U n i v e r z i a o m á š e B a i v e Z l í n ě Fakula aplikované informaiky SAVOVÁ A AGEBAICKÁ EOIE ŘÍZENÍ PE DOSÁ ADEK MAUŠŮ ZÍN
Skripa jou určena udenům. ročníku magierkého udia udijního oboru Auomaické řízení a informaika v rámci udijního programu Inženýrká informaika. Mohou však aké polouži udenům jako informaivní a udijní maeriál při zpracování diplomových prací nebo udenům dokorkých udijních programů. Pro pochopení obahu jou pořebné znaloi zíkané v bakalářkém udiu v předměech Maemaika I a II, Diferenciální rovnice, Auomaizace, eorie yémů, Opimalizace a v předměech Dikréní řízení a Analýza a imulace echnologických proceů v navazujícím magierkém udiu. Auoři na omo míě děkují doc. Ing. Zdence Prokopové, CSc. za odbornou recenzi rukopiu, kerá pomohla odrani někeré chyby a nedoaky a ím připěla ke zlepšení úrovně krip. prof. Ing. Per Doál, CSc., Ing. adek Maušů, Ph.D. ecenzen: doc. Ing. Zdenka Prokopová, CSc. ISBN: 978-8-738-99-4
Obah Úvod...5 Savový popi yému a řízení ve avovém prooru...6. Savový popi yému... 6.. Nelineární yém... 6.. ineární yém...6..3 inearizace a linearizovaný maemaický model yému... 7. Někeré vlanoi lineárních pojiých dynamických yémů... 9.3 Vybrané meody řízení ve avovém prooru....3. Přiřazení pólů lineárním avovým reguláorem....3. Opimální řízení ve avovém prooru... 3.4 Odhad avu lineárního pojiého dynamického yému... 8 3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů... 3. Návrh reguláorů... 3.. DOF konfigurace yému řízení... 3.. DOF konfigurace yému řízení... 5 3. Přiřazení pólů... 9 3.3 Paramerizace abilizujících reguláorů... 4 4 obuní řízení jednorozměrových yémů...43 4. Normy ignálů a yémů... 44 4.. Normy pro ignály... 44 4.. Normy pro přenoy... 45 4. Cilivoní funkce... 47 4.3 Ampliudová a fázová bezpečno... 49 4.4 Kvalia regulace nominální chování... 5 4.5 Nerukurovaná neurčio... 5 4.5. obuní abilia... 54 4.5. obuní kvalia regulace robuní chování... 57 4.6 Paramerická neurčio... 6 4.6. Inervalová neurčio... 6 4.6. Složiější rukury neurčioi... 63 5 Vnější popi mnoharozměrového yému...66 5. Popi yému přenoovou maicí... 66 5. Popi yému v polynomiálních maicových zlomcích... 69 5.. Polynomiální maice a jejich základní vlanoi... 69 5.. Polynomiální maicové zlomky... 7 6 Polynomiální meoda v návrhu řízení mnoharozměrových yémů...75 6. DOF konfigurace yému řízení... 75 6. DOF konfigurace yému řízení... 78 6.3 eguláor v levém maicovém zlomku... 8 6.4 Převod pojiého modelu na dikréní model... 88 Seznam použié a doporučené lieraury...89
Úvod Savovou i algebraickou eorii řízení lze zařadi mezi zv. "moderní" eorie. Savová eorie doznala nejvěšího rozvoje v šedeáých leech minulého oleí. Na rozdíl od "klaické" eorie řízení, kerá byla založena na vupně-výupním vnějším popiu řízeného proceu, vychází z jeho avového popiu, kerý je přirozeným produkem analyického modelování proceů. Na avovou eorii brzy navázala algebraická eorie řízení, kerá ice znovu vychází ze vupně-výupního popiu, ale oproi klaickým meodám umožňuje naléz zákony řízení pro širší řídu řízených proceů a různé ypy ignálů vupujících do yému řízení a dovoluje repekova řadu požadavků na kvaliu řízení. Meody založené na algebraické eorii věšinou vedou na výhodně programovaelné vzahy pro výpoče paramerů reguláorů, což je víáno např. v různých meodách adapivního řízení. Skripa jou rozdělena mimo první, úvodní kapioly do pěi základních kapiol. Ve druhé kapiole jou popány obecné vary avových popiů proceů, je prezenován poup při linearizaci a jou uvedeny základní vlanoi lineárních pojiých dynamických yémů. Řízení ve avovém prooru je reprezenováno meodou přiřazení pólů založenou na Ackermannově formuli a opimálním řízením. Polední čá kapioly je věnována deerminiickému odhadu avu lineárního pojiého dynamického yému. řeí kapiola e zabývá aplikací polynomiální meody, kerá je oučáí algebraických meod řízení, v návrhu jednorozměrových yémů řízení. Je podrobně popán poup při návrhu reguláorů, odvozeny a formou abulky uvedeny vzahy pro určení rukur reguláorů pro různé řády řízených proceů a ypy vupních ignálů. Pozorno je věnována i možnoem, keré pokyuje meoda přiřazení pólů. Čvrá kapiola je zaměřena na základy robuního řízení jednorozměrových proceů. Vychází ze základních pojmů, pořebných pro udium obahu kapioly, jako jou normy ignálů a přenoů, cilivoní funkce, neurčio, robuní abilia a kvalia. Jou popány někeré formy neurčioi řízených yémů a prezenován poup při návrhu robuních reguláorů, zajišťujících základní požadavky na řízení v příomnoi vybraných neurčioí. Páá kapiola je věnována vnějšímu popiu mnoharozměrových yémů, kerý je pak základem pro aplikaci polynomiální meody. Vychází e z počáečního avového popiu a je uveden poup při zíkání vnějšího popiu ve varu přenoové maice a polynomiálních maicových zlomků polu jejich základními vlanomi. Polední, šeá kapiola uvádí aplikaci polynomiální meody v návrhu mnoharozměrových yémů řízení. Poupy, keré jou založeny na operacích v okruhu polynomiálních maic a řešení maicových diofanických rovnic, jou popány pro dvě základní rukury yému řízení. Všechny kapioly jou doplněny řadou řešených příkladů i grafickými výledky imulací řízení. Auoři jou i vědomi, že kripa podávají jen nejnunější informace z jednolivých oblaí a jejich obah je limiován jednoemerální výukou předměu. Podrobnější znaloi může čenář zíka udiem uvedené lieraury. 5
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru Savový popi yému a řízení ve avovém prooru. Savový popi yému.. Nelineární yém Spojiý nelineární mnoharozměrový yém je popán avovou rovnicí x f [, x, u ]. kde je čaová nezávile proměnná, x dx d počáeční podmínkou x x a rovnicí výupu kde x, x,..., xn u, u,..., um y, y,..., yr a f f f..., f, g g..., g [, x, u ] x je vekor avových veličin, dim x n, u je vekor vupních veličin, dim u m, y je vekor výupních veličin, dim y r,, n y g. g,, r jou nelineární vekorové funkce. ovnice. a. popiují pojiý nelineární -varianní yém. Jeliže funkce f a g nezávií explicině na čau, doaneme popi yému -invarianního ve varu [ ] [ x, u ] x f x, u.3 y g.4 O funkci f budeme dále předpokláda, že je pojiě diferencovaelná a exiují pojié parciální derivace podle prvků vekorů x a u, edy fi x j pro i, j,, n a fi u j pro i,, n, j,, m. Sejná podmínka plaí i pro funkci g. Jeliže výup y závií pouze na momenálních hodnoách avových veličin x a vupní veličiny u nejou v argumenu funkce g obaženy, yém plňuje ilnou podmínku fyzikální realizovaelnoi. Jeliže argumen funkce g obahuje i momenální hodnoy u, yém plňuje labou podmínku fyzikální realizovaelnoi. Dodejme, že pro převážnou věšinu reálných yémů je plněna ilná podmínka fyzikální realizovaelnoi. Navíc, u ěcho yémů jou věšinou výupní veličiny oožné někerými avovými veličinami a vzah mezi avovými a výupními veličinami je lineární. Syém je pak popán nelineární avovou rovnicí. rep..3 a výup lineární rovnicí, keré var bude uveden dále při popiu lineárních yémů. Vzhledem k omu, že výup y závií pouze na momenálních hodnoách x rep. u a rovnice. rep..4 nemá vliv na dynamiku yému, není řeba éo rovnici při vyšeřování dynamiky yému věnova zvlášní pozorno... ineární yém Spojiý lineární mnoharozměrový yém je opě popán avovou a výupní rovnicí ve varu x A x + B u.5 y C x + D u.6 počáeční podmínkou x x, kde rozměry vekorů veličin jou ejné jako v rovnicích.,. a kde 6
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru a a... an a a... an A : n x n je maice yému, an an... ann b b... bm b b... bm B : n x m je maice vupu, bn bn... bnm c c... cn c c... cn C : r x n je váhová maice avu, cr cr... crn d d... dm d d... dm D : r x m je váhová maice vupu. dr dr... drm Jeliže prvky maic A, B, C, D nebo alepoň někeré z nich jou v čau proměnné, rovnice.5 a.6 popiují lineární -varianní yém. Jeliže všechny yo prvky jou konany a A, B, C, D jou edy maicemi konan, jedná e o lineární -invarianní yém. Syém plňující ilnou podmínku fyzikální realizovaelnoi bude opě akový, kerého výup závií pouze na avových veličinách a rovnice výupu.6 udíž neobahuje vupní veličiny. Pro yo yémy je D nulová maice D. Mnohé další úvahy a poupy budou založeny právě na avovém popiu modelu -invarianního yému ve varu x Ax + Bu.7 y Cx.8 kde prvky všech maic jou konanní. Dodejme, že poče prvků vekoru avu n udává řád yému...3 inearizace a linearizovaný maemaický model yému Veličiny v nelineárních modelech proceů zpravidla popiují konkrení fyzikální veličiny a jejich hodnoy odpovídají hodnoám ěcho veličin. Uvažujme mnoharozměrový nelineární model nějakého proceu, popaný avovou rovnicí pro zkrácení zápiu je čaový argumen vynechán x f x, u.9 počáeční podmínkou x x. kde vekory avu a vupu jou označeny čárkou v zájmu rozlišení mezi avem a vupem v linearizovaném modelu, kerý bude mí poněkud jiný význam. ozměry vekorů odpovídají rozměrům v rovnici.. Budeme dále předpokláda, že vazby mezi avovými a výupními veličinami jou lineární a rovnice výupu je edy lineární. Při vyšeřování dynamických vlanoí yému i při úvahách o budoucím řízení vycházíme z předpokladu, že ke změnám veličin bude docháze v okolí nějakého pracovního bodu, odpovídajícího základnímu uálenému rovnovážnému avu danému uálenými hodnoami prvků vekoru avu x x,... x x,, n. Uálené hodnoy avu zíkáme řešením nelineární vekorové rovnice 7
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru 8, u x f. kerou zíkáme anulováním derivace podle čau v rovnici.9, kde u předavuje vekor zadaných uálených konanních hodno vupních veličin. ovnice. může mí jediné, ale i věší poče řešení, pro daný yém může edy exiova i více různých uálených avů. Dále, bez újmy na obecnoi můžeme v počáeční podmínce. položi. inearizovaný model zíkáme náledujícím poupem: Zavedeme nové avové i vupní veličiny jako odchylky od jejich uáleného avu. Pro prvky vekoru avu a vupu doaneme i i i i x x x x Δ, i,, n. j j j j u u u u Δ, j,, m.3 a ím zíkáme nové vekory odchylek avu a vupu jako x x x x Δ.4 u u u u Δ.5 Nyní nahradíme funkci f prvními dvěma členy jejího aylorova rozvoje jako funkce více proměnných v okolí uáleného avu pracovního bodu u u u f x x x f u x f u x f + +,,.6 kde označení vždy předavuje hodnou výrazu v pracovním bodě a parciální derivace na pravé raně.6 jou Jacobiho maice j i x f x f, i, j,, n, j i u f u f, i,, n, j,, m.7 Proože pro odchylku funkce f plaí,,, u x f u x f u x f Δ, doaneme po doazení.4 a.5 do rovnice.6 vzah pro odchylku funkce f ve varu, u u f x x f u x f + Δ.8 Prvky maic v rovnici.8 jou funkce prvků vekorů x a u, keré jou v daném pracovním bodě konanní. o znamená, že pro daný pracovní bod jou konanní i prvky maic.7. Označíme-li je jako j i j i a x f, i j j i b u f.9 můžeme definova maice j i a A, dim A n x n, i j b B, dim B n x m. kerých prvky jou ice pro daný pracovní bod konanní, avšak mění e přechodem do jiného uáleného avu. Nahradíme-li nyní levou i pravou ranu rovnice.9 odchylkami diferencemi, u x f x Δ Δ. a doadíme odchylkové avové a vupní veličiny.4,.5 polu rovnicí.8 a maicemi., zíkáme avovou rovnici linearizovaného modelu ve varu
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru x A x + B u. Důledkem zavedení odchylkových veličin.4,.5 je kuečno, že počáeční podmínky pro avové veličiny jou nulové, zn. plaí x, což může později zjednoduši někeré poupy pojené aplaceovou ranformací linearizované avové rovnice. Pokud by i výupní rovnice byla nelineární, použili bychom při její linearizaci ejný poup. Za předpokladu diferencovaelnoi nelineární vekorové funkce g a exience prvních parciálních derivací jejích prvků podle prvků vekorů avu a vupu bychom mohli odvodi linearizovanou a oučaně odchylkovou výupní rovnici prvky maic C a y C x + D u.3 D opě závilými na poloze pracovního bodu. Jeliže ovšem je závilo mezi výupem, avem a vupem a priori lineární, jou maice C a D maicemi konan a jou na poloze pracovního bodu nezávilé. Dále, u celé řady echnologických proceů exiují nelineární vazby pouze mezi avovými veličinami, zaím co záviloi derivací avových veličin na veličinách vupních jou lineární. Dynamika ěcho yémů je pak popána avovou rovnicí ve varu x f x + Bu.4 Funkce f je pak linearizována pouze k prvkům vekoru x a v důledku oho v linearizované avové rovnici. je na poloze pracovního bodu závilá jen maice A a maice B je konanní. Poup při linearizaci jme uvedli pro okolí daného pracovního bodu. Je ale zřejmé, že linearizaci nelineárního modelu yému je možné ukuečni nejen v okolí uáleného avu pracovního bodu, ale i v okolí libovolného momenálního avu, daného okamžiými hodnoami avových a vupních veličin. Prvky maic A, B nebo i C, D budou pak závilé na omo momenálním avu. Proože eno av e čaem mění, lze nelineární model yému nahradi lineárním modelem -varianního yému ypu.5,.6, kerého paramery e v čae mění. ao kuečno má velký význam v ouviloi ěmi meodami adapivního řízení nelineárních proceů, keré jou založené na volbě lineárního modelu řízeného objeku a průběžné idenifikaci jeho paramerů. Pozn.: Předpokladem pro eavení linearizovaného modelu původně nelineárního yému byla pojiá diferencovaelno a exience prvních parciálních derivací nelineárních vekorových funkcí podle prvků vekoru avu nebo i vupu. Dodejme, že nelineariy, keré e vykyují v popiech echnologických proceů, e kerými uvažujeme jako objeky řízení, omuo předpokladu plně vyhovují. Z nejznámějších ypů můžeme uvé alepoň nelineariy ve varu odmocnin u průočných proceů, racionálních funkcí u proceů přeupu láky, exponenciálních funkcí u proceů chemickou reakcí.. Někeré vlanoi lineárních pojiých dynamických yémů Vycházíme ze avového popiu lineárního pojiého yému, přičemž e omezíme na yém čaově invarianní, popaný avovou rovnicí a rovnicí výupu x Ax + Bu.5 y C x.6 ozměry vekorů i maic byly již definovány v předešlých čáech. Řidielno avu: Sav x lineárního pojiého yému je řidielný, jeliže exiuje čaový okamžik > a akový vup 9
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru u, kerým e yém převede ze avu x do avu x a inerval - je konečný. Věa: Sav lineárního pojiého -invarianního yému je úplně řidielný ehdy a jen ehdy, jeliže hodno maice řidielnoi n B AB... A B Q.7 rozměru n x nm je rovna rozměru n avového prooru. Pozn.: Hodnoí h ha maice ypu n, m nazýváme maximální poče lineárně nezávilých řádkových vekorů, kerý je roven maximálnímu poču lineárně nezávilých loupcových vekorů maice A. Hodno maice A e rovná čílu h, právě když exiuje nenulový ubdeerminan maice A h-ého řádu a všechny ubdeerminany řádů věších než h jou nulové nebo neexiují. Pro obdélníkovou maici rozměru n x m plaí h min {n, m}. Doažielno avu: Sav x lineárního pojiého yému je doažielný, jeliže exiuje čaový okamžik <, kde inerval - je konečný a akový vup u, kerým e yém převede z libovolného počáečního avu x do žádaného avu x. Pozn.: U pojiých -invarianních yémů je každý doažielný av rovněž řidielný. Pro yo yémy edy poačuje zkouma jejich řidielno. Řidielno výupu: Výup y lineárního pojiého yému je řidielný, exiuje-li čaový okamžik >, kde je konečný inerval a akový vup u, kerým e yém převede z počáečního výupu y na koncový výup y. Věa: Výup lineárního pojiého -invarianního yému je úplně řidielný i doažielný, jeliže hodno maice řidielnoi rozměru r x nm je rovna r. Pozorovaelno avu: n CB CAB CA B QV....8 Sav yému x je pozorovaelný, jeliže může bý určen na základě znaloí výupu y na konečném inervalu. Jeliže e jedná o každý počáeční av x, je yém úplně pozorovaelný. Věa: ineární pojiý -invarianní yém je úplně pozorovaelný ehdy a jen ehdy, jeliže hodno maice pozorovaelnoi rozměru nr x n je rovna n. Q P C CA : CA n.9 ekonruovaelno avu: V úlohách řízení jou věšinou k dipozici jen minulé hodnoy výupu, proo e vyšeřuje zv. rekonruovaelno yému. Úloha rekonruova av yému znamená urči av yému na základě předchozích hodno výupu.
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru Plaí: jeliže je lineární -invarianní yém úplně pozorovaelný, je i úplně rekonruovaelný. Sabilizovaelno: Je o vlano, kerá hovoří, že neabilní yém popaný avovou rovnicí x Ax + Bu.3 kde A je neabilní maice, může bý abilizován zpěnou vazbou danou jako u x.3 ehdy a jen ehdy, jeliže exiuje maice rozměru m x n aková, že maice A B v rovnici x A B x.3 je abilní maice pro její vlaní číla plaí e λ i < pro i,,, n.. Dodejme, že yém může bý řízen pouze ehdy, jeliže plňuje oučaně podmínky doažielnoi a pozorovaelnoi. Pozn.: ineární dikréní čaově invarianní yém je popán avovou rovnicí a rovnicí výupu x k + F x k + Gu k.33 y k H x k kde maice F, G a H rozměrově odpovídají maicím A, B a C v rovnicích.5 a.6 pro pojiý yém. Řidielno a pozorovaelno pro dikréní yém pak mohou bý vyšeřovány pomocí maic řidielnoi a pozorovaelnoi.6,.7 a.8, jeliže v nich nahradíme maice A, B, C maicemi F, G, H..3 Vybrané meody řízení ve avovém prooru.3. Přiřazení pólů lineárním avovým reguláorem Z možných příupů k úloze přiřazení pólů avovým reguláorem uvedeme jediný, založený na aplikaci zv. Ackermannovy formule. Uvažujeme -invarianní SDS jedním vupem popaný avovou rovnicí x Ax + Bu.34 n n kde x je podproor n-rozměrného Euklidova prooru a maice An n, Bn jou reálné maice konan. Úlohou je převé yém z počáečního nenulového avu x x do koncového nulového avu ak, aby avová zpěná vazba měla předepané póly λ i, i,, n. yo póly mohou bý reálné i komplexní, jednoduché i vícenáobné. Poup při řešení uvedeme bez odvození. ineární avová zpěná vazba je dána jako u x.35 Po doazení do.34 doaneme x A B x.36 Je zřejmé, že vlaní číla maice A B jou aké póly avové zpěné vazby. Zpěnovazební řádková maice n je definována Ackermannovou formulí kde řádkový vekor e n je eq Pn A.37... e.38 a Q je maice řidielnoi daná rovnicí.7.
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru Charakeriický polynom n-ého upně kořeny λ i je ve varu Pak aké plaí n n n... n n... P λ λ λ λ λ λ λ λ + c λ + + c λ+ c.39 n n n a všechny členy v rovnici.37 jou určeny. Příklad. Úlohou je řídi yém. řádu popaný avovou rovnicí.34 kde P A A + c A +... + c A+ c I.4 n a a A, a a b B z počáečního avu x x, x x do nulového koncového avu pro ak, aby avový zpěnovazební obvod měl předepané reálné abilní póly λ, λ zde jou voleny dva případy dvojnáobných pólů. Paramery modelu a předepané póly pro dva případy jou v náledující abulce. a a a a b λ λ.8.4.3.6.8.5 Řešení: V omo případě je e, maice řidielnoi má var Q B b ab AB a její inverze ab Q a a. Charakeriický polynom zpěnovazebního obvodu je druhého upně ab P λ λ λ λ λ λ λ +λ λ+λ λ λ + c λ+ c a maice.4 udíž nabývá varu + c + c P A A A I. Doazením do.37 a úpravách zíkáme zpěnovazební maici jako r r kde r c + a + a, r b a a a c a c ab + + +. Průběhy avových veličin a akční veličiny pro dvě různé volby pólů jou na Obr..,.. x..5..5. -.5 λ x λ.8 λ λ.5 x x x 4 6 8 Obr.. Průběhy avových veličin. u - - -3-4 -5-6 λ λ.8 λ λ.5-7 4 6 8 Obr.. Průběhy akční veličiny.
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru Je vidě, že vyšší hodnoa pólů vede ice k rychlejšímu řízení, avšak za cenu věšího podkmiu jedné ze avových veličin a k vyšším nárokům na akční veličinu..3. Opimální řízení ve avovém prooru Nejprve budeme řeši úlohu zv. reguláoru avu. Uvažujeme lineární, obecně -varianní yém, popaný avovou rovnicí x A x + B u.4 kde x x x... x n je vekor avu, u u... u m u vekor výupu, A maice yému rozměru n x n a B váhová maice vupu rozměru n x m. Předpokládáme, že av yému je řidielný v omo případě ovšem ao podmínka není nuná. Úlohou opimálního řízení je převé yém z počáečního nenulového avu x x do koncového avu x, kde je koncový ča z inervalu < <, ak, aby kvadraický funkcionál J x Φ x + + d x M x u u.4 byl minimální. Zde Φ a M jou ymerické kladně emidefininí a ymerická kladně defininí váhové maice. Počáeční i koncový ča a jou pevné. Pozn.: Váhové maice zpravidla volíme jako diagonální kladnými prvky, jednolivé členy ve funkcionálu.4 pak předavují vážené oučy čverců prvků přílušných vekorů. Řešení úlohy: Úlohu řešíme pomocí Ponrjaginova principu minima. Poup je náledovný: Zavedeme družený vekor λ a definujeme zv. Hamilonovu funkci ao funkce je kalární H λ, x, u [ x M x + u u ] + λ [ A x + B u ] 3.43 Pak plaí: Řízení, keré minimalizuje funkcionál.4 je opimální ehdy, jeliže exiuje družený vekor λ rozměru n, kerý polu vekorem x vyhovuje rovnicím zv. Hamilonově ouavě d x H.44 d λ d λ H.45 d x Navíc, opimální řízení muí plňova podmínku H u.46 Pozn.: Uvedený poup předpokládá řízení v oevřené oblai, j. jeliže na výledné řízení nejou kladena omezení. Dále hledáme řízení jako lineární. Požadujeme, aby mezi λ a x plail lineární vzah λ K x.47 kde K n x n je prozaím neznámá maice. Z podmínky.46 doaneme derivováním rovnice.43 z čehož H u u + B λ.48
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru 4 λ x K B B u.49 Zderivováním rovnice.47 podle čau doaneme d d d d d d λ x K x K +.5 a doazením za d d x ze avové rovnice.4 a za u z rovnice.49 poupně [ ] λ d d d d d d x K B B K x A K x K u B x A K x K + + +.5 Součaně ale z rovnice.45 Hamilonovy ouavy po zderivování H podle x plaí λ H d d x K A x M λ A x M x.5 Nyní porovnáme pravé rany rovnic a, přičemž vykneme vpravo x a doaneme [ ] d d x K A M x K B B K A K K +.53 evé členy na obou ranách rovnice.53 i muí bý amozřejmě rovny a po malé úpravě doaneme pro K diferenciální rovnici d d K S K A K K A M K +.54 kde B B S.55 je ymerická maice. ovnice.54 je maicová rovnice iccaiho ypu. Počáeční podmínky pro prvky K jou neznámé, v koncovém čae však plaí uvádíme bez důkazu Φ Φ Φ λ K x K x x x x.56 Nyní několik poznámek k řešení maicové diferenciální rovnice.54. Víme, že maice K je rozměru n x n, řešení rovnice.54 by edy předavovalo řešení n diferenciálních rovnic pro její jednolivé prvky. ehce však dokážeme, že maice K je ymerická. ranponujeme obě rany.54 maice M i S jou ymerické, zn. M M, S S a doaneme d d K S K K A A K M K +.57 Vidíme, že K i K porovnejme.54 a.57 jou dány řešením ejné rovnice a rovněž koncová podmínka.56 je pro ně ejná Φ je ymerická maice a udíž plaí Φ Φ K K. Z oho edy janě vyplývá, že K je ymerická maice K K. o znamená, že k řešení rovnice.54 muíme řeši pouze + n n diferenciálních rovnic pro prvky maice K. Je jané, že při řízení muí paralelně probíha výpoče akční veličiny podle rovnice.49 a bý řešena rovnice.54. Počáeční podmínku pro K ovšem neznáme, muí edy bý vypočena předem. Dále, z varu rovnice.54 janě vyplývá, že řešení rovnice je neabilní na pravé raně jou kladným znaménkem druhé mocniny a oučiny prvků K, zn., že malá změna v počáeční podmínce má za náledek velkou změnu
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru řešení. Poup při určení počáeční podmínky pak může bý náledovný: Jeliže zvolíme počáeční ča ao volba odpovídá prakickým úlohám, definujeme zpěný ča τ. Nyní, pro je τ a dále a rovnici.54 můžeme přepa do varu d K τ M τ + A d τ d K τ dk dτ d τ K τ + K τ A τ K τ S τ K τ.58.59 počáeční podmínkou Kτ K Φ. Řešení éo rovnice je vzhledem ke změně znaménka u "druhé mocniny" K abilní. Jeliže uo rovnici řešíme do čau τ, zíkáme řešení Kτ K a edy počáeční podmínku pro rovnici.54, kerá je pak použia při výpoču řízení. Průběhy neabilního řešení rovnice.54 a abilního řešení rovnice.59 jou na Obr..3,.4. k 5 5 k k.5..5..5..5 3. k τ 3..5..5. k inf.964 k 3 k 3 4 5 τ - Obr..3 Neabilní řešení rovnice.54 cilivo Obr..4 Sabilní řešení rovnice.59. řešení na změnu počáeční podmínky. Podobným způobem řešíme i zv. úlohu reguláoru výupu pro pozorovaelný yém. V omo případě hledáme řízení u, keré minimalizuje funkcionál [ y M y u ] J y y Φ y y + + y u d.6 pro výup y, kde kladně emidefininí maice Φ y a M y mají nyní rozměr r x r. K řešení bez nového odvození můžeme dopě velmi jednoduchým způobem. Výup yému je popán rovnicí y C x.6 Jeliže do funkcionálu.6 doadíme za členy obahující y rovnici.6, doaneme y y y Φ y x C Φ C x.6 y M y x C M C x.63 y Je edy jané, že řešení výpoče maice K bude dáno opě řešením maicové rovnice.54, kde ovšem bude a koncovou podmínkou y M C M C.64 y y K C Φ C.65 Je řeba i uvědomi, že vzhledem na vyokou cilivo neabilního řešení rovnice.54 na změnu počáeční 5
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru podmínky by ao muela bý určena vyokou přenoí. Navíc, řízení v konečném čae je z prakického hledika ěžko akcepovaelné co po uplynuí koncového čau?. Úloha opimálního řízení na konečném čaovém horizonu je píše vzácnou výjimkou. Mnohem čaěji, jako oaně i v oaních úlohách řízení, e ekáme úlohou řízení aickým avovým reguláorem na nekonečném čaovém horizonu. Řešení v omo případě uvažujeme pouze pro yémy -invarianní, zn., že maice A, B i C jou pouze maice konan. Funkcionál.4 je nyní ve varu J [ M x + u u ] d x.66 kde aké váhové maice M a jou konanní. Je jané, že předinegrální člen kerý jme měli ve funkcionálu.4 nyní neexiuje. Aby oiž funkcionál.66 měl konečnou hodnou, muí e av yému pro aympoicky blíži k nule, zn. x. Řešení vychází z odvozené rovnice.54. Je zřejmé, že pro aický reguláor muí bý prvky maice K dk konanní. ehdy ovšem plaí a K je dána řešením maicové algebraické rovnice iccaiho ypu d M A K K A + K S K.67 kde S B B a výledný zákon řízení je popán jako u B K x.68 Dodejme, že v úloze reguláoru výupu je řešení ejné, maice M ve.67 je ovšem dána jako M C M C.69 Muíme i uvědomi, že všechny předchozí meody řízení ve avovém prooru jou založeny na předpokladu, že prvky vekoru avu jou známé. eno předpoklad je však plněn jen ve vzácných případech. V drivé věšině případů jou známy měřeny pouze výupy ze yému. V omo případě muí bý vekor avu zíkáván prořednicvím měřeného výupu. o je však už úloha pozorování odhadu avu, kerá bude předměem další kapioly. Příklad. ineární pojiý čaově inverianní yém. řádu je ve avovém prooru popán avovou rovnicí kde x x x, u u u y a maice A, B jou ve varu a a b A, B. a a b Úlohou je návrh reguláoru avu na nekonečném čaovém horizonu, jeliže má bý minimalizován kvadraický funkcionál.66, ve kerém M a jou diagonální váhové maice m r M,. Počáeční podmínky pro avové veličiny jou x, x.5. m r Paramery řízeného yému a prvky váhových maic jou: a a a a b b m m r r.. -.8.4 -. -.6.5 5 5 6
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru Dále máme řeši úlohu o reguláoru výupu rovněž na nekonečném čaovém horizonu, jeliže výupem je y x pro paramery řízeného yému a prvky váhových maic a a a a b b m r r..4 -.5.. -.4.5. 5 4 Počáeční podmínky jou v omo případě x, x. V obou případech máme vypočía prvky maice K do avové zpěné vazby pro zadané prvky jednolivých maic. Pro výpoče prvků maice K může bý použi buď příkaz MAABu nebo meododa proé ierace. Náledně máme imulova řízení průběhy prvků x rep. y a u do grafu. Řešení: V prvním případě reguláor avu zíkáme řešením maicové algebraické rovnice.67 prvky maice K jako k k k k r r..34..54 r r 5.58.74.843 Řízení je imulováno na Obr..5,.6. Z průběhů je zřejmé, že zvyšování hodno prvků maice pro ejné prvky M vede ke zpomalení průběhů x, ale aké k menším nárokům na vupy u. Ve druhém případě je maice C, M m a edy maice M pro řešení rovnice.67 je M C M y C. Jejím řešením pak doaneme y k k k k r., r.4.586.73.8 r 5, r 4.994..7 Výledky imulací jou na Obr..7,.8. Vliv vyšších hodno prvků je ejný jako v předchozím. x..5..5 r r. x r r 5 x x x. 4 6 8 Obr..5 eguláor avu: průběhy avových veličin. u. -.5 -. -.5 -. -.5-3. -3.5 u u u u r r. r r 5 4 6 8 Obr..6 eguláor avu: průběhy vupních veličin. 7
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru y..5. r., r.4 r 5, r 4.5. 5 5 5 Obr..7 eguláor výupu: průběh výupní veličiny. u. -.5 -. u u u u -.5 -. -.5 r., r.4-3. r 5, r 4 5 5 5 Obr..8 eguláor výupu: průběh vupní veličiny..4 Odhad avu lineárního pojiého dynamického yému Jak již bylo řečeno v minulé čái, popané meody řízení ve avovém prooru předpokládají znalo avu řízeného yému. Z prakického hledika je eno požadavek nereálný. Východikem z éo iuace je pozorova rep. odhadova av yému na základě měřených prvků vekoru výupu yému. Je známo, že jedním z hlediek členění yémů je členění na yémy deerminiické a yémy ochaické. V dalším e omezíme na zv. deerminiický odhad avu, j. odhad avu deerminiického yému, ve kerém nepůobí významnější šumy nebo významnější poruchy měření. Člen, zabezpečující odhad avu nazveme rekonrukor avu bývá nazýván éž eimáor nebo pozorovač avu. Uvažujeme pozorovaelný a edy i rekonruovaelný lineární -invarianní yém popaný avovou rovnicí a rovnicí výupu x Ax + Bu.7 y C x.7 rozměry maic uvedenými v předchozích čáech. Zavedeme vekor odhadů avových veličin x ˆ n rovnicí xˆ A xˆ + B u + y.7 kde maice A ', B ' jou ejného rozměru jako A, B v rovnici.7 a maice má rozměr n r. Úlohou je navrhnou maici ak, aby chyba odhadu vekor odchylek mezi kuečnými a odhadovanými avovými veličinami e x xˆ.73 e při počáeční chybě e x xˆ aympoicky blížila k nule, j. aby plailo lim e lim x xˆ.74 Nyní vykonáme úpravu x Ax + Bu A x + A x A A x + Bu + A x.75 x ˆ A xˆ + B u + C x.76 a obě rovnice odečeme, čímž doaneme 8 [ x xˆ ] e x xˆ A A C x + B B u + A.77 Jeliže nyní položíme A A C, B B.78 doaneme maicovou diferenciální rovnici pro odchylku mezi kuečným a odhadovaným avem [ x xˆ ] A C e e A C.79
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru počáeční podmínkou e e. Podmínka.74 bude edy plněna a vekor odhadu e bude aympoicky blíži kuečnému avu jen ehdy, jeliže maice A C.8 bude abilní, jinými lovy, maice muí bý volena ak, aby maice.8 byla abilní maicí. ekonrukor avu je nyní popán rovnicí x ˆ A C xˆ + B u + y.8 rep. [ y C xˆ ] xˆ Axˆ + B u +.8 ekonrukor avu, nazývaný éž podle odborníka, kerý e problemaikou odhadu avu zabýval, jako uenbergerův rekonrukor avu, je blokově znázorněn na náledujícím obrázku. u B x x C y A B x ˆ xˆ C ŷ - A Obr..9 uenbergerův rekonrukor avu. Můžeme i všimnou, že veličina y ˆ C xˆ je vlaě odhadem výupu z rekonrukoru. Obvod pak pracuje odchylkou y yˆ a maice předavuje zeílení pro uo odchylku. Při řízení ve avovém prooru muí bý rekonrukor avu čáí yému řízení. Savové veličiny průběžně odhadované z měřených výupů pak vupují do zákonu řízení viz např. opimální řízení ve avovém prooru. Pro yémy ilněji zašuměné rep. věšími náhodnými poruchami měření muíme použí ochaický odhad avu zv. Kalmanův filr. Úlohou ochaického odhadu avu e však nebudeme zabýva. Na Obr.. jou průběhy kuečných a odhadovaných avových veličin pro yém. řádu vekory x x x, u u u a kalárním výupem y x. Maice ve avovém.4..8 popiu jou A, B, C. Počáeční podmínky pro kuečné a odhadované..6 avové veličiny byly zvoleny jako x x, xˆ ˆ x a maice μ jako... 9
Savový popi yému a řízení ve avovém prooru x, x odh..5..5 x x x odh x odh x x odh. 4 6 8 4 Obr.. Průběhy kuečných a odhadovaných avových veličin.
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů 3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů Polynomiální příup k ynéze yémů řízení je významnou oučáí eorie auomaického řízení. K jeho rozvoji významně připěla čeká vědecká škola. Na rozdíl od avových meod řízení je založen na vupně výupních relacích na lineárním čaově invarianním řízeném yému. Polynomiální meoda vychází z racionálních přenoů pro lineární yémy, keré chápe jako podíly dvou polynomů. Návrh reguláorů je pak realizován ceou řešení polynomiálních rovnic. Výhodou meody je, že výledné vzahy pro výpoče paramerů zíkaných reguláorů jou jednoduše programovaelné a meoda může bý výhodně použia např. jako oučá adapivního řízení. Polynomiální meoda může bý použia jak pro yémy jednorozměrové Single inpu Single oupu, SISO, ak i pro yémy mnoharozměrové Muliple inpu Muliple oupu, MIMO. Zde jou ovšem přílušné operace v okruhu polynomů nahrazeny operacemi v okruhu polynomiálních maic. V éo kapiole e budeme zabýva aplikací polynomiální meody v řízení jednorozměrových yémů. 3. Návrh reguláorů V éo čái uvedeme poup při ynéze yému řízení pro jednorozměrové lineární -invarianní yémy. Poup bude uveden v krocích daných jednolivými požadavky na vlanoi yému řízení. Je řeba doda, že poup zde uvedený není jediný možný; jiný poup, založený na zv. Youla-Kučerově paramerizaci kerý by amozřejmě vedl ke ejným výledkům bude zmíněn na konci kapioly. Při použií konvenčních meod ynézy věšinou volíme určiý yp reguláoru zpravidla ze řídy PID reguláorů a poé podle pravidel, daných zvolenou meodou, počíáme jeho paramery. Na rozdíl od ěcho meod, polynomiální meoda ynézy yému řízení určuje jak rukuru vhodného reguláoru, ak vzahy pro výpoče jeho paramerů. Je použielná i pro návrh řízení yémů neminimální fází, yémů inegračními vlanomi, yémů neabilních, pro vupní ignály referenční ignál a poruchu jiné než funkce kokové. Srukury výledných reguláorů pak mohou bý neradiční. Poup při aplikaci polynomiální meody vychází ze základních požadavků na yém řízení. yo požadavky mohou bý formulovány náledovně: Sabilia yému řízení. Vniřní ryzo yému řízení přenoy všech jeho prvků muí bý ryzí, zn., že meoda pokyuje pouze fyzikálně realizovaelé reguláory. Aympoické ledování referenčního ignálu žádané hodnoy výupu. Úplná kompenzace poruchy vupující do yému řízení. Požadovaná kvalia řízení, vedoucí k úloze přiřazení pólů. Pozn.: Syém řízení regulační obvod může bý abilizován i neabilním reguláorem. Použií neabilního reguláoru je ovšem z prakického hledika dikuabilní. Proo může bý formulován požadavek zv. ilné abiliy, kdy je mimo abiliy celého yému řízení vyžadována i abilia reguláoru. Dodejme, že uvedené požadavky nejou pouze eoreické, ale ekali bychom e nimi jako nunými v proceu návrhu řízení reálných proceů. Jak již bylo uvedeno, přenoy jednolivých prvků v yému řízení regulačním obvodu chápeme jako podíly polynomů, rep. racionální funkce. Přenoy akční veličiny a poruchy v řízeném yému budeme edy uvažova v náledujících varech Y b Y c G, G v 3. U a V a
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů kde b, c a a jou polynomy v. Budeme předpokláda, že polynomy b, a a c, a jou neoudělné. Podmínky ryzoi obou přenoů jou vyjádřeny nerovnomi deg b deg a, deg c deg a 3. V dalším budeme uvažova e dvěma používanými konfiguracemi yému řízení. Přenoy reguláorů budou uvedeny až pro yo konfigurace. 3.. DOF konfigurace yému řízení Označení éo konfigurace vzniklo z anglického one degree of freedom jeden upeň volnoi. Jedná e vlaně o "klaickou" konfiguraci e zpěnovazebním reguláorem. Schéma je na Obr. 3.. v G v w e u y Q G - Obr. 3. DOF konfigurace yému řízení. Na obrázku G a G v předavují řízený yém odpovídajícími přenoy 3., Q je zpěnovazební reguláor, y řízený výup, u akční veličina, w referenční ignál žádaná hodnoa výupu, e regulační odchylka a v porucha vupující do řízeného yému. Přeno reguláoru uvažujeme ve varu podílu neoudělných polynomů a p U Q 3.3 E p podmínkou ryzoi fyzikální realizovaelnoi reguláoru deg deg p 3.4 Obrazy obou vupních ignálů referenčního ignálu a poruchy můžeme rovněž chápa jako podíly polynomů ve varu hw hv W, V 3.5 f w fv Pro obrazy řízeného výupu a akčního vupu plaí b c Y G U + Gv V U + V 3.6 a a U Q E Q [ W Y ] [ W Y ] 3.7 p Po úpravách rovnic 3.6, 3.7 nyní můžeme pro základní ignály v regulačním obvodu odvodi vzahy v zájmu zkrácení zápiu bude v někerých dalších vzazích u polynomů argumen vynechán a bude zachován pouze u obrazů ignálů
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů Y [ bw + c pv ] 3.8 d p E [ aw cv ] 3.9 d U [ aw cv ] 3. d kde d a p + b. Vidíme, že obrazy všech ignálů mají ve jmenovaeli polynom d amozřejmě, eno polynom je charakeriický polynom přenou uzavřeného regulačního obvodu. eno polynom v obě obahuje známé polynomy a, b z přenou řízeného yému, prozaím neznámé jou oba polynomy, p v přenou reguláoru. Nyní můžeme definova podmínku abiliy vniřní abiliy uzavřeného regulačního obvodu náledovně: Syém řízení regulační obvod je abilní ehdy, jeliže polynomy a p v přenou zpěnovazebního reguláoru 3.3 jou řešeními polynomiální diofanické rovnice a p + b d 3. e abilním polynomem d na pravé raně. ovnicí 3. je edy zajišěna první ze základních podmínek kladených na yém řízení. Podmínka vniřní ryzoi yému řízení je plněna nerovnomi 3., 3.4. yo nerovnoi později využijeme při určení upňů neznámých polynomů v rovnici 3.. Dříve e ale budeme zabýva podmínkami aympoického ledování a kompenzace poruchy. Do obrazu regulační odchylky 3.9 doadíme vzahy 3.5 a doaneme p hw hv E a c 3. d f w fv Aby oučaně byly plněny požadavky aympoického ledování a kompenzace poruchy je nuné, aby rvalá regulační odchylka byla nulová, j. aby plailo lim e 3.3 Z eorie aplaceovy ranformace je známé, že pokud limia e pro exiuje a je konečná, pak lim e lim E 3.4 a muí edy plai 3 [ ] [ E ] lim 3.5 Je zřejmé, že podmínka 3.5 bude plněna vždy, pokud e podaří eliminova oba jmenovaele f w a f v z obrazu 3.. Za předpokladu, že polynomy f w a a, f v a c jou neoudělné, budou f w a f v eliminovány, jeliže polynom p bude oučaně dělielný oběma ěmio polynomy. o bude plněno ehdy, jeliže bude exiova polynom f jako jejich nejmenší polečný náobek a pro polynom p bude plai p f ~ p 3.6 Pozn.: Úplná eliminace obou jmenovaelů není ovšem vždy nuná. Pokud např. f w bude rozdělen na dvě + čái f w f k w fw, kde f w k,, nebo f w +ω ejně plaí pro f v a + f je abilní polynom, pak je nuné, aby byla eliminována pouze jeho čá f. V omo případě w bude polynom f nejmenším polečným náobkem polynomů ímo případem ekáme jen velmi zřídka. f w a w f v. V prakických aplikacích e ovšem
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů Někeré příklady:. eferenčním ignálem i poruchou jou kokové funkce, edy w w, v v. Obrazy w ěcho funkcí jou W, náobkem je pak f. v a edy f w fv, jejich nejmenším polečným V. eferenčním ignálem je rampa w w, poruchou koková funkce v v. Jejich w obrazy jou W, f. v. Pak je V f w, f v a jejich nejmenší polečný náobek 3. eferenčním ignálem je koková funkce w w, poruchou harmonická funkce v in ω obrazy w ω, V. Pak je f w, + ω W náobek f + ω. f v + ω a jejich nejmenší polečný Nyní, doazením rovnice 3.6 do 3. doaneme polynomiální rovnici ve varu a f ~ p + b d 3.7 V éo rovnici jou ovšem upně polynomů ~ p a prozaím neznámé. I když exiují meody pro jejich určení založené na elemenárních loupcových řádkových operacích, použijeme poup založený na úvaze o řešielnoi polynomiálních rovnic meodou neurčiých koeficienů. Poupujeme náledovně: Supeň polynomiální rovnice a edy d 3.7 je dán vyšším ze upňů obou členů na její levé raně. Z podmínek ryzoi 3. a 3.4 vyplývá, že vždy plaí deg a f ~ p deg b, a edy v každém případě je deg d deg af p deg a+ deg f + deg p Dále je známo, že každý polynom upně m má m + koeficienů a polynomiální rovnice upně n pokyuje pro porovnání koeficienů při ejných mocninách n + rovnic proý člen je u. zn., že polynom ~ p má deg ~ p + neznámých koeficienů, polynom má deg + neznámých koeficienů a celkový poče neznámých koeficienů v obou polynomech je edy PN deg ~ p + deg + 3.8 Poče rovnic pro porovnání koeficienů na levé a pravé raně 3.7 je P deg d + dega + deg f + deg ~ p + 3.9 Proože poče rovnic a poče neznámých muí bý ejný, doaneme porovnáním 3.8 a 3.9 PN P deg dega + deg f 3. a dále z nerovnoi 3.4 a po úpravě deg ~ p dega 3. a pro upeň pravé rany a celkový upeň polynomiální rovnice degd deg a + deg f 3. Odvozené vzahy 3. 3. umožňují velmi rychlé určení rukury reguláoru a eavení polynomiální rovnice pro daný přeno řízeného ignálu a definované vupní ignály. Dodejme, že znaménko rovnoi ve 3. povede na nerikně ryzí reguláor, oré nerovnoi na reguláor rikně ryzí. 4
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů 3.. DOF konfigurace yému řízení Označení éo konfigurace vzniklo z anglického wo degree of freedom dva upně volnoi. eguláor v omo případě obahuje vedle zpěnovazební i přímovazební čá. Schéma je na Obr. 3.. w v G v Q - u G y Obr. 3. DOF konfigurace yému řízení. Přenoy obou čáí reguláoru jou opě ve varu podílu neoudělných polynomů, p a r, p r Q, p p 3.3 Podmínka ryzoi fyzikální realizovaelnoi reguláoru muí bý zde plněna i pro přímovazební čá reguláoru, akže plaí deg r deg p 3.4 Pro obrazy řízeného výupu a akčního vupu nyní plaí b c Y G U Gv V U V a a 3.5 r U W Q Y W Y p p 3.6 Pro základní ignály v regulačním obvodu nyní plaí Y [ brw + c pv ] d 3.7 E [ d br W cpv ] d 3.8 U [ arw cv ] d 3.9 kde opě d a p + b a abilia je edy zajišěna zpěnovazební čáí reguláoru polynomy přenou danými řešením polynomiální rovnice 3.. Nyní opě do obrazu regulační odchylky doadíme vzahy 3.5 a doaneme hw h v E d br cp d fw fv 3.3 Poačující podmínkou pro úplnou kompenzaci poruchy eď je, aby polynom f v dělil polynom p, zn., aby polynom p byl ve varu p f ~ p 3.3 v Pozn.: Podobně jako v případě DOF konfigurace, i zde podmínka není nuná, ale poačuje, aby plailo 5
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů p f k p, kde např. f. v v Poačující podmínkou aympoického ledování je, aby polynom f w dělil polynom plněno, jeliže d br bude oučinem nějakého polynomu a polynomu f w, j. f w d br, což bude d br 3.3 podobně jako u p, i zde by poačovalo d br f w. Výledný reguláor je nyní dán řešením dvojice polynomiálních rovnic, keré zíkáme doazením 3.3 do 3. a úpravou 3.3 ve varu a f ~ v p + b d 3.33 fw + b r d 3.34 Řešení rovnice 3.33 zajišťuje abiliu yému řízení a úplnou kompenzaci poruchy, rovnice 3.34 aympoické ledování referenčního ignálu. Polynom je nuný pro řešení rovnice 3.34, do přenou reguláoru však nevupuje. Neznámé upně polynomů v rovnicích 3.33, 3.34 odvodíme podobně jako v předchozím případě. Supeň rovnice 3.33 a edy i 3.34 je deg d deg a f ~ v p dega + deg fv + deg ~ p. Poče neznámých koeficienů ve 3.33 je opě PN deg ~ p + deg + 3.35 a rozpiem do mocnin doaneme poče rovnic P deg d + dega + deg f + deg ~ v p + 3.36 z čehož deg dega + deg fv 3.37 Z nerovnoi 3.4, po doazení 3.3 a úpravě doaneme opě deg ~ p dega. eno vzah můžeme napa ovšem i ak, že zavedeme čílo k,,, a napíšeme deg ~ p dega + k 3.38 a pak pro upeň pravé rany a celkový upeň obou polynomiálních rovnic deg d dega + deg fv + k 3.39 Vzhledem k podmínkám ryzoi v rovnici 3.34 plaí deg br degd a upeň d edy muí odpovída upni jejího prvního členu na levé raně, edy deg d deg + deg f w. Neznámé jou všechny koeficieny polynomů a r, jejich poče v rovnici 3.34 je edy PN deg + degr + 3.4 a poče rovnic pro jejich výpoče P degd + deg + deg f w + 3.4 Z rovnoi PN P ihned zíkáme degr deg f w 3.4 Pro určení číla k v 3.38 a 3.39 použijeme podmínku ryzoi 3.4, do keré doadíme 3.4, 3.3 a 3.38. Doaneme deg f w deg fv + deg a + k a po úpravě k deg f w deg fv dega. Čílo k může bý pouze nulové nebo kladné. zn., že pokud na pravé pravé raně éo nerovnoi obdržíme záporné čílo nebo nulu, můžeme k v rovnicích 3.38, 3.39 voli nulové a použí ho muíme pouze ehdy, jeliže 6
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů pravá rana nerovnoi bude věší než nula. Můžeme edy poupova ak, že vypočíáme čílo k jako k deg fw deg fv dega 3.43 a pak pro k plaí [ pro k k k 3.44 pro k Supeň polynomu nakonec určíme jako deg degd deg fw dega + deg fv deg f w + k 3.45 Opě vidíme, že odvozené vzahy pro výpoče upňů polynomů v přenoech reguláoru umožňují velmi rychlé určení jeho rukury. Nyní nerikní nebo rikní ryzo reguláoru závií na rovnoi nebo oré nerovnoi v rovnici 3.44. Pro přehledno uvádíme jednolivé vzahy pro určení upňů polynomů v přenoech reguláorů v DOF i DOF konfiguraci v doporučeném pořadí jejich použií. > ab. 3. Vzahy pro výpoče upňů polynomů v přenou reguláoru v DOF konfiguraci. Polynomiální rovnice, vzorce a f ~ p + b d deg dega + deg f Poznámka f nejmenší polečný náobek f v a f w. deg ~ p dega degd deg a + deg f ovno pro nerikně ryzí, orá nerovno pro rikně ryzí reguláor. ovno pro nerikně ryzí, orá nerovno pro rikně ryzí reguláor. ab. 3. Vzahy pro výpoče upňů polynomů v přenou reguláoru ve DOF konfiguraci. Polynomiální rovnice, vzorce Poznámka a f ~ v p + b d fw + b r d deg dega + deg fv degr deg f w k deg fw deg fv dega k [ pro k k pro k > deg ~ p dega + k ovno pro nerikně ryzí, orá nerovno pro rikně ryzí reguláor. deg d dega + deg fv + k deg dega + deg fv deg fw + k 7
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů Pozn.: Jeliže referenčním ignálem je kok, je v čiaeli přenou přímovazební čái reguláoru ve DOF konfiguraci pouze proý člen konana. Důkaz: f w, deg f w deg r a r r. Jeliže navíc jmenovael přenou poruchy obahuje člen k, k,,, je proý člen polynomu r rovný proému členu polynomu a plaí r d d je proý člen polynomu d a druhá polynomiální rovnice nemuí bý vůbec řešena. Důkaz je elemenární. Pozn. Jeliže do yému řízení porucha nevupuje, nebo vupuje pouze porucha náhodná, položíme v přílušných výše uvedených rovnicích f v. Uvedeme několik příkladů na určení rukur reguláorů v DOF i DOF konfiguracích pro různé ypy vupních ignálů. Ve všech případech budeme uvažova řízený yém. řádu přenoem akční veličiny b G, kde edy deg a. Ve všech případech budeme voli reguláory nerikně ryzím + a přenoem.. eferenčním ignálem i poruchou je kok, j. w w, v v. Jejich obrazy jou w v W, V a edy f w fv. DOF konfigurace: nejmenší polečný náobek f w a f v jef. Supně polynomů pak jou použiím ab. 3. deg a edy +, deg ~ p a ~ p p, deg d a d d + d + d. eguláor má edy přeno + Q ~ f p p Vidíme, že jde o PI reguláor. DOF konfigurace: Supně polynomů na základě ab. 3. jou deg, pak +, deg r a r r, dále k a edy k, deg ~ p a ~ p p, deg d a d d + d + d, deg a +. Přenoy zpěnovazební a přímovazební čái reguláoru jou + r r Q f ~, v p p ~ fv p p Zpěnovazební čá odpovídá PI reguláoru, přímovazební čá I reguláoru.. eferenčním ignálem je rampa w w, poruchou je kok v v. Jejich obrazy jou w W, v. Pak je V f w, f v. DOF konfigurace: nejmenší polečný náobek f w a f v jef. S použiím ab. 3. pak je deg a + +, deg ~ p a ~ p p, deg d 3 a udíž 3 3 d d + d + d + d. eguláor má pak přeno 8
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů + + Q f p p Vidíme, že výledkem je v omo případě PII reguláor Q + + p p p DOF konfigurace: Supně polynomů z ab. 3. jou deg, pak +, deg r a r r + r, dále k a edy k, deg ~ p a ~ p p, deg d a d d + d + d, deg a. Přenoy zpěnovazební a přímovazební čái reguláoru jou Q + ~, fv p p Přenoy obou čáí odpovídají PI reguláorům. r r + r ~ f p p v 3. eferenčním ignálem je inuovka w in ω, poruchou je kok v v. Jejich obrazy jou ω W, + ω v. Pak je V f w + ω, f v. DOF konfigurace: nejmenší polečný náobek f w a f v je f + ω. S použiím ab. 3. pak je 3 deg 3 a 3 + + +, deg ~ p a ~ p p, deg d 4 a 4 4 3 3 d d + d + d + d + d. eguláor má pak přeno Q 3 ~ f p 3 + + + + ω p Vidíme, že eno přeno již neodpovídá radičním přenoům řídy PID reguláorů. DOF konfigurace: Supně polynomů jou ejné jako předchozím příkladě, edy deg a +, deg r a r r + r, dále k a edy k, deg ~ p a ~ p p, deg d a d d + d + d, deg a. Přenoy zpěnovazební a přímovazební čái reguláoru jou Q + ~, fv p p a přenoy obou čáí opě odpovídají PI reguláorům. r r + r ~ f p p v Někeré další příklady budou uvedeny na závěr celé kapioly. 3. Přiřazení pólů Podmínkou abiliy yémů řízení regulačních obvodů v obou uvažovaných konfiguracích je, aby polynomy v přenoech reguláorů byly výledkem řešení polynomiálních rovnic e abilním polynomem na pravé raně. Součáí návrhu regulačního obvodu není ovšem pouze podmínka jeho abiliy, kerá je podmínkou nunou, ale aké požadavky na kvaliu řízení. Je známo, že kvalia řízení průběhy řízeného výupu popř. akčního vupu je dána rozložením pólů přenou uzavřeného regulačního obvodu. Přirozenou oučáí polynomiální meody je edy úloha přiřazení pólů PA Pole Aignmen přenou uzavřeného 9
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů regulačního obvodu. yo póly jou kořeny abilního polynomu d na pravé raně polynomiálních rovnic, ze kerých počíáme polynomy v přenoech reguláorů. Obecně můžeme polynom d napa ve varu kde i i i deg d d 3.46 i α + jβ. Polynom d je poom abilní, jeliže reálné ložky kořenů jou záporné, j. [ ] α e < pro i,, deg d. Jeliže volíme póly reálné imaginární ložky β jou nulové, i i výledný regulační pochod bude aperiodický. Pokud e mezi zvolenými póly budou vykyova dvojice pólů komplexně družených, bude výledný pochod kmiavý. ychlo regulačního pochodu je dána velikoí reálných ložek pólů. Čím budou vzdálenější od nuly v záporném mylu, ím bude regulační pochod rychlejší, ovšem vyššími nároky na akční veličinu. Samozřejmě, že póly nemuí bý voleny jako různé, mohou e vykyova póly vícenáobné. Poup při výpoču paramerů reguláoru ukážeme na náledujícím příkladu: i Řídíme yém. řádu přenoem b G + a+ a eferenčním ignálem i poruchou jou kokové funkce. Máme nají rukuru zpěnovazebního reguláoru v DOF konfiguraci a vypočía jeho paramery, jeliže volíme jediný reálný vícenáobný pól přenou uzavřeného regulačního obvodu. Řešení: Pro kokové vupní ignály je f w fv a edy aké f. Podle ab. 3. jou pak upně polynomů v přenou reguláoru deg, deg ~ p a deg d 4. eguláor má edy přeno 3 + + Q f p p+ p evá rana polynomiální rovnice 3.7 má var 4 3 a f p + b + a+ a p+ p + b + + p + a p + p + a p + a p + b + a p + b + b Volíme čyřnáobný reálný pól rovný α, pravá rana rovnice 3.7 edy je 4 4 3 3 4 d +α + 4α + 6α + 4α +α Porovnáním koeficienů při ejných mocninách nyní doaneme rovnice p, a p + p 4α, a jejich řešením p + a p + b 6α a, 3 p + b 4α a, b 4 α p 4α a, 6 a 4 a a b α α, 3 4 a 4 a b α α, 4 α b Vidíme, že výledným reguláorem je v omo případě reálný PID reguláor. egulační obvod je amozřejmě abilní pro každé α >. Pokud však chceme zíka abilní i reguláor, a muí bý p 4α a > a α edy muí plňova podmínku α>. 4
3 Polynomiální meoda v návrhu řízení jednorozměrových yémů Volba pólů, zvlášě v případě, mají-li bý voleny jako různé, není jednoduchá. Nají např. pro polynom d čvrého upně vhodnou kombinaci čyř různých kořenů ak, aby bylo doaženo předepané kvaliy, by bylo velmi obížné. Na druhou ranu, volba jediného vícenáobného pólu vede ice k jednodušším výpočům, avšak doažená kvalia řízení není čao vyhovující jde vlaně o výledný regulační pochod na mezi aperiodiciy. V někerých případech lze použí peciální volby, keré pro yo případy vedou k jednodušším vzahům pro výpoče paramerů reguláoru a akéž kvalinímu průběhu řízení. yo volby jou prováděny ak, aby čá pólů přenou uzavřeného regulačního obvodu ouviela paramery přenou řízeného yému a paramery reguláoru mohly bý naavovány pomocí jediného volielného parameru. Ukážeme i někeré možnoi. Pro abilní a nekmiavé yémy můžeme voli d ve varu deg d deg a d a + α 3.47 Pro neabilní a nekmiavé yémy polynom a je zde neabilní můžeme použí volbu deg d deg a d n + α 3.48 kde n je abilní polynom, kerý doaneme pekrální fakorizací a a n n 3.49 Pozn.: Polynom horním indexem * označuje konjugovaný polynom a pro libovolný polynom x plaí x x. o znamená, že konjugovaný polynom zíkáme z původního polynomu ak, že u koeficienů při lichých mocninách změníme znaménka, při udých mocninách znaménka ponecháme. Součin konjugovaného a původního polynomu pak obahuje pouze udé mocniny. Pro upeň polynomu n vždy plaí deg n deg a. Např. pro neabilní polynom a druhého upně a + a + a oba koeficieny a, a nebo jeden z nich muí bý u neabilního polynomu záporné je poup při pekrální fakorizaci 3.49 náledovný: Plaí a a a + a + a + a a a + a Po zavedení polynomu n + n + n podobně zíkáme 4 3.5 n n n + n + n + n n n + n Porovnáním koeficienů při ejných mocninách na pravých ranách 3.5 a 3.5 pak doaneme 4 3.5 a n, n a + n a 3.5 a je jané, že vždy n >, n > a polynom n je v každém případě abilní. Při obou volbách 3.47 a 3.48 mohou bý paramery reguláorů naavováno pomocí jediného volielného parameru α. Pro všechny ypy yémů abilní i neabilní, minimální i neminimální fází a jeliže referenčním ignálem i poruchou jou kokové funkce, můžeme voli d jako d g m 3.53 kde g je vždy abilní polynom daný pekrální fakorizací [ a ] a + b b g g ϕ 3.54 kde ϕ je volielný koeficien. Pozn.: Spekrální fakorizace 3.54 je známá z eorie lineárního kvadraického Q řízení, kde je použia při 3