Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ Auor Jazyk Haa Macholová Češia Daum vyvořeí.. Cílová skupia Supeň a yp vzděláváí Druh učebího maeriálu žáci 6 9 le gymaziálí vzděláváí vzorové příklady a příklady k procvičeí Očekávaý výsup žák ovládá využií složeého úrokováí a chápe vzah mezi složeým úrokováím a geomerickou poslouposí. Aoace maeriál je vhodý eje k výkladu a procvičováí, ale i k samosaé práci žáků, k jejich domácí přípravě, velké uplaěí ajde zejméa při přípravě žáků k maurií zkoušce
Pozámka: Při výpočech budeme používa ásledující ozačeí: počáečí (vložeý) kapiál kapiál a koci -ého úrokovacího období i úroková míra vyjádřeá deseiým číslem k zdaňovací koeficie u daň z úroku vyjádřeá v proceech délka úrokovacího období vyjádřeá ve dech poče úrokovacích období úrok po zdaěí za jedo úrokovací období úrok po zdaěí a koci -ého úrokovacího období Budeme využíva zv. ěmecký sadard E/6, což je meoda určováí délky úrokovacího období, kdy počíáme, že každý měsíc má dů, edy rok má 6 dů. V omo učebím maeriálu se budeme věova složeému úrokováí, kdy baka úroky připíše k jisiě a v dalším období plaí i úroky aké z ich. Využijeme zejméa ásledující vzahy: u k k i 6 k i 6 k i 6 k i 6 Samozřejmě v případě, že úrokovací období bude jede rok, můžeme ze vzahů zlomek 6 vyecha, proože když dosadíme za = 6, pak dosaeme zlomek 6 6. Řešeé úlohy: ) Pa Novák uložil 8 č u baky a ermíovaý vklad s ročí úrokovou mírou, %. Úrokovací období vkladu je rok. Jakou čásku (po zdaěí %) zaplaí baka pau
Novákovi a úrocích za jede rok? Pa Novák bude mí peíze uložeé v bace po dobu pěi le. Úroky baka připisuje ke vkladu. rči jeho majeek vždy a koci roku. 8 č i, k,8 6 Úrok po zdaěí za rok: k i 8,8, 6 č Majeek paa Nováka a koci jedolivých roků: po prvím roce: 9 č po druhém roce: 8 8 8,8, 8,,8 9 8,,8 8,,8,,8,,8 8,,8 6,7 č po řeím roce: 8 8,,8 8,,8,,8,8, 8,8,, č po čvrém roce: 8,8,,9 č po páém roce:, č 8,8,,9,,8, 6,7,8,, ) Pa Novák uložil 8 č u baky a ermíovaý vklad s ročí úrokovou mírou, %. Jakou čásku ašeří Pa Novák za pě le? a. Úrokovací období vkladu je měsíc. b. Úrokovací období vkladu je de. 8 č k,8 i,
a. Úrokovací období vkladu je měsíc: 6 k i 6 7,8 č 8,8, 6 6 7,8 Pa Novák za pě le ašeří při měsíčím úrokováí čásku 7,8 č. b. Úrokovací období vkladu je de: 6 8 k i 6 8,6 č 8,8, 6 8 8,6 Pa Novák za pě le ašeří při deím úrokováí čásku 7,6 č. ) Jaká by musela bý úroková míra v předchozím příkladu při úrokovacím období jede měsíc, aby pa Novák ašeřil č? k,8 8 č č 6 k i 6 Odud vyjádříme i: k i 6 k i 6 k i 6 6 i k 6 6 8 i,,8
Aby pa Novák z vložeých 8 č za pě le ušeřil č při měsíčím úrokováí a paáciproceím zdaěí úroků, musela by bý úroková míra rova přibližě,, edy, %. ) olik peěz musí paí Nová uloži, aby při ročím úročeí 8, % měla za pě le č. Přiom daň z úroků je %.? č č i,8 k,8 6 k i 6 Odud vyjádříme k i 6,8,8 768, č : Paí Nová musí uloži přibližě 7 68, č. ) Pa Lukášek si půjčil č s úrokovou mírou % a s ročím úročeím (poprvé dochází k úročeí rok od získáí půjčky), jde o složeé úročeí. a. Zakreslee do arézské sousavy souřadic prvích pě čleů poslouposi, kerá vyjadřuje závislos výše dluhu a poču le jeho rváí. b. rčee, zda je posloupos geomerická a pokud ao, zapiše prví čle a kvocie. a. Zapíšeme do abulky prvích pě čleů poslouposi, jež získáme ze vzorce: k i 6, Poče le Výše dluhu (v č) 8 76 69 89 99,8
Výše dluhu (č) 8 6 Poče le b. Ao, uvedeá posloupos je geomerická, její prví čle je 8 a kvocie je rove,. 6
Úlohy k procvičeí: ) Pa Novák vloží a začáku roku do baky č s úrokovou mírou 8 % a ročím úročeím. a. Jakou čásku by měl a vkladovém úču za jede rok, kdyby emusel plai daň z úroků? b. olik koru bude mí k dispozici za jede rok, pokud mu bude odečea daň z úroků ve výši %? c. olik koru by měl a úču po čyřech leech, kdyby emusel plai daň z úroků? d. Jakou čásku bude mí k dispozici a úču po čyřech leech, jesliže a koci každého roku mu bude odečea daň z úroků ve výši %? [a. č; b. č; c. 68, č; d. 6, č] ) Paí Dvořáková vloží a ermíovaý úče č. olik peěz a ěm bude mí po jedom roce, jesliže jí úrok ve výši 9 % baka připisuje: a. Ročě b. Čvrleě c. Měsíčě Přiom zdaěí úroků je %. [a. 76 č; b. 787, č; c. 79, č] ) Pa udra požaduje, aby se jeho vklad č zvýšil za roky a č. Přiom ukládá svůj kapiál a ermíovaý vklad a dva roky při měsíčím úročeí a paáciproceím zdaěí úroků a složeém úrokováí. Jaká by musela bý úroková míra, aby byl jeho požadavek splě? [,6] ) Půjčka č byla poskyua s úrokovou mírou %, s ročím úročeím, poprvé se úročí po roce od jejího poskyuí a jde o složeé úrokováí. a. Vypiše prvích pě čleů poslouposi, kerá vyjadřuje závislos celkového úroku a poču le rváí půjčky. b. Zjisěe, zda posloupos,,,, je geomerická. [a.,, 6, 68, 7 6, b. Neí, proože,;,6 ] ) Podikael chce a začáku roku získa od baky úvěr a jede rok s jedorázovou splaosi (po jedom roce). Baka mu abízí úvěr, % a se čvrleím úročeím (vždy a koci kaledářího čvrleí). Jde o složeé úročeí. Baka přiom poskyuje úvěry pouze v celých deseiisících koru. Podikael předpokládá, že za rok bude mí a splaceí dluhu k dispozici milioy koru. olik si může ejvýše vypůjči, aby kocem roku splail celý dluh? [ č] 7
Použié zdroje a lieraura: ODVÁRO, Oldřich.: Maemaika pro gymázia- Poslouposi a řady. vydáí. Praha: Proméheus, 99. ISBN 8-889-9-7. ODVÁRO, Oldřich. Úlohy z fiačí maemaiky pro sředí školy.. vydáí. Praha: Proméheus,. ISBN 8-796--8. PETÁOVÁ, Jidra. Maemaika: příprava k mauriě a přijímacím zkouškám a vysoké školy.. vydáí. Praha: Promeheus, 999. ISBN 8-796-99-. 8