Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Podobné dokumenty
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

0.1 Úvod do lineární algebry

Matematika B101MA1, B101MA2

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy linea rnı ch rovnic

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

0.1 Úvod do lineární algebry

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Soustavy lineárních rovnic

Kapitola 11: Vektory a matice:

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Operace s maticemi. 19. února 2018

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

Operace s maticemi

8 Matice a determinanty

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

Základy matematiky pro FEK

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Číselné vektory, matice, determinanty

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

Základy matematiky pro FEK

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

1 Vektorové prostory.

1 Determinanty a inverzní matice

7. Lineární vektorové prostory

Úvod do lineární algebry

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

[1] LU rozklad A = L U

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

z textu Lineární algebra

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vlastní číslo, vektor

Soustavy lineárních rovnic

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Aplikovaná numerická matematika - ANM

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

IB112 Základy matematiky

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Numerické metody a programování

Cvičení 5 - Inverzní matice

Matice. a m1 a m2... a mn

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

AVDAT Vektory a matice

VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

Numerické metody a programování. Lekce 4

2 Vektory a vektorové prostory Lineární závislost a nezávislost vektorů Souřadná soustava a báze... 26

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

Transkript:

[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem řádků a sloupců. Množina R m,n je množina matic s reálnými čísly s m řádky a n sloupci. Takovým maticím též říkáme matice typu (m, n). Na jednotlivé řádky v matici typu (m, n) můžeme pohlížet jako na vektory z R n a na jednotlivé sloupce můžeme pohlížet jako na vektory z R m. Číslo na i-tém řádku a j-tém sloupci matice se nazývá (i, j)-tý prvek matice a používají se pro něj indexy: a i,j (v tomto pořadí). Matice budeme značit velkým tučným písmenem (A, B, atd.). Nulová matice obsahuje samé nuly. Čtvercová matice je matice typu (n, n). Sčítání matic, násobení matic konstantou [3] Modifikace matic eliminační metodou [4] Mezi sebou sčítáme jen matice stejného typu. Součet má stejný typ. Násobek kontantou α má také stejný typ jako původní matice. a 1,1 + b 1,1, a 1,2 + b 1,2,..., a 1,n + b 1,n A + B = a 2,1 + b 2,1, a 2,2 + b 2,2,..., a 2,n + b 2,n., a m,1 + b m,1, a m,2 + b m,2,..., a m,n + b m,n α a 1,1, α a 1,2,..., α a 1,n α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n.. α a m,1, α a m,2,..., α a m,n Množina matic R m,n s tímto + a tvoří lineární prostor. Cvičení: Najděte bázi a dimenzi lineárního prostoru matic R 3,2. Vznikne-li matice B z matice A konečným počtem řádkových úprav eliminační metody, píšeme A B. Jsou to (obecně) různé matice. Pozorování: Je-li A B pak také B A. Jinými slovy: každá změna eliminační metodou je vratná. Stačí si uvědomit, jak pracují tři základní operace v GEM: prohození řídků, pronásobení řádku nenulovou konstantou a přičtení násobku řádku k jinému.

Eliminace zachovává obal řádků [5] Hodnost matice [6] Věta: Gaussova eliminační emtoca zachovává lineární obal řádků matice. Jinými slovy: je-li A B, pak lineární obal řádků matice A je roven lineárnímu obalu řádků matice B. Důkaz: Přehození řádků: lin. obal se nezmění, to je zřejmé. Další dva typy operací v GEM přidávají k řádkům lineární kombinaci (tím nezmění lineární obal) a odeberou jeden vektor (lin. obal se může zmenšit). On se ale nezmenší, protože eliminace je vratná. Definice: Hodnost matice A je dimenze lineárního obalu řádků matice A. Značíme hod A, anglicky rank of matrix A. Pozorování: Gaussova eliminační metoda nemění hodnost matice, tedy je-li A B, pak hod A = hod B. Metoda počítání hodnosti: Máme-li spočítat hod A, eliminujeme A na matici B schodového tvaru. Počet nenulových řádků této matice je hod B a tedy i hod A. Proč? Neulové řádky v matici B tvoří bázi svého lineárního obalu. Jsou totiž lineárně nezávislé. Poznámky k hodnosti [7] GEM zachovává lineární nezávislost řádků [8] Metoda počítání hodnosti je metodou počítání dimenze lineárního obalu. Pozor: Hodnost nelze definovat pomocí uvedené metody protože eliminační metoda není jednoznačný proces, tj. nemáme záruku stejného počtu nenulových řádků po provedení eliminace. Pozor na alternativní definici: hodnost jako maximální počet lineárně nezávislých řádků. Je třeba si uvědomit, co to znamená. Hodnost je přirozené číslo, které nemusí být jednoznačně stanoveno pro nepřesné matice a nepřesné výpočty (tzv. numericky nestabilní matice). Věta: Je-li A B pak A obsahuje lineárně nezávislé řádky právě tehdy když B obsahuje lin. nezávislé řádky. Důkaz: Má-li A lin. nezávislé řádky, pak tvoří bázi svého lin. obalu, takže hod A je rovna počtu řádků matice A. Je také rovna hodnosti matice B (která má stejný počet řádků jako matice A), takže B musí mít lin. nezávislé řádky. Metoda ověření závislosti: Zapíšeme zkoumané vektory do řádků matice A a převedeme na schodovitý tvar B. Zkoumané vektory jsou lin. závislé právě tehdy když B obsahuje nulový řádek.

Metody týkající se lineárních obalů [9] Hodnost transponované matice [10] v u 1, u 2,..., u n právě když dim u 1, u 2,..., u n = dim u 1, u 2,..., u n, v. Metoda: Vektor v leží v lineárním obalu vektorů u 1, u 2,..., u n, když hodnost matice obsahující v řádcích vektory u 1, u 2,..., u n je stejná jako hodnost matice, ve které je navíc přidán řádek v. u 1, u 2,..., u n = v 1, v 2,..., v n právě když dim u 1, u 2,..., u n = dim v 1, v 2,..., v n = = dim u 1, u 2,..., u n, v 1, v 2,..., v n Metoda: Ověříme rovnost hodností příslušných matic. Definice: Transponovaná matice k matici A (značíme A T ) je matice, ve které jsou řádky původní matice A zapsány do sloupců. Pozorování: Platí (A T ) T = A. Věta: hod A = hod A T, jinými slovy: dimenze lineárního obalu řádků matice je rovna dimenzi lineárního obalu sloupců matice. Důkaz: Je-li hod A = k, pak A má k lineárně nezávislých řádků. Jejich nezávislost lze ověřit z definice nezávislosti, což vede na soustavu s maticí A T (až na vynechání některých sloupců). Aby soustava měla jen nulové řešení, musí mít lineárně nezávislé rovnice. Takže (po doplnění vynechaných sloupců) musí A T mít aspoň k lineárně nezávislých řádků, tedy hod A hod A T. Rovnost pak plyne z výše uvedeného pozorování. Maticové násobení [11] Příklady násobení [12] Definice: Pro matice A R m,n a B R n,p existuje maticový součin A B = C R m,p (v tomto pořadí). Jednotlivé prvky součinu c i,k jsou dány vzorcem: c i,k = a i,1 b 1,k + a i,2 b 2,k + + a i,n b n,k = n j=1 a i,j b j,k. Příklad: Je-li A R 3,4 a B R 4,5, pak A B je definováno, ale B A není definováno. Pozorování: Aby bylo definováno A B, musí mít A stejný počet sloupců jako má B řádků. Výsledná matice má tolik řádků, jako má řádků matice A a tolik sloupců, jako má sloupců matice B. ( 1 2 4 3 ) 5 = ( 1 4 + 2 5 + 3 6 ) 6 4 4 8 12 5 ( 1 2 3 ) = 5 10 15 6 6 12 18 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 = 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 = 1 1 1 1 ( ) 0 0 0 0

Poznatky z předchozích příkladů: [13] Vlastnosti maticového násobení: [14] Maticové násobení není komutativní ani pro čtvercové matice Neplatí pravidlo: součin nenulových matic musí být nenulová matice Co tedy platí?... (A B) C = A (B C)... asociativní zákon (A + B) C = A C + B C... distributivní zákon C (A + B) = C A + C B... distributivní zákon α(a B) = (αa) B = A (αb)... konstanta (A B) T = B T A T... transponovaná matice Příklad: soustavy lin. rovnic [15] Komutující matice [16] Necht A R m,n. x 1 A x 2. = x n b 1 b 2. b m Toto je soustava lineárních rovnic s m rovnicemi a n neznámými. Stručně zapisujeme: A x = b. Matice A se nazývá matice soustavy, jednosloupcová matice b je vektor pravých stran. Úkolem je nalézt všechny jednosloupcové matice x, které vyhovují maticové rovnici. Když platí: A B = B A, říkáme, že matice B komutuje s maticí A. Pozorování: Komutovat mohou pouze čtvercové matice stejného typu. Úloha: Je pevně dána čtvercová matice A, je třeba najít k ní množinu všech matic B, které komutují s A. Pozorovaní: Uvedená množina matic B, které komutují s danou maticí A, tvoří lineární podprostor lineárního prostoru matic R n,n.

Inverzní matice [17] Regulární a singulární matice [18] Čtvercovou matici s jedničkami na diagonále a nulami jinde značíme E a říkáme ji jednotková matice. Pozorování: A E = E A = A, analogie s čísly: a 1 = 1 a = a. Definice: Inverzí matice ke čtvercové matici A je taková matice B, pro kterou je A B = B A = E. (viz též analogie s čísly). Invezní matici značíme A 1. Definice: Čtvercová matice je regulární, pokud má inverzní matici. Čtvercová matice je singulární, pokud nemá inverzní matici. Pozorování: Součin regulárních matic je regulární matice. Má-li matice A inverzní matici A 1 a dále má-li matice B inverzní matici B 1, pak inverzní matice k A B je B 1 A 1. Platí totiž: (B 1 A 1 ) (A B) = B 1 (A 1 A) B = B 1 E B = B 1 B = E, (A B) (B 1 A 1 ) = A (B B 1 ) A 1 = A E A 1 = A A 1 = E. Pozorování: Pokud k matici A inverzní matice existuje, pak je určena jednoznačně. Důvod je zde: B 1 = E B 1 = (B 2 A) B 1 = B 2 (A B 1 ) = B 2 E = B 2 Otázka: Jak poznáme existenci inverzní matice k matici A? Výpočet inverzní matice eliminací [19] Podmínky regularity matice [20] Algoritmus: Má-li A lineárně nezávislé řádky, pak existuje A 1 a lze ji vypočítat takto: (A E) (E A 1 ) Ke zdůvodnění této metody potřebujeme zavést tři typy čtvercových matic, které (pokud jimi násobíme vybranou matici zleva) emulují jednotlivé kroky eliminační metody. Součin těchto elementárních matic emulující všechny provedené kroky je matice P, pro kterou platí: Věta: Je-li A B, pak existuje regulární P taková, že B = P A. Následující podmínky jsou ekvivalentní s regularitou matice A R n,n : A má inverzní matici (viz definice). Maticová rovnice A X = B má řešení pro každou B R n,m. Matice A má lineárně nezávislé řádky. hod A = n. existuje eliminační proces, který provede A E. det A 0 (o determinantech pohovoříme později)

Hodnost součinu [21] Věta: Je-li P regulární a platí-li B = P A, pak A B. Důkaz: P E a stejné kroky eliminace použijeme na (P B), tj.: takže A B. (P B) = (P P A) (E X) = P 1 (P P A) = (E A), Věta: Násobíme-li matici A jakoukoli regulární maticí, nezmění se hodnost. Tedy: hod A = hod(p A). Věta: hod(a B) min(hod A, hod B) Důkaz*: hod A = k, tj. A C, C má k nenulových řádků. Existuje tedy P regulární, že A = P C. Dále platí: hod(a B) = hod(p C B) = hod(c B) k.