MASARYKOVA UNIVERZITA. Funkce dvou proměnných: definiční obor, hledání extrémů, grafické znázornění

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Funkce dvou proměnných: definiční obor, hledání extrémů, grafické znázornění Bakalářská práce Brno 2016 Vedoucí práce: Mgr. Irena Budínová, Ph.D. Autor práce: Jana Hanzelková

Bibliografický záznam HANZELKOVÁ, Jana. Funkce dvou proměnných: Definiční obor, hledání extrémů, grafické znázorněín: bakalářská práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická. Katedra matematiky. 2016. 59 s. Vedoucí bakalářské práce Mgr. Irena Budínová, Ph.D. Anotace Tato bakalářská práce obsahuje teoretické informace o funkcích dvou proměnných, konkrétně se zabývá jejich definičními obory, hledáním extrémů a tvorbou grafů. Práce ukazuje možnosti využití programu Maple při zjišťování extrémů funkcí dvou proměnných a především při generování jejich grafů. Annotation This thesis contains theoretical information about functions of two variables, namely about their domains, finding extremes and graphical projection. The work demonstrates the possibility of using Maple to identify extremes of functions of two variables and especially for graphs generation. Klíčová slova Funkce dvou proměnných, definiční obor, extrémy, grafické znázornění, Maple Keywords Functions of Two Variables: Domain, Extrema, Graphical Projection, Maple

Prohlášení Prohlašuji, že jsem závěrečnou práci bakalářskou vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů. Brno, 30. března 2016 Jana Hanzelková

Obsah Úvod... 5 1. Základní definice a věty... 6 1.1 Funkce dvou proměnných, definiční obor... 6 1.2 Grafy funkcí dvou proměnných... 7 1.3 Extrémy funkcí dvou proměnných... 9 2. Maple 5.1... 12 2.1 Určování definičního oboru... 12 2.2 Grafy funkcí jedné reálné proměnné v programu Maple... 13 2.3 Grafické řešení soustav nerovnic... 17 2.4 Generování grafů funkcí dvou proměnných pomocí příkazu plot3d... 20 3. Řešení příklady pomocí programu Maple... 28 3.1 Zjišťování definičního oboru... 28 3.2 Extrémy funkcí dvou proměnných a jejich grafy... 36 3.3 Absolutní extrémy... 54 Závěr... 58 Použitá literatura:... 59

Úvod Cílem této práce vytvořit materiál, který obsahuje informace potřebné ke zkoumání definičních oborů a extrémů funkcí dvou proměnných a tvoření jejich grafů. Dále se pokusím zmapovat využití počítačového softwaru Maple při zkoumání funkcí dvou proměnných v rozsahu učiva matematické analýzy na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity. Část práce, která obsahuje řešené příklady, bude koncipována tak, aby mohla sloužit jako studijní opora k přípravě na zkoušku z předmětu Matematická analýza 2. Celá práce je členěna na tři části. V první kapitole jsou uvedeny základní definice a věty, ze kterých budeme vycházet při určování definičních oborů, extrémů a vykreslování grafů funkcí dvou proměnných. Ve druhé kapitole se seznámíme s matematickým softwarem Maple, který v této práci využíváme především k tvorbě 2D a 3D grafů. Třetí část této práce obsahuje pět zajímavých příkladů na určování definičních oborů, dále šest podrobně vypracovaných příkladů na extrémy a určování grafů, z nichž některé jsou na úrovni příkladů, které se počítají na cvičeních. Další jsou voleny tak, aby student musel trochu zapřemýšlet a poradit si i s případnými překážkami. Poslední příklad je věnován určování absolutních extrémů funkcí dvou proměnných. Jelikož při počítání na papíře u funkcí dvou proměnných mnohdy vznikají složité výrazy, mohou řešené příklady v této práci sloužit mimo jiné i ke kontrole výsledků výpočtů během počítání. Cílem tedy není vymýšlet co nejsložitější funkce, ale vytvořit materiál, který pomůže studentům matematiky na Pedagogické fakultě připravit se na zkoušku z matematické analýzy a pro zájemce poskytne možnost více proniknout do problematiky funkcí dvou proměnných a rozvinout jejich vizuální představivost. 5

1. Základní definice a věty V této práci se budeme zabývat reálnými funkcemi dvou reálných proměnných. V první části si uděláme stručný přehled základních definic, vět a postupů, které budeme potřebovat k určování definičních oborů, extrémů a grafů funkcí dvou proměnných. V celé kapitole budeme čerpat ze dvou publikací: Diferenciální počet funkcí více proměnných (Došlý, Došlá, 2006), Diferenciální počet (Jarník, 1974). 1.1 Funkce dvou proměnných, definiční obor Došlý (2006) definuje ve své publikaci reálnou funkci n reálných proměnných. My si tuto definici převedeme na reálnou funkci dvou proměnných následovně: Definice 1. Nechť M je neprázdná podmnožina R 2, tj.. Zobrazení se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných. Množina M se nazývá definiční obor této funkce, značíme. Při zkoumání definičního oboru funkce vycházíme z toho, že některé funkce dvou reálných proměnných nejsou definovány na celém, ale mají své specifické definiční obory. V příkladech, se kterými jsme se mohli setkat na střední škole, se nejčastěji používají lineární lomené funkce, odmocniny a logaritmy. My si přidáme ještě několik funkcí, na jejichž definiční obory se velice často zapomíná. Při zkoumání definičního oboru funkcí dvou proměnných se zaměřujeme na stejné funkce s omezeným definičním oborem jako u funkcí jedné proměnné. Zde je souhrn funkcí s definičním oborem jiným než, které se objevují v příkladech v této práci. Funkce s omezeným definičním oborem: lomená funkce není definována pro, funkce je definovaná pro taková, kde, funkce je definovaná pro taková, kde, funkce není definována pro, kde,, funkce a jsou definovány pro taková, kde. 6

1.2 Grafy funkcí dvou proměnných Pro vytvoření představy prostorového grafu nám v dnešní době asi nejlépe slouží počítačové softwary. V této práci budeme používat program Maple, ve kterém si necháme pro kontrolu vykreslovat zobrazení funkce dvou proměnných v kartézské soustavě souřadnic. Pokud ale přístup k takovýmto programům nemáme, můžeme si udělat představu o grafu funkce dvou proměnných tradiční cestou pomocí řezů svislými rovinami a určováním vrstevnic. Problémem však kromě nedostatku představivosti bývá u některých funkcí právě zjišťování, jak budou tyto grafy vypadat, především kreslení vrstevnic může být někdy velice zdlouhavé. I s takovýmito překážkami si však umíme poradit. Všechny grafy dvou závisle proměnných budeme v této práci zobrazovat pomocí kartézské soustavy souřadnic, jejíž osy budeme značit vždy stejně, a to způsobem zobrazeným na obrázku 1.1. Obrázek 1.1: Kartézský systém souřadnic V této práci budeme označovat průnik funkce s rovinou jako řez rovinou xz (obrázky 1.2 a 1.3), průnik funkce s rovinou jako řez rovinou yz (obrázky 1.4 a 1.5). Na jednoduchém příkladu funkce určovat. si ukážeme, jak budeme tyto řezy Průnik funkce a roviny získáme tak, že najdeme řešení soustavy těchto dvou rovnic, jinak řečeno dosadíme do zadané funkce. Vznikne nám tedy funkční předpis. Jelikož je ypsilonová souřadnice je pro všechna x nulová, vykreslíme celý graf pouze s osami x a z (obrázek 1.3). Řez rovinou yz dostáváme podobným způsobem, avšak dosazujeme nulu za proměnnou x. Dostáváme funkci, jejíž graf vidíme na obrázku 1.5. 7

Obrázek 1.2: Funkce a roviny Obrázek 1.3: Průnik funkce a roviny Obrázek 1.4: Funkce a roviny Obrázek 1.5: Průnik funkce a roviny Definice 2. Mějme reálnou funkci dvou proměnných definovanou na množině M a. Pak množinu nazveme vrstevnice funkce f na úrovni c. Při vykreslování vrstevnic do grafu je samozřejmě na nás, jak hustou síť vrstevnic budeme udávat. Vrstevnice určíme tak, že ve funkčním předpisu nahradíme hodnotu parametrem. 8

Postupně pak dosazujeme za tento parametr různé hodnoty a kreslíme jednotlivé vrstevnice do grafu. V tomto případě jsou vrstevnicemi kružnice se středem v bodě a poloměrem. Na obrázku 1.6 vidíme vrstevnice funkce na úrovních. Odstíny modré barvy v tomto grafu představují funkční hodnotu, tj. v tomto případě platí, že čím tmavší je odstín, tím větší je funkční hodnota zkoumané funkce. Obrázek 1.6: Vrstevnice funkce Obrázek 1.7: Spojením těchto tří pohledů na funkci (viz obrázek 1.7). jsme schopni vykreslit její graf 1.3 Extrémy funkcí dvou proměnných V této části se budeme zabývat hledáním lokálních a absolutních extrémů funkce dvou proměnných. Při jejich určování budeme vycházet z toho, co víme o hledání extrémů funkcí jedné proměnné. Budeme si všímat analogií i odlišností těchto postupů. Pro začátek je nutné definovat několik pojmů, které se týkají derivací funkcí dvou proměnných. Definice 3. Nechť funkce je definovaná v bodě a nějakém jeho okolí. Položme. Má-li funkce derivaci v bodě, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce podle proměnné v bodě a označujeme. 9

To znamená, že Podobně, má-li funkce derivaci v bodě, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné y v bodě [ ] a označujeme. Definice 4. Nechť. Existuje-li parciální derivace funkce podle proměnné v bodě, nazýváme tuto derivaci parciální derivací 2. řádu podle x funkce f v bodě a značíme ji. Existuje-li parciální derivace funkce podle proměnné y v bodě, nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce f v bodě a značíme ji. Lokální extrémy Stejně jako u definice funkce dvou proměnných vycházíme při definování lokálních extrémů vycházet z definice funkce n proměnných, kterou uvádí Došlý (2006). Definice 5. Funkce nabývá v bodě lokálního maxima, jestliže existuje okolí bodu takové, že pro každé z tohoto okolí platí. Analogicky funkce nabývá v bodě lokálního minima, jestliže existuje okolí bodu takové, že pro každé z tohoto okolí platí. Oba tyto pojmy (lokální maximum, lokální minimum) budeme souhrnně nazývat lokálními extrémy. Při hledání lokálních extrémů funkcí jedné proměnné jsme vycházeli z tvrzení, že lokální extrém může nastávat v bodě, kde je první derivace rovna nule (tento bod jsme nazývali bodem stacionárním) nebo v bodě, kde první derivace neexistuje. U funkcí dvou proměnných platí podobné tvrzení. Extrém může nastávat ve stacionárních bodech nebo v bodech, kde neexistuje alespoň jedna parciální derivace a druhá je rovna nule. Definice stacionárního bodu funkce dvou proměnných je trochu odlišná. Stacionární bod je takový bod, ve kterém existují obě parciální derivace funkce a v tomto bodě jsou obě parciální derivace rovny nule. 10

Pokud obě parciální derivace v bodě existují a alespoň jedna je různá od nuly, pak v tomto bodě nenastává lokální extrém. Při zkoumání lokálních extrémů funkcí jedné proměnné bychom dále pomocí znaménka druhé derivace ve stacionárním bodě rozhodli o tom, zda se jedná o maximum, minimum nebo se o lokální extrém nejedná (v takovém případě by byla diskuse o něco složitější). Rozhodnout o tom, zda funkce ve stacionárních bodech nabývá extrémů, můžeme u funkcí jedné proměnné také pomocí zkoumání monotónnosti funkce na intervalech ohraničených stacionárními body a body nespojitosti. V případě funkcí dvou proměnných tuto možnost nemáme. Na určení, zda funkce dvou proměnných ve stacionárním bodě nabývá extrému, použijeme následující větu: Věta 1: Nechť funkce má v bodě a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť je její stacionární bod. Jestliže pak má funkce v bodě ostrý lokální extrém. Je-li, jde o minimum, je-li, jde o maximum. Jestliže, pak v bodě lokální extrém nenastává. Pozn.: Pokud nám vyjde, že, pak podle předchozí věty nejsme schopni určit, zda má funkce v bodě lokální extrém či nikoliv. O existenci lokálního extrému v takovémto bodě můžeme rozhodnout vyšetřením chování funkce v okolí bodu nebo pomocí zkoumání grafu dané funkce. Absolutní extrémy Dalším druhem extrémů, které můžeme u funkce určovat, jsou tzv. absolutní extrémy, jejichž definice je uvedena níže. Definice 6. Mějme nějakou neprázdnou podmnožinu M definičního oboru funkce. Pak tato funkce nabývá v bodě absolutního maxima (minima) na množině M právě tehdy, když pro všechny body platí ( ). V některých publikacích se můžeme namísto pojmu absolutní extrém setkat s označením absolutní extrém. 11

Pro zjišťování absolutních extrémů vycházíme z následující věty, kterou uvádí Došlý (2006) opět pro funkci n proměnných. Formulujeme si ji pro funkci dvou proměnných. Věta 2: Mějme kompaktní množinu (uzavřenou a ohraničenou) a funkci spojitou na M. Potom f nabývá absolutních extrémů buď v bodech lokálního extrému, které leží uvnitř M, nebo v některém z hraničních bodů. 2. Maple 5.1 Všechny grafy, které se objevují v této práci, jsou vytvořeny pomocí počítačového softwaru Maple 5.1. Tento software není volně dostupný pro všechny, ale každý student Masarykovy univerzity se může i na svůj domácí počítač nainstalovat verzi 5.1, na kterou má Masarykova univerzita neomezenou licenci. K vyšší verzi se dostanou bohužel už většinou jen studenti Přírodovědecké fakulty v počítačových učebnách v budově Ústavu matematiky a statistiky nebo studenti Fakulty informatiky. V této kapitole se vyskytuje stručný přehled příkazů a jejich parametrů, které se nám při vykreslování definičních oborů a grafů funkcí dvou proměnných mohou hodit. Pro začátek je důležité říct, že psaní příkazů v programu Maple mají určitá pravidla. Každý příkaz začíná symbolem >, který se píše automaticky po provedení posledního příkazu, případně ho můžeme přidat kliknutím myší na tlačítko v horním panelu nástrojů, a končí symbolem dvojtečka : (příkaz je proveden, ale výstup se na obrazovce neobjeví) nebo středník ; (výstup se okamžitě objeví na obrazovce). Jednotlivé parametry příkazu jsou odděleny čárkou a všechny dohromady jsou uzavřeny v kulatých závorkách. 2.1 Určování definičního oboru Při určování definičních oborů budeme používat příkazy na řešení rovnic a nerovnic, dále pak příkazy na vykreslování grafu funkce jedné proměnné. K řešení rovnic slouží v programu Maple příkaz solve. Výstupem tohoto příkazu jsou všechna řešení zadané rovnice či soustavy rovnic. >solve(x^2=1); -1, 1 12

Pokud chceme řešit soustavu rovnic či nerovnic, musíme soustavu zapsat navíc do složených závorek (pokud to neuděláme, program namísto požadovaného výstupu vypíše chybovou hlášku). >solve({x+y=1, x-y=5}); {x = 3, y = -2} Při zjišťování definičních oborů potřebujeme častěji řešit nějakou soustavu nerovnic, na což také můžeme použít příkaz solve. >solve({x^2-x>2,x<0}); {x < -1} Jelikož se ale stále bavíme o funkcích dvou proměnných, budou jako argumenty vstupovat do příkazu nerovnice dvou proměnných. >solve({x+y<1,x>0}); {x + y - 1 < 0, y < 1, 0 < x} Je patrné, že výstupem tohoto příkazu je pouze upravená verze dvou nerovnic, které vstupovaly do příkazu a jedna podmínka navíc, která je obsažena ve dvou zadaných nerovnicích. Rozdíl mezi soustavou nerovnic jedné proměnné a soustavou nerovnic dvou proměnných je především v očekávaném výstupu. U funkcí jedné proměnné je výstupem většinou nějaký interval, který se dá okamžitě interpretovat. Výstupem soustavy nerovnic dvou proměnných bývají často plochy, což je právě náš případ. Každá ze zadaných nerovnic určuje nějakou plochu. Průnikem těchto ploch je pak řešení soustavy nerovnic. Pokud si chceme o řešení soustavy nerovnic udělat vizuální představu, musíme vykreslit jednotlivé plochy v grafu a vyznačit jejich průnik. I v tomto případě nám může Maple pomoci. Pro grafické znázornění řešení soustavy nerovnic se potřebujeme trochu více zorientovat v příkazech a pro tvorbu grafů v Maplu. Proto si nyní ukážeme, jak se v Maplu tvoří jednoduché grafy. 2.2 Grafy funkcí jedné reálné proměnné v programu Maple K vykreslování grafů funkcí jedné proměnné nám v Maplu slouží příkazy plot a implicitplot. 13

Do příkazu plot zadáváme funkci v explicitním tvaru, tj.. Přičemž do příkazu píšeme pouze pravou stranu této rovnice. Dalším povinným atributem je rozsah nezávisle proměnné x. Intervaly zadáváme v následujícím tvaru:. Pozor si v Maplu musíme dát na používání teček. Dvě tečky se používají právě při psaní intervalů, naopak jedna tečka je používána namísto desetinné čárky. Pokud tedy chceme zobrazit x v intervalu, zapisujeme do příkazu výraz. Pokud tedy zadáme do příkazu pouze předpis funkce a rozsah nezávisle proměnné, dostáváme graf, který můžeme vidět na obrázku 2.1. >plot(x^2-1, x=-1.5..2.5); Obrázek 2.1: Rozsah osy se přizpůsobil funkčním hodnotám na zadaném intervalu pro proměnnou. Funkce je znázornění spojitou červenou čarou tloušťky 1. Toto je implicitní nastavení příkazu plot. Jednotlivé vlastnosti grafu si ale můžeme přizpůsobit pomocí dalších atributů. Na pořadí těchto atributů nezáleží. Seznam všech atributů příkazu plot si můžeme nechat vypsat pomocí příkazu help(plot), který nás odkáže do sekce Nápověda v programu Maple. Nyní si uvedeme několik nejpoužívanějších parametrů příkazu plot. Pokud chceme předem nastavit také rozsah osy ypsilon, přidáme parametr. Další z parametrů upravující osy souřadnic je scailing. Tento parametr má pouze dvě možnosti nastavení scaling=constrained a scaling=unconstrained (primární nastavení). Nastavení scaling=constrained volíme, pokud chceme zachovat stejně velké měřítko u obou os souřadnic. Popisky os souřadnic určujeme nastavením labels=[x,y]. Pokud tento parametr nezadáme, program označí pouze osu x. Parametr color nám říká, jakou barvu bude mít graf zadané funkce. Implicitní nastavení je color=red, které se dá jednoduše změnit například přidáním podmínky color=blue. Také tloušťka čáry se dá zvýšit nastavením parametru thickness. Tento parametr nelze používat u bodových grafů. Pokud ho budeme u bodových grafů měnit, graf se nám sice ukáže, ale tloušťka znaků bude stále stejná. 14

Dalším parametrem, se kterým můžeme pracovat, je styl čáry. My budeme využívat právě přednastavený parametr style=line. Dalšími možnostmi jsou point (bodový graf), patch a patchnogrid. Poslední dvě zmíněné možnosti v této práci potřebovat nebudeme. Pokud chceme vykreslit bodový graf, máme navíc další možnosti v podobě nastavení parametru symbol, který má 5 možností (BOX čtverečky, CROSS symbol +, CIRCLE kolečka, POINT body, DIAMOND kosočtverce). Také se stylem čáry line můžeme dále pracovat pomocí vlastnosti linestyle=n, která má 4 nastavení: 1 spojitá linie, 2- tečkovaná, 3 čárkovaná, 4 čerchovaná. Použití těchto atributů si ukážeme na dvou následujících grafech. >plot(x^2-1, x=-4..4, thickness=2, linestyle=4, color=blue, scaling=constrained, labels=[x,y]); Na obrázku 2.2 vidíme graf funkce znázorněný modrou čerchovanou čarou tloušťky 2. Můžeme si všimnout, že měřítko obou os je opravdu stejné. Požadovali jsme rozsah osy x od -4 po -4, tomu se přizpůsobil rozsah osy y od -1,5 do 15. Díky nastavení parametru scailing=constrained je výstupem užší graf než např. na obrázku 2.3. Obrázek 2.2: >plot(y^2-1, y=-4..4, style=point, symbol=circle, color=orange, labels=[y,z]); Na obrázku 2.3 je znázorněn bodový graf funkce s podobným tvarem jako v předchozím příkladě. Na první pohled je zřejmé, že parametry příkazu se budou lišit. Vodorovnou osu jsme si nechali označit písmenem y, svislou písmenem z. Jedná se tedy o graf funkce. Toto značení budeme používat například Obrázek 2.3: 15

při určování řezů rovinami yz, kdy budeme vykreslovat funkci. Všimněme si, že měřítko os není stejné, ale přizpůsobilo se internímu nastavení programu. Pokud chceme zobrazit funkci v implicitním tvaru, použijeme příkaz implicitplot. Oproti příkazu plot je zde povinnost uvést rozsah proměnné y. Ostatní parametry nastavujeme stejně jako u příkazu plot. Výstupem bude na rozdíl od grafu získaného příkazem plot křivka, která již nemusí být funkcí, tj. může existovat bod x, kterému jsou přiřazeny dvě funkční hodnoty. Na obrázku 2.4 i 2.5 vidíme tutéž kružnici se středem v počátku a poloměrem 1. Jediným rozdílem v zadání příkazu je přidání parametru scailing=constrained v případě kružnice na obrázku 2.5. >implicitplot(x*x+y*y-1=0,x=-2..2, y=-2..2, scaling=constrained); Obrázek 2.4: Obrázek 2.5: Příkaz implicitplot ovšem nepatří do základního balíčku programu Maple, tudíž musíme před jeho použitím načíst knihovnu plots. Načtení knihovny provedeme příkazem: >with(plots); [animate, animate3d, animatecurve, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] 16

2.3 Grafické řešení soustav nerovnic Pro vykreslení řešení soustav rovnic a nerovnic používáme příkaz inequal, který je stejně jako příkaz implicitplot součástí knihovny plots. Povinnými atributy tohoto příkazu je nerovnice (popř. rovnice) či soustava nerovnic a rozsah os x a y. V případě zadávání soustavy nerovnic opět nesmíme zapomenout ohraničit tuto soustavu složenými závorkami. >inequal({y<x,y<=-x}, x=-5..5, y=-5..5); Obrázek 2.6: Řešení soustavy nerovnic: Na obrázku 2.6 vidíme řešení soustavy nerovnic, bez nastavení dalších parametrů. Řešení je sice nějakým způsobem znázorněno, ovšem vizuální podoba tohoto grafu se nám určitě moc nelíbí. Navíc není jasné, která se dvou barevných ploch je řešením a zda do řešení patří také hraniční funkce. Nastavení příkazu inequal je oproti příkazu plot poněkud složitější. Máme zde 4 následující oblasti/křivky, pro které můžeme zvlášť nastavovat různé parametry: feasible region = množina bodů, které splňují všechny nerovnice, tj. průnik řešení všech nerovnic soustavy = řešení soustavy nerovnic, excluded regions = množina bodů, které nejsou řešením alespoň jedné nerovnice, open lines = křivky, které do řešení soustavy nerovnic nepatří, closed lines = křivky, které do řešení soustavy nerovnic patří. 17

Pomocí výrazů optionsfeasible, optionsexcluded, optionsopen a optionsclosed můžeme nastavovat barvu, tloušťku čáry, styl čáry (parametry zmíněné výše u příkazu plot) pro každou z těchto ploch/křivek samostatně. >inequal({x-1<=y,x>-1}, x=-3..5, y=-5..5, optionsfeasible=(color=yellow), optionsexcluded=(color=white), optionsopen=(thickness=2, color=red, linestyle=3), optionsclosed=(color=blue, thickness=2), labels=[x,y]); Na první pohled vypadá tento příkaz se všemi parametry složitě, ovšem v podstatě se opakuje pořád jedno a to samé. Řešení soustavy nerovnic jsme si nechali vykreslit žlutou barvou, plochy, které nepatří do řešení, jsme pro přehlednost, nechali bílé optionsexcluded= (color=white). Přímka do řešení patří a je znázorněna modrou barvou. Naopak přímka do řešení nepatří, proto jsme zvolili parametr linestyle=3, tj. čárkovanou čáru, pro kterou jsme vybrali červenou barvu. V tuto chvíli by se zdálo, že pomocí příkazu inequal dokážeme znázornit jakýkoliv definiční obor. Opak je ale pravdou. Příkaz inequal ve verzi programu Maple 5.1 totiž umí pracovat pouze s lineárními funkcemi. Protože předpokládáme, že máme přístup pouze k verzi 5.1, nebudeme vyšší verze programu používat. I ve verzi 5.1 by se pomocí složitých procedur určitě dalo dosáhnout řešení všech typů nerovnic, ovšem používání procedur už je dosti pokročilé a samotný popis takovýchto postupů by zabral mnoho stran. Při zkoumání definičních oborů se u některých složitějších funkcí spokojíme s tím, že umíme vykreslit hraniční funkce a vybarvování ploch v grafu budeme při počítání provádět pouze na papíře. Pokud nebudeme používat příkaz inequal, musíme si ještě ukázat, jak se v programu Maple zakresluje více křivek do jednoho grafu. Sloužit nám k tomu budou příkazy plot a implicitplot. Obrázek 2.7: 18

V případě, že chceme všechny křivky znázornit pomocí stejného příkazu, stačí ohraničit požadované funkce složenými závorkami a nastavit rozsah os. Všimněme si, že pro nastavování barvy, stylu a tloušťky čáry jsme v příkladu použili hranaté závorky a dva parametry. Pořadí těchto parametrů je totožné s pořadím funkcí. >plot({x,x^2}, x=-10..10, color=[blue, red], style=[line, point], thickness=[2,1]); (Obr. 2.8) Pokud chceme u jedné ze křivek použít příkaz plot a u jiné implicitplot využijeme příkaz display (z knihovny plots). Než příkaz display použijeme, bývá velice praktické si jednotlivé křivky uložit pomocí znaků := a pak se na ně v příkazu display odkázat. Název odkazu si zvolíme podle sebe. V níže uvedeném příkazu používáme slovo Graf1, Graf2 atd. Tímto si můžeme uložit více grafů a pak je najednou vykreslit příkazem display. Pokud nepotřebujeme zobrazovat jednotlivé grafy, použijeme na ukončení příkazu místo středníku dvojtečky. >with(plots); >Graf1:=implicitplot(-x^2+2*x=y-4, x=-6..6, y=-6..6, color=red, scaling=constrained, style=line, thickness=2, linestyle=0): >Graf2:=plot(abs(x-1)-2, x=-6..6, color=blue, thickness=2, scaling=constrained): > display({graf1, Graf2}); Můžeme také libovolně kombinovat příkazy plot a implicitplot. Pozor si musíme dávat pouze na zadání rozsahu os, které by mělo být pro všechny grafy stejné. V příkazu display se navíc objevují složené závorky, které jsou v Maplu typické pro psaní výčtu více prvků, jak jsme si mohli všimnout u soustav rovnic či nerovnic. Obrázek 2.8: Obrázek 2.9: Graf funkcí, 19

2.4 Generování grafů funkcí dvou proměnných pomocí příkazu plot3d Nejdůležitější úsekem této práce je tvorba 3D grafu v programu Maple. Pro generování grafů funkcí dvou proměnných nám bude stačit jeden příkaz opět z knihovny plots, a to příkaz plot3d. Minimální povinné nastavení tohoto příkazu vypadá následovně: >plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d); Po zadání příkazu >plot3d(x^2+y^2, x=-10..10, y=-10..10); se nám sice ukáže graf funkce bez os soustavy souřadnic (obrázek 2.10)., ovšem Obrázek 2.10: Osy souřadnic zobrazíme pomocí nastavení axes. V Maplu 5.1 máme pro tento atribut čtyři možnosti nastavení: NONE žádné osy (primární nastavení), NORMAL, FRAMED, BOXED. V této práci budeme kvůli přehlednosti používat nastavení axes=boxed. Můžeme samozřejmě dále nastavovat rozsah osy z, používat parametr scaling=constrained či označení os nastavením labels=[x,y,z], bez tohoto atributu se nám zobrazují pouze popisky osy x a y. I v tomto příkazu, stejně jako u grafů jedné proměnné, můžeme použit nastavení stylu. Vybíráme z možností: patch vykreslená mřížka (obr. 2.10), patchnogrid - spojitá plocha bez mřížky, point bodový graf, line mřížka (pouze obrysy), contour vrstevnice, patchcontour spojitá plocha s vyznačenými vrstevnicemi. Další velmi zajímavé vizuální efekty získáme nastavením stínování. Pokud použijeme parametr color=blue (nebo jakoukoliv jinou barvu), získáme zobrazení prostorového objektu, který je celý v modré barvě. Když do nastavení color zadáme nějakou z proměnných, získáme graf, ve kterém se se změnou hodnoty x mění také jeho barva (obrázek 2.10). Ještě zajímavější je nastavení parametru shading, které nám umožňuje vybarvit funkci podle více proměnných či nějaké další funkce. V tomto dokumentu budeme nejčastěji používat shading=zhue. Pokud dodáme do příkazu plot3d právě tento parametr, získáme graf funkce vybarvené podle funkční hodnoty. Výsledný graf je mnohem přehlednější. 20

Nyní si uvedeme několik příkladů funkcí s různými nastaveními výše zmíněných atributů. >plot3d(x+5*y, x=-10..10, y=-10..10, axes=framed, style=line, color=y); Obrázek 2.11: Graf funkce >plot3d(exp(x*y), x=-1..1, y=-1..1, axes=boxed, style=patch, shading=zgrayscale); Obrázek 2.12: Graf funkce >plot3d(exp(x^2+y^2), x=-1..1, y=-1..1, axes=boxed, style=patchnogrid, shading=zhue); Obrázek 2.13: 21

Vrstevnice funkcí dvou proměnných Posledním příkazem, který si v této kapitole uvedeme, je příkaz contourplot z knihovny plots. Ten se nám hodí v případě, že chceme určit vrstevnice nějaké funkce dvou proměnných. Povinnými atributy příkazu contourplot je předpis funkce a rozsah os x a y. Pokud nějaký z těchto rozsahů neurčíme, program nám vrátí pouze chybovou hlášku. Můžeme také zadat, kolik vrstevnic má program znázornit pomocí nastavení contours=n, nebo můžeme pomocí stejného parametru vypsat do hranatých závorek přímo úroveň vrstevnic, které chceme vykreslit. Pro nastavení rozlišení grafu používáme parametr grid. Původní nastavení je grid=[25,25], tj. program generuje 625 bodů. Pokud nám toto rozlišení nestačí, můžeme si tento parametr upravit. Musíme mít na paměti, že doba výpočtu se se zvýšením parametru grid taktéž zvyšuje. Nastavením filled=true dostaneme vyplněný graf barvami, jejichž odstíny se liší podle úrovní jednotlivých vrstevnic. Bez dalšího nastavení používá graf spektrum barev od žluté (nejvyšší hodnoty) po červenou (nejnižší hodnoty). Barvy můžeme měnit pomocí parametru coloring=[barva1, barva2]. Různá nastavení příkazu contourplot vidíme na obrázcích 2.14 a 2.15. >contourplot(x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10); (obrázek 2.14) >contourplot(x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10, filled=true, coloring=[yellow, green], grid=[50,50]); (obrázek 2.15) Obrázek 2.14: Vrstevnice funkce Obrázek 2.15: Vrstevnice funkce 22

2.5 Hledání extrémů funkcí dvou proměnných V této části si ukážeme dva postupy, jakými můžeme v programu Maple určit lokální extrémy funkce dvou proměnných. V prvním případě využijeme příkazu extrema v programu Maple, ve druhém budeme postupovat podle tak, jako bychom počítali na papíře, pouze derivace a jednotlivé výpočty necháme na programu Maple. Příkaz extrema Pro začátek je nutno říct, že tento příkaz nebude pro naše účely úplně ideální, ovšem nejvíce se blíží k tomu, aby nám poskytl alespoň nějaké informace o extrémech dvou proměnných. Výstupem příkazu extrema z knihovny student je funkční hodnota v lokálním extrému vstupní funkce. Tato hodnota nám sice může sloužit ke kontrole, zda jsme vypočítali správný lokální extrém, ovšem my bychom potřebovali, aby výstupem byly souřadnice bodů, ve kterých tento extrém nastává. Mezi povinné parametry příkazu extrema patří samozřejmě předpis funkce a dále množina omezujících podmínek. Pokud tuto množinu nechceme blíže specifikovat, vložíme do příkazu prázdné množinové závorky. V případě, že používáme funkci s parametry, musíme do příkazu zapsat seznam proměnných, podle kterých budeme extrémy hledat (opět do složených závorek). Jako poslední parametr můžeme nastavit proměnnou, do které se uloží souřadnice bodů, ve kterých podle příkazu extrema má funkce lokální extrém. V tuto chvíli to vypadá, že za nás program udělal všechnu práci. Na následujícím příkladě si ukážeme, že toto tvrzení neplatí. Příklad 2.1: Určete lokální extrémy funkce Nejprve načteme knihovnu student, abychom mohli požít příkaz extrema. >with(student): 23

Do proměnné fce si uložíme hledanou funkci, abychom ji nemuseli pokaždé vypisovat znovu, když se na ni budeme chtít odkázat. >fce:=x*y*exp(-(x^2+y^2)/2); Pomocí příkazu extrema si necháme vypsat funkční hodnoty lokálních extrémů na neomezené množině. Souřadnice bodů, ve kterých funkce nabývá extrémy, si uložíme do proměnné 'body', kterou si v následujícím příkazu necháme vypsat. >extrema(fce, {}, {x,y}, 'body'); >body; Nyní si rozebereme, co nám program vlastně určil. Jako řešení dostáváme pět bodů, ve kterých podle příkazu extrema nastává lokální extrém. Problémem ale je, že nedokážeme rozlišit, zda se jedná o minimum nebo maximum. Abychom si tuto situaci dovedli blíže představit, necháme si v programu Maple vykreslit graf této funkce (Obrázky 2.16 a 2.17). >plot3d(fce,x=-3..3,y=-3..3, axes=boxed, shading=zhue); Obrázek 2.16: Graf funkce Obrázek 2.17: Graf funkce 24

Podle grafu už vidíme, že v bodech a má funkce lokální maximum, v bodech a lokální minimum a v bodě má funkce dokonce sedlový bod, takže v něm lokální extrém nenastává. Tím určitě nechceme říct, že příkaz extrema neplní správně svoji funkci. Program správně určil funkcí hodnoty v lokálních extrémech, což je úkolem příkazu extrema. Můžeme si všimnout, že pro bod žádnou hodnotu nevypsal, takže správně určil, že v tomto bodě nenastává lokální extrém. Problémem je ale přiřazení jednotlivých bodů k vypsaným funkčním hodnotám, které musíme udělat ručně. Ovšem i tak nám příkaz značně zjednodušil práci. Hledání extrémů pomocí příkazů diff a solve Když nemáme k dispozici žádný software a hledáme extrémy funkcí dvou proměnných jen pomocí papíru a tužky, postupujeme následujícím způsobem: 1. Zjistíme, jaký má funkce definiční obor. 2. Určíme stacionární body (pomocí prvních parciálních derivací) 3. Ověříme, zda v těchto bodech nastává lokální extrém, popř. o jaký extrém se jedná. Přesně tímto způsobem budeme postupovat i nyní. Program Maple ale využijeme k jednotlivým výpočtům, což nám značně urychlí práci. Abychom nemuseli zadanou funkcí stále vypisovat nebo opisovat výstupy, budeme si každý výstup ukládat do nějakého odkazu pomocí příkazu :=. Příklad 2.2: Určete lokální extrémy funkce Stejně jako v předchozím případě si do proměnné f uložíme zadanou funkci. >fce:=x*y*exp(-(x^2+y^2)/2); Poté si pomocí příkazu diff necháme vypsat parciální derivací této funkce. Do příkazu vkládáme na první místo funkci a na druhé místo proměnnou, podle které chceme 25

derivovat. Proto nám pro všechny parciální derivace stačí jeden příkaz, který se liší pouze svými parametry. > fx:=diff(fce,x); fx:= >fy:=diff(fce,y); fy:= Následně si necháme pomocí příkazu solve vyřešit soustavu rovnic,. >reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); {y = 0, x = 0}, {x = 1, y = 1}, {x = 1, y = -1}, {x = -1, y = 1},{x = -1, y = -1} Zjistili jsme, že funkce má pět stacionárních bodů. Abychom zjistili, zda se v nich nachází extrémy funkce, budeme potřebovat druhé derivace, které si opět necháme vygenerovat pomocí příkazu diff. Tentokrát už ale do příkazu nevstupuje zadaná funkce, ale první parciální derivace uložené v odkazech fx a fy. >fxx:=diff(fx,x); fxx:= >fyy:=diff(fy,y); fyy:= >fxy:=diff(fx,y); fxy:= Přestože jsme výše provedli příkaz solve, program řešení do proměnných x a y sám neuloží, tudíž to musíme udělat my. Můžeme to provést pomocí příkazu assign nebo ručně. Pokud nám vyšel pouze jediný stacionární bod, použijeme příkaz assign. 26

>assign(reseni); V našem případě máme více stacionárních bodů, provedeme následující sled příkazu vždy pro každý stacionární bod zvlášť. >x:=0; y:=0; >fxx*fyy-fxy^2; -1 Determinant matice složené z druhých parciálních derivací nám vyšel -1 (kladný), tj. podle Věty 1 ve stacionárním bodě extrém nenastává. Tento proces zopakujeme znovu s dalším stacionárním bodem. >x:=1; y:=1; >fxx*fyy-fxy^2; Tentokrát vyšel determinant kladný, tj. v bodě nabývá funkce extrému. Jelikož máme v proměnných x a y uložený stacionární bod, stačí si nechat vypsat jednu z druhých parciálních derivací a podle jejího znaménka zjistíme, o jaký extrém se jedná. >fxx; Jelikož je znaménko záporné, jedná se podle Věty 2 o maximum. Analogicky rozhodneme o existenci extrémů u dalších stacionárních bodů. 27

3. Řešení příklady pomocí programu Maple Třetí kapitola této práce obsahuje příklady řešené pomocí výše uvedených postupů a příkazu v programu Maple. Je koncipována tak, aby mohla sloužit i samostatně studentům jako opěrný materiál k přípravě na zkoušku bez použití počítačového softwaru. Kapitola je rozdělena na tři části. V první části budeme zkoumat definiční obory pěti funkcí. Ve druhé části se pokusíme pomocí určení lokálních extrémů, řezů rovinami a vrstevnic odhadnout, jak budou vypadat grafy zadaných funkcí. V poslední části si na jednom příkladu nastíníme, jak nám může Maple pomocí při hledání absolutních extrémů. Při řešení příkladů budeme uvádět jednotlivé příkazy z programu Maple červenou barvou stejně jako ve druhé kapitole. Výstupy již nebudeme vždy vypisovat pro každý příkaz zvlášť modrou barvou, aby nenarušovaly strukturu řešení, ale někdy je budeme uvádět po blocích. 3.1 Zjišťování definičního oboru V této části se objevují složitější funkce, jejichž grafy by bylo bez pomoci výpočetní techniky velice obtížné určit. Zaměříme se tedy pouze na definiční obory funkcí a grafické znázornění těchto definičních oborů. Příklad 3.1: Určete definiční obor funkce: Řešení: Protože je logaritmus definovaný jen pro kladné argumenty, vzniká nám z prvního sčítance pro definiční obor omezení: Řešením této nerovnice je plocha nad křivkou absolutní hodnoty s vrcholem v bodě [1; -2] a průsečíky s osami v bodech [0;-1], [-1;0] a [3;0]. Tato plocha je znázorněna na obrázku číslo 3.1. >Graf1:=implicitplot(y>abs(x-1)-2, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[yellow, white], scaling=constrained, labels=[x,y], linestyle=4): >Graf2:=plot(y=abs(x-1)-2, x=-5..5, y=-5..5, scaling=constrained, thickness=3, color=blue): > display({graf1, Graf2}); (obrázek 3.1) Funkce odmocnina je definována pro nezáporné atributy, proto vzniká podmínka: 28

Po několika úpravách se dostaneme k nerovnici, která udává plochu pod grafem paraboly s maximem v bodě [1;5] a průsečíky s osami v bodech,,, kterou vidíme na obrázku číslo 3.2. >Graf1:=implicitplot(y<-x^2+2*x+4, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[yellow, white], scaling=constrained, labels=[x,y]): >Graf2:=plot(-x^2+2*x+4, x=-5..5, y=-5..5, scaling=constrained, thickness=3, color=red, linestyle=4): display({graf1, Graf2}); (obrázek 3.2) Obrázek 3.1: Obrázek 3.2: Abychom mohli přesně určit definiční obor zadané funkce, potřebujeme ještě průsečíky našich dvou omezující ch funkcí. Ty získáme řešením soustavy rovnic: >solve({y=-x^2+2*x+4,y=abs(x-1)-2}); Průsečíky těchto dvou funkcí vyjdou po zaokrouhlení a. Nyní už máme vše potřebné pro sestrojení grafu množiny M, která udává definiční obor Obrázek 3.3: Definiční obor funkce funkce průnik ploch zobrazených na obr. 3.1 a 3.2 žlutou barvou (obrázek 3.3).. Množina M je pak dána jako 29

Příklad 3.2: Určete definiční obor funkce: Řešení Ze sčítance nám vyplývá následující podmínka: Tuto podmínku můžeme dále rozdělit na výraz, jehož výsledkem je plocha nad přímkou. Druhý výraz nám po úpravě vychází, což je plocha pod přímkou. Ze druhého sčítance vzniká toto omezení: Jelikož se jedná o lineární rovnice, můžeme použít příkaz inequal. Na obrázku 3.4 je žlutou barvou znázorněn definiční obor zadané funkce, tj. oblast, kde jsou všechny tři podmínky splněny najednou. >inequal({y>=x, y<=x+2, x+2*y-2>0}, x=-5..5, y=-5..5, optionsfeasible=(color=yellow), optionsexcluded=(color=white), optionsopen=(thickness=2, color=red, linestyle=3), optionsclosed=(color=blue, thickness=2), labels=[x,y]); Obrázek 3.4: Definiční obor funkce 30

Příklad 3.3: Určete definiční obor funkce: Řešení Při zjišťování definičního oboru vycházíme u této funkce z podmínky: Výsledné znaménko tohoto zlomku bude nezáporné, pokud bude platit jedna z následujících podmínek: První činitel lze po několika úpravách opět za použití doplnění na čtverec převést na tvar:, což je obecná rovnice kružnice se středem v bodě o poloměru 1. Druhý činitel můžeme podobně upravit na tvar:. Tento předpis udává elipsu se středem v bodě [2;-1] s poloosami 2 a 3. Po dosazení upravených křivek do první podmínky dostáváme: Vzniká nám tedy oblast vně kružnice i elipsy. Po dosazení upravených křivek do druhé podmínky dostáváme nerovnice: Výsledkem je oblast, která je zároveň uvnitř kružnice i elipsy. Sjednocení těchto dvou oblastí, znázorněné žlutou barvou na obrázku 3.5, tvoří definiční obor funkce. Obrázek 3.5: Definiční obor funkce 31

Příklad 3.4: Určete definiční obor funkce: Na první pohled se jedná o jednodušší funkci, než byly funkce v předchozích příkladech. Ovšem dostáváme se mimo oblast kuželoseček k neoblíbeným funkcím, které mohou některým studentům působit potíže. Řešení Nejjednodušší podmínka pro definiční obor zadané funkce vychází z vnitřního logaritmu: Tato podmínka tedy udává plochu nad přímkou. Druhá podmínky vychází z argumentu prvního logaritmu: Zde se stejně jako v předchozím příkladě dělí další diskuse na dvě části: a) Abychom mohli určit graf této plochy, potřebujeme ze druhé podmínky vyjádřit y. Pokud by se jednalo o rovnici, pomohli bychom si exponenciální funkcí o základu e. Vycházeli bychom z předpokladu, že hodnoty exponenciální funkce o stejném základu se rovnají, pokud se rovnají jejich exponenty. V případě nerovnice si v tomto případě musíme dávat pozor na otáčení znaménka nerovnosti. V tomto případě se po přidání exponenciální funkce o základu e znaménko nerovnosti nezmění, protože je tato funkce rostoucí. Úpravy tedy probíhají následovně: Průnikem podmínek a je žlutá plocha znázorněná na obrázku 3.6 napravo od osy y. 32

b) Argument v diskutovaném logaritmu bude kladný, i pokud vyjdou oba činitelé záporně, tj.: Po podobných úpravách jako v předchozí části dostáváme podmínku: Máme tedy průnik plochy ležící nalevo od osy y a plochy ležící pod přímkou, který je znázorněný v následujícím grafu modrou barvou. Sjednocením těchto dvou ploch vzniká definiční obor funkce, který vidíme na obrázku 3.6, vygenerovaném pomocí níže uvedených příkazů. >Graf1:=implicitplot(x*ln(x-y)>0, x=-2..2, y=-2..2, filled=true, coloring=[yellow, white], scaling=constrained, thickness=2, labels=[x,y], linestyle=4, numpoints=10000): > Graf2:=plot(x, x=-2..2, y=-2..2, scaling=constrained, thickness=2, color=red, linestyle=4): > Graf3:=plot(1-x, x=-2..2, y=-2..2, scaling=constrained, thickness=2, color=blue, linestyle=4): > display({graf1, Graf2}); Pozn.: Příkaz implicitplot nedovoluje při řešení nerovnic nastavovat barvu hraničním křivkám. Aby byl graf přehlednější, generujeme Graf2 a Graf3, které pouze obarví hraniční křivky na červenou barvu, aby se daly lépe odlišit od os souřadnic. Obrázek 3.6: Definiční obor funkce 33

Příklad 3.5: Určete definiční obor funkce: Řešení V tomto příkladě se nám objevují dvě funkce s omezeným definičním oborem. Funkce tangens není definována pro argument a jeho celočíselné násobky, tj.:, Z toho nám plynou dvě následující podmínky: Druhou funkcí s omezeným definičním oborem v našem zadání je : Stejně jako ve druhém příkladě si rozdělíme tuto podmínku na dvě podmínky. a) Nerovnice je splněna, pokud: Výsledná plocha z této části je pomocí následujícího příkazu vykreslena na obrázku 3.7. >implicitplot({x*y>-1}, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[yellow, white], labels=[x,y], scaling=constrained, linestyle=4, thickness=3); b) Nerovnice je splněna, pokud: 34

implicitplot({x*y<1}, x=-5..5, y=-5..5, filled=true, coloring=[green, white], labels=[x,y], scaling=constrained, linestyle=4, thickness=3); (obrázek 3.8) Abychom mohli provést předchozí úpravy, předpokládali jsme, že. Proto musíme ještě zjistit, jak se chová funkce pro přímky a. Po dosazení vidíme, že výraz má v obou případech smysl, takže tyto dvě přímky do definičního oboru patří. Obrázek 3.7: Řešení nerovnice Obrázek 3.8: Řešení nerovnice Sjednocením ploch z obrázků 3.7 a 3.8 vznikne plocha znázorňující definiční obor funkce, která je vykreslena na obrázku 3.9. Graf 3.9: Definiční obor funkce 35

3.2 Extrémy funkcí dvou proměnných a jejich grafy U dalších funkcí se zaměříme na jejich extrémy a především sestrojování řezů rovinami xz a yz a vykreslováním vrstevnic. Jako kontrola nám bude sloužit graf vygenerovaný v programu Maple. Samozřejmě nemůžeme u žádné funkce zapomenout na určení definičního oboru. Příklad 3.6: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf. Řešení Na první pohled vidíme, že výraz má smysl pro všechny x a y, tedy. Dále máme za úkol určit lokální extrémy. K tomu nám pomohou první parciální derivace zadané funkce, které získáme pomocí příkazu diff: >fce:=-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34; >fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y); Stacionární body budou řešením soustavy: >reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); Soustava má jediné řešení a tím je stacionární bod. Nyní pomocí druhých parciálních derivaci rozhodneme, zda se jedná o extrém a pokud ano, určíme, o jaký extrém jde. >fxx:=diff(fx,x); fyy:=diff(fy,y); fxy:=diff(fx,y); 36

Načteme do proměnných x a y souřadnice stacionárního bodu pomocí příkazu assign. >assign(reseni); >fxx*fyy-fxy*fxy; 36 >fxx; -6 Výsledek determinantu je kladný, tudíž podle věty č. 1 v bodě nabývá funkce lokálního extrém, podle znaménka druhé parciální derivace v tomto bodě, které je záporné, se tedy jedná o maximum. Graf Jak se můžeme dočíst v teoretické části této práce, řez rovinou xz určíme tak, že do zadané funkce dosadíme za y číslo nula, což provedeme pomocí programu Maple. Pomocí příkazu restart zrušíme přiřazení všech proměnných. Znovu si uložíme funkce do proměnné fce, proměnné y přiřadíme nulu a necháme si vypsat výslednou funkci. >restart; fce:=-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34; >y:=0; fce; >plot(fce, x=-10..10, y=-500..100, labels=[x,z], color=black, thickness=2); Dostáváme funkci s vrcholem (maximem) v bodě (obrázek 3.10)., jejímž grafem je parabola obrácená směrem dolů Podobným způsobem zjistíme, jak vypadá řez rovinou yz zadané funkce. Dosadíme do ní za x opět číslo nula a zobrazíme graf výsledné funkce dostáváme parabolu obrácenou dolů, ale tentokrát s maximem v bodě (obrázek 3.11). >restart; fce:=-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34; >x:=0; fce; >plot(fce, x=-10..10, y=-500..100, labels=[y,z], color=black, thickness=2);. Opět 37

Obrázek 3.10: Obrázek 3.11: Vrstevnice Nejlepší představu o chování zadané funkce získáme pomocí vrstevnic. Podle definice 1.2 získáme vrstevnice na úrovni c dosazením. Získáme tedy následující rovnici: Na první pohled vidíme, že se jedná o předpis nějaké kuželosečky. Koeficienty u druhých mocnin x a y jsou stejné včetně znaménka, tudíž budeme pravděpodobně mluvit o kružnicích. Nyní musíme zjistit, kde budou mít kružnice střed a jaký budou mít poloměr. Připomeňme si, jak vypadá předpis kružnice se středem v bodě s poloměrem r. Pomocí doplnění na čtverec se pokusíme upravit naši rovnici na tento tvar. Výsledkem jsou tedy kružnice se středem v bodě [3;2] a poloměrem. Dosazováním reálných čísel za c získáme jednotlivé vrstevnice, které jsou vykresleny na obrázku 3.12. >restart; >plots[contourplot](-3*x^2+18*x -3*y^2+12*y-34, x=-10..10, y=-10..10, thickness=2, scaling=constrained); Obrázek 3.12: Vrstevnice funkce 38

V programu Maple si necháme vykreslit graf zadané funkce, abychom si ověřili, že si graf zadané funkce představujeme správně. >plot3d(-3*x^2+18*x-3*y^2+12*y-34, x=-20..20, y=-20..20, shading=zhue, axes=boxed); Obrázky 3.13, 3.14: Grafy funkce Modifikace příkladu Zadání výše zmíněného příkladu se dá podle potřeby modifikovat různými způsoby. Paraboloid můžeme posouvat, zužovat, rozšiřovat. Postup výpočtů bude vždy podobný. Grafem funkce, kde, bude rotační paraboloid s vrcholem v bodě [ ]. Koeficient k určuje rozevření paraboloidu a jeho orientaci. Pokud bude koeficient k záporný, bude paraboloid převrácený, tj. jeho vrchol bude maximem funkce. Tento příklad můžeme ještě dále modifikovat a to tak, že vrstevnicemi nebudou kružnice, ale elipsy. Grafem takové funkce bude tzv. eliptický paraboloid. V tomto případě musíme jenom poznamenat, že eliptický paraboloid už není rotační těleso, protože nevzniká rotací kolem žádné z os. Postup řešení bude analogický, pouze určení vrstevnic bude odlišné. 39

Příklad 3.7: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf. Řešení V zadání máme odmocninu, což je funkce, u které si musíme dávat pozor na definiční obor. Výraz pod odmocninou tedy nesmí být záporný. Součet druhých mocnin dvou čísel bude vždy nezáporný, takže definičním oborem zadané funkce bude celé R 2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y. V obou případech si musíme uvědomit, že se jedná o funkci složenou, takže nesmíme zapomenout derivovat i vnitřní funkci. fce:=sqrt(x*x+y*y); fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y); Řešením soustavy rovnic určíme stacionární body. V tomto případě si postup práce rozepíšeme trochu podrobněji, abychom si ukázali jeden z častých omylů, kterého se mnozí z nás dopouštějí. Pokud řešíme rovnici a už jsme trochu zvyklí počítat automaticky, vynásobíme celou rovnici jmenovatelem, abychom se zbavili zlomku a vyjde nám, že. Z druhé rovnice soustavy nám stejným způsobem vychází, že. Napsali bychom tedy, že bod [0,0] je řešením dané soustavy. 40

Tento závěr je ovšem špatný, protože jsme zapomněli na jednu důležitou podmínku. A to, že. Tedy musíme říct, že tato soustava rovnic nemá řešení. Stejnou informaci získáme také pomocí příkazu solve. Nemůžeme ale říct, že zadaná funkce nemá lokální extrémy. Určitě bychom dali dohromady příklad funkce jedné proměnné, která má extrém, ale tečna v tomto bodě není určená jednoznačně, tj. při položení první derivace rovno nule rovnice taktéž nemá řešení. Takovouto funkcí je například absolutní hodnota. V jejím minimu totiž nemůžeme určit tečnu, proto má funkce ostrý hrot. V naší zkoumané funkci vlastně řešíme něco podobného, pouze jsme přidali jednu dimenzi. Také nám vznikl bod, ve kterém nemá funkce první (ani žádné další) derivace. Z této části si tedy odneseme to, že v bodě může nastat extrém. Pokusíme se tedy pomocí řezů rovinami xz a yz a určení vrstevnic zjistit, zda i v počátku soustavy souřadnic extrém nastává nebo nikoliv. Řez rovinou xz: Po úpravě dostáváme funkci: Při této úpravě si musíme dát pozor hlavně na to, abychom při odmocňování nezapomněli doplnit absolutní hodnotu. Pokud bychom napsali pouze, pak by na této přímce ležel například bod [-2;-2], který ale určitě neleží na křivce. Analogicky získáme řez rovinou yz, pro který platí, že. Obrázek 3.15: Graf funkce Obrázek 3.16 Graf funkce 41

Vrstevnice Abychom zjistili vrstevnice funkce, měli bychom dosazovat za c různá čísla a kreslit jednotlivé křivky. Ještě předtím si zadanou funkci trochu upravíme. Vidíme tedy, že vrstevnice budou kružnice se středem v bodě a poloměrem c. Pokud se vrátíme k bodu, můžeme již teď říct, že v tomto bodě nastává lokální minimum. Obrázek 3.17: Vrstevnice funkce V programu Maple si necháme vygenerovat graf funkce a ověříme si, že jsme počítali správně. Grafem funkce je tedy rotační kužel s vrcholem v bodě. Obrázky 3.18, 3.19: Grafy funkce 42

Modifikace příkladu I zadání rotačního kuželu se dá podle potřeby modifikovat různými způsoby. Kužel můžeme posouvat, zužovat, rozšiřovat. Grafem funkce, kde, bude rotační kužel s vrcholem (minimem) v bodě [ ]. Koeficient k určuje rozevření kuželu. Pokud bude koeficient k záporný, bude kužel převrácený, tj. jeho vrchol bude maximem funkce. Níže si stručně ukážeme, jak tato modifikace funguje na dalším příkladě. Příklad 3.8: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf. Podle předchozího pozorování by grafem této funkce měl být kužel orientovaný opačně než v předchozím příkladu s vrcholem v bodě, který je širší. Nyní si toto pozorování ověříme výpočty. Stejně jako v předchozím případě nejdříve prozkoumáme definiční obor zadané funkce. Opět se jedná o součet dvou druhých mocnin, čímž máme zaručeno, že bude tento výraz vždy nezáporný, tudíž definiční obor zadané funkce bude R 2. Nyní se již můžeme pustit do určování lokálních extrémů. První parciální derivace pro tuto funkci vycházejí následovně: Stejně jako v předchozím příkladě nemá soustava rovnic řešení. Zároveň nejsou tyto parciální derivace definovány právě v bodě [3;-5]. Řezy rovinami xz a yz vypadají podobně, jen jsou véčka posunutá, převrácená a více rozevřená. 43

Stejně tak vrstevnice vypadají obdobně, jen je střed soustředných kružnic posunutý do bodu [3;-5]. Výsledkem je tedy opravdu rotační kužel, jež jsme popsali na začátku příkladu. Pro kontrolu si necháme vygenerovat graf v programu Maple. Obrázek 3.20: Graf funkce Goniometrické funkce Příklad 3.9 se od předchozích příkladů liší především tím, že obsahuje goniometrickou funkci sinus. Goniometrické funkce specifické především tím, že jsou periodické. Proto se při určitém typu zadání můžeme setkat s extrémy, jichž bude nekonečně mnoho. Jejich určování se ale nemusíme vůbec bát, protože stejně jako u určování extrémů goniometrických funkcí jedné proměnné se i zde bude pracovat právě s periodicitou těchto funkcí. Příklad 3.9: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf. Ještě před zjišťováním extrémů musíme určit definiční obor funkce. Jelikož je v zadání lomená funkce, musíme si dát pozor na jmenovatel, který nesmí být nulový. Jednoduchým výpočtem zjistíme, že náš jmenovatel nikdy nulový být nemůže, takže definičním oborem zadané funkce je celé R 2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y. >fce:=sin(x)/(y^2+1); >fx:=diff(fce,x); >fy:=diff(fce,y); 44

Řešením soustavy rovnic >reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); určíme pomocí příkazu solve stacionární body: pro. Pomocí druhých parciálních derivací zjistíme, zda v těchto bodech nastávají lokální extrémy. >fxx:=diff(fx,x); fyy:=diff(fy,y); fxy:=diff(fx,y); Pro platí: >x:=pi/2; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; -2 >fxx; -1 Pro platí: >x:=pi/2; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; -2 >fxx; -1 45

Oba determinanty vyšly kladné, což znamená, že v obou bodech nastává extrém. Podle věty 1 určíme, zda se jedná o minimum nebo maximum. Dosazením bodů např. do zjistíme, že se v případě bodu jedná o maximum, bodě nabývá funkce minima. Je nutné si uvědomit, že jsme sice počítali se dvěma stacionárními body, ale ve skutečnosti je těchto stacionárních bodů nekonečně mnoho podle toho, které číslo dosadíme za k. Tedy i lokálních extrémů má funkce nekonečně mnoho a nastávají právě v bodech a, kde. Nyní se pokusíme zjistit, jak vypadá graf zadané funkce. Řez rovinou xz: Po dosazení funkce do zadané funkce nám zůstane základní goniometrická, jejíž graf vidíme na obrázku 3.21. Řez rovinou yz: Pokud do zadané funkce dosadíme, dostaneme. Abychom si udělali trochu lepší představu o tom, jak bude vypadat graf zadané funkce, zkusíme určit průniky funkce s dalšími svislými rovinami. Dosadíme za x postupně čísla. Na obrázku 3.22 jsou znázorněny výsledné křivky. Obrázek 3.21: Graf funkce Obrázek 3.22: Grafy funkcí:, 46,

Vrstevnice: Při určování vrstevnic se velice rychle dostaneme do úzkých, protože nám jednotlivé vrstevnice vůbec nebudou vycházet na papíře hezky a brzy možná ztratíme trpělivost. Pokud by se nám při zkoumání řezu rovinou yz nechtělo provádět další řezy, tak v tuto chvíli bychom už neměli jinou možnost. Jediná úroveň vrstevnic, která jde vykreslit velice snadno je vychází, že. Po dosazení nám totiž, což nám krásně koresponduje s předchozím pozorováním. Vrstevnice si necháme vykreslit pomocí příkazu contourplot v programu Maple. >with(plots); >contourplot(sin(x)/(y^2+1), x=-10..10, y=-10..10, numpoints=5000, thickness=2); Obrázek 3.23: Vrstevnice funkce Nyní už bychom měli mít vše potřebné k tomu, abychom byli schopni odhadnout, jak bude vypadat graf funkce, případně si můžeme vykreslit ještě další řezy svislými rovinami. V programu Maple si pomocí příkazu plot3d ověříme, zda jsme počítali správně. > plot3d(sin(x)/(y^2+1), x=-5..5, y=-5..5, axes=boxed, numpoints=1000, shading=zhue); Obrázek 3.24: Graf funkce 47

Příklad 3.10: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf. Definičním oborem zadané funkce je R 2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y. >fce:=x*exp(-(x*x+y*y)); fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y); Pomocí příkazu solve vyřešíme soustavu rovnic. >reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); reseni := {x = RootOf(-1 + 2_Z 2 ), y = 0} > allvalues(reseni); {y = 0, x = 1/2*sqrt(2)}, {y = 0, x = -1/2*sqrt(2)} Řešením jsou tedy dva stacionární body: Pomocí druhých derivací zjistíme, zda v těchto bodech nastávají lokální extrémy. 48

Pro platí: >x:= sqrt(2)/2;; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; >fxx; V bodě tedy podle výše zmíněné věty extrém nastává. Protože, má funkce v bodě ostré lokální minimum. Analogicky pro stacionární bod >x:= -sqrt(2)/2; y:=0; >fxx*fyy-fxy*fxy; >fxx; platí: V bodě tedy podle výše zmíněné věty extrém nastává. Protože, má funkce v bodě ostré lokální maximum. Graf Řez rovinou xz: >restart; >fce:=x*exp(-(x*x+y*y)); >x:=0; fce; Pokud dosadíme do zadané funkce, dostáváme funkci jedné proměnné, jejíž graf vidíme na obrázku 3.25. Řez rovinou yz: >restart; >fce:=x*exp(-(x*x+y*y)); >y:=0; fce; Po dosazení do původní funkce zjistíme, při řezu funkce rovinou je grafem přímka. Toto zjištění nám může trochu pomoci, ovšem pro odhad výsledného grafu naší funkce budeme potřebovat více informací. Vrstevnice: Pokud se pustíme do zjišťování vrstevnic pěkně na papíře, pravděpodobně se nám to nepodaří. Vrstevnice zadané funkce podle Maplu najdete na konci příkladu. 49

Předpokládejme, že opravdu máme k dispozici pouze papír a tužku. Zkusíme si tedy pomoci jinak než určováním vrstevnic. Vraťme se na chvilku zpět k naším předešlým výsledkům. Našli jsme dva lokální extrémy, které můžeme částečně vidět na obrázku 3.25. Řez rovinou nám odhalil jen málo z výsledného grafu, takže by stálo za to zjistit, jak vypadá například průnik funkce s rovinou. Po dosazení do zadané funkce dostaneme funkci jedné proměnné jejímž grafem je modrá křivka na obrázku 3.26. Podobně řez rovinou vypadá následovně je vykreslen zelenou barvou na obrázku 3.26. Obrázek 3.25: Graf funkce Obrázek 3.26: Grafy funkcí a S použitím těchto výsledků se tedy můžeme pokusit nakreslit graf zadané funkce. V programu Maple si nyní můžeme vygenerovat vrstevnice funkce a její graf. Ověříme si, zda jsme se v našem odhadu i bez znalosti vrstevnic alespoň trochu trefili. >plots[contourplot](fce, x=-2..2, y=-2..2, numpoints=2000, scaling=constrained, thickness=2, coloring=[white,blue], filled=true, contours=8); >plot3d(fce, x=-3..3, y=-3..3, axes=boxed, shading=zhue); 50

Nastavením parametru coloring=[white,blue], na obrázku 3.27 jsme nechali vykreslit i rozdíly funkčních hodnot mezi jednotlivými vrstevnicemi. V tomto grafu platí, že čím tmavší je odstín modré barvy, tím vyšší funkční hodnota. Obrázek 3.27: Vrstevnice funkce Na obrázku 3.28 a 3.29 vidíme z různých úhlů graf funkce. Obrázek 3.28: Graf funkce Obrázek 3.29: Graf funkce 51

Příklad 3.11: Určete extrémy následující funkce a pokuste se načrtnout její graf. Řešení Jelikož je tento příklad velice jednoduchý, omezíme se pouze na komentáře k příkazům v programu Maple. Definičním oborem zadané funkce je R 2. Extrémy Nejprve spočítáme první parciální derivace podle proměnných x a y pomocí příkazu diff. >fce:=x^2-y^2; fx:=diff(fce,x); fy:=diff(fce,y); Pomocí příkazu solve vyřešíme soustavu rovnic. >reseni:=solve({fx=0, fy=0}, {x,y}); reseni:={x = 0, y = 0} >fxx:=diff(fx,x); fyy:=diff(fy,y); fxy:=diff(fx,y); Nyní si pomocí příkazu assign načteme do proměnných x a y souřadnice stacionárního bodu a spočítáme hodnotu determinantu matice druhých derivací, abychom zjistili, zda ve stacionárním bodě nabývá funkce nějakého extrému. >assign(reseni); >fxx*fyy-fxy^2; -4 V bodě podle Věty 1 extrém nenastává. Jedná se o tzv. sedlový bod. Jak takový bod vypadá, se můžeme podívat na obrázku 3.33 na konci tohoto příkladu. 52

Graf Nyní si necháme pomocí příkazu plot vygenerovat řezy rovinami xy a yz a vrstevnice zadané funkce. Následně si pomocí příkazu plot3d z knihovny plots. >restart; fce:=x^2-y^2; x:=0; fce; > plot(fce, y=-10..10, labels=[y,z], thickness=2); (obrázek 3.30) >restart; fce:=x^2-y^2; y:=0; fce; > plot(fce, x=-10..10, labels=[x,z], thickness=2); (obrázek 3.31) >restart; with(plots); >plots[contourplot](x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10, thickness=2, filled=true); (obrázek 3.32) Příkaz restart je v těchto příkazech velice důležitý, protože ruší nastavení všech proměnných, zde konkrétně proměnných x a y. Pokud bychom tento příkaz nezadali, vyšla by nám u řezu rovinou xz nulová funkce. Nakonec si pomocí příkazu plot3d necháme vygenerovat graf funkce. >plot3d(x^2-y^2, x=-10..10, y=-10..10, axes=boxed, shading=zhue); (obrázek 3.33) Obrázek 3.30: Graf funkce Obrázek 3.31: Graf funkce Obrázek 3.32: Vrstevnice funkce Obrázek 3.33: Graf funkce 53