ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané věci nestaly. Zakázaných věcí je skoro tolik, kolik je různých jmen pro funkce. Zde uvedu pouze ty nejpoužívanější viz tabulka: jméno funkce zlomek odmocnina logaritmus tangens kotangens označení čitatel jmenovatel něco, 2 něco ln(vnitřek), log(vnitřek), log 2 (vnitřek), atd. tg(argument) cotg(argument) zakázáno je takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek cos(argument) = 0 sin(argument) = 0 arkus sinus arcsin(argument) argument > 1 arkus kosínus arccos(argument) argument > 1 (2k+1) 2, k neboli (2k+1).90, k k, k neboli k.180, k -1,1-1,1 poznámka Čitatel si může dělat, co chce. Totéž platí i pro čtvrtou, šestou,..., zkrátka sudou odmocninu, pro liché odmocininy podmínka není. Na základu zde nezáleží. Někdy chceme vědět, kdy logaritmus vyjde 0. Je to tehdy, když vnitřek=1 a zase to nezáleží na základu. Ve vašich příkladech se prakticky nevyskytuje. Také asi v písemce nebude. To už vůbec v písemce nebude. Ta podmínka jsou vlastně 2 nerovnice: -1, 1. To už vůbec v písemce nebude. Takto dostaneme soustavu nerovnic (někdy jenom jednu nerovnici).
II. Řešíme kaţdou nerovnici zvlášť. Výsledky zapíšeme pomocí intervalů. Přitom je několik druhů nerovnic, každý má své zvláštnosti. Obecně lze říci, že nerovnice se řeší jako rovnice, ale pokud nerovnici násobíme nějakým záporným číslem otáčí se znaménko nerovnice. Dále pokud provádíme mou oblíbenou úpravu, tj. výměna stran, musí špička znaménka je větší, je menší ukazovat stále na stejný člen. Např.: 1 - x > () () < 1 x. Výsadní postavení zde mají kvadratické a zlomkové nerovnosti, na které je jak se zdá vaše profesorstvo velmi citově vázáno. Nuže kvadratické a zlomkové nerovnice řešíme takto: 1\ a) Převedeme je na předepsaný tvar, u kterého je vţdy vlevo všechno a vpravo pouze 0, opakuji NULA! b ) Dále je nutno - u kvadratické nerovnice posčítat členy s x 2, s x a pouhá čísla a členy pak seřadit: nejdřív x 2, pak x, pak čísla. Např.: 1 - x +3 x 2-2 +2x < 0 1 2 x +2x +3 x 2 < 0 3 x 2-3x -1 < 0 - u zlomkové nerovnice dostat vlevo jeden zlomek, což může být kvůli trochu složitějším početním úkonům se zlomky trochu náročnější, ale jde to. Např. 3 - x + 2 3 x.() 2.() - + 3 - (2x 2 + x) + 4x + 2-2x 2 - x + 4x - 2x 2 + 3x - 2x 2 + 3x + 2\ U r č í m e n u l o v é b o d y. a ) U kvadratické nerovnice ax 2 +bx+c < nejlépe podle známého vzorečku x 1, 2 = -b b2-4ac. Jenom pozor koeficienty a, b, c 2a musíme dosazovat vždy se znaménky, která jsou před nimi. Je jasné, že pokud např. před x 2 nic není, je to jako by tam byla jednička, čili a=1; pokud např. člen s x úplně chybí, je b=0. b ) U zlomkové nerovnice nulové body určíme tak, že položíme: čitatel = 0 a
jmenovatel=0. Pozn. to poslední máme zpravidla již spočítané z podmínky pro zlomek. Pokud máme v čitateli nebo jmenovateli kvadratický člen, bude mít tato část pravděpodobně 2 nulové body (to záleží na diskriminantu, tj. hodnotě b 2-4ac, když to vychází kladné, jsou to opravdu 2 různé nulové body), zkrátka potom aplikujeme bod a). Pro ilustraci určím nulové body výrazu z minulého příkladu: - 2x 2 + 3x + Nulové body: i. -2 x 2 + 3x + = 0 x 1, 2 = ii. = 0 /-1 2x = -1 /:2 1 x = - 2-3 9-4.(-2). 2.(-2) = -3 49-4 = 1 2 3\ Nulové body, které jsme takto získali, seřadíme podle velikosti. Celou číselnou osu od - do +, rozdělíme těmito body do úseků, toto rozdělení si zapíšeme do záhlavního řádku tabulky. U ilustračního příkladu tedy dostáváme: -1, - 21, 2 a první řádek tabulky: 4\ Pokud výraz obsahuje kvadratický člen, musíme ho přepsat podle následujícího vzorečku: ax 2 + bx + c = a.(x - x 1 ).(x - x 2 ). Do záhlavního sloupce pak dáme závorky, které jsme takto získali, případně čitatel a jmenovatel zlomku, budeme si pamatovat, že jsou to jakoby zlomek všechny závorky v té levé straně nerovnice (uvědomíme si, že zlomková čára vlastně nahrazuje závorky). Pokud ve výrazu nějakou závorku ještě násobíme nějakým číslem, toto číslo musíme dát do záhlavního sloupce tabulky také, jestliţe je záporné. Pro náš ilustrační příklad dostáváme z čitatele: -2 x 2 + 3x + = -2.(x - -1).(x - 2 ) = -2.(x+1)(x- 2 ), do sloupce tedy píšeme tyto věci: -2; x+1; x- 2. Jmenovatel tam napíšeme celý, je to jakoby jedna závorka. (-,-1) (-1, - 1 2 ) (- 1 2, 2 ) ( 2, ) -2 x+1 x- 2 2x+1 celý \ Vyplňujeme tabulku, tak, ţe za x do jednotlivých výrazů vlevo dosazujeme nějaké číslo z intervalů nahoře. (Obvyklá chyba je, že dosazujeme ty hraniční body a jsme bezradní, že nevíme, jestli vyjde + nebo -. Právě proto narozdíl od jiných kapacit, já trvám na tom, že všechny závorky u těch intervalů v té tabulce musí být kulaté.) A to nejdůležitější, nezajímá nás ani, kolik to přesně vyjde, ale, jestli to bude kladné nebo záporné. Výsledné znaménko
zapíšeme do příslušné kolonky. V řádku, kde je číslo, píšeme všude znaménko totho čísla. (Protože jsme si řekli, že tam kladná čísla psát nemusíme, bude to většinou `-`.) V tom ilustračním příkladu tedy vyjde: (-,-1) (-1, - 1 2 ) (- 1 2, 2 ) ( 2, ) -2 - - - - x+1 - + + + x- 2 - - - + 2x+1 - - + + celý Ta hezká tabulka teď svádí k tomu, abychom udělali součet. Ale ne, my ta... zlomek 6\ znaménka musíme v kaţdém sloupci vynásobit. a to přesně podle poučky plus.plus=plus; plus.mínus=mínus; mínus.plus je to samé, takže mínus; mínus.mínus=plus. Když je jich více než dvě, tak se toho neleknem, takovéhle násobení nezáleží na pořadí ani na seskupování, takže čtyři znaménka uděláme třeba po dvojicích a pak mezivýsledky spolu. Tak dostáváme: (-,-1) (-1, - 1 2 ) (- 1 2, 2 ) ( 2, ) -2 - - - - x+1 - + + + x- 2 - - - + 2x+1 - - + + celý zlomek + - + - 7\ SJEDNOCENÍ odpovídajících intervalů. Tedy: x (-, -1) (- 1 2, 2 ) Teď se teprve ukazuje, proč jsem si do růžku tabulky poznamenal. Hlavně to bylo proto, abych nezapoměl, že budu nakonec hledat plusy. Vţdy, kdyţ vyjde v posledním řádku více neţ jedno hledané znaménko, je hledané řešení té nerovnice VELEDŮLEŢITÉ JE: Zde případně upravíme tvar závorek. To je druhý důvod, proč jsem si do růžku poznamenal. Pravidla jsou 2 a zní: U nekonečna je vţdy kulatá závorka. U nulových bodů je kulatá závorka, kdyţ v je v nerovnici znaménko < nebo >. Špičatá závorka je tam tehdy, kdyţ v nerovnici máme znaménko nebo. To byla tedy důležitá odbočka ke způsobu řešení nerovnic. Vrátíme se k hledání definičního oboru. III. Pokud jsme měli více neţ jednu podmínku, čili více než jednu nerovnici, získali jsme sadu nějakých množin (intervalů nebo několikero sjednocení různých intervalů), musíme nyní udělat průnik těch výsledků (množin). K tomu nám pomáhají většinou transparentové diagramy. V podstatě mezi nulovými body rozvineme transparenty jako na prvomájovém průvodu.
Pokračujme v ilustračním příkladu. Dejme tomu, že byly další podmínky, které vedly k výsledkům: x - 2 1 (O této podmínce vlastně víme, je to že jmenovatel zlomku nesmí být nula.) a x 0. Překonáme chvilku zděšení a naučíme se, že takovouhle nerovnost do intervalů přepisujeme stylem: x (-,- 21 ) (- 2 1, ), no a s tou nulou je to totéž: x (-, 0) (0, ). úlohy k řešení str. 40, př. 6.2: 1 a) f(x): y = x PŘÍKLADY I., II. Kvůli zlomku musí být: x 0 / 2 x 0... x (-, 0) (0, ). Kvůli odmocnině: x 0... x 0, ). III. PRONIKNEME: výsledek: D(f) = (0, ). b) f(x): y = x + 2 x + 4 I. Kvůli zlomku musí být jmenovatel nenulový: x + 4 0 /-4 x -4... x (-, -4) (-4, ). Kvůli odmocnině musí být celý zlomek nezáporný: x + 2 x + 4 0 II. První nerovnice byla tak lehká, že jsem ji spočítal již v bodě I. ta druhá je zlomková nerovnice. Budeme tedy postupovat přesně podle návodu: 1\ a ) rovnice už splňuje to, co má, tj. vlevo všechno, vpravo jenom nula. b ) kvadratický člen nemáme a je to jeden zlomek, takže nerovnice je připravena k dalšímu zpracování.
2\ Nulové body čitatel: x + 2 = 0 /-2 x = -2 jmenovatel: x + 4 = 0 /-4 x = -4 Jak uvedeno v poznámce u výkladu, toto jsme už počítali výše, jenom to rovnítko jsme měli přeškrtnuté. 3\ Seřazujeme podle velikosti, komu dělá problémy porovnávání záporných čísel, vzpomene si na teploměr a řekne si, co je vyšší teplota 4 nebo 2? Samozřejmě, že je 4 < -2. Číselná osa rozstřižená těmi čísly tedy vypadá takto: (-, -4), (-4, -2), (-2, ). Na řadě je tabulka. 4\ Kvadratický člen tady nemáme, úprava na součin závorek tedy odpadá, nevyskytuje se tam ani věc typu číslo krát závorka, takže záhlavní sloupec bude jednoduchý jedna položka ja čitatel, druhá jmenovatel a to je vše. \ 0 (-, -4) (-4, -2) (-2, ) Při vyplňování plusů a mínusů doporučuji x + 2 - - + v krajních intervalech dosazovat něco s velkou x + 4 - + + velikostí, třeba 1000 a +1000. Člověk má nutkání dosadit nulu souhlasím, jenom pozor na zlomek + - + to, kde ta nula leží, zdaleka ne vždy je někde uprostřed. To je teď náš případ. Provedu kroky 6\ a 7\. V nerovnici je znaménko je větší nebo rovno, takže budeme mít špičaté závorky u čísel a jde nám o to, kde vyšlo plus. Výsledek nerovnice: x (, -4-2, ) III. Pronikneme: Tak dostáváme, že D(f) = (-, -4) -2, ) c) f(x): y = x + 2 + ln(x 2 ) I. a II. Kvůli odmocnině je: x + 2 0 / -2 x -2... x -2, ) Kvůli logaritmu: x 2 / Vzpomenem si, že druhá mocnina je vždy nezáporná, takže jediné x, pro které by tato nerovnost nebyla splněna je x = 0, takže dostáváme, že naopak x 0. (Také by to samozřejmě šlo podle toho, co jsme si řekli o kvadratických rovnicích: Podle vzorečku kde je a=1, b=0,c=0 vyjde jeden nulový bod, a to x 1 = x 2 =0. takže podle druhého vzorečku se nám celý kvadratický člen rozpadne na
1.(x-0).(x-0) = x.x Ó, jaký to úspěch naší teorie! Získali jsme x 2 =x.x.) Tabulka by vypadala asi takto: (-,0) (0, ) x + + x + + x 2 + + Kdo nevěří, ať si klidně dosadí, ale teď aspoň vidíme, že metoda těch nulových bodů a tabulky je naprosto spolehlivá. Zase jsme tedy s přihlédnutím k tomu, že zde není nebo rovno a hledáme plus, dostali: x (-, 0) (0, ), což je totéž jako u onoho x 0. III. Pronikneme: Dostáváme tedy: D(f) = -2, 0) (0, ). d) f(x): y = x + 1 ln x I. a II. Kvůli zlomku: lnx 0 / e... x 1... x (-, 1) (1, ) Kvůli logaritmu: x...x (0, ) III. Obrázek: Výsledek: D(f) = (0, 1) (1, ) e) f(x): y = x 2-7x + 12 I. Je jediná podmínka, a to kvůli té odmocnině: x 2-7x + 12 0 II. 1\ Požadovaný tvar máme, takže přikročíme k dalšímu bodu. 2\ Nulové body: x 1,2 = -b b2-4ac 7 49-4.1.12 = = 7 ± 1 2a 2 2 = 4 3 3\ Seřadit a nastříhat podle toho číselnou osu. Vyjde: (-, 3), (3, 4), (4, ). 4\ Nyní dojde i na druhý vzoreček a dostáváme: x 2 + 7x + 12 = 1.(x 4).(x 3) = (x - 4).(x 3). Takže tabulka bude mít dva řádky kromě záhlavního a výsledkového samozřejmě.
\ a 6\ Myslím, že z tabulky je to jasné dost. 7\ Výsledek: D(f) = (-, 3) (4, ) 0 (-, 3) (3, 4) (4, ) x 4 - - + x 3 - + + (x 4).(x 3) + - + Bod III. zde odpadá, protože byla jenom jedna podmínka. f) f(x): y = ln(1 x) + 2x + 4 I., II. Kvůli logaritmu 1 x /-1 -x >-1 /.(-1) Pozor změna znaménka nerovnosti! x < 1... x (-, 1) Kvůli odmocnině 2x + 4 0 /-4 2x -4 / :2 x -2... x -2, ) III. Pronikneme: Obrázek: Výsledek: D(f) = -2, 1) P ř í k l a d z M T 6 č. 4 : f(x): y = 7 ln(1 - x 2 ) I., II. Kvůli zlomku: ln(1 - x 2 ) 0 /e... 1 x 2 1 / -1 - x 2 0 /.(-1) x 2 0 / Pozor, tato úprava je velmi ošemetná. U rovnice a nerovnice s je možné ji udělat, nesmí se zapomínat na to, že bývají 2 řešení, např. x 2 = 4 má řešení dvojku a mínus dvojku. x 0... x (-, 0) (0, ) Kvůli logaritmu: 1 x 2 To je normální kvadratická nerovnice. 1\ Posčítáno už je, jenom by to chtělo uspořádat: -x 2 + 1 /a = -1, b=0, c=1 2\ -0 0-4.(-1).1 Nulové body: x 1,2 = = ± 4 2.(-1) -2 = 1 3\ Seřadit, nastříhat: (-, -1), (-1, 1), (1, ).
4\ Druhý vzoreček a přepis do součinu: -x 2 +1 = -1.(x - -1).(x - 1) = -1.(x + 1).(x - 1) \ a 6\ Ta mínus jednička je tam klíčová, musíme jí věnovat zvláštní řádek, jak uvedeno v návodu. 7\ Výsledek tedy je: x (-1, 1). (-, -1) (-1, 1) (1, ) -1 - - - x 1 - - + x + 1 - + + -(x+1)(x-1) - + - III. Zase pronikneme: A výsledek je tedy sjednocení dvou intervalů: D(f) = (-1, 0) (0, 1). MateMati