Úloha 2: Měření modulu pružnost v tahu a modulu pružnost ve smyku FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 19.10.2009 Jméno: Frantšek Batysta Pracovní skupna: 11 Ročník a kroužek: 2. ročník, pond. odp. Spolupracovníc: Štěpán Tmr Hodnocení: Abstrakt V této úloze jsme stanovl modul pružnost v tahu ocel metodou natahování drátu, respektve měřením prohnutí nosníku. Dále jsme změřl modul pružnost ve smyku ocel využtím torze ocelového drátu. Naměřené hodnoty se shodují s tabulkovým hodnotam běžných ocelí. 1 Úvod Př studu deformačních vlastností tuhých látek se zavádějí charakterstcké látkové velčny Youngův modul pružnost v tahu E, a modul pružnost ve smyku G. Za předpokladu, že zkoumaná látka je zotropní, homogenní a deformace jsou vůč deformující vnější síle lneární, jsou pružné vlastnost těmto dvěma velčnam látky plně popsány. Tyto materálové konstanty mají velký techncký význam například př konstrukc nosníků, mostních konstrukcí, kdy lze dobře lnearzovat závslost pružných deformací na působící síle. Cílem tohoto expermentu je změřt několka způsoby moduly pružnost E a G ocel. 1.1 Pracovní úkoly 1. Změřte závslost relatvního délkového prodloužení l/l ocelového drátu na napětí př zatěžování a odlehčování drátu a sestrojte graf této závslost. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnost v tahu ocelového drátu. 2. Změřte závslost průhybu z na velkost síly F př zatěžování odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závslost. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnost v tahu. O způsobu zpracování výsledků metodou nejmenších čtverců se dočtete v příloze tohoto dokumentu, která je přejatá z knhy [1], (str. 72-74). 3. Odvod te vzorec pro plošný moment obdélníkového průřezu šířky a a výšky b. 4. Změřte závslost úhlu zkroucení ϕ ocelového drátu na velkost kroutícího momentu př postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnost ve smyku G drátu. 5. Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnost základního systému I 0 a modul pružnost ve smyku G ocelového drátu. Dobu torzních kmtů změřte postupnou metodou. 6. Odvod te vzorce pro výpočet modulu pružnost ve smyku G a momentu setrvačnost základního systému torzního kyvadla I 0. 2 Základní vztahy Popíšeme význam obou modulů pružnost E a G. Nejprve defnujeme Youngův modul pružnost v tahu. Mějme kvádr upevněný svou dolní podstavou o ploše S. Přtom působíme na horní podstavu slou F kolmo k podstavě (obr 1). Působící síla posune horní podstavu o vzdálenost l Modul pružnost v tahu E je pak dán vztahem F S = E l (1) l, 1
Působí-l síla F tečně k horní podstavě (obr. 2), je těleso deformováno smykem. Modul pružnost ve smyku je dán vztahem F S = Gδl l, (2) kde δl je posunutí horní podstavy ve směru působící síly. Př deformac tělesa smykem se sce změní jeho tvar, ale celkový objem zůstane zachován. S F 2.1 Ohyb nosníku Pomocí modulů pružnost E, G lze získat vztahy pro některé složtější deformace. Ukážeme souvslost mez modulem pružnost v tahu a průhybem nosníku. Budeme uvažovat tzv. čstý ohyb, tj. nosník se nestačuje, nebo nenatahuje jako celek. Uvažujme nosník lbovolného průřezu, který je zakřven s poloměrem křvost R. Zatímco vntřní část nosníku (blíže středu křvost) jsou ohybovým slam stlačovány, vnější část jsou natahovány. Tak dostaneme moment slové dvojce. Lze dokázat [2] následující vztah mez celkovým momentem sl M na průřezu nosníku a poloměrem křvost 1/R: Obrázek 1: Síla působící tahem. l M = E I R, (3) kde I = y 2 ds závsí pouze na geometrckém tvaru proflu nosníku (geometrcký moment setrvačnost). Nyní uvedeme vztah pro výpočet průhybu nosníku položeného na dvou břtech (obr 4). Zajímá nás, o kolk poklesne nosník ve středu mez břty, působíme-l na něj v tomto místě slou F. Předpokládáme-l pouze malé průhyby (1/R 1), lze výchylku ve středu nosníku vyjádřt jako z = F L3 48EI, (4) l γ l S Ft kde L je vzdálenost mez břty. b 2.2 Torze válce kruhového průřezu Válec zkroucený podél své osy symetre se snaží narovnat se Obrázek 2: Síla působící smykem. do původního stavu, nebot každý z elementárních hranolů, ze kterých je válec složen je deformován ve smyku (obr. 3). Pro válec délky L a poloměru R, který je vyroben z materálu o modulu pružnost ve smyku G lze napsat závslost momentu sl, který působí na podstavu, a úhlu zkrutu ϕ. M = G πr4 ϕ. (5) 2L a Obrázek 3: Deformace elementárních hranolů smykem př torz drátu. 2
3 Expermentální uspořádání a metody 3.1 Pomůcky Stojan s ndkátorovým hodnkam a ocelovým drátem, zařízení na měření modulu pružnost v tahu z průhybu nosníku, zařízení na měření modulu pružnost ve smyku z torze drátu statckou a dynamckou metodou, mkrometr, kontaktní měřítko, stopky, sada závaží. 3.2 Měření modulu pružnost v tahu (Youngova modulu E) 3.2.1 Měření prodloužení drátu Youngův modul pružnost lze měřt přímo podle defnčního vztahu (1). Stačí měřt prodloužení drátu l v závslost na hmotnost přdaného závaží. Drát byl v horní část aparatury pevně uchycen. Závaží, která napínala drát bylo možné pověst přes ndkátorové hodnky na spodní konec drátu. Pro odstranění počátečního zkroucení drátu jsme drát předem vypnul závažím o hmotnost 1 kg. V průběhu měření jsme postupně přdával závaží o hmotnostech à 0,1 kg. Pro případ hystereze jsme prodloužení drátu l měřl jak př zatěžování, tak př odlehčování drátu. Naměřenou závslost (zatěžování odlehčování) jsme užtím metody nejmenších čtverců proložl jednou přímkou tvaru y = ax + b. 3.2.2 Měření průhybu nosníku Nosník obdélníkového průřezu leží vodorovně na dvou břtech ve vzdálenost L od sebe. Střed nosníku zatížíme závažím o různých hmotnostech, závslost průhybu středu nosníku na hmotnost přdaného závaží odečítáme mkroskopem během zatěžování odlehčování. Jeden dílek v mkroskopu odpovídá 0,0253 mm. Youngův modul pružnost vypočteme užtím metody nejmenších čtverců a vztahu (4), kam za geometrcký moment setrvačnost dosadíme I = S y 2 ds = b/2 b/2 ay 2 dy = 1 12 ab3. (6) 3.3 Měření modulu pružnost ve smyku G torzí drátu 3.3.1 Statcká metoda Obrázek 4: Průhyb nosníku položeného na dvou břtech. Modul pružnost ve smyku drátu o délce L, poloměru R stanovíme torzní statckou metodou ze vztahu G = 2ML πϕr 4, (7) kde M je moment sl a ϕ je úhel zkroucení drátu, který jsme měřl zabudovaným úhloměrem jak př zatěžování, tak př odlehčování. 3.3.2 Dynamcká metoda Na drátu o délce L a poloměru R je přpevněno závaží o momentu setrvačnost I (vzhledem k ose drátu). Je-l drát v horní část upevněný, chová se aparatura jako torzní osclátor. Pohybovou rovnc osclátoru můžeme psát (ze vztahu (5)) odkud ω 2 = GπR4 2LI ϕ + GπR4 2LI ϕ = 0 (8) 2LI T = 2π GπR 4. (9) Torzní závaží je tvořeno vodorovným šroubem přpevněným k drátu o neznámém momentu setrvačnost I 0, kterému odpovídala doba kmtu T 0. K určení momentu setrvačnost I 0 je možné přšroubovat čtyř 3
Obrázek 5: Torzní osclátor s přídavným závažím (konfgurace I). přídavná závaží ve tvaru dutého válce Moment setrvačnost dutého válce vzhledem ose procházející jeho těžštěm a kolmé k ose jeho rotační symetre je M 4 ( r 2 1 + r 2 2 + v 2 /3 ). (10) Pomocí Stenerovy věty dostaneme celkový moment setrvačnost přídavného závaží: I = M (R 21 + R 22 + V 2 ) + m ) (r 21 + r 22 + v2 + 2M (a + v + V/2) 2 + 2m (a + v/2) 2, (11) 2 3 2 3 kde M, R 1, R 2, V, resp. m, r 1, r 2, v jsou po řadě hmotnost, vnější poloměr, vntřní poloměr a výška velkého, resp. malého válce, a je vzdálenost malého válečku od torzního drátu (vz obr 5). Z rovnce (9) plyne, že podíl T 2 I = konst., odkud dostáváme I 0 T0 2 = I 0 + I T 2 1 T 2 0 (12) I 0 = I T1 2 T 0 2, (13) kde T 0, T 1 jsou doby kmtu prázdného, resp. zatíženého šroubu, které změříme stopkam. Hledaný modul pružnost ve smyku pak můžeme vyjádřt z rovnce (9). 3.4 Metoda nejmenších čtverců G = 8πLI T 2 R 4. (14) Přepokládejme, že změříme N dvojc (x, y ), které chceme po vynesení do grafu pro proložt přímkou tvaru y = ax + b. (15) Otázka zní, jak volt (na základě změřených dat (x, y ) ˆN ) koefcenty a a b, aby se získaná přímka y = ax + b co nejvíce blížla skutečné fyzkální závslost. Metoda nejmenších čtverců říká, že je třeba zvolt koefcenty a, b tak, aby součet čtverců odchylek N =1 (ax + b y ) 2 byl mnmální. Vyřešením této úlohy [1] dostaneme koefcenty a a b jako N N x y N N x y a = ( N N N ) 2, (16) x 2 x 4
3.5 Výpočet chyby měření b = N x 2 N y N N x x y ( N N N ) 2, (17) x 2 x Shrneme použté metody pro výpočet chyby měření. Čerpal jsme především z [2]. Chyby měřících přístrojů y odhadujeme velkostí dílku příslušného měřícího přístroje. Chyby opakovaně měřených velčn vypočítáme jako směrodatnou odchylku artmetckého průměru sā = 1 N (a ā) 2 (18) N(N 1) Celkovou chybu přímého měření pak vyjádříme jako s 2 ā + yp 2 (19) uā = Pro nepřímo měřené velčny f = f(x 1, x 1,, x k ) stanovíme chybu jako uā = k ( ) 2 f (u x) 2 (20) x =1 Směrodatnou odchylku koefcentů určených metodou nejmenších čtverců jsme vypočítal ze vzorce [4] S N 0 x 2 =1 N s a = (N 2)W s S o b = W N 2, (21) kde 4 Výsledky =1 =1 =1 ( N N ) 2 N W = N x 2 x ; S o = (y a bx ) 2 (22) Př řešení úloh 3.2.1, 3.2.2, 3.3.1 jsme používal jako zátěž následující závaží: číslo závaží 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hmotnost [g] 100,9 100,9 100,8 100,7 100,9 100,8 100,8 100,8 100,3 100,1 =1 Tabulka 1: Hmotnost závaží 4.1 Měření modulu pružnost v tahu (Youngova modulu E) z prodloužení drátu Naměřl jsme následující hodnoty délky a poloměru napínaného drátu: číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 poloměr [µm] 95 96 97 96 96 96 96,5 96 96,5 96,5 97 95,5 95 délka [m] 1,018 1,019 1,019 1,019 1,018 1,019 Tabulka 2: Počáteční délka a poloměr drátu př měření modulu pružnost v tahu. 5
Závslost prodloužení drátu na přdaném závaží je vynesena v grafu 6. Obrázek 6: Závslost prodloužení drátu na hmotnost zátěže. Youngův modul pružnost v tahu jsme vypočítal vyjádřením ze vzorce (1): přčemž za m l jsme dosazoval koefcent 1 a E = m l gl πr 2, (23) získaný metodou nejmenších čtverců. Celkově dostáváme E = (2, 1 ± 0, 2) 10 11 Pa. (24) 4.2 Měření modulu pružnost v tahu (Youngova modulu E) z průhybu nosníku Změřené parametry aparatury jsou uvedené v tabulce 3, Vzdálenost dvou břtů, na nchž je nosník položen jsme stanovl jako (496 ± 1)mm. # šířka [mm] výška [mm] 1 9,96 3,95 2 9,96 3,95 3 9,96 3,96 4 9,96 3,96 5 10,22 3,95 6 10,21 3,96 7 10,14 3,96 8 10,27 3,96 9 10,28 3,96 10 10,16 3,96 11 9,46 3,95 12 9,46 3,96 Tabulka 3: Měření šířky a výšky průřezu nosníku Závslost prohnutí prostřední část nosníku na hmotnost přdaného závaží je vynesena v grafu 7. 6
Obrázek 7: Závslost prohnutí středu nosníku na hmotnost přdaného závaží. Modul pružnost v tahu jsme vypočítal vyjádřením ze vzorce (4) a (6). Odtud E = m z gl 3 4ab 3, (25) přčemž za m z jsme opět dosadl koefcent 1 a vychází získaný metodou nejmenších čtverců. Výsledná hodnota E = (2, 01 ± 0, 03) 10 11 Pa. (26) 4.3 Měření modulu pružnost ve smyku G torzí drátu statckou metodou V tabulce 4 jsou shrnuty naměřené hodnoty poloměru drátu R a poloměry kotoučku a. číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 R [µm] 998 990 995 995 995 996 995 994 994 997 993 994 995 a [mm] 20,1 19,95 20 20 Tabulka 4: Měření modulu pružnost ve smyku statckou metodou: Poloměr torzního drátu a poloměr kotoučku. Závslost úhlu zkroucení drátu na hmotnost m jednoho z dvojce přdaných závaží je vynesena v grafu 8. 7
Obrázek 8: Závslost úhlu zkroucení drátu na hmotnost závaží m. Modul pružnost ve smyku lze vyjádřt ze vzorce (7). Tak dostaneme G = m 4gaL ϕ πr 4. (27) Koefcent 1 a získaný metodou nejmenších čtverců jsme dosadl do vztahu (27) za m ϕ. Tím jsme dostal celkový výsledek G = (9, 3 ± 0, 5) 10 10 Pa. (28) 4.4 Měření modulu pružnost ve smyku G torzí drátu dynamckou metodou V tabulce 5 jsou uvedeny naměřené hodnoty parametrů aparatury: poloměr torzního drátu R a jeho délka L. R [µm] 251 250 250 247,5 250 247,5 250 247,5 248,5 252,5 250 248,5 L [mm] 699 698 699 698 Tabulka 5: Měření modulu pružnost ve smyku dynamckou metodou: Poloměr a délka torzního drátu. Nejprve jsme osclátor nechal kmtat zcela bez přídavného závaží (moment setrvačnost I 0 ), a změřl příslušnou dobu kmtu T 0. Doby kmtu T 1 jsme měřl po přdání závaží v konfgurac I (obr 5). Naměřená data jsou shrnuta v tabulce 5. 8
R 1 [mm] R 2 [mm] V[mm] M[g] r 1 [mm] r 2 [mm] v[mm] m[g] 10T 0 T 0 10T 1 T 1 24,9 3,2 7,95 127,52 15 3,25 7,95 43,96 48,8 4,88 101,4 10,14 24,88 3,25 8 127 15 3,28 8 43,94 48,7 4,87 101,3 10,13 24,9 3,25 8 15 3,25 8 48,7 4,87 101,5 10,15 24,93 3,3 48,9 4,89 100,8 10,08 24,88 48,7 4,87 101,1 10,11 24,9 101 10,1 Tabulka 6: Měření modulu pružnost ve smyku dynamckou metodou: Poloměr a délka torzního drátu. Po řadě: Vnější a vntřní poloměr, výška a hmotnost většího kotoučku, Vnější a vntřní poloměr, výška a hmotnost menšího kotoučku, doba deset, rep. jedné perody bez závaží, doba deset, rep. jedné perody se závažím. Po zpracování hodnot v tabulkách 5 a 6 Dostaneme L = (0, 699 ± 0, 001) m (29) R = (2, 5 ± 0, 1) 10 4 m T 0 = (4, 88 ± 0, 01) s T 1 = (10, 12 ± 0, 015) s M = (127, 3 ± 0, 3) 10 3 kg R 1 = (2, 49 ± 0, 01) 10 2 m R 2 = (3, 2 ± 0.1) 10 3 m V = (8, 0 ± 0, 1) 10 3 m m = (43, 95 ± 0, 01) 10 3 kg r 1 = (1, 50 ± 0, 01) 10 2 vm r 2 = (3, 3 ± 0, 01) 10 3 m v = (8, 0 ± 0, 1) 10 3 m a = (5, 4 ± 0, 1) 10 2 m Po dosazení těchto hodnot do vztahů (13) a (14) dostaneme 5 Dskuze G = (8, 35 ± 1, 4) 10 10 Pa. (30) 5.1 Měření modulu pružnost v tahu (Youngova modulu E) z prodloužení drátu První nám změřená hodnota E = (2, 1±0, 2) 10 11 se shoduje s tabelovanou hodnotou E = 2, 1 10 11 [5]. Pro snížení relatvně velké chyby měření by bylo třeba zpřesnt zejména měření poloměru R natahovaného drátu, který sme stanovl s relatvní přesností u R R 5%. Měření by bylo možné zlepšt například využtím dfrakce laserového svazku př měření tloušt ky drátu. Dále ndkátorové hodnky nebyly deálně pohyblvé. Ukázalo se výhodné vyčkat po přdání závaží as 20 vteřn, než se ruččka hodnek ustálla. Použtím optckého mkroskopu pro měření prodloužení drátu by se odstranl mechancký vlv ndkátorových hodnek, což by mohlo také vést ke zvýšení přesnost expermentu. 5.2 Měření modulu pružnost v tahu (Youngova modulu E) z průhybu nosníku Výsledek dynamckého měření se sce neshoduje přesně s tabelovanou hodnotou, ale náš výsledek to nevyvrací. Youngův modul pružnost se totž může výrazně lšt v závslost na druhu použté ocel. 9
Nám stanovená hodnota má nejmenší relatvní chybu ze všech našch měření. Jak je vdět ze vzorce (25), přesnost měřené velčny závsí především na přesnost vzdálenost břtů L a na přesnost výšky nosníku b (obě velčny vystupují ve třetí mocnně). Díky relatvně velké výšce b nosníku (as 5 mm) se však tyto krtcké velčny podařlo změřt s přblžně o řád vyšší relatvní přesností oprot předchozí úloze. Jako výhodné se také ukázalo měřt prohnutí nosníku z pomocí optckého mkroskopu, který na rozdíl od ndkátorových hodnek (nebo úhloměru z úlohy 3.3.1) mechancky neovlvňuje měřené velčny. 5.3 Měření modulu pružnost ve smyku G torzí drátu statckou metodou Naměřl jsme hodnotu G = (9, 3±0, 5) 10 10 Pa. Udávaná tabulková hodnota [5] je sce 8, 0 10 10 Pa, opět je však nutné poznamenat, že závsí na druhu požté ocel. Poměrně velká šířka drátu zajstla dobrou relatvní přesnost velčny R, kde u R R 0, 5%. Slabou stránkou tohoto měření je úhloměr, který (spolu s dalším mechanckým částm aparatury (kladka, provázek)) byl jen málo ochotný se volně otáčet a mechancky ovlvňoval měření. 5.4 Měření modulu pružnost ve smyku G torzí drátu dynamckou metodou Naše hodnota modulu pružnost ve smyku se v podstatě shoduje s tabukovou hodnotou, ale je zatížena poměrně značnou chybou > 15 %, kterou má opět na svědomí nepřesnost poloměru drátu R, jenž vystupuje ve vztahu (14) ve čtvrté mocnně. Přtom relatvní chyba u R R 2%. Na druhou stranu tato metoda je velce čstá, nebot volný torzní osclátor ovlvňuje v průběhu měření jen málo nežádoucích jevů. Pro zpřesnění metody by bylo třeba použít bud to šrší a delší drát a k tomu závaží s větším momentem setrvačnost, nebo raděj změřt lépe poloměr drátu R (například optcky použtím laseru). 6 Závěr Změřl jsme dvěma různým metodam Youngův modul pružnost v tahu. Nejprve jsme napínáním drátu stanovl jeho modul pružnost jako E = (2, 1±0, 2) 10 11 Pa, poté jsme podrobl studu prohýbání kovového nosníku a změřl jeho modul pružnost E = (2, 01 ± 0, 03) 10 11 Pa. Obě hodnoty se dobře shodují s tabulkovým hodnotam běžných ocelí. Dále jsme měřl dvěma metodam modul pružnost ve smyku. K tomu jsme využl torz drátu. Statcká metoda nám dala výsledek G = (9, 3 ± 0, 5) 10 10 Pa, dynamcká metoda G = (8, 35 ± 1, 4) 10 10 Pa. Také tyto výsledky odpovídají běžným hodnotám modulu pružnost pro ocel. Dskutoval jsme vlv jednotlvých dílčích velčn na celkovou chybu nepřímého měření. Ukázal jsme, že ke zmenšení chyb našch měření by bylo třeba u všech měření zlepšt přesnost zejména u poloměru drátů R (kromě úlohy 3.2.2, kde žádný drát nebyl). Reference [1] BROŽ, J.: Základy fyzkálních měření I SPN, Praha, 1983, str. 120 až 127. [2] FJFI ČVUT: Chyby měření a zpracování naměřených výsledků [onlne], [ct. 26. října 2009], http://praktka.fjf.cvut.cz/provpokyny/chybynav/chyby1n.pdf [3] FJFI ČVUT: Měření modulu pružnost v tahu a ve smyku [onlne], [ct. 26. října 2009], http://praktka.fjf.cvut.cz/pruznost [4] [5] ŠŤASTNÝ F. : Zpracování expermentálních dat [onlne], [ct. 26. října 2009], http://amper.ped.mun.cz/jenk/nejstoty/html tree/node10.html MACHÁČEK M. :Matematcké, fyzkální a chemcké tabulky Prometheus, Praha, 2005, ISBN 80-7196-264-3 10