Jiří Přibyl Pár slov k determinantům Ústí nad Labem 2008 1
Obsah 1 Pár slov úvodem 3 2 Determinanty 3 2.1 Permutace............................. 3 2.2 Matice............................... 8 2.3 Determinanty........................... 11 3 Literatura 18 2
1 Pár slov úvodem Tento text je určen zejména studentům bakalářského studia v kombinované formě. Tomu je přizpůsoben obsah i forma. Obvykle text nesupluje přednášku, ale v tomto případě, je tomu jinak. Tento text supluje přednášku do té míry, aby motivoval studenty si z doporučené literatury dohledat potřebné informace. Tento text má být jakýmsi prvním čtením, které uvede čtenáře do problematiky (tzn. to co dělá přednáška) a poskytne mu tak kostru na kterou může dále navěšovat. Věty zde uvedené nebudou následovány důkazem, což je mírně neobvyklé. Pokud důkaz nezazní na přednášce, pak by se o něj měl pokusit student sám, či si jej vyhledat. Ideou přednášeného důkazu je myšlenka, že přednášející upozorní na nejdůležitější obraty v důkazu, což jsou obvykle informace mezi řádky. Pokud bych zde uváděl důkazy, pak bych je pouze opsal z některého doporučeného textu, nebo bych se je pokusil okomentovat patřičným způsobem, což by učinilo text objemným. Některé partie textu doprovází komentář, který se obvykle v učebním textu nevyskytuje. Leckdy půjde o vágní vyjádření, které má třeba daný pojem (problém,... ) přiblížit, ale z matematického hlediska se může jednat o naprostý nesmysl. Lidský mozek však není dokonalým nástrojem a leckdy na nesprávném příkladu či nesmyslném tvrzení pochopí celou podstatu daného problému daleko rychleji a lépe, než z nejdokonalejší věty. Je o mě známo, že na velké množství pojmů pohlížím jako na zobrazení 1. Zdá se mi to užitečné i přehledné. Vím, že velké množství lidí se mnou nesouhlasí, ale stejně se toho budu držet. Pokud vezmete jinou literaturu (seznam, je uveden na konci), asi se setkáte s jiným přístupem. Poslední upozornění je spíše typografického charakteru, kdy říkám, že všechny definice, věty, příklady, cvičení, úlohy budu číslovat průběžně a to vždy ve vztahu k podkapitole. 2 Determinanty K determinantům lze přistupovat z několika různých směrů. My se k nim budeme blížit z obvyklého směru permutací. 2.1 Permutace Vzhledem k tomu, že pojem permutace využíváme k vytvoření nového pojmu, je třeba se s ním blíže seznámit. 1 Například mocnost bodu ke kružnici je pro mne zobrazení, které bodu a kružici přiřadí nějaké reálné číslo. Ve většině případů se setkáte s tím, že to je číslo. 3
Příklad 2.1.1. Představme si, že stojíme ve frontě k pokladně a tlačíme vozík plný nákupu. Jak se fronta mírně vleče, rozhlížíme se po okolí. Najednou si všimneme, že za námi stojí osoba 2, která má pouze rohlíky. V závislosti na našem vychování, nastane pouze jedna ze dvou možností buď ji pustíme před sebe a bude nás hřát pocit z dobrého skutku, nebo ji nepustíme před sebe a bude nás hřát že budeme o několik vteřin dříve odbaveni. Podstatné je si uvědomit, že nedošlo ke změně obsahu fronty 3, pouze se změnilo (nebo nezměnilo) pořadí, ve kterém budou obslouženi jednotliví zákazníci. To co jsme ve skutečnosti provedli, je že jsme permutovali prvky množiny zákazníků čekajících na obsloužení a to v obou případech. Definice 2.1.2. Mějme libovolnou neprázdnou množinu prvků M, ve které se každý prvek vyskytuje právě jednou. Vzájemně jednoznačné zobrazení π množiny M na sebe se nazývá permutace. Tuto skutečnost budeme zapisovat π : M M. Abychom se mohli rozumně pohybovat v této problematice, bude rozumné si prvky nějakým způsobem označit. Například je můžeme očíslovat bude to odpovídat frontě, v jakém pořadí je odbavována. Definice 2.1.3. Mějme libovolnou neprázdnou (konečnou) 4 množinu prvků M, ve které se každý prvek vyskytuje právě jednou. Zobrazení, které každému prvku množiny přiřadí přirozené číslo, se nazývá pořadí. Příklad 2.1.4. Podíváme-li se na příklad 2.1.1., vidíme že pořadí opravdu odpovídá výše uvedené definici. Lze tedy flek ve frontě označit přirozeným číslem, které vyjadřuje kdy bude daný zákazník obsloužen a pokud dojde k prohození čekatelů, dojde i k přehození pořadových čísel. Vzhledem k tomu, že takto lze uspořádat každou konečnou množinu, budeme se tedy zabývat pouze přirozenými čísly, které reprezentují pořadí. Příklad 2.1.5. Předpokládejme, že máme množinu M = {1, 2, 3, 4, 5}. Fakt, že nás nezajímá pouze obsah množiny M, ale také její uspořádání naznačíme (typografickou úmluvou) kulatými závorkami, tedy M = (1, 2, 3, 4, 5). Nyní několikrát změňme pořadí (provedeme tedy permutaci dané množiny). π 1 : M M 1, kde M 1 = (1, 2, 3, 5, 4) 2 pohlaví si doplňte dle libosti 3 v danou chvíli 4 pro naše potřeby 4
π 2 : M M 2, kde M 2 = (2, 1, 3, 5, 4) π 3 : M M 3, kde M 3 = (1, 2, 3, 4, 5) Abychom si ušetřili takto zdlouhavý zápis, zavedeme opět typografické zjednodušení, kdy danou permutaci zapíšeme dvouřádkovou tabulkou, kde v prvním řádku jsou prvky množiny M před permutací a ve druhém řádku po permutaci. V našem případě to bude vypadat následovně: ( ) 1 2 3 4 5 1 2 3 5 4 ( ) 1 2 3 4 5 2 1 3 5 4 ( ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Pokud bysme to chtěli zapsat formálně, potom má tabulka tento tvar: ( 1 2... n ) π(1) π(2)... π(n) Někdy se zapisuje pouze výsledný řádek. (1, 2, 3, 5, 4) (2, 1, 3, 5, 4) (1, 2, 3, 4, 5) Opět ve formálním zápisu: (π(1), π(2),..., π(n)) Zkoumejme nyní, co se stane, když měníme pořadí prvků. Až na prvky krajní, se může prvek pohnout oběma směry buď se přesune na místo, kde je prvek s pořadovým číslem nižším, nebo se přesune na místo, kde je prvek s pořadovým číslem vyšším a nebo se nepřesune. Podívejme se nejprve na situaci, kdy se prohodí právě dva prvky π 1. (1, 2, 3, 5, 4) Právě jeden prvek je na místě, jehož současné pořadové číslo je menší, než bylo před tím. (Logicky, právě u jednoho prvku je tomu naopak.) Pro situaci, kdy měníme pouze umístění právě dvou prvků si zvolíme označení. Definice 2.1.6. Permutaci, kdy prohodíme pouze dva prvky navzájem, nazýváme transpozicí. 5
Tedy zvolíme-li dva prvky i, j potom platí π(i) = j a π(j) = i. Tento fakt lze také zapsat π(i, j) = (j, i). Lze také zapsat τ (i, j). Nás teď bude zajímat, kolik transpozic musíme udělat, než se dostaneme od počátku k výsledné permutaci. V případě π 1 vidíme, že pouze jednu. V případě π 3 buď žádnou, nebo dvakrát zopakovat tu stejnou permutaci např. dvakrát uděláme permutaci π 1. Chceme-li vyjádřit permutaci π 2 pomocí transpozic, musíme si cestu rozložit do několika kroků. Pokusím se je už symbolicky zapisovat. (1, 2, 3, 4, 5) (1, 2, 3, 5, 4) (2, 1, 3, 5, 4) V případě π 1 jsme potřebovali jednu transpozici, v případě π 2 jsme potřebovali dvě transpozice a v případě π 3 jsme nepotřebovali žádnou. Zaměřme se na π(1). Vidíme, že 4 < 5, ale π(4) > π(5). Pro každou takovou dvojici zavedeme nové označení. Definice 2.1.7. Mějme množinu M = {1,..., n} a transpozici τ (i, j) takovou, že i < j a π(i) > π(j). Potom tuto transpozici nazýváme inverzí. Celkově se otázka určení permutace redukuje na otázku určení inverzí. Na základě počtu inverzí můžeme určit paritu permutace. Definice 2.1.8. Mějme množinu M = {1,..., n} a permutaci π. Jestliže je celkový počet inverzí, ze kterých se permutace skládá je sudý, pak nazýváme permutaci sudou permutací. Jestliže je počet permutací lichý, pak nazýváme permutaci lichou permutací. Je také vhodné si zavést zobrazení sgn, které je definováno následovně: { 1 jestliže π je sudá sgn(π) = 1 jestliže π je lichá Úmluva 2.1.9. Přijměme následující úmluvu: aby nedocházelo k přezávorkování, tak na místo sgn((1,..., n)) budeme psát sgn(1,..., n). Věta 2.1.10. Platí, že sgn(τ ) = 1. Příklad 2.1.11. Máme určit paritu následujících permutací. π 1 = (1, 3, 5, 2, 4) 6
π 2 = (1, 2, 3, 4, 5) π 3 = (3, 1, 2, 7, 5, 8, 6, 4) Řešení. π 1 je lichá, protože celkový počet inverzí je 3 (τ (3, 2), τ (5, 4), τ (4, 3)) π 2 je sudá, protože celkový počet inverzí je 0 π 3 je lichá, protože celkový počet inverzí je 9 (τ (3, 1), τ (3, 2), τ (7, 5), τ (8, 6), τ (7, 6), τ (8, 4), τ (7, 4), τ (6, 4), τ (5, 4)) Podíváme-li se blíže na jednotlivé uspořádané dvojice, vidíme že vždy první prvek uspořádané dvojice je vetší než prvek druhý. Od tohoto faktu se také odvíjí algoritmus určování parity permutace. Algoritmus 2.1.12. Tento algoritmus je velice jednoduchý a je založen na načítání změn pořadí. 1. vezmeme první prvek permutace a porovnáme, kolikrát je větší než prvky za ním následující; toto číslo přičteme k již známemu číslu (pokud začínáme, je ono číslo rovno nule) 2. porovnávaný prvek odstraníme z permutace 3. zbyly v permutaci nějaké prvky v případě kladné odpovědi se vrátíme k bodu 1. Vraťme se k příkladu 2.1.11. a permutaci π 3. Počet inverzí si označíme symbolem k. 1. k = 0 2. (3, 1, 2, 7, 5, 8, 6, 4), k 1 = k + 2 (3 > 1 a 3 > 2) 3. (1, 2, 7, 5, 8, 6, 4), k 2 = k 1 4. (2, 7, 5, 8, 6, 4), k 3 = k 2 5. (7, 5, 8, 6, 4), k 4 = k 3 + 3 (7 > 5, 7 > 6 a 7 > 4) 6. (5, 8, 6, 4), k 5 = k 4 + 1 (5 > 4) 7. (8, 6, 4), k 6 = k 5 + 2 (8 > 6 a 8 > 4) 8. (6, 4), k 7 = k 6 + 1 (6 > 4) 9. (4), k 8 = k 7 7
10. konec a k 9 = k 8, tedy k 9 = 0 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 = 9 Tento algoritmus se nazývá bublinkovým algoritmem protože pořadí probublává doprava, či čísla s menší absolutní hodnotou probublávají doleva. Někdy se tento algoritmus také nazývá bublinkovým tříděním 5. Mezi třídícími algoritmy není nejrychlejší, ale je snadno pochopitelný a málo zatěžuje (ať člověka či stroj), protože se pouze porovnávají dvě sousední čísla. Úloha 2.1.13. V případě π 3 to ovšem není nejmenší počet inverzí, které vedou k uspořádání (1,..., 8). Nejmenší počet inverzí je 5. Najděte je. Celé naše povídání o permutacích zakončíme několika fakty, které nebudeme dokazovat. Vzhledem k tomu, že se jedná o text pro první čtení, autor předpokládá, že znalostí chtivý čtenář si přislušné důkazy zhotoví či vyhledá. Věta 2.1.14. Mějme množinu M = {1,..., n}. Potom celkový počet permutací je n!. Věta 2.1.15. Inverzí se mění parita permutace. Tedy sgn(π τ ) = sgn(π). Věta 2.1.16. sgn(π 1 π 2 ) = sgn(π 1 ) sgn(π 2 ) Věta 2.1.17. Mějme množinu M = {1,..., n}. Potom počet sudých permutací je n! počet lichých permutací je n! 2. 2.2 Matice Druhý objekt, který potřebujeme na naší cestě k determinantům, je matice. Vzhledem k tomu, že se opět jedná pouze o podpůrný aparát, budeme mu věnovat pouze nezbytný prostor. Bývá zvykem zavádět matici pomocí grafického uspořádání prvků, takže se velmi často můžete setkat s následující definicí. Definice 2.2.1. Nechť (T, ( +, )) je těleso. Potom obdélníkové schéma A prvků z tělesa 6, nazveme maticí. a 11 a 12 a 1n A =.. a m1 a m2 a mn 5 Bubble Sort 6 zde je rozumné si představit konkrétní těleso my až do odvolání si budeme představovat těleso reálných čísel 2 a 8
Vzhledem k tomu, že zápis je objemný, můžeme psát A = (a ij ), kde a ij T, i = 1,..., m a j = 1,..., n. Poznámka 2.2.2. Někdy se také dodává, že se jedná o matici typu m/n. Uvedená definice je mírně vágní, protože pracuje s pojmem obdélníkové schéma. Je třeba tedy vyslovit definici, která korektně vymezujem pojem matice. Definice 2.2.3. Nechť (T, ( +, )) je těleso. Maticí A budeme rozumět zobrazení A : {1,..., m} {1,..., n} T, což můžeme zapsat A((i, j)) = a ij. Příklad 2.2.4. A((1, 1)) = 2, A((1, 2)) = 3, A((2, 1)) = 1, A((2, 2)) = 5. ( ) 2 3 A = 1 5 Vidíme, že druhý zápis (odpovídající definici 2.2.1.) je přeci jen o něco přehlednější. Nyní se podíváme na několik pojmů, které potřebujeme. Definice 2.2.5. Matice A = (a ij ) je rovna matici B = (b ij ) tehdy a jen tehdy pokud a ij = b ij pro každé i, j. Z definice vyplývá, že mají-li si být matice rovny, je třeba aby byly stejného typu a aby si odpovídající prvky byly sobě rovny. Tento pojem asi není třeba nijak zvlášť ilustrovat. Jeho důležitost se objeví až v případě, kdy nebudeme porovnávat jen číselné matice, ale matice, kde vystupují parametry či neznámé. Definice 2.2.6. Matice A = (a ij ) se nazývá čtvercová matice tehdy a jen tehdy, platí-li rovnost m = n. Příklad 2.2.7. Matice A je čtvercová a matice B čtvercovou maticí není. ( ) ( ) 2 3 2 3 3 A = B = 1 5 1 5 7 Poznámka 2.2.8. Často se hovoří o matici řádu n. Matice A z příkladu 2.2.7. je druhého řádu. 9
Definice 2.2.9. Matice A T = (a ji ) se nazývá maticí transponovanou k matici A = (a ij) tehdy a jen tehdy, platí-li a ij = a ji. Příklad 2.2.10. Mějme matice A, B z příkladu 2.2.7. Potom matice transponované vypadají následovně. A T = ( ) 2 1 3 5 2 1 B T = 3 5 3 7 Poznámka 2.2.11. Je zřejmé, že jestliže matice A je řádu m/n, potom matice A T je maticí řádu n/m. Graficky se jedná o prohození řádků a sloupců. Definice 2.2.12. Mějme čtvercovou matici řádu n. Matici A = (a ij ) nazýváme diagonální maticí tehdy a jen tehdy, platí-li a ij = 0 pro i j. Definice 2.2.13. Mějme čtvercovou matici řádu n. Matici A = (a ij ) nazýváme horní trojúhelníkovou maticí tehdy a jen tehdy, platí-li a ij = 0 pro i > j. Příklad 2.2.14. Matice C i D jsou diagonální, matice E je horní trojúhelníkovou maticí. 2 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 C = 0 0 0 0 0 0 0 0 D = 0 1 0 0 0 0 1 0 E = 0 3 5 1 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Všimněte si, že v definici 2.2.12. se vůbec nehovoří o prvcích, pro které platí i = j. Definice 2.2.15. Mějme diagonální matici řádu n. Matici A = (a ij ) nazýváme jednotkovou maticí tehdy a jen tehdy, platí-li a ii = 1 pro každé i. Příklad 2.2.16. Matice D z příkladu 2.2.14. je jednotkovou maticí. Poznámka 2.2.17. Pro jednotkovou matici se volí zvláštní symbol, nejčastěji se označuje I. Toto nám pro naše potřeby zatím stačí. Už nyní jste schopni vytvořit další věty, které se vyjadřují k maticím. Například: jestliže A je diagonální matice, potom A = A T 10
transpozice čtvercové matice zachovává její řád (A T ) T = A Nyní již máme dost aparátu na to, abychom se podívali na pojem determinant. 2.3 Determinanty Nachystali jsme si vše, co potřebujeme pro zavedení determinantů. Uvedeme si některé základní vlastnosti a determinantům se budeme věnovat jako kratochvíli pro tříbení myšlení. V dalších partiích matematiky se však ukáže již užitečnost determinantů například při řešení soustav rovnic, hledání kolmých vektorů a pod. Definice 2.3.1. Zobrazení, které přiřadí čtvercové matici A = (a ij ) reálné číslo následujícím způsobem sgn(j 1,..., j n ) a 1j1 a 2j2 a njn (j 1,...,j n) se nazývá determinant. Výraz sgn(j 1,..., j n ) a 1j1 a 2j2 a njn se nazývá člen determinantu. Poznámka 2.3.2. Jestliže máme matici A, potom bývá zvykem její determinant (to znamená výsledek zobrazení determinant) značit buď det(a), nebo A. Úmluvy 2.3.3. Kdykoliv matematik může něco zjednodušit, učiní úmluvu. Učiňme tak i my. Jesliže mám matici A z příkladu 2.2.7., potom podle výše uvedeného zápisu by měl determinant být zaznamenán následujícími způsoby: (( )) ( 2 3 det(a) = det det(a) = 2 3 1 5 1 5) což je mírně nepřehledné a proto se to zjednodušuje na následující zápis ( ) 2 3 det(a) = det det(a) = 1 5 2 3 1 5 Nyní už vidíme, proč bylo rozumné připomenout si pojem permutace. Setkáváme se s ním při definování determinantu (definice 2.3.1.). Determinant je tedy součtem n! členů determinantu. Proč je jich tolik? Protože právě tolik je permutací na n prvkové množině. Podívejme se ještě jednou na člen determinantu. sgn(j 1,..., j n ) a 1j1 a 2j2 a njn 11
Nejprve se začíná tím, že určíme paritu permutace. Dále vidíme, že součin je tvořen n prvky, přičemž první index u každého prvku je neměnný vždy určuje pořadové číslo řádku matice. Permutujeme tedy sloupce. Celá idea je tedy založena na tom, že z každého řádku vždy vybereme jeden prvek a sloupec ve kterém se tento prvek nachází vyřadíme ze souboru. Až dojdou řádky, máme jeden člen determinantu (musíme ho předtím opatřit příslušným znaménkem). Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud nevyčerpáme všechny možnosti určené jednotlivými permutacemi. Odvození 2.3.4. Mějme matici A řádu dva. ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 Víme, že jsou pouze dvě permutace (1, 2) a (2, 1). Jak vypadají členy determinantu? 7 sgn(1, 2) a 11 a 22 sgn(2, 1) a 12 a 21 Můžeme tedy napsat, že a 11 a 12 a 21 a 22 = sgn(1, 2) a 11 a 22 + sgn(2, 1) a 12 a 21 = 1 a 11 a 22 + ( 1) a 12 a 21 = = a 11 a 22 a 12 a 21 Příklad 2.3.5. Odvození 2.3.6. Mějme matici A řádu tři 2 3 1 5 = 2 5 3 1 = 7 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Z věty 2.1.14. víme, že permutací nad tříprvkovou množinou je šest. Podívejme se jak vypadají a rovnou k nim pišme členy determinantu. (1, 2, 3)... 1 a 11 a 22 a 33 (1, 3, 2)... 1 a 11 a 23 a 32 7 Typograficky si dovolím dané permutace vyznačit tučně. 12
(2, 1, 3)... 1 a 12 a 21 a 33 (2, 3, 1)... 1 a 12 a 23 a 31 (3, 2, 1)... 1 a 13 a 22 a 31 (3, 1, 2)... 1 a 13 a 21 a 32 Můžeme tedy napsat, že a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Pro tento determinant se podařilo vymyslet dobrou mnemotechnickou pomůcku, která dokonce vyzískala vlastní pojmenování. Věta (Sarrusovo pravidlo) 2.3.7. Jedná se o pomůcku jak spočítat determinant matice řádu 3. Nikoliv vyššího řádu! Opišme první dva řádky pod poslední. Získáme tento tvar: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Nyní budeme násobit prvky na diagonálách. Diagonály jdoucí zleva do prava začínají prvky a 11, a 21, a 31 a tyto součiny jsou vždy kladné (sudé permutace). Diagonály jdoucí z prava do leva začínají prvky a 13, a 23, a 33 a tyto součiny jsou vždy záporné (liché permutace). a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Příklad 2.3.8. 5 6 3 3 5 6 6 3 5 = 5 5 5 + 3 3 3 + 6 6 6 3 5 6 6 3 5 5 6 3 = = 5 3 + 3 3 + 6 3 3 90 = 98 13
S rostoucím řádem matic roste i počet členů determinantů. Následující tabulka ukazuje počet pro několik málo přirozených čísel. řád matice počet členů 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 3628800 Už pro matici řádu čtyři je třeba vytvořit 24 členů determinantu. Z toho je vidět, že je třeba hledat jiné cesty k výpočtu, než užít definici. Za tímto účelem je rozumné, seznámit se s několika větami, které nám umožní řešit determinanty o poznání jednodušeji 8. Věta 2.3.9. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Potom platí, že hodnota determinantu se nezmění, provedeme-li jednu z následujících úprav transponujeme matici det(a T ) = det(a) přičteme násobek libovolného řádku k jinému řádku matice přičteme lineární kombinaci řádků k jinému řádku matice Tato věta nám říká, že co platí pro řádky, platí i pro sloupce (ve smyslu determinantů). Příklad 2.3.10. A = a c b d = ad bc AT = a b Věta 2.3.11. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Potom platí c d = ad bc vznikne-li matice A 1 přehozením dvou řádků, potom det(a 1 ) = det(a) 8 Ve skutečnosti se nejedná o jednodušší způsob řešení, ale o způsob, který je rychlejší a tudíž méně pracný, avšak za cenu přemýšlení. 14
vznikne-li matice A 1 vynásobením libovolného řádku nenulovým číslem t, potom det(a 1 ) = t det(a) Věta 2.3.12. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Potom platí-li jedna z uvedených možností: det(a) = 0, jeden řádek matice obsahuje pouze nuly jeden řádek matice je násobkem jiného řádku (v případě jednanásobku, jsou řádky shodné) jeden řádek je lineární kombinací jiných řádků Nyní přichází zlatý hřeb programu a to Věta (Laplaceova) 2.3.13. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Vyberme k řádků této matice tak, aby 0 < k < n. Potom determinant matice A je roven ( n k) součinů minorů řádu k vybraných ze zvolených k řádků s jejich algebraickými doplňky. Aby se pro nás tato věta stala užitečnou, je třeba osvětlit několik pojmů. Definice 2.3.14. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Vyberme k řádků a tudíž i sloupců matice A tak, aby platilo 0 < k < n. Potom matice utvořená z vybraných řádků a sloupců se nazývá submatice a její determinant se nazývá minor. Příklad 2.3.15. Mějme matici A řádu 4. Utvořme submatici A 1 určenou druhým a čtvrtým řádkem a prvním a čtvrtým sloupcem spočtěme minor A 1. 1 2 3 4 A = 2 4 6 8 3 6 9 12 A 1 = 4 8 12 16 ( ) 2 8 4 16 det(a 1 ) = 0 Definice 2.3.16. Mějme čtvercovou matici A řádu n. Dále nechť je dána submatice A 1 určená řádky i 1, i 2,..., i k a sloupci j 1, j 2,..., j k. Potom matice Ā1 utvořená ze zbývajících ( ) n k k řádků a sloupců se nazývá doplňková submatice, její determinant se nazývá doplňkový minor a číslo ( 1) i 1+i 2 + +i k +j 1 +j 2 + +jk det(ā1) 15
se nazývá algebraický doplněk minoru A 1. Příklad 2.3.17. Vraťme se k příkladu 2.3.15. Určete doplňkovou submatici a algebraický doplňek k minoru det(a 1 ). ( ) 2 3 Ā 1 = det(ā1) = 0 6 9 Vraťme se nyní k Laplaceově větě 2.3.13., která bývá také nazývána větou o rozvoji determinantu podle k řádků nebo k sloupců. Co přesně nám umožňuje tato věta? Umožňuje nahradit jeden determinant vyššího řádu několika determinanty řádu nižšího. Ukažme si to na příkladu. Příklad 2.3.18. Spočtěme následující determinant pomocí Laplaceovy věty. Udělejme rozvoj podle prvního řádku (tedy podle jednoho řádku). 1 2 3 7 1 1 1 2 3 = 1 ( 1)(1+1) 1 1 2 3 + 2 ( 1)(1+2) 7 1 1 3 + + 3 ( 1) (1+3) 7 1 1 2 = 1 (1) ( 5) + 2 ( 1) (22) + 3 (1) (13) = = 5 + ( 44) + 39 = 10 Příklad 2.3.19. Podívejme se na příklad použití Laplaceovy věty ještě jednou. Mějme následující determinant a učiňme rozvoj podle prvního a druhého řádku. 1 7 2 3 11 3 7 2 5 1 3 17 = 1 7 11 3 ( 1)(1+2+1+2) 3 17 5 9 + 9 4 5 9 + 1 2 11 7 ( 1)(1+2+1+3) 1 17 4 9 + + 1 3 11 2 ( 1)(1+2+1+4) 1 3 4 5 + + 7 2 3 7 ( 1)(1+2+2+3) 5 17 9 9 + + 7 3 3 2 ( 1)(1+2+2+4) 5 3 9 5 + + 2 3 7 2 ( 1)(1+2+3+4) 5 1 9 4 = 16
= 80 112 + 15 ( 1) 77 + 35 7 + ( 55) ( 108) + 5 ( 1) ( 52) + 25 ( 29) = = 8960 1155 + 245 + 5940 + 260 725 = 13525 Vidíme, že v tomto případě vedlo použití Laplaceovy věty na výpočet dvanácti determinantů 2 2. Je to sice lepší, ale stále to není ono. Pokusme se kombinovat tuto větu s větami jí předcházejícími. Vynásobme první řádek příslušným číslem a přičtěme ho k ostaním řádkům tak, aby v prvním sloupci od druhého řádku níže byly nuly. 1 7 2 3 1 7 2 3 11 3 7 2 5 1 3 17 = 0 80 15 35 0 34 7 2 9 4 5 9 0 67 23 18 Nyní udělejme rozvoj podle prvního sloupce. Protože v prvním sloupci jsou pod jedničkou tři nuly, bude daný součet obsahovat pouze jeden nenulový sčítanec. 1 ( 1) (1+1) 80 15 35 34 7 2 67 23 18 = 5 16 3 7 34 7 2 67 23 18 = 13525 Aby se nám výsledný determinant zjednodušil, v posledním kroku jsme z prvního řádku vytkli 5 a ze třetího ( 1). Při určování hodnot determinantů vyššího řádu se snažíme vhodnými úpravami převést determinant na jednodušší, nebo na determinanty nižšího řádu. Následující věty, se také velmi často používají při určování hodnot determinantu. Věta 2.3.20. Mějme diagonální matici A. Potom det(a) = a 11 a 22... a nn. Věta 2.3.21. Mějme horní trojúhelníkovou matici A. Potom det(a) = a 11 a 22... a nn. Ukázali jsme si základní metody, které se užívají při určování hodnot determinantu. Nyní už nám nezbývá, než se pustit do řešení úloh. Úlohy pro počítání determinantů jsou dvojí. První jsou číselné a ty slouží k tomu, abychom si procvičili základní postupy a seznámili se s nimi. Jejich hodnota se dá určit velice snadno a to pomocí programu MS EXCEL, který disponuje nástroji pro jejich výpočet. Ukažme si to na následujícím příkladu. 17
Příklad 2.3.22. Určete hodnotu determinantu 1 2 3 7 1 5 2 3 11 Zaneseme daný determinant do excelu. Do buňky B5 zaneseme příkaz =DETERMINANT(A1:C3). Symbol = znamená, že voláme funkci excelu, slovo DETERMINANT je jméno volané funkce a (A1:C3) je část tabulky, která určuje zadanou matici. Nyní již jste vybaveni vším potřebným pro počítání determinantů. Až zvládnete determinanty číselné, pusťte se do determinantů nečíselných, které už jsou určitými kvízi a leckdy chvíli trvá, než se dobereme požadované hodnoty. 3 Literatura Horák, P.: Lineární algebra a geometrie I. MU: Brno, 2007. Scriptum. Kuřil, M.: Lineární algebra. Připravované Scriptum. Olšák, P.: Lineární algebra. ČVUT: Praha, 2006. Scriptum. Slovák, J.: Lineární algebra. MU: Brno, 1998. Scriptum. 18
Bečvář, J.: Lineární algebra. Mat-Fyz Press: Praha. Havel, V.: Lineární algebra. SNTL: Praha Blažek, J.: Algebra a teoretická aritmetika I. SPN: Praha 19