1. ČÍSELNÉ OBORY

ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený. Uzavřenost číselného oboru vzhledem k početní operaci znamená, že výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné číselné množiny je číslo, které také patří do této číselné množiny. Přirozeným číslem tj. číslem z oboru přirozených čísel se v matematice rozumí kladné celé číslo (tj. 1, 2, 3, ). Přirozená čísla se označují počet předmětů, osob, zvířat nebo vyjadřují pořadí. Výuka matematiky obvykle začíná u přirozených čísel. Obor všech přirozených čísel je tvořen množinou čísel 1, 2, 3, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení. Množinu všech přirozených čísel značíme. Číselnou množinu přirozených čísel rozšířených o nulu značíme. 1 3 2 4 Množinu přirozených čísel je pro praktické účely a další počítání nutné rozšířit o nulu a celá záporná čísla. Dostáváme tak obor všech celých čísel. Obor všech celých čísel je tvořen množinou obsahující všechna přirozená čísla, všechna čísla opačná k přirozeným číslům (celá čísla záporná) a nulu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání a násobení. Obor celých čísel značíme. Množinu celých kladných čísel značíme, množinu celých záporných čísel tedy označíme. Číselnou množinu kladných celých čísel, ke které je přidruženo číslo nula označíme. -4 0-1 1 3 2 4-15 Pozn. Opačným číslem k číslu rozumíme takové číslo, pro něhož je. Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné (např., ), opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné (např., ). Opačné číslo k číslu nula je číslo nula. 1

ČÍSELNÉ OBORY Rozhodni, jsou-li následující tvrzení pravdivá: a) Číslo 0 náleží do oboru přirozených čísel. Ne, číslo 0 náleží do oboru celých čísel. b) Opačným číslem k číslu -7 je číslo 7. Ano, toto tvrzení je pravdivé. c) Číslo -3 náleží do oboru přirozených čísel. Ne, číslo -3 nenáleží do přirozených čísel, náleží do oboru celých čísel. Obor všech racionálních čísel je tvořen množinou obsahující taková čísla, která lze zapsat ve tvaru, kde, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem. Množinu racionálních čísel značíme. Množinu racionálních čísel můžeme popsat tak, že obsahuje čísla s konečným desetinným rozvojem (např. číslo 3,25) a nekonečným periodickým desetinným rozvojem (např. číslo ). 1,111-4 0,5-10,525 0-1 1 3 2 4-15 Obor všech reálných čísel, který budeme značit, je tvořen množinou obsahující všechna racionální čísla a čísla s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem. 1,111-4 0,5-10,525 0-1 1 3 2 4-15 2

ČÍSELNÉ OBORY Reálné číslo, které zároveň nepatří do množiny racionálních čísel, nazýváme iracionální číslo. em iracionálního čísla je číslo, (tj. Ludolfovo číslo, které představuje podíl obvodu libovolné kružnice a jejího průměru), které má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj. Vztah mezi číselnými množinami lze schematicky vyjádřit graficky, diagramem: Rozhodni, zda platí: a) Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem. b) Ne, Ludolfovo číslo má nekonečný neperiodický desetinný rozvoj, proto do oboru racionálních čísel nepatří. c) Ano, protože se jedná o číslo s konečným desetinným rozvojem. Vlastnosti číselných oborů Na závěr kapitoly se podíváme, jaké vlastnosti má každý číselný obor: Pro každá tři čísla z číselného oboru platí: 1. asociativnost sčítání a násobení 2 komuta vnost sčítání a násobení 3 e istence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání a násobení (s výjimkou oboru přirozených čísel) 3

ČÍSELNÉ OBORY 4. distributivnost násobení vzhledem ke sčítání Neutrální prvek vzhledem k početní operaci je takový prvek, který neovlivní výsledek početní operace. V oboru přirozených čísel platí e istence neutrálního prvku jen vzhledem k násobení. E istence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání v něm neplatí, protože do oboru přirozených čísel nezahrnujeme číslo 0. 4

ZLOMKY 2. ZLOMKY Kapitola Zlomky má následující části: Zlomky úvod, Zlomek jako podíl čísel, Rozšiřování a krácení zlomků, Desetinné zlomky, Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem, Porovnávání zlomků, S čítání zlomků s různými jmenovateli, Odčítání zlomků, Násobení zlomků, Dělení zlomků, Složený zlomek. V kapitole je vždy nejdříve uveden učební te t, ve kterém jsou ukázky vzorově vyřešených příkladů. Na učební text pak navazují cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test. Členění kapitoly Zlomky: Zlomky úvod Zlomek jako podíl čísel Rozšiřování a krácení zlomků Desetinné zlomky Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem Porovnávání zlomků S čítání zlomků s různými jmenovateli Záporné zlomky Odčítání zlomků Násobení zlomků Dělení zlomků Složený zlomek Cvičení Test ZLOMKY - ÚVOD Zlomkem můžeme zapsat jakékoliv racionální číslo. Zlomek se skládá ze dvou částí. Horní část nad zlomkovou čarou se nazývá čitatel a spodní část pod zlomkovou čarou jmenovatel. Existuje také složený zlomek, což je zlomek, který má v čitateli či jmenovateli další zlomek. Slovo zlomek používáme v běžné řeči často, nyní si vysvětlíme, co zlomek znamená v matematice. Zlomek označuje v matematice podíl dvou výrazů. Zlomek, ve kterém jsou oba výrazy celá čísla, se nazývá racionální číslo. Např.: 5

ZLOMKY Zápis zlomku je založen na vztahu části k celku. Například: jedna polovina tři poloviny jedna osmina ČÁSTI ZLOMKU Zlomková čára rozděluje zlomek na dvě části, na čitatel a jmenovatel. Jmenovatel pojmenovává celý zlomek. Vyjadřuje, na kolik stejných dílů jsme celek rozdělili. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula (v oboru reálných čísel nelze nulou dělit). Čitatel určuje, kolik dílů z celku uvažujeme. Pizzu rozdělíme celkem na 8 stejných dílů. Jeden takový díl je tedy jedna osmina. Zlomkem lze zapsat i dělení : Babička upekla dort. V náčrtku a v matematice. 6

ZLOMKY Zakresli a zapiš zlomkem jednu polovinu dortu. Zakresli a zapiš zlomkem jednu třetinu dortu. Zakresli a zapiš zlomkem jednu čtvrtinu dortu. Zakresli a zapiš zlomkem jednu pětinu dortu. ZLOMKY - ÚVOD CVIČENÍ 1. Znázorni v obrázcích zlomky: 7

ZLOMKY 2. Znázorni zlomky: 3. Zapiš zlomkem, jaká část z celku je vybarvená: 8

ZLOMKY : ZLOMEK JAKO PODÍL ČÍSEL Zlomek si můžeme představit jako úlohu: Rozděl spravedlivě tři jablka mezi dvě osoby. Vezmeme jablka a všechna rozpůlíme. Následně každý dostane spravedlivě tři půlky. Z předchozího obrázku je vidět, že zlomek je roven číslu, které odpovídá 3 : 2 = 1,5 Obecně: Jsou-li a, b přirozená čísla, pak je zlomek roven číslu, které je výsledkem dělení a : b. 9

ZLOMKY Je zlomek větší než 1 nebo menší než 1? Z náčrtku zlomku je vidět, že jsme vybarvili jeden celý celek a půl, což odpovídá vztahu: Zlomek je tedy větší než 1. Jak by to vypadalo se zlomkem? Jsou větší než 1 nebo menší než 1? Z náčrtku zlomku je vidět, že jsme nevybarvili ani jeden celý celek : Zlomek je tedy menší než 1. Kdy je zlomek menší než jedna a kdy je větší než jedna? Menší než jedna jsou zlomky, jejichž čitatel je menší než jmenovatel. Větší než jedna jsou zlomky, jejichž čitatel je větší než jmenovatel. Které ze zlomků jsou větší než 1? Smíšené číslo V příkladu, kde jsme měli rozdělit spravedlivě dvě jablka mezi dvě osoby, byl výsledek jeden a půl jablka. 10

ZLOMKY takovému zápisu říkáme smíšené číslo. 3 : 2 = 1 a je zbytek Podobně můžeme smíšeným číslem zapsat zlomky: čteme: dvě a dvě třetiny čteme: tři a tři čtvrtiny Kdy lze zlomek zapsat smíšeným číslem? Smíšeným číslem lze zapsat zlomek, který je větší než 1 a není roven celému číslu. nelze, je menší než 1 lze, je větší než 1 a není rovna celému číslu, nelze, zlomek je sice větší než 1, ale 8 : 2 je 4, tedy celé číslo = 4 Vyber zlomky větší než 1 a zapiš je smíšeným číslem: ZLOMEK JAKO PODÍL ČÍSEL CVIČENÍ 1. Vyber zlomky větší než jedna: 11

ZLOMKY 2. Vyber zlomky menší než jedna: 3. Zapiš zlomky desetinným číslem: 2,4 4. Zapiš zlomky jako smíšená čísla: 5. Zapiš smíšená čísla jako zlomky: 8 8 12

ZLOMKY 6. Vyber zlomky větší než jedna a zapiš je smíšeným číslem: 7. Smíšená čísla znázorni na číselné ose: 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ ZLOMKŮ Na následujícím obrázku je vidět, že všechny tři zlomky vyjadřují stejnou část celku: 13

ZLOMKY Najdi další zlomky rovné Všechny takové zlomky vznikly tak, že jsme vynásobili čitatele a jmenovatele stejným číslem. Tato úprava se nazývá rozšiřování zlomků. Např.: Hodnota zlomku se nezmění, vynásobíme-li čitatele i jmenovatele stejným číslem. Rozšiřte zlomky číslem čtyři: Co je to krácení zlomků? Při rozšiřování zlomků jsme čitatel i jmenovatel vynásobili stejným číslem. Nyní provedeme opačnou operaci. Čitatele i jmenovatele vydělíme stejným číslem, tedy jejich společným dělitelem. Hodnota zlomku se krácením nezmění. Zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou čísla nesoudělná, tj. zlomek, který nelze krátit, se nazývá zlomek v základním tvaru. např.: Upravte zlomek na základní tvar: Můžeme postupně krátit napřed třemi a pak pěti 14

ZLOMKY nebo čitatel i jmenovatel vydělit jejich největším společným dělitelem, tj. číslem patnáct. Uprav zlomky na základní tvar: ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ ZLOMKŮ CVIČENÍ 1. Rozšiřte zlomky: a) číslem tři b) číslem pět c) číslem šest a) b) c) 2. Uprav zlomky na základní tvar: 15

ZLOMKY 3. Uprav zlomky na základní tvar. Pokud je hodnota zlomku větší než 1, převeď na smíšené číslo: DESETINNÉ ZLOMKY Které zlomky jsou desetinné? Desetinné zlomky jsou zlomky, které mají ve jmenovateli některé z čísel 10, 100, 1000, 10 000, 100 000... např.: U desetinných zlomků bude jednoduchý převod na desetinná čísla. Uplatníme znalosti o dělení čísly 10, 100, 1000... Zapiš zlomek desetinným číslem a toto číslo přečti: Jak zapsat desetinné číslo zlomkem? Každé desetinné číslo lze zapsat desetinným zlomkem. Někdy jej lze poté krácením upravit na zlomek v základním tvaru, tj. na zlomek s jiným jmenovatelem. 16

ZLOMKY Jak převést zlomek na desetinný zlomek? Využijeme, co jsme se naučili o rozšiřování zlomků. Daný zlomek rozšíříme vhodným číslem tak, abychom v novém jmenovateli dostali požadované číslo 10, 100, 1000... např.: Je možné převést každý zlomek na zlomek desetinný? Co například? Tento zlomek se nám nepodaří rozšířit na desetinný. Proč tomu tak je? Jmenovatel, tedy číslo tři, není dělitelem čísel 10, 100, 1000... Některé zlomky tedy není možné zapsat desetinnými zlomky. Všimněme si, že zlomky, které šlo převést na desetinné zlomky, šlo následně zapsat desetinným číslem. Co se stane tedy se zlomkem, který se nedá na desetinný zlomek převést? Takový zlomek zapíšeme pouze periodickým číslem. Závěr: Zlomky, které nelze převést na desetinné zlomky, lze převést na periodické číslo. Pokus se uvést další případy zlomků, které nepůjde převést na desetinné zlomky. Převeď zlomky na desetinné zlomky: 17

ZLOMKY DESETINNÉ ZLOMKY CVIČENÍ 1. Zapište zlomky desetinnými čísly 2. Zapište desetinná čísla desetinnými zlomky: 0,2 = 1,32 = 1,17 = 0,45 = 47,8 = 7,7 = 3,9 = 0,126 = 12,87 = 1,05 = 0,2 = 1,32 = 1,17 = 0,45 = 47,8 = 7,7 = 3,9 = 0,126 = 12,87 = 1,05 = 3. Zapiš desetinná čísla desetinným zlomkem. Zlomek uprav na základní tvar. 0,5 = 0,2 = 0,125 = 0,75 = 1,5 = 2,5 = 32,8 = 1,04 = 5,24 = 0,0802 = 0,5 = 0,2 = 0,125 = 0,75 = 1,5 = 2,5 = 32,8 = 1,04 = 5,24 = 0,0802 = 4. Zapiš periodickým číslem zlomky: 18

ZLOMKY SČÍTÁNÍ ZLOMKŮ Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli Zlomky se stejnými jmenovateli sečteme tak, že sečteme jejich čitatele a tento součet pak lomíme původním jmenovatelem. Sečti zlomky, pokud je výsledný zlomek větší než 1, vyjádři výsledek smíšeným číslem: 19

ZLOMKY Sčítání zlomků s různými jmenovateli Jak sečteme zlomky s různými jmenovateli? Pokusme se úlohu opět převést na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Převedeme zlomky na stejného jmenovatele, tzn. vhodně jmenovatele všech sčítanců rozšíříme na jejich nejmenší násobek. Převedení zlomků na stejného jmenovatele. Nejmenším společným násobkem jmenovatelů 2 a 3 je číslo 6. První zlomek rozšíříme třemi a druhý dvěma. Zlomky pak mají stejné jmenovatele a ty již umíme sečíst. teď zapíšeme úsporněji. Místo: Případně píšeme se společnou zlomkovou čárou. ZÁPORNÉ ZLOMKY Záporný zlomek budeme považovat za záporné číslo (víme, že hodnota zlomku je ), které je opačné ke kladnému číslu. 20

ZLOMKY V některých příkladech bude výhodné pracovat se zápornými čitateli nebo zápornými jmenovateli: Při těchto úvahách vycházíme z toho, co již víme o dělení celých čísel a že zlomek je vlastně naznačené dělení: Při rozšiřování i krácení záporných zlomků platí stejná pravidla jako u zlomků kladných: ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ Odčítání zlomků se stejným jmenovatelem Odečtěte zlomky se stejnými jmenovateli: Zlomky se stejnými jmenovateli odečteme tak, že odečteme jejich čitatele. Ve jmenovateli zůstává původní jmenovatel. Odčítání zlomků s různým jmenovatelem Jak odečteme zlomky s různými jmenovateli? 21

ZLOMKY Pokusme se úlohu opět převést na odčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Převedeme zlomky na stejného jmenovatele, tj. vhodně je rozšíříme na nejmenší násobek jmenovatelů. zapíšeme úsporněji společnou zlomkovou čárou: SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ CVIČENÍ 1. Sečtěte zlomky, upravte na základní tvar a je-li zlomek větší než 1, převeďte na smíšené číslo: 22

ZLOMKY 2. Sečtěte zlomky s různými jmenovateli: 3. Sečtěte zlomky: 23

ZLOMKY 4. Odečtěte zlomky se stejným jmenovatelem: 5. 0dečtěte zlomky s různými jmenovateli: 6. Odečtěte zlomky: 24

ZLOMKY NÁSOBENÍ ZLOMKŮ Násobení zlomku přirozeným číslem Víme už, jaký význam má a čemu se rovná součin přirozeného čísla a zlomku. Jde vlastně o opakované sčítání. Zlomek vynásobíme přirozeným číslem tak, že tímto číslem vynásobíme čitatele zlomku a jmenovatele ponecháme beze změny. Vynásob, uprav zlomek na základní tvar a na smíšené číslo: 7 Násobení zlomku zlomkem Víme už, jaký význam má součin. Znamená jednu polovinu ze 3 celků. Podobně můžeme odvodit výpočet součinu. Součin představuje polovinu z jedné šestiny. 25

ZLOMKY celek Vidíme, že jedna polovina z jedné šestiny se rovná jedné dvanáctině: Vynásob zlomky Chceme tedy určit tři osminy ze dvou pětin Zlomek vynásobíme zlomkem tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Vynásob zlomky: 26

ZLOMKY NÁSOBENÍ ZLOMKU PŘIROZENÝM ČÍSLEM A NÁSOBENÍ ZLOMKU ZLOMKEM CVIČENÍ 1. Vynásob zlomky přirozeným číslem: 2. Vynásob zlomky mezi sebou: 27

ZLOMKY 3. Vynásob zlomky: DĚLENÍ ZLOMKŮ Dělení zlomku přirozeným číslem Jak dělíme zlomek přirozeným číslem? Zlomek dělíme přirozeným číslem tak, že tímto číslem vynásobíme jmenovatele zlomku a čitatele ponecháme beze změny. Vypočítej: Dělení přirozeného čísla zlomkem Při dělení přirozeným číslem provádíme vlastně spravedlivé rozdělování nějakého množství na několik stejně velkých částí. Pro dělení přirozeného čísla zlomkem si pomůžeme následující úvahou: 28

ZLOMKY Rozdělíme-li spravedlivě 10 třešní mezi dvě dívky, dostane každá z nich stejně třešní, jako kdybychom dělili trojnásobný počet třešní mezi trojnásobný počet dívek. Toto zjištění odpovídá tomu, že oba podíly zapsané zlomky číslo. Druhý zlomek je jen původní zlomek rozšířený číslem 3. vyjadřují totéž Podobně určíme podíl. Místo toho, abychom číslo 7 dělili na tři poloviny dílů, budeme dělit dvojnásobný počet celků na dvojnásobný počet dílů, tedy na celé tři díly: Pro dělení přirozeného čísla c zlomkem tedy platí pravidlo: Tedy Říkáme, že zlomek je převrácený zlomek ke zlomku. Dělit číslo zlomkem znamená vynásobit toto číslo zlomkem převráceným. Dělení zlomku zlomkem Vypočtěte Budeme postupovat jako při dělení přirozeného čísla zlomkem. Místo abychom rozdělovali celku na dílů, rozdělíme trojnásobek tohoto množství na trojnásobek dílů Dělit jeden zlomek druhým zlomkem znamená, vynásobit první zlomek zlomkem převráceným ke druhému zlomku. 29

ZLOMKY Pro dělení dvou zlomků tedy platí pravidlo: Vyděl zlomek zlomkem: DĚLENÍ ZLOMKU PŘIROZENÝM ČÍSLEM A DĚLENÍ ZLOMKU ZLOMKEM CVIČENÍ 1. Vyděl zlomky přirozeným číslem: 2. Vyděl zlomky mezi sebou: 30

ZLOMKY 3. Vydělte zlomky: 31

MOCNINY MOCNINY A MNOHOČLENY Kapitola má tři části: 3.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem 3.2 Mnohočleny 3.3 Mocniny s celočíselným mocnitelem V první kapitole o mocninách se dozvíme, co je mocnina s přirozeným mocnitelem a jaká početní pravidla pro ni platí. Druhá kapitola Mnohočleny má tři části: Výrazy, Početní operace s mnohočleny a Rozklad mnohočlenů. V první části kapitoly se seznámíme s výrazy, tj. kde se s nimi můžeme setkat a jak je upravíme. Druhá část je zaměřena na mnohočleny a počítání s nimi. Ukážeme si, jak lze mnohočleny sčítat, odčítat, dělit a násobit. V poslední části kapitoly bude vysvětleno, jakými způsoby lze mnohočleny rozkládat na součin. Ve třetí kapitole pojem mocnina zobecníme a budeme se věnovat mocninám s celočíselným mocnitelem. V každé části je vždy uveden učební te t, ve kterém jsou začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test s příklady výpočtů mocnin. 3.1 MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM Členění této kapitoly: Mocniny s přirozeným mocnitelem Cvičení Test V matematice se setkáváme se složitými výpočty, proto se matematikové snaží zapisovat své výsledky a výpočty efektivně tak, aby byly stručné a přehledné. Místo zdlouhavého zápisu 3 + 3 + 3 + 3 + 3 můžeme použít jednodušší zápis. Součin lze nahradit zápisem 3 5, tedy zápisem pomocí mocniny. Definice mocniny s přirozeným mocnitelem: Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n platí: a n = n-krát Výraz a n nazýváme mocnina, a je základ mocniny (mocněnec), n je mocnitel (exponent). Z uvedené definice dále vyplývá, že: 1. Pro každé reálné číslo a platí a 1 = a, a : a 1 = a, 2. pro každé přirozené číslo n platí 1 n = 1 a 0 n = 0, n : 1 n = 1 0 n = 0 32

MOCNINY Vypočítej: a) 2 3 2 3 = = 8 b) 3 4 3 4 = = 81 c) 7 1 7 1 = 7 d) 0 5 0 5 = = 0 e) 1 6 1 6 = = 1 Kdy je mocnina reálného čísla s přirozeným mocnitelem kladné a kdy záporné číslo: Je-li základ mocniny kladné reálné číslo (a ), tak je mocnina vždy kladná, což vidíme přímo z definice, neboť součin kladných čísel je kladné číslo. Je-li základ mocniny záporné reálné číslo (a 0), tak mohou nastat dva případy. Je-li mocnitel sudé číslo, pak je mocnina číslo kladné, neboť součin sudého počtu záporných čísel je číslo kladné. Je-li však mocnitel liché číslo, pak mocnina je číslo záporné, neboť součin lichého počtu záporných čísel je číslo záporné. Je-li základ mocniny číslo nula, pak mocnina je rovna nule. a a n 0 2 5 = 32 a 0 a n 0 pro n sudé (-2) 2 = 4 a n 0 pro n liché (-2) 3 = -8 a = 0 a n = 0 0 5 = 0 Poznámka: Pro každé reálné nenulové číslo a platí a 0 = 1. Rozhodni, je-li mocnina čísla a číslo kladné: a) 20 12 Ano, protože a 33

MOCNINY b) (-6) 3 Ne, protože a 0 a n je liché c) Ano, protože a d) 4 Ano, protože a 0 a n je sudé e) 9 Ne, protože a 0 a n je liché Poznámka: Pozor na rozdíl mezi zápisem (-2) 4 a -2 4. V prvním případě je mocněnec a = -2, tj. a 0 a zároveň n je sudé, proto je podle tabulky tato mocnina číslo kladné. Zápis (-2) 4 představuje součin: (-2) 4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16 nebo (-2) 4 = (-1 2) 4 = (-1) 4 2 4 = 1 16 = 16 Ve druhém případě se jedná o výraz: -2 4 = (-1) 2 4 = -1 16 = -16, výsledek je číslo záporné. Pro řešení složitějších příkladů, si uvedeme věty pro počítání s mocninami, které lze odvodit z definice mocniny. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá přirozená čísla r, s platí: 1. 2. 3. 4. 5. 34

MOCNINY Vypočítej: a) 3 3 3 2 3 3 3 2 = 3 3 + 2 = 3 5 = 243 b) = 2 3 2 = 2 6 = 64 c) = 8 7 5 = 8 2 = 64 3 d) (2 (2 3 = 2 3 3 3 = 8 27 = 216 nebo (2 3 = 6 3 = 216 e) = = Kdy a jak sčítáme nebo odčítáme mocniny? Sčítat a odčítat můžeme jen mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele. k a n j a n = (k j) a n Vypočítej: a) 2 2 + 4 2 2 2 2 + 4 2 2 = 1 2 2 + 4 2 2 = 5 2 2 = 5 4 = 20 b) 3 5 3-6 5 3 + 4 5 3 3 5 3-6 5 3 + 4 5 3 = 1 5 3 = 125 c) 2 3 + 2 2 + 3 2 3 2 3 + 2 2 + 3 2 3 = 4 2 3 + 2 2 = 4 8 + 4 = 32 + 4 = 36 35

MOCNINY MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM CVIČENÍ 1. Vypočítej: 1 12, (-5) 3, 2 5,, -,, (-10) 5, (-1) 9, - 6 3, 0 4 1, -125, 32, -, -,, - 100 000, - 1, - 216, 0 2. Rozhodni, zda je mocnina číslo kladné nebo záporné: a) 7 3 b) (-2) 3 c) d) - e) (- 5) 4 f) g) (-2 5) 3 a) kladné b) záporné c) kladné d) záporné e) kladné f) kladné g) záporné 3. Přiřaď: a) b) 3 4 3 2 c) d) (15) 4 e) f) g) (0,3) 2 h) 1) 3 1 2) 3) 3 4 4) 0,09 5) 3 6 6) 3 8 7) 8) 3 4 5 4 1c, 2e, 3f, 4g, 5b, 6a, 7h, 8d 4. Vypočítej: a) = = 2 2 = 4 b) = = 3 2 = 6 c) 36

MOCNINY = = 3 2 = - 12 d) = = = = 1 e) = = = 5. Vypočítej: a) 8 2 3 + 4 2 4-2 2 3-5 2 4 = 8 2 3 + 4 2 4-2 2 3-5 2 4 = 6 2 3-2 4 = 48-16 = 32 b) 9 2 2 + 2 4-6 2 2 2 3 + 5 2 4 = 9 2 2 + 2 4-6 2 2 2 3 + 5 2 4 = 3 2 2-2 3 + 6 2 4 = 12 8 + 96 = 100 c) 3 2 + 2 2.3 2-5 2 2 2 2 + 3 2 2 = 3 2 + 2 2.3 2-5 2 2 2 2 + 3 2 2 = -3 2 2 + 5 3 2 = -12 + 45 = 33 d) = = = 6. Dané výrazy vyjádři pomocí mocnin o základu 2, 3 nebo 5: a) = 37

MOCNINY = = = 3 b) : : 2 2 3 7 c) 2 7 = 2 7 = 2 7 = 2 7 = 2 3 2 5 2 d) : : = 2 3 0 5 0 = 2 7. Vypočítej: a) = = = b) : = : = = 38

MOCNINY c) = = = 8. Vypočítej za předpokladu, že x, y, z a a, b, c a) b) c) d) 39

MNOHOČLENY 3.2 MNOHOČLENY Členění této kapitoly: Výrazy Mnohočleny Rozklad mnohočlenů Cvičení Test Dříve než se budeme podrobně věnovat počítání s mnohočleny, zopakujeme si, co již víme o výrazech s proměnnými. VÝRAZY S výrazy jste se v matematice již setkali, jsou to např. zápisy typu:,,, Algebraický výraz je matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimi jsou pomocí algebraických operátorů (např. pro sčítání, násobení ) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy. Pojmem proměnná označujeme libovolné písmeno (např. a, b,, y... ), které zastupuje čísla z určitého číselného oboru. Číselná hodnota proměnné se mění podle toho, jaké číslo za ni dosadíme. Pojmem konstanta označujeme konkrétní číslo (např. 2, se nemění, zůstává stejná konstantní., π... ). Hodnota konstanty U výrazů určujeme: Definiční obor proměnné to jsou všechna taková čísla, pro které má daný výraz smysl. Většinou zapisujeme podmínky, kdy má daný výraz smysl. Například: pro výraz musí platit podmínka pro musí platit podmínka Hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných získáme dosazením hodnot z definičního oboru za všechny proměnné a provedení veškerých operací. Např. Hodnota výrazu pro a = 1, b = 2 je = Pro lepší pochopení uvedených pojmů se podíváme na výraz, pomocí něhož vypočítáme povrch koule. Jedná se o výraz, kde konstantami jsou čísla 4 a (jejich hodnota je stále stejná, konstantní). Proměnnou je v tomto případě písmeno, vyjadřující poloměr dané koule (hodnota poloměru se pro různé koule mění, proměňuje se s ní i povrch koule). 40

MNOHOČLENY Jaký je definiční obor proměnné pro výraz? Díváme-li se na tento výraz jako na návod pro výpočet povrchu koule, tak obor proměnné je tvořen všemi kladnými čísly. Povrch koule, tedy proměnná, nemůže nabývat záporných hodnot ani nuly. Jestliže však výraz chápeme obecněji, jako určitý výraz se dvěma konstantami a jednou proměnou, pak do oboru proměnné zahrnujeme všechna reálná čísla. Pozn. Řecké písmeno jsme označili za konstantu. Jak již víme z kapitoly o číselných oborech, písmeno je iracionální Ludolfovo číslo, jako číslo jej pro jeho nekonečný desetinný neperiodický rozvoj nelze zapsat (jeho přibližná hodnota je 3,14). Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: a) Výraz má smysl pro všechna taková, že Pro by nastala nepřípustná operace dělení nulou. Tedy. b) Aby měl výraz smysl, musí zároveň platit:. První podmínku lze přepsat jako, druhou jako, tj.. První podmínka zaručuje, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhá podmínka vylučuje dělení nulou. Tedy. c) Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit: 1., tj.. Tato podmínka platí pro všechna, protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule. 2., tj., tedy. První podmínka nám zaručí, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhou podmínkou vyloučíme, že nebudeme dělit nulou. Tedy. 41

MNOHOČLENY Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných: a), pro = = = -2 b), pro = 30 = = = = 3 10 = c), pro d), pro výraz není definován Pro zvolenou hodnotu proměnné výraz nemá smysl. Po dosazení nastává nepřípustná operace dělení nulou. ve jmenovateli Výraz často nahrazuje zdlouhavý slovní popis. Např. Podíl pětinásobku rozdílu dvou reálných čísel a druhé odmocniny z jejich rozdílu jednoduše zapíšeme jako. Zapiš jako výraz s proměnnými: a) součet pětinásobku druhé mocniny prvního čísla a čtvrtiny absolutní hodnoty druhého čísla 42

MNOHOČLENY b) rozdíl druhé odmocniny trojnásobku prvního čísla a druhé mocniny šestinásobku druhého čísla pětinásobku prvního čísla a třetiny druhé odmocniny druhého čísla d) podíl třetí mocniny prvního čísla a absolutní hodnoty čtyřnásobku druhého čísla VÝRAZY CVIČENÍ 1. Urči, pro které hodnoty jednotlivých reálných proměnných má daný výraz smysl: a) + b) c) ; tj. ; tj.. 43

MNOHOČLENY d) 2. Urči, zda má výraz pro dané hodnoty proměnných smysl: a), ne b), ano c), ne d), ano 3. Napiš jako výraz se zvolenými proměnnými a) rozdíl dvojnásobku absolutní hodnoty prvního čísla a dvojnásobku druhé odmocniny druhého čísla b) součet čtvrté mocniny prvního čísla a čtvrtiny třetí mocniny dvojnásobku druhého čísla 44

MNOHOČLENY c) součin čtvrtiny absolutní hodnoty prvního čísla a druhé odmocniny druhého čísla d) podíl druhé odmocniny sedminásobku prvního čísla a trojnásobku absolutní hodnoty druhého čísla e) třetí mocnina podílu šestinásobku druhé mocniny prvního čísla a druhé odmocniny z druhého čísla f) třetí odmocnina z podílu druhé mocniny prvního čísla a druhé odmocniny z trojnásobku druhého čísla g) třetí mocnina podílu druhé odmocniny ze součtu dvou čísel a součtu druhých odmocnin těchto dvou čísel POČETNÍ OPERACE S MNOHOČLENY Nechť je n přirozené číslo nebo nula, jsou reálná čísla a je reálná proměnná. Pak mnohočlen (polynom) -tého stupně s jednou proměnnou je výraz, který můžeme zapsat jako 45

MNOHOČLENY, kde. Čísla se nazývají koeficienty mnohočlenu, sčítanci pro se nazývají členy mnohočlenu. Pro některé členy mnohočlenu máme speciální pojmenování. Člen se nazývá absolutní člen mnohočlenu. Člen se nazývá lineární člen a člen se nazývá kvadratický člen mnohočlenu. lineární člen - koeficienty - proměnná kvadratický člen absolutní člen Stupeň mnohočlenu odpovídá nejvyššímu e ponentu proměnné v mnohočlenu. Mnohočlen 1. stupně (tj. výraz, také lze zapsat jako ) se nazývá lineární. Mnohočlen 2. stupně (tj. výraz, také lze zapsat jako ) se nazývá kvadratický. Mnohočlen nultého stupně je každé reálné číslo různé od nuly. Číslo nula nazýváme nulový mnohočlen, jeho stupeň nedefinujeme. Mnohočlen s jedním členem označujeme jako jednočlen, se dvěma členy jako dvojčlen, se třemi členy jako trojčlen, atd. Např.: Například je kvadratický mnohočlen, tj. mnohočlen 2. stupně, s proměnnou. Jedná se o trojčlen. Koeficient u kvadratického členu je 1, koeficient u lineárního členu je -3 a absolutní člen je roven 8. Mnohočleny mohou mít i více proměnných. Jako příklad mnohočlenu se dvěma proměnnými lze uvést výrazy nebo apod. em mnohočlenu se třemi proměnnými je výraz. Sčítání mnohočlenů Součet dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že sečteme jednotlivé koeficienty u odpovídajících si členů těchto mnohočlenů (přičemž některé koeficienty mohou být rovny nule). Poznámka. Odpovídající si členy mnohočlenů jsou takové členy, které mají tytéž proměnné se stejnými mocniteli. Vypočítej: a) 46

MNOHOČLENY = = b) = Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky. Např. opačným mnohočlenem k mnohočlenu je mnohočlen. Rozdíl dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že určíme součet prvního mnohočlenu a opačného mnohočlenu k druhému mnohočlenu. Vypočítej: a) = = b) Praktický výpočet provádíme tak, že odstraníme závorky : Součin dvou mnohočlenů vypočítáme tak, že každý člen prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a všechny tyto součiny sečteme. Vypočítej: a) = = = = 47

MNOHOČLENY b) = = = = Počítáme-li součet, rozdíl nebo součin tří a více mnohočlenů, postupujeme obdobně. Součtem, rozdílem a součinem libovolných mnohočlenů je vždy mnohočlen. Pokud umíme mnohočleny násobit, můžeme vypočítat i jejich -tou mocninu pro všechna. Druhou a třetí mocninu dvojčlenu můžeme také určit podle následujících vzorců: Pro všechna platí: Poznámka. Je výhodné si tyto vzorce zapamatovat, neboť jejich použití usnadní mnohé výpočty, což dokládá následující příklad. Vypočítej: a) = = Jiný způsob řešení = = = Dělení mnohočlenů Podíl mnohočlenu a jednočlenu vypočítáme tak, že jednočlenem vydělíme každý člen mnohočlenu a jednotlivé podíly pak sečteme. Vypočítej za předpokladu, že : = = Výsledek dělení mnohočlenu mnohočlenem nemusí být vždy mnohočlen. 48

MNOHOČLENY Je-li podílem mnohočlenů mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů beze zbytku (viz předchozí příklad). Jestliže podílem mnohočlenů není mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů se zbytkem (viz následující příklad). Vzniklý výraz si můžeme rozdělit na dvě části. První část tvoří výraz, který je mnohočlenem, tzv. neúplný podíl. Druhou částí je výraz, který není mnohočlenem, označujeme jej jako zbytek. Připomeňme si dělení beze zbytku a se zbytkem na dělení čísel: - výpočet je ukázkou dělení čísel beze zbytku - výpočet dělení čísel se zbytkem Vypočítej za předpokladu, že : a) = = = = Mnohočlen je neúplný podíl. Výraz je zbytek. b) = = = Mnohočlen je neúplný podíl. Výraz je zbytek. Mocnina u proměnné v každém členu mnohočlenu může nabývat pouze libovolných nezáporných hodnot. V tomto členu je však rovna -1, jelikož, proto tento výraz není mnohočlenem. Jak vypočítáme podíl mnohočlenů? Omezíme se jen na případy mnohočlenů s jednou proměnnou. Budeme dělit jen takovým mnohočlenem (dělitelem), jehož stupeň nebude větší než stupeň děleného mnohočlenu (dělence). 1. Členy obou mnohočlenů (dělence i dělitele) si uspořádáme sestupně (tj. na prvním místě bude člen s proměnnou s nejvyšším e ponentem). 2. První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele, výsledek je prvním členem podílu mnohočlenů. 3. Pak tímto dílčím výsledkem vynásobíme všechny členy dělitele a tento výraz odečteme od dělence. 4. Tím dostaneme nový mnohočlen. Pokud je tento nový mnohočlen vyššího nebo stejného stupně jako dělitel, zopakujeme celý postup. 49

MNOHOČLENY 5. Takto pokračujeme dál, dokud nedostaneme mnohočlen nižšího stupně než je dělitel nebo nulu. Vypočítej a stanov podmínky: a) : 1. 2. 3. 4. Celý příklad zapíšeme následovně: 0 V tomto případě se tedy jedná o dělení beze zbytku. Zkouškou pak můžeme ověřit správnost výsledku. Podmínka řešitelnosti bude, tj. : b) : 50

MNOHOČLENY V tomto případě je mnohočlen neúplný podíl, výraz je zbytek. Pro všechna, pro které je, tj. pro jakékoliv, platí: neboli c) : ) 0 V tomto případě se jedná o dělení beze zbytku. Výsledkem je mnohočlen. Pro všechna, pro které je,tj.,, platí: POČETNÍ OPERACE S MNOHOČLENY CVIČENÍ 1. Rozhodni, jsou-li následující tvrzení o mnohočlenu pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen třetího stupně. ANO b) Jedná se o trojčlen. NE c) Absolutní člen je roven 0. NE d) Koeficient u kvadratického členu je roven 3. ANO e) Koeficient u lineárního členu je roven 1. 51

MNOHOČLENY NE 2. Rozhodni, jsou-li následující tvrzení o mnohočlenu pravdivá: a) Jedná se o mnohočlen čtvrtého stupně. NE b) Jedná se o pětičlen. ANO c) Absolutní člen je roven 7. NE d) Koeficient u kvadratického členu je roven -1. ANO e) Koeficient u lineárního členu je roven -3. NE 3. Vypočítej: a) b) c) 52

MNOHOČLENY d) 4. Vypočítej: a) b) c) d) e) 53

MNOHOČLENY 5. Vypočítej a stanov podmínky, za kterých má dělení mnohočlenů smysl: a) b). c). : 0 d) : ) e) 54

MNOHOČLENY : ) 2 6. Vypočítej: a) b) c) d) 55

MNOHOČLENY 7. Vypočítej: a) b) c) 56

MNOHOČLENY ROZKLAD MNOHOČLENŮ Rozkladem mnohočlenu na součin dostaneme místo původního mnohočlenu jeho vyjádření jako součin několika, zpravidla již dále nerozložitelných, mnohočlenů. Takto přepsaný mnohočlen do součinu nám usnadní krácení ve zlomcích, řešení rovnic a nerovnic, určování podmínek řešitelnosti atd. E istuje několik způsobů rozkladu mnohočlenu. Lze použít vytýkání, vzorce pro n-tou mocninu mnohočlenu nebo rozklad kvadratického trojčlenu. 1. Vytknutím Určíme největšího společného dělitele všech členů a vytkneme ho. Rozlož mnohočlen vhodným vytknutím před závorku: a) = ) (společným dělitelem všech členů je číslo 2) b) 3 = (společným dělitelem všech členů je výraz ) c) = (společným dělitelem všech členů je výraz ) d) = = (Společným dělitelem prvního a druhého členu je výraz, společným dělitelem třetího a čtvrtého členu je číslo 3. V druhém kroku je společným dělitelem prvního a druhého členu výraz.) 2. Rozklad pomocí vzorce Většinou používáme následující vzorce (s některými už jsme se setkali u součinu mnohočlenů): Pro všechna platí: 57

MNOHOČLENY Poznámka: Vzorec můžeme přepsat jako abychom dodrželi přesné znění definice rozkladu mnohočlenu na součin. Pro větší přehlednost ale budeme i v dalším te tu používat zkrácený zápis, tedy S využitím vzorců rozlož mnohočlen: a) = b) = c) = d) = 3. Rozklad kvadratického trojčlenu Chceme-li rozložit kvadratický trojčlen, kde proměnná, a koeficienty, na součin dvou lineárních dvojčlenů a, kde. Ne vždy taková čísla e istují. Pokud však e istují, tak pro ně musí platit: To znamená, že a také Z těchto dvou podmínek určíme čísla (pokud ovšem existují). Pozn. Uvedené vztahy platí i v případě, že p, q, r, s jsou reálná čísla. Nejde však o univerzální metodu. Nedostatek metody zjistíme i při malých hodnotách koeficientů p, q. Např. 58

MNOHOČLENY Z těchto dvou podmínek neurčíme celočíselná čísla celočíselných činitelů rozložit jediným způsobem:, neboť číslo -1 lze na součin, avšak. Rozlož kvadratický trojčlen na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty: a) Pokud existují taková, že, tak pro ně musí platit, že. Pro splnění druhé podmínky, přichází v úvahu tyto možnosti:. První podmínce vyhovuje možnost, tj.. Výsledek je tedy:. b) Hledáme čísla taková, že. Druhé podmínce i první podmínce vyhovuje dvojice čísel. Výsledek je tedy:. c) Hledáme čísla taková, že. Druhé podmínce i první podmínce vyhovuje dvojice čísel. Výsledek je tedy:. d) Hledáme čísla taková, že. Druhé podmínce i první podmínce vyhovuje dvojice čísel. Výsledek je tedy:. ROZKLAD MNOHOČLENŮ NA SOUČIN CVIČENÍ V následujících cvičeních vždy předpokládáme, že proměnné jsou z oboru reálných čísel. 59

MNOHOČLENY 1. Přiřaď odpovídající si výrazy: a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) 2. Rozlož mnohočlen vytknutím: a) = b) c) d) = = = = = 3. Rozlož mnohočlen s využitím vzorců na součin: a) = b) 60

MNOHOČLENY = c) = d) = e) = 4. Rozlož kvadratický trojčlen na součin: a) = b) = c) d) = = 5. Rozlož kvadratický trojčlen na součin: a) = = b) = = = c) 61

MNOHOČLENY d) = = = = 62

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM 3.3 MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM Mocniny s celým mocnitelem Cvičení Test V předcházející části jsme se zabývali mocninami s přirozeným mocnitelem, a pravidly pro počítání s mocninami. V této kapitole si vysvětlíme, co je mocnina s celým záporným mocnitelem a jak se s takovými mocninami s celými e ponenty počítá. Stejně jako pro přirozené mocnitele budou i nyní platit pravidla pro počítání s mocninami. Ve třetí větě je pro mocnitele připojena další podmínka. Při zavedení této mocniny budeme chtít, aby platila pravidla pro počítání s mocninami s exponentem z, zejména věta o dělení mocnin se stejným základem. Jaký význam má např. zápis? Uprav zlomek dle pravidla Platí však také odtud Proto definujeme: Pro každé nenulové reálné číslo a a pro každé celé číslo k platí. Podle uvedené definice můžeme napsat následující rovnost:, přičemž r s je záporné celé číslo. Vidíme, že věta platí i v případě, že r s. 63

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM Uprav tedy Vypočítej: a) 4 0 4 0 = 1 b) 10-2 10-2 = = = 0,01 c) 3-3 3-3 = = 64

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM d) = = = 1 000 000 1. Připomeňme si všechny pravidla pro počítání a mocninami. Pro každá dvě reálná čísla a, b a pro každá celá čísla r, s platí: 2. 2-2 2-3 = 2-5 3. 4. 5. Vypočítej za předpokladu, že x, y, z jsou nenulová reálná čísla a výsledek zapiš jen pomocí mocnin s kladnými mocniteli: a) 65

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM = = b) = c) = Při zápisu velkých, nebo naopak příliš malých čísel, se v matematice a dalších přírodních vědách používá zkrácený zápis pomocí n-té mocniny deseti: a 10 n, kde, n. Exponent n odpovídá řádu první platné číslici zapisovaného čísla. Takový zápis se nazývá semilogaritmický. Semilogaritmický tvar je používán, protože je přehlednější a kratší pro zápis. Např.: číslo 38 000 000 zapíšeme jako 3,8 10 7 číslo 0,004 zapíšeme jako 4 10-3 Zapiš čísla v semilogaritmickém tvaru a 10 n, kde 1 10, : a) 24 000 24 000 = 2,4 10 4 b) 534 534 = 5,34 10 2 c) 0,000 005 0,000 005 = 5 10-6 d) 0,024 6 0,024 6 = 2,46 10-2 66

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM Vypočítej a výsledek zapiš v semilogaritmickém tvaru a 10 n, kde 1 10, : MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM CVIČENÍ 1. Přiřaď v tabulce odpovídající si hodnoty: 1 a) b) c) d) e) - f) g) 67

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM 1 a) b) c) d) e) - f) g) 2. Zapiš jako mocninu jediného čísla x n (x n ) a) 2-3 2 6 2-3 2 6 = 2 3 b) = 3-6 c) = d) e) f) = 68

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM g) = 3. Vypočítej: a) b) + 2-1 3 0 + 2-1 3 0 c) d) 4. Zjednoduš následující výrazy za předpokladu, že a, b, c, d : a) 69

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM b) c) d) e) f) 5. Zapiš čísla v semilogaritmickém tvaru a 10 n, kde 1 10, n čísla: a) 1 540 000 : 1 540 000 = 1,54 10 6 b) 35,2 : 35,2 = 3,52 10 70

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM c) 4 000 : 4 000 = 4 10 3 d) 0,000 7 : 0,000 7 = 7 10-4 e) 0,000 023 : 0,000 023 = 2,3 10-5 f) 0,068 : 0,068 = 6,8 10-2 6. Daná čísla nejdříve zapiš v semilogaritmickém tvaru a 10 n, kde 1 10, n, výsledek vyjádři jako desetinné číslo: a) : b) : c) : 71

MOCNINY S CELOČÍSELNÝM MOCNITELEM 7. Vypočítej za předpokladu, že x, y, z a a, b, c : a) : b) : c) : 8. Vypočítej: a) : b) : 72

ROVNICE 4. ROVNICE Kapitola Rovnice má následující části: Základní pojmy, Ekvivalentní úpravy, Lineární rovnice a Kvadratické rovnice. V každé části kapitoly je vždy nejdříve uveden učební te t, ve kterém jsou ukázky vzorově vyřešených příkladů. Na učební te t pak navazují interaktivní cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test. Členění kapitoly: Základní pojmy Ekvivalentní úpravy Počet řešení Lineární rovnice Kvadratické rovnice Souhrnné cvičení Test ZÁKLADNÍ POJMY Připomeňme si, jaký je rozdíl mezi rovností a rovnicí. Zápisy s čísly, jako např. výrazy nazýváme rovnostmi. nebo s číselnými Znak rovná se odděluje levou a pravou stranu rovnosti. Pokud čísla nebo číselné výrazy na levé i pravé straně mají skutečně stejnou hodnotu, tzn. levá strana se rovná pravé straně, říkáme takové rovnosti platná rovnost. Pokud mají čísla nebo číselné výrazy na levé a pravé straně různou hodnotu a rovnost mezi nimi nenastane, mluvíme o tzv. neplatné rovnosti. Např. zapíšeme Co je to rovnice? Zápis nemůžeme nazvat rovností. Levá strana nemá určitou hodnotu, vyskytuje se v ní proměnná. Za tuto proměnnou, kterou v rovnici nazveme neznámou, můžeme dosazovat libovolná čísla. Nás však zajímá, pro která čísla po dosazení za tuto neznámou nastane platná rovnost. V našem příkladu to bude jedině číslo 2. Řešit rovnici znamená určit všechna čísla, která je možné dosadit za neznámou tak, aby se rovnice změnila v platnou rovnost. Každé takové číslo nazýváme kořenem nebo řešením rovnice. rovnice lze zapsat ve tvaru: nebo nebo, kde symbolem jsme označili množinu všech kořenů této rovnice. 73

ROVNICE EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY Při řešení rovnic používáme tzv. ekvivalentní úpravy rovnice, které se vyznačují tím, že po jejich provedení se nezmění množina kořenů rovnice. Smyslem ekvivalentních úprav je získat jednodušší tvar rovnice, ze kterého už můžeme množinu kořenů určit. Ekvivalentní úpravou se změní matematický zápis rovnice, nikoli však rovnost stran a množina jejich řešení. 1. Jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo, výraz ( jednočlen, mnohočlen ), množina kořenů rovnice se nezmění. Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 7. Jestliže jsme kořen (řešení) rovnice určili správně, po jeho dosazení za neznámou do levé i pravé strany zadání rovnice nastane rovnost. Říkáme, že provádíme zkoušku. 2. Jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo, výraz (jednočlen, mnohočlen ), množina kořenů rovnice se nezmění. Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 1. 3. Množina kořenů rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 1. 4. Množina kořenů rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice (každý člen) vynásobíme nenulovým číslem. 74

ROVNICE Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 2. 5. Množina kořenů rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice (každý člen) vydělíme nenulovým číslem. Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 4. O správnosti řešení rovnice se přesvědčíme zkouškou tak, že vypočtenou hodnotu neznámé dosadíme do levé strany a potom do pravé strany výchozí rovnice. Řešte v rovnici a o správnosti řešení se přesvědčte zkouškou. Po dosazení vypočtené hodnoty za do levé i pravé strany rovnice jsme v obou případech získali stejnou hodnotu, tzn. a tedy je řešením rovnice. Vyřeš rovnice pomocí ekvivalentních úprav: a) b) c) d) a) Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 8. b) 75

ROVNICE Rovnice má jediné řešení a tím je číslo desetinným číslem 0,25.. Výsledek můžeme zapsat i c) Rovnice má jediné řešení a tím je číslo 15. d) Protože číslo 6 je nejmenším násobkem čísel 2 a 3, které jsou ve jmenovatelích zlomků Rovnice má jediné řešení a tím je číslo desetinným číslem 4,8.. Výsledek můžeme zapsat i POČET ŘEŠENÍ ROVNICE Rovnici řešte: a) v b) v c) v Získali jsme tedy kořen zadané rovnice. a) V číselné množině má rovnice jedno řešení, protože číslo. b) V číselné množině má rovnice jedno řešení, protože číslo. c) V číselné množině nemá rovnice žádné řešení, protože číslo. Řešte v rovnici sečteme členy, které sečíst můžeme, tj. členy se stejným e ponentem převedeme proměnné na levou stranu rovnice a čísla na pravou stranu rovnice 76

ROVNICE Je zřejmé, že nedostaneme klasické jedno řešení lineární rovnice. Ukončíme úpravu daného typu rovnice a začneme zkoumat, jaké kořeny má tato poslední rovnice. Můžeme zkoušet za x dosazovat libovolná reálná čísla. Pokaždé zjistíme, že jejich vynásobení nulou způsobí, že se hodnota výrazu na levé straně bude rovnat nule. Pro každé reálné číslo x tedy dostaneme platnou rovnost, a proto je kořenem této rovnice každé. Rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení,. Řešte v rovnici V tomto kroku ukončíme úpravu daného typu rovnice a začneme zkoumat, jaké kořeny má získaná rovnice. Dosazujeme-li za x libovolná reálná čísla, pokaždé zjistíme, že jejich vynásobení nulou způsobí, že se hodnota výrazu na levé straně bude rovnat nule. Tedy Jakékoliv reálné číslo vynásobené nulou je nula, a tedy této rovnici nebude vyhovovat žádné číslo z. Proto rovnice typu, kde k je nenulová konstanta, nemají žádný kořen, tedy. Řešte v rovnici V zadání je ve jmenovateli výraz s proměnnou. Musíme určit, pro které hodnoty by výraz ve jmenovateli byl nulový a zlomek by pak neměl smysl. Pro levou stranu rovnice určíme podmínku řešení: Podmínku upravíme na. rovnice budeme hledat mezi všemi reálnými čísly kromě čísla 2:. 77

ROVNICE Nyní můžeme začít řešit rovnici. Roznásobíme členy levé i pravé strany jmenovatelem. Vypočítali jsme kořen nemá řešení.. Pro tuto hodnotu však rovnice nemá smysl. Rovnice tedy LINEÁRNÍ ROVNICE Lineární rovnice je taková rovnice, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav upravit na tvar Výrazu říkáme lineární člen, výrazu říkáme absolutní člen. Tomuto tvaru říkáme základní tvar lineární rovnice. Kde je neznámá a symboly jsou libovolná reálná čísla. Za podmínky, že, pak pomocí dvou ekvivalentních úprav zjistíme, že kořenem takovéto rovnice je právě jedno reálné číslo. Řešte rovnice: a) b) a) Dosadíme do rovnice, b) Dosadíme do rovnice Při řešení lineární rovnice použijeme ekvivalentní úpravy, tj. takové úpravy, které nezmění množinu kořenů rovnice, v tomto pořadí: odstraníme závorky a zlomky zjednodušíme obě strany rovnice osamostatníme neznámou na jedné straně Řešte rovnice v : a) b) c) 78

ROVNICE a) b) c) Řešte rovnice v : a) b) c) rovnice nemá řešení Abychom v rovnici odstranili zlomky, vynásobíme ji nejmenším společným násobkem čísel ve jmenovatelích všechny členy levé i pravé strany. a) b) c) 79

ROVNICE Řešte rovnice v : a) b) c) V zadání je ve jmenovateli výraz nebo výrazy s proměnnou. Musíme určit, pro které hodnoty by výraz ve jmenovateli byl nulový a zlomek by pak neměl smysl. Poté můžeme začít řešit rovnici. Roznásobíme členy levé i pravé strany jmenovatelem nebo nejmenším společným násobkem jmenovatelů. a) b) c) 80

ROVNICE KVADRATICKÉ ROVNICE Kvadratickým trojčlenem nazveme každý výraz ve tvaru, kde je proměnná, jsou koeficienty z oboru reálných čísel a. Člen nazveme kvadratický člen, lineární člen, c absolutní člen kvadratického trojčlenu. Číslo pak nazveme koeficientem kvadratického členu a číslo koeficientem lineárního členu. Kvadratickou rovnicí nazveme každou rovnici, která se dá ekvivalentními úpravami převést na tvar, kde je neznámá a jsou koeficienty z oboru reálných čísel a. Tento tvar kvadratické rovnice budeme dále v této práci nazývat základním tvarem kvadratické rovnice. Podmínka o nenulovosti koeficientu je nezbytná, neboť bychom jinak pracovali s lineárními rovnicemi. Kvadratická rovnice může mít dvě, jedno nebo žádné řešení. Zkusíme nejdříve jednodušší případy, kdy v kvadratické rovnici chybí lineární nebo absolutní člen, tj. kvadratická rovnice je neúplná. Neúplná kvadratické rovnice a) Neúplná kvadratická rovnice bez absolutního členu Najdi všechna řešení rovnice Z obou členů můžeme vytknout : Dostáváme rovnici v součinovém tvaru, musíme zjistit, kdy se činitelé levé strany rovnice rovnají nule: Tedy jsou dva kořeny kvadratické rovnice. zapíšeme např. takto. Najdi všechna řešení kvadratické rovnice: a) b) c) a) 81

ROVNICE jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např. takto. b) jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např. takto. c) jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např. takto. b) Neúplná kvadratická rovnice bez lineárního členu ryze kvadratická rovnice Najdi všechna řešení kvadratické rovnice Levou stranu rovnice můžeme rozložit na součin pomocí vzorce Tedy, rovnice je upravena na rovnici v součinovém tvaru a zbývá zjistit pro jaké hodnoty jsou výrazy v závorkách nulové. Odtud dostáváme dva kořeny ; Rovnici je také možno řešit odmocněním: hledáme taková čísla, která umocněním (na druhou) dají 9 Hledaná čísla jsou, protože platí Najdi všechna řešení kvadratické rovnice. Rovnici nyní nemůžeme rozložit na součin, protože dvojčlen nelze rozložit. Rovnici také můžeme upravit na tvar a hledáme čísla, která po umocnění na druhou dají 4. Protože pro každé reálné je číslo nezáporné, žádné takové číslo neexistuje, rovnice nemá řešení,. 82

ROVNICE Najdi všechna řešení kvadratické rovnice. jsou dva kořeny kvadratické rovnice, řešení zapíšeme např.. ÚPLNÁ KVADRATICKÁ ROVNICE Úplnou kvadratickou rovnicí nazveme každou rovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tzv. základní tvar, kde. Pro výpočet x 1 a x 2 je potřeba nejprve zjistit diskriminant D. Podle hodnoty diskriminantu D rozlišujeme 3 možnosti: 1. D > 0 Kvadratická rovnice má dva rozdílné reálné kořeny. 2. D = 0 Kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen. 3. D < 0 Kvadratická rovnice nemá žádný reálný kořen (taková rovnice má řešení v oboru komple ních čísel ). Kořeny kvadratické rovnice vypočítáme užitím vztahu, který pro přechází do tvaru Najdi všechna řešení kvadratické rovnice. Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce: Diskriminant je kladné číslo, proto bude mít rovnice dva různé reálné kořeny. 83

ROVNICE Najdi všechna řešení kvadratické rovnice. Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce: Diskriminant je záporné číslo, proto nebude mít rovnice žádné reálné kořeny. Najdi všechna řešení kvadratické rovnice. Vypočítáme diskriminant dosazením do vzorce: Diskriminant je nula, proto bude mít rovnice jeden dvojnásobný reálný kořen. 84

ROVNICE Součinový tvar, Viètovy vzorce Rovnici zřejmé, že má kořeny., nazýváme kvadratickou rovnicí v součinovém tvaru. Je Viètovy vzorce Vypočítat kořeny kvadratické rovnice můžeme také někdy podle Viètových vzorců. Tato metoda ovšem není tak univerzální jako metoda výpočtu pomocí diskriminantu. Nejprve je potřeba upravit rovnici na normovaný tvar: s kořeny. Pak platí: Proto hledáme taková čísla, které by vyhovovaly rovnostem: Z praktického hlediska je vhodné najít několik dvojic a pro součinový vzorec a potom zjistit, která z těch dvojic odpovídá i součtovému vzorci. Nejde však o univerzální metodu. Nedostatek metody zjistíme i při malých hodnotách koeficientů p, q. Z těchto dvou podmínek neurčíme celočíselná čísla kvadratické rovnice., která by byla kořeny dané Vypočítejte kořeny kvadratické rovnice pomocí Viètových vzorců a rozlož ji na součinový tvar: Pokusíme se najít několik dvojic a vyhovující součinovému vzorci Takové dvojice mohou být: Pak vybereme dvojici, která vyhovuje i součtovému vzorci Oběma vzorcům vyhovuje dvojice Roznásobením kořeny rovnice. se přesvědčíme, že čísla 2 a 3 jsou opravdu 85

ROVNICE Vypočítejte kvadratické rovnice pomocí Viètových vzorců a rozlož ji na součinový tvar: dostaneme rovnici nejdříve rovnici upravíme na normovaný tvar vydělením číslem 2 a Pokusíme se najít dvojice celých čísel a vyhovující součinovému vzorci Protože, mohou být takové dvojice dvě: -1 a 3, resp. 1 a -3. Pak vybereme dvojici, která vyhovuje i součtovému vzorci Oběma vzorcům vyhovuje dvojice Roznásobením, a to jsou kořeny zadané rovnice. se o tom přesvědčíme. ROVNICE CVIČENÍ 1. Řešte rovnice: a) b) c) d) e) b) c) d) rovnice nemá řešení 86

ROVNICE e) 2. Řešte rovnice: a) b) c) a) jsou dva kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme. b) c) jsou dva kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme. je kořen kvadratické rovnice a řešení zapíšeme. 3. Řešte rovnice: a) b) c) a) b) jsou kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme. jsou kořeny kvadratické rovnice a řešení zapíšeme. 87