UTB 2006/2007 Matematika 1 pomocný učební text pro studenty fakulty Technologické Marek Lampart 1 11. 4. 2007 1 Děkuji RNDr. Alžbětě Hakové za její trpělivost a mnohé připomínky při přípravě tohoto textu.
UTB 2
OBSAH Obsah 1 Matematické základy 7 1.1 Výroková logika............................ 7 1.2 Kvantifikátory............................. 10 1.3 Základní množinové operace..................... 11 1.3.1 Základní vlastnosti množinových operací.......... 11 1.4 Kartézský součin množin A a B................... 12 1.4.1 Základní typy relací...................... 13 1.5 Zobrazení............................... 13 1.6 Základní typy zobrazení....................... 14 1.7 Kompozice zobrazení......................... 14 1.8 Inverzní zobrazení........................... 14 1.9 Množina reálných čísel R....................... 15 1.9.1 Podmnožiny množiny reálných čísel R............ 16 1.9.2 Ohraničenost podmnožiny množiny reálných čísel R.... 17 2 Reálná funkce jedné reálné proměnné 19 2.1 Operace s funkcemi.......................... 19 2.2 Ohraničené funkce.......................... 20 2.3 Monotónní funkce........................... 20 2.4 Funkce sudé a liché.......................... 21 2.5 Funkce periodické........................... 21 2.6 Funkce složené............................ 21 2.7 Funkce inverzní............................ 21 2.8 Elementární funkce.......................... 23 2.8.1 Funkce lineární........................ 23 2.8.2 Funkce kvadratická...................... 23 2.8.3 Funkce lomenná........................ 24 2.8.4 Funkce exponenciální..................... 25 2.8.5 Funkce logaritmická..................... 26 2.8.6 Funkce goniometrické..................... 27 2.8.7 Funkce cyklometrické..................... 31 UTB 3
OBSAH 3 Limita funkce 33 3.1 Věty o limitách............................ 34 3.2 Nevlastní limita............................ 34 3.3 Limita v nevlastním bodě...................... 35 3.3.1 Základní limity........................ 36 3.4 Asymptoty grafu funkce....................... 37 4 Spojitost funkce 39 4.1 Definice spojitosti........................... 39 4.2 Základní vlastnosti spojitých funkcí................. 39 5 Derivace funkce 43 5.1 Definice pojmu derivace....................... 43 5.2 Výpočet derivace funkce....................... 44 5.3 Derivace elementárních funkcí.................... 45 5.4 Derivace složené funkce........................ 46 5.5 Derivace inverzní funkce....................... 46 5.6 Diferenciál funkce........................... 46 5.7 Derivace vyšších řádů......................... 46 5.8 Základní věty diferenciálního počtu................. 47 5.8.1 Lineární homogenní diferenciální rovnice.......... 49 5.9 Průběh funkce............................. 50 5.9.1 Monotónnost funkce..................... 51 5.9.2 Extrémy funkce........................ 51 5.9.3 Funkce konvexní a konkávní................. 53 5.9.4 Inflexní bod.......................... 53 6 Integrální počet funkce jedné reálné proměnné 57 6.1 Primitivní funkce........................... 57 6.2 Pojem neurčitého integrálu...................... 58 6.2.1 Tabulka základních integrálů................. 58 6.3 Základní integrační metody..................... 59 6.3.1 Integrace rozkladem..................... 59 6.3.2 Per partes........................... 60 6.3.3 Substituce........................... 61 6.3.4 Integrace racionálních funkcí................. 61 6.3.5 Integrace některých dalších funkcí.............. 64 6.4 Definice určitého integrálu...................... 65 6.4.1 Výpočet určitého integrálu.................. 66 6.4.2 Základní vlastnosti určitého integrálu............ 66 6.4.3 Integrační metody per partes a substituce pro určité integrály 67 6.5 Nevlastní integrál........................... 68 6.5.1 Nevlastní integrál v neomezeném intervalu......... 68 UTB 4
OBSAH 6.5.2 Nevlastní integrál neohraničené funkce na ohraničeném intervalu............................. 68 6.6 Aplikace určitého integrálu v geometrii............... 69 6.7 Aplikace určitého integrálu ve fyzice................. 72 6.8 Přibližný výpočet určitého integrálu................. 73 6.8.1 Obdélníková metoda..................... 73 6.8.2 Lichoběžníková metoda.................... 73 6.8.3 Simpsonova metoda...................... 73 Literatura 75 UTB 5
OBSAH UTB 6
Kapitola 1 Matematické základy 1.1 Výroková logika Definice 1 Výrok je tvrzení, které je možno klasifikovat jako pravdivé či nepravdivé. Pravdivost výroku se nazývá pravdivostní hodnota. Příklad 1 Je zřejmé, že následující věta je výrokem: Sluníčko svítí. Takový typ výroku se nazývá jednoduchý výrok. Jednoduché výroky můžeme skládat do výroků složených pomocí výrokových spojek: a, spojka pro konjunkci, nebo, jestliže... pak, právě tehdy, když, spojka pro disjunkci, spojka pro implikaci, spojka pro ekvivalenci. Například, Sluníčko svítí a jsem bohatý. Sluníčko svítí nebo jsem bohatý. Jestliže sluníčko svítí pak, jsem bohatý. Sluníčko svítí právě tehdy, když jsem bohatý. Definice 2 Bud p výrok, pak p označuje negaci, což znamená logický opak. Tedy, je-li p pravdivý, pak p je nepravdivý, když p je nepravdivý, pak p je pravdivý. Shrnuto v následující pravdivostní tabulce, kde 1 označuje pravdivou pravdivostní hodnotu a 0 nepravdivou:
1.1 Výroková logika p p 1 0 0 1 Definice 3 Bud te p a q dva různé výroky, pak p q označuje konjunkci, která je pravdivá pouze, když jsou oba výroky p, q pravdivé a je nepravdivá jinak. Shrnuto v pravdivostní tabulce: p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Definice 4 Bud te p a q dva různé výroky, pak p q označuje (nevylučující) disjunkci, je pravdivá, když alespoň jeden z výroků p, q je pravdivý a jinak je nepravdivá. Shrnuto v pravdivostní tabulce: p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Definice 5 Bud te p a q dva různé výroky, pak p q označuje (vylučující) disjunkci. Je pravdivá, když p je pravdivý a q je nepravdivý nebo p je nepravdivý a q je pravdivý. V ostatních případech je nepravdivá. Shrnuto v pravdivostní tabulce: UTB 8
1.1 Výroková logika p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Definice 6 Bud te p a q dva různé výroky, pak p q označuje implikaci. Je nepravdivá jenom tehdy, když p je pravdivý a q je nepravdivý, jinak je pravdivá. Výrok p se v implikaci nazývá antecedent (premisa) a výrok q se nazývá konsekvent (závěr). Shrnuto v pravdivostní tabulce: p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Definice 7 Bud te p a q dva různé výroky, pak p q označuje ekvivalenci. Je pravdivá, když p a q mají stejnou pravdivostní hodnotu a nepravdivá jinak. Shrnuto v pravdivostní tabulce: p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 UTB 9
1.2 Kvantifikátory Poznámka 1 Z předcházejícího automaticky vyplývá, že složené výroky jsou opět pravdiné či nepravdivé. Je-li složený výrok pravdivý ve všech případech, pak ho nazýváme tautologií. Věta 1 (DeMorganova pravidla) Bud te p, q, r tři různé výroky. Pak následující složené výroky jsou tautologiemi: 1. p (q r) (p q) (p r), 2. p (q r) (p q) (p r). 1.2 Kvantifikátory Definice 8 Tvrzení, které připouští proměnnou x, se nazývá výroková funkce, označovaná p(x). Pro konkrétní hodnotu h je výroková funkce p(h) výrokem. Definice 9 Obecný kvantifikátor se užívá, když výroková funkce začíná slovy Pro každé... nebo Pro všechna... a je označován. Definice 10 Existenční kvantifikátor se užívá, když výroková funkce začíná slovy Existuje..., Jsou nějaké... nebo Existuje alespoň jeden... a je označován. Poznámka 2 Poznamenejme, že kvantifikátory mohou být negovány, jak je naznačeno v následující tabulce: kvantifikátor jeho negace ( ) Poznámka 3 Chceme-li vyjádřit existenci jediného prvku, tedy Existuje právě jeden..., pak používáme označení!. UTB 10
1.3 Základní množinové operace 1.3 Základní množinové operace Definice 11 Množina je soubor prvků. 1 Náleží-li prvek x množině X, pak tuto skutečnost označujeme x X, v opačném případě x X. Neobsahuje-li množina žádné prvky, pak se nazývá prázdná a označuje se. Definice 12 Bud te A, B množiny. Jestliže každý prvek množiny A náleží množině B, pak množinu A nazýváme podmnožinou množiny B. Značíme A B. Definice 13 Bud te A, B podmnožiny množiny M. Pak definujeme následující množinové operace: 1. průnik množin A B = {x M : x A x B}, 2. sjednocení množin A B = {x M : x A x B}, 3. rozdíl množin 4. doplněk množiny A \ B = {x M : x A x B}, A = {x M : x A}. 1.3.1 Základní vlastnosti množinových operací Věta 2 Bud te A, B, C podmnožiny množiny M. Pak platí: komutativní zákony 1. A B = B A, 2. A B = B A, asociativní zákony 3. (A B) C = A (B C), 4. (A B) C = A (B C), distributivní zákony 5. A (B C) = (A B) (A C), 1 Poznamenejme, že tato definice množiny není korektní. Nedefinovali jsme totiž pojmy soubor a prvek. UTB 11
1.4 Kartézský součin množin A a B 6. A (B C) = (A B) (A C), idempotentnost průniku a sjednocení 7. A A = A, 8. A A = A, průnik a sjednocení s prázdnou množinou a se základní množinou 9. A =, 10. A = A, 11. A M = A, 12. A M = M, involučnost doplňku 13. A = (A ) = A, doplněk průniku a sjednocení 14. (A B) = A B, 15. (A B) = A B. Věta 3 (DeMorganovy zákony) Bud te A, B, C množiny. Pak 1. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), 2. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). 1.4 Kartézský součin množin A a B Definice 14 Bud te A, B množiny, pak kartézský součin A B množin A a B je množina A B = {(x, y) : x A y B}, kde (x, y) je uspořádaná dvojice definovaná (x, y) = {{x}, {x, y}}. Věta 4 Bud te A, B, C množiny. Pak platí 1. (A B) C = (A C) (B C), 2. (A B) C = (A C) (B C). Definice 15 Bud te A, B množiny, pak relací ρ mezi množinami A a B nazýváme libovolnou podmnožinu kartézského součinu množin A a B. Je-li navíc A = B, pak relaci ρ nazýváme relací na množině A. UTB 12
1.5 Zobrazení 1.4.1 Základní typy relací Definice 16 Bud ρ relace na množině A. Pak říkáme, že relace ρ je 1. reflexivní právě tehdy, když x A : (x, x) ρ, 2. symetrická právě tehdy, když x, y A : (x, y) ρ (y, x) ρ, 3. antisymetrická právě tehdy, když x, y A : (x, y) ρ (y, x) ρ x = y, 4. tranzitivní právě tehdy, když x, y, z A : (x, y) ρ (y, z) ρ (x, z) ρ, 5. trichotomická právě tehdy, když x, y A : (x, y) ρ x = y (y, x) ρ, 6. uspořádání, jestliže je tranzitivní a trichotomická, 7. ekvivalence, jestliže je tranzitivní, reflexivní a symetrická. 1.5 Zobrazení Definice 17 Necht A, B jsou množiny a ρ relace mezi nimi. Relaci ρ nazveme zobrazením množiny A do množiny B právě tehdy, když Zobrazení také označujeme x A!y B : (x, y) ρ. ρ : A B, kde x y. UTB 13
1.6 Základní typy zobrazení 1.6 Základní typy zobrazení Definice 18 Bud f zobrazení množiny A do množiny B. Řekneme, že dané zobrazení je 1. injektivní, jestliže x 1 x 2 A f(x 1 ) f(x 2 ), 2. surjektivní, jestliže y B x A : f(x) = y, 3. bijektivní, jestliže je injektivní i surjektivní. 1.7 Kompozice zobrazení Definice 19 Bud te f : A B a g : B C. Kompozicí zobrazení f a g je zobrazení g f : A C definované pro každé x A vztahem (g f)(x) = g(f(x)). Věta 5 (Asociativita zobrazení) Bud te f : A B, g : B C a h : C D zobrazení. Pak pro každé x A platí ((h g) f) (x) = (h (g f)) (x). Poznámka 4 Uvědomme si však, že kompozice zobrazení není obecně komutativní. 1.8 Inverzní zobrazení Definice 20 Bud f : A B a g : B A. Zobrazení g je inverzní zobrazení k zobrazení f, jestliže platí g f = id A, f g = id B, kde id X označuje identické zobrazení na množině X definované pro každé x X vztahem id X (x) = x. Věta 6 Každé zobrazení má nejvýše jednu inverzi. UTB 14
1.9 Množina reálných čísel R Věta 7 Každé zobrazení má inverzi právě tehdy, když je bijektivní. Příklad 2 Bud te A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} a C = {,, } možiny. Definujme zobrazení f = {(1, b), (2, c), (3, c)} a g = {(a, ), (b, ), (c, )}. Zobrazení jsme definovali jako podmnožiny kartézského součinu A B a B C. Můžeme je ale také chápat tak, že f(1) = b, f(2) = c, f(3) = c a g(a) =, g(b) =, g(c) =, kde f : A B a g : B C. Pak kompozice g f : A C má předpis (g f)(1) = g(b) =, (g f)(2) = g(c) = a (g f)(3) = g(c) = mebo-li g f = {(1, ), (2, ), (3, )}, kde g f : A C. Nicméně, zobrazení f není ani injektivní ani surjektivní. Skutečně, vezmemeli si 2 a 3, pak jejich obrazy jsou f(2) = c = f(3), f není injektivní. Na bod b se ale nic nezobrazí, f tedy není surjekce. Avšak g je bijekce a podle Věty 7 k němu existuje inverze. Snadno vidíme, že takovou inverzí je g 1 = {(, a), (, b), (, c)} nebo-li g 1 ( ) = a, g 1 ( ) = b, g 1 ( ) = c, kde g 1 : C B. Skutečně: (g g 1 )( ) = g(a) =, (g g 1 )( ) = g(b) =, (g g 1 )( ) = g(c) = a (g 1 g)(a) = g 1 ( ) = a, (g 1 g)(b) = g 1 ( ) = b, (g 1 g)(c) = g 1 ( ) = c. Celkově tedy: g 1 g = id B a g g 1 = id C. 1.9 Množina reálných čísel R Definice 21 Množinou reálných čísel R rozumíme množinu, která splňuje následující podmínky: R1 x, y, z R : (x + y) + z = x + (y + z) R2 x, y R : x + y = y + x R3 0 R x R : x + 0 = x R4 x R x R : x + ( x) = 0 R5 x, y, z R \ {0} : (x y) z = x (y z) R6 x, y R \ {0} : x y = y x R7 1 R \ {0} x R \ {0} : x 1 = x R8 x R \ {0} x 1 R \ {0} : x x 1 = 1 UTB 15
1.9 Množina reálných čísel R R9 x, y, z R : (x + y) z = (x z) + (y z) R10 x, y R : (x < y) (x = y) (y < x) R11 x, y, z R : (x < y y < z) x < z R12 x, y, z R : (x < y) (x + z < y + z) R13 x, y, z R : (x < y z > 0) (x z < y z) R14 x, y R : x y c R : x c y 1.9.1 Podmnožiny množiny reálných čísel R Definice 22 Množina reálných čísel má následující číselné podmnožiny: 1. přirozená čísla N = {1, 2, 3, 4,...}, 2. celá čísla 3. racionální čísla 4. iracionální čísla Z = { n : n N} {0} N, Q = {p q 1 : p Z q N}, I = R \ Q. Definice 23 Bud te a, b R. Pak zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem rozumíme množinu [a, b) = {x R : a x < b}. Analogicky definujeme další typy intervalů 1. (a, b) = {x R : a < x < b}, 2. [a, b] = {x R : a x b}, 3. [a, ) = {x R : a x}, 4. (, b] = {x R : x b}, 5. (, ) = R. Definice 24 Bud x R, bud ɛ R, ɛ > 0. ɛ okolím bodu x rozumíme interval O ɛ (x) = (x ɛ, x + ɛ). UTB 16
1.9 Množina reálných čísel R 1.9.2 Ohraničenost podmnožiny množiny reálných čísel R Definice 25 Podmnožina M množiny reálných čísel R se nazývá 1. shora ohraničená, jestliže x R y M : y < x, 2. zdola ohraničená, jestliže x R y M : y > x. 3. ohraničená, je-li ohraničená shora i zdola. UTB 17
1.9 Množina reálných čísel R UTB 18
Kapitola 2 Reálná funkce jedné reálné proměnné Definice 26 Reálná funkce jedné reálné proměnné je každé zobrazení f : M R, kde M R. 1. Definiční obor funkce f je množina 2. Obor hodnot funkce f je množina D(f) = M. H(f) = {f(x) R : x D(f)}. 3. Vzor množiny B H(f) vzhledem k zobrazení f je množina f 1 (B) = {x D(f) : y B f(x) = y}. 4. Obraz množiny A D(f) vzhledem k zobrazení f je množina 5. Graf funkce f je množina 2.1 Operace s funkcemi f(a) = {f(x) H(f) : x A}. Gr(f) = {(x, f(x)) R 2 : x D(f)} R 2. Definice 27 Bud te f, g : R R funkce a necht D(f) = D(g). Pak 1. absolutní hodnota funkce f je funkce f definovaná x D(f) : f (x) = f(x),
2.2 Ohraničené funkce 2. funkce f a g jsou si rovny, jestliže x D(f) : f(x) = g(x), 3. součet funkcí f a g je funkce f + g definovaná x D(f) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), 4. rozdíl funkcí f a g je funkce f g definovaná x D(f) : (f g)(x) = f(x) g(x), 5. součin funkcí f a g je funkce f g definovaná 6. podíl funkcí f a g je funkce f g g(x) 0) x D(f) : (f g)(x) = f(x) g(x), x D(f) : 2.2 Ohraničené funkce definovaná (za předpokladu, že x D(g) : ( ) f (x) = f(x) g g(x). Definice 28 Bud f : R R funkce, pak řekneme, že funkce 1. f je shora ohraničená, jestliže je množina H(f) ohraničená shora, 2. f je zdola ohraničená, jestliže je množina H(f) ohraničená zdola, 3. f je ohraničená, jestliže je ohraničená shora i zdola. 2.3 Monotónní funkce Definice 29 Bud f : R R funkce, pak řekneme, že 1. f je rostoucí, jestliže 2. f je klesající, jestliže 3. f je nerostoucí, jestliže 4. f je neklesající, jestliže x 1, x 2 D(f) : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ), x 1, x 2 D(f) : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ), x 1, x 2 D(f) : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), x 1, x 2 D(f) : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). UTB 20
2.4 Funkce sudé a liché 2.4 Funkce sudé a liché Definice 30 Bud f : R R funkce, pak řekneme, že 1. f je sudá, jestliže x D(f) : x D(f) f( x) = f(x), 2. f je lichá, jestliže x D(f) : x D(f) f( x) = f(x). 2.5 Funkce periodické Definice 31 Bud f : R R funkce, pak řekneme, že funkce f je periodická, jestliže p R \ {0} x D(f) : f(x + p) = f(x). Nejmenší takové p se nazývá perioda funkce f a říkáme, že funkce f je periodická s periodou p. 2.6 Funkce složené Definice 32 Bud te f, g : R R funkce. Pak řekneme, že kompozicí funkcí f a g je funkce g f : R R definovaná vztahem (g f)(x) = g(f(x)) x D(f). 2.7 Funkce inverzní Definice 33 Bud f : M N, M, N R. Funkce f 1 : N M nazýváme inverzní funkce k funkci f, jestliže platí f 1 f = id M, f f 1 = id N. UTB 21
2.7 Funkce inverzní Pozorujme následující vztahy: 1. D(f 1 ) = H(f), 2. H(f 1 ) = D(f), 3. x = f 1 (y) y = f(x), 4. f je inverzní k f 1, tedy platí (f 1 ) 1 = f, 5. f(f 1 (y)) = y pro každé y H(f), 6. f 1 (f(x)) = x pro každé x D(f). Příklad 3 Pozorujme výše popsané vlastnosti na funkci f(x) = 1 x 2 + 1 : 1. definiční obor není nikterak omezen, můžeme dosadit libovolné číslo, D(f) = R; 2. obor hodnot: zajisté 1 x 2 + 1 > 0 a 1 1, tedy H(f) = (0, 1]; x 2 + 1 3. z předešlého bodu plyne, že funkce je omezená; 4. funkce je sudá, skutečně x D(f) x D(f) a f( x) = graf je souměrný podle osy y; 1 ( x) 2 + 1 = 1 x 2 + 1 = f(x), 5. funkce je na intervalu (0, ) klesající, skutečně pro každé x 1, x 2 (0, ) takové, že x 1 < x 2 je x 2 1 < x 2 2 x 2 1 + 1 < x 2 2 + 1 1 > 1 f(x x 2 1 +1 x 1) > 2 2 +1 f(x 2 ), analogicky se ukáže, že funkce je na intervalu (, 0) rostoucí; 6. funkce není prostá, vezmeme-li x 1 x 2 takové, že x 1 = x 2, pak f(x 1 ) = 1 x 2 1 + 1 = 1 ( x 1 ) 2 + 1 = 1 x 2 2 + 1 = f(x 2); 7. funkce není invertibilní, protože není prostá. Příklad 4 Ověřme, že funkce f(x) = 2x + 3 a g(x) = x/2 3/2 jsou k sobě inverzní. Tedy (f g)(x) = f(g(x)) = f(x/2 3/2) = 2(x/2 3/2)+3 = x = id(x) a (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)/2 3/2 = x = id(x). Celkově tedy: f = g 1 a g = f 1. UTB 22
2.8 Elementární funkce 2.8 Elementární funkce 2.8.1 Funkce lineární Definice 34 Funkce f : R R se nazývá lineární, má-li tvar f(x) = ax + b, kde a, b R. Grafem takovéto funkce je přímka protínající osu x v bodě b/a a osu y v bodě b. Pro a > 0 je tato funkce rostoucí, je-li a < 0, pak je tato funkce klesající. V případě, že a = 0, jde o funkci konstantní, má tedy tu vlastnost, že pro každé x z D(f) nabývá pouze jedné hodnoty b. Je-li však a 0 a b = 0, pak má funkce specielní tvar f(x) = ax nazývaný přímá úměrnost. Ani v jednom z výše popsaných případů není definiční obor nikterak omezen, tedy D(f) = R pro libovolné a a b. 2.8.2 Funkce kvadratická Definice 35 Funkce f : R R se nazývá kvadratická, má-li tvar f(x) = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R. Grafem takovéto funkce je parabola: UTB 23
2.8 Elementární funkce Jak vidno z obrázku, popis vlastností dané funkce nebude tak jednoduchý jako v předcházejícím případě, protože tato funkce nabývá maxima (minima) a je jak rostoucí, tak klesající, a navíc může protínat osu x až ve dvou bodech. Nejprve upravíme tvar f(x) = ax 2 + bx + c na úplný čtverec. Dostáváme f(x) = a(x 2 + b b x) + c = a(x + a 2a )2 + (c b2 ). Označme x 4a 0 = b a y 2a 0 = c b2, 4a pak f(x) = a(x x 0 ) 2 + y 0 a bod V 0 = [x 0, y 0 ] je vrchol, tedy funkce f má v bodě x 0 extrém, tj. maximum nebo minimum. Průsečíky s osou x jsou body x 1 a x 2, které po dosazení dávají nulovou hodnotu. 2.8.3 Funkce lomenná Definice 36 Funkce f : R R se nazývá lomenná, má-li tvar f(x) = ax + b, kde a, b, c, d R a c 0, bc ad 0. cx + d Definičním oborem je R \ { d }, grafem je křivka zvaná (rovnoosá) hyperbola c se středem v bodě S = [x 0, y 0 ] = [ d, a ] a s asymptotami procházejícími středem c c a rovnoběžnými s osami x a y. (Asymptota je přímka, k níž se graf dané funkce blíží, ale nikdy ji neprotne.) Tuto funkci si můžeme představit ve tvaru f(x) = k x x 0 + y 0 (podělili jsme čitatel jmenovatelem), kde x 0 = d a y c 0 = a. Pak dostáváme dva c případy, pro k > 0 a k < 0: UTB 24
2.8 Elementární funkce Vidíme tedy, že máme dvě možnosti. Ve speciálním případě, kdy S = [0, 0], je tato funkce souměrná podle počátku a tedy lichá. 2.8.4 Funkce exponenciální Definice 37 Funkce f : R R se nazývá exponenciální, má-li tvar f(x) = a x, kde a > 0, a 0. Definiční obor této funkce není nikterak omezen, je tedy roven R. Je-li a = 1, dostáváme funkci konstantní a proto se občas tato možnost volby zakazuje přímo v definici. Zřejmě pro x = 0 je f(x) = 1 a nezávisí na volbě a. Grafem je tzv. exponenciála mající tvar pro a < 1 a 0 < a < 1: Vidíme tedy, že pro a > 1 je tato funkce rostoucí a pro 0 < a < 1 je klesající. V obou případech s asymptotou y = 0. UTB 25
2.8 Elementární funkce 2.8.5 Funkce logaritmická Definice 38 Funkce f : (0, ) R se nazývá logaritmická, má-li tvar f(x) = log a (x), kde a > 0, a 0. Grafem této funkce je logaritmická křivka. Ovšem, je třeba rozlišit dva případy, a > 1 a 0 < a < 1: > 1 1 Jak vidíme, logaritmická funkce je rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1. V obou případech graf prochází bodem [0, 1]. Inverze k logaritmu je exponenciální funkce. Inverzní funkce k funkci f označujeme f 1 a je to taková funkce, která splňuje, že f f 1 = f 1 f = id, kde id je tzv. identita, id : R R, definovaná předpisem id(x) = x pro každé x R. Skutečně, f f 1 = log a a x = x. Což vyplývá z definice logaritmu, který je definován následovně y = log a x právě tehdy, když x = a y, kde x > 0, a > 0 a a 1. Číslo a se nazývá základ logaritmu a ve specielním případě, kdy a = 10, hovoříme o dekadickém logaritmu a značíme ho log. Pokud a = e (Eulerovo číslo), hovoříme o přirozeném logaritmu a značíme ho ln. UTB 26
2.8 Elementární funkce Základní vzorce pro počítání s logaritmy log a (x 1 x 2 x 3... x n ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) + log a (x 2 ) +... + log a (x n ), (logaritmus součinu je součet logaritmů) ( ) x1 log a = log x a (x 1 ) log a (x 2 ), 2 (logaritmus podílu je rozdíl logaritmů) log a (x r ) = r log a (x), kde r R, (logaritmus reálné mocniny je součin této mocniny a logaritmu) log a ( n x) = 1 n log a(x). (logaritmus n-té odmocniny je podíl logaritmu číslem odmocnitele) 2.8.6 Funkce goniometrické Definice 39 Goniometrické funkce proměnné úhlu α definujeme pomocí jednotkové kružnice a průvodiče (průvodič je úsečka spojující střed jednotkové kružnice a bod na ní) následovně: sin(α) = AB cos(α) = SA tan(α) = sin(α) cos(α), α 1 2 π, 3 2 π cot(α) = cos(α) sin(α), α 0, π ( pro 0 < α < 1 2 π je sin(α) = a ), c ( pro 0 < α < 1 2 π je cos(α) = b ), c ( pro 0 < α < 1 a π je tan(α) = CD = 2 b ( pro 0 < α < 1 π je cot(α) = EF = b 2 a ). ), α α UTB 27
2.8 Elementární funkce AB je orientovaná délka úsečky AB, tj. AB > 0, je-li AB souhlasně orientovaná s osou y, AB < 0, je-li AB opačně orientovaná vzhledem k orientované ose y. Obdobný význam mají i ostatní délky. Dále definujeme: sin(2kπ + α) = sin(α), cos(2kπ + α) = cos(α), tan(kπ + α) = tan(α), cot(kπ + α) = cot(α), pro libovolné k Z. Tím jsou funkce sin a cos definovány pro každé α R, funkce tan pro každé α 1 π + kπ a cot pro každé α kπ, kde k Z. 2 Zřejmě funkce sin a cos jsou periodické s periodou 2π a jejich hodnoty jsou v intervalu [ 1, 1]. Funkce tan a cot jsou periodické s periodou π a nabývají hodnot v celém R, tedy 1 sin(α) 1, 1 cos(α) 1, < tan(α) <, < cot(α) <. Konstrukce grafu funkce sin: Tato konstrukce plyne bezprostředně z definice. Načrtněme si osy x a y a ve stejné rovině i jednotkovou kružnici s průvodičem. Na osu x si nanesme jednotlivé 1 úhly 0, π, π, 3π, 2π,... a pak nastavme průvodič do těchto úhlů a vynesme 2 2 výšky vyt até na jednotkové kružnici nad dané úhly, dostáváme 0 π/4 π/2 π 3/2π 2π Grafy funkcí cos, tan a cot zkonstruujeme obdobně, s tím rozdílem, že do grafu vynášíme příslušné hodnoty z definice daných funkcí. Dostáváme tedy UTB 28
2.8 Elementární funkce 0 π/4 π/2 π 3/2π 2π 0 π/4 π/2 π 3/2π 2π 0 π/4 π/2 π 3/2π 2π Z předchozích grafů lze snadno vidět, kdy jsou goniometrické funkce rostoucí a kdy klesající, zda a kde mají extrémy. Zda jsou sudé či liché vyplývá z vlastností: sin( α) = sin(α), cos( α) = cos(α), tan( α) = tan(α), cot( α) = cot(α), tedy sin, tan a cot jsou funkce liché, cos je funkce sudá. UTB 29
2.8 Elementární funkce Znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech Kvadrant Funkce I. II. III. IV. sin(α) + + - - cos(α) + - - + tan(α) + - + - cot(α) + - + - Základní vzorce pro počítání s goniometrickými funkcemi 1. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1, tan(α) = sin(α) cos(α), cot(α) = cos(α) sin(α), 2. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi součtu, rozdílu a násobku úhlů sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β), cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β), tan(α ± β) = tan(α) ± tan(β) 1 tan(α) tan(β), sin(2α) = 2 sin(α) cos(α), cos(2α) = cos 2 (α) sin 2 (α), tan(2α) = 2 tan(α) 1 tan 2 (α), cot(2α) = cot2 (α) 1, 2 cot(α) UTB 30
2.8 Elementární funkce 3. Součet, rozdíl, součin, mocnina goniometrických funkcí ( ) ( ) α + β α β sin(α) + sin(β) = 2 sin cos, 2 2 ( ) ( ) α + β α β sin(α) sin(β) = 2 cos sin, 2 2 ( ) ( ) α + β α β cos(α) + cos(β) = 2 cos cos, 2 2 ( ) ( ) α + β α β cos(α) cos(β) = 2 sin sin, 2 2 tan(α) ± tan(β) = cot(α) ± cot(β) = 2.8.7 Funkce cyklometrické sin (α ± β) cos (α) cos(β), sin(β ± α) sin(α) sin(β), Definice 40 Hlavní větev funkce sin, označovaná Sin, je zúžení funkce sin na interval [ π/2, π/2], tedy Sin(x) = sin(x), π/2 x π/2. Funkce Sin je rostoucí a tedy bijektivní, má inverzní funkci označovanou arcsin a definovanou y = arcsin(x) x = Sin(y). Poznamenejme, že D(arcsin) = [ 1, 1] = H(Sin), H(arcsin) = [ π/2, π/2] = D(Sin). Definice 41 Hlavní větev funkce cos, označovaná Cos, je zúžení funkce cos na interval [0, π], tedy Cos(x) = cos(x), 0 x π. Funkce Cos je klesající a tedy bijektivní, má inverzní funkci označovanou arccos a definovanou y = arccos(x) x = Cos(y). Poznamenejme, že D(arccos) = [ 1, 1] = H(Cos), H(arccos) = [0, π] = D(Cos). UTB 31
2.8 Elementární funkce Definice 42 Hlavní větev funkce tan, označovaná T an, je zúžení funkce tan na interval ( π/2, π/2), tedy Tan(x) = tan(x), π/2 < x < π/2. Funkce Tan je rostoucí a tedy bijektivní, má inverzní funkci označovanou arctan a definovanou y = arctan(x) x = Tan(y). Poznamenejme, že D(arctan) = (, ) = H(Tan), H(arctan) = ( π/2, π/2) = D(Tan). Definice 43 Hlavní větev funkce cotan, označovaná Cot, je zúžení funkce cot na interval (0, π), tedy Cot(x) = cot(x), 0 x π. Funkce Cot je klesající a tedy bijektivní, má inverzní funkci označovanou arccotan a definovanou y = arccot(x) x = Cot(y). Poznamenejme, že D(arccot) = (, ) = H(Cot), H(arccot) = (0, π) = D(Cot). UTB 32
Kapitola 3 Limita funkce Definice 44 Bud f funkce definovaná na nějakém prstencovém okolí bodu x 0. Pak řekneme, že funkce f má v bodě x 0 limitu A, jestliže ke každému okolí O(A) existuje takové prstencové okolí O (x 0 ), že platí Píšeme x O (x 0 ) f(x) O(A). lim x x 0 f(x) = A. Definice 45 Bud f funkce definovaná na nějakém levém prstencovém okolí bodu x 0. Pak řekneme, že funkce f má v bodě x 0 limitu zleva rovnu A, jestliže ke každému okolí O(A) existuje takové levé prstencové okolí O l (x 0), že platí Píšeme x O l (x 0 ) f(x) O(A). lim x x 0 f(x) = A. Definice 46 Bud f funkce definována na nějakém pravém prstencovém okolí bodu x 0. Pak řekneme, že funkce f má v bodě x 0 limitu zprava rovnu A, jestliže ke každému okolí O(A) existuje takové pravé prstencové okolí O p(x 0 ), že platí Píšeme x O p(x 0 ) f(x) O(A). lim f(x) = A. x x + 0
3.1 Věty o limitách Věta 8 Necht je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu x 0. Pak platí lim f(x) = A lim f(x) = lim x x 0 x x + 0 x x 0 3.1 Věty o limitách f(x) = A. Věta 9 Každá funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Věta 10 Necht lim x x0 f(x) = A a lim x x0 g(x) = B. Pak platí 1. lim x x0 (f(x) + g(x)) = lim x x0 f(x) + lim x x0 g(x) = A + B, 2. lim x x0 (f(x) g(x)) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) = A B, 3. lim x x0 (f(x) g(x)) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) = A B, f(x 4. lim = lim x x 0 f(x) x x0 g(x) lim x x0 g(x) = A, pokud B 0. B Věta 11 Necht na nějakém prstencovém okolí bodu x 0 platí f(x) h(x) g(x) a necht lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = A. Pak limita funkce h(x) v bodě x 0 existuje a platí lim x x0 h(x) = A. Věta 12 Necht lim x x0 g(x) = A, lim u A f(u) = B a necht existuje takové prstencové okolí O (x 0 ) bodu x 0, že pro každé x O (x 0 ) je g(x) A. Pak složená funkce f g má v bodě x 0 limitu a platí lim x x0 f(g(x)) = B. Věta 13 Jestliže pro funkce f a g definované na nějakém prstencovém okolí bodu x 0 platí f(x) = g(x) a existuje-li limita lim x x0 g(x) = A, pak existuje i limita lim x x0 f(x) = A. 3.2 Nevlastní limita Definice 47 Bud f funkce definovaná na nějakém prstencovém okolí bodu x 0. Pak řekneme, že funkce f má v bodě x 0 nevlastní limitu (resp. + ), jestliže ke každému okolí O( ) (resp. O(+ )) existuje takové prstencové okolí O (x 0 ), že platí x O (x 0 ) f(x) O( ), (resp. x O (x 0 ) f(x) O(+ )). UTB 34
3.3 Limita v nevlastním bodě Píšeme lim f(x) =, x x 0 (resp. lim x x0 f(x) = + ). Věta 14 Necht funkce f je definovaná na nějakém prstencovém okolí bodu x 0. Pak platí lim f(x) = lim f(x) = lim x x 0 x x + 0 x x 0 f(x) =, (resp. lim f(x) = + lim f(x) = lim x x0 x x + 0 x x 0 f(x) = + ). Věta 15 Necht lim x x0 f(x) = A 0 a lim x x0 g(x) = 0. Existuje-li prstencové okolí O (x 0 ) bodu x 0 tak, že pro všechna x O (x 0 ) jsou obě funkce definovány a platí f(x) g(x) > 0 (resp. f(x) g(x) < 0), pak platí f(x) lim x x 0 g(x) = +, (resp. f(x) lim x x0 g(x) = ). 3.3 Limita v nevlastním bodě Definice 48 Bud f funkce definovaná na nějakém okolí nevlastního bodu + (resp. ). Pak řekneme, že funkce f má v nevlastním bodě + (resp. ) limitu A, jestliže ke každému okolí O(A) existuje takové okolí O(+ ) (resp. O( )), že platí x O(+ ) f(x) O(A), Píšeme (resp. x O( ) f(x) O(A)). (resp. lim f(x) = A, x + lim f(x) = A). x UTB 35
3.3 Limita v nevlastním bodě Definice 49 Bud f funkce definovaná na nějakém okolí nevlastního bodu + (resp. ). Pak řekneme, že funkce f má v nevlastním bodě + (resp. ) nevlastní limitu + (resp. ), jestliže ke každému okolí O(+ ) (resp. O( )) existuje takové okolí O(+ ) (resp. O( )), že platí x O(+ ) f(x) O(+ ), Píšeme (resp. x O( ) f(x) O( )). (resp. 3.3.1 Základní limity lim f(x) = +, x + lim f(x) = ). x 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ( lim 1 + a x = e x x) a, ( lim 1 + a x = e x x) a, sin(x) lim x 0 x tan(x) lim x 0 x ln(1 + x) lim x 0 x = 1, = 1, = 1, lim x + ax = + (a > 1), lim x ax = 0 (a > 1), lim x + ax = 0 (0 < a < 1), UTB 36
3.4 Asymptoty grafu funkce 9. 10. 11. 12. lim x ax = + (0 < a < 1), a x 1 lim x 0 x lim x + ln n (x) lim x + x k = ln(a) (a > 0), x n = 0 (k > 0, n Z), ekx = 0 (k > 0, n Z). Příklad 5 Spočtěme následující limity (k výpočtu užíváme Věty 10, 11, 12 a předchozí tabulku základních limit): 1. algebraická úprava: lim x 3 x 2 2x 3 x 3 = lim x 3 (x 3)(x+1) x 3 = lim x 3 (x+1) = 4, 2. Věta 11: bud te f(x) = x 2, g(x) = x 2 a h(x) = 0, pak zajisté f(x) h(x) g(x) a lim x 0 f(x) = lim x 0 g(x) = lim x 0 h(x) = 0, e 3. Věta 12: spočtěme limitu lim x2 1 1 ex x 1. Označme F (x) =, f(x) = x 2 1 x 2 1 x 2 1 a h(x) = ex 1. Pak F (x) = h f(x) a lim x x 1 f(x) = lim x 0 x 2 1 = 0, e lim x 0 h(x) = lim x 1 x 0 = 1. Celkově tedy, lim x x 1 F (x) = lim x 1 (h f)(x) = 1. 2 1 1 3.4 Asymptoty grafu funkce Definice 50 Přímka x = c je asymptotou bez směrnice ke grafu funkce y = f(x), jestliže existuje alespoň jedna z nevlastních limit: 1. 2. 3. lim f(x) = +, x c + lim f(x) = +, x c lim f(x) =, x c + UTB 37
3.4 Asymptoty grafu funkce 4. lim f(x) =. x c Definice 51 Přímka s rovnicí y = kx + q je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce y = f(x), jestliže platí alespoň jedna z podmínek 1. 2. lim (f(x) kx q) = 0, x + lim (f(x) kx q) = 0. x Poznámka 5 Z předchozí definice vyplývá, že přímka y = c je horizontální asymptotou ke grafu funkce y = f(x), jestliže existuje alespoň jedna z nevlastních limit: 1. 2. lim f(x) = c, x + lim f(x) = c. x Věta 16 Přímka s rovnicí y = kx + q je asymptota se směrnicí ke grafu funkce y = f(x) právě tehdy, když platí alespoň jedna z podmínek f(x) 1. lim x + x = k a lim (f(x) kx) = q, x + f(x) 2. lim x x = k a lim (f(x) kx) = q. x Příklad 6 Nalezněte asymptoty ke grafu funkce f(x) = 3x + 3 x 2. 1. Definiční obor funkce je D(f) = R \ {2}, je tedy ( třeba hledat ) asymptotu bez směrnice v bodě c = 2. Tedy lim x 2 + 3x + 3 = + a ( x 2 lim x 2 3x + 3 x 2) =. Asymptota bez směrnice je tedy x = 2. f(x) 2. Pro asymptotu se směrnicí počítejme lim x + = lim x x + (3+ 3 ) = x 2 2x 3 = k a lim x + (f(x) kx) = lim x + (3x+ 3 3x) = 0 = q. Asymptota x 2 se směrnicí je y = 3x. UTB 38
Kapitola 4 Spojitost funkce 4.1 Definice spojitosti Definice 52 Bud f funkce definovaná na okolí O(x 0 ) bodu x 0. Když ke každému okolí O(f(x 0 )) bodu f(x 0 ) existuje takové okolí O(x 0 ) bodu x 0, že platí x O(x 0 ) f(x) O(f(x 0 )), pak říkáme, že funkce f je spojitá v bodě x 0. 4.2 Základní vlastnosti spojitých funkcí Věta 17 Bud f funkce definovaná na okolí O(x 0 ) bodu x 0. Pak platí f je spojitá v bodě x 0 lim f(x) = lim x x + 0 x x 0 f(x) = lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Definice 53 Bud f funkce definovaná na pravém (resp. levém) okolí O p (x 0 ) (resp. O l (x 0 )) bodu x 0. Když ke každému pravému (resp. levému) okolí O p (f(x 0 )) (resp. O l (f(x 0 ))) bodu f(x 0 ) existuje takové pravé (resp. levé) okolí O p (x 0 ) (resp. O l (x 0 )) bodu x 0, že platí x O p (x 0 ) f(x) O p (f(x 0 )) (resp. x O l (x 0 ) f(x) O l (f(x 0 ))), pak říkáme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 zprava (resp. zleva). Věta 18 Každá elementární funkce je spojitá v každém bodě definičního oboru. Věta 19 Funkce f je spojitá v bodě x 0 právě tehdy, když je v bodě x 0 spojitá zprava i zleva.
4.2 Základní vlastnosti spojitých funkcí Věta 20 Bud te f a g spojité funkce v bodě x 0. Pak také následující funkce jsou spojité v bodě x 0 1. 2. 3. 4. f + g, f g, f g, f g, pokud g(x 0) 0. Věta 21 Bud g funkce spojitá v bodě x 0 a f funkce spojitá v bodě g(x 0 ), pak složená funkce f g je spojitá v bodě x 0. Definice 54 Funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Definice 55 Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], jestliže je spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a jestliže je v bodě a spojitá zprava a v bodě b zleva. Věta 22 (Weierstrass) Je-li funkce f spojitá na intervalu [a, b], pak na tomto intervalu nabývá svého maxima i minima. Věta 23 Je-li funkce f spojitá na intervalu [a, b], pak je na tomto intervalu ohraničená. Věta 24 Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a necht f(a) f(b). Pak pro každé číslo r takové, že f(a) < r < f(b), existuje bod c (a, b) takový, že f(c) = r. Věta 25 (Bolzano) Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a necht f(a) f(b) < 0. Pak existuje bod c (a, b) takový, že f(c) = 0. Příklad 7 Ukažme podle definice, že funkce f(x) = x 2 použijeme ekvivalentní ɛδ definice: je spojitá. K tomu f(x) je spojitá v bodě c ɛ > 0 δ > 0 : [ x c < δ f(x) f(c) < ɛ] UTB 40
4.2 Základní vlastnosti spojitých funkcí Je-li dáno ɛ > 0, pak existuje δ > 0 tak, že x 2 c 2 < ɛ pro všechna x (c δ, c + δ). Je-li δ libovolné číslo, pak pro všechna x (c δ, c + δ) platí: x c < δ (4.1) x + c = (x c) + 2c 2 c + x c < 2 c + δ (4.2) Chceme najít δ > 0 takové, aby platilo pak podle 4.3 je x 2 + c 2 = x + c x c < δ(2 c + δ) (4.3) δ(2 c + δ) ɛ (4.4) x 2 c 2 ɛ (4.5) pro všechna x (c δ, c + δ). Omezme se na hodnoty δ 1. Tedy pro všechna 2 c + δ 2 c + 1, bude-li mimo to δ(2 c + 1) ɛ, pak bude 4.4 splněno. Stačí tedy abychom zvolili δ = max{1, 1 2 c + 1 }. UTB 41
4.2 Základní vlastnosti spojitých funkcí UTB 42
Kapitola 5 Derivace funkce 5.1 Definice pojmu derivace Definice 56 Bud f funkce definovaná na okolí O(x 0 ) bodu x 0. Existuje-li limita f(x 0 + h) f(x 0 ) k t = lim, h 0 h pak přímku procházející bodem P = (x 0, f(x 0 )) se směrnicí k t nazýváme tečnou ke grafu funkce f v bodě P. Jestliže f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = ( nebo ), h 0 h pak vertikální přímku x = x 0 nazýváme tečnou ke grafu funkce f v bodě P. Jestliže f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h neexistuje a nenabývá hodnot ani, pak graf funkce f nemá tečnou přímku v bodě P. Definice 57 Bud f funkce definovaná na okolí O(x 0 ) bodu x 0. Existuje-li limita lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ), h pak ji nazýváme derivací funkce f v bodě x 0 a označujeme ji f (x 0 ). Navíc, je-li tato limita vlastní, pak mluvíme o vlastní derivaci, je-li nevlastní, pak o nevlastní derivaci.
5.2 Výpočet derivace funkce Definice 58 Bud f funkce definovaná na pravém okolí O p (x 0 ) bodu x 0. Existuje-li limita f(x 0 + h) f(x 0 ) lim, h 0 + h pak ji nazýváme derivací funkce f zprava v bodě x 0 a označujeme ji f +(x 0 ). Definice 59 Bud f funkce definovaná na levém okolí O l (x 0 ) bodu x 0. Existuje-li limita f(x 0 + h) f(x 0 ) lim, h 0 h pak ji nazýváme derivací funkce f zleva v bodě x 0 a označujeme ji f (x 0 ). Věta 26 Funkce f má v bodě x 0 derivaci právě tehdy, když existují obě jednostranné derivace v bodě x 0 a platí f (x 0 ) = f +(x 0 ). Věta 27 Má-li funkce f v bodě x 0 vlastní derivaci f (x 0 ), pak je funkce f spojitá v bodě x 0. Definice 60 Funkce f má derivaci na intervalu (a, b), když má derivaci f (x 0 ) v každém bodě x 0 (a, b). Funkce f má derivaci na intervalu [a, b], když má derivaci na intervalu (a, b) a existují f (b), f +(a). Definice 61 Bud f funkce a M = {x D(f) : f (x)}. Pak funkce f : M R definována vztahem f : x f (x) se nazývá derivace funkce f na množině M. 5.2 Výpočet derivace funkce Věta 28 Necht funkce f a g mají vlastní derivaci v bodě x 0 a bud c R. Pak platí 1. (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), 2. (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ), 3. (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + g (x 0 ) f(x 0 ), 4. (c f) (x 0 ) = c f (x 0 ), 5. ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) g (x 0 ) f(x 0 ), pokud g(x g 2 0 ) 0. (x 0 ) UTB 44
5.3 Derivace elementárních funkcí 5.3 Derivace elementárních funkcí f(x) f (x) D(f ) c 0 R x n n x n 1 R pro n N x n n x n 1 R \ {0} pro n Z n < 0 x n n x n 1 (0, ) pro n R sin(x) cos(x) R cos(x) sin(x) R tan(x) 1 cos 2 (x) {x R : cos(x) 0} cot(x) 1 sin 2 (x) {x R : sin(x) 0} arcsin(x) 1 1 x 2 ( 1, 1) arccos(x) 1 1 x 2 ( 1, 1) arctan(x) 1 1+x 2 R arccot(x) 1 1+x 2 R a x a x ln(a) R (a > 0, a 1) e x e x R log a (x) 1 x ln(a) (0, ) (a > 0, a 1) ln(x) 1 x (0, ) UTB 45
5.4 Derivace složené funkce 5.4 Derivace složené funkce Věta 29 Má-li funkce g derivaci v bodě x 0 a funkce f derivaci v bodě g(x 0 ), pak složená funkce f g má derivaci v bodě x 0, přičemž platí ((f g)(x 0 )) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). Příklad 8 Spočtěme derivaci funkce F (x) = sin 3 (2x/(x + 1)). Pak zajisté F (x) = (f g h)(x), kde h(x) = 2x/(x + 1), g(y) = sin(y) a f(z) = z 3. Podle Věty 29 máme: F (x) = df = ( ) ( ) df dg ( dh dx dz dy dx) = z=sin(2x/(x+1)) y=2x/(x+1) [3z 2 ] z=sin(2x/(x+1)) [cos(y)] y=2x/(x+1) [(2(x + 1) 2x)/(x + 1) 2 ] = 3 sin 2 (2x/(x + 1)) cos(2x/(x + 1))(2(x + 1) 2x)/(x + 1) 2. 5.5 Derivace inverzní funkce Věta 30 Necht jsou dány dvě navzájem inverzní funkce f a f 1. Necht f 1 je spojitá na intervalu J a má ve vnitřním bodě y 0 intervalu J derivaci (f 1 ) (y 0 ) 0. Pak inverzní funkce f má derivaci v bodě x 0, kde x 0 = f 1 (y 0 ) a platí f (x 0 ) = 1 (f 1 ) (y 0 ), kde y 0 = f(x 0 ). Příklad 9 Spočtěme derivaci funkce f(x) = arcsin(x) (y = arcsin x). Inverze je f 1 (y) = sin(y) (x = sin(y)). Podle Věty 30 je pak f (x) = (arcsin(x)) = 1/(sin(y)) = 1/ cos(y) = 1/ 1 sin 2 (y) = 1/ 1 x 2 pro x ( 1, 1). 5.6 Diferenciál funkce Definice 62 Předpokládejme, že existuje derivace f (x 0 ) funkce f v bodě x 0. Necht x = h je přírůstek argumentu. Funkce F (h) = f (x 0 )h proměnné h R nazýváme diferenciál funkce f v bodě x 0. Poznámka 6 Hodnoty diferenciálu označujeme jako df(x 0 ) = (df(x)) x=x0 = (dy) x0 = f (x 0 )h = f (x 0 ) x. 5.7 Derivace vyšších řádů Definice 63 Je-li f (n 1), n N, n > 1, (n 1) ní derivace funkce s definičním oborem D(f (n 1) ) a jestliže pro všechna x D(f (n) ) existuje derivace funkce f (n 1), pak funkce UTB 46
5.8 Základní věty diferenciálního počtu f (n) : x f (n) (x), kde f (n) (x) = (f (n 1) (x)) se nazývá derivace n tého řádu funkce f. Definice 64 Má-li funkce f v bodě x 0 D(f) derivace až do řádu n, říkáme, že funkce f je v bodě x 0 n krát diferencovatelná. Příklad 10 Spočtěme derivace funkce f(x) = 4x 5 x 4 + 3x 3 + 2x 5 až do řádu 5. Pak f (x) = 20x 4 4x 3 + 9x 2 + 2, f (x) = 80x 3 12x 2 + 18x, f (x) = 240x 2 24x + 18, f (IV ) (x) = 480x 24 a f (V ) (x) = 480. Definice 65 Necht funkce f je v bodě x 0 n krát diferencovatelná, n N, potom n tý diferenciál funkce f v bodě x 0 je funkce proměnné h: F (n) : x d n f(x 0 ), kde d n f(x 0 ) = f (n) (x 0 )h n. 5.8 Základní věty diferenciálního počtu Věta 31 (Fermat) Nabývá-li funkce f na D(f) v bodě x 0 maximální nebo minimální hodnotu a má-li funkce f v bodě x 0 derivaci, pak f (x 0 ) = 0. Věta 32 (Rolle) Necht funkce f splňuje následující vlastnosti: 1. je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], 2. má vlastní derivaci v každém bodě otevřeného intervalu (a, b), 3. platí f(a) = f(b). Pak existuje alespoň jeden bod c (a, b) takový, že f (c) = 0. Věta 33 (Lagrange) Necht funkce f splňuje následující vlastnosti: 1. je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], 2. má vlastní derivaci v každém bodě otevřeného intervalu (a, b). Pak existuje alespoň jeden bod c (a, b) takový, že f(b) f(a) b a = f (c). Věta 34 (Cauchy) Necht funkce f a g mají následující vlastnosti: UTB 47
5.8 Základní věty diferenciálního počtu 1. jsou spojité na uzavřeném intervalu [a, b], 2. mají vlastní derivaci v každém bodě otevřeného intervalu (a, b) a g(x) 0 pro každé x (a, b). Pak existuje alespoň jeden bod c (a, b) takový, že f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a). Věta 35 (L Hospital) Předpokládejme, že funkce f nějakém okolí bodu x 0 a platí a g mají derivace v 1. lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 nebo, 2. lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) =. f (x) Existuje-li limita (vlastní nebo nevlastní) lim x x0, pak existuje i limita g (x) f(x) lim x x0 g(x) a platí f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Příklad 11 Počítejme následující limity pomocí Věty 35: 1. limity typu 0 0 : lim x 0 ex e x sin(x) = lim x 0 e x +e x cos(x) = 2, 2. limity typu : lim x x3 +5x 2 3x = lim 2 +5 x 2 1 x 2x = lim x 6x 2 =, 3. limity typu 0 : lim x 0 + x ln x = lim ln(x) x 0 + = lim 1/x 1/x x 0 + lim x 0 + x = 0, 1/x 2 = 4. limity typu : lim x 0 +(1/ sin(x) 1/x) = lim x 0 +(x sin(x))/(x sin(x)) = lim x 0 +(1 cos(x))/(sin(x) + x cos(x)) = lim x 0 + sin(x)/(2 cos(x) x sin(x)) = 0, 5. limity typu 0 0, 0, 1, 0 : lim x 0 + x x = lim x 0 + e ln(xx ) = lim x 0 + e x ln(x) = e 0 = 1. Definice 66 Taylorovým polynomem funkce f(x) v bodě a nazýváme polynom tvaru P n (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) 2 +... + f (n) (a) (x a) n. n! UTB 48
5.8 Základní věty diferenciálního počtu Věta 36 (Taylor) Necht x, a jsou dvě různá čísla, n Z, n 0. Označme I = [a, x]. Necht funkce f má na intervalu I spojité derivace do n tého řádu a na intervalu (a, x) existuje derivace řádu (n + 1). Pak existuje bod c (a, x) takový, že platí f(x) = f(a) + f (a) 1! kde (x a) + f (a) 2! (x a) 2 +... + f (n) (a) (x a) n + R n+1 (x), n! stručně R n+1 (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n+1, f(x) = P n (x) + R n+1 (x). 5.8.1 Lineární homogenní diferenciální rovnice Definice 67 Obyčejnou diferenciální rovnicí rozumíme vztah mezi hledanou funkcí y = f(x) a jejími derivacemi y = f (x), y = f (x)... Řešením takové rovnice rozumíme takovou funkci y = f(x), že po dosazení do rovnice f(x) za y, f (x) za y... je daná rovnice identicky splněna. Poznámka 7 Snadno ověříme dosazením, že jak funkce y = e x tak funkce y = 2e x jsou řešením diferenciální rovnice y y = 0. Vidíme, že y = Ce x je řešením dané diferenciální rovnice, kde C R. Tedy, řešení není určeno jednoznačně. Množinu všech takovýchto řešení pak jednoduše nazýváme obecným řešením. Jeli zadána počáteční podmínka, tj. podmínka, kterou má rovnice splňovat, pak daná podmínka řešení určuje jednoznačně. Takovou počáteční podmínkou může být y(0) = 1, pak po dosazení do obecného řešení dostáváme konkrétní řešení y = e x (C = 1). Takové řešení, které splňuje počateční podnmínku, se nazývá partikulární. Definice 68 Lineární homogenní diferenciální rovnicí rozumíme takovou obyčejnou diferenciální rovnici, která má tvar y + ay + by = 0. (5.1) Charakteristickou rovnicí lineární homogenní diferenciální rovnice rozumíme kvadratickou rovnici se stejnými koeficienty α 2 + aα + b = 0. (5.2) UTB 49
5.9 Průběh funkce Věta 37 Necht je dána lineární homogenní diferenciální rovnice Pak její charakteristická rovnice má tvar Pak platí: y + ay + by = 0. (5.3) α 2 + aα + b = 0. (5.4) 1. má-li rovnice 5.4 dva různé reálné kořeny α 1 a α 2, pak obecným řešením rovnice 5.3 je funkce y = C 1 e α 1x + C 2 e α 2x, 2. má-li rovnice 5.4 dvojnásobný reálný kořen α, pak obecným řešením rovnice 5.3 je funkce y = C 1 e αx + C 2 xe αx, 3. má-li rovnice 5.4 komplexní kořeny α 1 = p + iq a α 2 = p iq (p, q R a q 0), pak obecným řešením rovnice 5.3 je funkce y = C 1 e px cos(qx) + C 2 e px sin(qx). Příklad 12 Řešme následující diferenciální rovnice pomocí Věty 37: dif. rovnice char. rovnice kořeny řešení y 3y + 2y = 0 α 2 3α + 2 = 0 α 1 = 1 α 2 = 2 y = C 1 e x + C 2 e 2x y 6y + 9y = 0 α 2 6α + 9 = 0 α = 3 y = C 1 e 3x + C 2 xe 3x y 2y + 2y = 0 α 2 2α + 2 = 0 α 1 = 1 + i α 2 = 1 i y = C 1 e x cos(x) + C 2 e x sin(x) 5.9 Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce f 1. Vlastnosti plynoucí z funkce f UTB 50
5.9 Průběh funkce (a) určit: definiční obor, sudost lichost, periodicita, ohraničenost (b) určit: body nespojitosti a limity v nich, limity v krajních bodech definičního oboru (c) určit: význačné body grafu, především průsečíky se souřadnicovými osami (d) určit: intervaly kladnosti a zápornosti funkčních hodnot 2. Vlastnosti plynoucí z funkce f (a) určit: ostré lokální extrémy (b) určit: intervaly monotónnosti 3. Vlastnosti plynoucí z funkce f (a) určit: inflexní body (b) určit: intervaly ryzí konvexnosti a konkávnosti 4. Určit asymptoty 5. Sestavit tabulku vlastností a načrtnout graf 5.9.1 Monotónnost funkce Věta 38 Necht je funkce f(x) na intervalu I spojitá a necht má v každém vnitřním bodě tohoto intervalu derivaci. Jestliže v každém vnitřním bodě intervalu I je f (x) > 0 rostoucí, f (x) < 0 f (x) 0 pak f(x) je na intervalu I klesající, neklesající, f (x) 0 nerostoucí. 5.9.2 Extrémy funkce Definice 69 Funkce f(x) má v bodě x 0 D(f) lokální maximum (resp. lokální minimum), jestliže existuje O(x 0 ) okolí bodu x 0, které celé leží v D(f), takové, že pro každé x z tohoto okolí platí f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )). UTB 51
5.9 Průběh funkce Jestliže pro každé x z prstencového okolí O (x 0 ) bodu x 0 platí, že f(x) < f(x 0 ) (resp. f(x) > f(x 0 )), pak hovoříme o ostrém lokálním maximu (resp. ostrém lokálním minimu) funkce f(x) v bodě x 0. Lokální minima a lokální maxima souhrnně nazýváme lokální extrémy funkce f(x). Definice 70 Funkce f(x) má v bodě x 0 D(f) globální maximum (resp. globální minimum), jestliže pro každé x z definičního oboru D(f) f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )). Jestliže pro každé x z prstencového okolí D(f) (x 0 ) bodu x 0 platí, že f(x) < f(x 0 ) (resp. f(x) > f(x 0 )), pak hovoříme o ostrém globálním maximu (resp. ostrém globálním minimu) funkce f(x) v bodě x 0. Globální minima a globální maxima souhrnně nazýváme globální extrémy funkce f(x). Věta 39 Má-li funkce f v bodě x 0 derivaci, pak f (x 0 ) = 0. lokální extrém a má v tomto bodě vlastní Definice 71 Bod x 0, ve kterém je f (x 0 ) = 0, nazýváme bod stacionární. Definice 72 Bod x 0 se nazývá singulární bod funkce f, jestliže platí: 1. bod x 0 náleží do definičního oboru funkce f, ale není bodem koncovým, a 2. f (x 0 ) neexistuje. Věta 40 Předpokládejme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 a že x 0 je bud to stacionární nebo singulární bod funkce f. Pak 1. jestliže f (x) < 0 na nějakém intervalu (x 1, x 0 ) a f (x) > 0 na nějakém intervalu (x 0, x 2 ), pak funkce f má v bodě x 0 ostré lokální mimimum. 2. jestliže f (x) > 0 na nějakém intervalu (x 1, x 0 ) a f (x) < 0 na nějakém intervalu (x 0, x 2 ), pak funkce f má v bodě x 0 ostré lokální maximum. Věta 41 Jestliže pro funkci f(x) v bodě x 0 platí f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) 0, pak funkce f(x) má v bodě x 0 ostrý lokální extrém, a to UTB 52
5.9 Průběh funkce 1. ostré lokální maximum, je-li f (x 0 ) < 0, 2. ostré lokální minimum, je-li f (x 0 ) > 0. Věta 42 Jestliže pro funkci f(x) v bodě x 0 platí f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x 0 ) 0, kde n je sudé číslo, pak funkce f(x) má v bodě x 0 ostrý lokální extrém, a to 1. ostré lokální maximum, je-li f (n) (x 0 ) < 0, 2. ostré lokální minimum, je-li f (n) (x 0 ) > 0. 5.9.3 Funkce konvexní a konkávní Definice 73 Předpokládejme, že je funkce f(x) spojitá na intervalu (a, b) a v každém bodě tohoto intervalu má derivaci. Pak říkáme, že funkce f(x) je v bodě x 0 ryze konvexní (resp. ryze konkávní), jestliže existuje prstencové okolí O (x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí f(x) (f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )) > 0, (resp. f(x) (f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )) < 0). Definice 74 Funkce f(x) je ryze konvexní (resp. ryze konkávní) na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je ryze konvexní (resp. ryze konkávní) v každém bodě tohoto intervalu. Věta 43 Necht je funkce f(x) spojitá na intervalu (a, b) a má v každém bodě tohoto intervalu druhou derivaci f (x). Jestliže pro každý bod tohoto intervalu platí f (x) > 0 (resp. f (x) < 0), pak je funkce na intervalu (a, b) ryze konvexní (resp. ryze konkávní). 5.9.4 Inflexní bod Definice 75 Bod x 0 je inflexní bod funkce f(x), existuje-li levé prstencové okolí bodu x 0 takové, že je funkce f(x) na něm ryze konvexní (resp. konkávní), a existuje-li pravé prstencové okolí bodu x 0 takové, že je funkce f(x) na něm ryze konkávní (resp. konvexní). Věta 44 Jestliže existuje f (x 0 ) a x 0 je inflexní bod funkce f(x), pak f (x 0 ) = 0. UTB 53
5.9 Průběh funkce Věta 45 Jestliže v bodě x 0 platí f (x 0 ) = 0 a funkce f (x 0 ) mění v tomto bodě x 0 znaménko, pak je x 0 inflexní bod funkce f(x). Věta 46 Má-li funkce f(x) třetí derivaci f (x) a je-li pak bod x 0 je inflexní bod funkce f(x). f (x 0 ) = 0 f (x) 0, Věta 47 Jestliže pro funkci f(x) v bodě x 0 platí f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 f (n) (x) 0, kde n je liché číslo, pak bod x 0 je inflexní bod funkce f(x). podle výše popsaného algo- Příklad 13 Vyšetřeme přůběh funkce f(x) = e x2 ritmu: 1. Vlastnosti plynoucí z funkce f (a) D(f) = R, f(x) = e x2 = e ( x)2 = f( x) je sudá, není periodická, je ohraničená a zřejmě H(f) = (0, 1], protože pro každé x D(f) je 0 < f(x) 1, (b) funkce je spojitá, limity v krajních bodech definičního oboru: lim x ± e x2 = 0, (c) průsečíky se souřadnicovými osami: e x2 = 1 právě tehdy, když x = 0, tedy f(0) = 1, (d) intervaly kladnosti a zápornosti funkčních hodnot e x2 > 0 x D(f) \ {0} e x2 < 0 e x2 = 0 2. Vlastnosti plynoucí z funkce f 2xe x2 > 0 2xe x2 < 0 x < 0 x > 0 e x2 je na intervalu I rostoucí, klesající, 2xe x2 = 0 x = 0 lok. max. UTB 54