Obr. 45a) matcí Z trafo ( 7.3 ), převedeme do zvolených souřadnc řešení celého obvodu (Obr. 46). Původní defnční proudy transformátoru (označeny vlnovkou a růžově) vyjádříme pomocí nově zavedených smyčkových proudů (označeny modře). Příslušné transformační vztahy mají tvar, (7.9a) +, (7.9b), (7.9c), ( 7.9 ) 3 3 což je konkrétní tvar obecné matcové transformační rovnce ( 7.5 ). Koefcenty v těchto jednoduchých rovncích představují parametry transformační matce C. Novou dílčí matc transformátoru Z lze získat jako součn tří matc ( 7.8 ). Tuto trafo operac lze obejít následujícím postupem přímého zatransformování matce volně loženého transformátoru Z trafo ( 7.3 ) do soustavy souřadnc, ve které náš obvod řešíme. Podle rovnce ( 7.9 ) napíšeme symbol ( ) k. řádku a sloupc výsledné matce transformátoru Z. trafo Obdobně podle ( 7.9 ) pak symbol ( ) k.. řádku a sloupc a podle ( 7.9 ) symbol ( 3 ) se záporným znaménkem k 3. řádku a sloupc. Na základě těchto pomocných značek vepíšeme Z odpovídající prvky původní matce Z trafo ( 7.3 ). Znaménko je vždy dáno do matce trafo jako součn znaménka u značek v řádku a sloupc. Výsledkem je následující mpedanční matce transformátoru přetransformovaná do nových souřadnc (): ( ) (, ) () : () () 3 : ( 3) (): (, ) ( ) p( L + L + M ) p( L + M ) p( M + M ) 3 3 Z () : () p( L + M) pl pm 3 trafo ( 7. ) (3) : (3) p( M3 + M3 ) pm 3 pl 3

60 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Stejného postupu lze formálně použít př sestavování mpedanční matce zbytku obvodu obsahujícího dvojpóly RC. Pro zjednodušení zápsu zavedeme mpedance Z ( p) R + ( pc ) a Z ( p) R + ( pc ). Pak transformačním rovncím, (7.a) ( Z ) +, (7.b) ( Z ) ( R ) 3, (7.c) ( 7. ) odpovídá přetransformovaná dílčí mpedanční matce podobvodu dvojpólů RC ve tvaru () : ( Z), ( Z ) ( ): ( Z ) ():( 3 R ) dvoj ():( Z),( Z ) Z( p) + Z( p) Z ( p) Z ( ): ) ( Z Z ( p) Z ( p) ( 7. ) (): 3 ( R ) R Vzhledem k tomu, že dvojpóly jsou popsány jedným parametrem, jsou jako pomocné značky u řádků a sloupců použty jejch mpedance, které se pak přímo sepsují do matce Z. Výsledná mpedanční matce soustavy, z níž se pak jž dají přímo vyjádřt základní dvoj obvodové funkce je pak zřejmě dána součtem Z Z tr + Z dvoj. ( 7.3 ) T T 3 R Obr. 47: Zeslovač se dvěma tranzstory. Příklad 7. Zeslovač se dvěma tranzstory. lneárního modelu zeslovače se dvěma bpolárním tranzstory na Obr. 47 máme vypočítat přenos proudu K 3 /. Oba tranzstory jsou popsány mpedančním parametry pro zapojení se společným emtorem, matcí ( 7.4 ). Poznámka: Obvod na Obr. 47 představuje mamálně zjednodušený model skutečného zeslovače pro výpočet jeho vlastností v lnearzovaném režmu, takže např. místo zdrojů stejnosměrného napájecího napětí jsou uvažovány zkraty, nejsou zakresleny rezstory pomocných obvodů pro stablzac stejnosměrných pracovních bodů obou tranzstorů, apod. Řešení: Původní defnční proudy jednotlvých tranzstorů jsou ve schématu na obr. 7 jsou opět označeny vlnovkou a podbarveny. Vyjádříme je opět pomocí nově zavedených smyčkových proudů a dostáváme následující transformační rovnce.

61 Teore elektronckých obvodů 6 Tranzstor T : ', ' +. ( 7.4 ) Tranzstor T : '' + 3, '' 3. ( 7.5 ) Obdobně pro resstor : R ( 7.6 ) ( ) 3 Podle stejného algortmu zapíšeme pomocné značky k řádkům a sloupcům výsledné mpedanční matce Z a přetransformujeme jednotlvé prvky dílčích mpedančních matc, takže pak bude mít výsledná mpedanční matce soustavy tvar ( 7.7 ) (): ('), (') (): ('), ('') () 3 : (''), ( ''),( R ) (): ( '), ( ') z' + z' ( z' + z' z' z' e e e e e e ( 7.7 ) Z (): ('), ('') z' z' () 3 : ( ''), ( '') ( R) e e z' z'' z'' z'' z'' e e e e z'' R+ z'' + z'' e e e e ('' z + z'' ) e e Přenos proudu se vypočítá ze vztahu kde Δ;3 ( z z z z )( ) K..., ( 7.8 ) Δ z ( R + z + z z z ) + z R + det z ; det z z z z z. ( 7.9 ) 7. Metoda uzlových napětí zobecněná pro regulární vícebrany Z hledska metody MN se považuje za regulární takový prvek, který má svoj vlastní admtanční matc. Analýza soustav obsahujících tyto prvky začíná volbou nezávslých uzlových napětí resp. napětí uzlových párů. Soustava může obsahovat několk separátních částí d, takže počet nezávslých uzlových párů je dán vztahem p n d. ( 7. ) Postup je zcela duální MSP. Admtanční matc soustavy Y sestavíme opět jako součet dílčích admtančních matc jednotlvých prvků Y, přetransformovaných do zvolené soustavy napětí na matc Y. Použtá transformace je opět regulární (nemění se počet proměnných). Přtom je zapotřebí znát vztah C, ( 7. )

62 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně mez původním napětím (z defnce jednotlvých prvků) a zvoleným uzlovým napětím soustavy. A také vztah D, ( 7. ) mez původním proudy prvků a novým budcím proudy soustavy. Obdobně jako u MSP, u regulárních obvodových prvků jsou transformační matce zde T navzájem transponované ( D C ) a stačí znát pouze vztah ( 7. ) pro napětí. Dílčí admtanční matce -tého prvku přetransformovaná do nových (společných) souřadnc je opět dána součnem tří matc T Y C Y C,,,... m. ( 7.3 ), Celá soustava je popsaná rovncí Y. Výslednou matc Y lze získat (analogcky k MSP) jako součet dílčích transformovaných matc ( 7.3 ), tedy m m T Y Y C Y C. ( 7.4 ) Vztah ( 7.4 ) vyjadřuje duální zobecněný pohled na strukturu celé soustavy jako obecného paralelního spojení dílčích obvodových prvků popsaných svým transformovaným admtančním matcem Y. Poznamenejme, že volně ložený bpolární tranzstor v zapojení se společným emtorem (SE) (Obr. 45b) lze pro MN duálně popsat touto dílčí admtanční matcí ( ) ( ) y y ( 7.5 ) ( ) kde y j jsou admtanční parametry tranzstoru se společným emtorem. V případě možné záměny, přdáme ještě nde e (y e ). Příklad 7.3 Obvod se dvěma tranzstory. Pro obvod se dvěma tranzstory a jedním rezstorem (Obr. 48) sestavte admtanční matc a vypočítejte vstupní mpedanc. Oba tranzstory jsou popsány y-parametry se společným edtorem, tedy matcí ( 7.5 ). 3 T 3 T G Obr. 48: Obvod se dvěma tranzstory.

63 Teore elektronckých obvodů 63 Původní uzlová napětí dílčích prvků jsou ve schématu na Obr. 48 zakreslena různou barvou a označena čárkovaně. Tato napětí lze vyjádřt pomocí zavedených, souhlasně orentovaných, uzlových napětí (na Obr. 48 zakresleny modře). Příslušné transformační rovnce pro jednotlvé dílčí prvky pak mají následující tvar Tranzstor T' : +, + 3. Tranzstor T'': '' 3, ''. ( 7.6 ) Rezstor G : ( G ) + 3. Nyní podle těchto rovnc zapíšeme pomocné značky k řádkům a sloupcům výsledné admtanční matce soustavy Y a přetransformujeme do ní jednotlvé prvky dílčích admtančních matc. (): ( ) ( ', ') (): ('),(''), ( G ) () 3 : ('),( ''),( G ) (): ( ' ), ( ') y' e+ y' e+ y' e+ y' e ( y' e+ y' e) ( y' e+ y' e) Y (): ('),(''), ( G ) ( y' e+ y' e) y' e+ y'' e+ G y' e+ y'' e G () 3 : ('),( ''),( G ) ( y' e+ y' e) y' e+ y'' e G y' e+ y'' e+ G ( 7.7 ) Vstupní mpedance se vypočítá ze vztahu ( 6.4 ). Dalším podrobnějším rozborem se dá zjstt, že za určtých podmínek může být tento dferencální parametr záporný. 7.3 Kontrolní otázky z kaptoly 7 ) Vysvětlete prncp metody smyčkových proudů zobecněné pro regulární vícebrany. Které prvky jsou vůč této metodě neregulární a které ano? ) veďte mpedanční pops trojbranového transformátoru (tří nduktvně vázaných cívek). 3) veďte mpedanční pops bpolárního tranzstoru, jako dvojbranu v zapojení se společným emtorem (SE). Nakreslete odpovídající obvodový model. 4) Vysvětlete prncp metody uzlových napětí zobecněné pro regulární vícebrany. Které prvky jsou vůč této metodě neregulární a které ano? 5) veďte admtanční pops bpolárního tranzstoru, jako dvojbranu v zapojení se společným emtorem (SE). Nakreslete odpovídající obvodový model.

64 64 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 8 Analýza obvodů s neregulárním prvky Cíle kaptoly: Naučt studenty řešt obvody s neregulárním prvky a funkčním bloky (s deálním transformátory, s mtačním konvertory, s operačním zeslovač, s deálním zeslovač napětí a proudu). Na řadě příkladů procvčt zvláštní způsob sestavování admtační matce (operacem s řádky a sloupc matce regulární část). Př rozebírání této problematky se zaměříme pouze na metodu uzlových napětí. Všechny výsledky a závěry jsou pro metodu smyčkových proudů duální. 8. Neregulární prvky a funkční bloky Za neregulární považujeme všechny prvky, které nelze popsat admtančním parametry, tedy neestují.jejch dílčí admtanční matce. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že jde o neregulární dvojbrany. váděná metoda se dá zobecnt na neregulární vícebrany. V prvé řadě to jsou to různé typy mtančních konvertorů (K). Obecný K (Obr. 49) je lneární dvojbran, který nemá matc Y a lze popsat pouze kaskádní matcí v dagonálním tvaru u a u a. ( 8. ) Zatížíme-l K na výstupní bráně mpedancí Z z, pak vstupní mpedance tohoto obvodu bude přímo úměrná této zatěžovací mpedanc a Zvst Zz. ( 8. ) a Podle znaménka poměru a a se K dělí na poztvní a negatvní. a (- ) u a u u Obr. 49: Obecný mtanční dvojbranový konvertor jako neregulární prvek vůč MN. Pokud je u poztvního konvertoru a a, jde o recproký dvojbran typu deální transformátor (Obr. 5a) s parametry a n, a n, ( 8.3 ) což je zvláštní případ obecného aktvního transformátoru, kde je aa, a n, a n, n n, ( 8.4 ) resp. deálního měnče výkonu (Obr. 5b). tohoto prvku je okamžtý výkon na výstupní bráně dán vztahem p u ( ) ABu ABp, ( 8.5 )

65 Teore elektronckých obvodů 65 je tedy AB kr t větší než výkon vstupní ( AB > ). - /n -B. u :n u n.u u u A.u Obr. 5: a) b) Zvláštní typy mtačních konvertorů. a) Dvojbranový deální transformátor, b) deální měnč výkonu (poztvní K). Negatvní K představuje vždy nerecproký dvojbran, neboť znaménka parametrů a,a jsou různá. Podle toho, který z těchto parametrů je záporný, jde buď o napěťový typ ( a < ) nebo o proudový K ( a < ). Za zvláštní případ K lze také považovat také deální zeslovače, u nchž je jen jeden z kaskádních parametrů nenulový a takovýto dvojbran jž není blaterální jako obecný K. deální zeslovač napětí (Obr. 5a) má parametry a A, a, ( 8.6 ) jde vlastně o zdroj napětí řízený napětím (VCVS). deální zeslovač proudu (Obr. 5b) má naopak a, a B, ( 8.7 ) takže jde vlastně o zdroj proudu řízený proudem (CCCS). + A u - u A*u - B* B u u u W u W* Obr. 5: a) b) c) Řízené zdroje jako neregulární prvky vůč MN. a) VCVS, b) CCCS, c) CCVS. deální operační zeslovač (OZ)je elementární neregulární dvojbran, který má a a. ( 8.8 ) Kaskádní matce OZ A tedy obsahuje pouze nulové prvky, takže jej lze považovat za lmtní případ obou předcházejících zeslovačů, jestlže jejch zesílení roste nade všechny meze ( A, B ). V [ ] jsme se naučl rozlšovat podle zapojení bran následující základní typy OA: Typ OA-SSO, s nesymetrckým vstupem a výstupem (Obr. 5a). Typ OA-DSO, se symetrckým vstupem a nesymetrckým výstupem (Obr. 5b). Typ OA-SDO, se symetrckým vstupem a nesymetrckým výstupem (Obr. 5c). Typ OA-DDO, se symetrckým vstupem a výstupem (Obr. 5d).

66 66 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Neregulární je zdroj napětí řízený proudem (CCVS) na Obr. 5c. Poznamenejme, že čtvrtý řízený zdroj - VCCS je regulární, má dílčí admtanční matc. Neregulárnost těchto prvků se projevuje tím, že fungují jako transformátory souřadnc proudů napětí (u deálních zeslovačů pak buď pouze proudů nebo napětí), přčemž vztahy mez jejch vstupním a výstupním proudy napětím zůstávají nezměněny po jejch přpojení k soustavě regulárních obvodů. V případě dvojbranového K lze psát transformační rovnce a, (8.9a) a ( ), (8.9b) ( 8.9 ) Analýzu soustav s těmto transformačním bloky lze provádět různým metodam, které se od sebe lší mmo jné způsobem, jakým je vyjádřena neregulárnost daného obvodového prvku. V této kaptole se zaměříme na metodu lneární transformace, které jž bylo použto př analýze lnearzovaných soustav s regulárním obvodovým prvky. OA-SSO OA-DSO OA-SDO OA-DDO np out np out np + - out np out gnd gnd gnd gnd Obr. 5: a) b) c) d) Různé typy operačních zeslovačů, dle zapojení bran. 8. Prncp analýzy založené na metodě lneární transformace Obvod rozdělíme na regulární (obsahující pouze regulární prvky) a neregulární část podle Obr. 53. Regulární podobvod je popsána běžnou admtanční matcovou rovncí Y. ( 8. ) važujme, že k regulárnímu bloku je z vnějšku přpojen mez -tý a j-tý uzlový pár jeden neregulární prvek a to obecný dvojbranový mtanční konvertor (K) s kaskádním parametry a, a. To má za následek přídavnou vnější vazbu mez těmto uzlovým páry. Y Regulární podobvod K j j p p Obr. 53: Neregulární podobvod Přpojení neregulárního prvku (K) k regulární část obvodu. Takže napětí jednoho z těchto uzlových párů jž nebude nezávslé, což lze vyjádřt lneární transformací spojenou s redukcí počtu nezávslých napětí. Někdy se hovoří o tzv. kombnované transformac. Estují tady různé vztahy mez souřadncem napětí (jako vybuzeným velčnam) a proudy (jako budcím velčnam) původní regulární podsoustavy

67 Teore elektronckých obvodů 67 a souřadncem nové ekvvalentní soustavy, popsující celý obvod. Obecně jsou dány matcovým rovncem C, (8.a) D. (8.b) ( 8. ) Z nch vyplývá vztah pro výslednou admtanční matc Y této nové soustavy, která jž v sobě zahrnuje také vlv přpojení K Y DYC, ( 8. ) kde transformační matce C a D jž nejsou vzájemně transponované a objevují se v nch kaskádní parametry mtančního konvertoru a a a. Redukce počtu nezávslých rovnc se projeví ve tvaru transformačních matc tak, že každá z nch obsahuje jeden nulový řádek a sloupec. Takže když má původní regulární soustava (p) nezávslých uzlových párů, má jch výsledná soustava pouze (p - ), tomu odpovídají rozměry admtančních matc. V kap.6.3 byly uvedeny jné způsoby, jak uskutečnt lneární transformac bez součnu tří matc (). tento postup se dá zde použít ovšem v modfkované podobě, protože u obecných K D T C. Tento modfkovaný postup je výhodný praktcky pouze u soustav s deálním transformátory. Celý algortmus lze zdokonalt tak, že se nejprve na základě transformačních vztahů mez napětím sestaví matce C (v ní se vyskytuje kaskádní parametr a ), ta se transponuje a parametr a se všude nahradí výrazem / a. Takto upravená matce pak představuje transformační matc D. Takovýto postup je přece jen dost komplkovaný, když pro použtí na počítač je dobře algortmzovatelný. V následující kaptole s ukážeme vhodnější postup. 8.3 Transformace pomocí operací s řádky a sloupc Vztah ( 8. ) je možné vyjádřt operacem s řádky a sloupc původní admtanční matce Y. Přtom se dá výhodně vyjádřt přídavná redukce uzlového páru, a to vynecháním příslušného řádku a sloupce. Pro soustavy s K použjeme právě tuto metodu, která umožňuje téměř unverzální postup př analýze, poskytuje obecnější pohled na danou problematku a je výhodná z hledska algortmzace. Vzhledem k tomu, že K transformuje napětí nezávsle na proudech a naopak, lze př transformac původní admtanční matce uvažovat odděleně vztahy mez vybuzeným velčnam (napětí) a budcím velčnam (proudy). Y Y a j a j j j Obr. 54: a) b) Dvě možnost transformace a redukce napětí způsobené přpojením K. a) Závslé napětí j, b) závslé napětí.

68 68 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Př transformac napětí jsou zřejmě dvě možnost volby jednoho z obou napětí jako závslého, takže transformační rovnce ( 8. ) budou mít v jednotlvých případech následující tvary. a) Závslé j - (Obr. 54a):, (8.3a) j a. (8.3b) ( 8.3 ) Tyto transformační rovnce určují následující operace se sloupc původní admtanční matce regulární podsoustavy ( Y ) [; j ] a ; j Y. b) Závslé - (Obr. 54b): a, (8.5a) j ( 8.4 ). (8.5b) ( 8.5 ) Těmto rovncím pak obdobně odpovídá [;( a) j] Y ;. ( 8.6 ) Záps v hranaté závorce vyjadřuje předps pro operace se sloupc (značky jsou za středníkem), nde ve spodní část pak značí vynechávaný sloupec. Tak záps ( 8.6 ) znamená, že -tý sloupec násobený parametrem ( a ) se přčte k j-tému sloupc a pak se -tý sloupec vynechá. Y j Y a j a j j a) b) Obr. 55: Dvě možnost transformace a redukce proudů způsobené přpojením K. a) Závslý je budcí proud, b) závslý je budcí proud. Př transformac budcích proudů se jedná o náhradu zdrojů a j v původní regulární soustavě (Obr. 53), jedným ekvvalentním zdrojem budcího proudu. A to následkem proudové vazby způsobené přpojením K. Jeden z původních budcích proudů se tedy stává závslým a vstupuje do výsledného ekvvalentního budcího proudu jako jedna jeho část přetransformovaná K na svorky zdroje druhého nezávslého. Podle toho, který z původních budcích proudových zdrojů zvolíme jako základní, na jehož svorky se bude přepočítávat proud druhého zdroje, bude mít transformační rovnce ( 8. ) jeden z následujících tvarů. a) Redukce j (Obr. 55a)

69 Teore elektronckých obvodů 69 + a. ( 8.7 ) j b) Redukce (Obr. 55b) ( a ) +. ( 8.8 ) j j Tyto transformační rovnce určují následující dvě možné operace s řádky matce Y [( a ) j ;] Y j ;, ( 8.9 ) [ j; ] a ( 8. ) Y ;. Použtá symbolka je stejná, podle umístění středníku je zřejmé, že jde o operace s řádky. Pro transformac původní admtanční matce estují pak celkem čtyř rovnocenné možnost podle toho, které napětí a budcí proud zvolíme jako závslé. Následující vzorce pro výpočet výsledné admtanční matce ekvvalentní soustavy jsou dány kombnací vztahů ( 8.4 ), ( 8.6 ) a ( 8.9 ), ( 8. ).. Závslé j a j : Y Y [( a ) j ; ( a ) j ] j; j. Závslé a : Y Y [( a ) j ; ( a) j] ; 3. Závslé a j : Y Yj; 4. Závslé j a : Y Y [( a ) j ; ( a ) j] [( a ) j ; ( a ) j ] ; j. ( 8. ). ( 8. ). ( 8.3 ). ( 8.4 ) prvních dvou transformačních vztahů ( 8. ) a ( 8. ) se vždy redukují souřadnce od stejného uzlového páru, takže nový uzlový pár ekvvalentní soustavy je totožný se zbývajícím uzlovým párem původní regulární podsoustavy, pouze hodnota nového ekvvalentního budcího proudu je přepočtená. V obou dalších případech daných vztahy ( 8.3 ) a ( 8.4 ) se vždy redukuje napětí jednoho uzlového páru a budcí proud druhého, takže výsledný ekvvalentní uzlový pár se neshoduje s žádným z původních uzlových párů. Pokud má K nenulové kaskádní parametry, lze obecně použít kterýkolv z uvedených vzorců. Obvodové funkce se pak počítají pomocí algebrackých doplňků admtanční matce Y, a to podle stejných vzorců, jako u soustav s regulárním obvodovým prvky (kap ). 8.4 Analýza soustav s deálním zeslovač Jak jsme ukázal v kap. 8. deální zeslovače představují zvláštní případy K, kdy některý z jeho kaskádních parametrů je roven nule. Proto je možné použít některý ze vztahů ( 8. ) až ( 8.3 ) pro analýzu soustav s těmto prvky. Výjmkou je rovnce ( 8.4 ), která pro tyto zvláštní případy evdentně nemá smysl, protože by admtanční parametry neměly konečnou hodnotu.

70 7 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Pro deální zeslovač napětí (Obr. 5a), který má kaskádní parametry ( 8.6 ), lze využít pouze transformace ( 8. ) a ( 8.3 ), neboť v ostatních vztazích ( a ). Výsledné transformační rovnce pak mají specální tvar [;( A) j ] Y Yj; j, ( 8.5 ) [;( A) j] Y Yj;. ( 8.6 ) Operace se tedy provádí pouze se sloupc, zatímco operace s řádky se v obou případech redukují na vynechání j-tého řádku, což znamená, že původní budcí proud j se v soustavě vůbec neuplatní, neboť deální zeslovač napětí netransformuje proudy s konečným hodnotam (nekonečná vstupní mpedance). Pro deální zeslovač proudu (Obr. 5b), který má kaskádní parametry ( 8.7 ), lze využít pouze transformace ( 8. ) a ( 8.3 ), neboť v ostatních vztazích ( a ). Výsledné transformační rovnce pak jsou [( B) j;] Y Y; ( 8.7 ) [( B) j ;] Y Yj; ( 8.8 ) V tomto případě se tedy provádějí pouze operace s řádky, zatímco operace se sloupc se zde redukují pouze na vynechání -tého sloupce, což vyjadřuje fyzkální skutečnost, že po přpojení deálního zeslovače proudu se vlvem jeho nulové vstupní mpedance stává původní nezávslé napětí nulovým ( ). OA-SSO j OA-SSO j j k k j Obr. 56: a) b) OA-SSO přpojený do soustavy jako dvojbran (a) nebo trojpól (b). važujeme, že deální operační zeslovač OA-SSO (Obr. 5a) je přpojen jako dvojbran mez uzly a j (Obr. 56a). deální OA má všechny kaskádní parametry nulové ( 8.8 ). Proto pro něj můžeme použít pouze nejobecnější transformační vztah ( 8.3 ), který má v tomto případě jednoduchý tvar Y Y j ;. ( 8.9 ) deální OA tedy způsobuje v soustavě redukc jednoho proudu, čemuž odpovídá vynechání j-tého řádku (kde je norátor přpojený k výstupnímu uzlovému páru) a jednoho napětí, čemuž odpovídá vynechání -tého sloupce (kde je nulátor přpojený ke vstupnímu uzlovému páru). Je-l OA-SSO zapojen vzhledem ke vztažnému uzlu soustavy jako trojpól mez uzly, j a k (Obr. 56b), estuje devět možností volby závslých velčn, z nchž je na ukázku uveden pouze jeden případ, kdy závslé jsou napětí k a budcí proud k. Potom lze transformac původní admtanční matce provést pomocí vztahu [ k j ; k ] Y Y ( 8.3 ) k; k

71 Teore elektronckých obvodů 7 a a b b OA-DSO c c a a b b OA-DDO d d c c Obr. 57: Zapojení moderních typů OA do soustavy. a) OA-DSO, b) OA-DDO. V současnost je velm často používán komerčně dostupný OA-DSO (Obr. 5b), se symetrckým (dferenčním) vstupem a nesymetrckým výstupem. Do soustavy obvodů bývá zapojen mez uzly a, b, c dle Obr. 57a. Př takto zvoleném označení jednotlvých uzlových párů platí pro transformac původní regulární matce Y následující vztahy a to podle toho, které napětí zvolíme jako závslé [; a b] c; a Y Y, ( 8.3 ) [; b a] Y Y. ( 8.3 ) c; b Ještě větší možnost pro nové další aplkace dává typ OA-DDO (Obr. 5d) s oběma bránam symetrckým a neuzemněným. Vztažný uzel je pak mmo těchto bran a soustava původních uzlových napětí souvsejících s tímto neregulárním prvkem je na Obr. 57d. Pro tento případ lze transformac matce Y provést čtyřm následujícím způsoby: [ c d ; a b] c; a [ c d; b a] c; b [ d c ; a b] d; a [ d c; b a] d; b Y Y, ( 8.33 ) Y Y, ( 8.34 ) Y Y, ( 8.35 ) Y Y. ( 8.36 ) 8.5 lustratvní příklady řešení neregulárních obvodů Příklad 8. Zeslovač s tranzstorem a s deálním transformátorem. zeslovače s bpolárním tranzstorem (Obr. 58), který je zatížen rezstorem a obsahuje ve zpětné vazbě deální transformátor máme vypočítat přenos napětí naprázdno K u. n T Tr 4 G Z 3 n : Obr. 58: Zeslovač s tranzstorem a s deálním transformátorem. Náznak řešení: Ve cvčení s podrobně odvodíme tuto výslednou admtanční matc

72 7 FEKT Vysokého učení technckého v Brně ( ) n( ),( ),( G z ) Y (): ( ) y e ny e + y e ( ): n( ),( ),( G z ) nye + y e n y + y + n( y + y ) + G e e e e z ( 8.37 ) Pro přenos napětí pak vychází vztah Ku Δ ; Δ - ; nye + ye n y + y + n( y + y ) + G e e e e z. ( 8.38 ) Příklad 8. Aktvní dolní propust RC s operačním zeslovačem. aktvního fltru RC s deálním operačním zeslovačem OA-SSO na Obr. 59 máme vypočítat přenos napětí Ku ( p ) 4( p )/ ( p ). Řešení: Nejprve sestavíme admtanční matc Y regulární část soustavy bez OA, a to pro zvolenou souhlasně orentovanou soustavu uzlových napětí až 4 (Obr. 59). G G G 3 C 3 OZ C Obr. 59: Aktvní dolní propust RC s operačním zeslovačem. () () () G G () 3 Y 4(3) G pc + G + G + G3 G G 3 pc + pc 3 ( 8.39 ) 4(3) G 3 G 3 G pc pc + G Výslednou admtanční matc soustavy Y obdržíme z transformačního vztahu ( 8.9 ), v němž položíme 3 a j 4, tj. Y Y 4; 3 ( ) : ( ) (): 3 ( 4 ) (): () G G Y ( ): ( ) pc + G + G + G3 G (): 3 ( 4 ) G 3 pc ( 8.4 )

73 Teore elektronckých obvodů 73 Přenos napětí pak z algebrackých doplňků matce Y vychází ( p ) p GG Ku ( p ) ( ) Δ ; 3 ( p ) ( p) Δ pcc + pc( G+ G + G) + GG ; 3 3, ( 8.4 ) takže jde zřejmě o dolní propust druhého řádu. R + A - 3 L(ω) Z np R C 3 A Z np R(ω) Obr. 6: gnd a) b) Jednoduchý syntetcký nduktor (a) a jeho náhradní schéma (b). gnd Příklad 8.3 Jednoduchý syntetcký nduktor. jednoduchého Prescottova syntetckého nduktoru s deálním zeslovačem napětí na Obr. 6a máme vypočítat obecné vztahy pro parametry pasvního modelu na Obr. 6b. R R 3 3 Z z Z np Obr. 6: Negatvní mtanční konvertor s OA-DSO. Příklad 8.4 Negatvní mtanční konvertor. Máme ukázat, že obvod na Obr. 6 představuje negatvní K. Provedeme to tak, že obvod zatížíme dvojpólem s mpedancí Z a vypočítáme vstupní mpedanc Z, která by měla být úměrná hodnotě Z ). ( Z Z np Y B Y A 3 NK k 3 Obr. 6: Yangsawův přenosový dvojbran s negatvním K.

74 74 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Příklad 8.5 Yanagsawův obvod. Pro dvojbran s negatvním K na Obr. 6, tzv. Yanagsawův obvod, máme stanovt přenos napětí naprázdno K u. Výsledek řešení: Odvozený přenos napětí je Δ ; k y Ku Δ y ; A y k k y B B A. ( 8.4 ) Příklad 8.6 Rordanův gyrátor. obvodu se dvěma operačním zeslovač na Obr. 63, známém pod názvem Rordanův gyrátor, máme stanovt vstupní mpedanc. R OA C R R OA R 4 5 Z np Obr. 63: Výsledek řešení: Rordanův gyrátor se dvěma OA. Z odvozené výsledné admtanční matce vypočítaná vstupní mpedanc je p p Z p pc RRR vst ( ) ( ) Δ ( ) ; ( 8.43 ) ( p) Δ ( p) R3 Takže obvod představuje na vstupní bráně uzemněný syntetcký nduktor s kmtočtově nezávslou ekvvalentní ndukčností. 8.6 Kontrolní otázky z kaptoly 8 ) Vysvětlete způsob řešení obvodů s neregulárním prvky a funkčním bloky. Které funkční bloky jsou vůč MN neregulární? ) veďte defnc a vlastnost obecného mtančního konvertoru. Jak se řeší obvody s těmto prvky? 3) veďte defnc a vlastnost deálního transformátoru a měnče výkonu. Jak se řeší obvody s těmto prvky? 4) veďte defnc a vlastnost deálního zeslovače napětí a deálního zeslovače proudu. Jak se řeší obvody s těmto prvky? 5) veďte defnc a vlastnost deálního operačního zeslovače. Jak se řeší obvody s různým typy operačních zeslovačů (dle zapojení bran)?

75 Teore elektronckých obvodů 75 9 Metody smíšeného popsu obvodů Cíle kaptoly: Seznámt studenty s řešením obvodů modfkovanou metodou uzlových napětí a s prncpem dakoptcké metody. kázat, že obě mají metody mají základ ve smíšeném zobecněném popsu obvodů. Na příkladech demonstrovat výhodnost těchto metod v počítačových aplkacích, a že pro ruční řešení se více hodí předchozí metody. 9. Modfkovaná metoda uzlových napětí Rozšířená (modfkovaná) MN je zvláštním případem hybrdního dakoptckého popsu obvodů, jednotný algortmus analýzy EO s regulárním neregulárním prvky, každý neregulární prvek má své charakterstcké razítko (popsku), můžeme přímo vypočítat proud v lbovolné větv, soustava může obsahovat deální nezávslé zdroje napětí, metoda je vhodná pro počítačovou analýzu. Y a a Z Z b a b a K B K b b Z Y a c c E B - K - B b a) c) Y a b a b E Y a b K d c C Obr. 64: b) d) Přpojení dalšího prvku k regulární soustavě. a) dvojpólu s mpedancí Z, b) budcího zdroje napětí E, c) tranzstoru, d) obecného K. važujme regulární obvod, který jsme popsal soustavou admtančních rovnc ( 6.5 ). Nyní přpojíme k uzlům (a, b) novou větev s dvojpólem Z (Obr. 64a). Tuto větev lze popsat rovncem a b Z Z, (9.a) Z a b. (9.b) ( 9. ) Pro řešení spojení obou podobvodů rozšíříme vektor neznámých velčn o proud z (teče z a do b). V a-té rovnc (v a-tém řádku matce Y) musíme tento proud přpočíst a podobně v b-té rovnc naopak odečíst, tj.... a... b y y a b + y + y a b y y an bn n n + z z. ( 9. )

76 76 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Zvětšení počtu neznámých musí být kryto přdáním jedné rovnce a to Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. To se dá zapsat matcově ( 9.3 ) a b z a + b Y -. z + - -Z Z Pro zdroj napětí E (Obr. 64b) lze odvodt obdobnou popsku a b z ( 9.4 ) a + b Y -. z + - E E Složtější popsku lze odvodt pro přpojení tranzstoru jako regulárního trojpólu (Obr. 64c). Protože se jedná o regulární prvek je však jednodušší zahrnout jej do submatce Y. To však nelze pro jakýkolv neregulární prvek (kap. 8). važujme tedy nyní, že k regulárnímu obvodu, který jsme popsal soustavou admtančních rovnc, přpojíme k uzlům (a, b, c, d) obecný neregulární transformační dvojbran mpedanční konvertor (K), dle Obr. 64d. Obecný K je popsán rovncem ( 8. ). S jejch uvážením lze pro napětí psát a b ( ) a, ( 9.5 ) a pro proudy (př volbě c jako nezávslého) a c d a ( 9.6 ) c, b a c, c c, d Pro řešení spojení obou podobvodů rozšíříme vektor neznámých velčn o proud c a odvodíme následující popsku (razítko) mpedančního konvertoru. Tento tvar není jedný. Vyhovuje dalším neregulárním dvojbranům spadajícím do množny K, když kaskádní parametry zaměníme dle Tab. 5. ( 9.7 ) a b c d K a -a b +a c +. d Y - c K + - -a +a C

77 Teore elektronckých obvodů 77 Tab. 5: Kaskádní parametry neregulárních dvojbranů. Obecný mpedanční konvertor a a deální transformátor /n n deální zeslovač napětí /A deální zeslovač proudu /B deální operační zeslovač Příklad 9. nvertující zeslovač s OA. Nakreslete nvertující zeslovač s OA. Př řešení jeho přenosu napětí klasckou MN (kap. 8.5) jsme předpokládal buzení deálním zdrojem proudu. Nyní předpokládejme, že na jeho vstupu je deální zdroj napětí, proto použjeme modfkovanou metodou uzlových napětí. Řešení: Schéma doplníme vyznačením uzlů a doplňkových proudů tak, jak je vyznačeno na Obr. 65. Napíšeme submatc regulární část, pak popsku deálního zdroje napětí a operačního zeslovače. Dostaneme následující matcovou rovnc modfkovaného popsu. R R a c 3 E E C 3 b d Obr. 65: nvertující zeslovač s OA. ( 9.8 ) 3 (E), E (OA), C G -G +,a -G G +G -G. 3,c -G G + 3 (E), E + E E (OA), C - C, b, d, Z rozšířené matce můžeme přímo vypočítat přenos napětí pomocí odpovídajících algebrackých doplňků (kap ) a to následujícím způsobem Δ 4:3 E out 3 Δ 4:3 G K u Δ. np Δ 4: G Δ 4: E Δ ( 9.9 ) Příklad 9. Tranzstorový zeslovač v zapojení SE.

78 78 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Na Obr. 66 je jednoduchý tranzstorový zeslovač v zapojení SE, který je buzen deálním zdrojem napětí. S použtím rozšířeného popsu MN odvoďte přenos napětí. C 3 E C B T E R 3 C R B E Obr. 66: Výsledek: K Tranzstorový zeslovač v zapojení SE. Δ pc y out 3 4:3 u. ( 9. ) np Δ 4: ( pc + GB + y)( GC + y ) y y Příklad 9.3 Prescottův syntetcký nduktor. Prescottův syntetcký nduktor (Příklad 8.3) s deálním zeslovačem napětí (Obr. 6a) analyzujte modfkovanou metodou uzlových napětí. Příklad 9.4 Rordanův gyrátor. Rordanův gyrátor (Příklad 8.6) se dvěma OA (Obr. 63) popšte modfkovanou metodou uzlových napětí. MN Obvod O řez MSP. A B. Obr. 67: Rozetnutí obvodu a jeho smíšený pops. 9. Dakoptcká hybrdní metoda Tato metoda je založena na rozetnutí obvodu na dvě, popřípadě více částí. V prvním případě (Obr. 67) uvažujme, že obvod (O) je regulární. Jednu část (A) popíšeme MN, druhou (B) MSP, př čemž jejch vzájemnou nterakc podchytíme submatcí R. Tomu odpovídá následující matcový pops Y A R. A A -R T Z B B B ( 9. )

79 Teore elektronckých obvodů 79 kde ncdenční matce T T R M D (D M ), ( 9. ) a náhradní budcí zdroje jsou B B A A T N R B, (9.a) N R A. (9.b) ( 9.3 ) obvodu s neregulárním prvky budeme řez vést těmto prvky a jejch pops zahrneme do vedlejší dagonály matce smíšeného popsu, kterou pak lze zobecnt do následujícího tvaru Y A B S -A Z B ( 9.4 ) Modfkovaná MN (kap.) je jen zvláštním případem tohoto popsu. Hledané velčny nebo obvodové funkce můžeme z matce S získat standardním způsobem (kap. X ), pomocí algebrackých doplňků. Skladba dakoptckého popsu umožňuje však produktvnější postup, kdy pracujeme s matcem menších rozměrů. Velm výhodné je, když matce S bude mít následující dagonální tvar S Postup řešení: Y A Y A Y A -A Z B. rčíme (MN) uzlová napětí v podobvodu A vybuzená zdroj A. B ( 9.5 ) AA Y A A. ( 9.6 ). rčíme náhradní zdroje napětí v podobvodu B způsobená buzením podobvodu A A. ( 9.7 ) N AA 3. Aplkujeme MSP na podobvod B. ncdenční část A s B popíšeme matcí Z AB (4). Pak smyčkové proudy jsou dány následujícím vztahem (5) Z BA Z B + A Y A B, ( 9.8 ) Z ( ). ( 9.9 ) B BA B + N 4. Z B určíme uzlová napětí v podobvodu A způsobená buzením podobvodu B AB Y A B B. ( 9. )

80 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 5. Hledaná uzlová napětí v podobvodu A jsou pak dána superpozcí + A. ( 9. ) AA AB 9.3 Kontrolní otázky z kaptoly 9 ) Vysvětlete prncp modfkované metody uzlových napětí, uveďte její přednost a nedostatky. ) Na příkladu nvertujícího zeslovače s OZ ukažte řešení přenosu modfkovanou metodou uzlových napětí. 3) Vysvětlete prncp a uveďte vlastnost dakoptcké hybrdní metody řešení složtých obvodů. Metoda orentovaných grafů Cíle kaptoly: Seznámt studenty s podstatou metody, s různým druhy grafů, s jejch výhodam a konstrukcí. Na vhodných příkladech naučt je používat pro řešení obvodů. Podstata metody Podstata této metody spočívá ve vyjádření rovnc popsujících obvod nebo systém pomocí orentovaného grafu. Pro pops obvodů se více hodí grafy Coatesovy, mající vlastní smyčky. Vlastní smyčka je uzavřená větev, která začíná a končí ve stejném uzlu a neprochází žádným jným uzlem. Na Obr. 68a je takovýto jednoduchý graf odpovídající rovnc +. (. ) p p Do této skupny patří grafy MC, vycházející z metody uzlových napětí (kap. 6.3). Zde jsté uzlové napětí k se dá obecně vyjádřt vztahem k k + y kk k n y k, k, (. ) kterému odpovídá graf na Obr. 68b. Př blokovém popsu systému obvodů s výhodou použjeme grafů sgnálových toků jednoduššího tvaru bez vlastních smyček (Masonovy grafy, kap..5). -y k k p -y k... -y n kn k p a) y kk b) Obr. 68: Podstata grafů MC.

81 Teore elektronckých obvodů 8. Konstrukce grafu MC Naší snahou bude konstruovat graf bez předchozího sestavování rovnc, přímo z obvodu. Výsledný graf možno postupně složt z grafů dílčích n-pólů, ze kterých se obvod skládá. kážeme s grafy nejpoužívanějších prvků. Nejprve obecný dvojbran (tranzstor a další) popsaný y-parametry (obr. a), nebo-l rovncem y y + y + y. (.3 ) Rovncím (.3 ) odpovídá graf na Obr. 69b, který s lehce zapamatujeme. Poznamenejme, že mez tímto grafem a odpovídající admtanční matcí Y y y (.4 ) y y je jednoduchá souvslost. Vlastní smyčky odpovídají prvkům v hlavní dagonále. Větve mez uzly mají přenos odpovídající přenosovým admtancím (naznačeno v matc barevným špkam) s dodatečnou nverzí znaménka. Plovoucí dvojpól (Obr. 69c) rezstor, kapactor, nduktor, představuje degenerovaný dvojbran, pro který z předchozího lehce odvodíme graf MC na Obr. 69d. Zemněný dvojpól (Obr. 69e) má jednoduchý graf MC (Obr. 69f), tvořený pouze vlastní smyčkou s přenosem určeným odpovídající admtanc (např. u kapactoru to je pc). Tak jak se spojují uzly dílčích prvků spojují se dílčí grafy. Paralelní větve se sdruží, přenosy se sečtou. y y y y -y -y Y y y a) b) Y. Y Y Y Obr. 69: Y Y c) d) e) f) Grafy MC nejpoužívanějších prvků.. Příklad. Tranzstorový zeslovač. Nakreslete graf MC jednoduchého tranzstorového zeslovače (SE), jehož model je na Obr. 7a. Neuvažujte barevně vyznačené rezstory R B a R F. Tranzstor je popsán admtančním parametry SE. Řešení:

82 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Graf MC (Obr. 7b) bude mít dva uzly (, ). Mez ně nakreslíme graf tranzstoru (Obr. 69b) a pak graf zatěžovacího rezstoru R C, což je pouze vlastní smyčka (Obr. 69f) s přenosem G C. Nakonec paralelní větve sdružíme a popřípadě graf doplníme budcím proudem (naznačeno červeně). Příklad. Tranzstorový zeslovač doplněný rezstory. Nakreslete graf MC tranzstorového zeslovače na Obr. 7 s barevně vyznačeným rezstory R B a R F. R F T C -y R R C B -y Obr. 7: y a) b) Tranzstorový zeslovač v zapojení v zapojení SE (a) a jeho graf MC (b). y +G C.3 Vyhodnocení grafu MC Neznámé napětí j, vybuzené proudem, určíme pomocí následujícího vztahu n ( ) ( ) P j Δ j j, Δ kde n je počet cest z uzlu do uzlu j, ( ) P P(, ) je přenos -té cesty z uzlu do uzlu j, j j (.5 ) ( ) Δ Δ(, ) je determnant část grafu, která se nedotýká -té cesty z uzlu do uzlu j, j j Δ je determnant celého grafu. Determnant grafu nebo jeho část se určí konkrétní aplkací tohoto obecného vztahu Δ ( p) ( p) ( r) ( r) ( p) ( p) V S V + S V S V..., kde V je součn přenosů vlastních smyček S je přenos smyčky p, ( p) ( p) ( r) ( r ) ( s) 3 p + r p V V y. V je součn přenosů vlastních smyček, které se nedotýkají smyčky p, S je součn přenosů r-té kombnace dvou smyček, které se nedotýkají, (.6 ) V je součn přenosů vlastních smyček, které se nedotýkají r-té kombnace dvou smyček, S je součn přenosů s-té kombnace tří smyček, které se nedotýkají,

83 Teore elektronckých obvodů 83 ( s) V 3 je součn přenosů vlastních smyček, které se nedotýkají s-té kombnace tří smyček, atd. Poznamenejme, že v grafech kde nejsou vlastní smyčky bereme všechny odpovídající přenosy V, nkolv nulové. Působí-l v obvodu více budcích velčn j, použjeme prncp superpozce (kap...). Nejžádanější obvodovou funkc přenos napětí ze vstupního uzlu () do lbovolného uzlu (j) určíme obdobně jako u matcových metod ( ) ( ) P j Δ j out j K u, (.7 ) np Δ kde Δ Δ( ) je determnant část grafu, která se nedotýká vstupního uzlu. Příklad.3 Přenos napětí tranzstorového zeslovače. Vyhodnocením grafu MC na Obr. 7b vypočítejte přenos napětí (zesílení) tranzstorového zeslovače, jehož model je na Obr. 7a. Neuvažujte barevně vyznačené rezstory R B a R F. Řešení: Aplkací vztahu (.7 ) na graf MC (Obr. 7b) dostáváme ( ) ( ) P Δ P(, ) Δ(, ) y K u. (.8 ) Δ Δ( ) y + GC rčování dalších obvodových funkcí s ukážeme na následujícím příkladu. Příklad.4 Další obvodové funkce tranzstorového zeslovače. Pomocí upraveného grafu MC vypočítejte přenos proudu a vstupní mpedanc tranzstorového zeslovače, který jsme řešl v předchozím příkladu (Příklad.3). Řešení: Graf MC na Obr. 7b doplníme o část odpovídající rovnc C GC, určující proud zatěžovacím rezstorem R c (Obr. 7). Přenos (zesílení) proudu pak získáme následujícím vyhodnocením upraveného grafu na Obr. 7 C P(, C ) Δ(, C ) ygc K u. (.9 ) Δ y y + G y y Vstupní mpedance pak Z np P(, ) Δ(, ) ( C ) ( y + GC ) ( y + GC ) y y. (. ) Δ y Stejný výsledek dostaneme vyhodnocením zjednodušeného grafu (bez ) použjeme-l vztah Z np Δ( ) ( y + GC ) ( y + GC ) y y. (. ) Δ y

84 84 FEKT Vysokého učení technckého v Brně -y G C -y C y y +G C Obr. 7: pravený graf MC tranzstorového zeslovače (Obr. 7)..4 Transformační grafy neregulárních prvků S řešením neregulárních obvodů, pomocí transformace kombnované s redukcí souřadnc, jsme se seznáml v kap. 8.V grafech MC tomu odpovídají transformační grafy T (Obr. 7), posthující vlv přpojení neregulárních prvků k původní regulární soustavě. Skládají se ze dvou částí proudové (d j v Obr. 7a) a napěťové (c j v Obr. 7a). Obecný neregulární dvojbran, přpojený k původním uzlům a j (jsou značené vlnovkou), způsobí transformac a redukc původních velčn (jedno napětí a jeden proud). Redukc (, ) zachycuje graf T na Obr. 7a. Je to jeden ze čtyř možných grafů T obecného neregulárního dvojbranu, který je možno pro jstý dvojbran blíže konkretzovat, dosazením za obecné parametry (d j, c j ). Př častější aplkac této metody využjeme konkrétní T-grafy uvedené na Obr. 7 pro vybrané typy neregulárních prvků (např. T graf operačního zeslovače je uveden na Obr. 7f). Jejch použtí s ukážeme na následujících příkladech. Pomocí grafů T převedeme původní graf MC ( Y ) regulární část obvodu na nový graf MC ( Y ), zahrnující neregulární (transformační) prvky (obr. 7). Větev (vlastní smyčka) výsledného grafu ( Y ) je tvořena jednou větví z napěťové část grafu T (c j ), jednou větví nebo vlastní smyčkou z původního grafu ( Y ) a jednou větví z proudové část grafu T (d j ). Dojde-l transformací k přeměně větve na vlastní smyčku nebo naopak, nutno změnt znaménko přenosu. (, ) c j j ( j, ) j a j n j d j j ( j, ) j a) a j b) n c) A j j j B d) e) f) Obr. 7: Transformační grafy neregulárních prvků. a) T graf neregulárního dvojbranu, b) T graf obecného mpedančního konvertoru, c) T graf deálního transformátoru, d) T graf deálního zeslovače napětí, e) T graf deálního zeslovače proudu, f) T graf operačního zeslovače. j

85 Teore elektronckých obvodů 85 Příklad.5 Obvod s operačním zeslovačem. Postup analýzy s grafy T s ukážeme na jednoduchém obvodu s operačním zeslovačem na Obr. 65, který jsme jným způsobem řešl v příkladu Příklad 9.. rčt máme přenos napětí a vstupní mpedanc. Řešení: Nejprve sestrojíme graf MC ( Y ), regulární část obvodu (jen R a R ). Na Obr. 74 je nakreslen tento graf v horní část modře. Poznamenejme, že př určté pra tento graf an celý nekreslíme, pouze s ho představíme nebo jen částečně naznačíme. y c m m y j y km j k djk c m m yj y mm d jm j a) b) c) d) Obr. 73: Použtí grafu T pro získání výsledného grafu MC. a) Transformace větve na větev, b) transformace větve na vlastní smyčku, c) vlastní smyčky na vlastní smyčku, d) transformace vlastní smyčky na větev. V druhém kroku nakreslíme graf T. OZ je přpojen mez uzly a 3. Jeho graf T (Obr. 7f) proto nakreslíme mez tyto uzly:, j 3, j. zel se transformuje beze změny na, což zachytíme větví s c d. Na Obr. 74 je graf T nakreslen červeně. Transformací modrého grafu MC přes červený graf T, způsobem vysvětleným na Obr. 73, dostáváme výsledný graf MC, popsující celý obvod. Ten je na Obr. 74 je nakreslen v dolní část černě. Jeho vyhodnocením dle kap..3 obdržíme jž známé obvodové funkce P(, ) Δ(, ) G K u, Δ( ) G Δ( ) G Z np. Δ G G G (. ) m y mm c m d m m c m y y km dk k G G G +G G G G G 3 G G -G Obr. 74: Konstrukce grafu MC obvodu s OZ.

86 86 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Příklad.6 Obvod s deálním zeslovačem napětí. Za použtí grafů MC a T vyřešte Příklad 8.3, Prescottova obvodu s deálním zeslovačem napětí na Obr. 6. Řešení: Konstrukce výsledného grafu MC je na Obr. 75. Použt je zde T graf ZN z Obr. 7d. Na Obr. 75 je graf T nakreslen červeně. Přpojení pasvních prvků je jen vhodně naznačeno. Vyhodnocením spodní část grafu (nakreslena černě) dostáváme požadovanou vstupní mpedanc ( pc + G) ( pc + G) ( pca ) Z ( p) Δ( ) ( p) vst ( p) Δ G +, (.3 ) G G což po úpravě vede na stejný výsledek jako v Příklad 8.3. G pc 3 G A G G +pca G G +G +pc Obr. 75: Konstrukce grafu MC obvodu s ZN..5 Grafy sgnálových toků V některých aplkacích používáme jednodušší Masonovy grafy M, bez vlastních smyček. Často přímo ukazují tok zpracovávaných sgnálů, proto se nazývají grafy sgnálových toků. Vhodné jsou k blokovému modelování větších obvodů a systémů, obsahujících zpětné vazby. Popřípadě k modelování fltrů nebo jných obvodů vyšších řádů. Také je lze vhodně použít k smíšenému popsu příčkových článků nebo k modelování příčkových fltrů LC přes stavový pops. Jejch použtí s ukážeme na několka příkladech. R 3 R 3 np R R 4 4 S S a) /R -/R -/R 3 np R /R 3 3 R 4 4 -R S S S 3 Obr. 76: Jednoduchý příčkový článek (a) a jeho graf M.

87 Teore elektronckých obvodů 87 Příklad.7 Příčkový článek. Popšte rovncem smíšeného popsu rezstvní příčkový článek na Obr. 76a. Z nch odvoďte graf M, jako vhodný model tohoto obvodu. Jeho vyhodnocením určete výstupní napětí ( 4 ). Náznak řešení: Napíšeme rovnce smíšeného popsu, posthující příčnu a následek toku sgnálu. Z nch odvodíme graf M na Obr. 76b. Vyhodnocením tohoto grafu, aplkací vztahu (.5 ), určíme hledanou velčnu 4. Pomůcka: 4 P Δ (, ) Δ(, ) (, ) np np Δ S 4 4 Δ, S S 3 np + S 4 S 3. np, (.4 ) np L out R C C 3 C C R 3 3 np Obr. 77: Pasvní LCR fltr příčkové struktury. Příklad.8 Pasvní LCR fltr příčkové struktury. Na Obr. 77 je Cauerův pasvní fltr LCR, 3. řádu, příčkové struktury. Odvoďte pro něj graf M, vycházející ze stavového popsu. Řešení: Je podrobně uvedeno v [ 3 ], kde najdete další aplkace grafů sgnálových toků. Příklad.9 Obvod s transkoduktory. Za použtí grafu M určete přenosovou funkc obvodu s transkoduktory na Obr. 78a. Dskutujte co obvod představuje. Řešení: Na vstupu, v uzlu () dochází k sumac proudu. První transkoduktor (CD-) realzuje proudový dstrbutor (rozdělovač proudů v uzlu ). Další transkoduktory doplněné kapactory realzují proudové ntegrátory výstupy (3, 4, 5) a s dílčím přenosem g s C m out ± np. (.5 ) Na zátěž R L, v uzlu (6) dochází k sumac proudů. Na základě těchto poznatků nakreslíme proudový graf M (Obr. 78b). Jeho vyhodnocením dostáváme přenosovou funkc proudu

88 88 FEKT Vysokého učení technckého v Brně K out np P ( np, out ) P ( S np, S out ) P ( S np, out ) a a kde gg g3 gg g a, a, a, a3. C C C C C C C 3 as + as + a s + a s a3s + a s (.6 ) Obvod tedy představuje fázovací všepropustný dvojbran třetího řádu.. CD - C C g 3 C C g 4 C 3 C g 3 5 np out R L a) np + Obr. 78: g s C g 3 s C s C3 + - g Obvod s transkoduktory. a) Schéma zapojení, b) odpovídající graf M out b).6 Kontrolní otázky z kaptoly ) Vysvětlete podstatu metody řešení obvodů grafy sgnálových toků. Jaké grafy používáme? veďte výhody a nevýhody této metody. ) Vysvětlete prncp konstrukce grafu MC. Jak graf souvsí s admtanční matcí obvodu? 3) veďte jak z grafu určujeme neznámé napětí a obvodové funkce. 4) Vysvětlete jak v grafech MC řešíme obvody s neregulárním prvky. 5) Vysvětlete co jsou to grafy sgnálových toků a jak je používáme k řešení obvodů.

89 Teore elektronckých obvodů 89 Elektroncký obvod jako soustava Cíle kaptoly: Seznámt studenty s lneární dynamckou soustavou představující elektroncký obvod, její charakterstckou rovncí, řešením stablty a osclačních podmínek, se zpětnou vazbou a jejím vlvem na vlastnost obvodu.. Obvod jako lneární dynamcká soustava Složtější elektroncký obvod lze chápat tak, že se skládá z jstých podobvodů a že tak představuje dynamckou soustavu. V této soustavě sledujeme časové průběhy konečného počtu obvodových velčn a jejch vzájemnou nterakc. Nejčastěj nás zajímá odezva soustavy na určté buzení. Většnou uvažujeme, že zpracovávané sgnály jsou malé a soustavu lze považovat za lneární. V kap. 3. jsme s ukázaly, že obvod zpracovávající sgnál řešíme jako dvojbran tak, že separujeme zdroj sgnálu a zátěž (Obr. ). Tuto myšlenku lze zobecnt na složtější neuzavřenou soustavu. Vnější buzení je tvořeno několka nezávslým zdroj napětí a proudů. Soustava pak zajšťuje žádanou nterakc na oddělené zátěž. Podobvody tvořící soustavu mohou být zapojeny kaskádně (Obr. 79 a). Tehdy pro celkový přenos napětí platí jednoduchý vztah n K K. (. ) Nekaskádní spojení může být různé. Může se v něm vyskytovat několk dopředných cest (Obr. 79 b). Často se v soustavě vyskytují zpětné cesty sgnálu (Obr. 79 c,d) hovoříme o zpětné vazbě (ZV) v obvodě (kap..6). np np. np EO- EO-3 EO-4 EO- EO- EO-3 out. EO- a) b) EO- out np EO- EO-3 EO- EO- EO-3 out out EO-4 EO-4 c) d) Obr. 79: Spojení podobvodů v soustavu. Složté zapojení s výhodou modelujeme grafem sgnálových toků (kap..3). Pro realzac lbovolné přenosové funkce použjeme strukturu s více smyčkam ZV a ntegrátory, jako základním stavebním blokem. Obecnou přenosovou funkc n-tého ( 3.5 ) řádu můžeme takto realzovat obvodem, jehož model je na Obr. 8. Jde o jednu z kanonckých struktur označovanou FLF-OS (Follow the leader feedback - output summaton).

90 9 FEKT Vysokého učení technckého v Brně -b Zpětné vazby -b -b n- Sumace np np /s -b n- /s /s /s a a out out ntegrátory a a n- Dopředné cesty a n a n- Obr. 8: Model soustavy kanoncké struktury FLF-OS.. Obecné vlastnost přenosové soustavy obvodů.. deální přenosová soustava Za deální přenos považujeme, když sgnál u () t na výstupu soustavy má pouze jnou ampltudu než vstupní sgnál u( t) (s konstantní úměrou A ) a je časově zpožděn o t (nemůže předbíhat) Tuto podmínku lze v časové oblast defnovat vztahem u () t Au ( t t ). (. ) Podmínku (. ) lze převést (s využtím LT) do kmtočtové oblast st A s e, resp. j A j e j ω t ( ω) ( ω) ( s) ( ) jω t u ( jω) K ( jω) ( jω) Ae ( jω)., nebol (.3 ) Porovnáním pak vyplynou dvě podmínky pro vlastnost deální přenosové soustavy v kmtočtové oblast a to ve formě jednoduchých vztahů pro modulovou a argumentovou kmtočtovou charakterstku K( ω ) A, (.4a) ϕ ( ω ) ω t. (.4b) (.4 ) Věta. Kmtočtové charakterstky deální přenosové soustavy. Modulová charakterstka deální přenosové soustavy je přímka rovnoběžná s osou kmtočtů. Argumentová charakterstka je přímka procházející počátkem souřadnc a má zápornou směrnc ( t ). Fázové zpoždění soustavy je defnováno jako poměr t ϕω ( ). (.5 ) ω Fáze sgnálu na výstupní bráně je oprot fáz vstupního sgnálu zpožděna o hodnotu ωt. Skupnové zpoždění pak jako záporná dervace argumentové charakterstky

91 Teore elektronckých obvodů 9 t g ϕ ( ω ). (.6 ) ω Věta. Zpoždění deální přenosové soustavy. deální přenosová soustava má konstantní fázové zpoždění nezávslé na kmtočtu, které se rovná skupnovému zpoždění. Teoretcky by obě tyto věty měly platt v nekonečném rozsahu kmtočtů ( ω ). Praktcky potřebný kmtočtový rozsah závsí na šířce spektra přenášeného sgnálu... Souvslost mez časovým a kmtočtovým charakterstkam V časové oblast posuzujeme vlastnost obvodu podle tvaru přechodné nebo mpulsové charakterstky. Přechodná charakterstka h (t) je odezva ( ) lnearzovaného obvodu na jednotkový skok ( t) ( t) přvedený na vstupní bránu ( je napětí nebo proud). dvojpólu jde pak zpravdla o odezvu proudu na jednotkový skok napětí, č naopak, takže se hovoří o tzv. přechodné admtanc č mpedanc. mpulsová charakterstka g (t) je obdobná odezva na jednotkový mpuls ( t) δ ( ) (Dracovu dstrbuc). t Tyto charakterstky lze vypočítat z přenosové funkce g s () t LT { K( s) }, h() t LT K() s. (.7 ) Známe-l přenosovou funkc K(s) v symbolckém tvaru ( 3.7 ), resp. průběh kmtočtové závslost její reálné Re [K(jω)] a magnární složky m [K(jω)], můžeme přechodnou charakterstku vypočítat dle následujících vztahů + [ K( jω) ] m h ( t) K() + cos( ωt) dω, π ω + [ K( jω) ] Re h ( t) sn( ωt) dω. π ω (.8 ) Obdobné vztahy platí pro charakterstku mpulsovou. Získáme je dervací vztahů (.8 ). vedené rovnce se používají př numerckém výpočtu h (t) nebo g (t) na počítač. Blžší rozbor a odvození těchto vztahů lze nalézt v [ ] a [ 5 ]. Tyto rovnce jsou důležté nejen pro praktcké výpočty, ale pro další teoretcké úvahy...3 Podmínky realzovatelnost přenosové soustavy Protože h() t je v rovncích (.8 ) vyjádřena buď pomocí reálné nebo magnární část přenosu, je zřejmé, že mez nm musí u fyzkálně realzovatelných soustav estovat určtý vztah. Srovnáme-l obě rovnce (.8 ) obdržíme po úpravách podmínku realzovatelnost těchto soustav + { Re[ ( jω) ] cos ( ωt) + m[ K( jω) ] cos ( ωt) } dω K, (.9 ) což lze vyjádřt také pomocí modulové K(ω) a argumentové ϕ(ω) charakterstky ve tvaru

92 9 FEKT Vysokého učení technckého v Brně + [ ] K( ω) cos ωt ϕ( ω) dω. (. ) Tyto vztahy formulují obecné podmínky, které musí splňovat Re [K(jω)] a m [K(jω)] resp. K(ω) a ϕ(ω), u realzovatelné přenosové soustavy. Je tedy zřejmé, že př syntéze obvodu nelze lbovolně zadat současně obě kmtočtové charakterstky. Dosadíme-l do (. ) jednoduché výrazy pro deální přenosovou soustavu z kap..., snadno zjstíme, že této podmínce nevyhovuje. Z toho vyplývá, že obvod deálních vlastností nelze realzovat v celém kmtočtovém rozsahu. V pra však postačuje, když je tato podmínka s dostatečnou přesností splněna v daném ntervalu kmtočtů tak, aby pokryla spektra zpracovávaných sgnálů...4 Obvody s mnmálním a nemnmálním argumentem Podmínka realzovatelnost (. ) představuje jstou ntegrální transformac, která není jednoznačná. Pro určtý průběh modulové charakterstky K(ω) může estovat mnoho obvodů s různým argumentovým charakterstkam ϕ(ω. Dá se ukázat, že jeden z nch má na každém kmtočtu vždy nejmenší hodnotu argumentu ze všech. Takovýto obvod budeme nazývat s mnmálním argumentem, resp. s mnmální fází. Ostatní pak jsou obvody s nemnmálním argumentem. Příklad. Obvod. řádu s mnmální fází. Vyšetřeme průběh argumentové kmtočtové charakterstky jednoduchého obvodu s přenosovou funkc. řádu ve tvaru s + a K( s), ( a, b > ). (. ) s + b Řešení: Přenosová funkce (. ) má jeden pól a jeden nulový bod v levé polovně komplení rovny, jak je naznačeno na Obr. 8a. Jedná se tedy o obvod s mnmálním argumentem. Převodem (. ) do symbolckého kompleního tvaru dostáváme K( j ) K( ) e j ϕ ( ω ) ω ω, a + ω kde K ( ω), a b ϕ( ω ) α( ω ) β( ω ). + ω (. ) Fázový posuv na určtém kmtočtu (ω ) je určen dílčím argumenty čtatele α a jmenovateleβ, jak je naznačeno na Obr. 8a. Měníme ω a vyneseme do grafu ϕ(ω). Obdržel jsme typcký průběh argumentové kmtočtové charakterstky na Obr. 8b. Obr. 8: Obvod. řádu s mnmální fází.. Příklad. Obvod. řádu s nemnmální fází.

93 Teore elektronckých obvodů 93 Nyní vyšetříme průběh argumentové charakterstky, změníme-l znaménko ve čtatel (. ), tedy na s a K( s), ( a, b > ). (.3 ) s + b Řešení: Poloha pólu zůstane zachována, avšak nulový bod se přesune do pravé polovny komplení rovny (Obr. 8a). V tomto případě jde o obvod s nemnmálním argumentem. Obdobným způsobem odvodíme argumentovou charakterstku na Obr. 8b. Z něj je zřejmé, že hodnota fázového posuvu je vždy větší než v předchozím Příklad. (příslušný průběh je naznačen v tomtéž grafu čárkovaně). Obr. 8: Obvod. řádu s nemnmální fází.. Výsledek těchto příkladů se dá zobecnt do následující věty. Věta.3 Obvody s mnmálním a nemnmálním argumentem. Leží l všechny nulové body v levé polovně komplení rovny (kap. 3.3), tj. když čtatel přenosové funkce (3.7) je Hurwtzovým polynomem, jedná se o obvod s mnmálním argumentem. Pokud alespoň jeden nulový bod leží v pravé polovně komplení rovny, jde jž o obvod s nemnmálním argumentem. stablního obvodu všechny póly leží v levé polovně komplení rovny (kap..5)...5 Hlbertova transformace obvodů s mnmálním argumentem je jednoznačný vztah mez reálnou a magnární částí, resp. mez modulem a argumentem, přenosové funkce. Tyto relace jsou dány specální ntegrální transformací, která se nazývá Hlbertova transformace [ 5 ]. Vždy jedna charakterstka je eplctně dána pomocí ntegrálu charakterstky druhé. Přesněj řečeno jeden bod charakterstky je tak dán ntegrací příspěvků celé charakterstky druhé. Tak lze argumentovou charakterstku vypočítat z modulové + ln K( u) ϕω ( ) π du. (.4 ) u ω A nebo nverzně modulovou charakterstku z argumentové ln K ( ω) π + ϕ ( u) du. (.5 ) u ω Podobné vztahy platí pro reálné č magnární část přenosové funkce [ 5 ]. Výpočty na základě těchto vzorců se zpravdla provádí numercky, na počítač. Pro jednodušší tvary charakterstk lze použít také grafcko-analytcké metody uvedené v [ 5 ].

94 94 FEKT Vysokého učení technckého v Brně..6 Všepropustné fázovací dvojbrany Typckým představtel obvodů s nemnmálním argumentem jsou tzv. všepropustné fázovací dvojbrany (ve starší české lt. zvané fázovací články, v západní lt. pak all-pass flters). možňují korgovat průběh argumentové charakterstky určté soustavy a to beze změny charakterstky modulové. těchto obvodů leží všechny nulové body v pravé polovně komplení rovny a navíc jsou symetrcké s póly přenosové funkce vzhledem k magnární ose [ 5 ]. Modulová charakterstka je konstantní, argumentová charakterstka se mění monotónně a je dána příspěvky od jednotlvých pólů a nulových bodů. Všepropustné fázovací dvojbrany se dají realzovat jako obvody pasvní LCR nebo jako aktvní obvody RC s OZ [ 3 ]. obvodů prvního řádu má přenosová funkce tvar (.3 ), přčemž platí, že a b. Přenosová funkce fázovacího dvojbranu. řádu má obecný tvar s b p + b K( p) K. (.6 ) s + b p + b Fázovací obvody vyšších řádů lze sestrojt kaskádním spojením zmíněných obvodů. a. řádu. Další podrobnost lze nalézt v lteratuře [ 3 ], [ ] aj..3 zavřená soustava a její pops zavřenou lneární dynamckou soustavu lze popsat homogenní lneární dferencální rovncí n-tého řádu n n d d d + a a + a n n n (.7 ) dt dt dt kde je vybraná obvodová velčna. Rovnc (.7 ) lze zobecnt a chápat j jako rovnc vektorovou, kde r je vektor obvodových velčn. Laplaceovou transformací této rovnce dostaneme její obraz n n s + a s a s + a ) X ( s) (.8 ) ( n Za předpokladu, že X ( s), pak se musí nule rovnat mnohočlen v závorce, tedy platí n n ( p + an p ap+ a) (.9 ) Vztah (.9 )se nazývá charakterstcká rovnce soustavy. Mnohočlen charakterstcké rovnce, který označíme obecně R(s), můžeme rozložt na součn kořenových čntelů n R ( s) a ( s p& ). n k (. ) k Charakterstckou rovnc můžeme také získat z popsu lneárního obvodu metodou uzlových napět. vážíme-l ve vztahu Y, že soustava není buzena, pak uvedená rovnce má netrvální řešení ( ), když položíme determnant matce Y roven nule det Y Δ. (. ) Věta.4: Získání charakterstcké rovnce z popsu obvodu. Charakterstckou rovnc tedy získáme, sestavíme-l admtanční matc obvodu, vypočítáme její determnant a položíme jej roven nule.

95 Teore elektronckých obvodů 95 Poznamenejme, že obdobná věta platí pro matc mpedanční nebo hybrdní. Charakterstckou rovnc však můžeme získat jnak, platí totž následující věta. Věta.5: Získání charakterstcké rovnce z přenosu napětí Známe-l u soustavy, chápané jako dvojbran (kap. 3.), přenos napětí ( 3. ), který je obecně dán jako podíl dvou polynomů ( 3.5 ), pak charakterstckou rovnc získáme z jeho jmenovatele položením D(s). Charakterstcká rovnce popsuje základní vlastnost obvodu, zda je obvod stablní č nkolv. rčuje přechodné děje v této soustavě. A to nejen v soustavě uzavřené (nebuzené), ale v odpovídající soustavě buzené. buzené soustavy musíme však uvažovat vlv vnějších obvodů - budcích zdrojů a zátěže. V případě buzení zdroj napětí (předpokládáme deální), musíme př určování charakterstcké rovnce vstupní bránu zkratovat. (D) C (G) FET (g T, g D ) C 3 L 3 L R (E) Obr. 83: Příklad.3: Aktvní obvod 4. řádu. Aktvní obvod 4. řádu a jeho charakterstcká rovnce. Na Obr. 83 je lneární autonomní obvod s unpolárním tranzstorem a čtyřm akumulačním prvky, tedy obvod 4. řádu. FET je modelován parametry g T a g D. Odvoďte charakterstckou rovnc obvodu. Řešení: Metodou uzlových napětí sestavíme admtanční matc tohoto obvodu. (): (G) (): (D) (): (G) Y sc + G + sc pl (. ) (): (D) g T sc sc + g + D sl 3 Vypočítáme determnant této matce a položíme ho roven nule det Y Δ sc + G + ( )( ) sc + g + g sc sc, D T sl sl3 (.3 ) čímž dostaneme hledanou charakterstckou rovnc, kterou dále upravíme do tvaru a 4 s 4 + a 3 s 3 + a s + a s + a, (.4 ) kde jednotlvé koefcenty jsou dány následujícím symbolckým vztahy a, a G L + g D L 3, a L 3 (C + C 3 ) + L (C + G L 3 g D ), (.5 )

96 96 FEKT Vysokého učení technckého v Brně a 3 L L 3 [C (G + g D + g T ) + C 3 G ], a 4 C C 3 L L 3. Přechodný děj v soustavě obvodů může být: aperodcký, perodcký (kmtavý) o tlumený, o netlumený (osclace)..4 Osclační podmínky Za určtých okolností mohou v obvodě vznknout osclace. Osclační podmínky, kdy je obvod na mez stablty, dostaneme obecně tak, že do charakterstcké rovnce (.9 ) dosadíme za proměnnou s jω a rovnc rozložíme na reálnou a magnární část Re [R(jω)], m [R(jω)]. (.6 ) Tyto dvě osclační podmínky jsou základem lneární teore osclátorů. Často jsou modfkovány do tvaru podmínky modulové Mod [R(jω)], (.7 ) a podmínky fázové Arg [R(jω)] k 36 o, k,,,3,... (.8 ) V případě obvodů se zpětnou vazbou vztah pro charakterstckou rovnc (.9 ) přechází do následujícího tvaru R(s) - β(s) A(s). (.9 ) Pak osclační podmínky lze upravt do další velm používané modfkace. Pro podmínku modulovou Mod [β(jω) A(jω)] β A, (.3 ) a argumentovou (fázovou) Arg [β(jω)a(jω)] ϕ A + ϕ B k 36 o, k,,,3,. (.3 ) R L (G) FET (g T ) (D) C C (E) Obr. 84: Colpttsův osclátor Příklad.4: Osclační podmínky v Colpttsově obvodě.

97 Teore elektronckých obvodů 97 Stanovme osclační podmínky u Colpttsova osclátoru [ ], jehož zjednodušené prncpelní schéma je na Obr. 84. npolární tranzstor je zde modelován pouze přenosovou vodvostí g T Řešení: Obdobně jako v předchozím příkladě nejprve sestavíme admtanční matc uvažovaného obvodu z Obr. 84. (): (G) (): (D) (): (G) Y sc + sl + R sl + R (.3 ) (): (D) g T sl + R sc + sl + R Vypočítáme její determnant a položíme ho roven nule,čímž získáme charakterstckou rovnc det Y Δ sc + sc + g +. (.33 T sl + R sl + R sl + R sl + R ) Úpravou pak s 3 C C L + s C C R +s (C + C ) + g T. (.34 ) Dosadíme za proměnnou s jω a charakterstckou rovnc rozložíme na reálnou a magnární část, čímž získáme dvě hledané podmínky osclací. Reálná část - ω C C R +g T, (.35 ) a magnární část charakterstcké rovnce - jω 3 C C L+jω (C + C ). (.36 ) Z druhé osclační podmínky můžeme vypočítat kmtočet generovaného sgnálu ω osc L CC C + C. (.37 ).5 Stablta soustav lnearzovaných obvodů Soustava obvodů je stablní, když přechodný děj v ní po určtém čase skončí. Budíme-l obvod jednotkovým mpulsem δ(t), jehož Laplaceův obraz LT [δ(t)], pak výstupní napětí P( s) P( p ) n k pkt ( s) K( s) e ˆ (.38 ) R( s) k R ( p ) k kde p k jsou póly přenosu a kořeny charakterstcké rovnce. Zpětnou Laplaceovou transformací dostaneme časový průběh n pt u () t k e k. (.39 ) k Lbovolně dlouhý přechodný děj tak jednou skončí, takže v lmtě t bude u (t) a podle (.39 ) to bude tehdy, když pro kořeny p k bude platt pkt lm e. (.4 ) t

98 98 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Z uvedeného vyplývá důležtý závěr, který můžeme použít jako následující větu. Věta.6: Základní krterum pro posouzení stablty. stablní soustavy obvodů kořeny charakterstcké rovnce (póly přenosové funkce) musí ležet v levé otevřené polovně rovny s, nebo-l Re [p k ] <. Další nutná, nkolv však postačující, podmínka stablní soustavy je dána následující větou. Věta.7: Podmínka stablní soustavy. Polynom charakterstcké rovnce (.9 ) má všechny součntele (a n ) kladné, je tzv. strktním Hurwtzovým polynomem. Leží-l jednoduché kořeny (póly) na magnární ose, je soustava na mez stablty. Nestablní je taková soustava, jejíž póly leží v pravé polovně rovny p a nebo vícenásobné póly leží na magnární ose. Znalost rozložení kořenů charakterstcké rovnce, a tím posouzení stablty dané soustavy obvodů, dnes umožňuje řada matematckých programů (MathCAD, MATLAB aj.). Přesto s ukážeme některá jednoduchá krtera a algortmy vyšetřování stablty lnearzované soustavy obvodů..5. Nyqustovo krterum Stabltu soustavy se zpětnou vazbou, s přenosovou funkcí a kmtočtově závslým parametry A( jω) K( jω) (.4 ) β ( j ω ) A( j ω ), lze posoudt z průběhu hodografu T(jω) přenosu otevřené smyčky T( jω) β( jω) A( jω). (.4 ) Věta.8: Nyqustovo krterum. Soustava se zpětnou vazbou je stablní když hodograf T(jω) přenosu otevřené smyčky, př změně kmtočtu ω, neobepne krtcký bod B [, j]. Tak je tomu v případě na Obr. 85a, kde bod B leží vně uzavřené plochy hodografu T(jω). Je-l tomu naopak a krtcký bod B leží uvntř plochy (Obr. 85b), soustava je nestablní. Na Obr. 85c je případ hodografu tzv podmíněně stablní soustavy. Př nepatrné změně parametrů obvodu se krtcký bod může lehce dostat dovntř uzavřené plochy a soustava se stane nestablní. Tomuto stavu se v pra pochoptelně vyhýbáme. Poznamenejme, že někteří nterpret Nyqustova krtera uvažují čntel zpětné vazby β <, přenos (.4 ) má ve jmenovatel znaménko plus a krtcký bod pak je $B [-, j] (Obr. 85d). Z průběhu hodografu T(jω) můžeme také rozhodnout o záloze zsku A m resp. o záloze fáze ϕ m, kterou máme, než se stane soustava nestablní, díky změně některých jejch parametrů.

99 Teore elektronckých obvodů 99 Stablní podmíněně stablní a) b) Nestablní soustava Záloha zsku Jná nterpretace (bod B -) Obepíná krtcký bod B Záloha fáze Obr. 85: Nyqustovo krterum. c) d).5. Bodeho krterum Je to další praktcké krterum, aplkovatelné na soustavu se zpětnou vazbou, kdy známe modulovou kmtočtovou charakterstku zpětnovazebního dvojbranu β(jω). Modulovou kmtočtovou charakterstku vyšetřovaného dvojbranu (A) vyjádříme v decbelech AdB ( ω) log A( ω) (.43 ) a podle Bodeho j apromujeme lomenou přímkou (Obr. 86: Vyšetřování stablty Bodeho krterem. ). Do tohoto tzv. Bodeho dagramu zakreslíme charakterstku zpětnovazebního dvojbranu (β) βdb ( ω) log (.44 ) βω ( ) apromovanou také lomenou přímkou (Obr. 86). Podle Bodeho krtera pak zkoumáme, jak se tyto charakterstky ve svém průsečíku P vzájemně přblžují. Věta.9: Bodeho krterum Obvod bude stablní pokud rychlost vzájemného přblžování modulové charakterstky přímého přenosu a nverzního přenosu zpětné vazby bude před jejch průsečíkem rovna nebo menší než db/dek. V jném případě, př větší rychlost vzájemného přblžování (a to jž od 4 db/dek) je fázová bezpečnost nulová a obvod se zcela jstě rozkmtá.

100 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Na Obr. 86 je tedy bod P stablní (rychlost přblžování je db/dek). To odpovídá vhodně vybranému aktvnímu prvku (OZ). Př změně aktvního prvku, který má větší zesílení a vyšší mezní kmtočet a modulovou charakterstku A db (ω) nakreslenou čárkovaně, bude průsečík až v bodě $ P. Zde je rychlost přblžování 4 db/dek a soustava je nestablní. Obr. 86: Vyšetřování stablty Bodeho krterem..6 Zpětná vazba v elektronckých obvodech Zpětná vazba (ZV) má pro analogové obvody velký význam. Pomocí ní můžeme realzovat obvody s vysokou stabltou a lneární pracovní charakterstkou, když samotné dílčí prvky jsou nelneární a velm nestablní. Pomocí ZV lze také dosáhnout podstatných změn parametrů a obvodových funkcí původního obvodu (např. zeslovače). ZV se šroce využívá, anž s to uvědomujeme, v jných dynamckých (technckých přírodních) soustavách. Úmyslně byla ZV poprvé použta a také teoretcky rozebrána právě v elektrotechnce (teore osclátorů, úprava vlastností zeslovačů). Daleko větší pozornost a rozpracování se j však dostalo v kybernetce a teor řízení..6. Prncp zpětné vazby Jak samotný název zpětné vazby říká, část výstupního sgnálu (X ) se přvádí zpět (Obr. 87), jako zpětnovazební sgnál (X β ), přes zpětnovazební článek (převážně pasvní kmtočtově závslý) s přenosem β, na vstupní bránu obecného dvojbranu s přenosem A, a to buď ve fáz nebo v protfáz se vstupním sgnálem (X ). X + X A X X β β X Obr. 87: Blokové schéma soustavy se zpětnou vazbou. Ve složtých analogových obvodech rozlšujeme lokální ZV (Obr. 79c) a globální ZV (Obr. 79d) nebo-l malé a velké smyčky ZV. Velké smyčky ZV obepínají celý obvod a především určují (vylepšují) jeho vlastnost. V několka stupňovém obvodě lokální ZV slouží především ke stablzac pracovních bodů jednotlvých stupňů. Vedle úmyslně zavedených

101 Teore elektronckých obvodů ZV estují nežádoucí ZV (např. dané zpětným přenosem tranzstoru) a také ZV paraztní a neodstrantelné, které se snažíme pouze potlačt...6. Základní rovnce zpětné vazby V blokovém schématu soustavy se ZV (Obr. 87) je vlastní dvojbran (A) obecně popsán přenosem X A X. (.45 ) Zpětnovazební člen (β) je obdobně přenosem β β X (.46 ) X kde sgnály X mohou být jak napětí () tak proudy (). Oba tyto přenosy jsou obecně funkcem kmtočtu A(p), β(p) resp. A(jω), β(jω). V součtovém členu (Obr. 87) se získá sgnál X X + X (.47 ) Přenos celé soustavy se ZV lze odvodt následujícím způsobem K X X X X X X X X X X X A A β β β (.48 ) Získal jsme velm užtečný Blackův vztah (.48 ). Z něj je patrno, že ZV výrazně ovlvňuje výsledný přenos soustavy K. Ten může být větší nebo menší než původní přenos samotného dvojbranu A (bez ZV). Podle toho rozlšujeme ZV kladnou (K >A) nebo ZV zápornou. Blžší dělení ZV je včetně potřebných vztahů uvedeno v Tab. 6. V případě slné záporné ZV je přenos celé soustavy (.48 ) dán pouze zpětnovazebním čntelem (β). Pak kmtočtové vlastnost celé soustavy jsou dány pouze vlastnostm zpětnovazebního obvodu (β) a dvojbran A vlastnost soustavy skoro vůbec neovlvňuje. To platí např. v obvodech s operačním zeslovačem, kde A je velm velké, ale jž od jednotek Hz je kmtočtově závslé, proto skoro vždy zavádíme slnou zápornou ZV, kde K - /β. Tab. 6: Základní rozdělení zpětných vazeb. Druh ZV Přenos otevřené smyčky Vratný rozdíl Přenos v soustavě kladná ZV < β A < - β A < K > A osclace β A - β A K záporná ZV β A < - β A > K < A slná záporná ZV β A >> - β A - β A K - /β bez ZV β A - β A K A.6.3 Druhy zpětné vazby dle zapojení Podle způsobu propojení dvojbranů A, β zátěže Z a budcího zdroje rozlšujeme ZV:

102 FEKT Vysokého učení technckého v Brně a) dle zapojení vstupů: b) dle zapojení výstupů: ZV sérová, ZV proudová, ZV paralelní, ZV napěťová. Blíže vz. následující tabulka Tab. 7. Tab. 7: Rozdělení zpětných vazeb dle zapojení..6.4 Vlv zpětné vazby na parametry obvodu Vstupní mpedance soustavy se zpětnou vazbou je určena zapojením vstupních bran dvojbranů A, β. Pro sérovou ZV na Obr. 88a odvodíme Z vst X A A Zvst Zvst X β β β ( A) β (.49 ) Pro vstupní mpedanc resp. admtanc př paralelní ZV (Obr. 88b) lze odvodt obdobně Z vst Z A vst A ( βa) Y Y, ( A) vst vst β. (.5 ) Z npa Z npa np np A np np β A Z np β β Z np a) b) β

103 Teore elektronckých obvodů 3 Obr. 88: Vstupní mpedance soustavy se zpětnou vazbou a) př sérovém zapojení ZV, b) př paralelním zapojení ZV. Výstupní mpedance soustavy se zpětnou vazbou je podobně určena zapojením výstupních bran dvojbranů A a β (Tab. 7). Na propojení jejch vstupů nezáleží. Pro proudovou ZV lze odvodt následující vztah ( ) A Z Z β A (.5 ) vyst vyst pro napěťovou ZV platí pak duálně Z vyst Z A vyst A ( βa) Y Y ( A), vyst vyst β. (.5 ) Zpětná vazba má podstatný vlv na kmtočtové charakterstky soustavy. Na Obr. 89a je znázorněn vlv ZV na modulovou charakterstku K(ω). Vdíme, že záporná ZV snžuje zesílení, přenos K (-) < K, ale rozšřuje šířku pásma B (-) > B. Př kladné ZV je tomu naopak. Přblžně platí vztah ( + ) ( + ) ( ) ( A B K B K B ). (.53 ) A K K Z Obr. 89b je patrný vlv ZV na dynamku soustavy a nelneární zkreslení. Záporná (kladná) ZV zvětšuje (zmenšuje) lneární část pracovní charakterstky u f(u ). Záporná zpětná vazba výrazně ovlvňuje stabltu hodnoty celkového zesílení K, snžuje vlv aktvního prvku (závslost A(ω)) na hodnotu závslost K(ω). Obr. 89: a Vlv zpětné vazby na charakterstky obvodu. a) modulovou charakterstku, b) pracovní charakterstku vstup-výstup..6.5 Zapojení zpětné vazby v zeslovačích Z předchozí kaptoly se dá učnt stručný závěr, že záporná ZV má poztvní vlv na vlastnost zeslovače. Proto j najdeme v každém praktckém zapojení a často nejen jednu. Rozlšujeme ZV: dle umístění: o zpětnou vazbu lokální (místní) - v jednom stupn, o zpětnou vazbu globální (celkovou) - přes více stupňů, dle vlvu: o zpětnou vazbu sgnálovou - základní ZV, o zpětnou vazbu drftovou - doplňková ZV pouze pro pomalé změny (teplota, stárnutí).

104 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Posledně jmenovaná lokální drftová záporná zpětná vazba slouží ke stablzac pracovního bodu aktvního prvku, k otlačení vlvu jeho stárnutí a hlavně vlvu změny teploty. + CDC A T R C B T C R g u R C u R g u u u u β R E u R E -u β β a) b) R g h u R C u u h R E R E Obr. 9: u β u β c) Tranzstorový zeslovač se zpětnou vazbou. a) Zjednodušené schéma, b) náhradní schéma se ZV, c) náhradní schéma bez ZV. Příklad.5: Tranzstorový zeslovač se zpětnou vazbou. Na Obr. 9a je tranzstorový zeslovač se zpětnou vazbou. Defnujte zpětnou vazbu a odvoďte parametry této soustavy. Řešení: Jde o lokální zápornou zpětnou vazbou. Př vzrůstu proudu E vzroste úbytek napětí na R E a ten odbuzuje vstupní bránu tranzstoru (je fázově otočen vůč vstupnímu napětí). Vazba je to proudová, R E slouží jako převodník. Vstupní obvody původního zeslovače a zpětnovazebního degenerovaného dvojbranu, tvořeného pouze R E jsou zapojeny do sére. Jde tedy o vazbu proudově sérovou, což lépe pochopíme z náhradního obvodu na Obr. 9b, účelově nakresleného v této podobě. Zpětnovazební napětí u β vznká jako úbytek u β - E R E R E. Výstupní napětí je u - C R C R C, takže čntel zpětné vazby pro napětí se dá jednoduše odvodt dle vztahu

105 Teore elektronckých obvodů 5 β R R β E E R C RC. (.54 ) V tomto případě, kdy se jedná o proudově sérovou ZV, nás však bude více zajímat čntel zpětné vazby, defnovaný dle Tab. 7 následujícím vztahem β RE β RE (.55 ) K určení parametru A původního dvojbranu (zeslovače bez ZV) s nakreslíme náhradní schéma na Obr. 9c. V Obr. 9b odstraníme ZV, př čemž poměry ve vstupní výstupní část obvodu musí zůstat zachovány. Př kreslení vstupní část rozpojíme výstupní smyčku (uvažujeme ) a obdobné provedeme pro výstupní část. Z Obr. 9c určíme podle Tab. 7 původní přenosovou vodvost A GT h ( R + R + h ) h R + R + h E E Vratný rozdíl pak je h RE N β A + R + RE + h. Přenosová vodvost celé soustavy pak je ) K G T A h βa R + h + RE ( + h.7 Kontrolní otázky z kaptoly. ) R E. (.56 ) (.57 ) (.58 ) ) Co je to charakterstcká rovnce obvodu a jak j získáme? ) Pojednejte o stabltě obvodu. veďte základní krtera stablty. 3) Vysvětlete Nyqustovo krterum stablty. Co jsou to záloha zsku a záloha fáze? 4) Vysvětlete Bodeho krterum stablty. 5) Co jsou to osclační podmínky a jak je získáme z popsu obvodu? 6) Nakreslete blokové schéma a napšte základní vztahy pro zpětnou vazbu sérovou napěťovou. veďte konkrétní příklad (schéma obvodu) této zpětné vazby. 7) Nakreslete blokové schéma a napšte základní vztahy pro zpětnou vazbu sérovou proudovou. veďte konkrétní příklad (schéma obvodu) této zpětné vazby. 8) Nakreslete blokové schéma a napšte základní vztahy pro zpětnou vazbu paralelní proudovou. veďte konkrétní příklad (schéma obvodu) této zpětné vazby. 9) Nakreslete blokové schéma a napšte základní vztahy pro zpětnou vazbu paralelní napěťovou. veďte konkrétní příklad (schéma obvodu) této zpětné vazby. ) Vysvětlete jak zpětná vazba ovlvní vstupní mpedanc. ) Vysvětlete jak zpětná vazba ovlvní výstupní mpedanc. ) Odvoďte vztah pro vstupní mpedanc př sérové zpětné vazbě. 3) Odvoďte vztah pro vstupní mpedanc př paralelní zpětné vazbě. 4) Rozeberte vlv zpětné vazby na kmtočtové charakterstky a šířku přenášeného pásma. 5) Rozeberte vlv zpětné vazby na pracovní charakterstku (vstup - výstup), dynamku a nelneární zkreslení obvodu.

106 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Metody řešení nelneárních obvodů Cíle kaptoly: Seznámt studenty s prncpy a základy metod, které se používají pro řešení nelneárních obvodů, se způsoby a možnostm zjednodušování této úlohy. Naučt a na řadě příkladů procvčt grafcké metody. Vysvětlt prncp lnearzace. kázat nejpoužívanější analytcké metody, hlavně metodu stavových proměnných. Seznámt se základním numerckým metodam, využívaným v obvodových smulátorech na počítač. Naučt je různým způsobům určování spekter sgnálů v nelneárních obvodech.. Obecně o analýze nelneárních obvodů Veškeré reálné elektroncké obvody jsou v podstatě nelneární obvody (NEO). Jen když zpracovávané sgnály jsou malé (a to je dost často), můžeme je považovat za lneární resp. lnearzované (LEO) a k jejch řešení použít metody rozebírané v kap. 6 až 8. V některých případech (zpracování větších sgnálů) to však nelze a pak je třeba použít př jejch analýze zvláštních metod, uváděných v této kaptole. V NEO neplatí prncp superpozce, který je př řešení LEO s výhodou používán. V NEO může estovat několk ustálených stavů, př čemž který ze stavů nastane záleží na počátečních podmínkách a průběhu přechodného děje. Daný ustálený stav dává možnost usoudt o stavu obvodu v mnulost, tedy v NEO estuje paměť a hystereze. Tyto obvody se v pra hojně využívají proto, že v NEO dochází ku změně spektra zpracovávaných sgnálů, k přesunu energe ve spektru. Na výstupu NEO jsou jné složky než na vstupu. Pro řešení NEO není k dspozc žádná unverzální metoda. Pops obvodu je totž závslý na charakterstkách jednotlvých nelneárních prvků. Za účelem poskytnutí základních nformací o dějích v NEO se často používají přblžné metody, které jsou výpočtově méně náročné. Podrobná analýza je složtá a mnohostranná záležtost, zpravdla probíhá v několka etapách: ) Seznámení se s funkcí obvodu z kvaltatvního hledska pomocí některé z přblžných metod (velm často metodou grafckou). ) Analýza NEO k získání nejdůležtějších obvodových velčn, nutných k popsu vyšetřovaného jevu. Pro vyšetření různých velčn se zpravdla používá různých metod. 3) Smulace a modelování NEO na počítač (PSpce) k dokonalému ověření závěrů předchozích etap. 4) Případné epermentální měření daného NEO. Používané metody dělíme do těchto skupn: grafcké metody, grafcko-početní metody, analytcké metody, numercké metody.. Nelneární dvojpóly a dvojbrany Parametry lneárních prvků jsou konstantní, nezávsí na žádné obvodové an vnější velčně. Jejch obvodové velčny (, y) jsou vázány obecným vztahem (. ), kde k je parametr. Charakterstky, které tuto závslost grafcky vyjadřují jsou tedy lneární.

107 Teore elektronckých obvodů 7 nelneárních prvků charakterstky představují funkční závslost (. ). Jejch parametry závsejí na pracovním bodě, tj. na kldových hodnotách obvodových velčn Q (X Q, Y Q ) y k., (.a) y f ( ). (.b) (. ) Parametry řízených lneárních prvků závsejí na řídící velčně (z). Jejch charakterstky představují soustavu přímek, odpovídající vztahu (. ). Každé konkrétní hodnotě z z odpovídá jedna přímka. řízených nelneárních prvků jsou charakterstky obecně dány vztahem (. ). V techncké pra je řídcí velčna obvykle funkcí času z z(t) a takové prvky nazýváme s časově proměnným parametry y k( z), (.a) y f (, z). (.b) (. ) Vlastnost nelneárního prvku pak popsujeme ne jedním, ale několka, různě defnovaným parametry. Statcký parametr (P) je defnován jako poměr kldových hodnot obvodových velčn, Y Q v daném pracovním bodě, závslé velčny (Y Q ) k nezávslé (X Q ) y YQ P. (.3 ) Q X Q Statcký parametr lze modelovat ekvvalentním lneárním dvojpólem, který na stejnosměrnou budcí velčnu X Q má stejnou odezvu Y Q jako prvek nelneární. Jeho charakterstkou je přímka na Obr. 9a, procházející počátkem a pracovním bodem Q. Obr. 9: a) b) c) Parametry nelneárního dvojpólu. a) statcký parametr, b) dferencální parametr, c) dferenční parametr. Dferencální parametr P d defnujeme jako poměr (.4 ) dferencálů obvodových velčn d, dy v daném pracovním bodě Q. Jde tedy o dervac charakterstky v bodě Q. Jeho geometrckou nterpretací je tečna (Obr. 9b). Zavedeme-l místo nekonečně malých přírůstků (.4 ) konečné přírůstky Δy, Δ můžeme dle (.4 ) defnovat dferenční parametr P Δ, jehož geometrckou nterpretací je sečna (Obr. 9c) dy Pd, (.4a) d Q Δy PΔ. (.4b) (.4 ) Δ Q vedené parametry P, P d, P Δ jsme chápal jako konkrétní hodnoty v daném pracovním bodě Q. Můžeme je však také nterpretovat jako funkce P(), P d (), P Δ () (.5 ) nezávsle proměnné obvodové velčny a pak s výhodou využít jejch grafcké vyjádření f ( ) df P ( ), (.5a) P ( ) ( ) d. (.5b) (.5 ) d Dynamcké parametry P d, P Δ používáme k popsu chování nelneárního prvku vzhledem k malým sgnálům, superponovaným na stejnosměrné složky X Q, Y Q, určující kldový stav. řízených nelneárních dvojpólů (Obr. 9) charakterzovaných závslostí (.b) defnujeme statcký parametr P (, z) (.3 ), př konstantní řídcí velčně z Z Q. Stejně tak základní (výstupní) dferencální parametr P d (, z). Nově přenosový dferencální parametr

108 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně K ( dy, z ) df z (, ) d dz X d X. (.6 ) V [ ] je defnován obdobně další přenosový dferencální parametr A d (, z). Nahradíme-l v defnčních vztazích dferencály konečným přírůstky (dferencem), můžeme defnovat odpovídající dferenční parametry P Δ (, z), K Δ (, z), resp. A Δ (, z) [ ]. Obr. 9: rčování parametrů řízeného nelneárního dvojpólu. Takto lze defnovat nejen parametry nelneárních R, ale nelneárních L a C. Vše lze rozšířt na nelneární dvojbrany vícebrany [ ]. S mnoha dalším podrobnostm se můžete blíže seznámt v učebnc [ 4 ] (vydána byla v české verz)..3 Lnearzace Jsou-l ampltudy sgnálů působících na nelneární prvek dostatečně malé, lze použít metodu lnearzace, tj. náhrady nelneárního prvku ekvvalentním modelem obsahujícím lneární prvky a řízené zdroje. Náhradní obvod pak vyšetřujeme pouze z hledska odezvy na malý budcí sgnál, metodam pro lneární obvody, čímž se řešení obvodu výrazně zjednoduší..3. Lnearzace neřízeného nelneárního rezstoru važujme nejjednodušší případ neřízeného nelneárního rezstoru R N (Obr. 93), napájeného ze zdroje stejnosměrného napětí, na které jsou superponovány malé napěťové změny Δu, takže celkové napětí na nelneárním rezstoru je u + Δu (Obr. 93a). Jeho A-V charakterstku f(u) lze v okolí kldového pracovního bodu Q (Obr. 93b) vyjádřt pomocí Taylorovy řady d d u + u u + du f( ) f( ) Δ ( Δ ) +..., (.7 ) du u u v níž je pro malé změny Δu možné zanedbat členy vyšších řádů (počínaje kvadratckým), takže potom platí d + Δ & + Δu + Gd ( ) Δu. (.8 ) du u kde f( ) je kldový proud v pracovním bodě u. Vodvost G d ( ) je pak dynamcká (dferencální) vodvost daná sklonem A-V charakterstky v tomto bodě. Ze vztahu (.8 ) je zřejmé, že mez malým přírůstkem napětí Δu a odpovídajícím přírůstkem proudu Δ platí přblžně lneární závslost

109 Teore elektronckých obvodů 9 Δ & Gd ( ) Δu Δu R ( ) d. (.9 ) která určuje vlastnost ekvvalentního lneárního obvodu pro malé změny napětí a proudu, obsahujícího lneární rezstor s odporem R d (Obr. 93c), jehož hodnota závsí na stejnosměrném předpětí. Zcela analogcký postup lze použít pro neřízený nelneární nduktor a kapactor [ 4 ]. Obr. 93: Prncp lnearzace nelneárního rezstoru..3. Lnearzace řízeného nelneárního rezstoru V případě řízeného nelneárního rezstoru závsí jeho proud nejen na napětí u, ale také na hodnotě řídcího parametru ν. Pro tento případ byl v okolí kldového pracovního bodu v [ 4 ] odvozen následující vztah (zjednodušený Taylorův rozvoj funkce dvou proměnných) + Δ & d f f ( ; V ) + du + F ( ; V ) Δu + F ( ; V ) Δv u v u v V d Δu + d Takže pro malou změnu proudu platí přblžný vztah f v u v V Δv (. ) Δ & F ( ; V) Δu+ F ( ; V ) Δv (. ) u v První člen představuje proud tekoucí lneárním rezstorem, jehož vodvost je G F u (, V ). Druhá část pak proud závslý na změně řídcího parametru ν. Odpovídající lnearzovaný model (Obr. 94) tedy obsahuje paralelní kombnac lneárního rezstoru s odporem /F u a zdroje proudu závslého na řídcím parametru ν. Je-l ν napětí, parametrem zdroje je přenosová vodvost. K tomuto modelu můžeme sestrojt model duální (Thévennův). Δ Δv F v Δv Δu /F u F u Δu Obr. 94: Lnearzovaný model řízeného nelneárního rezstoru..3.3 Lnearzace nelneárního dvojbranu Prncp lnearzace lze zobecnt na nelneární dvojbrany (např. BJT) dle [ 4 ] a získat tak lneární lokální obvodový model, který však platí pouze pro malé sgnály a jen v okolí daného pracovního bodu Q (pro jný Q má model jné hodnoty parametrů).

110 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Lnearzace v okolí Q apromujeme TŘ Nelneární dvojbran (Např. tranzstor) Lnearzovaný dvojbran (model) Obr. 95: Lnearzace nelneárního dvojbranu važujme nelneární dvojbran popsaný vodvostním charakterstkam ( u, u). (. ) ( u, u ) Nelneární rovnce (. ) lze obdobným způsobem nahradt následujícím rovncem lneárním (blíže vz. [ 4 ] a [ ]) Δ y Δ y Δu + y Δu + y Δu Δu. (.3 ) Parametry y uvažujeme většnou jako reálné, pro rychlé vf sgnály pak jako komplení, čímž vhodně posthneme setrvačné vlastnost dvojbranu. Hodnoty parametrů závsí nejen na typu tranzstoru, ale na nastavení pracovního bodu. Často lze některé parametry zanedbat a model zjednodušt. Poznamenejme, že často v (.3 ) nepíšeme symboly Δ,ale jejch platnost pouze pro změny obvodových velčn nadále předpokládáme.. Nejpoužívanější lokální model bpolárního tranzstoru, pro oblast vyšších kmtočtů a pro zapojení se společným emtorem, je model s admtančním parametry na Obr. 96. B B C C u BE y u CE y y y u BE u CE Obr. 96: Admtanční model bpolárního tranzstoru SE. E.4 Grafcké metody Grafcké řešení ve vhodně upravených charakterstkách nelneárních prvků bývá rychlé a snadné. Vyznačuje se také velkou názorností. možňuje odhalt typcké zvláštnost NEO. Dovoluje však řešt pouze daný konkrétní případ. Tyto metody (na rozdíl od analytckých ) neposkytnou obecná řešení a závěry.z matematckého hledska jde o grafcké řešení buď nelneárních algebrackých rovnc nebo nelneárních dferencálních rovnc. V této kaptole s na typckých příkladech ukážeme grafcké řešení rezstvních obvodů (nelneárních algebrackých rovnc). V dalších kaptolách pak grafcké řešení setrvačných NEO, tedy nelneárních dferencálních rovnc.

111 Teore elektronckých obvodů Obr. 97: Výsledná A-V charakterstka dvou nelneárních rezstorů. Příklad. Výsledná A-V charakterstka dvou nelneárních rezstorů. Sestrojte výslednou A-V charakterstku f(u), spojíme-l dva nelneární rezstory a) do sére (Obr. 97a), b) paralelně (Obr. 97b), známe-l charakterstky jednotlvých prvků f (u ), f (u ). Řešení: Grafckou konstrukc (Obr. 97a) provedeme na základě zřejmých vztahů (. a. KZ), (.4 ) u u + u f () + f (). (.4 ) (.4 ) Pro paralelní spojení (Obr. 97b) je konstrukce duální. A-V charakterstka odvozený průběh proudu Obr. 98: budcí napětí Odvození průběhu proudu v NEO metodou tří rovn. Schéma obvodu Příklad. Odvození průběhu proudu v NEO metodou tří rovn. Na Obr. 98a je jednoduchý NEO. K nelneárnímu rezstoru R n, se známou A-V charakterstkou (Obr. 98c), je přpojen zdroj stejnosměrného napětí, který určuje polohu pracovního bodu Q a do sére je přpojen zdroj harmonckého napětí (Obr. 98b). Vyřešt máme průběh proudu v tomto obvodě. Řešení: Časový průběh budcího napětí s překreslíme dle Obr. 98b, v poloze odpovídající A-V charakterstce. Peroda se rozdělí na vhodný počet ntervalů. Průběh proudu se pak odvodí bod po bodu, převodem mez třem souřadncovým rovnam (Obr. 98b Obr. 98c

112 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Obr. 98d). Vzhledem k nelneartě A-V charakterstky vychází proud (t) neharmoncký (došlo k deformac jeho průběhu vůč budcímu napětí). Příklad.3 Metoda zatěžovací přímky. V obvodu na Obr. 99 máme zjstt polohu pracovního bodu Q na charakterstce nelneárního rezstoru R n, tj. určt hodnotu stejnosměrného proudu a hodnoty úbytků napětí na lneárním ( R ) a nelneárním () rezstoru. Řešení: Př řešení obvod rozdělíme na dvě část (dělící čára a-b). Nelneární část (R n ) je popsána A-V charakterstkou a lneární část (sérové spojení a R) grafcky řešíme v této souřadncové soustavě. Jde o přímku danou vztahem vyplývajícím s aplkace. KZ u +. (.5 ) R R Zakreslíme pomocí dvou bodů (A, B) tak, jak je naznačeno na Obr. 99. Řešením je pak průsečík obou křvek (Q). Povšmněme s, že změna napájecího napětí se projeví posunem odporové přímky (rovnoběžka). Změna odporu R má pak za následek změnu sklonu odporové přímky. Příklad.4 Sestrojení pracovní charakterstky. Na Obr. a je jednoduchý obvod s nelneárním řízeným rezstorem R R(u, v), kde řídící velčnou je v. V sér s R je lneárním zatěžovacím rezstorem R. Obvod napájený ze stejnosměrného zdroje. Úkolem je grafcky odvodt pracovní charakterstku (charakterstku vstup - výstup). Je to jedna z nejčastějších praktckých úloh (např. řešení tranzstorového zeslovače). Tato charakterstka dává dokonalý přehled o možnostech využtí daného obvodu. Zatěžovací přímka Obr. 99: Řešení: A:, u, B: u, /R. Metoda zatěžovací přímky. V sít charakterstk R: f(u, v), zakreslíme nejprve zatěžovací přímku popsující lneární část obvodu (R, ) a zobrazující rovnc (.5 ). Průsečíky zatěžovací přímky se sítí A-V charakterstk R (body A až E) převedeme do druhého a čtvrtého kvadrantu, kde získáme hledanou pracovní charakterstku (Obr. ).

113 Teore elektronckých obvodů 3 Zatěžovací přímka Pracovní charakterstka Obr. : Sestrojení pracovní charakterstky obvodu s řízeným nelneárním rezstorem..5 Analytcké metody Analytcké metody umožňují získat řešení v obecném unverzálním tvaru, pro lbovolnou (v určtých mezích) kombnac parametrů počátečních podmínek. Když je známý obecný analytcký výraz můžeme do něj dosadt konkrétní hodnoty parametrů. Pro tyto metody potřebujeme pops nelneárních charakterstk vhodným analytckým výrazy y f(). Jako první krok tedy provádíme apromac charakterstk (kap. 4.). Musíme také znát analytcký záps budcího sgnálu (t), aby bylo možné řešt časový průběh odezvy y(t). V případě potřeby provádíme harmonckou analýzu výstupního sgnálu y(t) (určujeme jeho spektrum). Setrvačný nelneární obvod je obecně popsán soustavou nelneárních dferencálních rovnc v mplctním tvaru r r r r d d F(,, dt dt,..., n r d ). n dt (.6 ) V případě buzených obvodů bude tato rovnce nehomogenní. autonomních obvodů nebude čas nezávsle proměnnou. Řešení nelneárních dferencálních rovnc vyšších řádů (vyšších dervací) je obtížné, proto se snažíme na úkor přesnost vyšší dervace zanedbat a řešení zjednodušovat..5. Prncpy zjednodušování řešení Z teoretcké elektrotechnky [ 7 ], [ 8 ] známe některé využtelné prncpy. Mez ně například patří prncp kompenzace, prncp rozštěpování uzlů, prncp rozpojování zkratů a hlavně pak Thévennův a Nortonův teorém (kap..). K základním způsobům zjednodušování patří dakoptcký prncp rozkladu složtého obvodu [ ], jeho řešení po částech, daleko jednodušších podobvodů zvlášť a pak jejch spojování a řešení vzájemné nterakce. Na základě prncpu dealzace překreslíme obvodové (zapojovací) schéma na výpočtové schéma. Zanedbáme některé méně významné jevy, použjeme dealzované modely prvků, potřebné úrovně (kap. 4). Na druhé straně zahrneme do výpočtového schématu modely paraztních jevů (kapacty spojů atd.).

114 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Je-l to možné použjeme prncp lnearzace (kap..3), neboť lneární dferencální rovnce řešíme daleko snadněj než nelneární. Jak jsme ukázal v kap..3, o použtí tohoto prncpu rozhoduje velkost sgnálu. Přpomeňme, že pojem malý-velký sgnál je ale velm relatvní. Stejný sgnál přvedený do různého pracovního bodu stejné charakterstky může být považován někdy za malý jndy za velký sgnál (podle toho dochází-l k jeho zkreslení). Počet nezávslých akumulačních prvků určuje řád dferencální rovnce popsující obvod a tím složtost výpočtu. Je proto snaha tyto prvky co nejvíce elmnovat. Prncp úplné elmnace akumulačních prvků je možný př relatvně pomalých změnách všech obvodových velčn (oblast nf), kdy možno uvažovat, že jejch dervace budou nulové. Pak nelneární dferencální rovnce (.6 ) přechází na nelneární rovnce algebracké. V obvodě nduktory L nahradíme zkratem a kapactory C rozpojením větve a získáme tak statcký rezstvní model obvodu. R 3 L Nelneární rezstor R 3 Nelneární kapactor u (t) R 4 u u R N C N Obr. : Nelneární setrvačný obvod. ( u ) C c( u ) Příklad.5 Statcký model nelneárního setrvačného obvodu Na Obr. je nelneární setrvačný obvod, v němž nelneární rezstor R N je dán A-V charakterstkou (u ) a nelneární kapactor C N s C-V charakterstkou C c (u ). Další prvky (R, R, R 3, L) jsou lneární. Obvod je napájen ze zdroje neharmonckého napětí u (t). Hledáme časový průběh obvodových velčn u (t), u (t), 3 (t), k tomu sestrojte statcký model. Analytcky odvoďte platnost tohoto modelu. Řešení: Odvození statckého modelu, použtím uvedeného prncpu elmnace akumulačních prvků (L - zkrat, C - rozpojení) je na Obr.. L zkrat C rozpojení R 3 L R 3 u (t) R 4 u u R N C N a) R R 3 u (t) R u R N u b) Obr. : Statcký model nelneárního setrvačného obvodu.

115 Teore elektronckých obvodů 5 Zjednodušení popsu umožňuje také prncp náhrady nelneárních akumulačních prvků modelem s lneárním akumulačním prvkem. Nelneární kapactor tak nahradíme paralelní kombnací lneárního kapactoru a řízeného nelneárního rezstoru [ 4 ]. Jednoduše lze také akumulační prvky elmnovat, když mají etrémní hodnoty parametrů. Př C lze kapactor nahradt rozpojením. Duálně př L nduktor nahradíme zkratem. Pro opačný etrém C kapactor modelujeme zdrojem napětí a pro sgnálové změny zkratem. Duálně př L nduktor nahradíme zdrojem proudu a pro sgnálové změny rozpojením. Významné zjednodušení nám umožní také prncp rozkladu řešení na kmtočtové pásma. Pro každé pásmo pak řešíme obvod zvlášť, pomocí odpovídajících zjednodušených modelů. Nejčastější rozdělení je na tř pásma - oblast nízkých, středních a vysokých kmtočtů. Příklad.6 Rozklad řešení tranzstorového zeslovač na kmtočtové pásma. Na Obr. 3a je schéma tranzstorového zeslovače v zapojení SE, doplněné o paraztní kapacty. Modulová charakterstka jeho napěťového přenosu má apromovaný průběh dle Obr. 3b. Její tvar nabízí, že řešení s můžeme rozložt na pět kmtočtových pásem. Nakreslete úplný výpočtový model a zjednodušené modely pro jednotlvá pásma..5. Stavy a děje v nelneárních obvodech Úkolem analýzy je zkoumat a popsovat děje probíhající v obvodě. Jaké průběhy mají obvodové velčny a jaké podmínky musí být splněny, aby k požadovaným dějům došlo. Stavem NEO rozumíme souhrn hodnot obvodových velčn v určtém časovém okamžku. V prostoru stavových velčn je obrazem stavu pracovní bod. + CDC R R C C V out np C V C BC T C BE C p R C p R E C E a) K db K (f) pásma f f f 3 f 4 f b) Obr. 3: Tranzstorový zeslovač SE (a) a jeho modulová charakterstka (b).

116 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Děj představuje posloupnost stavů, které za sebou následují v čase. Jeho obrazem je stavová trajektore. přechodného děje stavová trajektore (Obr. 4a) vychází z výchozího pracovního bodu (P V ) a končí v kldovém pracovním bodě (P K ). perodcky ustáleného děje, kdy stavy v obvodě se perodcky opakují, je stavová trajektore (Obr. 4b) uzavřená, hovoříme o mezním cyklu. Obr. 4: Stavová trajektore. Začínáme-l s řešením neznámého obvodu je vhodné nejprve vyšetřt tyto dva krajní stavy (P K, P V ). Dostaneme důležtou nformac o chování obvodu, kterou (bude-l to potřebné) doplníme o složtější výpočet trajektore přechodného děje. Př vyšetřování výchozího stavu (P V ) nahradíme akumulační prvky (L a C) zdroj, smulujícím počáteční podmínky C () a L (). Model bude čstě rezstvní, popsaný jednodušším algebrackým rovncem. Př vyšetřování kldového stavu (P K ), předpokládáme konstantní obvodové velčny. V rovncích popsujících obvod (.6 ), pak jejch nulové dervace a tak z dferencálních rovnc dostaneme opět rovnce algebracké. V obvodovém modelu nahradíme kapactor rozpojením a nduktor zkratem..5.3 Metoda stavových proměnných V tomto případě popsujeme obvod soustavou N dferencálních rovnc prvního řádu (místo jedné N-tého). Hlavní stavové rovnce (.7a) vyjadřují vztahy mez stavovým velčnam (vektorem stavových velčn s r ), jejch dervacem (stavovou rychlostí) a budcím velčnam (vektorem )., (.7a). (.7b) (.7 ) Stavové velčny s r jsou vhodně vybírány z obvodových velčn ( r ), a to proudy nduktorů a napětí kapactorů, protože tyto určují přímo energetcký stav obvodu s lneárním setrvačným prvky. obvodů s nelneárním setrvačným prvky volíme pak magnetcké toky nduktorů a náboje kapactorů. Zbylé obvodové velčny ( ) určíme z vedlejších stavových rovnc (.7b). V autononmím obvodě neuvažujeme vnější buzení ( y v ). Ve stavových rovncích nebude eplctně fgurovat čas (t), obsahuje-l obvod pouze časově nezávslé prvky. Stavové rovnce pak budou v rekurentním tvaru, (.8a). (.8b) (.8 )

117 Teore elektronckých obvodů 7 Příklad.7 Nelneární RLC obvod. Sestavení stavových rovnc ukážeme pro jednoduchý nelneární obvod RLC druhého řádu na Obr. 5. Nelneární rezstor R N je dán A-V charakterstkou u R a R. A R L u C C C R N L u R u L Obr. 5: Nelneární RLC obvod. Řešení: Prvkové rovnce akumulačních akumulačních dvojpólů L (.9 ) a C (.9 ) d u L L L dt, (.9a) du C C dt, (.9b) C (.9 ) dosadíme do Krchhofových rovnc (. KZ pro uzel A,. KZ pro danou smyčku) a po úpravě dostáváme hledané stavové rovnce dl duc ( uc al ), (.a) ( L ). (.b) (. ) dt L dt C lneárních časově nvarantních obvodů lze stavové rovnce psát v algebrackém (matcovém) tvaru d dt s A s+ B y, C s+ D y. (. ) V lteratuře [ ] najdeme systematcké postupy tvoření hlavní stavové rovnce, založené na topologckém přístupu. Topologcký graf (kap. 5) rozdělíme na pravý strom (složený pouze z haluzí C, R a zdrojů ) a korunu (složený pouze z haluzí L, G a zdrojů ). Je-l v obvodě kapactní smyčka nebo nduktvní řez, musíme použít zvláštní postupy [ ]..5.4 Řešení nelneárních obvodů. řádu NEO. řádu jsou často používaným obvody. Příklad takového obvodu jsme uvedl na Obr. 5, kde nelneární byl pouze R N. Nelneární však mohou být další stavební prvky (R, L C). Takovýto obecný nelneární autonomní obvod. řádu (bez vnějšího buzení) lze obecně popsat následujícím stavovým rovncem (se dvěma stavovým velčnam s, s ) ds ds f( s, s), (.a) f( s, s). (.b) (. ) dt dt Grafcké řešení těchto rovnc provádíme ve (fázové) stavové rovně s - s. Pracovní bod P[s, s ] se z výchozího bodu P V pohybuje po stavové trajektor do kldového bodu P K a to stavovou rychlostí v r (.3a). Tento vektor má dvě složky v a v (.3). r r ds r r ds ds v f ( s), (.3a) v, (.3b) v. (.3c) (.3 ) dt dt dt

118 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně c) d) a) Stablní uzel, b) Sedlo, c) Ohnsko, d) Střed, e) Mezní cyklus. Obr. 6: Typcké stavové portréty obvodu. řádu. e) Vztah pro směrové pole (.4 ) dostaneme podělíme-l rovnce (.3c) a (.3b) ds ds f( s, s) f ( s, s ) f$ ( s, s ) (.4 ) Př konstrukc směrového pole můžeme použít metodu zokln [ 4 ].. Potřebnou rovnc, popsující soustavu zokln, získáme, položíme-l dervac ve vztahu (.4 ) konstantě. Znalost směrového pole a počátečních podmínek (výchozího bodu P V ) umožní pak zkonstruovat hledané stavové trajektore. Vektor stavové rychlostí (v r ) je tečnou ke stavové trajektor. Přesnost, s jakou získáme řešení (trajektor), je dána hustotou sítě zokln. Přřadíme-l ke stavové rovně (s - s ) časovou osu (t), získáváme rozšířený stavový prostor, který je vhodný k zobrazení dějů v obvodech. řádu. Soustavu stavových trajektor, zobrazující možné děje v daném obvodě, př různých počátečních podmínkách nebo různém buzení, nazýváme stavovým portrétem (obrazem) obvodu. Příklady různých stavových portrétů jsou na Obr. 6.

119 Teore elektronckých obvodů 9 Obr. 7: Stavové trajektore a odpovídající časové průběhy stavových velčn. Stavové trajektore jsou vhodným grafckým zobrazením dynamckých vlastností obvodu. Jejch tvar závsí na zapojení obvodu, na parametrech jeho prvků, na charakteru nelnearty a na počátečních podmínkách v obvodě. Z průběhu stavové trajektore lehce odvodíme časové průběhy stavových velčn s (t) a s (t). Souvslost je patrná z Obr Metoda lnearzace po částech Metoda spočívá v apromac charakterstky nelneárního prvku (kap.4.) několka na sebe navazujícím přímkam, což umožní přejít od nelneární dferencální rovnce k několka dferencálním rovncím lneárním. Pro každý úsek charakterstky platí jná dferencální rovnce. Obvykle se tyto rovnce lší pouze hodnotam koefcentů. Daný nelneární obvod řešíme jako lneární, a to několkrát pro každý úsek zvlášť. Jednotlvá řešení musí na sebe navazovat (podle toho volíme jejch počáteční podmínky). Proto se tato metoda taky nazývá metoda sešívání. Blíže vz. [ 4 ]..5.6 Metoda ekvvalentní lnearzace Př řešení osclátorů, rezonančních zeslovačů a dalších velm selektvních nelneárních obvodů, kde převládají pouze první harmoncké obvodových velčn, se s výhodou používá kvazlneární metoda (jak se tato metoda také jnak nazývá). Podstatou zjednodušení je náhrada nelneárního prvku fktvním lneárním ekvvalentním parametrem (modfkovaným, středním), defnovaným poměrem ampltud prvních harmonckých. Střední ekvvalentní odpor je tedy defnován vztahem R S f ( ), (.5 ) Jeho hodnota je závslá na budcí velčně ( ) a poloze pracovního bodu na A-V charakterstce nahrazovaného nelneárního rezstoru. Obdobně lze defnovat modfkované parametry akumulačních prvků, např. modfkovaná (střední) kapacta. Také modfkované parametry řízených dvojpólů dvojbranů (hovoříme např. o modfkované strmost, modfkované přenosové admtanc). Po náhradě lze pak obvod řešt známým lneárním metodam (kap. 6). Geometrcká

120 FEKT Vysokého učení technckého v Brně nterpretace a srovnání středního a dferencálního parametru je na Obr. 8 Př kvazlneární náhradě (ekvvalenc) platí prncp harmoncké a energetcké rovnováhy (nvarantnost) [ 4 ]. Obr. 8: Srovnání ekvvalentního a dferencálního parametru..5.7 Metoda pomalu se měnící ampltudy Př řešení ustalování kmtů v nelneárních selektvních obvodech se ampltuda obvodových velčn (kmtů) mění pomalu vzhledem k perodě kmtů. Pak lze snížt řád dferencální rovnce popsující obvod a obvykle j také výrazně zjednodušt tím, že nebudeme hledat časovou změnu okamžtých hodnot obvodových velčn (t), nýbrž časovou změnu ampltudy Δ(t), která se mění daleko pomalej. Více o této metodě najdete v [ 4 ]..6 Numercké metody řešení nelneárních obvodů Analytcké řešení nelneárních algebrackých a zvláště pak nelneárních dferencálních rovnc, popsujících daný obvod, není jednoduché někdy dokonce an možné, proto se často uchylujeme k metodám numerckým. Rozvoj těchto metod nastal s rozšířením počítačů, s větší dostupností vhodných matematckých programů (MATLAB, MATCAD etc.), objevením se prvních jednoúčelových programů pro stejnosměrnou (DC) analýzu NEO (např. DANC), jných programů pro časovou analýzu NEO (např. DYNO), až po současné moderní víceúčelové obvodové smulátory (např. PSpce). Prvním předpokladem úspěšné analýzy NEO na počítač jsou vhodné a výstžné modely nelneárních prvků (kap. 4). Od nch se odvíjí kvalta výpočtu..6. Stejnosměrná analýza obvodů V další etapě je zapotřebí zvolt vhodnou numerckou metodu pro statcké řešení (stejnosměrnou analýzu) obvodu. Nebo-l určení kldového pracovního bodu všech stavebních prvků v NEO. Kldové hodnoty obvodových velčn je možné vypočítat tak, že z obvodu odstraníme všechny setrvačné prvky (C se vypustí, L nahradí zkratem), získáme tak zbytkový rezstvní obvod (model). Numercké metody k řešení zbytkového nelneárního obvodu jsou založeny na vhodném teratvním postupu. Př terac nahrazujeme řešení nelneárního obvodu opakovaným řešením náhradního obvodu lneárního. V současných programech se převážně používá terace Newtonova-Raphsonova nebo její modfkace. Známá je také pod názvem metoda

121 Teore elektronckých obvodů tečen. Tato metoda není tak spolehlvá jako metoda regula-fals (může dvergovat), její předností je však rychlejší konvergence a hlavně možnost jednoduchého zobecnění na více proměnných. Pro jednoduchost budeme předpokládat čstě rezstvní NEO), popsaný obecně nelneární rovncí F(), kde je obecně vektor obvodových velčn. My se však pro jednoduchost omezíme na velčnu jednu (u na bráně AB) a závěry pak zobecníme. V prvém kroku teratvního řešení volíme odhadem první hodnotu. V dalších krocích pak hodnotu upřesňujeme (, 3,...), podle určtého rekurentního předpsu k+ P[ k, F()], dle typu terace. metody Newtonovy-Raphsonovy je předps defnován vztahem (jde v podstatě o první dva členy Talorovy řady) k + k F( ) k F ( ) k. (.6 ) Posloupnost přblžných řešení musí konvergovat k jstému (hledanému) kořenu ( P ). Výpočet ukončíme, když rozdíl výsledků následujících posledních kroků je menší než dovolená chyba. Nelneární obvod A A R v Lneární obvod R N v R N B (u) B a) b) A k+ v R v R dk k k+ c) d) Obr. 9: Řešení NEO metodou tečen. važovaný obvod na Obr. 9a rozdělíme na lneární část a nelneární rezstor R N, s A-V charakterstkou (u) (Obr. 9c). Lneární část nahradíme Thévennovým ekvvalentem ( v, R v ) na Obr. 9b, čímž jsme získal jednoduchý model popsaný rovncí F(u) R v. (u) + u -. (.7 ) Aplkací defnčního předpsu (.6 ) na nelneární rovnc (.7 ) dostáváme konkrétní tvar rovnc teračního procesu pro tento obvod (Obr. 9) B

122 FEKT Vysokého učení technckého v Brně R.( ) + k+ k R. ( ) v k k v v k u ( ), kde ( k ) R u u k dk (.8 ) Dervace proudu ( k ) představuje dferencální vodvost v pracovním bodě P k ( k, k ). Zavedeme-l napětí vyťaté tečnou v P k na vodorovné ose (Obr. 9c), ( k ) ok k ( ), (.9 ) k lze vztah (.8 ) upravt do tvaru Rdk Rv k+ v + ok R + R R + R. (.3 ) dk v dk v Této rovnc odpovídá obvod na Obr. 9d. Nelneární rezstor R N je u této metody modelován zdrojem napětí ok (.9 ) a dferencálním rezstorem R dk (.8 ), tedy parametry určeným hodnotam z předchozího kroku. Model na Obr. 9d lze převést na Nortonův ekvvalent se zdrojem proudu. Grafcké řešení tohoto příkladu Newtonovou-Raphsonovou terací je na Obr. 9c. Z něj je vdět jak řešení postupně konverguje k hledanému bodu P a to pomocí tečen vedených v každém kroku k A-V charakterstce nelneárního rezstoru. vedené poznatky se dají rozšířt na obvody s více nelneárním rezstory a také na obvody s více proměnným [ ], [ 5 ]..6. Řešení setrvačných obvodů Př řešení setrvačných nelneárních obvodů (s akumulačním prvky L, C) je zapotřebí numercky ntegrovat soustavu nelneárních dferencálních rovnc. Použjeme k tomu některou z eplctních a nebo mplctních ntegračních metod (rozlšují se dle požadovaného tvaru rovnc, které zpracovávají). Jejch prncp je založen na náhradě dervací poměrem dferencí nebo složtějším polynomnálním vztahy. Jednoduchou náhradu (dferencem) používá Eulerova metoda. Vzhledem k postupu ve směrovém pol se eplctní Eulerova metoda nazývá dopředná, mplctní pak zpětná Eulerova metoda. V současných programech se však používají složtější náhrady s polynomnálním vztahy, které vedou k přesnějším výsledkům. Eplctní metody vyžadují, aby délka ntegračního kroku byla volena s ohledem na možný nejrychlejší děj v obvodu (na nejmenší časovou konstantu). Nesplníme-l tuto podmínku, výsledky nebudou věrohodné a praktcky budou nepoužtelné. mplctní metody přpouští delší ntegrační krok, anž je na výsledcích patrná odchylka (pouze rychlé děje nebudou v obvodě posthnuty). Výpočet je však složtější, v každém ntegračním kroku nutno terací řešt (nejčastěj modfkací Newtonovy metody). Příklad.8 Numercké řešení nelneárního obvodu. řádu. Na Obr. je jednoduchý setrvačný nelneární obvod. řádu usměrňovač s kapactní zátěží. Parametry prvků jsou: C μf, R kω, u sn( π f t), 5V, f 5Hz. Doda je popsána rovncí (4. ), kde T 5mV, S pa a R s. Sestavte dferencální rovnc popsující napětí na kondenzátoru. Rovnc řešte numercky v Matlabu v čase t <, 4ms>, pomocí dopředné Eulerovy metody. Výsledek zobrazte v grafu.

123 Teore elektronckých obvodů 3 D u D R u D C C R u Obr. : Nelneární obvod. řádu. Řešení: Nejprve budeme uvažovat čstě kapactní zátěž (bez rezstoru R). Tehdy bude obvod popsán následující stavovou rovncí d ω. u ( t) c s )) dt C a ( cos t uc ( t [ e ] (.3 ) Tuto rovnc budeme řešt Eulerovou ntegrační metodou. Př tom předpokládáme nulové počáteční podmínky. Zavedeme stavovou rychlost a v ní dervac nahradíme poměrem dferencí duc() t Δ uc uc( tk+ ) uc( tk) v. (.3 ) dt Δ t t t k+ k dopředné Eulerovy metody přsoudíme hodnotu stavové rychlost vypočtené dle vztahu (.3 ) časovému okamžku t k. Stavová rovnce (.3 ) přechází pak do tvaru ω k c k [ ] uc( tk+ ) uc( tk) v t t C e a( cos t u ( t )) k( k) Δ. (.33 ) Z něhož lehce odvodíme rekuretní vztah pro výpočet napětí na kapactoru a ( cos ω tk uc( tk )) [ ] u t u t t ( ) ( ) + Δ C e c k+ c k. (.34 ) Tuto rovnc (.34 ) můžeme řešt vhodnou terací (např. Newtonovou metodou). Hodnotu času postupně zvětšujeme o časový krok Δ t. Napětí u c (t k+ ), vypočtené podle (.34 ), je výchozí hodnotou u c pro další krok. Výpočet opakujeme až do doby t, překračující horní mez ntervalu, ve kterém máme řešt přechodný děj. Výsledkem je pak časový průběh napětí u c (t)..7 rčení spektra sgnálů v nelneárních obvodech.7. Působení jednoho harmonckého sgnálu na nelneární rezstor V kap.. bylo ukázáno, že v obvodech s nelneárním prvky dochází ke změně tvaru časového průběhu sgnálu, tj. ke změně jejch kmtočtového spektra. Je-l nelneární rezstor R n (Obr. a) přpojen ke zdroj stejnosměrného napětí zapojeného do sére se zdrojem harmonckého sgnálu u () t cosω t cosα, pak napětí na nelneárním rezstoru je u() t + cosω t. (.35 )

124 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Vzhledem k nelneartě A-V charakterstky f ( u) bude proud t () neharmoncký a lze ho vyjádřt Fourerovou řadou t ( ) + cosα + cosα + 3cos 3α +..., (.36 ) kde je stejnosměrná složka,,,, 3, jsou ampltudy jednotlvých harmonckých složek kmtočtového spektra proudu. Ze srovnání grafcky vyjádřených čárových spekter ampltud budcího napětí (Obr. b) a vybuzeného proudu (Obr. c) je zřejmé, že spektrum proudu obsahuje kromě stejnosměrné složky a složky o základním kmtočtu ω ještě tzv. vyšší harmoncké složky, které se ve spektru budcího napětí vůbec nevyskytovaly. Obr. : Působení jednoho harmonckého napětí na nelneární rezstor. a) Zapojení obvodu, b) spektrum budcího napětí, c) spektrum proudu. Stejně je tomu u nelneárních řízených rezstorů, nelneárních dvojbranů (např. BJT) a také u nelneárních nduktorů a kapactorů. Změny kmtočtového spektra sgnálů v NEO se využívá k uskutečnění nejrůznějších operací, které lneárním obvody nelze vůbec realzovat..7. rčení složek spektra Pro určení spektra sgnálů v NEO v současné době použjeme jednoduše počítače s obvodovým smulátorem (PSpce, Mcrocap). Jde většnou o nadstavbu nad časovou (Transent) analýzou. Podrobnou spektrální analýzu lze provést pomocí matematckých programů (MATLAB). Můžeme také použít přístroje zvané harmoncké analyzátory. Pro jednoduché ruční výpočty spektra, pro rychlé vysvětlení čnnost různých obvodů a hlavně pro jednoduchý návrh (případně syntézu) různých NEO, použjeme zjednodušené následně uvedené postupy, založené na vhodné apromac nelneárního prvku. Použtý různý druh apromace (kap. 4.) určuje způsob stanovení ampltudy jednotlvých složek spektra..7.3 rčení složek spektra proudu př apromac mocnnovým polynomem Je-l A-V charakterstka nelneárního rezstoru apromována (kap. 4.) v okolí kldového pracovního bodu mocnnovým polynomem ( 4.5 ) s koefcenty a n, pak pro určení ampltud jednotlvých složek spektra proudu byl v [ 4 ] odvozen obecný vztah k n+ k ( )! a n+ k n!( n+ k)! n n+ k n+ k, (.37 ) kde k,,, 3, je pořadové číslo příslušné harmoncké složky. Velkost jednotlvých složek závsí na tvaru charakterstky nelneárního prvku (přes koefcenty a n ), tak na ampltudě vstupního sgnálu (). Počet harmonckých složek (k), které jsme schopny učt závsí na stupn apromujícího polynomu. Z obecného vztahu (.37 ) dostaneme pro stejnosměrnou složku

125 Teore elektronckých obvodů a + a + a (.38 ) 4 8 Pro ampltudu první harmoncké a + a3 + a5 +..., (.39 ) 4 8 Pro ampltudu druhé harmoncké a + a4 + a (.4 ) rčení složek spektra proudu př apromac eponencálou Př apromac A-V charakterstky eponencálou ( 4.7 ), posunutou do pracovního bodu (což je dáno napětím ), jsou jednotlvé harmoncké složky určeny modfkovaným Besselovým funkcem (magnárního argumentu), jak je blíže rozebráno v [ 4 ]. Máme-l k dspozc buď tabulky nebo grafy (Obr. ) těchto funkcí (B k ), můžeme snadno vypočítat, jak stejnosměrnou složku proudu ( ), tak ampltudu k-té harmoncké ( K ) a to z následujících jednoduchých vztahů b b e B ( b ), e B ( b ). k k (.4 ) Velkost jednotlvých složek opět závsí na ampltudě vstupního sgnálu (), na parametrech apromující eponencály (, b) a na poloze pracovního bodu ( ). Obr. : Modfkované Besselovy funkce k-tého řádu argumentu (b).

126 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně.7.5 rčení složek spektra proudu př apromac lomenou přímkou V řadě praktckých úloh a aplkací NEO vystačíme s jednoduchou apromac A-V charakterstky nelneárního rezstoru lomenou přímkou (Obr. 3). V tom případě př harmonckém napětí u(t) (.35 ), má proud (t) tvar omezeného harmonckého sgnálu. Úroveň omezení je dána hodnotou stejnosměrného napětí, určujícího polohu kldového pracovního bodu Q. Dále pak hodnotou tzv. závěrného napětí Z, určujícího polohu bodu zlomu A-V charakterstky. A konečně také ampltudou budcího napětí. Tyto tř hodnoty defnují další důležtou velčnu zvanou polovční úhel otevření proudu Θ, který udává, jakou část perody budcího sgnálu protéká nelneárním prvkem nenulový proud. Z Obr. 3 je zřejmé, že platí jednoduchý vztah cosθ + Z. (.4 ) Mamální hodnotu mpulsů proudu je m S( cos Θ ). (.43 ) V ntervalu <-Θ, +Θ> lze proud analytcky popsat vztahem t () m cosωt cosθ. (.44 ) cosθ Po zbytek perody je proud nulový. Obr. 3: Apromace A-V charakterstky lomenou přímkou. Pak tento perodcký neharmoncký průběh lze rozložt ve Fourerovu řadu tak, jak je blíže uvedeno v [ 4 ]. Ze vztahů pro koefcenty Fourerovy řady vychází obecný výraz pro ampltudu n-té harmoncké ve tvaru π Θ cosωt cosθ cos n( ωt) d( ωt)... cosθ n m m Θ ( sn nθcosθ nsnθcos nθ) nπ ( n )( cos Θ) (.45 ) Vyčíslením (.45 ) vznkl pro pra vhodnější vztah

127 Teore elektronckých obvodů 7 α ( Θ) Sγ ( Θ ). (.46 ) n m n n Koefcenty α, α, α,..., α n (resp. γ, γ, γ,..., γ n ) se nazývají čntelé rozkladu a jsou funkcem polovčního úhlu otevření Θ (Obr. 4). Graf je znám pod názvem Schulzův dagram. Obr. 4: Čntelé rozkladu v závslost na polovčním úhlu otevření..7.6 Působení několka harmonckých sgnálů na nelneární rezstor Na nelneární rezstor R n může obecně působt (kromě stejnosměrného napětí ) ještě dalších n harmonckých napětí u ( t), u ( t),..., u ( t) o různých kmtočtech (Obr. 5), n u () t cos( ω t+ ϕ ) cosα. (.47 ) n n n n n n Výsledné napětí na R n je u() t + u() t + u () t u () t. (.48 ) n Toto napětí dosadíme do analytckého popsu A-V charakterstky R n a obdržíme výraz pro proud. Pro konkrétní tvar apromační funkce A-V charakterstky vychází různě složté vztahy pro ampltudy jednotlvých složek spektra proudu [ 4 ]. Př apromac lomenou přímkou se jž př působení dvou harmonckých napětí objeví v těchto vztazích elptcký ntegrál, což pro technckou pra není vhodné. Nejvhodnější je apromace eponencálou. V případě působení malého počtu vstupních sgnálů také mocnnovým polynomem. Pro větší počet budcích napětí vychází vztahy pro ampltudy jednotlvých složek přílš složté. Obr. 5: Působení několka harmonckých sgnálů na nelneární rezstor.

128 8 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Příklad.9 Působení dvou harmonckých sgnálů. Odvoďte vztahy pro jednotlvé složky spektra proudu, je-l A-V charakterstka R n popsána polynomem RRR druhého řádu a působí-l v obvodu dvě harmoncká napětí. Náznak řešení: Do RRR dosadíme RRR a výraz upravíme, př tom použjeme známé vztahy pro cos (α), cos(α)*cos(β). Dostáváme následující výsledek a + a + a + + a cos α + a cos α +. (.49 ) + a cos α + a cos α + + a cos ( α + α ) + a cos ( α α ) Vdíme, že ve spektru se objevla stejnosměrná složka, první a druhé harmoncké, ale také dvě složky o kombnačních kmtočtech (ω + ω ) a (ω - ω ). Z předchozího odvození lze zobecnt závěr, že ve spektru proudu se kromě stejnosměrné složky a všech harmonckých každého ze vstupních sgnálů, objevují ještě další složky, dané součty a rozdíly násobků kmtočtů přváděných sgnálů. Tyto kombnační kmtočty mohou obecně být f m, n k f + k f kn f, k, k,... kn, ±, ±, ± 3,.... (.5 ) Z tohoto hledska je stejnosměrná složka v podstatě složkou o kombnačním kmtočtu dle (.5 ), kde k k... kn. Také m-tá harmoncká m základního kmtočtu ω je pak kombnační kmtočet m-tého řádu, kde k m, k... k n, atd. Apromujeme-l A-V charakterstku R n v okolí Q eponencální funkcí ( 4.7 ) stačí mít k dspozc grafy (Obr. ) nebo tabulky Besselových funkcí. Ampltudy jednotlvých složek spektra se pak snadno vypočítají z obdobných vztahů jako př buzení jedním sgnálem (kap..7.4). V [ 4 ] jsou odvozeny (přes n-rozměrné Fourerovy řady) následující velm užtečné vztahy. Stejnosměrná (nultá) složka se určí dle obecného vztahu N b,..., e B ( b n ) n. (.5 ) Ampltuda kombnační složky o kmtočtu ( ± k ω ± kω... ± k N ω N ) se určí dle obecného vztahu N b k, k,..., kn e Bkn ( b n ) n. (.5 ).7.7 Prncp harmoncké a energetcké rovnováhy Prncp harmoncké rovnováhy spočívá v náhradě nelneárního rezstoru R n (spolu se zdrojem stejnosměrného předpětí) ekvvalentním lneárním rezstorem, do něhož teče pouze proud první harmoncké ( ) př buzení ze zdroje harmonckého napětí s ampltudou (). Aby bylo možné tuto zjednodušující náhradu provést, musí být zajštěno, že vyšší harmoncké složky proudu se př čnnost obvodu neuplatní. Budou potlačeny vhodným fltrem (selektvním obvodem). Může to být např. paralelní kmtavý obvod naladěný na kmtočet základní harmoncké. Odpor náhradního lneárního rezstoru je roven modfkovanému

129 Teore elektronckých obvodů 9 odporu (kap..5.6) nebol odporu pro první harmonckou R () (.5 ). Je zřejmé, že R () závsí jak na ampltudě budcího napětí (), tak na stejnosměrném předpětí( ). R () () G π t (), R f (, ). t ()cos ω td( ω t) Střední výkon dodávaný zdrojem budcího napětí do nelneárního rezstoru π (.53 ) P p( ωt) d( ωt) ( t)cos ωt d( ωt), (.54 ) π π π takže je dán pouze výkonem první harmoncké. Náhradou nelneárního rezstoru lneárním rezstorem s odporem R () se tedy z výkonového hledska nc nezmění, protože střední výkon dodaný do obvodu má v obou případech stejnou hodnotu. Proto se tento postup také nazývá prncp energetcké rovnováhy. Podmínka pro harmonckou a energetckou rovnováhu je tedy zřejmě shodná. Oba popsané prncpy pak umožňují provést tzv. ekvvalentní lnearzac nelneárního obvodu. Podmínkou však je harmoncký průběh budcího napětí. Stejného postupu lze použít také u obvodů s řízeným nelneárním rezstory a u obvodů s nelneárním nduktory a kapactory. Používá-l se k analýze NEO metoda harmoncké rovnováhy, je výhodné pracovat s A-V charakterstkam nelneárního rezstoru pro první harmonckou, neboť z nch se snadno určí modfkovaný odpor č vodvost. V teor osclátorů se tyto závslost nazývají kmtové charakterstky..7.8 Spektrální analýza sgnálů v parametrckých obvodech Odezva obvodu (t) s řízeným lneárním rezstorem R(t), př harmonckém buzení u(t) je obecně dána vztahem ( t) G( t) u( t). (.55 ) Funkce G(t) popsuje časovou změnu vodvost. Předpokládáme, že ta se mění perodcky. Obdobně vstupní sgnál u(t). Lze je tedy rozvnout do Fourerových řad () t m jmωt G G m e Dosazením (.56 ) do (.55 ) dostaneme jnω u t m e, (.56a) () n t. (.56b) (.56 ) () t m n G m n e j mω t + nω t) (. (.57 ) Z tohoto vztahu vyplývá, že v parametrckých obvodech dochází ke změně spektra sgnálů a že zde vznknou kombnační složky (.5 ) obdobně jako v nelneárních obvodech..7.9 Obecné vztahy mez výkony Poměry mez výkony dodávaným a odebíraným nelneárnímu nebo parametrckému obvodu se řídí vztahy, které odvodl Manley a Rowe. Předpokládáme, že v NEO působí dvě budcí harmoncká napětí o kmtočtech f a se f a odezva obsahuje různé kombnační složky s kmtočty f m,n. Omezíme se jen na kladné hodnoty

130 3 FEKT Vysokého učení technckého v Brně m, m f + n f >. (.58 ) f n Výkon uvažované kombnační složky označíme shodně P m,n, př čemž výkon dodávaný bude kladný a odebíraný záporný. Pro obvody s nelneárním rezstory (jejchž charakterstka není klesající) platí pro výkony kombnačních složek (jenž v obvodě skutečně estují, výkony neestujících jsou nulové) m n m P, (.59a) m P. (.59b) (.59 ) m, n m n V případě, že v obvodu působí pouze jeden budcí sgnál (odpadne sumace přes n) m m P. (.6 ) m Pro obvody s nelneárním akumulačním prvky platí pro výkony kombnačních složek m n m n m f m f m + n f n + n f P m, n P m, n, (.6a). (.6b) V případě, že v obvodu působí pouze jeden budcí sgnál pak m m, n (.6 ) P. (.6 ) m Příklad. Výkonové poměry v násobč kmtočtu. Rozeberte výkonové poměry v násobč kmtočtu (konstantou c). a) s nelneárním rezstorem, b) s nelneárním kapactorem. Řešení: Na vstupu působí sgnál o kmtočtu f, m a o výkonu P. Výstupní sgnál má kmtočet f c*f, m c a odebíraný výkon je (- P ). a) Dle vztahu (.6 ) pro obvod s nelneárním rezstorem platí P c ( P ) P P + c. (.63 ) Z tohoto vztahu vdíme, že např. pro zdvojovač kmtočtu (c ) s nelneárním rezstorem je mamální dosažtelný výkon sgnálu na výstupu pouze jednou čtvrtnou výkonu budcího. b) Dle vztahu (.6 ) pro obvod s nelneárním kapactorem platí ( P ) P P + P. (.64 ) Z uvedeného je patrno, že násobč kmtočtu s nelneární reaktancí může, na rozdíl od násobče s nelneárním rezstorem, pracovat v deálním případě až se % účnností. Toto je velká přednost všech obvodů, které pro svoj čnnost využívají nelneární reaktance [ 4 ].

131 Teore elektronckých obvodů 3.8 Kontrolní otázky z kaptoly ) Defnujte parametry nelneárního neřízeného a řízeného rezstoru. ) Vysvětlete prncp lnearzace nelneárního neřízeného rezstoru. 3) Vysvětlete prncp lnearzace nelneárního řízeného rezstoru. 4) veďte typy používaných charakterstk obecného nelneárního dvojbranu, alespoň dvě z nch blíže defnujte. 5) Vysvětlete prncp lnearzace nelneárního rezstvního dvojbranu. veďte příklad jeho admtančního popsu. 6) Odvoďte a vysvětlete způsob sestrojení zatěžovací přímky. 7) Vysvětlete způsob sestrojení pracovní charakterstky vstup - výstup. 8) Popšte různé způsoby zjednodušování analytckého řešení NEO. 9) Popšte možné stavy a děje v NEO. Nakreslete a vysvětlete různé stavové trajektore a typcké stavové portréty NEO. řádu. ) Vysvětlete prncp metody stavových proměnných. ) Vysvětlete prncp metody lnearzace po částech, metody ekvvalentní lnearzace a metody pomalu se měnící ampltudy. ) Vysvětlete prncp numerckého řešení NEO terační metodou Newtonovou-Raphsonovou. 3) Vysvětlete způsob numerckého řešení setrvačných NEO. 4) Jak vypadá odezva NEO př buzení jedním, dvěma a více harmonckým sgnály? 5) Popšte určení složek spektra proudu př apromac A-V charakterstky mocnnovým polynomem. 6) Popšte určení složek spektra proudu př apromac A-V charakterstky eponencálou. 7) Popšte určení složek spektra proudu př apromac A-V charakterstky lomenou přímkou. 8) Vysvětlete prncp harmoncké a energetcké rovnováhy př modelování NEO. 9) Popšte spektrum odezvy proudu parametrckého obvodu s řízeným lneárním rezstorem, př buzení jedním harmonckým napětím. Zobecněte na využtí parametrckých obvodů. ) Co vyjadřují vztahy Manley-Rowe? Na vhodném příkladě ukažte jejch využtí.

132 3 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 3 Ctlvostní analýza obvodů Cíle kaptoly: Seznámt se základním ctlvostm, jejch defncem a použtím, s ctlvostí obvodových funkcí, kmtočtových charakterstk, obvodových parametrů, pólů a nulových bodů. kázat různé víceparametrové ctlvost. 3. Defnce základních ctlvostí Lbovolná obvodová funkce, sledovaná vlastnost č parametr obvodu závsí obecně na r F F( s, ), s jω je obraz kmtočtu, r je vektor parametrů obvodových prvků. Parametry mohou být: dvojpólů (R, L, C), dvojbranů (y, h, S, A, B aj.), bloků a podobvodů (např. u fltrů. řádu: ω p, Q). V prvním přblížení uvažujme v obvodu jen jeden měnící se parametr. Pak absolutní změna Δ F obvodové funkce F způsobená změnou parametru o hodnotu Δ lze vyjádřt pomocí Taylorovy řady F F ΔF F( p, + Δ) F( p, ) ( Δ) + ( Δ)! 3 F + 3! Zanedbáme-l členy s vyšším mocnnam ( Δ ) dostáváme 3 3 ( Δ).... ( 3. ) F F ΔF & Δ AS Δ, ( 3. ) a defnujeme tak nejjednodušší absolutní ctlvost odpovídající dervac AS D ΔF lm Δ Δ F F df d. ( 3.3 ) Obdobně jako v ( 3. ) lze pro relatvní změnu obvodové funkce psát F δ F S δ, ( 3.4 ) kde, relatvní (poměrná nebo normalzovaná) ctlvost je defnována vztahem S F F F df d F F AS F d ln F d ln. ( 3.5 ) To je klascká základní defnce ctlvost zavedená Bodem. Jestlže je vhodné defnovat semrelatvní ctlvost (nenormalzovaná unnormalzed) S F S F F F ln F AS F F. ( 3.6 ) Takto defnovaná ctlvost se hodí hlavně pro paraztní prvky (jejch hodnoty se blíží nule). Obdobně př F je vhodné použít druhou semrelatvní ctlvost

133 Teore elektronckých obvodů 33 F F AS F F S S ln ˆ. ( 3.7 ) Př výpočtu ctlvostí používáme obdobné vztahy jako pro výpočet dervací. Pro nejčastěj používanou relatvní ctlvost je najdeme v Tab.. Tab. 8: Základní pravdla pro výpočet relatvních ctlvostí k k S S S F kf S S 3 F F S S / 4 / F F F F S S S 5 F F S n S n 6 F F S n S n 7 F F S F S n ln ln 8 F e S F S F 9 n F F S S n F F S F F S ) ( ( ) F F S S & & Re F F S F S & & & m arg arg 3 ( ) ( ) F F F F F S F j S S j S S & & & & & & arg arg m Re n g F g g g g F n S S S )) ( )... ( ), ( ( 3. Ctlvost obvodové funkce Každou obvodovou funkc lze defnovat v některém z následujících tvarů (kap. 3) ( ) ( ) j j k k n k k k m j j j p s z s F s b s a s D s N s F ) ( ) ( ), ( ), ( ), (, ( 3.8 ) ) ( ) ( ) ( ω ϕ ω ω j e F j F &, ( 3.9 ) jϕ F F + ln ln &. ( 3. ) Pak logartmováním a dervací vzhledem k lze ctlvost F S určt z dílčích ctlvostí čtatele (N) a jmenovatele (D), jako jejch rozdíl D N F S S S. ( 3. ) Často N S a pak D F S S. Ctlvost jmenovatele určujeme z ctlvostí koefcentů tohoto polynomu ( 3.8 ) n b D s AS s D S ) ( ) (. ( 3. )

134 34 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Ctlvost je raconálně lomenou funkcí proměnné s a v tomto případě j uvažujeme v symbolckém tvaru. Ctlvost závsí na tvaru obvodové funkce, na složení jednotlvých koefcentů, na jejch realzac, tedy na zapojení obvodu. V případě, že se v koefcentech (a j, b k ) ( 3.8 ) vyskytují rozdílové členy (b k b ka - b kb ), bude takovýto obvod velm ctlvý. Desenzblace obvodu tvoří taková opatření, která sníží ctlvost na optmální hodnotu. V prvé řadě jde o vyhledání takových hodnot prvků dané (a neměnné) struktury, aby Δ F bylo mnmální. V druhém případě půjde o nalezení jného vhodnějšího zapojení (s menší ctlvostí), splňující stejnou funkc (syntéza je mnohoznačná úloha). R Ω L H jω Y(s) C/3 F a) p p * ω o ωo Q ω o 4Q σ b) c) Obr. 6: Rezonanční obvod RLC. a) sérový, b) paralelní, c) parametry pólů. Příklad 3. Sérový rezonanční obvod. Napšte v symbolckém tvaru admtanc sérového obvodu RLC na Obr. 6a. Odvoďte Y ( s) Y ( s) Y ( s) její relatvní ctlvost na všech součástkách S, S, S. Příklad 3. Ctlvostní funkce. R Y ( jω) Pro zadané normované hodnoty (Obr. 6a) odvoďte ctlvostní funkc S R. Pomocí Y ( ω) vhodného programu nakreslete kmtočtovou závslost reálné a magnární složky S j R, Y ( ω) ctlvostní funkc modulu a argumentu S j. R L C C R + R A - A C np - + out Obr. 7: Aktvní fltr RC se dvěma zeslovač. Příklad 3.3 Ctlvost aktvního fltru RC. Na Obr. 7 je schéma aktvního fltru RC se dvěma deálním zeslovač napětí. rčete K (s) v symbolckém tvaru přenos napětí K(s) a jeho ctlvost S A na změnu zesílení jednotlvých zeslovačů A.

135 Teore elektronckých obvodů Ctlvost kmtočtových charakterstk Jestlže obvodová funkce je komplení funkcí reálného kmtočtu (kap. 3.), pak její ctlvost je obecně komplení funkcí reálného kmtočtu. Ctlvostní funkc modulu získáme z reálné složky S F ( S ) ( jω ) F ( jω ) Re, ( 3.3 ) a ctlvostní funkc argumentu z magnární složky ctlvost obvodové funkce S ϕ ( jω ) F ( jω ) m( S ). ( 3.4 ) ϕ ( jω) Příklad kmtočtové charakterstky modulu ctlvost je na Obr. 8c. Z něj je patrno, že v různých kmtočtových pásmech je ctlvost velm rozdílná. Navíc u stejného obvodu s různým hodnotam součástek je průběh ctlvostní funkce značně odlšný. Příklad 3.4 Ctlvost různě selektvních pásmových propustí. Pomocí programu NAF navrhněte pásmovou propust s následující specfkací: a) f khz, B -3dB khz, B -35dB 8 khz, b) f khz, B -3dB, khz, B -35dB,8 khz. K ( ω) Prostudujte ctlvostní vlastnost obou fltrů, především S L. Řešení: Navržená pásmová propust RLC 4. řádu má pro obě zadání stejné zapojení na Obr. 8a. Rozdílné jsou jen hodnoty prvků (Tab. 9). Na počítač smulované modulové charakterstky jsou pro obě specfkace zadání na Obr. 8b. Pro Q jde o velce selektvní úzkopásmovou propust. Pro Q je charakterstka plochá. Tab. 9: Hodnoty prvků pásmové propust pro dvě specfkace zadání. Hodnoty součástek zapojení L C L C R R a) Q 4 mh nf mh 4 nf kω b) Q,4 H, nf, mh,4 µf kω Na Obr. 8 je smulovaná ctlvostní funkce modulu přenosu K ( ω) L S pro obě zadané specfkace parametrů (Q a Q ). Z něj je vdět, že úzkopásmová propust (Q ) má K ( ω) větší rozkmt hodnot ctlvost S. Selektvní obvod je obecně více ctlvý. V obou L případech je ctlvost nulová na kmtočtu naladění (f khz). Pak se opět k nule blíží v K ( ω) nepropustném pásmu. Stejný průběh má ctlvost S C. Průběh dalších ctlvostních funkcí je podobný. F (ω) Ctlvostní funkce S dává dokonalý obraz o chování obvodu. Nutno však znát její grafcký průběh. Proto častěj pro porovnání obvodů určujeme její hodnotu v určtém kmtočtovém bodě (popřípadě několka), významném pro čnnost obvodu (např. mezní kmtočet fltru).

136 36 FEKT Vysokého učení technckého v Brně R L C np C L R out a) b) c) Obr. 8: Navržená pásmová propust RLC. a)schéma zapojení, b) modulové charakterstky, c) ctlvostní funkce modulu přenosu K ( ω) S, pro dvě různé specfkace parametrů (Q a Q ). L 3.4 Ctlvost pólů a nulových bodů S ohledem na póly (p oj ) a nulové body (z ok ), lze ctlvost obvodové funkce F(s) ( 3.8 ) vyjádřt následovně S F ( s ) S K poj m S ˆ + j s p z n S ˆ k s z oj a defnovat semrelatvní ctlvost pólů a nulových bodů ok ok, ( 3.5 ) p d p oj oj S ˆ, (a) d / z d z oj oj S ˆ. (b) ( 3.6 ) d / Tyto kořenové ctlvost lze z F(s) vypočítat pomocí resdu F { ( s S ) } q S ± Res o. ( 3.7 ) Pro póly (q o p o ) je znaménko (+), pro nulové body (q o z o ) je znaménko (-). Tyto ctlvost poskytují komplení hodnoty, z nchž lze dobře posoudt vlastnost obvodu. Ctlvost jsou vyšší u násobných a blízkých kořenů, např. u úzkopásmové propust vyšších řádů. Vyšší ctlvost vykazují kořeny blžší k magnární ose (vyšší Q). Naopak malou ctlvost mají kořeny ležící na reálné ose.

137 Teore elektronckých obvodů Ctlvost parametrů pólů Návrhář fltrů s výhodou posuzují vlastnost různých zapojení z ctlvost parametrů pólů (Q p a ω p ) na. Pro parametry pólů platí defnční vztahy [ 3] (Obr. 6c) ω p σ + ω, p p Q p ω p σ z kterých lze pro tyto ctlvost odvodt p ( 3.8 ) S Qp ω p σ p S S, ( 3.9 ) S ω p ω p σ p ω p ω p ( σ S + ω S ) S. ( 3. ) p V obvodech. řádu s jmenovatelem přenosu [ 3] p D ω p () s s + s + ω Q p p ( 3. ) lze odvodt následující vztahy S K ( s ) Q p ω p s, Q D( s) p ( 3. ) S K ( s ) ω p ω s + ω Q p p p. ( 3.3 ) Q D( s) p Jestlže s jω << ω Q, Q >>, pak p p p S K ( s ) K ( s ) Qp << S. ( 3.4 ) ω p Pro praktcké aplkace je dobré vědět, že změna kvalty pólu se na změně přenosové funkce projevuje daleko méně než změna kmtočtu pólu, proto j můžeme často zanedbat. Příklad 3.5 Ctlvost paralelního rezonančního obvodu. Pro paralelní rezonanční obvod na Obr. 6b, se stejným hodnotam součástek jako u obvodu sérového Obr. 6a, vypočítejte ctlvost parametrů pólů Q p a ω p na R, L C. 3.6 Součn zsku a ctlvost V aktvních obvodech, se zeslovačem (A o ) a s kmtočtově závslou zpětnou vazbou (RC podobvod), lze jako srovnávací parametr obdobných zapojení použít součn zsku K o (uzavřené smyčky) a relatvní ctlvost na něj, tzv. GSP (gan senstvty produkt) GSP K o S K F. ( 3.5 )

138 38 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Kmtočet a kvalta pólu (Q p, ω p ) závsí v těchto obvodech na zesílení A o. Pro jejch změnu byly odvozeny následující vztahy ΔA A ω p K ω p δω S S δa ( K S ) GSP, p K A K ω ΔA A ( 3.6 ) a obdobně ΔA A Qp K Q p δ Q S S δa ( K S ) GSP. p K A K Q ΔA A ( 3.7 ) V obvodech ARC jsou tyto změny dále závslé změnách všech R a C j. Pro změnu kmtočtu pólu pak platí p r R c C j j j k A ω p ω p ω p δω S δr + S δc + S δa. ( 3.8 ) Ak Pro změnu kvalty pólu lze psát obdobný vztah. Změna zesílení δ A nemá obvykle na změnu kmtočtu δω výraznější vlv (zanedbáváme j), kdežto u změny δ Q hraje významnou rol. p 3.7 Víceparametrové souhrnné ctlvost V předchozích kaptolách jsme uvažoval změnu pouze jednoho parametru v obvodě. r Obecně je obvodová funkce funkcí více parametrů F F( ), v mezním případě všech součástek co tvoří obvod. Ty se mohou měnt současně a pak k p δ F n F S δ. ( 3.9 ) Relatvní změna jednotlvých parametrů δ je menší než dovolená tolerance (t ) Δ δ t. ( 3.3 ) Dskrétní součástky mají toleranc několk procent z jmenovté hodnoty. ntegrovaných obvodů jsou tolerance vyšší. Jestlže změna je u všech součástek stejnáδ δ, lze j ve vztahu ( 3.9 ) vytknout před sumu a rovnc přepsat do tvaru δ n F F δ S δ MS F ( 3.3 ) a defnovat souhrnnou víceparametrovou ctlvost (multparameter senstvty) MS F S n F. ( 3.3 ) Tuto úvahu lze zobecnt na mamální změnu, t.j. nejhorší případ (worst-case). Tehdy odchylky dosahují krajních hodnot tolerancí δ ± t. Pak vztah ( 3.3 ) lze modfkovat na

139 Teore elektronckých obvodů 39 n δ F t S t WS ( 3.33 ) F F a defnovat nejhorší víceparametrovou ctlvost (worst-case multparameter senstvty) WS S F n F. ( 3.34 ) Aplkace této míry však často vede k pesmstckým výsledkům a neadekvátnímu odsouzení daného obvodu. F V některém případě, díky velké toleranc součástek (t ) a hodnotě ctlvost WS, vychází dle ( 3.33 ) neakceptovatelně velká změna obvodové funkce. Návrhář se pak snaží F různým postupy získat obdobný obvod s nžší WS. Vyvíjejí se úplně nové a vhodnější obvody. Z tohoto hledska je vhodné vědět, že pro určté zapojení nebo strukturu estuje spodní (low) hrance LWS, která se nedá překonat. Dokonce pro určtou třídu obvodů je to F nvarant a nelze žádným způsobem získat obvod s WS nžší než je LWS. Ctlvostní optmalzací můžeme dosáhnout pouze jen, že se WS F LWS. Hodnota LWS je tedy jakous nvelační hodnotou (benchmark) pro srovnávání obvodů a posuzování jejch syntézy. LWS kmtočtových charakterstk obvodů ARC lze určt dle jednoduchého vztahu LWS MS. ( 3.35 ) K ( ω) R, C K ( ω ) R, C V obvodech s velkou ntegrací je patrný souběh změn parametrů součástek stejného typu. V tom případě je vhodné defnovat souběhovou víceparametrovou ctlvost (trackng multparameter senstvty) TS F k k S F, ( 3.36 ) kde sumace je pouze přes prvky stejného typu (k), které mají stejnou toleranc t k. Pak nejhorší změna se souběhem je dána vztahem F δ F t TS. k k k ( 3.37 ) Tato změna ( 3.37 ) je menší než změna daná vztahem ( 3.33 ). Doposud uvedené míry ctlvostí byly založeny na předpokladu, že odchylky δ dosahovaly jen až krajních mezí δ ± t. V pra jsou však jejch hodnoty v tomto ntervalu náhodně statstcky normálně rozloženy. Pak je vhodné použít statstckou ctlvostní míru (statstcal multparameter senstvty), defnovanou vztahem SS F n F ( S ) a pracovat s rozptyly odchylek F ( δf ) σ ( δ) ( 3.38 ) σ SS. ( 3.39 )

140 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Relatvní odchylka obvodové funkce je zde také náhodně proměnná s normální dstrbucí, s nulovou střední hodnotou a rozptylem daným vztahem ( 3.39 ). Př tom předpokládáme, že změny parametrů jsou statstcky nezávslé. Příklad 3.6 Víceparametrové ctlvost. r,, 3 Obvod se třem parametry [ ] T má na určtém kmtočtu následující jednotlvé relatvní ctlvost přenosové funkce K(jω) (jsou to komplení čísla): S K ( j ω) + j, S K ( j ω) + j, S K ( j ω) K ( jω) 3 j. rčete souhrnnou ctlvost MS, nejhorší ctlvost ( jω) ( ω), spodní hranc LWS j a mamální změnu modulu přenosu př δ %. K WS 3.8 nvarance ctlvostí K obvodů RLC jsou obvodové funkce závslé na těchto parametrech: F F( R, L, D, s). Pro jednodušší záps zavedeme D C. Pro jeho lbovolnou j k k k mpedanční funkc Z(s) bylo odvozeno [7], že zde pro ctlvost platí Z ( s) Z ( s) Z ( s) MS + MS + MS. ( 3.4 ) R L j Dk Tento výsledek je možné zobecnt na defnc ctlvostního nvarantu mtančních funkcí Z ( s) Y ( s) MS, (3.4a) resp. MS, (3.4b) ( 3.4 ) Z který říká, že úplná víceparametrová ctlvost lbovolné mtanční funkce obvodu na změny mtancí stejného charakteru je rovna jedné a je tedy nvarantní. Pro přenosovou funkc (napětí č proudu) byl odvozen [7] podobný vztah Y K ( s) K ( s) K ( s) MS + MS + MS. ( 3.4 ) R L j Dk Tento výsledek je možné zobecnt na defnc ctlvostního nvarantu přenosových funkcí K ( s) K ( s) MS, (3.43a) resp. MS. (3.43b) ( 3.43 ) Z Pro obvod ARC, úpravou ( 3.43 ), dostáváme rozšířený vztah MS K ( s) K ( s) K ( s) R C s Y MS S. ( 3.44 ) Další úpravou ( 3.44 ) lze získat ctlvostní nvaranty kmtočtových charakterstk, modulové a argumentové S MS MS ( 3.45 ) K ( ω) K ( ω) K ( ω) ω R Ck S MS R MS, ( 3.46 ) ϕ ( ω) ϕ ( ω) ϕ ( ω) ω Ck ze kterých vyplývá vztah mez mírou změny modulu, resp. argumentu a víceparametrovým ctlvostm. Velká změna modulu u selektvních obvodů je vždy doprovázena velkou ctlvostí na změny obvodových prvků. Př tom problémy s vysokým ctlvostm narůstají v oblastech,

141 Teore elektronckých obvodů 4 kde se kmtočtové charakterstky mění rychlej (v pásmu přechodu mez propustným a nepropustným pásmem), př vyšším řádu obvodu a vyšším čntel jakost. Poznamenejme, že sklon modulové kmtočtové charakterstky je úměrný součtu reálných částí relatvních ctlvostí přenosové funkce na změny parametrů všech setrvačných prvků ( L, C ) j k K ω) K( ω) ω ω nl nc K& K { Re [ S L ] + Re [ S ] } j Ck ( & j k. ( 3.47 ) Sklon argumentové charakterstky je úměrný součtu magnárních částí těch samých relatvních ctlvostí. 3.9 Kontrolní otázky z kaptoly 3 ) Defnujte základní ctlvost. veďte alespoň čtyř pravdla pro výpočet relatvních ctlvostí. ) Defnujte víceparametrové souhrnné ctlvost. 3) Co jsou to ctlvostní nvaranty. 4) Jak vypočítáme ctlvost raconálně lomené obvodové funkce? Co je to desenzblace obvodu? 5) Jak vypočítáme ctlvostní funkc modulu a argumentu obvodové funkce? 6) Vysvětlete použtí a defnc ctlvost parametrů pólů obvodu RLC. řádu. 7) Vysvětlete použtí a defnc ctlvost parametrů pólů obvodu ARC. řádu. 8) Vysvětlete použtí a defnc součnu zsku a ctlvost.

142 4 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 4 Toleranční analýza a syntéza obvodů Cíle kaptoly: Seznámt se s prncpem a použtím toleranční analýzy a syntézy obvodů, s náhodným charakterem změn v obvodu, s pojmy provozní spolehlvost a výrobní výtěžnost. 4. Prncp Řeší chování obvodů př nedodržení nomnálních hodnot parametrů prvků. Přesnou hodnotu parametru prvku většnou neznáme. Známe jen nterval ve kterém tato hodnota leží. Parametry se navíc mění v čase. Je třeba znát: a) jak odchylky ovlvní výslednou funkc, b) jak velké tolerance prvků jsou přípustné. Parametry prvků tvoří vektor r () Nomnální hodnoty parametrů označíme r a jejch odchylky Δ. Odchylky vznkají: hodnota se přímo nekryje s vypočtenou, výběr ze sortmentní řady (např. z řady E 96), nepřesnost výroby-tolerance, stárnutí a zatěžování v provozu, vlv okolí (teploty, vlhkost), mechanckého namáhání, EM polí, radace atd. Př toleranční analýze, na základě znalostí odchylek parametrů prvků Δ, určujeme odchylku sledovaných obvodových funkcí nebo jnak defnovaných vlastností obvodu (např. r čntel jakost Q, kmtočet pólu aj.), které obecně tvoří n-rozměrný vektor y [ y, y,... y n ]. V prostoru parametrů prvků {} je tolerančním mezem určena toleranční oblast T : d h, mající tvar r-rozměrného kvádru. Pro jednoduchý případ dvou parametrů je tato rovnná nterpretace uvedena na Obr. 9. Často oblast T vymezujeme tolerančním () () Δ, + Δ. ntervaly určeným absolutním odchylkam od nomnálních hodnot [ ] Většnou Δ Δ Δ a T je souměrná. Př toleranční analýze zkoumáme zobrazení oblast d h T z prostoru { } do prostoru {} akceptovatelné oblast A y. y na obraz T y, který hodnotíme vzhledem k přípustné d h () C Δ T Δ () Obr. 9: Toleranční oblast v prostoru dvou parametrů. Většnou př návrhu obvodů je potřebné řešt úlohu opačnou, nazývanou toleranční syntézou. Na základě dovolené odchylky vlastností Δ y r stanovujeme požadavky na tolerance jednotlvých prvků Δ, což musíme dát do souladu s ekonomckým a výrobním hledsky.

143 Teore elektronckých obvodů 43 Př toleranční syntéze pracujeme naopak v prostoru parametrů {}, kde zobrazíme přetransformovanou oblast akceptovatelných vlastností A a tu porovnáváme s toleranční oblastí T. Úkolem obvykle je odhadnout výtěžnost výroby (vz. dále). Toleranční syntéza ve dvourozměrném prostoru parametrů {, } je ukázána na Obr.. Příznvý případ je na Obr. a, kdy oblast T leží celá uvntř akceptovatelné oblast A. Tolerance součástek zcela vyhovují zadaným vlastnostem obvodu, výtěžnost výroby bude %. Na Obr. b je případ, kdy jen část oblast T leží uvntř A. Tehdy některé součástky budou mít takové hodnoty, kdy obvod nebude vykazovat požadované vlastnost. Výtěžnost výroby bude tedy nžší. Každá realzace obvodu představuje v prostoru parametrů bod. Skutečná výrobní výtěžnost je jná než odhadovaná. Pro složtější obvody je přesná toleranční analýza nebo syntéza neprovedtelná. Analytcké řešení je většnou možné jen u elementárních úloh. Hrance oblast A F se nemusí jednoznačně transformovat na hranc obrazu A. Nutno je použít přblžné numercké metody a vzít na pomoc počítač. Příklad 4. Toleranční syntéza dělče proudu. Na Obr. a je dán odporový dělč proudu np ma. V prostoru parametrů { G,G } stanovte obraz akceptovatelné oblast A, jsou-l defnovány hrance výstupního proudu (y ) a vstupní vodvost obvodu (y ) (defnce požadovaných vlastností obvodu): y : 4,5 ma < np < 5,5 ma, (a) y : 8 ms < G np < ms. (b) Rozhodněte zda obvod se specfkam : G G 3 ms, (a) : G ms, G 4 ms, (b) vyhovují stanoveným podmínkám ( 4. ). ( 4. ) ( 4. ) A X T X A X T X a) b) Obr. : Toleranční syntéza ve dvourozměrném prostoru parametrů. a) tolerance součástek vyhovují zadaným vlastnostem obvodu, b) tolerance součástek jen z část vyhovují zadaným vlastnostem obvodu. Příklad 4. Toleranční syntéza dělče napětí. Proveďte toleranční syntézu (určete možné tolerance odporů) u jednoduchého odporového dělče na Obr. b, pro dosažení níže uvedených vlastností. Hodnoty součástek R R kω. Jako požadované charakterstcké vlastnost jsou zadány:

144 44 FEKT Vysokého učení technckého v Brně a) přenos napětí př výstupu naprázdno (y ) ( 4.3 ), b) vstupní mpedance př výstupu naprázdno (y ) ( 4.3 ) R y K, (a) y Z R + R. (b) np u R + R ( 4.3 ) G R np G A out G np np R a) b) Obr. : Jednoduchý dělč proudu (a) a dělč napětí (b). out Za akceptovatelné budou brány obvody, pro které platí oblast A y : y :,49 < K u <,5, (a) y :,8 kω < Z np <, kω. (b) ( 4.4 ) 4. Náhodný charakter parametrů prvků Parametry prvků stejného typu se kus od kusu lší, což zapříčnl výrobní rozptyl. Skutečnou hodnotu prvku dopředu přesně neznáme, má náhodný charakter. Z matematckého hledska jsou parametry spojté náhodné velčny. Počet vzorků p(r) 9 R [kω] 9 R [kω] Obr. : Hstogram hodnoty rezstorů. Obr. 3: Rozložení pravděpodobnost hodnoty R. Výsledek měření hodnoty rezstorů ( kω) z velké nenarušené výrobní sére ( kusů) lze znázornt hstogramem na Obr.. K sestrojení hstogramu je nterval výskytu náhodné velčny (R) rozdělen na podntervaly třídy. Pro každou třídu se určí četnost výskytu a zobrazí se jako výška sloupce. Místo absolutní četnost můžeme použít četnost relatvní. Pro nekonečně velký soubor hodnot hstogram přejde ve spojtou funkc rozložení hustoty pravděpodobnost (Obr. 3). Stručně s zopakujme matematcký pops náhodných velčn. Pro hustotu pravděpodobnost p() platí:

145 Teore elektronckých obvodů 45 p ( ), (a) ( ) d p, (b) { a b} p( ) b P d. (c) ( 4.5 ) Charakterstky náhodné velčny jsou střední hodnota ( μ ) a rozptyl (σ ) μ p( ) d, (a) ( μ) p( ) a σ d. (b) ( 4.6 ) Př zpracování konečného počtu (N) dat pracujeme s jejch statstckým ekvvalenty střední hodnota výběru ( ) a statstcký rozptyl (s ) N N N, (a) s ( ) N. (b) ( 4.7 ) Hodnoty a s jsou odhadem parametrů μ a σ. Čím je rozptyl menší, tím je křvka p() užší. Náhodný proces výroby součástek, kde se uplatňuje mnoho faktorů s relatvně malým ndvduálním vlvem (bez měření a roztříďování) má hustota pravděpodobnost normální (Gaussovo) rozložení popsané vztahem ( μ) p ( ) ep. ( 4.8 ) σ π σ Toto rozložení (Obr. 4) je také typcké pro prvky ntegrovaných obvodů. dskrétních součástek však může být jné (Obr. 5). Pro technckou pra je vhodné znát pravděpodobnost výskytu náhodné velčny v ntervalech násobků n. σ, tak jak je uvedeno na Obr. 4. V ntervalu ± 3σ leží náhodná velčna s pravděpodobnost 99,7 %. 68,3% 99,5% 99,7% p() σ σ μ σ σ Obr. 4: Gaussovo rozložení hustoty pravděpodobnost. Jestlže ve výrobě je určující jeden faktor a nebo provedeme-l na závěr měření a roztříďování součástek (což je zcela běžné), pak používáme jná rozložení. dskrétních součástek velm často rovnoměrné rozložení na Obr. 5a. Díky výběru a rozčlenění do skupn dle přesnost je nutno použít bmodální rovnoměrné rozložení (Obr. 5b) nebo bmodální trojúhelníkové (Obr. 5d). Například rezstory prodávané v % třídě mohou mít rovnoměrné rozložení (Obr. 5a), kdežto 5% třída bude mít rozložení bmodální

146 46 FEKT Vysokého učení technckého v Brně trojúhelníkové (Obr. 5d), protože v ní chybí rezstory vybrané do přesnější třídy. Z uvedených důvodů je také v pra častější než teoretcké (úplné) omezené (oříznuté) Gaussovo rozložení, jak je naznačeno na Obr. 5c. V případě ntegrovaných obvodů, stejně vyrobené a blízko sebe umístěné prvky, ve stejném prostředí (stejná teplota), vykazují velm podobné odchylky hodnot a náhodné velčny popsující parametry jsou korelované (Obr. 6). Je zde typcké, že se parametry stejných sousedních prvků lší jen o jednotky, kdežto mez prvky v různých čpech o desítky procent. Tuto možnost dvojí tolerance umožňuje zadávat obvodový smulátor PSpce. Např. β v modelu tranzstoru:.model BC337 NPN (BF, DEV5%, LOT%). V smulátoru je možnost zavedení korelací. Mírou kolerace je kolerační koefcent p() p() μ a) b) μ p() p() μ μ c) d) Obr. 5: Další typcké rozložení hustoty pravděpodobnost. a) rovnoměrné, b) bmodální rovnoměrné, c) oříznuté Gaussovo, d) bmodální trojúhelníkové. a) b) Obr. 6: Dvě náhodné velčny s normálním rozložením a) nekolerované (ρ ), b) kolerované (ρ,7).

147 Teore elektronckých obvodů 47 ρ y N N ( )( y y) σ σ y, ρ y. ( 4.9 ) Výtěžnost výroby obvodu je statstcká míra, která reprezentuje procento realzací obvodu, které vyhovují zadaným vlastnostem tj. leží uvntř akceptovatelné oblast A F. Většnou jde o poměr obvodů vyhovujících, k celkovému počtu vyrobených. Zvýšení výtěžnost je možné následujícím opatřením: a) snížením tolerancí prvků, zúžením tolerančního ntervalu < d, h > parametru, b) zmenšením ctlvost, změnou závslost y f(), c) vystředěním návrhu, posunutím středu ( (), y () ) p(y, y ) y T F y A F Obr. 7: Vystředění tolerančního návrhu. Z ekonomckého hledska je nejméně vhodný první způsob (a), kdy musíme zaplatt výběr součástek s menší tolerancí. Středění návrhu (Obr. 7) umožňuje použít nejvyšší tolerance prvků př zachování výtěžnost nebo mamalzovat výtěžnost pro dané tolerance. Poznamenejme, že pro nesymetrcké rozložení se návrhový střed nekryje s nomnální hodnotou parametru. Provozní spolehlvost obvodu je dána pravděpodobností, že funkce obvodu zůstane vyhovující v určtém časovém ntervalu, př splnění určtých provozních podmínek a pokud parametry součástek zůstanou v předpokládaných tolerančních mezích. 4.3 Kontrolní otázky z kaptoly 4 ) Vysvětlete prncp toleranční analýzy obvodů. ) Vysvětlete prncp toleranční syntézy obvodů. 3) Jak popsujeme náhodný charakter změn parametrů obvodových prvků. 4) veďte typcká rozložení hustoty pravděpodobnost výskytu hodnot součástek obvodů. 5) Vysvětlete pojmy: tolerance, toleranční oblast, akceptovatelná oblast, provozní spolehlvost, výrobní výtěžnost. 6) Jak se lší náhodný proces výroby ntegrovaných obvodů od výroby dskrétních součástek? 7) Jak je defnována výtěžnost výroby součástek obvodů a jak se dá zvýšt?

148 48 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 5 Analýza šumu v elektronckých obvodech Cíle kaptoly: Seznámt se s popsem, základním pojmy a modelováním různých druhů šumu v elektronckých obvodech, s vhodným šumovým modely operačního zeslovače, bpolárního a unpolárního tranzstoru. 5. Šum v elektronckých obvodech. Pod pojmem šumu se v obecném smyslu rozumějí jakékolv náhodné sgnály, které narušují zpracování a přenos užtečných sgnálů. V prvé řadě rozlšujeme šumy: a) eterní (mmo obvod), b) vlastní - nterní (uvntř obvodu). Různé typy vlastních šumů se pak lší fyzkálním příčnam svého vznku. Nejčastěj se v současných obvodech setkáme se šumem tepelným, výstřelkovým a blkavým. V určtých konkrétních aplkacích jsou však výrazné další typy šumů (praskavý, rekombnační, lavnovtý, rozdělovací aj.). V elektronckých obvodech se uplatňují dva druhy šumů (dle charakteru kmtočtové závslost):. Bílé šumy, mají spektrum rovnoměrně rozloženo (tepelný a výstřelkový šum).. Barevné šumy, jejchž spektrum není rovnoměrně rozloženo. Např.: růžový (blkavý) šum (s kmtočtovou závslostí l/f). Šumová analýza je nezbytná pro optmalzac šumového chování obvodu (potlačení tohoto jevu). Z důvodu náhodného charakteru se k popsu šumu nejčastěj používá středních šumových výkonů, případně středních kvadrátů napětí nebo proudů, které šumový výkon určují. Př analýze musíme nějak podchytt proměnlvost šumového výkonu (napětí a proudu) př změně kmtočtového pásma. Proto byl zaveden pojem šumová spektrální hustota výkonu (napětí a proudu), která je vztažená na šířku pásma Hz. Budeme j značt malým písmenem. Vhodným nástrojem k analýze šumu v daném obvodu bude šumový model (Obr. 8). V obvodu vyskytující se šumy v něm modelujeme šumovým zdroj proudu a napětí a to uvntř obvodu na místě kde šum vznká nebo je přetransformujeme (přepočítáme) na ekvvalentní zdroje šumu umístěné na vstupu nešumícího obvodu. Pro odlšení budeme pro zdroje šumu používat vyšrafované (barevné) značky. N u N Nk... une np Nešumící obvod out Obr. 8: Šumový model obvodu. 5.. Tepelný šum rezstoru Tepelný (termcký) šum (Johnsonův) je generován ve všech součástkách obsahujících volné elektrony (ve vodčích polovodčích), v důsledku jejch náhodného pohybu, př lbovolné teplotě vyšší než absolutní K. Nejprve s však všmneme šumu samotného rezstoru. Střední kvadrát tepelného šumového napětí rezstoru je dán vztahem

149 Teore elektronckých obvodů 49 T 4kTRB N, ( 5. ) kde k, [J/K] je Boltzmannova konstanta, T je absolutní teplota rezstoru v Kelvnech, R je odpor rezstoru [Ω], B N je tzv. šumová šířka pásma (není totožná s pásmem B přenášených sgnálů, vz kap. 5.3.). Reálný šumící rezstor R (Obr. 9a) můžeme nahradt modelem obsahujícím deální nešumící rezstor v sér se zdrojem šumového napětí (Obr. 9b). Použít můžeme proudový Nortonův ekvvalent tohoto modelu na Obr. 9c. Pro odlšení budeme pro zdroje šumu používat vyšrafované (barevné) značky. R a b u N R nešumící a) b) c) Obr. 9: Model reálného šumícího rezstoru. u N a b N a b G nešumící Přpojíme-l k modelu s napěťovým zdrojem šumu (Obr. 9b) přzpůsobenou zátěž (R L R), pak pro tento nejhorší případ mamálního šumového výkonu na zátěž platí 4kTB R T N P T 4RL 4RL ktb N. ( 5. ) Vdíme, že mamální šumový výkon dodaný do přpojeného obvodu ze šumícího rezstoru na velkost jeho odporu vůbec nezávsí. Spektrální hustota výkonu tepelného šumu je PT 4kTBN pt ( f ) kt konst.. ( 5.3 ) B B N N konstantní v celém kmtočtovém rozsahu od do. Tepelný šum má tedy charakter bílého šumu. Poznamenejme, že u reálné součástky R má šum spektrální výkonovou hustotu konstantní do vysokých kmtočtů řádově 3 Hz, ta pak začíná stoupat vlvem dalších typů šumu. hlíkové metalzované rezstory jsou navíc výrazným zdrojem napěťového šumu, který mnohonásobně převyšuje šum tepelný. Příklad 5. Tepelný šum rezstoru. Vypočítejte hodnotu napětí tepelného šumu v rezstoru R kω v kmtočtovém pásmu audo ( Hz až khz), př teplotě 5 o C (98 K). Výsledek: T 5, 73 µv. 5.. Tepelný šum u obecné mpedance V obvodech je důležtý tepelný šum reálných rezstvních částí všech druhů mtací. Pro střední kvadratckou hodnotu tepelného šumového napětí v malém kmtočtovém ntervalu Δf platí vztah 4kTR( f ) Δf, ( 5.4 ) T

150 5 FEKT Vysokého učení technckého v Brně kde R(f) je rezstvní složka mpedance Z(f) v [Ω]. Protože tato reálná složka je funkcí kmtočtu, bude šumové napětí kmtočtově závslé. Pro spektrální hustotu šumového napětí můžeme psát obdobně u T 4kTR( f ). ( 5.5 ) ntegrací tohoto vztahu přes celý kmtočtový rozsah dostaneme celkovou (středně kvadratckou) hodnotu šumového napětí T 4kT R( f ) df. ( 5.6 ) Pro nalezení šumového napětí tedy nejprve určíme celkovou mpedanc obvodu a její reálnou rezstvní složku R(f), kterou pak dle vztahu ( 5.6 ) ntegrujeme. Příklad 5. Tepelný šum obvodu RC. S užtím vztahu ( 5.6 ) určete hodnotu tepelného šumu na výstupu jednoduchého obvodu tvořeného paralelním spojením rezstoru a kapactoru. Jný ekvvalentní způsob nalezení šumového napětí je založen na šumovém modelu obvodu. Pro jednoduchost předpokládejme, že v lneárním (třeba aktvním) obvodě je pouze jeden šumící rezstor. Ten vyčleníme na vstup přenosového článku, tvořeného zbytkem obvodu, s přenosovou funkcí výkonů G(s) resp. jejího kmtočtově závslého modulu G(f). Místo přenosu výkonů můžeme jednodušej určt přenos napětí, kdy O G ( f ) Ku ( f ). ( 5.7 ) N Pak celkový šum na výstupu obvodu (středně kvadratcká hodnota šumového napětí) je dán vztahem O 4kTRG( f ) df. ( 5.8 ) Protože v tomto případě R není funkcí kmtočtu můžeme vzorec ( 5.8 ) přepsat do tvaru O 4kTR G( f ) df. ( 5.9 ) Porovnáním ( 5.9 )se vztahem ( 5. ) vdíme, že ntegrál G(f) zde určuje šumovou šířku pásma. Příklad 5.3 Tepelný šum obvodu RC. S užtím šumového modelu a vztahu ( 5.9 ) určete hodnotu tepelného šumu na výstupu jednoduchého obvodu tvořeného paralelním spojením rezstoru a kapactoru. Výsledek porovnejte s předchozím příkladem. Výsledek řešení: kt V obou příkladech vyjde stejná hodnota tepelného šumu na výstupu daná vztahem T. C 5..3 Výstřelový šum Vyskytuje se u všech součástek, kde se využívá přechodu PN. Vznká v důsledku toho, že nosče náboje vznkají a rekombnují na přechodu nespojtě - po kvantech. Tento typ má také charakter bílého šumu (konstantní spektrální výkonovou hustotu). Podle Schottkyho je střední kvadrát výstřelkového šumového proudu určen vztahem

151 Teore elektronckých obvodů 5 q B, ( 5. ) V DC N kde q,6. -9 [C] je náboj elektronu, DC je stejnosměrný proud procházející PN přechodem, B N je šumová šířka pásma. Poznamenejme, že jž př malém proudu DC přes přechod PN, převažuje zde výstřelkový šum nad termckým. Model přechodu PN je tvořen proudovým zdrojem výstřelového šumu o hodnotě dané vztahem ( 5. ). Ten někdy bývá doplněn paralelně přpojenou nešumící efektvní vodvostí přechodu, která je přímo úměrná procházejícímu proudu DC Blkavý šum Blkavý (plápolavý, růžový) šum se vytváří v důsledku poruch krystalové mříže a nečstot v polovodč. Projevuje se především na nžších kmtočtech. Jeho spektrální hustota výkonu klesá směrem k vyšším kmtočtům a to s kmtočtovou závslostí l/f (proto se někdy také nazývá šum l/f) Kmtočtová závslost šumového výkonu většny polovodčových součástek ntegrovaných funkčních bloků se kmtočtová závslost šumové spektrální hustoty blíží typckému průběhu na Obr. 3. Vznká spojením oblast růžového (A) a bílého (B) šumu na lomovém kmtočtu (f ). Většnou v oblast (C), kde spektrální hustota narůstá, jž daný blok neprovozujeme (má jž nedostatečné zesílení) a proto výrobc tuto část ve svých konkrétních charakterstkách an neuvádějí. Naopak u některých bloků, např. OZ s FETy, je málo výrazná nebo chybí oblast růžového šumu (A). Na Obr. 3 jsou porovnány šumové vlastnost několka různých operačních zeslovačů. 5. Šumové modely Šumový model reálného rezstoru jsme uvedly na Obr. 9. Obdobně modelujeme další součástky respektve celé bloky. kážeme s některé z nch. u N (log) C A f B f f (log) Obr. 3: Charakterstcký průběh kmtočtové závslost spektrální šumové hustoty.

152 5 FEKT Vysokého učení technckého v Brně p N p p [A(Hz) - ],p f f LM 75 LM 74 OP 7 OPA (FET) k k k M f [Hz] Obr. 3: Porovnání šumových vlastnost vybraných operačních zeslovačů. 5.. Šumový model bpolárního tranzstoru Šumový model bpolárního tranzstoru v zapojení SB je nakreslen na Obr. 3. Napěťový zdroj modeluje tepelný šum odporu r BB (kap.5..). Proudové zdroje VE a VC modelují výstřelové šumy přechodů B-C a B-E. přesnějšího modelu je třeba navíc uvažovat skutečnost, že šumové proudy VE a VC jsou vzájemně korelované, neboť příčnou jejch vznku je přblžně stejný stejnosměrný proud ( E C ). Stupeň korelace se vyjadřuje komplením koefcentem korelace. Obdobným způsobem je možné sestavt šumový model pro zapojení SE. kážeme s ho v následujícím příkladu. Pro získání co nejnžších hodnot šumu je vhodné, aby použtý tranzstor měl co nejmenší hodnotu r BB, co největší β př malém E a mezní kmtočet f α alespoň desetkrát vyšší než je pracovní. Kldový DC proud kolektoru by měl mít optmální hodnotu. Př velké roste totž výstřelkový šum, pro malé klesá přílš β. E C E C VE B VC B r bb u Trb Obr. 3: Šumový model bpolárního tranzstoru v zapojení SB. B Příklad 5.4 Šumový model tranzstorového stupně SE. Nakreslete jednoduchý šumový model základního tranzstorového stupně v zapojení SE (Obr. 33a). V modelu zanedbejte tepelný šum v tranzstoru na r BB a šum rezstorů pro nastavení pracovního bodu v báz. važované šumové zdroje nahraďte ekvvalentním zdroj šumu umístěným na vstup tranzstoru. Řešení: V prvním modelu na Obr. 33b uvažujeme výstřelkové šumy v obou přechodech a tepelný šum zatěžovacího rezstoru. Spektrální hustoty jednotlvých zdrojů jsou dány následujícím vztahy:

153 Teore elektronckých obvodů 53 VB q, (a) B VC q, (b) u C TR 4kTRC. (c) ( 5. ) Jak jsme uvedl jž v úvodu kap. 5. je vhodné šumové zdroje z kolektorového obvodu (Obr. 33b) přepočítat do vstupního obvodu báze (Obr. 33c). K tomu předpokládáme, že r CE >> R C, pak výstupní šumové napětí, způsobené výstřelkovým šumem kolektorového přechodu bude u R. ( 5. ) OVC VC C Přenos napětí tohoto obvodu je přblžně dán známým vztahem g R, ( 5.3 ) O K u m C který platí pro šumy. Na základě vztahu ( 5.3 ) lze šumová napětí z výstupu ( 5. ) a ( 5. ) přepočítat na vstup tranzstoru a určt tak šumové napětí ekvvalentních zdrojů na Obr. 33c: R u, (a) g R g VC m L L VC m 4kTR 4kT. (b) ( 5.4 ) R u L 3 g mrl g m L Proudový zdroj modeluje výstřelkový šum přechodu báze q. ( 5.5 ) N VB B Obvykle u 3 << u a tento šumový zdroj můžeme zanedbat. R C np T R C + CC out np VB T u TR out VC np un 3 u N N T R C out a) b) c) Obr. 33: Šumový model základního tranzstorového stupně v zapojení SE. Příklad 5.5 Šumové napětí na výstupu tranzstorového stupně SE. Pro základní tranzstorový stupeň SE na Obr. 33a nakreslete rezstvní lneární model (pro pásmo středních kmtočtů). Tranzstor nahraďte ekvvalentním obvodem dle Obr.. Obvod doplňte zdroj šumu a vypočítejte v symbolckém tvaru šumové napětí na výstupu. 5.. Šumový model unpolárního tranzstoru Šumové vlastnost FET jsou příznvější než u BJT. Nejdůležtějším zdroj šumu, které určují jeho šumové parametry jsou: tepelný šum kanálu, vznkající na čnné složce mpedance kanálu, je daný vztahem

154 54 FEKT Vysokého učení technckého v Brně D 4kTBN g mδ, ( 5.6 ) kde k, [J/K] je Boltzmannova konstanta, T je absolutní teplota v Kelvnech, B N je tzv. šumová šířka pásma, g m je přenosová vodvost tranzstoru (na nízkých kmtočtech), δ je koefcent závslý na stejnosměrných napětích tranzstoru (,5 δ, 7 ), určuje šumové vlastnost FETu v pásmu středních kmtočtů, ndukovaný šum hradla, který se přenáší z kanálu na hradlo (přes kapactu C GS ), je ω CGS G 4kTBN λ, ( 5.7 ) g m kde λ je koefcent závslý na stejnosměrných napětích tranzstoru (, λ, 3 ), s předchozím šumem je korelovaný, projevuje se v pásmu vyšších kmtočtů a s kmtočtem roste, tepelné šumy paraztních odporů (r G, r S, r D ), kdy každý z nch modelujeme zdrojem tepelného šumu Tr 4kTBN r. ( 5.8 ) Méně důležtý je kmtočtově nezávslý výstřelový šum hradla, který je daný vztahem ( 5. ). Lze jej zanedbat především u tranzstorů MOS. Obecný šumový model všech unpolárních tranzstorů je nakreslený na Obr. 34. Obsahuje pět proudových zdrojů modelujících uvedené šumy. Tak jako u bpolárního tranzstoru můžeme zde tyto zdroje přepočítat na ekvvalentní zdroje šumu umístěné na vstupu tranzstoru. D D TG r D TD G G r G D S G r S TS S Obr. 34: Šumový model unpolárního tranzstoru Šumový model operačního zeslovače Šumový model reálného OZ je na Obr. 35. Obsahuje deální nešumící OZ a tř nekorelované zdroje šumu (dva proudové a jeden napěťový), které posthují veškeré šumy uvntř bloku. Tyto ekvvalentní šumové velčny se dají vhodně měřt a udává je výrobce. vedený model je podobný modelu reálného OZ, posthující offset. V konkrétním zapojení OZ můžeme šumový model na Obr. 35 zjednodušt a tyto tř zdroje nahradt jedním ekvvalentním. OZ s unpolárním tranzstory na vstupu lze proudové šumové zdroje zanedbat. To lze také učnt v případě buzení vstupů OZ z nízkoohmových zdrojů sgnálů.

155 Teore elektronckých obvodů 55 (+) N u N ( ) N Obr. 35: Šumový model reálného operačního zeslovače. Příklad 5.6 Šumový model nvertujícího zeslovače s OZ. Nakreslete šumový model nvertujícího zeslovače s OZ. Dskutujte jeho zjednodušení. Vypočítejte výstupní šumové napětí v symbolckém tvaru. u T R u T R OA np u N out Obr. 36: Šumový model nvertujícího zeslovače s OZ. Řešení: Šumový model nvertujícího zeslovače s OZ je na obr. 9. Jsou v něm zdroje tepelného šumu obou rezstorů a ekvvalentní napěťový zdroj šumu OZ. Nejprve určíme přenosy napětí z jednotlvých zdrojů. Pak kvadrát šumového napětí na výstupu je na základě superpozce šumových výkonů dán následujícím vztahem: ON N T T R + + R R R + ( ). ( 5.9 ) 5.3 Další šumové parametry 5.3. Šumová šířka pásma V teor obvodů se obvykle šířka přenášeného pásma defnuje poklesem přenosu napětí (proudu) o - 3 db, nebo-l na úroveň,77 mamální hodnoty. Pro pokles výkonového

156 56 FEKT Vysokého učení technckého v Brně přenosu na polovnu mamální hodnoty. Šumová šířka pásma je však defnována jným způsobem. Předpokládejme, že na vstup selektvního obvodu (dvojbranu) přvádíme šumový sgnál s konstantní spektrální hustotou výkonu (bílý šum), potom na výstupu dostáváme tzv. selektvní (barevný) šum, jehož spektrální hustota výkonu nabývá mamální hodnoty na středním) kmtočtu f, tak, jak je naznačeno na Obr. 37. Šumová šířka pásma B N se určí na základě rovnost celkového šumového výkonu na výstupu obvodu a ekvvalentního šumového výkonu, který bychom získal na výstupu dvojbranu s deální obdélníkovou přenosovou charakterstkou. Podle Obr. 37 se plocha pod (modrou) křvkou p(f) rovná ploše (červeného) obdélníka, tedy p f ) df p( f ). ( 5. ) ( B N Na základě této rovnost pak můžeme odvodt defnční vztah pro šumovou šířku pásma B p( f ) df N p( f ). ( 5. ) Z uvedené defnce je zřejmé, že šumová šířka pásma B N není totožná se šířkou pásma B pro pokles o -3 db, nýbrž je větší, což nepřímo úměrně závsí na řádu selektvního obvodu. Pro řád n je B N,57 B, pro řád n je B N, B. p(f) B p(f o ) B N Obr. 37: K defnc šumové šířky pásma. f o f 5.3. Šumové číslo K popsu šumových vlastností lneárních obvodů je výhodné zavést šumové číslo (šumový čntel) F. K jeho defnc zaveďme výkonový poměr sgnálu a šumu na vstupu PS/PN a na výstupu PSo/PNo. Aby byly výpočty jednoznačné přsuďme generátoru normální teplotu Τ ο 9 K. Šumové číslo je za těchto podmínek defnováno vztahem PS PN F, (a) F P db log F [db]. (b) ( 5. ) So P No Vztah ( 5. ) udává, kolkrát se zhorší poměr sgnál/šum po průchodu sgnálu obvodem prot původní hodnotě PS/PN, za podmínky oboustranného výkonového přzpůsobení. Pokud by obvod sám neobsahoval žádné šumové zdroje, byl by čtatel jmenovatel stejný a F. Někdy vyjadřujeme šumové číslo v decbelech ( 5. ).

157 Teore elektronckých obvodů 57 Ve většně praktckých aplkací je obvod tvořen kaskádou několka (n) dvojbranů s šumovým čísly F, F,, Fn a výkonovým (dosažtelným) zesílením AP, AP,, APn. Výsledné šumové číslo této kaskády je určeno (Freho) vztahem F F F F. A 3 n F n AP AP AP P ( 5.3 ) Ze vztahu ( 5.3 ) je patrno, že nejvíce se uplatňuje první blok. Bude-l výkonový přenos AP dostatečně velký a šumové číslo F dostatečně malé, bude celkové šumové číslo F malé př F >>. To je velm závažný fakt pro konstrukc vstupních částí obvodových systémů (např. vstupních částí přjímačů) Míra šumu Protože celkové šumové číslo F nezávsí jen na samotných šumových číslech jednotlvých dvojbranů F, ale na jejch dosažtelných výkonových přenosech AP, byla zavedena tzv. míra šumu, a to defnčním vztahem M F A. P ( 5.4 ) Nejčastěj se míra šumu používá pro stanovení pořadí jednotlvých bloků kaskády, kdy jednotlvé dvojbrany mají různá výkonová zesílení a různá šumová čísla. Má-l mít kaskádní zapojení nejmenší velkost F, musíme dvojbrany řadt postupně za sebou tak, aby na vstupu byl ten z nch, jehož míra šumu je nejmenší a další řadíme podle stoupající hodnoty jejch M Vlastní šumová teplota obvodu některých obvodů (např. pro zpracování sgnálů o vysokých kmtočtech) jsou typcká velm nízká šumová čísla (F ). Pro tyto účely není proto tento parametr přílš výhodný. Výhodnější je vyjádřt šumové vlastnost takového obvodu pomocí jeho tzv. vlastní šumové teploty, defnované následujícím vztahem ( F ) T, Τ ο 9 K. ( 5.5 ) T v 5.4 Kontrolní otázky z kaptoly 5 ) Jaké druhy šumu v elektronckých obvodech znáte? Defnujte a blíže rozeberte dva z nch. ) veďte a rozeberte model reálného šumícího rezstoru a šum obecné mpedance. 3) veďte a rozeberte šumový model bpolárního tranzstoru. 4) veďte a rozeberte šumový model unpolárního tranzstoru. 5) veďte a rozeberte šumový model operačního zeslovače. 6) Vysvětlete pojmy: šumové číslo, šumová teplota a šumová šířka pásma.

158 58 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 6 Základy syntézy obvodů Cíle kaptoly: Seznámt se s prncpem syntézy a návrhu obvodů, s jejch vývojovým dagramy, se způsobem syntézy obvodů RLC rozkladem zadané mtanční funkce na řetězový zlomek a parcální zlomky, s defncí a vlastnostm poztvně reálné funkce, s rozložením nulových bodů a pólů u různých obvodů RLC. 6. Úvod do syntézy obvodů Vývojové schéma řešení obvodu je na Obr. 38. Př analýze určujeme vlastnost obvodu a jak jsme ukázal v předchozích kaptolách jde o jednoznačnou úlohu. Př správném obvodovém (resp. matematckém) modelu jsou výsledné vlastnost obvodu př opakované analýze vždy shodné. Opakem analýzy je syntéza obvodů (Obr. 38), kdy k zadaným vlastnostem hledáme vhodný obvod. Tento proces je víceznačná úloha. př správném modelu výsledné obvody nemusí být shodné. Zadány mohou být: a) vlastnost obvodu, b) obvodové funkce, c) parametry obvodu, d) toleranční pole. Hledáme: a) typ a strukturu obvodu (úplně neznámý obvod), b) parametry součástek (př čemž zapojení obvodu je jž známo). Př syntéze obvodů využíváme jž vzpomínané děje: a) apromac, b)dealzac, c) optmalzac. Rozlšujeme syntézu: a) přímou, b) nepřímou. Skutečný obvod Analýza Obvodový model Matematcký model Syntéza Vlastnost obvodu Obr. 38: Analýza a syntéza obvodů. Návrh obvodů je šrší proces, který vede k určení parametrů obvodu, jž ověřené struktury. Provede se jeho analýza (v dnešní době, hlavně jde-l o větší obvod, na počítač). Posoudí se získané vlastnost obvodu, zda-l vyhovují. Podle toho se proces ukončí nebo se varují parametry původního obvodu, popřípadě se celé zapojení změní. Možná je modfkace a úprava daného obvodu (např. zavedení ZV). Navrhovatel (odborník) na základě znalostí, zkušeností a také ntuce vybírá základní zapojení a jeho případnou změnu. Ostatní operace vykonává za pomocí počítače. Vývojový dagram návrhu obvodů je na Obr. 39. Vycházíme: a) ze známe struktury, ze schématu obvodu, b) z obvodových rovnc a funkcí, Vycházíme: a) ze známe struktury, ze schématu obvodu, b) z obvodových rovnc a funkcí, c) z emprckých vztahů.c) z emprckých vztahů. Př řešení se mohou vyskytnout následující nesnáze: a) zadání vede na neřeštelnou úlohu (soustavu rovnc), b) matematcké řešení estuje, fyzkálně nebo technologcky však není realzovatelné. Musí být splněna podmínka: požadované parametry stupně volnost.

159 Teore elektronckých obvodů 59 OBVOD ZMĚNA ZAPOJENÍ ZMĚNA PARAMETRŮ ANALÝZA OBVOD ANO NE VARACE PARAMETRŮ? NE VLASTNOST VYHOVJÍ? ANO KONEC Obr. 39: Vývojový dagram návrhu obvodů. Vždy vycházíme jen z určtého modelu, ten musí posthovat všechny požadované souvslost. Estují možnost dodatečné korekce, snížení stupně dealzace, zahrnutí paraztních jevů. 6. Syntéza obvodů RLC 6.. mtanční funkce dvojpólů RLC Nejprve s zopakujeme vlastnost mtačních funkcí. Obecně je možné mtanční funkc psát v eponencálním tvaru ( 3.7 ). Stejně dobře lze použít záps ve složkovém nebo jném tvaru, odpovídajícímu konkrétnímu zapojení jednotlvých dílčích prvků. Příklad 6. Sérový rezonanční obvod RLC. rčete mpedanc Z, v obecném symbolckém tvaru, rozložení pólů a nulových bodů pro jednoduchý sérový rezonanční obvod RLC. Příklad 6. Sérově paralelní rezonanční obvod RLC. rčete mpedanc Z, v obecném symbolckém tvaru, rozložení pólů a nulových bodů pro sérově paralelní rezonanční obvod (R a L v sér a C k nm paralelně). Výsledky těchto příkladů se dají zobecnt v následující tvrzení, že mtanční funkce lbovolného dvojpólu RLC není jen raconálně lomená funkce ( 3.5 ) proměnné s, ale má specální tvar. Věta 6. Bruneho věta o mtanční funkc dvojpólu RLC (93). mtanční funkce lbovolného dvojpólu RLC je poztvně reálnou funkcí (PRF), nebo tzv. Bruneho funkcí, která je určena dvěma základním vlastnostm:. Pro reálné hodnoty s je PRF F(s) také reálná.. Pro nezáporné reálné část proměnné s je také reálná část PRF F(s) nezáporná, tj. {} s & m{ F& ( s& )}, (a) Re{ s } Re{ F& ( s& )} m &. (b) ( 6. )

160 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně mtanční funkce lbovolného dvojpólu RLC má zřejmě vždy první vlastnost PRF, neboť všechny koefcenty u mocnn s v polynomech zlomku ( 3.5 ) jsou reálné. Důkaz o platnost druhé podmínky je založen na tom, že dvojpól RLC je pasvní a nemůže trvale dodávat výkon do vnější zátěže. Pro syntézu pasvních dvojpólů je důležtá platnost opačného tvrzení, že každá PRF může být realzována jako mtanční funkce dvojpólu RLC. Poznamenejme, že pro různé dvojpóly RLC, nulové body a póly mtanční funkce leží v komplení rovně v obecné poloze. Mohou být buď reálné nebo kompleně sdružené. Př změně některého parametru obvodu se mění jejch poloha (nastává jejch mgrace). Směr a rychlost této mgrace naznačují, jaké jsou ctlvostní vlastnost daného dvojpólu. 6.. Vlastnost poztvně reálných funkcí Zejména pro účely syntézy je nutné umět zjstt, zda daná raconálně lomená funkce představuje PRF nebo naopak spolehlvě rozhodnout, že tomu tak není, aby se př syntéze jž předem vyloučly nerealzovatelné výsledky. Defnční vztahy PRF ( 6. ) se totž k testování poztvní reálnost bohužel přílš nehodí. Proto je pro rychlou orentac výhodné znát některé další typcké vlastnost PRF, což jsou zejména tyto: ) Nulové body a póly neleží v pravé polovně rovny s. ) Nulové body na magnární ose, jsou jednoduché a PRF v nch má reálnou a kladnou dervac. 3) Póly na magnární ose, jsou rovněž jednoduché a PRF v nch má reálná a kladná resdua. 4) Nulové body a póly jsou buď kompleně sdružené nebo leží na reálné ose. 5) Stupeň polynomu v čtatel (m) a ve jmenovatel (n), tedy počet nulových bodů a pólů, se u PRF lší nejvýše o jednčku, tj.: a) m n -, b) m n, c) m n +. 6) Reálná část PRF je pro s jω nezáporná. Pro všechna ω platí Re [ F ( jω) ] 7) Koefcenty a n, b m obou polynomů jsou vždy reálné nezáporné. vedené vlastnost určují test PRF. Pro ověření bodu (), zda nulové body a póly leží v levé polorovně můžeme použít Hurwtzův test [ 6 ], nebo vhodný program na počítač. Věta 6. Druhá věta o poztvně reálných funkcích. Jsou-l funkce F (s) a F (s) poztvně reálné, pak jsou poztvně reálné funkce nverzní (F (s)) -, složené F (F (s)) také součty a rozdíly funkcí F (s) ± F (s). Příklad 6.3 Ověření poztvně reálné funkce. a) Zakreslete do Gaussovy komplení rovny s nulové body a póly funkce Z(s) N( s) Z s) D( s) ( s s + + s + s + b) Rozhodněte zda-l splňuje podmínku PRF. ( 6. )

161 Teore elektronckých obvodů 6 c) Pomocí vhodného programu znázorněte plochu v rovně Z(s) kam se transformuje daným vztahem pravá polorovna rovny s. Příklad 6.4 Ověření poztvně reálné funkce. Zjstěte, zda-l funkce F(s) splňuje podmínku () PRF - nulové body a póly neleží v pravé polovně Gaussovy rovny s. 3 N( s) 3 + 4s + s + s F( s) ( 6.3 ) D( s) + 3s + s 6..3 mtanční funkce dvojpólů RC a RL Příklad 6.5 mtanční funkce dvojpólů RC. Pro dvojpól RC na Obr. 4a odvoďte mpedanční funkc a rozložení pólů a nulových bodů. Řešení: Pro dvojpól RC znázorněný na Obr. 4a vychází mpedanční funkce ve tvaru ( 6.4 ). Rozložením na kořenové čntele pak ( 6.4 ) 4 /6 / a) Obr. 4: Jednoduchý dvojpól RC. a) schéma zapojení, b) rozložení pólů a nulových bodů m s Re s b) 4s + 6s + Z( s), (a) s + s ( s + )( s + 3) Z ( s) 4. (b) ( 6.4 ) s( s + ) Nulové body a póly, odpovídající vztahu ( 6.4 ), jsou zobrazeny na Obr. 4b. Je zřejmé, že leží na záporné část reálné osy a že se nulové body navzájem střídají s póly. Dá se dokázat, že toto pravdlo platí obecně pro všechny dvojpóly RC a v mírně modfkované podobě také pro všechny dvojpóly RL [ 6 ] mtanční funkce dvojpólů LC Příklad 6.6 mtanční funkce dvojpólů LC. Pro dvojpól LC na Obr. 4a odvoďte mpedanční funkc a rozložení pólů a nulových bodů. Řešení: Pro jednoduchý dvojpól LC (tzv. reaktanční dvojpól) znázorněný na Obr. 4a vychází mpedanční funkce ve tvaru ( 6.5 ) Rozložením na kořenové čntele pak ( 6.5 ) 4 4s + 4s + 36 Z( s), (a) ( s + 4) s ( s + )( s + 9) Z ( s) 4. (b) s( s + 4) ( 6.5 )

162 6 FEKT Vysokého učení technckého v Brně Nulové body a póly, odpovídající vztahu ( 6.5 ), jsou zobrazeny na Obr. 4b. Všechny leží na magnární ose, jsou magnárně sdružené. Opět se navzájem střídají nulové body a póly. Také v tomto případě se dá dokázat, že tento poznatek je možné zobecnt [ 6 ]. Tyto vlastnost mají mtanční funkce všech reaktančních dvojpólů (LC). 3j m s j j 4 /9 a) b) Obr. 4: Jednoduchý dvojpól LC. a) schéma zapojení, b) rozložení pólů a nulových bodů Syntéza dvojpólů RLC 5/4 /5 Úkolem syntézy je: a) najít strukturu obvodů, b) zjstt parametry jednotlvých prvků, pro předepsanou vlastnost nebo obvodovou funkc. Jak jž uvedly (kap. 6.) syntéza je mnohoznačná úloha, proto vybíráme určtý přístup a postup k řešení, zavádíme různá krtéra. Např. mnmum všech prvků tvořící obvod, mnmum hůře vyrobtelných a ekonomcky náročnějších prvků (např. L), mnmum hodnot prvků (často souvsí s rozměry a vhodnost pro ntegrac). Provádíme z určtého hledska optmalzac návrhu obvodu. Z kaptoly 6. vyplývá. že postup syntézy se obecně dělí do dvou základních, ale vzájemně velm úzce souvsejících kroků, tzv. apromace (vyjádření nejrůznějších požadavků na vlastnost hledané soustavy vhodným matematckým prostředky) a tzv. realzace (přesněj jde o syntézu obvodového modelu na základě výsledků prvního kroku). V případě syntézy dvojpólů RLC se v apromačním kroku hledá taková mtanční funkce daného dvojpólu, která by byla zároveň PRF, v tzv. realzačním kroku pak jde o vhodný rozklad PRF, který by vedl k realzovatelným strukturám RLC, tj. aby dílčí raconální lomené funkce vyskytující se v tomto rozkladu byly také PRF. V této část se budeme zabývat pouze tímto druhým krokem a z mnoha estujících způsobů rozkladu PRF [ 6 ] uvedeme pouze dva základní typy, a to: a) rozklad dané PRF do tvaru řetězového zlomku, b) na parcální zlomky Rozklad poztvně reálné funkce na řetězový zlomek Do tvaru řetězového zlomku lze danou PRF upravt postupným dělením polynomů v čtatel a ve jmenovatel, přčemž (na rozdíl od ryze matematckého postupu) po každém ukončeném kroku dělení musí zbytková raconální lomená funkce znovu představovat PRF. Pak se provede nverze této zbytkové PRF a v dalším kroku pokračuje její dělení tak dlouho, až obdržíme přímo realzovatelnou zbytkovou PRF. Jako obecný příklad uveďme výsledný tvar řetězového zlomku pro mpedanční funkc Z( p), která má pak tvar -j -j -3j Re s

163 Teore elektronckých obvodů 63 Z( s) N( s) Z D( s) ( s) + Y ( s) + Z 3 ( s) + Y ( s) ( 6.6 ) Snadno lze zjstt, že struktura složeného dvojpólu odpovídajícího tomuto rozkladu představuje příčkový článek, jehož vstupní mpedance je právě daná mpedanční funkce Z( p), přčemž se zde střídají podélné dílčí dvojpóly s mpedancem Z( p), Z3( p),... atd. a příčné dílčí dvojpóly s admtancem Y( p), Y4( p),... atd. (Obr. 4). Aby bylo možné snadno realzovat jednotlvé dílčí mpedance č admtance ve vztahu ( 6.6 ), budeme se samozřejmě snažt o to, aby tyto dílčí mtanční funkce byly co nejjednodušší a odpovídaly pokud možno elementárním mtancím podle Tab.. Z Z 3 Z n- Y Y 4 Y n Obr. 4: Příčkový článek dvojpólů. Tab. : Realzace elementárních mtancí. Tvar dílčí funkce mpedance Z p ( ) Admtance Y p ( ) A Rezstor: R A Rezstor: G A s A nduktor: L A Kapactor: C A sa Kapactor: C A nduktor: L A Příklad 6.7 Syntéza obvodu rozkladem PRF na řetězový zlomek. Je dána mpedanční funkce dvojpólu v následujícím symbolckém tvaru 4 s + 4s + 3 Z( s). ( 6.7 ) 3 s + 4s Proveďte syntézu obvodu rozkladem dané PRF na řetězový zlomek. Řešení: Rozklad do řetězového zlomků provedeme postupným dělením polynomů od nejvyšších od nejnžších mocnn. Obdržíme dva různé rozklady, které jsou z hledska výsledné mpedance zcela ekvvalentní Z( p) p +, (a) p + 3 p + p 3 Z( p) +. (b) 4 p p 5 5 p + 4 p ( 6.8 ) Odpovídající příčkové články jsou uvedeny na Obr. 43 mají evdentně nejen shodnou vstupní mpedanc Z( p), ale také stejný (mnmální) počet obvodových prvků ( nduktory a kapactory), takže z tohoto hledska představují tzv. kanoncké tvary. Dá se ukázat, že u

164 64 FEKT Vysokého učení technckého v Brně mtančních funkcí dvojpólů LC, RC RL vede rozklad PRF do řetězového zlomku vždy na tyto tzv. Cauerovy kanoncké struktury [ 6 ]. / 4/3 5/ /3 5/8 4/5 Z(s) a) Z(s) Obr. 43: Ekvvalentní obvody vznklé rozkladem Z(s) do řetězového zlomku. b) 6..7 Rozklad poztvně reálné funkce na parcální zlomky Druhý způsob rozkladu poztvně reálné mtanční funkce vede na součet tzv. parcálních zlomků. Použít př tom můžeme metodu neurčtých koefcentů, známou z matematky. Pochoptelně př respektování podmínek realzovatelnost dílčích zlomků, ty musí být dílčí PRF, aby se daly realzovat dílčím podobvody RLC. Př syntéze lze samozřejmě vycházet z nverzní (admtanční) funkce. Př tomto druhu rozkladu můžeme využít následující věty. Věta 6.3 Fosterova věta o rozkladu PRF. mpedanční funkc Z( p), která je PRF lze rozložt do následujícího tvaru n k Z( s) + k s + s s k s + ω + Z zbytek ( s). ( 6.9 ) Jemu odpovídá zapojení na Obr. 44, nazývané Fosterova kanoncká struktura [ 6 ]. Zbytková funkce Z zbytek je často nulová. Není-l tomu tak, pokusíme se j realzovat jným způsobem. Parametry součástek a koefcenty k určíme z následujících vztahů: k k Re z lm s k Re z lm s ± jω [ Z() s ] [ s Z() s ] [ Z() s / s] [ Z() s ] s s± jω s [( ) ( )] ( s + ω ) Z() s s m jω Z s lm lm s ω s ( 6. ) Pro rozloženou mpedanční funkc Z( p) odpovídá součtu dílčích PRF sérové spojení dílčích podobvodů. Př rozkladu admtanční funkce Y( p) pak samozřejmě paralelní spojení. Pokud jsou dílčí mtanční funkce ještě přílš složté, lze je dále samostatně rozložt např. do řetězového zlomku, případně je možné tyto dva základní způsoby rozkladu podle potřeby kombnovat jným způsoby, které vedou k realzovatelným výsledkům. Jedním z nch je Bruneho realzační cyklus, založený na postupném odštěpování nulových bodů a pólů [ 6 ].

165 Teore elektronckých obvodů 65 C /k C /k Z zbytek Obr. 44: Zapojení obvodu odpovídající vztahu ( 6.9 ). Příklad 6.8 Syntéza obvodu rozkladem PRF na řetězový zlomek. Je dána stejná mpedanční funkce Z(s) ( 6.7 ), jako v předchozím příkladě. Proveďte syntézu obvodu rozkladem této PRF na parcální zlomky. Řešení: mpedanční funkc ( 6.7 ) nejprve upravíme (rozlad polynomů na kořenové čntele) 4 s + 4s + 3 ( s + )( s + 3) Z ( s). 3 ( 6. ) s + 4s s( s + ) Metodou neurčtých koefcentů provedeme rozklad Z(s) ( 6. ) na parcální zlomky. Výsledek upravíme do následujícího tvaru 3 s + s 3 Z( s) + 4 s + +. ( 6. ) s s + 4s 8 4s + s Vztahu ( 6. ) odpovídá dvojpól LC na Obr. 45a. Př syntéze lze samozřejmě vycházet z nverzní admtanční funkce Y(s). Výsledný dvojpól LC.je na Obr. 45b. Obě struktury uvedené na Obr. 45 mají stejný mnmální počet součástek, jsou tedy kanoncké (v lteratuře se někdy nazývají Fosterovy kanoncké struktury). / 4/3 /8 4 L k L k /ω /3 Z(s) a) Z(s) Obr. 45: Ekvvalentní obvody vznklé rozkladem Z(s) na parcální zlomky. b) 6.3 Kontrolní otázky z kaptoly 6 ) Vysvětlete co je to syntéza obvodů. veďte rozdíl mez analýzou Nakreslete vývojový dagram. ) Vysvětlete co je to návrh obvodů. veďte rozdíl mez syntézou. Nakreslete vývojový dagram. 3) Jaké vlastnost má poztvně reálná mtanční funkce? 4) Jak jsou rozloženy nulové body a póly obvodů: a) RC, b) RL, c) LC, d) RLC. 5) Vysvětlete způsob syntézy obvodů RLC rozkladem mtanční funkce na řetězový zlomek. 6) Vysvětlete způsob syntézy obvodů RLC rozkladem mtanční funkce na parcální zlomky.

166 66 FEKT Vysokého učení technckého v Brně 7 Moderní analogové obvody Cíle kaptoly: Seznámt se s prncpem čnnost moderních analogových obvodů, s obvody se spínaným kapactory, s obvody v proudovém módu a s obvody se spínaným proudy. 7. Obvody se spínaným kapactory 7.. Vlastnost obvodů se spínaným kapactory V současné době je stále více smíšených elektronckých systémů, kde se vyskytují jak analogové, tak dgtální obvody. Pro jejch výrobu je žádoucí, aby u obou byla použta stejná technologe. obvodů se spínaným kapactory (SC) je to tato jednotná technologe použta CMOS. Operační zeslovače, pracovní kapactory, spínače vše CMOS. Obvody SC jsou vhodné pro ntegrovanou formu až VLS. V ní pracovní kapactory mají hodnotu jen pf. Komerčně dostupné ntegrované obvody (O) jsou např.: Motorola 444, AM S 356, MHF 443 aj. Tyto obvody SC je možno konstruovat jako hybrdní O, kde pracovní kapactory mají větší hodnotu až nf. Používají se jako fltry, A/D převodníky, -Δ modulátory a jné obvody. V obvodech SC jsou pouze kapactory, aktvní bloky (nejčastěj OZ) a spínače. Rezstory a nduktory jsou nahrazeny jejch SC ekvvalenty (R-SC a L-SC) nebo základním stavebním blokem jsou ntegrátory SC. Obvody SC jsou založeny na přenosu náboje. Pro jejch pops používáme nábojové rovnce psané v oblast proměnné z, podobně jako obvody dgtální. Na rozdíl od nch jsou v obvodech SC zpracovávané sgnály (vzorkované) dskrétní v čase, ale spojté v hodnotě. Na výstupu nejčastěj vyžadujeme opět sgnál analogový, proto tam je zařazen jednoduchý rekonstrukční fltr. Obecné blokové schéma obvodu SC je na Obr. 46. Pro čnnost obvodů SC se většnou používá dvoufázové spínání. Budeme rozlšovat fáz sudou (S nebo E) a fáz lchou (L nebo O). sgnál analogový vzorkovaný vzorkovaný analogový Vzorkovač Obvod SC Rekonstrukční fltr Obr. 46: Obecné blokové schéma obvodu SC. Velkou předností je jejch vhodnost k mnaturzac a k ntegrac. Srovnáme-l plochu klasckého rezstoru (napařená uhlíková vrstva) a ekvvalentního R-SC, tak pro hodnotu odporu R MΩ je potřeba plocha 6 µm, kdežto ekvvalentní R-SC zabírá plochu jen,5 3 µm. Obvykle obvod SC realzuje přenosovou funkc ( 3.5 ) kde koefcenty jsou dány Cn poměrem kapact pracovních kapactorů a, b. Pak př běžné toleranc samotných Cm Cn kapact ΔC n % je možné udržet přesnost poměru Δ,% a to díky ntegrované Cm formě a stejné technolog (se změnou teploty ujíždí hodnoty všech C stejně). Takto se dosáhne mnmálně stokrát větší přesnost požadované přenosové funkce prot obvodům ARC. To je obrovská přednost obvodů SC. Na druhé straně jstou nevýhodou je požadavek přísně

167 Teore elektronckých obvodů 67 lneárních a také plovoucích (neuzemněných) pracovních kapactorů. Na kapactní čp v O je pak vyžadována druhá vrstva polovodče. C f s f s S L S C L np C OZ out R ek R-SC Obr. 47: Spínaný ekvvalent R-SC. Obr. 48: ntegrátor SC-FD. 7.. Obvod SC smulující rezstor Rezstor je charakterzován jako ztrátový prvek. Ztracená energe (W z ) je nepřímo úměrná hodnotě odporu R ( 7. ). V obvodech SC smulujeme ztrátový rezstor bezeztrátovým kapactorem C, dle prncpelního zapojení na Obr. 47. V pracovní fáz S se kapactor C nabje (v mžku protože zde není žádný rezstor). V druhé fáz (L) se kapactor C v mžku vybje do zkratu. Energe se vyzáří. Na vstupní bráně v pracovní fáz obvod smuluje ztráty tedy rezstor. Získal jsme spínaný ekvvalent R-SC. Ztracená energe je zde přímo úměrná kapactě C a nepřímo perodě spínání( 7. ). Porovnáním vztahů ( 7. ) a ( 7. ) vyplývá, že hodnota smulovaného odporu je dána vztahem ( 7. ) W Z, (a) R 7..3 ntegrátory SC W W Z Z C f S T, (b) T R EK. (c) ( 7. ) C Ve známém zapojení ntegrátoru ARC s OZ nahradíme R ekvvalentem R-SC (Obr. 47), dostáváme zapojení ntegrátoru SC na Obr. 48. Obvod v sudé fáz realzuje nverující přenos s ntegračním charakterem a apromující transformac s z typu FD (forward dfference) K S out S np C C z. ( 7. ) Nenverující ntegrátor SC-FD dostaneme jednoduše (otáčením vrstev kapactoru C, vhodným spínáním) dle Obr. 49a. Ztrátový ntegrátor SC-FD dostaneme přdáním dalšího poobvodu R-SC paralelně k ntegračnímu kapactou C. Záměnou fází pravého přepínače (obr. 3b, červeně) dostaneme přenos v sudé fáz K S out S np C C z, ( 7.3 )

168 68 FEKT Vysokého učení technckého v Brně což odpovídá apromující transformac (backward dfference) BD. Poznamenejme, že přenos mez fázem má u všech zapojení charakter transformace LD K L out S np C C z + / z /. ( 7.4 ) C C np S L S L C L S S L OZ out np S L C L S OZ out a) b) Obr. 49: Další typy ntegrátorů SC. Velm rozšířenou skupnou jsou ntegrátory SC-BL (blneární) na Obr. 49b s přenosovou funkcí K C C 7..4 Složtější obvody SC S out S np + z z. ( 7.5 ) Jak víme z [ 3 ] dva ntegrátory ve smyčce vytvoří velm využívaný fltr. řádu - bkvad. Tak můžeme z ntegrátorů SC, uvedených v předchozí kaptole získat bkvad SC. Pomocí bkvadů kaskádní syntézou pak sestrojíme lbovolný fltr SC vyšších řádů [ 3 ]. ntegrátory SC však můžeme použít přímo jako stavební bloky, př syntéze vycházející ze stavového popsu prototypu obvodu RLC [ 3 ]. Př návrhu obvodů SC můžeme vyjít také ze struktur fltrů číslcových, které vhodně modfkujeme. Jsou známy realzace SC sčítaček, násobček a časových zdrží. V současnost je jž druhá vlna aplkací a šrokého použtí obvodů SC. Blíže o obvodech SC vz. [ 7 ] a [ ]. 7. Obvody se spínaným proudy 7.. Vlastnost obvodů se spínaným proudy V současné době je používáno stále více obvodů smíšených (analog-dgtal). proto se do popředí zájmu dostaly další moderní obvody se spínaným proudy (S) [ 8 ]. Mají s dgtálním obvody jednotnou a cenově dostupnou technolog a stejný způsob návrhu. Používají se jako moderní fltry, A/D převodníky, -Δ modulátory a jné obvody. Obvody S jsou založeny na prncpu držení náboje a přenos proudu (SC obvody na přenosu náboje). Nevyžadují lneární plovoucí kapactory, jako je tomu u obvodů SC. Jako pracovní se využívají paraztní (nelneární) kapacty (C GS ). Obvody S mají nžší napájecí DC napětí (3,3 V), jsou rychlejší, zpracovávají sgnály s vyšším frekvencem. Na jejch realzac se používá technologe B CMOS, Ga As,,8 µm.

169 Teore elektronckých obvodů Základní paměťový blok S Prncp obvodů S je patrný z Obr. 5. Elementární stavební blok S je na Obr. 5a. Ve fáz (S) je spínač sepnut. Tak FET (T ) se zkratovaným bránam G-D představuje dodu. Kapactor C GS (paraztní) se v této fáz (S) nabje na napětí GS. Ve druhé fáz (L) je spínač rozepnut C GS drží náboj a napětí GS, proto v této fáz (L) teče proud. Tranzstor drží proud z fáze (S) do druhé fáze (L). V zapojení na Obr. 5b je obvod doplněn proudovým zrcadlem (T ), proud je zde obrazem. Dostáváme proudovou časovou zdrž o půl spínané perody. V [ 8 ] se tato proudová paměť nazývá časová zdrž z -/ (half delay). Pak dvě zdrže z -/ v kaskádě vytvoří požadovanou proudovou časovou zdrž o celou perodu z - (full delay). S L A* S S S T T T T T C GS C GS C a) b) c) Obr. 5: Základní paměťový blok S Na Obr. 5c je modfkovaná proudová časová zdrž z -/ s proudovým předpětím, vytvářeným DC proudovým zdroj (nakresleny modře). Ve fáz (S) teče tranzstorem T (se zkratovaným bránam G-D) proud +. Kapactor (C C GS ) se nabje na napětí, dané vztahem J + W +, k μc. ( 7.6 ) GS T k L Ve fáz (L) tečou výstupní proudy, A,, ( 7.7 ) O O kde A je zeslovací čntel upravující měřítko výstupního proudu (scalng factor) ntegrátory S Nenvertující (bezeztrátový) ntegrátor S dostaneme, doplníme-l proudovou časovou zdrž (Obr. 5c) zpětnou vazbou tak, jak je naznačeno na Obr. 5a (ZV je nakreslena červeně). Paralelně zapojené spínače S a L lze nahradt zkratem, čímž získáváme jednodušší výsledné zapojení na Obr. 5b. Přenos proudu v základní fáz (S) tohoto obvodu je dán vztahem K ( z) S out S np A. ( 7.8 ) z Z něj je patrno, že obvod v sudé fáz realzuje nenvertující přenos s ntegračním charakterem a apromující transformac s z typu FD (forward dfference). V [ 8 ] jsou uvedena obdobná zapojení ntegrátorů S, pracující s transformací BD a BL.

170 7 FEKT Vysokého učení technckého v Brně a) S A* S L T T T 3 C C Obr. 5: Nenverující (bezeztrátový) S ntegrátor typu FD. b) Tlumený (ztrátový) nenvertující ntegrátor S dostaneme přdáním další ZV tak, jak je naznačeno červeně na Obr. 5. Smulovaná modulová charakterstka bezeztrátového (a) a ztrátového (b) S ntegrátoru je uvedena na. Obdobně můžeme navrhnout nvertující S ntegrátor. Podrobnost najdete v knze [ 8 ]. Tam také najdete další základní spínané bloky, jako dervátor S, analogovou násobčku S (bez zpoždění) a jné. S ZV A * A * S L L T T 3 T T 3 C C Obr. 5: Ztrátový S ntegrátor typu FD Složtější obvody S Obdobně jako u obvodů SC (kap. 7.), ze dvou ntegrátorů S, zapojených ve smyčce, dostaneme bkvad S. Pomocí bkvadů S pak sestrojíme lbovolný fltr S vyšších řádů. Ke konstrukc těchto fltrů můžeme modfkovaně použít veškeré poznatky z obvodů SC a také fltrů číslcových.

171 Teore elektronckých obvodů 7 K [db] Obr. 53: Modulová charakterstka ntegrátoru S. f [Hz] 7.3 Obvody v proudovém módu 7.3. Různé druhy pracovních módů Obvody pracující v proudovém módu (CM) nalézají stále šrší uplatnění a to hlavně v aktvních fltrech pro oblast vyšších kmtočtů (řádově desítky MHz), realzovaných pak monoltckou ntegrovanou technologí. Klascké fltry RC se standardní strukturou operačního zeslovače (OZ) se zde použít nedají, jelkož to nedovolí vlastnost dostupného reálného OZ a slně se zde projevují paraztní kapacty zpětnovazební struktury. Další předností obvodů CM je větší dynamka a možnost čnnost př velm malých DC napájecích napětích (±,5V). Př zpracování sgnálů v klasckých obvodech, standardně využíváme napěťové odezvy, kdy obvod pracuje v napěťovém módu (VM). V obvodech CM místo napěťové odezvy, uvažujeme odezvu proudů. Hlavní charakterstkou těchto obvodů je nžší odporová úroveň všech uzlů v obvodě. To zajstí menší vlv paraztních kapact, třebaže stejných hodnot (menší jsou zde odpovídající časové konstanty). V obvodech CM pak také můžeme použít jný vhodnější (proudový) aktvní prvek nebo funkční blok, s vyšším tranztním kmtočtem. Moderní technologe přnesly celou řadu takovýchto stavebních bloků, převážně jž v ntegrované monoltcké formě nebo jako zákazncké hybrdní obvody. Vhodným typem se ukázaly proudové konvejory, transmpedanční zeslovače (CFA), transadmtanční zeslovače (transkonduktory), proudové sledovače aj. Nová zapojení v CM lze získat: ) ntucí, zkusmo, ) úpravou a modfkací jž známých obvodů, 3) epermenty na počítač s využtím kontrolní symbolcké analýzy nebo 4) známá zapojení z VM převést do CM transformací. Zvláště poslední způsob je výhodný, protože dovoluje využít bohatě rozpracovanou teor a řadu ověřených obvodů, jak blíže rozebereme v následujícím odstavc. Pracuje-l v CM jen část obvodu, nejčastěj aktvní funkční blok (např. konvejor), ale celkově obvod zpracovává sgnál napěťový (v další část obvodu jsou uzlové mpedance velm vysoké úrovně), hovoříme pak o smíšeném módu V/CM. Obdobně může estovat v obvodě duální smíšený mód C/VM.