ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Fyzikální geodézie 2/7 Gravitační potenciál a jeho derivace školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista 10. 11.
Gravitační potenciál a jeho derivace Zadání: 1. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče R a střední hustoty σ konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé derivace na jejím povrchu i v daných hloubkách h i a též nad jejím povrchem ve výškách H i podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k zakreslení průběhu těchto tří funkcí. 2. Obdobně postupujte v případě, že Zemi nahradíte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry R 1, R 2, R 3 a hustotách σ 1 a σ 2. Body, v nichž budete určovat gravitační potenciál a jeho derivace, volte podle vlastního uvážení vně, ve "vnitřním"prostoru (dutině) i uvnitř vlastních hmotností tohoto sféricky symetrického tělesa. Průběhy zkoumaných funkcí porovnejte s předchozím případem a v závěru úlohy okomentujte. Číselné zadání 7: R = 6, 371 10 6 m G = 6, 672 10 11 m 3 kg 1 s 2 σ = 5, 520 g cm 3 h i = [0, 33, 413, 984, 2000, 2898, 4000, 4980, 5120, 6371] km H i = [0,..., 25000] km, kde v uvedeném rozmezí vhodně zvolte alespoň 20 výpočetních výšek R 3 = R R 2 = R 3 n 2 km R 1 = R 2 (k + 7) 4 km n = 7 k = 88 Hustoty vrstev σ 1 a σ 2 převezměte z Bullenova hustotního modelu Země (typ A ) podle toho, do které Bullenovy zóny modelu A spadne vnitřní rozhraní vaší vrstvy. Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Gravitační potenciál homogenní koule 1.1 Uvnitř koule Zadaná hloubka pod povrchem Země byla převedena na délku průvodiče ze středu Země k potenciálovému bodu ρ i = R h i. Jelikož potenciálový bod leží uvnitř homogenní koule, byly použity vzorce pro vnitřní bod: V i = 2 3 π G σ ρ2 i + 2 π G σ R 2 V i = 4 3 π G σ ρ i 2 V i = 4 π G σ 3
1.2 Vně koule Zadaný interval pro výšku byl rozdělen rovnoměrně na 20 hodnot, tedy po 1250 km. Poté byla vypočtena délka průvodiče ze středu Země k potenciálovému bodu ρ e = R + H i. Pro výpočet gravitačního potenciálu a jeho derivací byly použity vzorce pro vnejší bod: V e = 4 3 π G σ R3 ρ e V e = 4 3 2 V e = 8 3 π G σ R3 ρ 2 e π G σ R3 ρ 3 e Vypočtené hodnoty gravitačního potenciálu a jeho derivací byly vyneseny do grafu jako funkce průvodiče.
2 Gravitační potenciál kulových vrstev Nejprve byly vypočteny průměry kulových vrstev: R 1 = 5977000 m R 2 = 6357000 m R 3 = 6371000 m Poté byly z Bullenova hustotního modelu Země určeny hustoty pro obě kulové vrstvy: σ 1 = 3640 kg m 3 σ 2 = 3320 kg m 3 Gravitační potenciál a jeho 1. a 2. derivace byly počítány aditivně, tedy jako součet příspěvků 1. a 2. vrstvy. Z tohot důvodu byl průvodič pro výpočet rozdělen do čtyř intervalů a to ρ 1 0, R 1, ρ 2 R 1, R 2, ρ 3 R 2, R 3 a ρ 4 R 3, 25000km. Pro každý z těchto intervalů lze jednoznačně určit, zda je potenciálový bod, k němuž je průvodič vztažen, pro vrstvy 1 a 2 v dutině, uvnitř vrstvy nebo vnějším bodem. V každém intervalu bylo zvoleno 10 hodnot délky průvodiče, rovnoměrně rozložených. 2.1 Průvodič z intervalu 0, R 1 Pro vrstvu 1 je bod v dutině. Příspěvek této vrstvy k celkovému potenciálu v daném bodě a jeho 1. a 2. derivace je určen ze vzorců: V d1 = 2 π G σ 1 (R 2 2 R 2 1) V d1 = 0 2 V d1 = 0 Pro vrstvu 2 je bod rovněž v dutině. Příspěvek této vrstvy je tedy: V d2 = 2 π G σ 2 (R 2 3 R 2 2) V d2 = 0 2 V d2 = 0 Výsledný potenciál pro daný bod a hodnoty 1. a 2. derivace jsou určeny součtem obou příspěvků: V 1 = V d1 + V d2 V 1 = dv d1 + dv d2 2 V 1 2.2 Průvodič z intervalu R 1, R 2 = 2 V d1 + 2 V d2 Pro vrstvu 1 je bod uvnitř vrstvy. Pro příspěvek této vrstvy k celkovému potenciálu v daném bodě a jeho 1. a 2. derivace platí vzorce: V i1 = 2 3 π G σ 1 ρ 2 2 4 3 π G σ 1 R 3 1 ρ 2 + 2 π G σ 1 R 2 2 V i1 = 4 3 π G σ 1 ρ 2 + 4 3 π G σ 1 R 3 1 ρ 2 2
2 V i1 = 4 3 π G σ 1 8 3 pi G σ 1 Pro vrstvu 2 je bod stále v dutině a platí tedy vzorce: V d2 = 2 π G σ 2 (R 2 3 R 2 2) R 3 1 ρ 3 2 V d2 = 0 2 V d2 = 0 Výsledný potenciál a jeho 1. a 2. derivace jsou opět součet obou příspěvků: V 2 = V i1 + V d2 V 2 = V i1 + V d2 2 V 2 = 2 V i1 + 2 V d2 2.3 Průvodič z intervalu R 2, R 3 Pro vrstvu 1 se jedná o vnější bod. Příspěvek této vrstvy je tedy dle vzorců: V e1 = 4 3 π G σ 1 ρ 3 V e1 = 4 3 π G σ 1 2 V e1 = 8 3 π G σ 1 ρ 2 3 ρ 3 3 Bod leží uvnitř vrstvy 2 a tedy její příspěvek je dán vzorci: V i2 = 2 3 π G σ 2 ρ 2 3 4 3 π G σ 2 R 3 2 ρ 3 + 2 π G σ 2 R 2 3 V i2 = 4 3 π G σ 2 ρ 3 + 4 3 π G σ 2 2 V i2 = 4 3 π G σ 2 8 3 π G σ 2 Výsledný potenciál a hodnoty 1. a 2. derivace jsou součtem příspěvků obou vrstev: R 3 2 ρ 2 3 R 3 2 ρ 3 3 V 3 = V e1 + V i2 V 3 = V e1 + V i2 2 V 3 = 2 V e1 + 2 V i2
2.4 Průvodič z intervalu R 3, 25000km Pro vrstvu 1 se jedná o vnější bod a platí tedy vzorce: V e1 = 4 3 π G σ 1 ρ 4 V e1 = 4 3 π G σ 1 2 V e1 = 8 3 π G σ 1 ρ 2 4 ρ 3 4 Pro vrstvu 2 se rovněž jedná o vnější bod a tedy vzorce jsou obdobné: V e2 = 4 3 π G σ 2 R 3 3 R3 2 ρ 4 V e2 = 4 3 π G σ 2 2 V e2 = 8 3 π G σ 2 R 3 3 R3 2 ρ 2 4 R 3 3 R3 2 ρ 3 4 Výsledný potenciál a jeho 1. a 2. derivace jsou opět součet obou příspěvků: V 4 = V e1 + V e2 V 4 = V e1 + V e2 2 V 4 = 2 V e1 + 2 V e2 Pro průvodič ležící na rozhranní intervalů byla hodnota gravitačního potenciálu a jeho derivací vypočtena ze vzorců platných pro oba intervaly a následně obě hodnoty vyneseny do grafu. Tak bylo určeno zda, je funkce na rozhraní vrstev spojitá či nikoliv. Na závěr byly hodnoty gravitačního potenciálu a jeho derivací vyneseny do grafu jako funkce délky průvodiče.
Závěr: Byl vypočten gravitační potenciál a jeho 1. a 2. derivace pro Zemi nahrazenou nejprve homogenní koulí a poté dvěmi kulovými vrstvami. Výsledky byly vyneseny do grafů a oba způsoby nahrazení porovnány. Porovnáním obou modelů bylo zjištěno, že vně Země je průběh funkce gravitačního potenciálu stejný pro oba modely. Funkce je klesající konvexní. Liší se však hodnota potenciálu, což je způsobeno různou hustotou použitou v modelech. Uvnitř Země je však průběh funkce u obou modelů značně rozdílný. Zatímco pro homogenní kouli je funkce klesající konkávní, pro dvě kulové vrstvy je funkce nejprve konstatní (dutina) a dále klesající (průchod vrstvami). Obdobný je i průběh 1. derivace. Vně Země mají oba modely stejný průběh. Rostoucí, konkávní funkce. Uvnitř homogenní koule je průběh 1. derivace klesající lineární funkce. Pro dvě kulové vrstvy je hodnota 1. derivace nejprve rovna 0 (dutina) a poté klesající lineární funkce (průchod vrstvami). První derivace je vždy záporná. Pro homogenní kouli je 2. derivace nejprve konstatní (uvnitř koule) a poté klesající konvexní funkce (vně koule). Pro model se dvěma kulovými vrstvami je 2. derivace nejprve rovna 0 (dutina), poté rostoucí funkce (průchod vrstvami) a vně Země klesající konvexní funkce. Vně Země je pro oba modely průběh 2. derivace opět obdobný. Z grafů je rovněž patrné, že gravitační potenciál a 1. derivace jsou spojité, zatímco 2. derivace je nespojitá na rozhraní vrstev. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Přílohy: 1. Zdrojový kód pro výpočet v programu Octave V Kralupech nad Vltavou 10.11.2010 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)