4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě funkce jsou souřadnice bodu T na jednotkové kružnici body STT 0 tvoří pravoúhlý trojúhelník platí Pythagorova věta kružnici). 0 0 ST + T T = ST = (bod T leží na jednotkové Př. : Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí zároveň ;. = a Hodnotu určíme ze vzorce: = sin = (protože + =. cos = ) 9 6 4 = = = = = je v intervalu ; záporný 4 = Hodnoty ostatních funkcí zjistíme s definičních vztahů:
= = = 4 4 4 4 co = = =. Př. : Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí = a zároveň < 0. Rozhodni, do kterého z intervalů 0;, ;, ; a ; náleží úhel. Hodnotu určíme ze vzorce: = cos = (protože + =. sin cos sin = ) 8 = = = = = 9 9 Hodnoty ostatních funkcí zjistíme s definičních vztahů: = ( < 0 ) tg = = = co = = = =. 4 Protože hodnoty i jsou záporné, leží koncové rameno orientovaného úhlu ve třetím kvadrantu a platí tedy ;. Př. : Urči, kdy je definován výraz co, a pak jej zjednoduš. Definiční obor: Musí být definovány všechny funkce ve výrazu : není definován pro = + k, co není definován pro = 0 + k, musíme vyloučit + k ; 0 + k = k. Žádné další hodnoty vyloučit nemusíme, protože ve jmenovateli zlomku je součet druhé mocniny a jedničky, tedy číslo vždy kladné. Upravujeme výraz: + co sin sin sin = = = = = co +
Druhý vzorec: Pro každé k, kde k Z platí: co =. Vzorec se používá i v jiných tvarech: = co nebo co =.. Př. 4: Vysvětli, proč je ve vzorci uvedena podmínka k, kde k Z. Jak jsme zjistili při řešení příkladu, pro k, kde k Z není vždy jedna z obou funkcí nebo co definována nemá smysl uvažovat o platnosti vztahu co =. Př. : Dokaž platnost vztahu co =. Dosadíme: =, co = = = co =. co Př. 6: Zjednoduš výraz pomocí vzorce co =. ( + ) co co co co cotg = = = = cotg co + co + cotg co Př. 7: Odhadni výsledek, který vznikne zjednodušením výrazu výpočtem. ( + ) tg = = = = tg + co + +. Odhad potvrď co Umíme určit hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, pokud známe hodnotu nebo a znaménko druhé funkce (případně interval). Dokážeme určit hodnoty i v případě, že budeme znát hodnoty ( co )?
Zkusíme určit hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí = a zároveň ;. Snadno určíme co : co = co = =. Hodnoty dalších funkcí: vztahy = = i co = = z obou vztahů získáme rovnici: = nevede k cíly ( rovnice na dvě neznámé) musíme přidat další rovnici použijeme + = rovnice na dvě neznámé, šlo by to, ale jde to i rychleji. Rychlejší postup: + = = = = = V intervalu = + = / : ( ) = = ; jsou hodnoty kladné =. = = = ( ) Pedagogická poznámka: Předchozí postup ukážu studentům rychle na tabuli s tím, že si jej nemají opisovat. Postup si zachytí do sešitu při řešení následujícího příkladu (který je velmi podobný). Při jeho řešení nechávám předchozí postup na tabuli. Př. 8: Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě, jestliže platí cotg = a zároveň 0;. Podobný postup jako výše: + = / : (potřebujeme získat zlomek + = co + = sin = = = = = co co = ) 4
V intervalu 0; jsou hodnoty kladné =. co = 6 = co = = Př. 9: Vyřeš předchozí příklad pomocí pravoúhlého trojúhelníku. Pro 0; jsou hodnoty všech goniometrických funkcí kladné. přilehlá Platí: cotg = poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníku co = s úhlem protilehlá je hodnoty goniometrických funkcí můžeme určovat například z následujícího pravoúhlého trojúhelníku: c = a + b = + = c =. Délka přepony: ( ) Hodnoty zbývajících goniometrických funkcí: = = 6 = = Pedagogická poznámka: Postup z příkladu 9 je sice méně elegantní a eaktní, ale pro většinu studentů snáze přijatelný. Ve skutečnosti si podobný trojúhelník můžeme nakresli i pro úhly se základní velikostí mimo interval 0;. Z pravoúhlého trojúhelníku si určíme absolutní hodnoty hodnot goniometrických funkcí a znaménka zjistíme z polohy koncového ramene úhlu. Př. 0: Petáková: strana 44, cvičení 4 c) Pedagogická poznámka: Při procvičování úprav je dokazování rovností zařazeno před zjednodušování výrazů záměrně. Při dokazování rovností mohou studenti používat i ekvivalentní úpravy (násobení rovnic apod.), které se potom někteří snaží uplatnit i u výrazů. Opět je v takovém případě (až po chybách) potřeba třídu upozornit, že jde o dva rozdílné úkoly, které je nutné řešit různými způsoby.
Př. : Urči, kdy je definovaná rovnost ( ) ( ) sin = cos, a pak ji dokaž. Na obou stranách rovnosti jsou zlomky nesmíme dělit nulou: 0 + k, k Z cos ( ) 0 0 + k, k Z R + k cos =. Odstraníme znaménka uvnitř funkcí: ( ) =, ( ) = / ( ) = = sin = ( )( ) Př. : Urči definiční obory následujících rovností a dokaž je. 4 4 a) = b) = c) + co = + co a) = sin tg cos cos Rovnost obsahuje funkci = = rovnost platí. + k, kde k Z R + k. 4 4 b) = R + = + ( )( ) ( sin cos ) sin cos = rovnost platí. c) + co = + co Rovnost obsahuje funkci, co + k, 0 + k 0 + k, kde k Z. Tím jsme vyřešili i hodnoty, pro které platí = 0 nebo co (když je jedna z těchto funkcí nulová, druhá není definována) R k. 6
+ co = + co + = + ( ) + = + + = + + + = + rovnost platí. Př. : Urči definiční obor výrazu a poté ho zjednoduš. + a) b) d) ( ) + co + c) + co a) Definiční obor: dělíme 0 R + k sin cos ( )( + ) = = = + k, k Z + b) Definiční obor: dělíme 0 + k, k Z 4 + k R + k ; + k 4 + + + = = = + + c) co Definiční obor: dělíme co 0 + k, k Z 7
+ k, co k R k + + + cos cos cos = = = = = co d) ( ) + co + Definiční obor: + k, co k R k + co + = ( ) = + + = 4 4 + 4 4 = + = + + = sin sin + + = ( ) 4 4 + = = cos Př. 4: Petáková: strana 4, cvičení 47 c), f), i), m) strana 4, cvičení 46 b), c), e), h), m) Shrnutí: Platí sin + = (pravoúhlý trojúhelník) a co = (definice). 8