Pe Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakula mechaoniky, infomaiky a mezioboových sudií Teno maeiál vznikl v ámci pojeku ESF CZ..07/..00/07.047, keý je spolufinancován Evopským sociálním fondem a sáním ozpočem ČR
Úvod opakování () saika DYNAMIKA kinemaika Dynamika hmoného bodu Dynamika uhého ělesa Dynamika elasických ěles Teoie kmiání Adanz/Bombadie (Nowegian BM73) Před Galileem, Newonem: k udžení pohybu je nuná síla Newon: F dp d ( mv) = = m = kons.... F = m a d d
Úvod - opakování () F = F(), F = F(x), F = F(v) Saika algebaické ovnice F i = 0 ovnice ovnováhy Dynamika difeenciální ovnice (uhá ělesa ODR, elasická ělesa - PDR) F i = m& x pohybové ovnice Pacujeme s vekoy vhodný souřadný sysém Tanslační pohyb kaézské souřadnice Roační pohyb polání souřadnice
Úvod - opakování (3) D Alembeův pincip: Fikivní sevačná síla F sev = m a míso pohybových ovnic řeším ovnice ovnováhy jako ve saice Roační pohyb: M dl d = ( L = p.. momen hybnosi) Řešení úloh dynamiky:. Z Newonových zákonů. Ze zákona zachování enegie 3. Ze zákona zachování hybnosi Lagangeův fomalismus Hamilonovy ovnice
Příklad řešení z Newonových zákonů (D) Lano o délce L = 0 m a hmonosi m = 0 kg je volně položeno přes okaj podložky ak, že přečnívají 4 mey. V čase = 0 se dá lano vlasní íhou do pohybu (ření a jiné pasivní odpoy zanedbáváme). Za jak dlouho doazí k okaji zadní konec lana? Řešení:. Z Newonových ovnic F = m.a sesavíme pohybovou ovnici.. && g y y = 0 L. Řešení obyčejné difeenciální ovnice s konsanními koeficieny.. y = C 3. Z ovnice y( ) = L vypočíáme čas = 3.4 s ( ) g L e + C e g L
Příklad ečné a nomálové souřadnice () Na sřeše obsevaoře, keá má sféický va o poloměu = 0 m, leží koska ledu. Malým závanem věu se dá led z nulové ychlosi do pohybu. Zjisěe, ve keém mísě led odléne od povchu sřechy a bude pokačova volným pádem. Řešení:. Uvolnění pohybové ovnice v ečných a nomálových souřadnicích mg sinϕ = ma N mg cosϕ = ma. Využií známých vzahů po ečné a odsředivé zychlení při kuhovém pohybu a = ϕ&& 3. Sesavení a řešení pohybové ovnice a n n = ϕ& = ω ϕ& & g sin ϕ = 0
Příklad ečné a nomálové souřadnice (). Analyické řešení In[6]:= g =.; =.; m =.; In[7]:= esenia = DSolveB: g Sin@fi@DD fi''@d, fi@0d Degee, fi'@0d 0>, fi, F Solve:: ifun: Invese funcions ae being used by Solve, so some soluions may no be found; use Reduce fo complee soluion infomaion. à DSolve::bvfail: Fo some banches of he geneal soluion, unable o solve he condiions. à DSolve::bvfail: Fo some banches of he geneal soluion, unable o solve he condiions. à Ou[7]= 8< g Nelineání difeenciální ovnice ϕ& & sinϕ = 0 nelze řeši analyicky
Příklad ečné a nomálové souřadnice (3). Numeické řešení In[6]:= g = 9.8; = 5.; m =.; ü výpoče fi[] In[7]:= esenin = NDSolveB: g Sin@fi@DD fi''@d, fi@0d Degee, fi'@0d 0>, fi, 8, 0, 4<F@@DD Ou[7]= 8fi InepolaingFuncion@880., 4.<<, <>D< In[8]:= PloBEvaluaeB fi@d Degee 0 00 ê. eseninf, 8, 0, 4<, Fame Tue, FameLabel 8"@sD", "fi @DegD"<F Ou[8]= fi@degd 80 60 40 0 0 0 3 4 @sd
Příklad ečné a nomálové souřadnice (4) ü výpoče nomálové eakce n[] In[9]:= In[0]:= n@_d = m Ig Cos@fi@DD Hfi'@DL M ê. esenin; Plo@n@D, 8, 0, 4<, Fame Tue, FameLabel 8"@sD", "N @ND"<D Ou[0]= N @ND 0 5 0-5 -0-5 0 3 4 @sd ü Čas a míso, kde se led oddělí od sřechy In[]:= = ê. FindRoo@n@D 0, 8, 3<D Ou[]= 3.74 In[]:= fi@d ê. esenin Degee Ou[]= 48.975
Zákon zachování enegie (ZZE) m v m v F s s = ( ) ds s 443 W.. páce vnějších sil - změna (kineické) enegie sysému je ovna páci vykonané působícími silami na odpovídající dáze Pozo: skalání součin páci konají jen síly ve směu pohybu ODVOZENÍ ZZE (D) dv F = m a = m d dv F( x) dx = m dx = d m v dv ZZE = posoový inegál Newonových pohybových ovnic síla F nekoná páci
Poenciální enegie, konzevaivní síly Konzevaivní síla F = U U.. poenciální enegie x du du = dx dx D: F... F( x) dx = dx = U( x ) U( x ) x x x.. páce konzevaivních sil nezávisí na dáze, pouze na počáečním a konečném savu T + U = W, n W n.. páce nekonzevaivních sil ( T + U ) ( T + U ) = W { n 443 443 celková enegie na konci děje celková enegie na začáku děje páce vnějších nekonzevaivních sil (případně záponě vzaá disipovaná enegie)
Příklady konzevaivních sil v mechanice. Tíhová síla a poenciální enegie íhového pole U = mg h F = du dh = mg. Poenciální enegie lineání pužiny z definice lineání pužiny F = k x, k.. uhos [N/m] x W = F s = 0 ( ) ds = k x Upuž
Páce řecích sil s = 3 ( x) dx F s WT FT = 0 kons. T Pozn.: řecí síly nejsou konzevaivní (páce závisí na dáze)
Příklad 3 řešení úloh dynamiky ze ZZE Po uvolnění pužiny slačené o délku l 0 je ěleso vysřeleno vzhůu po nakloněné ovině. Součiniel smykového ření mezi ělesem a podložkou je f. Jaká bude ychlos ělesa v ve vzdálenosi L? Řešení: A. uvolnění, sesavení pohybových ovnic, řešení ODE. Možné, ale velmi pacné. B. ze zákona zachování enegie: Sav : U = k l0 + 0, T = 0 Sav : Páce řecích sil: U = ( α), T m = 0 + mgl sin v = WT FT ds = mg cos ( α) f L Enegeická bilance: ( + U ) = ( T + U ) W T kl0 = mgl sinα = ( ) + mv mgl f cos( α) v...
Zákon zachování hybnosi m v ( ) m v( ) = F( ) d 443 Impuls sil Změna hybnosi sysému mezi časy a je ovna impulsu působících sil v omo časovém inevalu ODVOZENÍ (D) dv F = m a = m d ( ) d = F m dv d d = mv m v zákon zachování hybnosi = časový inegál Newonových pohybových ovnic