Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro Strojní fakultu 1 (KMA/GS1), který vyučujeme od roku 2009 ve významně upravené podobě. Snažili jsme se napsat velice stručné a jednoduché pojednání. Věříme, že je to ta forma, kterou studenti potřebují. Rádi bychom tímto textem odstranili především časté studijní neúspěchy. Pokud jsme v textu nechali nedopatření, resp. pokud je text někde nesrozumitelný, prosíme o sdělení takových poznatků. Ideální cestou je použití e-mailu a adresy JEZEK@KMA.ZCU.CZ. Zvláště pilní hledači chyb a překlepů budou odměněni. Věříme, že tou odměnou ale bude především úspěšné složení zkoušky, nebot ten, kdo našel chybu, zpravidla přemýšlel. Právě geometrie je příležitostí k ověření Vašeho myšlenkového potenciálu, který pak uplatníte v kreativní inženýrské činnosti. Autoři 2

Obsah 1 Opakování stereometrie 8 1.1 Axiómy........................................ 8 1.2 Určování odchylek.................................. 8 1.2.1 Odchylka mimoběžek............................. 9 1.2.2 Odchylka dvou rovin............................. 9 1.3 Kritéria rovnoběžnosti................................ 9 1.4 Kritéria kolmosti................................... 10 1.5 Otáčení v prostoru.................................. 11 1.6 Dělící poměr...................................... 11 1.7 Kontrolní otázky................................... 12 2 Nevlastní elementy 13 2.1 Úvodní úvaha..................................... 13 2.2 Nevlastní bod, přímka a rovina........................... 13 2.3 Kontrolní otázky................................... 14 3 Kuželosečky 15 3.1 Úvod.......................................... 15 3.2 Elipsa......................................... 15 3.2.1 Rovnice elipsy................................. 16 3.2.2 Proužková konstrukce elipsy......................... 17 3.2.3 Oskulační kružnice elipsy........................... 18 3.2.4 Rytzova konstrukce.............................. 19 3.2.5 Tečna a ohniskové vlastnosti elipsy..................... 20 3.3 Hyperbola....................................... 22 3.3.1 Tečna a ohniskové vlastnosti hyperboly................... 22 3.4 Parabola........................................ 23 3.4.1 Tečna a ohniskové vlastnosti paraboly................... 24 3.5 Pascalova a Brianchonova věta............................ 24 3.6 Kontrolní otázky................................... 29 4 Elementární plochy a tělesa 30 4.1 Základní pojmy.................................... 30 4.1.1 Jehlanová plocha, jehlan........................... 30 4.1.2 Hranolová plocha, hranol........................... 30 3

OBSAH 4 4.1.3 Kuželová plocha, kužel............................ 31 4.1.4 Válcová plocha, válec............................. 32 4.1.5 Kulová plocha, koule............................. 32 4.2 Kontrolní otázky................................... 32 5 Základy promítání 33 5.1 Úvod.......................................... 33 5.2 Středové promítání.................................. 33 5.3 Rovnoběžné promítání................................ 34 5.4 Pravoúhlé promítání................................. 35 5.5 Středová kolineace.................................. 35 5.6 Osová afinita..................................... 38 5.7 Kontrolní otázky................................... 40 6 Mongeovo promítání 41 6.1 Úvod.......................................... 41 6.2 Obraz bodu...................................... 41 6.3 Obraz přímky..................................... 42 6.4 Obraz roviny..................................... 44 6.5 Polohové úlohy.................................... 47 6.5.1 Přímka v rovině (základní úloha Z1).................... 47 6.5.2 Bod v rovině (základní úloha Z2)...................... 50 6.5.3 Rovnoběžné roviny (základní úloha Z3)................... 52 6.5.4 Průsečík přímky s rovinou (základní úloha Z4)............... 53 6.5.5 Průsečnice dvou rovin (základní úloha Z5)................. 55 6.6 Metrické úlohy.................................... 57 6.6.1 Skutečná velikost úsečky (základní úloha Z6)................ 57 6.6.2 Nanesení úsečky na přímku (základní úloha Z7).............. 59 6.6.3 Přímka kolmá k rovině (základní úloha Z8)................. 59 6.6.4 Rovina kolmá k přímce (základní úloha Z9)................ 61 6.6.5 Otočení roviny do polohy rovnoběžné s průmětnou (základní úloha Z10). 62 6.6.6 Obraz kružnice (základní úloha Z11).................... 65 6.6.7 Transformace průměten (základní úloha Z12)............... 66 6.7 Kontrolní otázky................................... 67 7 Axonometrie 68 7.1 Úvod.......................................... 68 7.2 Klasifikace axonometrií................................ 69 7.3 Zobrazení bodu.................................... 70 7.4 Zobrazení přímky................................... 71 7.5 Zobrazení roviny................................... 72 7.6 Úlohy v axonometrii................................. 72 7.6.1 Vzájemná poloha přímek........................... 73 7.6.2 Přímka v rovině................................ 73 7.6.3 Průsečík přímky s rovinou.......................... 75

OBSAH 5 7.6.4 Průsečnice rovin................................ 76 7.6.5 Kružnice v souřadnicové rovině....................... 77 7.7 Pravoúhlá axonometrie................................ 78 7.7.1 Metrické úlohy v rovinách xy, yz, zx.................... 78 7.7.2 Obraz kružnice ležící v některé souřadnicové rovině............ 80 7.8 Kontrolní otázky................................... 82 8 Úlohy na elementárních plochách a tělesech 83 8.1 Řezy na elementárních plochách........................... 83 8.2 Průsečík přímky a elementární plochy........................ 86 8.3 Průnik jehlanových a hranolových ploch...................... 88 8.4 Tečná rovina...................................... 91 8.5 Kontrolní otázky................................... 91 9 Mnohočleny a algebraické rovnice 93 9.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) v jedné proměnné................. 93 9.2 Algebraické operace s polynomy v jedné proměnné................. 94 9.3 Podíl dvou polynomů................................. 95 9.4 Hornerův algoritmus................................. 96 9.5 Algebraické rovnice.................................. 98 9.6 Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice................. 100 9.6.1 Cvičení.................................... 101 9.6.2 Kontrolní otázky............................... 101 10 Maticový počet 102 10.1 Pojem matice..................................... 102 10.2 Vlastnosti matic.................................... 103 10.2.1 Rovnost matic................................. 103 10.2.2 Transponování matic............................. 103 10.2.3 Význačné matice............................... 104 10.3 Aritmetické operace s maticemi........................... 105 10.3.1 Součet matic................................. 105 10.3.2 Násobení matice číslem............................ 106 10.3.3 Součin matic................................. 106 10.4 Determinant čtvercové matice............................ 108 10.4.1 Definice determinantu............................ 108 10.4.2 Sarrusovo pravidlo.............................. 110 10.4.3 Další způsoby výpočtu determinantu.................... 111 10.4.4 Vlastnosti determinantů........................... 112 10.5 Inverzní matice.................................... 114 10.5.1 Regulární a singulární matice, inverzní matice............... 114 10.5.2 Vlastnosti inverzní matice.......................... 115 10.6 Cvičení......................................... 115 10.7 Kontrolní otázky................................... 118

OBSAH 6 11 Soustavy lineárních rovnic 119 11.1 Základní pojmy.................................... 119 11.2 Metody řešení soustav lineárních rovnic....................... 121 11.2.1 Elementární úpravy matice.......................... 121 11.2.2 Gaussova eliminační metoda......................... 122 11.2.3 Podmínky řešitelnosti soustavy lineárních rovnic.............. 124 11.2.4 Cramerovo pravidlo.............................. 126 11.3 Soustavy lineárních rovnic s parametrem...................... 127 11.4 Výpočet inverzní matice............................... 129 11.4.1 Výpočet inverzní matice eliminací...................... 129 11.4.2 Výpočet inverzní matice pomocí determinantu............... 131 11.5 Cvičení......................................... 132 11.6 Kontrolní otázky................................... 134 12 Vlastní čísla a vlastní vektory matice 135 12.1 Charakteristický polynom a charakteristická rovnice matice............ 135 12.2 Výpočet vlastních čísel matice............................ 135 12.3 Vlastní vektory matice................................ 136 12.4 Cvičení......................................... 138 12.5 Kontrolní otázky................................... 138 13 Vektorový počet 140 13.1 Euklidovský prostor E 3................................ 140 13.2 Vázaný a volný vektor................................ 141 13.3 Souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory................ 142 13.4 Vektorové zaměření prostou E 3 a ortonormální báze................ 143 13.5 Lineární závislost a nezávislost vektorů....................... 144 13.6 Báze a dimenze.................................... 144 13.7 Skalární součin vektorů................................ 145 13.8 Vektorový součin................................... 147 13.9 Smíšený součin.................................... 150 13.10Lagrangeova identita a Cauchyova nerovnost.................... 152 13.11Cvičení......................................... 152 13.12Kontrolní otázky................................... 155 14 Analytická geometrie lineárních útvarů v E 3 156 14.1 Rovnice přímky.................................... 156 14.1.1 Vektorová rovnice přímky.......................... 156 14.1.2 Parametrické vyjádření přímky....................... 157 14.2 Vzájemná poloha dvou přímek............................ 158 14.3 Rovina......................................... 159 14.3.1 Vektorová rovnice roviny........................... 159 14.3.2 Parametrické vyjádření roviny........................ 160 14.3.3 Hessův normálový tvar rovnice roviny.................... 160 14.3.4 Obecná rovnice roviny............................ 160

OBSAH 7 14.3.5 Úsekový tvar rovnice roviny......................... 161 14.4 Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice dvou rovin................ 162 14.5 Geometrická interpretace Gaussovy eliminace................... 164 14.6 Vzájemná poloha přímky a roviny.......................... 165 14.7 Vzdálenost bodů, přímek a rovin.......................... 166 14.7.1 Vzdálenost bodů A, B............................ 167 14.7.2 Vzdálenost bodu A od přímky q....................... 167 14.7.3 Vzdálenost bodu B od roviny α....................... 168 14.7.4 Vzdálenost rovnoběžných přímek p a q................... 169 14.7.5 Vzdálenost mimoběžných přímek q a r................... 169 14.7.6 Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny β................ 170 14.7.7 Vzdálenost rovnoběžných rovin α a β.................... 170 14.8 Odchylky přímek a rovin............................... 170 14.8.1 Odchylka přímek p a q............................ 170 14.8.2 Odchylka přímky p a roviny α........................ 171 14.8.3 Odchylka rovin α a β............................. 171 14.9 Příčky mimoběžek.................................. 172 14.9.1 Příčka mimoběžek a, b bodem M...................... 172 14.9.2 Příčka mimoběžek a, b rovnoběžná s přímkou c............... 173 14.9.3 Nejkratší příčka mimoběžek a, b....................... 173 14.10Cvičení......................................... 173 14.11Kontrolní otázky................................... 176

Kapitola 1 Opakování stereometrie Na úvod připomeneme základní pojmy a věty z prostorové geometrie, které budeme používat v dalších kapitolách. 1.1 Axiómy Axiómy jsou jednoduchá tvrzení, která nemůžeme dokázat. Z nich se potom odvozují další věty. Tento systém axiómů použil před více než 2000 lety slavný řecký geometr Euklides k vybudování prostorové geometrie. Geometrii vybudované na tomto systému axiómů říkáme Euklidovská geometrie. Uvedeme si pět základních axiómů prostorové geometrie: 1. axióm: Dva různé body A, B určují právě jednu přímku p. Symbolicky tuto větu zapíšeme: A, B; A B! p = AB. 2. axióm: Přímka p a bod A, který neleží na přímce p, určují právě jednu rovinu α. Symbolicky: A, p; A / p! α = (A, p). 3. axióm: Leží-li bod A na přímce p a přímka p v rovině α, leží i bod A v rovině α. Symbolicky: A, p, α; A p p α A α. 4. axióm: Mají-li dvě různé roviny α, β společný bod P, pak mají i společnou přímku p a P leží na p. Symbolicky: α, β, α β : P α β! p : P p α β = p. 5. axióm: Ke každé přímce p lze bodem P, který na ní neleží, vést jedinou přímku p rovnoběžnou s p. Symbolicky: P, p : P / p! p : p p P p. Uvedených pět axiómů tvoří základ, ale museli bychom je doplnit o další axiómy, aby systém dovoloval vybudování klasické geometrie. Není však cílem tohoto textu uvést úplný přehled axiómů a vět prostorové geometrie. Zaměříme se jen na takové vztahy, které budeme přímo využívat v dalším výkladu. 1.2 Určování odchylek V rovině umíme určit odchylku přímek, které jsou různoběžné. Protože se zabýváme prostorovými vztahy, nadefinujeme si i odchylku dvou mimoběžek a ukážeme si, jak lze určit odchylku dvou rovin. 8

1.3. KRITÉRIA ROVNOBĚŽNOSTI 9 1.2.1 Odchylka mimoběžek 1. V prostoru jsou dány dvě mimoběžky a, b. 2. Libovolným bodem M vedeme přímku a rovnoběžnou s přímkou a a přímku b rovnoběžnou s přímkou b. 3. Odchylka mimoběžek a, b je rovna odchylce přímek a, b. Obrázek 1.1: 1.2.2 Odchylka dvou rovin Uvedeme dva způsoby, jak určit odchylku dvou různoběžných rovin α a β. 1. způsob - obr. 1.2 Obrázek 1.2: Obrázek 1.3: 1. Sestrojíme průsečnici p rovin α a β. 2. Sestrojíme rovinu γ kolmou na p. 3. Sestrojíme průsečnici a rovin α a γ a průsečnici b rovin β a γ. 4. Odchylka ϕ přímek a, b je odchylkou rovin α a β. 2. způsob - obr. 1.3 1. Libovolným bodem M vedeme kolmici n k rovině α. 2. Stejným bodem M vedeme kolmici n k rovině β. 3. Odchylka přímek n, n je odchylkou rovin α a β. 1.3 Kritéria rovnoběžnosti Věta 1.1 Kritérium rovnoběžnosti přímky s rovinou. Přímka p je rovnoběžná s rovinou α, právě když existuje přímka p ležící v rovině α, rovnoběžná s přímkou p obr. 1.4.

1.4. KRITÉRIA KOLMOSTI 10 Věta 1.2 Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin. Rovina α je rovnoběžná s rovinou β, právě když existují různoběžky a, b ležící v rovině α a rovnoběžné s rovinou β obr. 1.5. Obrázek 1.4: Obrázek 1.5: 1.4 Kritéria kolmosti Věta 1.3 Kritérium kolmosti přímky a roviny. Přímka p je kolmá k rovině α, jestliže je kolmá ke dvěma různoběžkám a, b ležícím v rovině α obr. 1.6. Věta 1.4 Kritérium kolmosti dvou rovin. Rovina α je kolmá k rovině β, jestliže v rovině α existuje přímka p kolmá k rovině β (tj. kolmá ke dvěma různoběžkám a, b ležícím v rovině β) obr. 1.7. Obrázek 1.6: Obrázek 1.7:

1.5. OTÁČENÍ V PROSTORU 11 1.5 Otáčení v prostoru Transformacím bude věnována celá kapitola. Nyní si pouze připomeneme základní vlastnosti otáčení (rotace), protože otáčení budeme potřebovat při studiu zobrazovacích metod. Popíšeme otáčení v prostoru okolo osy o o úhel ϕ. Body osy otáčení jsou samodružné (zobrazí se samy na sebe). Bod A se otáčí po kružnici k. Určíme střed S kružnice k, poloměr r a rovinu ρ, ve které kružnice k leží - obr. 1.8. Rovina otáčení ρ prochází bodem A a je kolmá k ose otáčení o. Střed otáčení S je průsečíkem osy o s rovinou ρ. Poloměr otáčení r je velikost úsečky AS, píšeme r = AS. Obrázek 1.8: Obrázek 1.9: Příklad 1.1 Jsou dány různoběžné roviny α a π, v rovině α je dán bod A. Napíšeme postup pro otočení bodu A do roviny π - obr. 1.9. Řešení: 1. Osou otáčení o je průsečnice rovin α a π (o = α π). 2. Rovina otáčení ρ je kolmá k ose o a prochází bodem A (ρ o A ρ). 3. Střed otáčení S získáme jako průsečík osy o a roviny ρ (S = o ρ). 4. Velikost úsečky SA je poloměr otáčení (r = SA ). 1.6 Dělící poměr Na orientované přímce p jsou dány dva různé body A, B. Bod C B je libovolný bod přímky p. Dělící poměr bodu C vzhledem k bodům A, B je číslo λ = (A, B, C) = d( AC) : d( BC), kde d( AC), d( BC) jsou orientované délky příslušných úseček. Například je-li bod C středem úsečky AB, jeho dělící poměr vzhledem k bodům A, B je λ = 1, což plyne ze vztahu d( AC) = d( BC). Obráceně ke každému číslu λ 1 můžeme sestrojit na dané orientované přímce AB bod, jehož dělící poměr vůči bodům A, B je dané číslo λ.

1.7. KONTROLNÍ OTÁZKY 12 1.7 Kontrolní otázky 1.1 Popište, jak lze určit odchylku dvou rovin. 1.2 Uved te kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny a kritérium rovnoběžnosti dvou rovin. 1.3 Uved te kritérium kolmosti přímky a roviny a kritérium kolmosti dvou rovin. 1.4 Proč nemůže dělící poměr podle uvedené definice nabývat hodnoty 1?

Kapitola 2 Nevlastní elementy 2.1 Úvodní úvaha Je dána přímka q a bod P, který na této přímce neleží. Bodem P prochází přímka p (obr.2.1). Otáčíme přímkou p kolem bodu P a sestrojujeme průsečíky přímky p s přímkou q. Obrázek 2.1: V určitém okamžiku se přímka p dostane do speciální polohy (p q), kdy průsečík neexistuje. Nyní nastávají dvě možnosti: bud ve svých úvahách budeme uvádět tento případ zvlášt, nebo si pomůžeme tím, že i pro tuto situaci zavedeme průsečík a budeme rovnoběžky považovat za přímky, které mají společný bod. Tento průsečík, který ovšem nemůžeme zobrazit, nazveme nevlastním bodem. 2.2 Nevlastní bod, přímka a rovina Definice 2.1 Všechny navzájem rovnoběžné přímky v prostoru mají společný právě jeden bod, který nazýváme nevlastním bodem. (Někdy říkáme, že rovnoběžné přímky mají stejný směr - nahradili jsme tedy pojem směr pojmem nevlastní bod.) - obr. 2.2 13

2.3. KONTROLNÍ OTÁZKY 14 Obrázek 2.2: Obrázek 2.3: Podobnou úvahu jako v obr. 2.1 můžeme provést pro dvě roviny a vyslovíme další definice: Definice 2.2 Všechny navzájem rovnoběžné roviny v prostoru mají společnou právě jednu přímku, kterou nazýváme nevlastní přímkou - obr. 2.3. Definice 2.3 Nevlastní rovina je množina všech nevlastních bodů a nevlastních přímek. Nevlastní útvary označujeme stejně jako vlastní, pouze připojujeme index. Tedy např. A je nevlastní bod, p je nevlastní přímka apod. Euklidovský prostor obsahuje pouze vlastní útvary. Jestliže k němu přidáme právě zavedené nevlastní body, přímky a roviny, dostaneme nový prostor, který nazýváme projektivně rozšířený euklidovský prostor (nebo zkráceně rozšířený euklidovský prostor). V rozšířeném euklidovském prostoru platí pro vlastní útvary všechny axiomy a věty, které platily v euklidovském prostoru. Pro nevlastní útvary musíme předpokládat platnost dalších tvrzení o incidenci vlastních a nevlastních útvarů: Na každé vlastní přímce leží právě jeden nevlastní bod. V každé vlastní rovině leží právě jedna nevlastní přímka. Nevlastní body všech vlastních přímek jedné roviny leží na nevlastní přímce této roviny. Poznámka 2.1 Nevlastní bod na vlastní přímce značíme A a někdy připojujeme k příslušné přímce šipku, což ale nesmí vést k domněnce, že na vlastní přímce existují dva různé nevlastní body. Vlastní přímka má jediný nevlastní bod, nebot patří jednomu systému navzájem rovnoběžných přímek. Dvě rovnoběžné přímky mají jeden společný nevlastní bod. 2.3 Kontrolní otázky 2.1 Definujte nevlastní bod přímky. 2.2 Kolik nevlastních bodů leží na jedné přímce (rozlište přímku vlastní a nevlastní)? 2.3 Je pravdivé tvrzení, že v rozšířené euklidovské rovině mají dvě různé přímky právě jeden společný bod? Je toto trvzení pravdivé i pro rozšířený euklidovský prostor?

Kapitola 3 Kuželosečky 3.1 Úvod Kuželosečka je rovinná křivka, kterou získáme jako průnik rotační kuželové plochy a roviny. Kuželosečky můžeme rozdělit na singulární, pokud rovina řezu prochází vrcholem rotační kuželové plochy (bod, přímka, dvě přímky), a regulární, jestliže rovina řezu vrcholem neprochází (elipsa 1, hyperbola, parabola). V dalším textu nejprve uvedeme definice a tzv. ohniskové vlastnosti kuželoseček, přičemž se nejvíce zaměříme na elipsu, protože elipsa je afinním obrazem kružnice, a tedy se s ní často setkáme v rovnoběžném promítání. Protože ohniska kuželoseček nejsou invariantem (nezobrazují se do ohnisek) afinních zobrazení, zaměříme se v další části na dvě věty, které nevyužívají ohniskových vlastností, ale pracují pouze s body, tečnami a incidencí. Poznámka 3.1 Sečna kuželosečky (resp. jiné křivky) je spojnice dvou bodů kuželosečky. Tečnu lze definovat jako limitní případ sečny, pokud tyto dva body v limitě splynou. 3.2 Elipsa Definice 3.1 Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných vlastních bodů F, G stálý součet vzdáleností 2a, větší než vzdálenost daných bodů (obr. 3.1). Body F, G se nazývají ohniska, spojnice bodů elipsy s ohnisky jsou průvodiče, střed úsečky F G je střed elipsy. Přímka F G je osou souměrnosti elipsy a nazýváme ji hlavní osa, stejným názvem označujeme i vzdálenost bodů A, B elipsy ležících na této ose, polovině této vzdálenosti říkáme hlavní poloosa a značíme a. Osu úsečky F G nazýváme vedlejší osa, stejným názvem označujeme i vzdálenost bodů C, D elipsy ležících na této ose, polovině této vzdálenosti říkáme vedlejší poloosa a značíme b. Vzdálenost ohniska od středu elipsy se nazývá lineární výstřednost neboli excentricita a značíme ji e. Pro poloosy a excentricitu platí vztah a 2 = b 2 + e 2. 1 Kružnici považujeme za speciální případ elipsy 15

3.2. ELIPSA 16 Obrázek 3.1: 3.2.1 Rovnice elipsy V této podkapitole používáme z části pojmový aparát z kapitoly Analytická geometrie (viz 14), je možné tuto část vynechat a vrátit se k ní později. Pokud umístíme elipsu tak, aby její osy ležely na souřadnicových osách (střed je v počátku souřadnicové soustavy), potom ohniska mají souřadnice F = [ e, 0], G = [e, 0] a bod elipsy M = [x, y]. Z definice elipsy platí, že F M + GM = 2a tj. (x + e) 2 + y 2 + (x e) 2 + y 2 = 2a. Po úpravě získáme kanonickou rovnici x 2 a + y2 2 b = 1. 2 Jestliže umístíme střed elipsy do bodu S = [s 1, s 2 ] (a osy zůstanou rovnoběžné se souřadnicovými osami), pak má elipsa rovnici (x s 1 ) 2 + (y s 2) 2 = 1. a 2 b 2 Parametrické vyjádření vyjádření lze odvodit z tzv. trojúhelníkové konstrukce elipsy (viz obr. 3.2). Jsou dány dvě soustředné kružnice se společným středem v bodě S = [0, 0] a poloměry a, b (a > b). Bodem S vedeme polopřímku r, která protíná kružnice v bodech A, B. Bodem A vedeme rovnoběžku s osou y a bodem B rovnoběžku s osou x. Průsečík těchto rovnoběžek označíme X = [x, y] a odvodíme jeho souřadnice. Odvození ukážeme pro první kvadrant t (0; π/2), v ostatních kvadrantech bude situace analogická. Souřadnice bodu A resp. B jsou [x a, y a ] = [a cos t, a sin t], resp. [x b, y b ] = [b cos t, b sin t]. Z pravoúhlého trojúhelníku ABX lze vyjádřit velikosti odvěsen v = AX = (a b) sin t, u = BX = (a b) cos t. Souřadnice bodu X = [x, y] můžeme vyjádřit pomocí souřadnic bodů A, B a velikostí u, v: x = x b + u = b cos t + (a b) cos t = a cos t y = y a v = a sin t (a b) sin t = b sin t.

3.2. ELIPSA 17 Bod X je bodem elipsy, protože jeho souřadnice vyhovují kanonické rovnici uvedené výše a je parametrickým vyjádřením elipsy. x = a cos t, y = b sin t, t (0; 2π) Obrázek 3.2: Obrázek 3.3: 3.2.2 Proužková konstrukce elipsy Bodem X vedeme rovnoběžku q s přímkou r. Přímka q protne hlavní a vedlejší osu elipsy v bodech P a R. Protože r q, BX SP a AX SR, platí také, že RX = SA = a a XP = SB = b. Obrázek 3.4: Obrázek 3.5: Příklad 3.1 Elipsa je určena hlavní osou AB a bodem M, který je bodem elipsy. Určete velikost vedlejší poloosy elipsy - obr. 3.4. Řešení: (obr. 3.5)

3.2. ELIPSA 18 1. Sestrojíme osu o úsečky AB. 2. Sestrojíme kružnici f (M, a), velikost hlavní poloosy a je rovna polovině vzdálenosti bodů A, B. 3. Sestrojíme bod R jako průsečík kružnice f s osou o (ze dvou možností vybereme bod, který leží v opačné polorovině k polorovině určené osou AB a bodem M). 4. Sestrojíme průsečík P úsečky RM s osou AB. 5. Velikost b vedlejší poloosy je vzdálenost bodů P M. 3.2.3 Oskulační kružnice elipsy Pokud jsme nuceni sestrojit elipsu pomocí kružítka a pravítka, můžeme ji ve vrcholech nahradit oblouky tzv. oskulačních kružnic. Oskulační kružnice představuje nejlepší náhradu křivky v okolí daného bodu pomocí kružnice. Oskulační kružnice ve vrcholu elipsy (ale i jiné křivky) se nazývá hyperoskulační kručnice. Příklad 3.2 Sestrojte libovolný další bod a hyperoskulační kružnice elipsy určené hlavní a vedlejší osou - obr. 3.6. Řešení: (obr. 3.7) 1. Sestrojíme úsečku UW velikosti 2a = AB a zvolíme bod V na úsečce UW. 2. Určíme ohniska F, G (platí CF = a). Bod X je průsečíkem kružnic u 1 (F, UV ) a u 2 (G, V W ). 3. Sestrojíme bodem C rovnoběžku s hlavní osou a bodem B rovnoběžku s vedlejší osou (tečny ve vrcholech). 4. Průsečíkem rovnoběžek vedeme kolmici r k přímce CB. 5. Průsečíky přímky r s hlavní a vedlejší osou jsou středy S 1, S 2 hyperoskulačních kružnic k 1 (S 1, S 1 B ), k 2 (S 2, S 2 C ). Obrázek 3.6: Obrázek 3.7:

3.2. ELIPSA 19 3.2.4 Rytzova konstrukce Průměr elipsy je úsečka, která prochází středem elipsy a její krajní body leží na elipse. Na rozdíl od kružnice není elipsa svým průměrem určena. Jednoznačně je určena tzv. sdruženými průměry, pro které platí, že tečny v krajních bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým (viz obr. 3.8). Obrázek 3.8: Obrázek 3.9: Obrázek 3.10: Příklad 3.3 Sestrojte hlavní a vedlejší osu elipsy určené sdruženými průměry - obr. 3.9. Řešení: (Rytzova konstrukce - obr. 3.10) 1. K průměru KL vedeme bodem S kolmici u. 2. Na kolmici sestrojíme bod Q tak, že na u naneseme od bodu S délku QS = KS. Bod Q leží ve stejné polorovině určené hraniční přímkou KL jako bod M. 3. Sestrojíme přímku QM. 4. O je střed úsečky QM. 5. Sestrojíme kružnici r (O, OS ). 6. QM r = {R, P }. 7. Přímky RS a P S udávají polohu hlavní a vedlejší osy elipsy. Hlavní osa prochází ostrým úhlem sdružených průměrů. 8. Velikost hlavní osy elipsy a = P M. Velikost vedlejší osy elipsy b = RM.

3.2. ELIPSA 20 3.2.5 Tečna a ohniskové vlastnosti elipsy Tečna elipsy je přímka, která má s elipsou společný právě jeden bod. Při sestrojování obrysu některých těles (kužel) budeme hledat tečny z bodu (nebo v bodě) k elipse. Následující tři věty poskytují potřebný návod k těmto konstrukcím. Věta 3.1 Tečna elipsy půlí vnější úhly průvodičů dotykového bodu (viz obr. 3.1). Obrázek 3.11: Obrázek 3.12: Věta 3.2 Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jedním ohniskem elipsy podle jejích tečen, je kružnice se středem v druhém ohnisku o poloměru rovném velikosti hlavní osy elipsy (tj. 2a). Tato kružnice se nazývá řídící kružnice (viz obr. 3.11). Věta 3.3 Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek elipsy na její tečny, je kružnice opsaná okolo středu elipsy poloměrem rovným velikosti hlavní poloosy (tj. a). Tato kružnice se nazývá vrcholová kružnice (viz obr. 3.12). Příklad 3.4 Elipsa je určena hlavní a vedlejší osou. Z bodu M ved te tečny k zadané elipse - obr. 3.13. Řešení: (pomocí vrcholové kružnice - obr. 3.14) 1. Sestrojíme vrcholovou kružnici r (S, a). 2. Sestrojíme Thaletovu kružnici k nad úsečkou GM. 3. Sestrojíme průsečíky U 1, U 2 kružnic k, r. 4. Tečny t 1 resp. t 2 jsou určeny body U 1 M resp. U 2 M. 5. Pokud určujeme dotykový bod T, sestrojíme bod G souměrně sdružený k ohnisku G podle tečny t 2. Bod T je průsečíkem přímek F G a t 2. Druhý dotykový bod bychom našli analogicky.

3.2. ELIPSA 21 Obrázek 3.13: Obrázek 3.14: Řešení: (pomocí řídící kružnice - obr. 3.15) 1. Sestrojíme řídící kružnici d (F, 2a). 2. Sestrojíme kružnici k (M, MG ). 3. Bod G (bod souměrně sdružený k ohnisku podle tečny) je průsečík kružnic k, r. 4. Tečna t 2 je kolmá k úsečce GG. (Tečnu t 1 najdeme pomocí druhého průsečíku kružnic k, r - konstrukce není z důvodu přehlednosti v obrázku znázorněna.) 5. Dotykový bod T je průsečíkem přímek F G a t 2. Obrázek 3.15:

3.3. HYPERBOLA 22 3.3 Hyperbola Definice 3.2 Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných pevných bodů F, G stálý rozdíl vzdáleností 2a. 2 (obr. 3.16). Obrázek 3.16: Body F, G se nazývají ohniska, spojnice bodů hyperboly s ohnisky jsou průvodiče, střed úsečky F G je střed hyperboly. Vzdálenost ohniska od středu elipsy se nazývá lineární výstřednost neboli excentricita a značíme ji e. Přímka F, G je osou souměrnosti hyperboly a nazýváme ji hlavní osa, stejným názvem označujeme i vzdálenost bodů A, B hyperboly ležících na této ose, polovině této vzdálenosti říkáme hlavní poloosa a značíme a. Osu úsečky F, G nazýváme vedlejší osa, vedlejší poloosa nazýváme velikost b, pro kterou platí vztah. e 2 = a 2 + b 2 3.3.1 Tečna a ohniskové vlastnosti hyperboly Pro hyperbolu platí podobné věty jako pro elipsu a lze je využít při hledání tečny hyperboly. Pro tečny v nevlastních bodech používáme označení asymptoty. Věta 3.4 Tečna hyperboly půlí vnější úhly průvodičů dotykového bodu. (viz obr. 3.16). Věta 3.5 Asymptoty hyperboly procházejí jejím středem a pro jejich odchylku α s hlavní osou hyperboly platí tgα = b a. Věta 3.6 Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jedním ohniskem hyperboly podle jejích tečen, je kružnice se středem v druhém ohnisku o poloměru rovném velikosti hlavní osy hyperboly. 2 Pro délku hlavní poloosy a musí platit 2a < F G

3.4. PARABOLA 23 Tato kružnice se nazývá řídící kružnice (viz obr. 3.17). Věta 3.7 Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek hyperboly na její tečny, je kružnice opsaná okolo středu hyperboly poloměrem rovným velikosti hlavní poloosy. Tato kružnice se nazývá vrcholová kružnice (viz obr. 3.18). Obrázek 3.17: Obrázek 3.18: 3.4 Parabola Definice 3.3 Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají od pevného bodu F a pevné přímky d, která tímto bodem neprochází, stejné vzdálenosti (obr. 3.19). Obrázek 3.19: Bod F se nazývá ohnisko, přímka d řídící přímka, spojnice bodů paraboly s ohniskem a kolmice daným bodem k řídící přímce jsou průvodiče. Přímka procházející ohniskem F a

3.5. PASCALOVA A BRIANCHONOVA VĚTA 24 kolmá na řídící přímku je osou souměrnosti paraboly a nazýváme ji osa paraboly. Průsečík V osy s parabolou je vrchol paraboly. Vzdálenost ohniska od řídící přímky se nazývá parametr a značí se p. Oskulační kružnice v hlavním vrcholu paraboly (tedy hyperoskulační kružnice) má střed S na ose paraboly ve vzdálenosti p od vrcholu V (viz obr. 3.19). 3.4.1 Tečna a ohniskové vlastnosti paraboly Pro parabolu platí podobné věty jako pro elipsu a hyperbolu, pouze místo řídící a vrcholové kružnice dostáváme řídící a vrcholovou přímku. Tyto věty lze opět využít při určování tečny paraboly. Věta 3.8 Tečna paraboly půlí vnější úhly průvodičů dotykového bodu (viz obr. 3.19). Věta 3.9 Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s ohniskem paraboly podle jejích tečen, je její řídící přímka. (viz obr. 3.20). Věta 3.10 Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohniska na tečny paraboly, je vrcholová tečna paraboly. (viz obr. 3.21). Obrázek 3.20: Obrázek 3.21: 3.5 Pascalova a Brianchonova věta V této části uvedeme velice důležité a užitečné vlastnosti kuželoseček, které se zachovávají při tzv. projektivních transformacích, tedy např. jak v rovnoběžném, tak středovém promítání. Zejména Pascalovu větu lze využít jako nástroj pro interpolaci kuželoseček, tedy pro opakovaný výpočet či konstrukci dalších bodů těchto křivek. Pascalova věta uvádí, že šest bodů leží na jedné kuželosečce jen v případě, že splňují další podmínku. Z toho lze vyvodit, že pro určení kuželosečky v obecném případě stačí pět bodů a pomocí Pascalovy věty lze naopak sestrojit (interpolovat) další body.

3.5. PASCALOVA A BRIANCHONOVA VĚTA 25 Věta 3.11 (Pascalova věta) Průsečíky tří dvojic protějších stran šestiúhelníka vepsaného do kuželosečky leží na jedné přímce tzv. Pascalově přímce (obr. 3.22). Obrázek 3.22: P = 12 45 Q = 23 56 R = 34 61 Příklad 3.5 Sestrojte další bod kuželosečky k(a, B, C, D, E) určené pěti body - obr. 3.23. Řešení: (volba přímky, na které leží hledaný bod - obr. 3.24) 1. Očíslujeme body 3 např. A = 1, B = 4, C = 2, D = 5, E = 3 a hledáme bod F = 6. 2. Protože hledáme libovolný bod, můžeme přímku, na které budeme bod 6 hledat, vhodně zvolit. Volíme přímku procházející bodem 1 a označíme ji 16 (spojnice bodů 1 a 6) 3. Sestrojíme bod P, který je průsečíkem spojnic 12 a 45. 4. Sestrojíme bod R, který je průsečíkem spojnic 34 a 16. 5. Sestrojíme Pascalovu přímku p = P R. 6. Sestrojíme bod Q, který je průsečíkem Pascalovy přímky p a přímky 23. 7. Sestrojíme přímku 56, která je spojnicí bodů Q a 5. 8. Bod F = 6 je průsečíkem přímek 16 a 56. Poznámka 3.2 Pokud dva body kuželosečky splynou, pak jejich spojnice přejde v tečnu (viz obr. 3.25). Pokud splynou dvě tečny, pak jejich průsečík přejde v dotykový bod (viz obr. 3.26). Techto úvah využijeme v následujících příkladech. Příklad 3.6 Kuželosečka k(a, B, C, D, E) je určena pěti body. Sestrojte tečnu k této kuželosečce v bodě A - obr. 3.27. Řešení: (obr. 3.28) 3 Na očíslování bodů nezáleží, ale volbou očíslování můžeme ovlivnit dosažitelnost potřebných bodů na nákresně.

3.5. PASCALOVA A BRIANCHONOVA VĚTA 26 Obrázek 3.23: Obrázek 3.24: Obrázek 3.25: Obrázek 3.26: 1. Protože hledáme tečnu v bodě A, označíme tento bod jako dva body, které splynuly (a v Pascalově větě je využívána jejich spojnice) A = 1 = 6. 2. Očíslujeme ostatní body např. B = 2, C = 5, D = 3, E = 4 a hledáme spojnici 16. 3. Sestrojíme bod P, který je průsečíkem spojnic 12 a 45. 4. Sestrojíme bod Q, který je průsečíkem spojnic 23 a 56. 5. Sestrojíme Pascalovu přímku p = P Q. 6. Sestrojíme bod R jako průsečík Pascalovy přímky p a přímky 34. 7. Sestrojíme přímku 16, která je spojnicí bodů R a 1 = 6. 8. Přímka t A = 16 je tečnou kuželosečky v bodě 1 = 6. Příklad 3.7 Kuželosečka k(a, B, b, D, E) je určena pěti body a tečnou v jednom z nich. Sestrojte tečnu k této kuželosečce v bodě A - obr. 3.29. Řešení: (obr. 3.30)

3.5. PASCALOVA A BRIANCHONOVA VĚTA 27 Obrázek 3.27: Obrázek 3.28: 1. Protože hledáme tečnu v bodě A, označíme tento bod jako dva body, které splynuly (a v Pascalově větě je využívána jejich spojnice) A = 1 = 2. 2. Protože přímka b je tečnou v bodě B, označíme i bod B jako dva body, které splynuly (a v Pascalově větě je využívána jejich spojnice) B = 3 = 4 a přímku b jako spojnici 34. 3. Očíslujeme ostatní body např. D = 5, E = 6 a hledáme spojnici 12. 4. Sestrojíme bod Q, který je průsečíkem spojnic 23 a 56. 5. Sestrojíme bod R, který je průsečíkem spojnic 34 a 16. 6. Sestrojíme Pascalovu přímku p = QR. 7. Sestrojíme bod P jako průsečík Pascalovy přímky p a přímky 45. 8. Sestrojíme přímku 12, která je spojnicí bodů P a 1 = 2. 9. Přímka t A = 12 je tečnou kuželosečky v bodě 1 = 2. Obrázek 3.29: Obrázek 3.30: Věta 3.12 (Brianchonova věta) Spojnice tří dvojic protějších vrcholů šestiúhelníka opsaného kuželosečce procházejí jedním bodem tzv. Brianchonovým bodem (obr. 3.31).

3.5. PASCALOVA A BRIANCHONOVA VĚTA 28 Obrázek 3.31: p = (1 2)(4 5) q = (2 3)(5 6) r = (3 4)(6 1) Příklad 3.8 Kuželosečka k(a, b, c, d, e) je určena pěti tečnami. Sestrojte další tečnu této kuželosečky - obr. 3.32. Řešení: (obr. 3.33) 1. Očíslujeme přímky např. a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5 a hledáme přímku f = 6. 2. Protože hledáme libovolnou přímku, můžeme zvolit bod, kterým přímka bude procházet. Volíme bod na přímce 1 a označíme ho 16 (průsečík přímek 1 a 6) 3. Sestrojíme přímku p, která je spojnicí průsečíků 12 a 45. 4. Sestrojíme přímku r, která je spojnicí průsečíků 34 a 16. 5. Sestrojíme Brianchonův bod B, který je průsečíkem přímek p a r. 6. Sestrojíme přímku q, která je spojnicí Brianchonova bodu B a průsečíku 23. 7. Sestrojíme bod 56, který je průsečíkem přímek q a 5. 8. Tečna f = 6 je spojnicí bodů 16 a 56. Příklad 3.9 Kuželosečka k(a, b, c, d, D) je určena pěti tečnami a jedním bodem dotyku (bod D na tečně d). Sestrojte dotykový bod A na tečně a - obr. 3.34. Řešení: (obr. 3.35) 1. Protože na tečně d známe dotykový bod, označíme ji jako dvě tečny, které splynuly d = 5 = 6 a dotykový bod jako jejich průsečík D = 56. 2. Přímku a, na které hledáme dotykový bod, také označíme jako dvě přímky, které splynuly a = 1 = 2 a hledáme jejich průsečík A = 12. 3. Očíslujeme ostatní přímky např. b = 3, c = 4. 4. Sestrojíme přímku q, která je spojnicí průsečíků 23 a 56. 5. Sestrojíme přímku r, která je spojnicí průsečíků 34 a 16. 6. Sestrojíme Brianchonův bod B, který je průsečíkem přímek q a r. 7. Sestrojíme přímku p, která je spojnicí Brianchonova bodu B a průsečíku 45. 8. Sestrojíme bod 12, který je průsečíkem přímek p a 1 = 2. 9. Bod 12 je dotykovým bodem na tečně a.

3.6. KONTROLNÍ OTÁZKY 29 Obrázek 3.32: Obrázek 3.33: Obrázek 3.34: Obrázek 3.35: 3.6 Kontrolní otázky 3.1 Kolika obecnými (různými) body je kuželosečka jednoznačně určena. 3.2 Jak jsou definovány sdružené průměry elipsy? 3.3 Které průměry kružnice jsou sdružené, pokud kružnici považujeme za speciální případ elipsy (a = b)? 3.4 Kolik nevlastních bodů mají jednotlivé regulární kuželosečky?

Kapitola 4 Elementární plochy a tělesa 4.1 Základní pojmy Elementárními plochami budeme rozumět jehlanovou, hranolovou, kuželovou, válcovou a kulovou plochu a elementárními tělesy jehlan, hranol, kužel, válec a kouli. Elementární tělesa znáte z předchozího studia na střední škole. Zde je jen dáme do souvislostí s nově definovanými pojmy. 4.1.1 Jehlanová plocha, jehlan Jehlanová plocha je určena rovinnou lomenou čárou - polygonem c (c σ) a bodem V, který neleží v rovině polygonu (V σ), a je tvořena přímkami, které protínají polygon c a procházejí bodem V - obr. 4.1 a). Je-li polygon uzavřený, pak množina přímek, které procházejí daným bodem V a protínají vnitřek polygonu nebo polygon, se nazývá jehlanový prostor. Přímky určené vrcholem V a vrcholy polygonu jsou hrany jehlanové plochy. Rovina, která prochází vrcholem, se nazývá vrcholová rovina. Jehlan je průnik jehlanového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řídícího polygonu a vrcholové roviny σ σ - obr. 4.1 c). ) Výška jehlanu je vzdálenost vrcholu V od roviny podstavy. Má-li podstava střed S a leží-li vrchol V na kolmici vztyčené v bodě S k rovině podstavy, nazýváme jehlan kolmý a SV je jeho osa. V opačném případě je jehlan kosý. 4.1.2 Hranolová plocha, hranol Hranolová plocha je určena rovinnou lomenou čárou - polygonem c (c σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ), a je tvořena přímkami, které protínají polygon c a jsou směru s - obr. 4.1b). Je-li polygon uzavřený, pak množina přímek směru s, které protínají polygon nebo vnitřek polygonu, se nazývá hranolový prostor. Přímky určené vrcholy polygonu a směru s jsou hrany hranolové plochy. V projektivním rozšíření euklidovského prostoru lze definovat hranolovou plochu jako speciální případ jehlanové plochy, jejímž vrcholem je nevlastní bod. Vrcholovou rovinou je každá rovina směru s. 30

4.1. ZÁKLADNÍ POJMY 31 Hranol je průnik hranolového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řídícího polygonu a roviny σ σ - obr. 4.1d). Výška hranolu je vzdálenost rovin podstav. Jsou-li pobočné hrany kolmé na roviny podstav, nazýváme hranol kolmý a spojnice středů podstav je jeho osou (pokud existuje). V opačném případě je hranol kosý. Hranol, jehož podstavou je rovnoběžník, nazýváme rovnoběžnostěn. Obrázek 4.1: Obrázek 4.2: 4.1.3 Kuželová plocha, kužel Kuželová plocha je určena rovinnou křivku k (k σ) a bodem V, který neleží v rovině dané křivky (V σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a procházejí bodem V - obr. 4.2 a). Je-li křivka k uzavřená, pak množina přímek, které procházejí daným bodem V a protínají křivku nebo vnitřek křivky, se nazývá kuželový prostor. Přímka určená vrcholem V a bodem křivky k je površka kuželové plochy. Rovina, která prochází vrcholem, se nazývá vrcholová rovina. Kužel je průnik kuželového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řídícího polygonu a vrcholové roviny σ σ - obr. 4.2 c). Je-li řídící křivkou kuželové plochy kružnice (řídící kružnice), kuželová plocha se nazývá kruhová. Jestliže je spojnice středu S řídící kružnice k a vrcholu V kolmá na rovinu σ, pak nazýváme kuželovou plochu kolmou nebo rotační a přímku SV osou kuželové plochy. Rotační kuželovou plochu můžeme také získat rotací přímky, která protíná osu otáčení a není k ní kolmá. Není-li přímka SV kolmá na rovinu řídící kružnice, nazývá se kuželová plocha kosá. Podobně kolmý nebo rotační kužel má osu kolmou k rovině podstavy na rozdíl od kosého kužele.

4.2. KONTROLNÍ OTÁZKY 32 4.1.4 Válcová plocha, válec Válcová plocha je určena rovinnou křivkou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a jsou směru s - obr. 4.2 b). Je-li křivka k uzavřená, pak množina přímek směru s, které protínají křivku nebo procházejí vnitřním bodem křivky, se nazývá válcový prostor. Přímka určená bodem křivky k a směru s je površka. Podobně jako u hranolové plochy, můžeme v projektivním rozšíření euklidovského prostoru definovat válcovou plochu jako speciální případ kuželové plochy, jejímž vrcholem je nevlastní bod. Vrcholovou rovinou je každá rovina směru s. Válec je průnik válcového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řídícího polygonu a roviny σ σ - obr. 4.2 d). Je-li řídící křivkou válcové plochy regulární kuželosečka, získáme eliptickou, parabolickou či hyperbolickou válcovou plochu. Jestliže je řídící křivkou kružnice, nazývá se válcová plocha kruhová. Jestliže jsou površky kolmé na rovinu řídící kružnice, dostáváme kolmou kruhovou neboli rotační válcovou plochu, v opačném případě je plocha kosá. Poznámka 4.1 Každá křivka (podle naší definice rovinná) na válcové nebo kuželové ploše může být řídící křivkou této plochy. Řezem rotační kuželové plochy rovinou může být, podle polohy roviny řezu, i jiná kuželosečka. To znamená, že zvolíme-li tuto kuželosečku jako řídící křivku, dostaneme opět rotační kuželovou plochu. Nemá tedy smysl, na rozdíl od válcových ploch, rozlišovat hyperbolickou nebo parabolickou kuželovou plochu od eliptické kuželové plochy. 4.1.5 Kulová plocha, koule Kulová plocha je množina všech bodů, které mají od daného bodu S vzdálenost rovnu danému kladnému číslu r. Koulí rozumíme množinu všech bodů, které mají od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu danému kladnému číslu r. 4.2 Kontrolní otázky 4.1 Popište a načrtněte pravidelný trojboký jehlan a pravidelný čtyřboký hranol. 4.2 Definujte kosý kruhový válec. 4.3 Vysvětlete rozdíl mezi koulí a kulovou plochou.

Kapitola 5 Základy promítání 5.1 Úvod Deskriptivní geometrie se zabývá studiem takových zobrazení, kterými můžeme zobrazit prostorové útvary do roviny a naopak. Zpravidla požadujeme, aby tato zobrazení byla vzájemně jednoznačná. Vzájemně jednoznačným zobrazením v deskriptivní geometrii říkáme zobrazovací metody. Protože deskriptivní geometrie vznikla z potřeb praxe, je důležité, aby bylo možné snadno vyčíst velikost objektů, jejich tvar a vzájemnou polohu jednotlivých částí. Další požadavky se týkají názornosti a snadného řešení stereometrických úloh. Procesu našeho vidění se nejvíce blíží středové promítání a jeho speciální případ lineární perspektiva. Tyto zobrazovací metody jsou velmi názorné a často se s nimi setkáváme v situacích, kdy je třeba reálné zobrazení světa, například v umění nebo architektuře. Nevýhodou středového promítání je složitost konstrukcí a obtíže s měřením délek. Proto se v technické praxi více používají zobrazovací metody, které můžeme označit společným názvem rovnoběžná promítání. V následujícím textu se tedy velmi krátce zmíníme o principech středového promítání, ale podrobněji se budeme zabývat promítáním rovnoběžným a jeho speciálním případem - pravoúhlým promítáním. 5.2 Středové promítání Zvolme v prostoru rovinu π, na kterou budeme zobrazovat - budeme jí říkat průmětna a bod S (vlastní), který neleží v rovině π. Bod S se nazývá střed promítání. Libovolný bod A v prostoru (různý od bodu S) zobrazíme do roviny π následujícím způsobem: Body S a A proložíme přímku p. Přímka p se nazývá promítací přímka. Průsečík A přímky p s rovinou π je středovým průmětem bodu A do roviny π. Podobně sestrojíme bod B jako středový průmět bodu B - obr. 5.1. Vlastnosti středového promítání 1. Středovým průmětem bodu různého od středu promítání je bod. (Bod S ve středovém promítání nemůžeme zobrazit.) 33

5.3. ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ 34 2. Středovým průmětem přímky, která neprochází středem promítání S, je přímka. Středovým průmětem přímky procházející středem promítání S je bod. 3. Středovým průmětem roviny procházející středem promítání S je přímka. Středovým průmětem roviny, která neprochází středem promítání S, je celá průmětna. 4. Středovým průmětem bodu A ležícího na přímce k je bod A ležící na středovém průmětu k přímky k. Obecně leží-li bod na nějaké čáře, pak jeho průmět leží na průmětu té čáry. Říkáme, že se zachovává incidence. Poznámka 5.1 Pokud budeme pracovat s body z projektivního rozšíření prostoru, zjistíme, že ve středovém promítání může být obrazem vlastního bodu bod nevlastní a naopak obrazem nevlastního bodu bod vlastní. Načrtněte si takovou situaci a uved te vhodný reálný příklad (např. zobrazení železničních kolejí). Obrázek 5.1: Obrázek 5.2: 5.3 Rovnoběžné promítání Podobně jako ve středovém promítání zvolíme v rovnoběžném promítání rovinu π, na kterou budeme zobrazovat, a které říkáme průmětna. Dále zvolíme přímku s, která není rovnoběžná s rovinou π. Říkáme, že přímka s nám určuje směr promítání. Rovnoběžný průmět A bodu A získáme tak, že bodem A vedeme přímku p (nazýváme ji opět promítací přímka), která je rovnoběžná s přímkou s a najdeme její průsečík s rovinou π. Podobně najdeme průmět bodu B - obr. 5.2. Pokud použijeme pojmy z kapitoly o nevlastních elementech, můžeme říci, že rovnoběžné promítání je speciální případ středového promítání, kde středem promítání je nevlastní bod. Vlastnosti rovnoběžného promítání 1. Rovnoběžným průmětem (vlastního) bodu je (vlastní) bod.

5.4. PRAVOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ 35 2. Rovnoběžným průmětem přímky, která není směru promítání, je přímka. Rovnoběžným průmětem přímky, která je směru promítání, je bod. 3. Rovnoběžným průmětem roviny, která je směru promítání, je přímka. Rovnoběžným průmětem roviny, která není směru promítání, je celá průmětna. 4. Rovnoběžným průmětem bodu A ležícího na přímce k je bod A ležící na rovnoběžném průmětu k přímky k. Obecně leží-li bod na nějaké čáře, pak jeho průmět leží na průmětu té čáry. 5. Rovnoběžným průmětem různoběžek a, b jsou různoběžné přímky nebo přímky splývající, pokud a, b nejsou směru promítání. Jestliže je jedna z přímek a, b směru promítání, pak rovnoběžným průmětem různoběžek a, b je přímka a na ní bod. 6. Rovnoběžnost se zachovává, tj. rovnoběžné přímky se zobrazí na rovnoběžné nebo splývající přímky (nebo na dva body), rovnoběžné úsečky na rovnoběžné úsečky apod. 7. Rovnoběžným průmětem rovnoběžných a shodných úseček jsou rovnoběžné a shodné úsečky (popř. dva body). 8. Rovnoběžným průmětem útvaru ležícího v rovině rovnoběžné s průmětnou je útvar s ním shodný. 9. Dělící poměr se v rovnoběžném promítání zachovává, tj. například střed úsečky se zobrazí na střed úsečky. Druhy rovnoběžného promítání Podle vztahu směru promítání vzhledem k průmětně rozlišujeme dva druhy rovnoběžného promítání. Jestliže směr promítání je kolmý k průmětně, pak hovoříme o pravoúhlém (nebo také o kolmém či ortogonálním) promítání. Pokud směr promítání není kolmý k průmětně, mluvíme o kosoúhlém promítání. Připomeňme, že jsme vyloučili případ, kdy směr promítání je rovnoběžný s průmětnou. 5.4 Pravoúhlé promítání Vlastnosti, které jsme uvedli pro rovnoběžné promítání, doplníme dvěma větami, které platí jen pro pravoúhlé promítání. Věta 5.1 (Věta o pravoúhlém průmětu pravého úhlu) Pravoúhlým průmětem pravého úhlu je pravý úhel, jestliže alespoň jedno jeho rameno je rovnoběžné s průmětnou a druhé není na průmětnu kolmé. Věta 5.2 Velikost pravoúhlého průmětu A B úsečky AB je menší nebo rovna velikosti úsečky AB, tj. A B AB. 5.5 Středová kolineace Jsou dány dvě různé roviny α a α a bod S, který neleží v žádné z rovin α a α. Středová kolineace je geometrická příbuznost, kdy bodu jedné roviny odpovídá jeho středový průmět z bodu S do druhé roviny. Průsečnice o rovin α a α se nazývá osa kolineace (obr. 5.3).

5.5. STŘEDOVÁ KOLINEACE 36 Obrázek 5.3: Obrázek 5.4: Vlastnosti středové kolineace Uvedeme vlastnosti středové kolineace, které vyplývají z vlastností středového promítání. 1. Bodu odpovídá bod a přímce přímka. 2. Přímky, které si odpovídají ve středové kolineaci, se protínají na ose kolineace nebo jsou s ní rovnoběžné, což ale znamená, že mají společné nevlastní body. 3. Body osy kolineace jsou samodružné, tj. vzor a obraz splývají. 4. Středová kolineace zachovává incidenci. To znamená, že jestliže bod A leží na přímce b, pak pro jejich obrazy A, b opět platí A b. 5. Body, které si odpovídají ve středové kolineaci, leží na přímce procházející středem kolineace. Poznámka 5.2 Je nutné si uvědomit, že středová kolineace obecně nezachovává rovnoběžnost a že vlastnímu bodu může odpovídat bod nevlastní a naopak. Také dělící poměr tří kolineárních bodů se obecně ve středové kolineaci nezachovává. Středová kolineace v rovině Protože se zabýváme zobrazováním trojrozměrného prostoru na rovinu, zajímá nás, co se stane, promítneme-li středovou kolineaci do roviny. Promítneme rovnoběžně obě roviny α, α a střed promítání S do průmětny π tak, aby směr promítání nebyl rovnoběžný s žádnou z rovin α a α (tj. žádná z rovin se nezobrazí jako přímka). Odpovídající si body A a A promítnuté do π leží opět na přímce procházející průmětem středu kolineace. Takto získanou příbuznost v rovině nazveme středovou kolineací v rovině - obr. 5.4. Vlastnosti, které jsme uvedli pro středovou kolineaci mezi rovinami, platí také pro středovou kolineaci v rovině. Znalost středové kolineace využijeme např. při sestrojování řezů na jehlanu a kuželi.

5.5. STŘEDOVÁ KOLINEACE 37 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajících si bodů A, A (body A, A, S leží na jedné přímce). Pro sestrojování obrazů bodů ve středové kolineaci jsou nejdůležitější tyto tři vlastnosti: 1. Středová kolineace zachovává incidenci. 2. Přímky, které si odpovídají ve středové kolineaci, se protínají na ose kolineace nebo jsou s ní rovnoběžné. 3. Body, které si odpovídají, leží na přímce procházející středem kolineace. Příklad 5.1 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajících si bodů A, A - obr. 5.5. Sestrojíme obraz bodu B v kolineaci. Řešení: (obr. 5.6) 1. Spojíme bod B se vzorem bodu, pro který známe jeho obraz, tj. v našem případě s bodem A - dostaneme přímku p. 2. Najdeme obraz p přímky p (p a p se protínají na ose a přímka p prochází bodem A - vlastnost 2. a 1.) 3. Protože body, které si odpovídají, leží na přímce procházející středem kolineace- vlastnost 3., sestrojíme přímku SB. 4. Bod B leží v průsečíku přímek SB a p. Obrázek 5.5: Obrázek 5.6: Poznámka 5.3 Jak jsme již uvedli, obrazem vlastního bodu ve středové kolineaci nemusí vždy být vlastní bod. Stejně tak se některé nevlastní body zobrazí na vlastní body. Vzory a obrazy nevlastních bodů nazýváme úběžníky. Vzor nevlastní přímky se nazývá úběžnice vzorů a obraz nevlastní přímky se nazývá úběžnice obrazů.