MA3G přednáška ========= 6. 10. 2015 ========== MíraaRiemannůvintegrálvR n. notace, zápis IntervalvR n. MíraintervaluvR n,volume Pojem míry(náznak), aditivita disjunktních množin Diametr množiny Př.: Diametr intervalu, diametr koule DěleníintervaluvR n. Zjemnění(bez def., intuitivně) Norma dělení, příklad Normální posloupnost dělení Vnitřní a vnější součet Omezenost vnějšího součtu, existence inf, sup Vnitřní a vnější míra množiny Jordanova míra, měřitelné množiny CamilleJordan,větaouzavřenékřivce,vrovině,nakoulianatoroidu Ekvivalence míry s limitou vnějšího součtu pro normální posloupnost dělení Jordanovamíraintervalu Ijevol(I) ideadk Jordanova míra je aditivní pro disjunktní měřitelné množiny Měřitelnost disjunktního sjednocení Míra hladké křivky je nulová Míra části nadroviny je nulová Charakteristická funkce množiny ========= 13. 10. 2015 ========== Charakteristická funkce množiny a převod integrálu z obecné množiny M na interval Doplnění def. oboru funkce na interval začtverečkovaná funkce f Definice Riemannova integrálu systém reprezentantů integrální součet definice pomocí reprezentantů horní a dolní riemannovský součet, horní a dolní integrál alternativní definice pomocí sup, inf příklad, že některé limity integrálních součtů při speciálním dělení mohou konvergovat, přesto integrál neexistuje Definice integrovatelné funkce, integrálu přes množinu M, značení Základní vlastnosti linearita měřitelnost disj. sjednocení aditivita vzhl. k integračnímu oboru srovnávací princip důsledek: srovnání s nulou důsledek: integrál z absolutní hodnoty Integrovatelnost. diskontinuity, množina disc(f ) Lebesgueova věta o riemannovské integrovatelnosti aplikace na obvyklé typy oblasti příklad: oblast ohraničená Peanovou křivkou kteoriichyb:jednímměřenímlzepopsatpolohuve2d Jednorozměrný R-integrál je konzistentní s R-integrálem funkce jedné proměnné. Věty fubiniovského typu. Fubiniho věta pro Lebesgueův integrál 1
du Bois Reymondova věta Příklad na element. oblast Řezmnožinou M x, projekcemnožiny naosu x Zjednodušenéformulacepro R 2. Příklad: integrace na trojúhelníku Změna pořadí při integraci: geometrická a analytická cesta ============ cvič. Změna pořadí integrace Jordanova míra integrovatelnost integrál čtyřstěn, klín nad parabolou Polární souřadnice zobrazení do pravoúhlých ================================= cvič.: násobné integrály transformace obrazců do polárních souřadnic ========= 20. 10. 2015 ========== Polární souřadnice cesta tam a zpátky varianty při výpočtu směru transformace souřadnic souřadnicové křivky(plochy) tečné vektory souřadnicových křivek zobrazení vektoru z tečného prostoru do tečného prostoru Jacobiho matice připomenutí: objem rovnoběžnostěnu je determinant jakobián patologický případ lin. závislé tečné vektory regulární zobrazení test regularity nenulový jakobián Věta o substituci, idea důkazu příklad s výpočtem jakobiánu polárních souřadnic Aplikace integrálu těžiště vzorce pro těžiště Těžiště elementárního obrazce konzistence vzorců s MA2G vzorce pro moment setrvačnosti ========= 27. 10. 2015 ========== Poznámka k nehomogenním tělesům v integrálech je hustota Cylindrické souřadnice souřadnicové plochy jakobián Sférické souřadnice souřadnicové plochy odvození z dvojnásobných polárních souřadnic jakobián Příklad těžiště kuželu počítáno ve dvou pořadích integrace připomenutí: Těžiště je na ose symetrie Tenzor setrvačnosti elipsoid momenthybnostinemusíbýtvesměrurotačníosy, B= JΩ kinetická energie setrvačníku hlavní osy elipsoidu, vlastní čísla a vektory matice(v náznaku), rotace okolo vlastního směru Eulerovy rovnice(odkaz) 2
platónský rok, precese posun jarního bodu, důsledky pro zodiak ========= 3. 11. 2015 ========== Moment setrvačnosti vzhledem k obecné přímce Pohyb pólu, sekulární pohyb, Chandlerova perioda Steinerova věta(dk) Poznámka: Moment setrvačnosti vůči těžišti je minimální Příklad: Moment setrvačnosti obdélníku pomocí Steinerovy věty Helmertova transformace invariance momentů Poznámka: klasifikace obrazových dat pomocí momentů Objem tělesa spojnic podstava bod Příklad: šikmé kužely Cavallieriho princip Archimedův výpočet objemu koule Pickova věta(idea dk) ========= 10. 11. 2015 ========== 1. písemka Pojem plochy, parametrizace plochy Tečné směry, normálový směr Aplikace integrálu výpočet plochy projekcí do půdorysu Analogie s výpočtem délky křivky ========= 17. 11. 2015 ========== státní svátek ========= 24. 11. 2015 ========== Guldinovy věty Příklad objem toroidu Laplaceův integrál Gaussovo rozdělení je pevný bod Fourierovy transformace konvoluce, rozmazání, souvislost s centrální limitní větou Křivka, parametrizovaná křivka Tečný vektor Regulární křivka Hladkákřivka(?) Parametrizace obloukem Příklady regulárních a neregulárních parametrizací Křivkový integrál Přehled různých způsobů značení tečného vektoru, derivací dle Newtona, Leibnize atd. Příklad: délka kružnice Příklad: těžiště křivky ========= 1. 12. 2015 ========== 2. zápočtová písemka ========= 3. 12. 2015 ========== na cvičení: rozbor 2. písemky analytická metoda pro sestavování mezí Viviani, Vivianiho okénko parametrizace Vivianiho křivky 3
========= 8. 12. 2015 ========== (testzvyrovnáváku...zač.+15min) SteinerovavětaaE((X EX) 2 )=EX 2 (EX) 2 Připomenutí: křivka Vektorová funkce, bodová funkce Křivka je bodová funkce Cojetooblast Vektorové pole Deformace prostoru příklady Helmertova transf., směr větru, gradient teploty, grav. síla reparametrizace křivky, rovnost křivek Vě: Křivkový integrál I. druhu nezávisí na orientaci(dk) Projekce vektoru do směru je skalární součin Křivkový integrál II. druhu Různá značení, integrál přes uzavřenou křivku. Vě: Křivkový integrál II. druhu závisí na orientaci(dk) Cirkulace Tok přes hranici Jednotková vnější normála Gaussova věta def.: Divergence Divergence popisuje zdroje vektorového pole Gaussova věta na obrázku ========= 15. 12. 2015 ========== Křivka v polárních souřadnicích Příklady: Archimedova spirála logaritmická spirála vlastnosti logaritmické spirály: úhel paprsků loxodroma Fibonacciho čísla, králíci zlatý řez, slunečnice a ananas Aplikace křivkového integrálu výpočet obsahu válcové plochy na cvičení Křivkový integrál v polárních souřadnicích Příklad pro Arch. spirálu Derivace součinů vektorových funkcí Připomenutí: Parametrizace obloukem Věta: Každou(hladkou) křivku lze parametrizovat obloukem Příklad: změna parametru u kružnice Tečný vektor, jeho derivace je normála(dk) Oskulační rovina, oskulační kružnice Binormála Normálová a rektifikační rovina Prvníadruhákřivost flexeatorze Inflexní bod není hlavní normála Vztah mezi 1. křivostí a poloměrem oskulační kružnice Frenetův repér ========= 22. 12. 2015 ========== Připomenutí: parametrizace obloukem křivost, geometrický význam Příklad: oskulační kružnice pro šroubovici Frenetovy formule[nezk.] zádrhelbylvb=t n,nikoli n t Křivost křivky pro lib. parametrizaci, dk 4
Gaussova, Greenova a Stokesova věta Divergence a rotace, zápis pomocí nabla Laplaceův operátor Nezávislost integrálu na cestě Potenciál Příklad na hledání potenciálu a výpočet křiv. integrálu ========= 5. 1. 2016 ========== Připomenutí: Divergence, gradient, rotace, curl Nabla, zápisy operátorů pomocí nably Divergence gradientu, Laplaceův operátor Divergence z rotace Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace... Dirichletovy a Neumannovy okrajové podmínky Pojem klasického řešení diferenciální rovnice Fourierův princip, vedení tepla v nehomogenním(anizotropním) materiálu Odvození rovnice stacionárního vedení tepla Geometrický význam divergence Divergence na obrázku Tok přes hranici infinitezimálně malého čtverce, souvislost s rotací Význam rotace Spádnice/proudnice, klouzání vrstev, vnitřní tření Rozhraní při míchání tekutin, příklady míchání dvou hmot v našem světě. Rotace v počítačové grafice otočení obrazce pomocí dvou zkosení Invariace divergence a rotace vůči otočení souřadnicového systému. L Huillierovy vzorce spojitá verze ========== Další inspirace k samostudiu: Potenciální a nepotenciální vír Navier-Stokesovy rovnice 5