TERMOMECHANIKA 17. Přenos tepla konvekcí

FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. TERMOMECHANIKA 17. Přenos tepla konvekcí OSNOVA 17. KAPITOLY Základní tp konvekce DR energie pro konvekci DR kontinuit DR pohbové OP pro konvekci Řešení úloh přenosu tepla konvekcí Podobnost při nucené konvekci Podobnost při přiroené konvekci Postup při aplikaci teorie podobnosti Viualiace teplotních polí 1

ZÁKLADNÍ TYPY KONVEKCE ROZLIŠUJEME KONVEKCI: Nucenou - vvoenou ventilátorem, kompresorem, větrem, čerpadlem Přiroenou - vvoenou rodílem hustot (v důsledku rodílu teplot ) g Tepelná mení vrstva příčně obtékaného válce Zdroj: Eckert, Drake 197 Měnící se konvekce Tepelná mení vrstva v okolí horiontálního válce

DR ENERGIE PRO KONVEKCI 3 Vjdeme obecné DR vedení tepla be vnitřních drojů (1. ákon termodnamik) T T T a d dt τ a a totální diferenciál dt/d dosadíme T T T T d dt τ τ Pro stacionární konvekci je 0 τ T DR energie pro stacionární konvekci be vnitřních drojů bude mít tvar T T T a T T T Teplotní pole plamene, konvekce s vnitřními droji

DR KONTINUITY - 1 Diferenciální rovnice kontinuit pro 3D proudění stlačitelných tekutin: dm dm +d Hmotnostní tok [kg.s dm -1 ] +d dm do elementu vstupující dm dm dm dm dm +d Hmotnostní tok vstupující dm d dm d Pro směr platí dm dm ρ d dm dm d d d dm d Změna hmotnostního toku [kg.s -1 ] v elementu při proudění ve směru dm dm d - Element dv = d.d.d dm d - ρ d d d 4

DR KONTINUITY - Změna hmotnostního toku [kg.s -1 ] v elementu při proudění ve směru dm Změna hmotnostního toku [kg.s -1 ] v elementu při proudění ve směru dm dm d - dm d - ρ d d d CELKOVÁ ZMĚNA HMOTNOSTNÍHO TOKU v elementu dv při proudění dm dm d - ρ ρ ρ d d d Pro celkovou měnu hmotnostního toku v elementu dv též platí DR KONTINUITY pro 3D proudění stlačitelných tekutin má tvar dm d - ρ d d d dm ρ d d d τ ρ ρ ρ ρ 0 τ 5

DR KONTINUITY - 3 Vektorový ápis DR kontinuit pro 3D proudění stlačitelných tekutin div ρ τ ρ 0 DR KONTINUITY pro D proudění stlačitelných tekutin ρ ρ Stacionární proudění plnů Stacionární proudění kapalin ρ ρ ρ 0 τ 0 0 Zdroj: Emco Klimatechnik 1997 Zdroj: Emco Klimatechnik 1997 6

DR POHYBOVÉ - 1 DR pohbové (Navier - Stokesov) Síl na element dv = d.d.(d) D laminární proudění v mení vrstvě d d Pro směr platí: mˆ dd d mˆ dd d dd d - d d d * τ * τ d d d Tlaková pd d Setrvačná d mˆ d d Nárůst setrvačných sil Setrvačná mˆ d d mˆ, ˆ m = d [kg.s -1.m - ] m ˆ mˆ p p d d d mˆ mˆ τ * d d d d d d τ* d d Třecí síla * [Pa] je tečné napětí hustot hmotnostního toku p Výsledná třecí a tlaková síla 7

DR POHYBOVÉ - 8 p - m m μ ˆ ˆ d d d p - dd d dd d m dd d m * τ ˆ ˆ V uvedené rovnici vpustíme d d d, a smkové napětí dosadíme (kde [Pa.s] je dnamická viskoita) a dostaneme * μ τ Následně vjádříme viskoitu pomocí kinematické viskoit [m.s -1 ], roepíšeme derivace součinů a můžeme psát m ˆ p - ρ m m m m ν ˆ ˆ ˆ ˆ Z dříve uvedené rovnice kontinuit platí: 0 ρ ρ 0 m m ˆ ˆ a proto také

DR POHYBOVÉ - 3 9 Po aplikaci rovnice kontinuit a po roepsání hustot hmotnostního toku obdržíme p - ρ ρ ρ ν ρ m ˆ Podělením rovnice hustotou dostaneme p ρ - 1 ν Navier - Stokesova pohbová DR pro D stacionární nucenou konvekci v laminární dnamické mení vrstvě pro směr Pro D stacionární nucenou konvekci v rovině platí: p ρ p ρ 1 1 ν ν Pro směr : Pro směr :

DR POHYBOVÉ - 4 10 NAVIER - STOKESOVY DR pro 3D laminární nestacionární konvekci Pro D stacionární nucenou konvekci g p ρ 1 ν τ g p ρ 1 ν τ g p ρ 1 ν τ Zrchlení stacionárních setrvačných sil Zrchlení nestacionárních setrvačných sil Zrchlení třecích sil - [m s -1 ] je kinematická viskoita Zrchlení tíhových sil Zrchlení tlakových sil Pro 1D stacionární nucenou konvekci

OP PRO KONVEKCI Okrajové podmínk pro konvekci jsou mnohd obdobné, jako u vedení: OP 1. druhu, Dirichletova T = konst OP. druhu, Neumannova q = konst OP 3. druhu, Netonova = konst U konvekce může též být: T 0 na povrchu desk T 1 T r r r 0 na povrchu válce T T T T Stěnové vtápění Podlahové vtápění aj. včetně PODMÍNEK PRO RYCHLOSTI Počáteční podmínk se při stacionární konvekci neuvažují. 11

ŘEŠENÍ ÚLOH PŘENOSU TEPLA KONVEKCÍ PŘENOS TEPLA KONVEKCÍ JE SLOŽITĚJŠÍ, NEŽ PŘENOS VEDENÍM Je třeba řešit současně: DR energie + kontinuit + pohbové + OP teplotních a rchlostních polí Pro řešení přestupu tepla se následně používá DR přestupu tepla METODY ŘEŠENÍ: Eaktní řešení DR pro konvekci tepla (jen pro jednoduché úloh) Přibližné řešení DR pro konvekci (předpoklad teplotních profilů ve tvaru polnomu, eponenciální funkce, Chlaení PC učebn vhodné pro mení vrstv) Numerické řešení DR pro konvekci (i složité úloh, aplikace počítačů) Eperimentální řešení přenosu tepla konvekcí včetně vužití analogových metod (přesné, složité, drahé) Teorie podobnosti pro řešení DR konvekce (nutná nalost podobného řešení vjádřeného pomocí podobnostních čísel) aj. 1

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 1 Teorie podobnosti při konvekci umožní velice jednoduše, inženýrským působem ískat roložení teplotních polí, nebo přímo součinitel přestupu tepla. Nucená konvekce u stropu místnosti Potřebná podobnostní čísla při nucené konvekci odvodíme: Z DR energie Z DR kontinuit žádné číslo Z DR pohbových Z DR přestupu tepla při řešení T T T T a ρ ρ 0 p ν 1 ρ dt α TW T - λ d W 13

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - PODOBNOSTNÍ ČÍSLO dt α T Z DR PŘESTUPU TEPLA W T - λ d W Zavedeme inde D pro dílo M pro model Zavedeme měřítko délek c L D = c L. M, L D = c L. L M, a další měřítka c D = c. M c T T D = c T. T M c D = c. M dt DR přestupu tepla pro dílo αd T W T - D D λ d Upravená rovnice pro dílo DR přestupu tepla pro model α T T c M D D W c T dt McT T W T - c λ M M c L d dtm W - M M d λ M α α λ Upravenou rovnici pro dílo podělíme rovnicí pro model a dostaneme W M M W 14

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 3 Upravená rovnice pro dílo podělená rovnicí pro model má tvar c α c T c λ c c αd LD Po dosaení α a měřítka M LM 1 dostaneme λd λm Podobný přestup tepla je pro L / stejné na modelu i díle. Tento podíl je onačován jako Nusseltovo číslo T L c αc c αdl λ D D λ L Nu 1 αm L λ M α L λ M Zdroj: Universum W. Nusselt 188-1957 [W.m - K -1 ] součinitel přestupu tepla L [m] charakteristický roměr [W.m -1 K -1 ] tepelná vodivost tekutin Zjednodušené odvoení Nusseltova čísla DR přestupu tepla Nu je beroměrné vjádření dt α T W T - λ d L W 15

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 4 PODOBNOSTNÍ ČÍSLA Z DR POHYBOVÝCH Z levé stran rovnice a prvního členu na pravé straně dostaneme Renoldsovo číslo [m.s -1 ] rchlost L [m] [m s -1 ] kinematická viskoita charakteristický roměr Z levé stran rovnice a druhého členu na pravé straně dostaneme Eulerovo číslo p [Pa] tlakový rodíl [kg.m -3 ] hustota tekutin [m. s -1 ] rchlost p ν 1 ρ L Re Eu ν Re je beroměrná rchlost Δp ρ Eu je beroměrný tlakový rodíl Zdroj: Universum O. Renolds 184-191 16

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 5 PODOBNOSTNÍ ČÍSLO Z DR ENERGETICKÉ Z levé stran rovnice a pravé stran rovnice dostaneme Pecletovo číslo [m.s -1 ] rchlost L [m] a [m s -1 ] teplotová vodivost charakteristický roměr T T T T a L Pe a Pe je poměrem přenosu tepla prouděním a vedením při konvekci Výsledk řešeni DR nebo eperimentů se vjadřují prostřednictvím KRITERIÁLNÍCH ROVNIC Obecná kriteriální rovnice Nu f Re, Eu, Pe, X, Y, Z pro nucenou konvekci X L Y L Z L Rchlost je obsažena v Re a Pe, a proto je vhodné jedno těchto kritérií vloučit. Platí: jsou beroměrné souřadnice L L ν Pe RePr a ν a 17

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 6 Je řejmé, že Renoldsovo číslo a Pecletovo číslo jsou navájem váán, tv. Prandtlovým číslem [m s -1 ] kinematická viskoita a [m.s -1 ] teplotová vodivost Pr je fikální vlastnost, jelikož je funkcí jen fikálních vlastností a le jej nalét v tabulkách. Pro pln Pr 1, Pr VZDUCHU = 0,7 Pro kapalin Pr > 1 Pro tekuté kov Pr << 1 Pr ν a Pr je měřítkem podobnosti rchlostních a teplotních polí Zdroj: Universum L. Prandtl 1875-1953 δ δ T 3 Pr Pon.: Při laminárním režimu proudění přibližně platí, takže pro Pr = 1 je tloušťka dnamické a tepelné mení vrstv T stejná = f (p), p = f () dalších úvah le vnechat Eulerovo číslo, jelikož Eu = f (Re) 18

log Nu PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 7 Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci přejde nní do tvaru: Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci pro podobné geometrické útvar má tvar Kriteriální rovnici vjadřujeme často pomocí mocninné funkce Pro stejnou tekutinu pak platí Konstant C, m, n (nebo také konstant pro jiný tp funkce) jsou výsledkem řešení DR nebo předmětem eperimentálního výkumu a le je obvkle nalét pro konkrétní geometrické útvar v literatuře. Pro laminární proudění m = 0,5 Pro turbulentní proudění m = 0,8 Nu f Nu f Re, Pr, X, Y, Z Re, Pr Nu C Re m Pr Nu C Re m n Pr = konst Pr 1 = konst log Re 19

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI - 1 Při přiroené konvekci jsou DR přestupu tepla, energetická a kontinuit stejné. Do DR pohbové je třeba definovat rchlení od vtlakových sil. Pro vtlakovou sílu na jednotku objemu G [N.m -3 ] le psát ρ G ρ ρ g ρ g ρ 1 Pro iobarický děj ideálního plnu platí = p / (rt ), = p / (rt) a pak bude G T ρ T 1 g ρ 1 T T g T Pro rchlení G [N.m -3 ] / [kg.m -3 ] od vtlakové síl platí vtah kde 1 / T = [K -1 ] je objemová rotažnost G ρ Pulní ohřev horiontální desk g γ ΔT 0

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI - Zrchlení od vtlakové síl dosadíme do DR pohbové a dostaneme p ν gγδt 1 ρ g γδt L Ar Z levé stran rovnice pohbové a posledního členu vpravo dostaneme Archimédovo číslo Při přiroené konvekci nele vužívat rchlost proudění (je velice malá), proto je třeba Ar vnásobit Re, které je rovněž obsaženo v DR pohbové Ar Re g γ ΔT L L Výsledkem je Grashofovo číslo (F. Grashof 186-1893) ν Ar vjadřuje poměr sil vtlakových a setrvačných Gr vjadřuje vtah vtlakových, třecích a setrvačných sil γ g T T Gr ν 3 L Zdroj: Universum Archimédes 87-1 př.n.l. 1

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI - 3 Obecná kriteriální rovnice pro přiroenou konvekci má tvar Nu f Re, Eu, Pe, Gr, X, Y, Po nahraení Pe čísla číslem Re a Pr (Pe = Re.Pr), po vnechání Eu čísla, které je funkce Re, po vnechání beroměrných souřadnic při řešení podobné geometrické konfigurace, a po vnechání Re čísla, které je funkcí Gr čísla (rchlost proudění je funkcí teplotního rodílu) dostaneme kriteriální rovnici pro přiroenou konvekci ve tvaru: Nu f Gr, Pr Často platí Pro stejnou tekutinu le psát Z Nu C Gr m n Pr Zdroj: Universum J.W.S. Raleigh 184-1919 Nu f Ra kde Ra je tv. Raleighovo číslo Ra Gr Pr Pon.: Konstant C, m, n le obvkle pro konkrétní geometrické útvar nalét v literatuře.

POSTUP PŘI APLIKACI TEORIE PODOBNOSTI CÍLEM POUŽITÍ TEORIE PODOBNOSTI JE URČIT Z literatur jistíme kriteriální rovnici (graf) pro daný objekt - pro danou geometrii, pro lokální či střední hodnot, pro laminární nebo turbulentní proudění, pro žádaný rosah Re nebo Gr či Ra Z literatur jistíme charakteristický roměr L a určující teplotu T*. Pr,,, = f (T*) T* = (T + T ) / nebo i T* = T, T* = T T T Nu b Ra b.b/h Interferogram teplotního pole mei deskami otopných těles Z definic vpočteme Re, Gr či Ra Z kriteriální rovnice (grafu) určíme Nu Z Nusseltova čísla vpočteme Z le počítat tepelný tok konvekcí 3

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 1 Interferogram tepelné mení vrstv v okolí vertikální desk T = konst Ioterm paralelní s povrchem Teplotní profil Interferogram teplotních polí ve vertikálních štěrbinách T 1 = konst A A Ioterm T 1 = T T 1 T Přenos tepla v řeu A-A je minimální Ioterm T 1 > T 4

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - Interferogram teplotních polí nad horiontální deskou (uprostřed a na okraji desk) Proužk jsou ioterm Teplotní profil mei deskami Ohřev horní desk Teplotní pole mei deskami Ohřev spodní desk Zdroj: Hauf 1970 Zdroj: Hauf 1970 5

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 3 Interferogram teplotních polí v okolí horiontálního válce Proužk jsou ioterm Proužk jsou místa T/ = konst Proužk jsou místa T/ = konst Součinitel přestupu tepla je největší v místech s nejhustšími iotermami u povrchu - v dolní části válce na obráku vlevo. 6

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 4 Interferogram teplotních polí v okolí vertikální desk obraující přibližně derivace teplot ve směru horiontálním a ve směru vertikálním Proužk jsou místa T/ = konst Proužk jsou místa T/ = konst 7

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 5 Teplotní pole v okolí vhřívaného válce v chladné trubce Interferogram teplotního pole žárovk Zdroj: Hauf 1970 Interferogram teplotního pole mei třemi podélně obtékanými válcovými povrch Zdroj: Uni Hannover 1977 8

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 6 Výkum teplotních polí a přenosu tepla e skořepinových forem Nálitek v klidném prostředí Nálitek v běžném prostředí Oblast krčku v klidném prostředí s aplikací moaré technik 9

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 7 Interferometrický výkum teplotních polí plamenů plnových hořáků Teplotní pole hořícího válce Ioterm v plameni plnového hořáku Zdroj: Panknin 1977 Teplotní profil v plameni hořáku 30

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 8 Interferometrický výkum teplotních polí ve vtápěných místnostech. Cílem je stanovit energetick úsporné působ vtápění, aniž b bla narušena tepelná pohoda v místech pobtu osob. Vývoj teplotního pole v místnosti při átopu pomocí stěnového vtápění Teplotní pole v místnosti při stěnovém vtápění a ochlaování protilehlé stěn 31

3 VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 9 Interferometrický výkum teplotních polí ve vtápěné cisterně. Cílem je ohřát a promíchat tekutinu tak, ab nedocháelo k jejímu amrávání v okolí odtokového otvoru v dolní části cistern. Zdroj: SVÚSS 1977. Smetrické vtápění (špatné promíchávání) Nesmetrické vtápění (lepší promíchávání)

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 10 Interferometrický výkum přestupu tepla v soustavě rotujících disků. Cílem je proměřit teplotní pole u vhřívaných rotujících disků a stanovit Nusseltovo číslo pro růná Renoldsova čísla. Teplotní pole v soustavě dvou vhřívaných rotujících disků Teplotní pole v soustavě dvou vhřívaných rotujících disků a stojícího disku (vpravo) 33

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 11 Výkum přestupu tepla vibrujícího horiontálního válce (f = 0,5 až 6 H) Gr = 14700, Re = 4,5, f = 1,8 H, A/D = 0,166 Lokální Nu čísla na spodní straně válce v ávislosti na fái pohbu = ( - *) 0 34

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 1 Základní schéma MZI LA D 1 r Z C 3 p L C 4 Z 1 C 1 C M D C 5 F Model pro výkum vtápěných prostorů Machův Zehnderův interferometr na EÚ FSI VUT v Brně 35

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 13 Další viualiační metod pro viditelňování teplotních polí v tekutinách Horiontální válec Termovie pro viualiaci teplotních polí Štěrbinová vústka Zdroj: Jedelský 005 Zdroj: Hauf 1970 Stínová metoda pro viualiaci součinitele přestupu tepla PLIF pro viualiaci teplotních polí Spra ve vduchu 36

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 14 Viualiace teplotních gradientů šlírovou metodou na TU v Budapešti Šlírogram teplotního pole v okolí konvice Šlírogram teplotního pole v okolí obličeje 37

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 15 Výkum teplotních polí ve vtápěných místnostech pomocí sítě termočlánků. Cílem je stanovit energetick úsporné působ vtápění, aniž b bla narušena tepelná pohoda v místech pobtu osob. Teplotní pole v místnosti při átopu konvektorem s přiroenou konvekcí Teplotní pole v místnosti při átopu článkovým otopným tělesem 38