ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ

ČASOVÁ KOORDINACE SPOJŮ VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY NA ÚSECÍCH DOPRAVNÍ SÍTĚ THE TIME COORDINATION OF PUBLIC MASS TRANSPORT ON SECTIONS OF THE TRANSPORT NETWORK Petr Kozel 1 Anotace: Předložený příspěvek se zabývá optmalzací časových poloh spoů z hledska rovnoměrného rozložení na úseku dopravní sítě poížděného několka lnkam veřené hromadné dopravy. Příspěvek uvádí soups vstupních údaů, které sou k řešení úlohy potřebné, defnue vhodná optmalzační krtéra a dále pak matematcký model sloužící pro řešení uvedeného problému. V závěru příspěvku e uvedena konkrétní aplkace, která slouží k ověření funkčnost matematckého modelu. V předloženém příspěvku e uveden matematcký model ednosměrné časové koordnace spoů. Klíčová slova: lnka, spo, časová koordnace. Summary: Ths paper focuses on optmzng the temporal poston of the connecton wth regard to unform dstrbuton connecton on secton of transport network, whch s operated by several lnes of publc mass transport. Ths artcle presents a lst of nput data that are needed to solve the problem, defne approprate optmzaton crtera and the mathematcal model used to solve the problem. In the concluson of ths paper there s specfc applcaton used to verfy the functonalty of a mathematcal model. In the present paper there s shown a mathematcal model of one-way tme coordnaton of connecton. Key words: servce, connecton, tme coordnaton. ÚVOD Veřená hromadná osobní doprava se obemem svých výkonů v rámc všech druhů doprav podstatnou částí podílí na uskutečňování přemísťovacího procesu, v rámc všech regonů České republky. Za účelem zkvaltňování přepravních služeb e žádoucí nabízet cestuícím neen dostatek spoů, ale také takové rozmístění spoů v čase, které co nelépe vyhovue ech představám, např. e co nerovnoměrněší. Krtckým obdobím z hledska rovnoměrného rozmístění spoů v čase sou období přepravních sedel, sobot, nedělí a státních svátků, kdy e 1 Ing. Petr Kozel, Vysoká škola báňská Techncká unverzta Ostrava, Fakulta stroní, Insttut dopravy, 17. lstopadu 15, 708 33 Ostrava Poruba, tel.: +420 739 002 714, E-mal: kozelp@seznam.cz Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 128

ve srovnání s přepravní špčkou nabízen nžší počet spoů a význam časové koordnace tedy roste. Tato skutečnost e mpulzem k řešení úlohy, která se bude zabývat časovou koordnací spoů v období přepravního sedla v rámc možností, které současné rozložení spoů nabízí. V tomto příspěvku e pozornost věnována tvorbě matematckých modelů pro ednosměrnou časovou koordnac spoů, přčemž v první varantě časový posun spoů není omezen. Ve druhé varantě řešení pak tento časový posun spoů omezen e. V prvé řadě bude pozornost věnována tvorbě matematckého modelu časové koordnace spoů, za předpokladu, že posun spoů není omezen, který vychází z matematckého modelu tzv. přřaďovací úlohy. 1. PROBLÉM I, JEDNOSMĚRNÁ ČASOVÁ KOORDINACE S NEOMEZENÝM POSUNEM ODJEZDU SPOJŮ 1.1 Formulace problému I Je dán počet spoů n, ohrančených spo K 1 a K 2 (celkem tedy n+2 spoů) a ech aktuální polohy na časové ose. Spoe K 1 a K 2 nesou zahrnuty do řešení. Dále e vymezeno období přepravního sedla, ve kterém sou tyto spoe rozmístěny. Všechny spoe obsluhuí společný úsek mez místy A a B. Jednotlvé spoe nesou vzáemně provázány, z hledska nasazených vozdel, t. každý spo e obsluhován ným vozdlem. Časové posuny spoů nesou nkterak omezeny. Úkolem e určt optmální rozložení spoů z hledska rovnoměrnost na časovém úseku ohrančeném spo K1, K 2. Výchozí stuace e zachycena na obrázku č. 1, kde S1 Sn e označení spoů, které budou předmětem koordnace. Obr. 1 Rozložení spoů S1 Sn na časové ose Dříve než bude představen matematcký model e potřeba přpravt potřebná data, která budou do matematckého modelu vstupovat. V prvé řadě e potřeba určt deální polohy spoů t na časové ose z hledska rovnoměrnost. Jednotlvé spoe budou optmálně rozloženy v čase, budou-l se mez nm vyskytovat ntervaly o stené délce. Za tím účelem bude časový úsek ohrančený spo K1 a K 2 (eho délka bude označena T v ) rozdělen na n + 1 časových úseků (ech délka bude označena symbolem o ), přčemž n e počet spoů. Touto operací bude získáno n deálních časových poloh t. Pro snazší výpočet budou časové polohy spoů převedeny na mnuty. Matematcky lze výše uvedený postup vyádřt následuícím způsobem. T v = K 2 K 1 [mn] (1) Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 129

Tv o = [mn] (2) n +1 S použtím vypočtené hodnoty velkost časových oddílů o, e možné stanovt deální časové polohy t podle následuícího vztahu. t = K1 + o, [mn], pro = 1,..., n (3) V dalším kroku e potřeba sestavt matc odchylek c,, která e tvořena absolutním hodnotam odchylek aktuálních poloh spoů od deálních poloh spoů t vypočtených podle vztahu (3). Hodnoty odchylek budou vypočteny podle vztahu: c, = t t, (4) přčemž t sou hodnoty deálních poloh spoů pro = 1,..., n a t sou hodnoty aktuálních poloh spoů pro = 1,..., n. Nevýhodou tohoto přístupu může být, že deální časové polohy spoů nebudou celočíselné. Nyní sou k dspozc všechna potřebná data, která budou do matematckého modelu vstupovat, a e možné přstoupt k eho sestavení. 1.2 Matematcký model pro ednosměrnou časovou koordnac spoů s neomezeným posunem spoů V případě, kdy není časový posun spoů omezen e možné k řešení problému použít model přřaďovacího problému. V rámc řešení časové koordnace na základě přřaďovací úlohy bude docházet k přřazování aktuálních časových poloh polohám deálním tak, aby součet odchylek mez deálním časovým poloham spoů a aktuálním poloham spoů byl mnmální. Proměnné v modelu sou bvalentní. Pokud: x, = 0 nedode k přřazení tého spoe, deální poloze, x, = 1 dode k přřazení tého spoe, deální poloze. Matematcký model této úlohy má tvar: n n (5) = 1 = 1 ( ) =,, Mnmze f x c x Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 130

Subect to : n = 1, = 1, pro = 1,..., n (6) x n x, =, = 1 1 pro = 1,..., n (7) x { 0,1}, pro = 1,..., n; = 1,..., n (8), Výraz (5) reprezentue účelovou funkc. Podmínky (6) zabezpečuí, že každý spo bude přřazen právě edné deální poloze, podmínky (7) pak zašťuí, že každá deální poloha bude obsazena právě edním spoem. Podmínky (8) sou oblgatorním podmínkam. Výsledkem e zcela rovnoměrné rozložení spoů na časové ose. Výše uvedený matematcký model sestavený na základě přřaďovacího problému e možno pro časovou koordnac použít pouze v stuacích, kdy lze se spo v čase posouvat bez omezení. Možnost, kdy lze se spo lbovolně posouvat v čase, se však vyskytuí zřídka, a proto e zapotřebí věnovat se řešení časové koordnace spoů v stuac, kdy sou posuny ednotlvých spoů lmtovány. Je tedy potřeba sestavt matematcký model, který bude respektovat, že posuny spoů mohou být pouze v určtém, přípustném ntervalu. Tato stuace bude formulována ako problém č. II. 1.3 Výpočetní expermenty Matematcký model sestavený př řešení problému č. 1. byl použt př řešení problematky časové koordnace spoů hromadné osobní dopravy v úseku Frýdek-Místek Dobrá, v období dopoledního přepravního sedla. Výsledky tohoto řešení budou nyní prezentovány. Výpočetní expermenty s tímto modelem byly provedeny v optmalzačním software Xpress-IVE, čas výpočtu byl pod hrancí edné sekundy. V rámc řešení ednosměrné časové koordnace spoů na úseku Frýdek-Místek Dobrá bylo dáno n = 8 spoů. Období přepravního sedla bylo stanoveno na nterval 8 12 hodn. Aktuální časové polohy t, spoů S, pro = 1,..., n sou zachyceny na obrázku č. 2, kde e zároveň uveden přepočet na mnuty a v tabulce č. 1. Obr. 2 Aktuální časové polohy spoů na časové ose Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 131

Tab. 1 - Aktuální časové polohy spoů t 1 2 3 4 5 6 7 8 S [hh:mm] 8:25 8:40 9:10 9:30 9:55 10:38 11:02 11:40 t [mn] 505 520 550 570 595 638 662 700 Data vstupuící do matematckého modelu byla přpravena na základě výše uvedených vztahů (1), (2), (3) a (4) a sou uvedena v tabulce č. 2 a v tabulce č. 3. Tab. 2 - Hodnoty deálních časových poloh spoů t 1 2 3 4 5 6 7 8 S [hh:mm] 8:20 8:50 9:20 9:50 10:20 10:50 11:20 11:50 t [mn] 500 530 560 590 620 650 680 710 Optmalzačním krtérem e součet odchylek aktuálních poloh spoů od deálních poloh spoů, cílem optmalzace e tento součet mnmalzovat. Výsledky, které byly dosaženy po vyřešení výše uvedeného matematckého modelu v optmalzačním software Xpress-IVE sou shrnuty v tabulce č. 4 a pro lepší představu znázorněny do obrázku č. 3. Tab. 3 - Matce odchylek aktuálních poloh spoů t od poloh spoů deálních t t / t 500 530 560 590 620 650 680 710 505 5 25 55 85 115 145 175 205 520 20 10 40 70 100 130 160 190 550 50 20 10 40 70 100 130 160 570 70 40 10 20 50 80 110 140 595 95 65 35 5 25 55 85 115 638 138 108 78 48 18 12 42 72 662 162 132 102 72 42 12 18 48 700 200 170 140 110 80 50 20 10 Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 132

Obr. 3 - Přřazení aktuálních poloh spoů deálním polohám spoů 2. PROBLÉM II, JEDNOSMĚRNÁ ČASOVÁ KOORDINACE S OMEZENÝM POSUNEM ODJEZDU SPOJŮ 2.1 Formulace problému II Stuace e podobná ako u předcházeící varanty, kdy nebyl posun spoů omezen. Je dán počet spoů n a ech aktuální polohy na časové ose. Dále e vymezeno časové období, ve kterém sou tyto spoe rozmístěny. Všechny spoe obsluhuí společný úsek mez místy A a B. Jednotlvé spoe nesou vzáemně provázány, t. každý spo e obsluhován ným vozdlem. Časové posuny spoů sou omezeny přípustným ntervalem, který e vytvořen na základě přesně defnovaných pravdel s pomocí příslušných podkladů. Těmto podklady sou ízdní řády, které obsahuí pravdelné časy odezdů ednotlvých spoů a ízdní doby a turnusové příkazy, které obsahuí doby ednotlvých technologckých čnností, které sou v průběhu zabezpečování spoů vykonávány, a které e potřeba respektovat. Pro každý spo, který bude předmětem koordnace, e tedy známa eho aktuální časová poloha a možnost posunu spoe v kladném a záporném směru na časové ose. Cílem e s přhlédnutím k ntervalům omezuícím posuny spoů rozmístt spoe ve vymezeným časovém ntervalu tak, aby ech polohy byly v čase rozmístěny co nepravdelně. Př řešení problému koordnace spoů v lneárním programování e nutno respektovat, aby k časovým posunům odezdů ednotlvých spoů docházelo pouze v kladném směru na časové ose. Tento požadavek vyplývá z metod lneárního programování, které nepřpouštěí exstenc záporných hodnot proměnných. Možnost časového posunu v záporném směru na časové ose, bude s ohledem na požadované hodnoty proměnných v lneárním programování zabezpečena časovým posunem spoe do nedříve možného začátku spoe před započetím procesu optmalzace. Uvedený posun spoe do nedříve možné polohy nemá žádný negatvní vlv na hodnotu optmálního řešení. Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 133

2.2 Matematcký model pro ednosměrnou časovou koordnac spoů s omezeným posunem spoů Pro účely sestavy matematckého modelu časové koordnace byly zavedeny tř velčny popsuící ednotlvá rozhodnutí, č stavy. Těmto velčnam sou: Proměnná y, popsue časový rozdíl mez každým dvěma sousedním spo, obsluhuícím řešený úsek. Je-l koordnováno n spoů, pak počet těchto proměnných bude n 1, pro spoe = 1,..., n 1, přčemž spoe = + 1. Proměnná x modelue posun tého spoe v kladném směru na časové ose, pro spoe = 1,..., n. Proměnná d modelue mnmální rozdíl mez dvocí sousedních spoů. V modelu dále vystupuí hodnoty c, c odpovídaící nedříve možným odezdům ednotlvých spoů, pro = 1,..., n 1 a = + 1, které sou z důvodu zednodušení výpočtu, přepočteny na mnuty. Maxmální dovolený posun tého spoe e modelován velčnou a, která e nezápornou celočíselnou hodnotou, kde = 1,..., n. Př řešení reálných problémů nelze přpustt získání optmálního řešení, které by uvažovalo s neceločíselným časovým posuny. Z uvedeného důvodu e nutno, aby v modelu byl akceptován požadavek na celočíselnost proměnné = 1,..., n, kde celočíselnost proměnné x. Oblgatorní podmínka tedy bude mít tvar: + x Z, pro + Z e množna celých nezáporných čísel. Zavedením požadavku na x e rovněž ošetřena celočíselnost proměnných optmalzace e maxmalzovat mnmální rozdíl mez dvocí sousedních spoů. Obecný záps matematckého modelu má tvar: y, a d. Cílem Maxmze f = d (9) Subect to : y = c + x c x, pro = 1,..., n 1; = + 1 (10), y, d, pro = 1,..., n 1; = + 1 (11) x a, pro = 1,..., n (12) + x Z, pro = 1,..., n (13) y, 0, pro = 1,..., n 1; = + 1 (14) d 0 (15) Výraz (9) reprezentue účelovou funkc a podmínky (10) představuí časový rozdíl mez dvocem sousedních spoů po zapracování případných posunů. Podmínky (11) zabezpečuí, že tento rozdíl nebude menší než hodnota mnmálního rozdílu d. Další podmínky (12) zašťuí, že posun tého spoe se uskuteční v dovolených mezích. Podmínky (13) (15) sou podmínkam oblgatorním. Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 134

2.3 Výpočetní expermenty Tento v pořadí druhý matematcký model byl opět použt př řešení problematky časové koordnace spoů hromadné osobní dopravy v úseku Frýdek-Místek Dobrá, v období dopoledního přepravního sedla. Výpočetní expermenty s výše uvedeným modelem byly opět provedeny v optmalzačním software Xpress-IVE a čas výpočtu byl rovněž pod hrancí edné sekundy. V rámc řešení ednosměrné časové koordnace spoů na úseku Frýdek-Místek Dobrá bylo dáno n = 9 spoů. Období přepravního sedla e, steně ako v předcházeícím případě, stanoveno na nterval 8 12 hodn. Nedříve možné odezdy spoů s hodnotam maxmálních časových posunů spoů v tabulce č. 5. c sou společně a převedeny na mnuty a uvedeny Tab. 5 - Hodnoty nedříve možných odezdů spoů a hodnoty maxmálních možných časových posunů spoů 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c [mn] a [mn] 469 473 545 546 552 555 585 684 701 57 65 7 63 78 71 83 5 44 Výsledky, které byly dosaženy řešením matematckého modelu s výše uvedeným daty v optmalzačním software Xpress-IVE e možné vdět na obrázku č. 4. V předcházeícím případě, kdy byla časová koordnace spoů řešena v stuac neomezeného časového posunu spoů, bylo výsledkem optmální, zcela rovnoměrné rozložení spoů na časové ose a na první pohled bylo zřemé, že nově dosažené řešení e z pohledu rovnoměrnost rozložení spoů na časové ose lepší, než výchozí stav. Za účelem porovnání výchozího a nově dosaženého řešení v problému č. 2 bylo použto hodnotícího krtéra. Jedná se o hodnotu mnmálního rozdílu mez sousedním spo. Hodnotící krtérum bylo pro výchozí stav nově navržené řešení vypočítáno a výsledek e uveden v tabulce č. 6. Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 135

Obr. 4 - Porovnání časových poloh výchozího a nově navrženého řešení Tab. 6 - Porovnání hodnot mnmálního rozdílu mez sousedním spo u výchozího a nově navrženého řešení mnmální rozdíl mez sousedním spo [mn] výchozí rozložení nově navržené spoů rozložení spoů 0 19 Z tabulky č. 6 e možné vdět srovnání hodnot optmalzačního krtéra pro výchozí a nově navržené řešení. Hodnotu mnmálního rozdílu mez sousedním spo bylo v rámc procesu optmalzace cíleno maxmalzovat. Jak e ze srovnání patrné, z pohledu vybraného hodnotícího krtéra e nově navržené řešení lepší než výchozí stav. ZÁVĚR Předložený článek e věnován problematce časové koordnace spoů hromadné osobní dopravy. Řešení této problematky bylo uskutečněno s využtím metod lneárního programování. V rámc předloženého článku byly prezentovány dvě varanty řešení, které e možno k řešení časové koordnace použít v závslost na možnostech posunů ednotlvých spoů vstupuících do procesu koordnace. Všechny výpočetní expermenty, které byly v tomto článku prezentovány, byly realzovány v demoverz optmalzačního software Xpress-IVE. V souvslost s problematkou uvedenou v předloženém článku e plánována realzace dalších expermentů, které povedou ke zvýšení kvalty získaného přípustného řešení u matematckého modelu uvedeného v pořadí ako druhého. Bude se ednat o analýzu ctlvost př dodání dodatečné podmínky, která bude shora omezovat rozdíl mez sousedním Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 136

spo y, a dále bude pozornost věnována sestavení matematckého modelu pro obousměrnou časovou koordnac spoů hromadné osobní dopravy, eventuálně stuace, kdy budou spoe provázány z hledska obsluhy spoů steným vozdly. Článek byl zpracován s podporou grantu Fakulty stroní VŠB-TU Ostrava č. SP2011/129 Výzkum v oblast modelování pro podporu řízení dopravy ve městech. POUŽITÁ LITERATURA (1) JANÁČEK, J. Matematcké programování. Žlna: Žlnská unverzta v Žlně, 2003. 225 s. ISBN 80-8070-054-0. (2) JANÁČEK, J. Optmalzace na dopravních sítích. Žlna: Žlnská unverzta v Žlně, 2003. 248 s. ISBN 80-8070-031-1. (3) Jízdní řád autobusových lnek provozovaných ČSAD Frýdek-Místek a. s. a dalších dopravců, kteří zašťuí veřenou osobní lnkovou dopravu v regonu Frýdek-Místek, 2008 2009. (4) Turnusové příkazy dopravce ČSAD Frýdek-Místek a. s. 2007-2008; 2008-2009. (5) Podklady Moravskoslezského krae. (6) Optmalzační software Xpress-IVE, <http://optmzaton.fco.com>. Kozel: Časová koordnace spoů veřené hromadné dopravy na úsecích dopravní sítě 137