VÝZNAM VLASTNÍCH FREKVENCÍ PRO LOKALIZACI POŠKOZENÍ KONZOLOVÉHO NOSNÍKU Ing. Petr FRANTÍK, Ph.D., Ing. David LEHKÝ, Ph.D., Ústav stavební echaniky, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně, tel.: 5 44 7376, e-ail: frantik.p@fce.vutbr.cz, lehky.d@fce.vutbr.cz, Abstrakt V článku je prezentován výsledek nuerické studie vlivu ístního snížení ohybové tuhosti konzolového nosníku na íru zěny jeho vlastních frekvencí. Studie zohledňuje i význa velikosti poškození. Pro výpočet odálních vlastností konstrukce je vyvíjena odlišná etodika od úlohy o vlastních číslech, aby bylo ožné řešit i nelineární probléy.. ÚVOD V odvětví ostního inženýrství se v souvislosti s údržbou ostů a zjišťování jejich životnosti instalují rozsáhlé onitorovací systéy. S jejich poocí je získávána dynaická odezva konstrukce ve forě časových řad (zrychlení, rychlosti apod.). Z nich bývají následně stanoveny tzv. odální vlastnosti (vlastní tvary a ji odpovídající vlastní frekvence), tluící charakteristiky a v případě znalosti referenčního stavu také srovnávací kritéria MAC, FRAC, COMAC (viz např. Pirner, 23). Snahou odborníků je využití takto získaných inforací z odezvy konstrukce pro lokalizaci poškození a následné stanovení zbytkové životnosti. Předpokládá se, že lokální poškození konstrukce se projeví zěnou výše zíněných paraetrů. Porovnání s neporušený stave lze poté zpětně detekovat ísta porušení. Uvedený postup spadá do oblasti pokročilého nedestruktivního testování. Pro lokalizaci poškození konstrukce se v současnosti nejčastěji využívá tzv. odel updating ethod (Teughels a kol., 22, Huth a kol., 25). Zde se jednotlivé neznáé paraetry odelu (tuhosti) iterativně nastavují tak, aby se inializoval rozdíl ezi experientálníi a nuericky získanýi daty, přičež se bere v potaz citlivost jednotlivých paraetrů na celkovou odezvu konstrukce. Cíle výzkuu je vytvoření jiné alternativní etodiky, která je založená na využití prostředků uělé inteligence. Výzku tí navazuje na téa identifikace paraetrů ateriálových odelů poocí uělých neuronových sítí (Lehký, 26). Příspěvek zachycuje probleatiku počáteční fáze vývoje etodiky, tedy volbu a vytvoření nuerických prostředků pro odelování dynaického chování konstrukce a vypracování studie význau vlastních frekvencí pro lokalizaci poškození konzolového nosníku. Vlastní frekvence jsou vlastností konstrukce a tedy nezávisí na konkrétní zatížení. K jejich získání je ožné použít data naěřená při běžné provozu. Dílčí cíle práce je rovněž přiblížení výpočetního postupu k experientálníu získávání dynaických vlastností konstrukce. Modální vlastnosti jsou vypočteny z kitání odelu konstrukce, která je zatížena silový ipulze. Nevýhodou tohoto postupu je relativně větší složitost výpočtu. Výhodou je univerzálnost odelu lze řešit i nelineární kitání. 2. MODEL Pro výpočet kitání konzolového nosníku je užit odel vzniklý diskretizací kontinua poocí etody tuhých dílců. Konzolový nosník je rozdělen na tuhé dílce spojené klouby s rotačníi pružinai, které vystihují pružné ohybové přetváření nosníku, viz obr..
Obr. Konzolový nosník a jeho odel v deforované stavu Model uožňuje efektivní řešení nestacionárního nelineárního kitání a výhledově jej lze využít i pro identifikaci poškození nelineárně se chovajících konstrukcí. Pohybové rovnice odelu, podrobně odvozené v práci (Frantík, 24), lze psát ve tvaru: d 2 M ω = Qω Kϕ Cω + F, dt d ϕ = ω, dt kde ϕ je vektor pootočení tuhých dílců, ω je vektor úhlových rychlostí tuhých dílců, M je atice oentů setrvačnosti, Q je atice zohledňující velká přeístění dílců, K je atice tuhosti rotačních pružin, C je atice koeficientů útluu, F je vektor zatížení osaělou silou na volné konci a t je čas (podrobněji viz Frantík, 24). Pro účely identifikace poškození nosníku á důležitý význa zejéna atice tuhosti K, protože lokální poškození je v odelu reprezentováno snížení tuhosti rotační pružiny. Matice K je třídiagonální a její tvar je následující: 2k + k2 k2 k2 k2 + k3 k3 K k 3 k3 + k4 k4 =, O O O (2) k n 2 kn 2 + kn kn kn kn přičež k i jsou tuhosti rotačních pružin, kde k je tuhost pružiny u vetknutí a n je počet tuhých dílců, jiiž je konzola odelována (zároveň odpovídá i počtu pružin). Pružina s tuhostí k i á pootočení dané rozdíle ϕ i ϕ i s výjikou první pružiny, která á pootočení 2ϕ (zohledněné dvojnásobke v atici K). Pro zachování souvislosti ezi odele a reálnou konstrukcí budee užívat ísto zěny tuhosti pružiny k i zěnu ohybové tuhosti EI i dílce, viz kapitola 3, pro které platí k=ei/l d, kde L d je délka dílce. Chování odelu bylo podrobeno srovnání s teoretickýi hodnotai. Pro vlastní frekvence kitání konzolového nosníku konstantního průřezu, za předpokladu zanedbání vlivu přetvárné práce posouvajících sil a rotační setrvačnosti (Bernoulliova-Eulerova teorie, viz Brepta a kol., 994), platí: f 2 λ EI =, cosλ cosh 3 λ 2π l =, kde λ je řešení uvedené funkce, přičež je číslo (pořadí) vlastního tvaru s příslušnou vlastní frekvencí f. Je-li λ λ, pak f f pro každé celé. < + < + () (3)
Na obr. 2 je vidět srovnání vypočtených vlastních frekvencí odelu o 2 dílcích s hodnotai stanovenýi dle vztahu (3), přičež první vlastní frekvence á odchylku pouze % (není v grafu patrné). Poznaeneje, že Bernoulliova-Eulerova teorie je přibližný řešení, viz Brepta a kol. (994). Frekvence f [Hz] 5 45 4 35 3 25 2 5 5 Bernoulli-Euler 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 Číslo vlastní frekvence Obr. 2 Graf srovnání teoretických a nuerických hodnot vlastních frekvencí Postup výpočtu odálních vlastností je následující: Nosník je zatížen silový ipulze, přičež se zaznaenávají časové řady kitání (výchylky a rychlosti). Takto získané časové řady jsou pak zpracovány poocí rychlé Fourierovy transforace (FFT). Z této transforace lze poté snadno získat vlastní frekvence a odpovídající vlastní tvary. Nevýhodou tohoto přístupu ůže být poněkud zdlouhavější a složitější postup získání odálních vlastností než v případě tradičního řešení úlohy o vlastních číslech. Výhodou však je univerzálnost odelu, ožnost aplikace na nelineární probléy a výše zíněná podobnost s experiente, a tí i jednodušší porozuění experientální výsledků a potíží s jejich zpracování. 3. PARAMETRICKÁ STUDIE nuerický odel, 2 dílců Pro studii význau vlastních frekvencí na lokalizaci poškození byl zvolen jednoduchý konzolový nosník konstantního průřezu. Výběr byl ovlivněn předpoklade pozdějšího vlastního experientálního ěření, existencí analytického řešení a nesyetrií prvku (na rozdíl např. od prostého nosníku). Syetrické prvky ají syetrické a antietrické vlastní tvary, což způsobuje nejednoznačnost identifikace poškození. Cíle studie bylo zjistit, které vlastní frekvence jsou ovlivněny zěnou tuhosti v určité ístě na nosníku. Tato inforace je důležitý vodítke pro budoucí inverzní analýzu. Poznaeneje, že získávání vlastních frekvencí (zejéna těch vyšších) z experientálního ěření není triviální záležitostí a nese s sebou celou řadu probléů. Pro účely studie bylo pracováno s prvníi šesti vlastníi frekvencei. Poěr první a šesté vlastní frekvence je přibližně :25. Pro účely studie byl konzolový nosník rozdělen na 2 dílců a na každé dílci definována ohybová tuhost EI (tedy EI až EI 2 ). Protože nás zajíají pouze relativní zěny frekvencí ve vztahu k relativní zěná tuhostí, byla počáteční tuhost uvažována jako jednotková, stejně tak i další paraetry nosníku (hotnost, délka nosníku l). Poškození nosníku v dané ístě bylo odelováno snížení ohybové tuhosti dílce na,95,5 noinální hodnoty. Výpočet se provedl opakovaně pro poškození ve všech dílcích s tí, že poškozen byl vždy právě jeden dílec. Zíněný rozsah poškození byl zkouán z důvodu schopnosti inverzní analýzy detekovat poškození na základě pouhé zěny vlastních frekvencí. Jak vyplývá z níže uvedených výsledků, alé poškození způsobuje pouze jejich zanedbatelnou zěnu.
Na následujících obrázcích je zachycen průběh relativní zěny vlastní frekvence f (obr. 3), f 2 (obr. 4) a f 3 (obr. 5) v závislosti na velikosti poškození a jeho poloze. Z obrázků je zřejé, že zěny frekvencí kopírují vlastní tvary nosníku a polohy jejich axiálních hodnot odpovídají polohá aplitud daných vlastních tvarů. Dále je vidět, že výraznější zěna vlastních frekvencí ( % a více) se objeví až v případě výraznějšího poškození (3 % noinální tuhosti). Poškození v ístě uzlu vlastního tvaru se nijak neprojeví na zěně odpovídající vlastní frekvence. Z toho vyplývá nutnost použití většího počtu frekvencí pro inverzní analýzu, kdy je absence zěny u jedné vlastní frekvence kopenzována zěnou u jiných vlastních frekvencí.. Relativní zěna frekvence f [-]...7.8.9 Relativní íra tuhosti poškozeného dílce [-] 2 5 Index poškozeného dílce 5 Obr. 3: Relativní zěna frekvence f při různých úrovních tuhosti v jednotlivých poškozených dílcích 5 5. 5 Relativní zěna frekvence f 2 [-] 5...7.8.9 Relativní íra tuhosti poškozeného dílce [-] 2 5 Index poškozeného dílce 5 Obr. 4: Relativní zěna frekvence f 2 při různých úrovních tuhosti v jednotlivých poškozených dílcích
5 5. Relativní zěna frekvence f 3 [-] 5...7.8.9 Relativní íra tuhosti poškozeného dílce [-] 2 5 Index poškozeného dílce 5 Obr. 5: Relativní zěna frekvence f 3 při různých úrovních tuhosti v jednotlivých poškozených dílcích Na obr. 6 je znázorněno rozložení axiální relativní zěny vlastních frekvencí (uvažováno je prvních šest vlastních frekvencí). Odstíne šedé je odlišena frekvence, která k danéu axiu přísluší. Nejenší relativní zěna při velké poškození ( % počáteční tuhosti) je dle očekávání na volné konci konzolového nosníku (9 %). Další nízká hodnota při toto poškození se nachází na dílcích 8 a 9 (8 % a 7 %) na přechodu ezi aplitudou prvního a druhého vlastního tvaru. Naopak, například pátý dílec, kde se nachází uzel druhého vlastního tvaru, vykazuje axiální zěnu frekvence 28 % díky prvníu vlastníu tvaru. Maxia relativních zěn frekvencí Relativní íra tuhosti poškozeného dílce [-] Index poškozeného dílce Obr. 6: Maxiální hodnoty relativních zěn frekvencí (použito prvních 6 frekvencí) a určení vlastních frekvencí, které přísluší danéu axiu (dle odstínu šedé v legendě)
Relativní zěny vyšších frekvencí nejsou tak výrazné jako u prvních dvou frekvencí, jejich hodnoty však nabývají na význau sěre k volnéu konci konzolového nosníku, kde význa prvních dvou frekvencí klesá. Bez vyšších frekvencí by pak byla identifikace poškození v těchto částech obtížná. 4. ZÁVĚR Cíle příspěvku bylo prezentovat výsledky počáteční fáze výzkuu zaěřeného na vytvoření etodiky pro lokalizaci poškození dynaicky naáhaných konstrukcí s využití prostředků etod uělé inteligence. Studie relativních zěn frekvencí konzolového nosníku, který byl podroben lokalizovanéu poškození ukázala, jaký vliv á velikost a poloha daného poškození na odální vlastnosti. Překvapující je zhoršení ožnosti zachycení poškození přibližně ve 2/5 délky nosníku (ěřeno od vetknutého konce, viz obr. 6). Další práce bude zaěřena na využití zěn vlastních tvarů, protože zěny frekvencí jsou význané až při relativně velké poškození nosníku, což je všeobecně znáo. 5. PODĚKOVÁNÍ Tento výsledek byl získán za finančního přispění MŠMT, projekt M68477, v ráci činnosti výzkuného centra CIDEAS. Při řešení byly částečně využity teoretické výsledky dosažené v projektu GAČR 3/4/292. 6. LITERATURA [] BREPTA, R., PŮST, L., TUREK, F., 994: Mechanické kitání, Technický průvodce 7, nakladatelství Sobotáles, Praha. [2] FRANTÍK, P., 24: Nelineární projevy echanických konstrukcí, disertační práce, FAST, VUT v Brně, 48 s. [3] HUTH, O., FELTRIN, G., MAECK, J., KILIC, N., MOTAVALLI, M., 25: Daage identification using odal data: Experiences on a prestressed concrete bridge, Journal of Structural Engineering, ASCE, 3:2, 898-9. [4] LEHKÝ, D., 26: Inverzní stochastická analýza betonových konstrukcí, disertační práce, FAST, VUT v Brně, 36 s. [5] PIRNER, M., FISHER, O., 23: Identifikace zěn v konstrukci s použití dynaické zkoušky, sborník konference DYN-WIND 23 (Proceedings of the 2nd International Conference on Dynaics of Civil Engineering and Transport Structures and Wind Engineering), Tále, Slovensko, 26-29. [6] TEUGHELS, A., MAECK, J., De ROECK, G., 22: FEM updating of a reinforced concrete bea using daage function, International Conference on Structural Dynaics Modelling, Madeira, Portugal.