Dodatkové říklady k ředmětu Termika a Molekulová Fyika Dr Petr Jiba II rinci termodamický a jeho alikace Pfaffovy formy a exaktní diferenciály Příklad 1: Určete která následujících 1-forem je exaktním direnciálem: (a) (b) (c) (d) (e) (3x + 2)y dx + x(x + 1) dy y tan x dx + x tan y dy y 2 (ln x + 1) dx + 2xy ln x dy y 2 (ln x + 1) dy + 2xy ln x dx x x 2 + y 2 dy y x 2 + y 2 dx Příklad 2: Dokažte že 1-forma ω 2 x 2 dy (y 2 + xy) dx není exaktní (diferenciál) ale dg (xy 2 ) 1 ω 2 již je Příklad 3: Dokažte že 1-forma ω 2 y(1 + x x 2 ) dx + x(x + 1) dy není exaktním diferenciálem Naleněte diferenciální rovnici kterou funkce g(x) musí slňovat aby dφ g(x)ω 2 byl exaktním diferenciálem Presvěčte se že g(x) e x je řešením této rovnice a určete tvar funkce φ(x y) Příklad 4: (cyklická relace ro arciální derivace) Dokažte že mei libovolnými třemi ávislými roměnnými x y latí vtah: ( ) ( ) ( ) y x 1 x x y y Předchoí rovnost latí vždy když není některá derivací nulová Hint: M uže se vám hodit fakt že ( ) x y řiadě že vtah oužijete dokažte jej ( ) 1 y x Příklad 5: Jedna možných stavových rovnic ro neideální lyn (Dietericiho rovnice) má tvar ( R ex α ) R
kde α je konstanta a R je lynová konstanta Sočtěte výray ( ) ( ) ( ) a ukažte že jejich součin je oravdu 1 Příklad 6: Dokažte že ( ) Termodynamické otenciály a Maxwellovy vtahy S ( ) S a ( ) O srávnosti výsledku se také řesvěčte oužitím Maxwellova magického čtverce Příklad 7a: S oužitím Maxwellových vtah u dokažte že ro 1 mol latí C ( 2 ) F 2 C ( 2 ) G 2 Zde F je Helmholtova volná energie a G je Gibbsova volná energie (Gibbs uv otenciál) Příklad 7b: S oužitím Maxwellových vtah u dokažte že ( ) ( ) (F/) (G/) U 2 a H 2 Zde U je vnitřní energie F je Helmholtova volná energie H je entalie a G je Gibbsova volná energie Příklad 8: Pro jistý termodynamický systém se exerimentálně jistilo že jeho Gibbsova volná energie má následující funkční ávislost (latí ro 1 mol): [ ] α G( ) R ln (R) 5/2 (α a R jsou konstanty) Dokažte že C 5 2 R Hint: M uže se vám hodit fakt že S ( ) G Termodynamika nechemických systém u + an der Waals uv lyn Příklad 9: an der Waals uv lyn je osán stavovou rovnicí (ro 1 mol) R b a 2
kde a a b jsou konstanty limitě (limita ideálního lynu) má vnitřní energie U tvar U C (lus neodstatná konstanta) Naleněte exlicitní tvar ro U( ) Hint: M uže se vám hodit relace: ( ) Příklad 10: Dokažte že ro an der Waals uv lyn C neávisí na Jakou odmínku musí slňovat aby tento výsledek latil i v jiných chemických systémech? Hint: M uže se vám hodit relace a fakt že výra (ro 1 mol) ( ) ( ( ) ) C U má být roven nule Příklad 11: Určete obecněný Mayer uv vtah ro 1 mol an der Waalsova lynu Hint: M uže se vám hodit vtah odvoený na cvičení [( ) ] ( ) U K K + a cyklická relace ro arciální derivace (vi říklad 4) ( ) ( ) Příklad 12: Určete druhý a třetí viriálový koeficient ro an der Waals uv lyn Příklad 13: Termodynamika klasického aramagnetického systému je dána stavovými roměnnými M (vektor magnetiace) H (vektor intenity magnetického ole) a Stavová rovnice je dána Curieovým ákonem (ři telotách 10 2 10 3 K a malých H ) M C H kde C je Curieova konstanta Předokládejte že vnitřní energie U M H je konstantní a infinitesimální měna ráce kterou systém vykoná na svém okolí ři infiniteimální měně dm je δw H dm následujících výraech dolňte chybějící informace (a) (b) δq (? ) dm + (? ) dh ds (? ) dm + (? ) dh (c) S(M H)? Příklad 14: Pro magnetické materiály (magnetika) le I rinci termodynamický formulovat ve tvaru ds du H dm (ro jednoduchost neuvažujeme říadnou mechanickou ráci) Zde H je vektor intenity magnetického ole a M je vektor magnetiace Dokažte že ( ) ( ) Mi S H i H H k k i
Hint: K odvoení se vám m uže hodit magnetický termodynamický otenciál: Ψ U S H M Příklad 15: Uvažujte ředchoí říklad a ředokládejte že jak M tak i H mají oue -tovou složku nenulovou takovém říadě H dm HdM kde M M a H H Pro secifický ty magnetické soli se exerimentálně jistila následující ávislost ( M(H ) M 0 [1 ex α H )] (α je materiálová konstanta) Dokažte že výší-li se iotermicky H H 0 0 do H 1 (H 1 je takové ole ři němž M dosáhne hodnoty 3 4 M 0) otom se entroie soli sníží o hodnotu M 0 (3 ln 4) 4α Příklad 16: Uvažujte 1 mol aramagnetika v němž M a H mají oue nenulové -tové složky Dokažte že ro teelnou kaacitu C H ři konstantním H a ro teelnou kaacitu C M ři konstantním M latí: C M M C H M + [ H M ] ( ) M H Použijte dále I ákon termodynamický; ds(m ) du(m ) H(M )dm a odmínku integrability ro entroii solu s Curieovým ákonem a ukažte že 0 M Tato relace je římočarou analogií obdobného tvrení ro ideální lyn (tj U neávisí na ) Použijte tyto výsledky k tomu aby jste dokáali obecněný Mayer uv vtah C H C M CH2 2 M 2 C (C je Curieova constanta) šimněte si že řadu výsledk u které jsme obdrželi ro chemické systemy le v magnetikách často ískat formální áměnou H a M Příklad 17: Diskutujte ředchoí výsledky ro dielektrika tj určete C E C P Pro dielektrika I rinci termodynamický má tvar: ds du EdP (E je intenita el ole a P je olariace) Stavová rovnice (Curie uv ákon) má tvar: P CE/ ( C je Curieova konstanta) Příklad 18: (a) Jestliže se ryžový roužek natáhne adiabaticky výší se jeho telota sníži a nebo ustane neměněná? (b) Jestliže se ryžový roužek natáhne iotermicky výší se jeho entroie sníži a nebo ustane neměněná? (c) Jestliže se ryžový roužek natáhne adiabaticky výší se jeho vnitřní energie sníži a nebo ustane neměněná? Pokuste se interretovat ískaná chování Hint: M uže se vám hodit že ro ryž latí δw kxdx (okud natahováni je ve směru osy x konstanta k se naýva koeficient elasticity) Příadné Maxwellovy relace se dají odvodit analogickým usobem jako v chemických systémech
III rinci termodamický a jeho alikace Příklad 19: Dokažte že koeficient iobarické rotažnosti β a koeficient iochorické roínavosti γ jsou rovny nule ři 0 Diskutujte tyto výsledky Hint: Pro β se se vám mohou hodit vtahy (latné ro 1 mol) C a Maxwell uv vtah ( ) Podobně ro γ C se vám mohou hodit vtahy (latné ro 1 mol) a Maxwell uv vtah ( ) Příklad 20: Dokažte že Curieho ákon ro magnetika nelatí ři 0 Hint: C tvrdí že ro homogenní iotroní magnetika je suscetibilita χ C/ (C je Curieho constanta) Dokážte nař že ( χ/) B 0 0