Téma 6 Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb

Pružnost a plasticita,.ročník bakalářského studia Téma 6 Normálová napětí v prutech namáhaných na ohb Základní vtah a předpoklad řešení Výpočet normálového napětí Dimenování nosníků namáhaných na ohb Složené namáhání prutu Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru Katedra stavební mechanik Fakulta stavební, VŠB - Technická univerita Ostrava

Prut namáhané na ohb Při ohbu prutu vnikají v jeho průřeech ohbové moment a pravidla i posouvající síl. Prostý ohb a b l V Rovinný ohb: vnitřní i vnější síl leží v rovině nebo hlavní rovin. V rovině platí: N V 0, 0 V V rovině platí: N V 0, 0 V Základní vtah a předpoklad řešení / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Základní vtah a předpoklad řešení Princip ohbové koušk 3 / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Základní vtah a předpoklad řešení Ohbová kouška 4 / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Základní vtah a předpoklad řešení Vorek po ukončení ohbové koušk 1 / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Zlomená keramická stropnice Hurdis po atěžovací koušce ohbem foto: Doc. Ing. Václav Cepek, CSc. Základní vtah a předpoklad řešení 13 / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Ověření odolnosti vláknobetonů a drátkobetonů při působení vsokých teplot foto: Zuana Ševčíková, studentka oboru Stavební hmot a diagnostika staveb Základní vtah a předpoklad řešení 14 / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Ověření odolnosti vláknobetonů a drátkobetonů při působení vsokých teplot foto: Zuana Ševčíková, studentka oboru Stavební hmot a diagnostika staveb Základní vtah a předpoklad řešení 15 / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Základní vtah a předpoklad řešení Zkouška drátkobetonových trámů, ČVUT, Praha 16 / 84

Základní tp namáhání prostý ohb Základní vtah a předpoklad řešení Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha 17 / 84

Základní předpoklad a) průře rovinné a kolmé k ose prutu před deformací ůstávají rovinnými a kolmými k deformované ose (Bernoulliova hpotéa) Předpoklad má povahu deformačně geometrickou. b) podélná vlákna na sebe vájemně netlačí Daniel Bernoulli (1700-178) 0 a b Základní vtah a předpoklad řešení 1 / 84

Poměrné přetvoření a ohbu A C B E d d r... poloměr křivosti r o r. d CE r d AB r.d.d d DE d d.d d d.d r.d Podle Hookova ákona. E. E E r r C A d d D B E d Výpočet normálového napětí / 84

Vtah mei vnitřními silami a napětími v průřeu prutu d N da N obdobně V V da A A da V A d. V.. N. A A. da A Průře prutu Těžiště průřeu Střednice prutu Působiště výslednice vnitřních sil +. da V V + + N N. A. da (str.8 učebnice, téma č.1) Vtah mei vnitřními silami a napětími v průřeu 3 / 84

Závěr vplývající odvoení Vtah, které obsahují. E. E r 1. N da A S da A E E N..dA. S 0 r r A Statický moment A k ose je nulový, neboť osa průřeu procháí těžištěm. Potvrení předpokladu, že neutrálná osa procháí těžištěm, kde 0. 3.. da D. da A A E E.. da. D 0 r r A D deviační moment k hlavním osám setrvačnosti. Výpočet normálového napětí 4 / 84

Určení normálového napětí a ohbu Vtah, které obsahují. E. E r. E E. da I. da. I da r r A A A toho plne E. r I 1 r E. I ma Dle Hookova ákona. E. E r. I ma Normálové napětí probíhají lineárně po výšce nosníku a etrémní hodnot vnikají v krajních bodech. Výpočet normálového napětí 5 / 84

Závěr a omeená platnost odvoeného vtahu. I a (tah) ma (tlak) h b R a l R b Vtah platí pro případ prostého ohbu, stálého průřeu a h << l. Tvar průřeu se deformuje v souladu. Příčné deformace nemají u nosníků velký výnam. Pokud je V 0, vtah je poue přibližný. V působuje smkové napětí, kosení, a tím i trátu rovinnosti průřeu. Je-li l > 5h, le použít s dostatečnou přesností. Výpočet normálového napětí 6 / 84

Omeená platnost odvoeného vtahu. I a h b R a l R b Vtah neplatí v místě náhlých průřeových měn. Výpočet normálového napětí 7 / 84

Omeená platnost odvoeného vtahu. I (tlak) Průběh hlavního napětí 1 9,19 [kn/m ] -1,4158-1,1979-1,575-1,863-1,0186 1,9644 h 6,00 5,00 4,00 3,00,00 1,00 0,00 [m] Vtah neplatí u stěn, kde l < 3h. Blíže předmět Pružnost a plasticita II. a R a l (tah) b R b Výpočet normálového napětí 8 / 84

9 / 84 Výpočet etrémních normálových napětí a ohbu Výpočet normálového napětí c 1,c,c1 c Neutrálná osa v těžišti průřeu 1, 1 1,. c c W c I,,. c c W c I Výpočet průřeových modulů u jednoduchých průřeů b h 1 1, c I W c, c I W c 3.. 1 1 b h I h b I.. 1 1 3.. 6 1 b h h I W h b b I W.. 6 1 d 64. 4 d I 3. 3 d d I W Průřeové modul ke krajním vláknům [m 3 ] 0

Návrh a posouení v pružném oboru Návrh nosné konstrukce, Ed, Wmin f d ma Ed d W min f Ed d většit Rd Ed Posouení návrhu dle S únosnosti W. f Rd min d Ed Rd 1 f d Dimenování fk Realiace Předpoklad posouení: u materiálu je stejná pevnost v tahu a tlaku, anedbán vliv smkových napětí Dimenování nosníků namáhaných na ohb 30 / 84

San Sebastian, Auditorium, Španělsko Prostorový rám Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 31 / 84

San Sebastian, Auditorium, Španělsko Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 3 / 84

Pavilon C, Brněnské výstaviště Prostorový rám se skořepinovou nádstavbou Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 33 / 84

Pavilon C, Brněnské výstaviště Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 34 / 84

Tramvajový most, Brno Pisárk Želeobetonový předpjatý tramvajový most: Specifický svým prostorovým akřivením, stoupáním a nestejnoměrnou tloušťkou Šířka 9 m Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 37 / 84

aloměřický most, Brno Husovice Trojkloubový oblouk roku 198: 3 oblouk o ropětí 33 m s průřeem 1 m eilehlá mostovka Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 38 / 84

aloměřický most, Brno Husovice Trojkloubový oblouk roku 198: 3 oblouk o ropětí 33 m s průřeem 1 m eilehlá mostovka Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 39 / 84

aloměřický most, Brno Husovice Vnitřní momentový kloub Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 40 / 84

Rámová ocelová konstrukce průmslové hal Ropětí 0,5 m Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 41 / 84

Rámová ocelová konstrukce průmslové hal Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 4 / 84

Hala pro výrobu komponent jaderných elektráren, Vítkovice Půdors 130 30 m Jeřáb o nosnosti 80 a 00 t Poddolované úemí Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 43 / 84

Rámová ocelová konstrukce dvojhalí, Vítkovice Ropětí 30 a 4 m Jeřáb o nosnosti 80 a 50 t Poddolované úemí Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 44 / 84

Víceúčelová hala, Frýdek - ístek Čtvercový půdors o straně 8,6 m, výška 31,06 m Hlavní nosný prvek střech rám tvaru A Ropětí 118,1 m, vdálenost 10, m Průře truhlíkový 3,65 m 0,8 m Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 45 / 84

Víceúčelová hala, Frýdek - ístek Rámová ocelová konstrukce Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 46 / 84

Tribuna fotbalového stadiónu na Baalech, Ostrava Poddolované úemí Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 47 / 84

Tribuna fotbalového stadiónu na Baalech, Ostrava Detail momentového kloubu Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 48 / 84

ost přes řeku Ostravici, Černá louka, Ostrava Gerberův nosník: 3 pole vnitřní momentové kloub Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 49 / 84

ost přes řeku Ostravici, Černá louka, Ostrava Gerberův nosník: 3 pole vnitřní momentové kloub Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 50 / 84

ost přes řeku Ostravici, Ostrava - Kunčice Langerův nosník (trám vtužený obloukem) Ropětí 100 m Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 51 / 84

Posluchárn VŠB-TU, budova C, Ostrava Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 5 / 84

Posluchárn VŠB-TU, budova C, Ostrava Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 53 / 84

Posluchárn VŠB-TU, budova C, Ostrava Průměr budov 50 m 15 radiálně umístěných plnostěnných svařovaných nosníků, ve středu vetknut do prstence uavřeného průřeu Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 54 / 84

Výkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava Stropní konstrukce: Ocelové válcované profil I Trapéový plech Betonová podlaha Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 55 / 84

Výkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava Stropní konstrukce: Ocelové válcované profil I Trapéový plech Betonová podlaha Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 56 / 84

Výkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava Konola ochou: Ocelový svařovaný a válcovaný profil I Trapéový plech Betonová podlaha Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 57 / 84

Výkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava Konola ochou: Ocelový svařovaný a válcovaný profil I Trapéový plech Betonová podlaha Ukák konstrukcí s převažujícím namáháním na ohb 58 / 84

Svislý, vodorovný a prostorový ohb Svislý ohb I. Vodorovný ohb I.., I I. působí i složené namáhání prutu (prostorový ohb) Složené namáhání prutu 59 / 84

Svislý, vodorovný a prostorový ohb Svislý ohb I. Vodorovný ohb I. Prostorový ohb., I I. Souřadnicový sstém a naménková konvence pro prut namáhaný prostorovým ohbem Složené namáhání prutu 60 / 84

Svislý, vodorovný a prostorový ohb Průběh normálového napětí Svislý ohb I. Vodorovný ohb I. Prostorový ohb., I I. Složené namáhání prutu 61 / 84

6 / 84 Prostorový ohb a osové namáhání A N Prostý tlak I I A N.., Složené namáhání prutu Prostorový ohb a osové namáhání Průběh normálového napětí I I.., Prostorový ohb

imostředný tah a tlak Prostorový ohb a osové namáhání N., A I I. Účinek a le nahradit posunutím N mimo těžiště T N. e N. e Normálové napětí pak le určit: N,. 1. A i i Složené namáhání prutu. e e Schéma prutu namáhaného mimostředným tahem 63 / 84

Výpočet úseků neutrálné os Pro neutrálnou osu platí: N. 1.. 0, A i i splněno pro e e.. 0 i i 1 e e Úsek n a n, které neutrálná osa vtíná na hlavních centrálních osách průřeu: e. 0 1 0 i 0 Složené namáhání prutu e. 1 0 i n n i e i e Schéma prutu namáhaného mimostředným tahem 64 / 84

Jádro průřeu Nutno určit u materiálů, kde ft fc Jádro průřeu je oblast v okolí těžiště, v níž musí působit výslednice vnitřních sil, ab normálové napětí mělo v celém průřeu stejné naménko. Řešení: Nechť se neutrálná osa průřeu poue dotýká 3 Např.: I b. h h b i i A 1. b. h 1 1 n n i e i e a) n h h b) n c) n b b d) n Složené namáhání prutu e e e h 6 h 6 b 6 e n b 3 b e Neutrálná osa a) 6 b 3 b 3 N h 3 h 3 h 3 65 / 84

Jádro průřeu Tlačený sloup obdélníkového průřeu s vnačenou neutrálnou osou (působiště atěžovací síl F leží mimo jádro průřeu) Obdélníkový průře s vnačeným působištěm posunuté atěžovací síl F a neutrálnou osou, která se dotýká průřeu (působiště atěžovací síl F leží na okraji jádra průřeu) Složené namáhání prutu 66 / 84

Ideálně pružno-plastický materiál úsek Y-Y Y-A Hookův ákon Plastický stav volný nárůst deformací f Y TAH A,C Téma č.1 A-B B-C Odlehčení Opětovné výšení napětí = arctan E B 0 p e TLAK Y - f p plastická (trvalá) deformace e pružná deformace Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 67 / 84

Ohb nosníku v pružnoplastickém oboru Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře Průře Průběh,ma Pracovní diagram b h tlak tah Ed,ma W Ed 0 f Y krajní vlákna průřeu stav I. f d Normálové napětí v krajních vláknech,ma f d 1 Ed Rd, el W. f d. b. h. f 6 d f d f k Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 68 / 84

Ohb nosníku v pružnoplastickém oboru Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře Průře Průběh Pracovní diagram b h tlak tah plastiování f d f d Rd, el 0 f Y el krajní vlákna průřeu stav II. Normálové napětí v krajních vláknech,ma f d 1 Rd, el W. f d. b. h. f 6 d f d f k Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 69 / 84

Ohb nosníku v pružnoplastickém oboru Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře A Průře Průběh Pracovní diagram 1 b h A tlak tah A plastiování f d f d Rd, el, pl 0 f Y krajní vlákna průřeu el,pl stav III. Zvšuje-li se stále atížení Ed Rd, el, vnikají plastické oblasti: 1 v tahu, v tlaku. Zbtek průřeu stále pružné chování. Bernouliho hpotéa platí i nadále, je stále lineární. V bodě A je f d E Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 70 / 84

Ohb nosníku v pružnoplastickém oboru Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře A A 1 Průře Průběh Pracovní diagram f d Y b stav IV. h tah tlak plastiování f d Rd, pl 0 f krajní vlákna průřeu Průře je plastiován, vnik tv. plastického kloubu, únosnost v ohbu je včerpaná. N A da 0 f A f da f. A A 0 A 1 pl d d d d 1 A A 1, A ploch průřeu v plastickém stavu. Neutrálná osa půlí plochu průřeu. A A1 A (u nesmetrických průřeů se při plastiování posouvá) Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 71 / 84

Ohb nosníku v pružnoplastickém oboru Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře A A 1 Průře Průběh Pracovní diagram f d Y b stav IV. h tah Rd, pl. da f d. da f d. da f d. S1 S A A A S1 S tlak plastiování 1 S S 0 Rd pl f d.. S f d W pl W, pl. S1 f d Rd, pl 1 plastický průřeový modul [m 3 ] 0 f krajní vlákna průřeu Průře je plastiován, vnik tv. plastického kloubu, únosnost v ohbu je včerpaná. pl, 1., Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 7 / 84

Ohb nosníku v pružnoplastickém oboru Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře A A 1 Průře Průběh Pracovní diagram f d Y b h tah tlak plastiování f d Rd, pl 0 f krajní vlákna průřeu pl stav IV. Konkrétně:. h h h 1 4 4 8 h S1 A1. b.. b. W 1 1 S b h b h 8 4, pl. 1..... Plastická reerva obdélníkového průřeu W W, pl, el 1. b. h 4 1. b. h 6 6 4 1,5 50% Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 73 / 84

Příklad 1 Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře Zadání: Určete W,el,pl pro průře se plastiovanými krajními čtvrtinami Řešení: W 1 h h h h 1 3, el, pl W, el W, pl. b.. b... b. h.. 6 4 4 8 4 16 b h W, el W, Výsledek: pl (platí poue pro případ plastiování krajních čtvrtin!!!) W 11 b h 48, el, pl.. 1 b h 4 h 4 h tlak tah plastiování f d f d Rd, el, pl stav W [m 3 ] II. III. IV. 1. b. h 6 11. b. h 48 1. b. h 4 0,16. b. h 0,916. b. h 0,5. b. h Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 74 / 84

Příklad.1 Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře Zadání: a Určete maimální atížitelnost nosníku q d [kn/m] a předpokladu: a) maimální normálové napětí = f d b q d =? h R a Vstupní údaje: l 6 m b Řešení: 1 8 Ed, el,ma. qd, el. l l 0 mm h 80 mm R b 5 3 W, 1. b. h,13.10 el m 6 f 35 Pa 1, 0 15 k f d f k 0 b 04,35 Pa f, ma d W Sd, el, el f d q. l d, el 8. f d. W, el qd, el 0,97 kn/m 8. W, el l Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 75 / 84

Příklad. Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře Zadání: a Určete maimální atížitelnost nosníku q d [kn/m] a předpokladu: b) dojde k plastiování krajních čtvrtin průřeu b q d =? h R a Vstupní údaje: l 6 m b 0 mm h 80 mm Řešení: 1 8 q Ed, el, pl. d, el, pl. l, el, pl W l R b 11 b h 48 5 3, el, pl..,93.10 m, el, pl b 35 Pa 1,15 0 Sd, el, pl qd, el, pl. l 8. f d. W, el, pl,ma f d qd, el, pl 1,33 kn/m W 8. W l f k f d f k 0 04,35 Pa Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 76 / 84

Příklad.3 Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře Zadání: a Určete maimální atížitelnost nosníku q d [kn/m] a předpokladu: c) dojde k úplnému plastiování průřeu b q d =? h R a Vstupní údaje: l 6 m b 0 mm h 80 mm Řešení: f d 1 8 q Ed, pl. d, pl. l l R b 5 3 W, 1. b. h 3,.10 pl m 4 Sd, pl qd, pl. l 8. f d. W, pl q 1,45 kn/m W, pl 8. W d, pl, pl l f 35 Pa 1, 0 15 k f d f k 0 b 04,35 Pa Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 77 / 84

Příklad - shrnutí Ideálně pružnoplastický materiál, obdélníkový průře a) f d Pracovní diagram f d Rd, el f d f Y b) c) plastiování Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru f d f d Rd, el, pl f d Rd, pl Plastická reerva obdélníkového průřeu q q d, pl d, el 1,45 0,97 1,5 50% 0 a) b) c) stav W [m 3 ] q d [kn/m] a),13.10-5 0,97 b),93.10-5 1,33 c) 3,0.10-5 1,45 78 / 84

Ukáka studie plastiování prostého nosníku Profil I atížení osamělým břemenem, autor: Prof. Ing. Jan Hudák, CSc. Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 79 / 84

Ukáka studie plastiování prostého nosníku Profil I atížení spojité, autor: Prof. Ing. Jan Hudák, CSc. Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 80 / 84

Ukáka studie plastiování důlní výtuže Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru Autor: Ing. Ivan Kološ, Ph.D. 81 / 84

Ukáka úplného plastiování průřeu Destrukce ocelové konstrukce astřešení stadionu, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc. Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 8 / 84

Ukáka úplného plastiování průřeu Destrukce ocelové konstrukce astřešení stadionu, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc. Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 83 / 84

Okruh problémů k ústní části koušk 1. Ohb nosníků v pružném stavu. Ohb nosníků v pružnoplastickém oboru 3. Neutrálná osa, průřeový modul, ohb prutů nesmetrického průřeu 4. Návrh a posudek prutu namáhaného ohbem 5. Svislý, vodorovný a prostorový ohb 6. imostředný tah a tlak 7. Jádro průřeu Podklad ke koušce 84 / 84