1 Modelování pružného podloží

1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 1 1 Modelování pružného podloží Úloha mechaniky zemin Modely pružného podloží interakce podloží se základovými konstrukcemi Boussinesqův model (pružný poloprostor) [2]: homogenní izotropní podloží, charakterizováno dvěma materiálovými parametry E a ν. Plně trojrozměrný model u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) Westergaardův model (pružný poloprostor) [5]: homogenní aniso-

1 MODELOVÁNÍ PRUŽNÉHO PODLOŽÍ 2 tropní podloží, charakterizováno parametry E a ν. Kinematické předpoklady u(x, y, z) = v(x, y, z) = w(x, y, z) Model pružné vrstvy [3]: založen na představě deformační zóny J. Boussinesq H. L. F. von Helmholtz Pasternak H. M. Westergaard Winkler

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 3 2 Winkler-Pasternakův model pružné vrstvy 2.1 Kinematické předpoklady Posuny u a v jsou zanedbatelné vůči posunu w u(x, y, z) = v(x, y, z) = Posun w lze vyjádřit v závislosti na posunu povrchu w(x, y, z) = w(x, y, )ψ(z) = w(x, y)ψ(z)

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 4 Funkce ψ(z) závisí na materiálových vlastnostech podloží a vlastnostech základové konstrukce. Vzhledem ke značné neurčitosti vstupních dat v geotechnických problémech postačuje u tenkých vrstev uvažovat lineární průběh. V každém případě ψ splňuje podmínky ψ() = 1, ψ(h) =. (1) 2.2 Geometrické rovnice Nenulové složky tenzoru deformace ε z (x, y, z) = w z = dψ(z) (w(x, y)ψ(z)) = w(x, y) z γ zx (x, y, z) = w x + u z γ zy (x, y, z) = w y + v z w(x, y) = ψ(z) x w(x, y) = ψ(z) y

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 5 Ostatní složky Kompaktní zápis ε x (x, y, z) =, ε y (x, y, z) =, γ xy (x, y, z) = ε z (x, y, z) = w(x, y) dψ(z) γ zx (x, y, z) γ zy (x, y, z) = x w(x, y)ψ(z) y (2) γ(x, y, z) = w(x, y)ψ(z) (3) 2.3 Konstitutivní rovnice Pro jednoduchost neuvažujeme vliv počátečních deformací

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 6 Normálová napětí σ z (x, y, z) = λ(x, y, z)(1 ν(x, y, z))ε z (x, y, z) = E oed (x, y, z)ε z (x, y, z) (4) Smyková napětí τ zx (x, y, z) = G x (x, y, z)γ zx (x, y, z) τ zy (x, y, z) = G y (x, y, z)γ yz (x, y, z) Kompaktní zápis τ zx (x, y, z) τ zy (x, y, z) = G x(x, y, z) G y (x, y, z) γ zx (x, y, z) γ zy (x, y, z) τ(x, y, z) = G(x, y, z)γ(x, y, z)

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 7 2.4 Statické rovnice Všechny nenulové složky napětí působí ve směru osy z jediná podmínka rovnováhy τ zx (x, y, z) x + τ zy(x, y, z) y + σ z(x, y, z) z + Z(x, y, z) = Kompaktní zápis { x y } τ zx (x, y, z) τ zx (x, y, z) + σ z(x, y, z) z T τ(x, y, z) + σ z(x, y, z) z + Z(x, y, z) = + Z(x, y, z) = (5) 2.5 Okrajové podmínky Kinematické okrajové podmínky není třeba specifikovat (viz též cvičení č. 5)

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 8 Statické okrajové podmínky Na povrchu pružné vrstvy (z = m) σ z (x, y, )n z (x, y) p z (x, y) = σ z (x, y, ) p z (x, y) = (6)

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 9 Na svislých hranách (x Γ ; h ) τ zx (x, y, z)n x (x, y) + τ zy (x, y, z)n y (x, y) τ(x, y, z) = { } τ zx (x, y, z) n x (x, y) n y (x, y) τ(x, y, z) = τ zy (x, y, z) n T (x, y)τ(x, y, z) τ(x, y, z) = (7) 2.6 Řídicí rovnice 2.6.1 Dimenzionální redukce problému Integrací podmínky rovnováhy (5) podle z s vahou ψ dostáváme ( T τ(x, y, z) + σ ) z(x, y, z) + Z(x, y, z) ψ(z) = z

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 1 Podtržený člen upravíme pomocí integrace per partes σ z (x, y, z) h ψ(z) = [σ z (x, y, z)ψ(z)] h z (1) = σ z (x, y, ) (6) = p z (x, y) σ z (x, y, z) dψ(z) σ z (x, y, z) dψ(z) σ z (x, y, z) dψ(z) Po dosazení dostáváme = T τ(x, y, z)ψ(z) + p z (x, y) + Z(x, y, z)ψ(z) σ z (x, y, z) dψ(z) Tato úprava nám umožňuje přejít z třírozměrné úlohy na dvojrozměrnou.

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 11 Poloha je nyní charakterizována pomocí dvou prostorových souřadnic x = {x, y} T Podmínku rovnováhy ve svislém směru vyjádříme pomocí (zobecněných měrných) posouvajících sil q(x) q(x) = τ(x, z)ψ(z) (zobecněné měrné) normálové síly n z n z (x) = (zobecněného) plošného zatížení p σ z (x, z) dψ(z) Tedy p(x) = p z (x) + Z(x, z)ψ(z) T q(x) n z (x) + p(x) = (8)

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 12 Obdobným způsobem modifikujeme statické okrajové podmínky (7) n T (x) τ(x, z)ψ(z) τ(x, z)ψ(z) = n T (x)q(x) q(x) = (9) 2.6.2 Konstitutivní rovnice Normálové síly n x n z (x) = (2) = ( σ z (x, z) dψ(z) (4) = E oed (x, z) dψ(z) dψ(z) E oed (x, z)ε z (x, z) dψ(z) ) w(x, y) = C 1 (x)w(x, y) Výsledkem je tedy vztah n z (x) = C 1 (x)w(x, y), (1)

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 13 kde konstanta C 1 [Nm 3 ] C 1 (x) = ( ) 2 dψ(z) E oed (x, z) je též někdy nazývána součinitel ložnosti. Posouvající síly q q x (x) q y (x) = (5) = (5) = τ zx (x, z) ψ(z) τ zy (x, z) G x(x, z) γ zx (x, z) ψ(z) G y (x, z) γ zy (x, z) G x(x, z) ψ 2 (z) w(x) G y (x, z) = C 2 (x) w(x)

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 14 Pro případ G x = G y = G q(x) = C 2 (x) w(x), (11) kde C 2 [Nm 1 ] C 2 (x) = Orientační hodnoty konstant C 1 a C 2 [4] a. G(x, z)ψ 2 (z). (12) a Ilustraci výpočtu těchto konstant lze též nalézt v seminární práci R. Grebíka: Prut na pružném podloží - zjištění tuhosti podloží http://ksm.fsv.cvut.cz/ zemanj/download/seminar/mk/23 24/grebik.pdf

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 15 Domací úkol 1. Vzájemně porovnejte dimenzionální redukci trojrozměrných rovnic pružnosti pro případ ohybu mindlinovských nosníků, ohybu mindlinovských desek a pružné vrstvy podloží. Pro vzájemné porovnání se můžete inspirovat následující tabulkou

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 16 Kinematické předpoklady Pole posunů Pole deformace (nenulové složky) Pole napětí (nenulové složky) Nezávislé podmínky rovnováhy Identicky splněné podmínky rovnováhy Základní deformační neznámé Vnitřní síly Podmínky rovnováhy ve vnitřních silách + způsob odvození Nové členy v konstitutivních rovnicích Modifikace statických okrajových podmínek Nosník Deska Podloží

2 WINKLER-PASTERNAKŮV MODEL PRUŽNÉ VRSTVY 17 2.7 Diferenciální rovnice pružné vrstvy Uvažujeme izotropní a homogenní materiál (vzhledem k souřadnicím x a y) C 1 (x) = C 1, C 2 (x) = C 2. Po dosazení konstitutivních rovnic (1) a (11) do podmínky rovnováhy (8) dostáváme C 2 T w(x) C 1 w(x) + p(x) =, tedy C 2 w(x) C 1 w(x) + p(x) = Z hlediska matematické terminologie se tato parciální diferenciální rovnice nazývá Helmholtzovou rovnicí.

3 SLABÁ FORMULACE 18 3 Slabá formulace Požadujeme, aby platilo ( ) δw(x) T C 2 (x) w(x) C 1 (x)w(x) + p(x) Ω pro všechny váhové funkce δw(x). dx = Aplikací Gaussovy věty upravíme předchozí rovnost na = Γ Ω n T q=q viz (9) {}}{ δw(x) n T (x)c 2 (x) w(x) dx ( δw(x)) T C 2 (x) w(x) dx Ω δw(x)c 1 (x)w(x) dx + δw(x)p(x) dx Ω

3 SLABÁ FORMULACE 19 Slabé řešení w(x) tedy splňuje pro všechna δw(x) δw(x)c 1 (x)w(x) dx + ( δw(x)) T C 2 (x) w(x) dx = Ω Ω δw(x)q(x) dx + δw(x)p(x) dx 3.1 Galerkinovská aproximace Γ Aproximace neznámých w(x) a jejich gradientů T w(x) Ω w(x) N(x)r, T w(x) T N(x)r = B(x)r. Aproximace váhové funkce δw(x) a jejího gradientu T δw(x) δw(x) N(x)δr, T δw(x) T N(x)δr = B(x)δr.

3 SLABÁ FORMULACE 2 Aproximace slabé formulace Ω ( N(x)δr ) T C1 (x)n(x)r dx + Ω ( N(x)δr ) T q(x) dx + ( B(x)δr ) T C2 (x)b(x)r dx = ( N(x)δr ) T p(x) dx, Γ Ω pro všechna δr. Soustava lineárních rovnic K r = R = R q + R p, kde K = R q = R p = Ω Γ Ω ( ) N T (x)c 1 (x)n(x) + B T (x)c 2 (x)b(x) N T (x)q(x) dx N T (x)p(x) dx dx

4 NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ 21 4 Nekonečný a dokonale tuhý pás na pružném podloží Uvažujeme pás šířky 2b na homogenním a izotropním podloží Řešení rozdělíme na část odpovídající okolní zemině a na část pod základem Rovnice pružné vrstvy C 1 w(y) C 2 d 2 w(y) dy 2 =

4 NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ 22 Řešení kde Okrajové podmínky w(y) = Ae αy + Be αy, α 2 = C 1 C 2 Průběh sednutí okolní zeminy Posouvající síla na okraji základu y : w B = y = : w = w A = w w(y) = w e C 1 /C 2 y q y (y = ) = C 2 dw(y) dy y= = w C1 C 2 Velikost poklesu základu w určíme z podmínky rovnováhy pro příčný

4 NEKONEČNÝ A DOKONALE TUHÝ PÁS NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ 23 proužek šířky 1 m vyjmutý z pásu f 2bf = 2w C1 C 2 + C 1 w 2b w = C1 C 2 b Efektivní konstanta podloží pro modelování pásu + C 1 = f C 1 C 1 = C 1 + C1 C 2 Obdobným způsobem lze opravit zbývající konstanty podloží; viz [1, kapitola 2.1.2] b Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz. Opravy verze -1: Odstraněná celá řada překlepů a nepřesností (na chyby upozornil J. Šejnoha) Opravy verze : Změněno E eod na E oed, opraveny indexy u smykového napětí na str. 6 (na chyby upozornil Z. Janda), str. 21: opravena poloha souřadnice z (na chybu upozornil J. Skoček), str. 23: opraven výpočet efektivní konstanty C 1 (oprava po přednášce) Verze 1

REFERENCE 24 Reference [1] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol. I, ES ČVUT, Praha, 1992. [2] J. Boussinesq, Application des potentiels a l etude de l equilibre et du mouvement des solides elastiques, Gauthier-Villars, Paris, 1885. [3] V. Kolář and I. Němec, Modelling of soil-structure interaction, Academia, Praha, 199. [4] P. Kuklík, Příspěvek k řešení vrstevnatého podloží, Pozemní stavby 7 (1984). [5] H. M. Westergaard, A problem of elasticity suggested by a problem in soil mechanics: Soft material reinforced by numerous strong horizontal sheets, Contributions to the Mechanics on Solids, Dedicated to S. Timoshenko by his Friends on the Occasion of his 6th Birthday Anniversary, The Macmillan Company, New York, 1938.