7..03, Brno Připravil: Tomáš Vítěz Petr Trávníček Mechanika tekutin Úvod do předmětu
strana Mechanika tekutin Zabývá se podmínkami rovnováhy kapalin a plynu v klidu, zákonitostmi pohybu kapalin a plynu, pohybu těles ponořených do kapalin a plynu. Dělení Hydrostatika a aerostatika Hydrodynamika a aerodynamika
strana 3 Vlastnosti kapalin a plynů Souhrnný název tekutiny Společné vlastnosti - tekutost (viskozita) - nemají stálý tvar Rozdílné vlastnosti Kapaliny mají stálý objem v klidu vytvářejí vodorovnou volnou hladinu jsou málo stlačitelné Plyny nemají stálý objem nevytvářejí volný vodorovný povrch jsou dobře stlačitelné
strana 4 Vlastnosti kapalin a plynů Odlišují se různou tekutostí Ideální kapalina - kapalina bez vnitřního tření, dokonale nestlačitelná Ideální plyn - plyn bez vnitřního tření, dokonale stlačitelný
strana 5 Základní pojmy. Hustota kapalin: ρ je hmotnost objemové jednotky kapaliny ρ = m [ kg.m -3 ] V Pro běžnou praxi se uvažuje ρ = 000 kg/m 3 (dosaženo při 3,8 C, 0 35 Pa). Stlačitelnost: κ udává o kolik se zmenší objemová jednotka kapaliny v závislosti na zvětšení tlaku o dp = Pa κ =. V0 dp dv [ - m.n ]
strana 6 Základní pojmy Převrácená hodnota stlačitelnosti Modul objemové pružnosti K dp = = V [ Pa] κ dv p, p ý py,p K 0 Modul závisí na teplotě, obsahu rozpuštěných solí a plynů, pro vodu: 0 C K =,87,0 GPa 0 C K =,4 GPa 3. Tepelná roztažnost: udává změnu objemu kapaliny vlivem teploty ( )[ ] 3 V = V0 β t m β.. součinitel teplotní objemové roztažnosti (voda.. 0,8. 0-3 K - ) t.. teplota ve C
strana 7 Základní pojmy Zcela elementární příklad: Cisternový vagón je až po otvor naplněný naftou. (ρ = 940 kg m -3, β = 0-3 K - )Při teplotě 0 C se do vagónu vejde 50 000 kg nafty. Jak se změní množství nafty, které vyteče otvorem z vagónu, když se cestou teplota nafty zvýší na 0 C? ρ = V m V m 50000 0 0 V0 = = = 53, 9 0 ρ 940 0 ( Δt) = V β ( 3 3 0 0), 0638 m V = 539,9 = m m 3
strana 8 Základní pojmy 4. Viskozita: Ve skutečné kapalině vznikají tangenciální síly mezi sousedními částicemi, které se pohybují různými rychlostmi. Tangenciální třecí síly vztažené na jednotku plochy dávají tangenciální napětí τ. dv dy [ ][ ] - η = τ Pa s N s τ = η m dy dv τ.. tečné napětí gradient rychlosti η.. součinitel dynamické viskozity v.. rychlost y.. délka normály (kolmo na směr proudu)
strana 9 Základní pojmy V praxi se používá kinematická viskozita υ. υ = η [ m s - ] ρ Kinematická viskozita pro vodu v m.s - : 0 C 78,78. 0-6 0 C,3. 0-6 0 C 0,0. 0-6 30 C 0,8. 0-6
strana 0 Základní pojmy Newtonovská kapalina: platí lineární závislost mezi tangenciálním napětím a gradientem rychlosti Nenewtonovská kapalina: vztah mezi tangenciálním napětím a gradientem rychlosti není lineární (dán tzv. reologickými modely) a) Ideální kapalina c) Newtonovská kapalina d-g) Nenewtonovská kapalina
strana Základní pojmy Nenewtonovské kapaliny se rozdělují na několik skupin, pro čištění odpadních vod jsou významné Nebinghamské kapaliny (takto se chovají čistírenské kaly), platí zde Bulkley Herschelův model: τ =τ y du K dy n K koeficient konzistence n tokový index τ y počáteční napětí y
strana Hydrostatika nauka o rovnováze kapalin v klidu (nepůsobí žádné tangenciální napětí) Tlak:. Tlak p je definován poměrem normálové síly F a elementární plošky S. Hydrostatický tlak: p = p h df [ Pa] ds = ρ. g. h [ Pa] 3. Celkový tlak: p c je součtem vnějšího a hydrostatického: p c = p b p h
strana 3 Hydrostatika Pascalův zákon: Působí-li na kapalinu vnější tlak pouze v jednom směru, šíří se tlak uvnitř kapaliny do každého místa a v každém směru Blaise Pascal (63 66)
strana 4 Hydrostatika Zcela elementární příklad: Jaký je celkový tlak v hloubce m pod hladinou moře, je-li průměrná hustota mořské vody 08 kg.m -3 a vnější tlak odpovídá 740 mm rtuťového sloupce (hustota rtuti je 3 550 kg.m -3 )????? a) p b = h HG. ρ HG. g HG = 0,740. 3 550. 9,8 = 98,4 kpa b) p h = h. ρ. g =. 08. 9,8 = kpa c) p c = p b p h = 98,4 = 9,4 kpa
strana 5 Hydrostatika. Tlaková síla kapalin: a) Tlak působící na rovinnou plochu = [ N ] F ρ.g.h.s Hydrostatická tlaková síla působená pouze tíhou kapaliny se rovná tíze sloupce kapaliny se základnou rovnající se tlakové ploše a s výškou rovnající se hloubce tlačené plochy pod hladinou. Další zcela elementární příklad: Vypočtěte hydrostatickou tlakovou sílu působící na obdélníkový otvor (,x,4 m) na vodorovném dně nádrže, je-li hloubka vody metrů. F = 000. 9,8. (,.,4) = 339 kn
Princip Archimédovy vztlakové síly síla je výslednicí hydrostatických tlaků (sil) působících na plochu povrchu ponořeného tělesa. Horní podstava válce: horní Hydrostatická ti síla působí ů dolů F ( p h g) da = ρ 0 f Dolní podstava válce: F dolní Hydrostatická síla působí nahoru ( p h g ) da = ρ 0 f F F = g h h da = ρ ρ g V Výsledná vztlaková síla: dolní dolní f ( ) f válce
Plování těles. - těleso klesá ke dnu, výslednice míří dolů. - těleso se v kapalině vznáší, výslednice je nulová 3. - těleso plove na volné hladině kapaliny, výslednice míří nahoru
strana 8 Hydrostatika b) Tlak působící na šikmou rovinnou plochu Hydrostatická tlaková síla působící na šikmou rovinnou plochu se rovná součinu této plochy a hydrostatického tlaku v jejím těžišti: Působiště této síly je dáno vztahem: J x J x yc = = = y t U S. y x x D = U xy c = x D t xy S. y t [ m] J t S. y J x.. moment setrvačnosti plochy S k ose x t F = ρ.g.h.s [ N ] [ m] J t.. moment setrvačnosti plochy S k těžištní ose x rovnoběžnou s osou x D xy.. deviační moment plochy S k osám x,y U x.. statický moment plochy S k ose y t
strana 9 Hydrostatika Výpočet pomocí horizontální a vertikální složky tlakové síly F Fh Sh α FV S Sv Výsledná tlaková síla F: F h.. Horizontální složka F = ρ.g. h.s.sin α [ N] h t F v.. Vertikální složka F v = ρ.g. h t.s. cos α [ N] F = F h F v [ N] Př.3 - jen velmi mírně obtížnější: Vypočtěte velikost tlakové síly, která působí na šikmou obdélníkovou stěnu šířky yp y, p y m, která je odkloněna od vodorovné o úhel 60, je-li hloubka 7m.
strana 0 Řešení h 7 h 7 sin α sin 60 a) těžiště: h t = = = 3,5 m b) )plocha stěny: a = = = 8,083 m S = a.b = 8,083. = 8,083 c) hydrostatická tlaková síla: F v = ρ.g. h t. S. cos α = 000. 9,8. 3,5. 8,083. cos 60 = 40,348 kn F h = ρ.g. h t. S. sin α = 000. 9,8. 3,5. 8,083. sin 60 = 38,765 kn F = Fv Fh = 40,348 38,765 = 77,530 kn d) působiště (ve svislé zatěžované ose y) 3 b.a J t y c = y t = a = a a = a = 5,389 m Sy S.y t a.b a 6 3
strana Hydrostatika c) Tlak působící na zakřivenou stěnu Výsledná síla se určí z jednotlivých složek F x, F y, F z F x = ρ.g.h t,x.s yz F y = ρ.g.h t,y.s xz F z = F tl -F vz [N] [N] [N] F tl.. vertikální tlaková složka, F tl = ρ.g.v [N] V.. objem sloupce kapaliny nad plochou S pod hladinou F vz.. vertikální vztlaková síla, F vz = ρ.g.w [N] W.. vztlakový objem F = F F F [ N ] x y z
strana Hydrodynamika Proudění ítekutiny ti je pohyb btekutiny ti v jednom směru. ě Proudění z hlediska časového průběhu může být:. stacionární (ustálené) - proudění, při němž se v daném místě tekutiny nemění její rychlost v závislosti na čase. nestacionární - prouděním, u něhož se v daném místě tekutiny rychlost v závislosti na čase mění Pohyb částic tekutiny se popisuje pomocí proudnic: Proudnice je taková myšlená čára, že tečna sestrojená v jejím libovolném bodě určuje směr rychlosti pohybující se částice tekutiny. Každým bodem kapaliny prochází právě jedna proudnice, proudnice se ý p yp p j p,p neprotínají.
strana 3 Hydrodynamika zabývá se pohybem kapaliny a jejím jí působením ů na tuhá hátělesa při řijejich ji vzájemném relativním pohybu Průtočný profil: rovinný řez vedením proudu, kolmý k jeho podélné ose a charakterizující jeho tvar, který kapalina zaujímá.
strana 4 Hydrodynamika Průtočný průřez S: plošný obsah řezu proudu plochou v každém bodě k vektoru střední bodové rychlosti -otevřený proudění o volné hladině (řeka) - uzavřený tlakové proudění (potrubí) Bodová rychlost u(x,y,z): dráha l, kterou částice urazí za jednotku času t. u = dl l dt [ m.s ] -
strana 5 Hydrodynamika Střední bodová rychlost: v dlouhém časovém intervalu vyrovnaná hodnota bodové rychlosti. Průřezová (střední profilová) rychlost: její jjvynásobení průtočným profilem dává skutečný ýprůtok: Proudění: Q = v S [m 3.s - ] - ustálené: rychlost není funkcí času Q = konst. Platí rovnice kontinuity (spojitosti) Q = v S v S v n S n = konst. - neustálené: rychlost v daném bodě je funkcí času
strana 6 Hydrodynamika Rovnice kontinuity Při ustáleném proudění ideální kapaliny je součin obsahu průřezu S a rychlosti proudu v v každém místě trubice stejný. Q m = Q m S v ρ = S v [ kg s ] - ρ Q S V v = Q V = S v [ ] 3 - m kg zákon zachování hmoty
Hydrodynamika Rovnice kontinuity: strana 7
strana 8 Hydrodynamika Bernoulliho rovnice Za ustáleného pohybu ideální kapaliny je součet polohové, tlakové i pohybové energie stálý pro všechny průřezy. E E E p tl k = Δm g h Δm = ΔV p = ρ = Δm v p Daniel Bernoulli (700 78) Ep Etl Ek = Ep Etl Ek = konst. zákon zachování energie
strana 9 Hydrodynamika Po úpravě Daniel Bernoulli (700 78) v ρ p h g v ρ p h g = Pro vodorovné potrubí v ρ p v ρ p v ρ p v ρ p = =
strana 30 Hydrodynamika Bernoulliho rovnice pro skutečnou č kapalinu E = h p α. v p = h ρ.gρ g g ρ.g α. v g Z Z Dochází k vnitřnímu tření a tření o stěny část mechanické energie se mění převážně na energii tepelnou z hydraulického hlediska ztráta. v Pro skutečný profil se bodová rychlost nahradí rychlostí průřezovou α Nerovnoměrné rozdělení rychlosti v profilu se zohlední Coriolisovým číslem. Hodnota α - pro koryta a kanály =,0 až,45 - pro potrubí =,04 až, α u 3 = S 3 v ds.s
strana 3 Užití Bernoulliho rovnice Pittotova t trubice Pomocí Pitotovy trubice se určuje rychlost proudící tekutiny pomocí rozdílu tlaků. Tekutina v ohnutém vývodu () ztratí veškerou svou rychlost, zatímco u rovného vývodu () má tekutina stále svou rychlost. Svou energii si uchová, proto bude platit: p ( p p ) = p v v = ρ ρ
strana 3 Užití Bernoulliho rovnice Pittotova t trubice A330/A340 pitot t tubes
strana 33 Užití Bernoulliho rovnice = p v p v ρ ρ g h = p v p 0 a a ρ ρ ρ g h = v
strana 34 Užití Bernoulliho rovnice Ve vodorovné trubici i proudí voda rychlostí 3 m/s, v daném místě je tlak p = 0, MPa. Určete rychlost proudění v místě o tlaku 0,09 MPa ρ v p = ρ v p v = ρ v p ρ p Bernoulliho princip p
Děkuji za pozornost strana 35