Elektrcký proud tomto odstac lastně jž opouštíme elektrostatcké pole, protože elčnu elektrcký proud zaádíme stuac, kdy elektrcké náboje prostoru nejsou nehybné, ale ykazují nějaký pohyb. íme jž, že jednou ze základních lastností nábojů je jejch spojení s hmotným částcem př pohybu nábojů tedy jde současně o pohyb hmoty prostoru, který lze stejně jako hydrodynamce popsat tak, že stanoíme rychlost nábojů každém místě sledoaného prostoru (pole rychlost : ( r ( x, y,z Pro exaktní defnc elektrckého proudu musíme prostoru, e kterém se pohybují náboje, zolt spojtou (ohrančenou plochu (z následující obrázek, na kterém je plocha nakreslena z proflu a ypadá tedy jako křka. Q 1 Q 2 Q 3 Dráhy pohybujících se nábojů pochoptelně někdy protínají naš zolenou plochu, náboje tak přecházejí bez problémů skrze, přes plochu (je to pouze myšlená plocha, která nebrání pohybu nábojů. Je zřejmé, že záslost na dráze konkrétního náboje exstují dě možnost směru, č smyslu přechodu plochy na našem obrázku bychom je popsal jako z leé strany plochy na její praou stranu, a nebo opačně. loní pops směru přechodu plochy lze ošem těžko obecně použíat (kromě uzařených ploch, kde můžeme směr pohybu nábojů jednoznačně popsat jako z ntřku plochy en, nebo dontř a je proto nutné exaktní yjádření směru přechodu plochy. 1
K tomu se dobře hodí normáloý ektor plochy - př jeho použíání pak každém místě plochy můžeme jednoznačně konstatoat, zda náboje procházejí plochu e směru tohoto ektoru (nebo opačně a tyto náboje pak můžeme dobře sčítat (a odčítat náboje procházející opačném směru : Nechť je celkoý náboj, který za dobu projde přes plochu e zoleném směru (smyslu, potom defnujeme: I elektrcký proud (procházející plochou loní yjádření : je to celkoý elektrcký náboj, prošlý zolenou plochou za jednotku času (e stanoeném směru. Jednotkou elektrckého proudu je : A [ Amper] [ C] [ s] Poznámka 1 : Je také možné, jak jsem děl e aší učebnc matematcké analýzy, nejpre defnoat celkoý náboj Q = Q(t, který prošel čase t přes plochu e zoleném směru, pak bude jeho přírůstek (změna a proud jako přírůstek tohoto náboje za 1 času bude časoá derace. naší defnc šak žádná funkce Q(t není zaedena a tedy není (úplný dferencál (jako u procesních elčn termodynamce a el. proud není derace. (Označení Q(t pak použjeme pro jný náboj z další text Poznámka 2 : Je zřejmé, že elektrcký proud jako spojtou elčnu má smysl defnoat zejména prostředí s elkým množstím pohybujících se nábojů, nejlépe pak př spojtě rozložených nábojích., Z defnce a doproodného textu díme, že elektrcký proud (a jné proudy kapaln, je poněkud dná elčna. Není to totž typcká skalární elčna defnujeme přece její směr, smysl - a není to an typcký ektor jeho směr není určen (jednou orentoanou úsečkou. každém případě je šak elektrcký proud makroskopcká (ntegrální elčna popsuje pouze celkoý, ýsledný přesun elektrckého náboje přes celou elkou plochu. Pro přesný pops pohybu nábojů daném místě pak zaádíme skutečnou ektoroou elčnu (plošná hustota el. proudu (proudoá hustota daném místě zolíme malou plošku, a to následoně: kolmou na rychlost nábojů a označíme di proud procházející touto ploškou e směru ( stejném jako, jako normáloý ektor n, (z obr.. 2
n Pak defnujeme ektor proudoé hustoty pomocí jednotkoého ektoru a elkost : - směr a orentac mu přřadíme stejnou jako má rychlost nábojů, tj. jako jednotkoý normáloý ektor n plošky - a jeho elkost stanoíme ztahem : di proudoá hustota (elkost loně : je to elektrcký proud, procházející jednotkoou plochou kolmou k rychlost pohybu nábojů, nebo-l elektrcký náboj prošlý za 1 času 1 kolmou plochou. Proudoá hustota je elm důležtá př stanoení proudoého zatížení odčů elektrotechnce, její jednotkou je : [ A.m 2 ] ektoroý záps proudoé hustoty pak může být yjádřen : n proudoá hustota (ektor Z defnce plošné hustoty elektrckého proudu díme, že tato fyzkální elčna detalně popsuje pohyby nábojů e sledoané část prostoru (například proudoém odč, plazmatu elektrckého ýboje,, určuje totž lokální elektrcký proud daném místě a daném čase, je to tedy zjeně funkce (ektoroá těchto proměnných : ( r,t ( x, y,z,t 3
Nyní yjádříme proudoou hustotu pomocí rychlost nábojů za předpokladu spojtého rozložení náboje prostoru s hustotou. tomto případě - jak íme z kaptoly Zobecnění Coulomboa zákona každý objemoý element prostoru obsahuje elektrcký náboj : d Tyto náboje o rychlost se okolí dferencální plošky pohybují po přímočarých drahách, nazájem ronoběžných, a přtom přecházejí z jedné strany plošky na stranu druhou (z obr. : Protože s pohybem nábojů je nedílně spojený pohyb hmoty, můžeme použít dříějších znalostí z hydrodynamky (z kaptola Gaussů zákon, že objemoý tok ploškou, jako objem hmoty proteklý přes tuto plošku za 1 času (na obrázku zýrazněný, lze yjádřt skalárním součnem ektoru plošky a rychlost částc (nábojů, který má případě ronoběžných ektorů jednoduchý tar : ynásobením hustotou náboje získáme celkoý náboj tomto objemu - a to je také náboj prošlý ploškou za 1 času - nebo-l podle defnce to je proud přes tuto plošku (která je dferencálně malá, proto proud přes ní bude takoý a označíme ho tedy dferencálem : d I A nyní můžeme ypočítat elkost proudoé hustoty : di Protože je to ztah mez elkostm ronoběžných ektorů, můžeme změnt ronc na ektoroou (stačí ynásobt obě strany jednotkoým ektorem n : ztah proudoé hustoty a rychlost nábojů Hustota nábojů e sledoaném prostoru a jejch pole rychlost nám tedy umožňují stanot proudoou hustotu a tím získat nformac o lokálních pohybech nábojů lboolném místě prostoru. Pak ošem také musí být prncpálně možné určt celkoý přenos náboje přes lboolně zolenou elkou plochu tedy elektrcký proud procházející touto plochou : 4
.cos Nejpre ypočítáme objemoý tok přes její lboolnou elementární plošku (protože má nyní tato ploška obecnou polohu, ektory plošky a rychlost jž nejsou ronoběžné, musíme ponechat obecný tar skalárního součnu : ynásobením hustotou náboje získáme celkoý náboj tomto objemu, tj. náboj prošlý ploškou za 1 času - tedy proud přes tuto plošku : di Pak celkoý proud přes celou plochu je součtem (ntegrálem těchto ýrazů: I elektrcký proud jako tok proudoé hustoty Tento elm obecný ztah, spojující ntegrální elčnu elektrcký proud s lokální (dferencální proudoou hustotou, bude dále efektně yužt např. př úpraách ronc magnetckého pole a následujícím odstac pak s jeho pomocí nalezneme základní zákon soustay pohybujících se nábojů : Ronce kontnuty elektrckého proudu oblast (prostoru, kde se pohybují náboje, zolme lboolnou spojtou uzařenou plochu (takoá plocha obklopuje, uzaírá nějaký objem, můžeme s j proto předstat jako porch tělesa o objemu, z obrázek. 5
0 objem 0 Napšme proud touto plochou, e směru orentace plošek I, z ntřku plochy (z objemu en : Předpokládejme, že tento proud je kladný (tj. ektory rychlostí a plošek sírají ětšnou ostrý úhel, z obr. a uažme jeho ýznam pro naš specální plochu: - je to náboj prošlý za 1 času přes plochu, e směru ektorů - tento náboj proto pochází z ntřku plochy, tedy z objemu - za 1 času (po jejím uplynutí bude tedy objemu tento náboj chybět, jnak řečeno - nastane zde úbytek - obecně změna - celkoého náboje (protože objem je částí zkoumané oblast, e které exstují náboje (a pohybují se, obsahuje ždy nějaký celkoý elektrcký náboj. Tato změna náboje má ošem opačné znaménko, než elkost prošlých nábojů (proud : Protože se náboje pohybují a důsledkem toho je, že en z objemu teče přes plochu proud je celkoý náboj objemu jstě funkcí času (stále klesající, případě stále kladného proudu : Q Q( t A matematckým yjádřením změny této funkce (za 1 času je její časoá derace : Poronáním obou ýrazů dostááme zásadní matematcký ztah : 6
ronce kontnuty (ntegrální tar Fyzkální smysl : Na praé straně ronce yjádřená změna celkoého náboje za jednotku času lboolném objemu prostoru je ždy přesně roná (na leé straně ronce uedenému celkoému náboj yteklému za stejný čas z tohoto objemu do okolního prostoru. Protože tato ronce jasně ukazuje, jaká je fyzkální příčna úbytku náboje nějakém objemu - že se náboj neztrácí, an nenčí, ale jen oéká do okolí - poažujeme j za obecný zákon zachoání elektrckého náboje. Uprame ronc kontnuty pro případ objemoě rozložených nábojů, kdy lze dobře yjádřt celkoý náboj Q objemu jako součet nábojů e šech objemoých elementech : Q.d Dosadíme do praé strany : d.d Derace a ntegrace na praé straně se týkají různých proměnných, proto je možné přeho jejch pořadí. Přtom uažme, že hustota náboje je stejně jako proudoá hustota funkcí místa a času : ( x, y,z,t Časoá změna hustoty je proto tedy pouze její parcální derací, dostaneme tak : d t Pro úprau leé strany použjeme ještě Gaussou ětu matematky, jejíž podmínky jsou jstě splněny : d d d t Z ronost stejných ntegrálů pak plyne ronost funkcí : d t ronce kontnuty (dferencální tar 7
Dferencální tar ronce kontnuty se ztahuje na rozdíl od taru ntegrálního k danému bodu prostoru, k jeho nekonečně malému okolí má šak naprosto stejný fyzkální smysl jako ntegrální tar : Dergence je přece ýtok ektoru (zde náboje za 1 času z jednotkoého objemu a roná se časoé změně hustoty - tj. náboj tomto jednotkoém objemu. Dferencální tar ronce kontnuty předstauje tedy zákon zachoání náboje daném místě ( jednotkoém objemu. Elektrcký náboj se tedy neztratí an nejmenší část prostoru, zákon zachoání elektrckého náboje platí lokálně ntegrálně (na rozdíl o jných zákonů, platících např. pro uzařené soustay mechanky, č termodynamky, patří tedy mez nejobecnější zákony fyzky. Přpomeňme s ještě obecné funkční záslost : ( x, y,z,t ( x, y,z, t e zláštním případě může ošem nastat stuace časoě ustálený sta kdy obě elčny budou pouze funkcem místa : ( x, y,z ( x, y,z staconární sta Pak je ošem časoá derace nuloá a obě ronce kontnuty mají nejjednodušší možný tar : d 0 0 ronce kontnuty staconárních proudů Aplkace na odč se staconárním proudem: Podíejme se na obyčejný odč, e kterém teče elektrcký staconární proud (tj. proud, pro který platí ýše uedené ronce a předpokládejme, že mmo tento odč se žádné náboje nepohybují. (z obr. 8
= 0 I 1 I 1 odč 2 odč protneme myšlenou uzařenou plochou a použjeme ronc kontnuty ntegrálním taru : 0 Mmo odče se náboje nepohybují, jejch proudoá hustota je tedy nuloá a můžeme ntegroat pouze přes da průřezy odčů 1 a 2 (z obr. : 0 1 2 Tyto da ntegrály předstaují da proudy (označíme je I 1 a I 2 na dou lboolných místech (průřezech odče. Předpokládáme-l zolený směr proudu totožný se směrem rychlost nábojů (na obrázku zlea dopraa, pak na leém průřezu odče 1 jsou ektory plochy a proudoé hustoty opačné, skalární součn je tam záporný a bude proto platt : I I2 1 0 Dostááme tak ztah pro hodnoty staconárního proudu e dnou lboolných místech (průřezech odče : I1 I 2 loně : e staconárním (ustáleném stau protéká každým průřezem odče ždy stejný proud. Tato znalost je jstě elm užtečná praktcké elektrotechnce př měření staconárních proudů (například e stejnosměrných obodech. D. c. : Jak as znkla známá ronce kontnuty hydrodynamce, kdy platí a jaký je její fyzkální ýznam : 1 1 2 2 9