Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed v bodě S = [ ; ] a má poloměr Napište obecnou rovnici kružnice, která prochází bodem K = [ ; ] a střed má v bodě S = [ ; ] Je dán bod A = [ 6; ] Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka OA, kde O je počátek kartézského systému souřadnic 5 Napište středový tvar rovnice kružnice, která má střed v průsečíku přímek p: + y = a q: + y = a prochází bodem A = [ 5; 9] 6 Zjistěte, zda rovnice a) + y + 6y =, b) Pokud ano, určete souřadnice jejího středu a poloměr y 7 Napište rovnici kružnice, která prochází body A = [ ; ], B = [ ; ], [ 5; 6] Napište rovnici kružnice, která prochází body K = [ 5; ] a [ 6; ] y = 9 Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě [ ; ] + + 6= je obecnou rovnicí kružnice C = L = a jejíž střed leží na přímce K = a dotýká se přímky m: + y 9= Napište rovnici kružnice, která se dotýká os kartézské soustavy souřadnic a prochází bodem K = [ ; ] Zjistěte vzájemnou polohu přímky p a kružnice k: a) p: y =, b) p: + y =, k: ( ) ( y ) + + = k: ( ) ( ) + + y = 5 c) p: 6+ 5y =, k: ( ) ( ) + + y = 9 Určete reálné číslo c tak, aby přímka + y+ c = byla a) sečnou, b) tečnou, c) vnější přímkou kružnice + y = Napište rovnici kružnice procházející počátkem soustavy souřadnic a průsečíky přímky y+ = s kružnicí ( ) + y = 7 Ukažte, že bod [ ; ] leží tětiva kružnice, kterou bod A půlí A = leží uvnitř kružnice + y + y+ =, a napište rovnici přímky, na níž 5 Napište rovnici tečny kružnice ( + ) + ( y ) = 5 v jejím bodě [ ; ] T = 6 Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: y = a která se dotýká přímky q: y+ 7 = v bodě T = [ ; yt ] 7 Určete souřadnice vrcholů obdélníka vepsaného do kružnice strana na přímce + y = y y + =, leží-li jedna jeho Napište rovnice tečen vedených ke kružnici + y = v jejích průsečících s přímkou y = Určete průsečík těchto tečen ( ) + ( + ) =5 [ ; 5] 9 Napište rovnici tečen ke kružnici y vedených z bodu A = Je dána kružnice ( ) ( ) kružnici, které jsou rovnoběžné s přímkou p + y+ = 5 a přímka p: y+ = Napište rovnice tečen k dané Napište rovnice tečen ke kružnici ( ) A = [ ; ] a B = [ ; ] dané kružnice + y 5 =, které jsou rovnoběžné s přímkou určenou body Je dána kružnice ( + ) + ( y ) = Napište rovnice tečen dané kružnice, které jsou kolmé na tečnu, která prochází bodem A = [ ; ] Vypočítejte průsečíky nalezených tečen s tečnou procházející daným bodem A Analytická geometrie - elipsa Napište rovnici elipsy se středem v bodě S = [ ; ], je-li velikost hlavní poloosy a velikost vedlejší poloosy Určete též souřadnice ohnisek Napište rovnici elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic, jejíž jedno ohnisko má souřadnice F = a vedlejší poloosa má velikost [ ; ]
Hlavní poloosa elipsy má délku 5, vedlejší poloosa má délku Napište rovnici této elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou y, jestliže na ní leží body [ ; ] vedlejších vrcholů této elipsy A = a B = ; 5 Určete souřadnice hlavních a Je dána elipsa 6 + 9 y+ = Určete délku hlavní a vedlejší poloosy a vypočítejte souřadnice ohnisek a hlavních vrcholů ( ) ( ) 5 Ověřte, že rovnice + y + y = je rovnicí elipsy Určete souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů a ohnisek 6 Druhé souřadnice bodů na kružnici + y = 6 byly zmenšeny na jednu třetinu původní velikosti Určete, o jakou křivku se jedná a napište její rovnici 7 Jsou dány dvě kružnice k : + y 6y 5= a k : + y 6+ y+ 9= Elipsa E je dána tak, že její ohniska leží v průsečících obou kružnic a vedlejší vrcholy leží ve středech zadaných kružnic Napište rovnici této elipsy A = a je kolmá k vektoru n = ;, a Zjistěte vzájemnou polohu přímky, která je dána bodem [ ; 6] elipsy y + = 9 9 Určete vzájemnou polohu přímky y a elipsy ( ) ( ) + = + + y = ( ) V závislosti na reálném parametru m určete vzájemnou polohu přímky m + y = a elipsy + y = 6 Napište rovnici elipsy se středem v bodě S = [ ; ], dotýkající se obou os souřadnic, jsou-li její osy rovnoběžné s osami a y V soustavě souřadnic je dána elipsa tak, že její hlavní osa splývá s osou a střed S elipsy je v počátku soustavy souřadnic Trojúhelník ADC, kde A je hlavní vrchol a D a C jsou vedlejší vrcholy elipsy, je rovnostranný Velikost hlavní poloosy elipsy je a) Napište rovnici této elipsy b) Určete souřadnice ohnisek F a G elipsy c) Rozhodněte, který z trojúhelníků FGX, kde X je libovolný bod elipsy, má největší obvod d) Rozhodněte, který z trojúhelníků FGX, kde X je libovolný bod elipsy, má největší obsah M = ; e) Napište rovnice tečny procházející bodem [ ] Jsou dány body M = [ ; ] a [ ; ] N = a přímka p určená rovnicí ( ) souřadnice všech bodů P, které leží na přímce p tak, že obvod trojúhelníka MNP je roven 6 ( ) ( ) + y = [ ; ] Napište rovnici tečny k elipse + 6 y+ = v jejím bodě A = ; ay + 5 y = Určete 5 Je dána elipsa 6 a bod A = Dokažte, že bod A leží ve vnější oblasti elipsy, a napište rovnice tečen vedených z tohoto bodu k dané elipse 6 Najděte rovnice tečen elipsy 9( ) + 6( y+ ) =, které mají směrnici rovnou 7 Elipsa je dána dvěma hlavními vrcholy V = [ a ] a V = [ a ] a vedlejším vrcholem B [ ; b] ; ; = Do této elipsy je vepsán rovnostranný trojúhelník, jehož jedna strana je rovnoběžná s osou Určete délku jeho strany Vypočítejte délku tětivy v elipse jdoucí jejím středem a svírající s hlavní poloosou elipsy úhel 5 9 V kartézské soustavě souřadnic je dána elipsa tak, že její hlavní osa splývá s osou a střed elipsy je v počátku soustavy souřadnic Hlavní poloosa má velikost 5, vedlejší poloosa má velikost Určete průsečíky tečen elipsy, jejímiž dotykovými body jsou krajní body tětiv elipsy procházejících ohnisky kolmo k hlavní ose elipsy Analytická geometrie - hyperbola Napište osovou rovnici hyperboly, jejíž hlavní poloosa má velikost, vedlejší a střed je totožný s počátkem soustavy souřadnic Napište rovnici hyperboly, která má velikost hlavní poloosy 5, výstřednost a ohniska: F = [ e;] a F = [ e ] ; Hyperbola, která je souměrná podle os kartézského systému souřadnic, prochází bodem M = 6; a velikost vedlejší poloosy je Napište její rovnici a určete souřadnice vrcholů hyperboly Napište rovnici hyperboly v osové poloze (tj střed v počátku soustavy souřadnic), u níž vzdálenosti jednoho z jejích vrcholů od ohnisek jsou rovny 9 a
5 Hlavní vrcholy elipsy mají souřadnice A = [ ; ] a [ ; ] B = a velikost její vedlejší poloosy je Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy v ohniskách elipsy a ohniska ve vrcholech elipsy 6 Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy v ohniskách a ohniska ve vrcholech elipsy ( ) ( ) y + = 5 9 7 Zjistěte souřadnice středu, vrcholů a ohnisek hyperboly 9 + 6 y = 576 Určete také její výstřednost a velikost poloos Určete velikost hlavní a vedlejší poloosy a souřadnice ohnisek hyperboly, která prochází bodem ; S = ; A = [ ], její výstřednost je a má střed v bodě [ ] 9 Zjistěte vzájemnou polohu přímky y = a hyperboly asymptotu, napište i rovnice asymptot Zjistěte vzájemnou polohu přímky y 6= a hyperboly y = 9 Zjistěte vzájemnou polohu přímky 9y = a hyperboly 6 9y = y = 6 Pokud se nejedná o Napište rovnici tečny k hyperbole 9 5 y 5 v jejím bodě T = ; yt Je dána hyperbola ( + ) ( ) = [ ] = Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem [ ; ] 9y hyperbolou společný právě jeden bod Napište rovnice tečen k hyperbole y vedených z bodu A = = 6 [ ; ] 5 Vypočtěte úhel asymptot hyperboly y = 7 Jaká je vzdálenost ohniska od asymptoty? M = a mají s 6 Najděte průsečíky asymptot hyperboly y = s kružnicí, která má střed v pravém ohnisku hyperboly a prochází počátkem soustavy souřadnic 7 Napište osovou rovnici hyperboly, která prochází bodem N = [ 5; ] a jedna z jejích asymptot má rovnici + y = Určete velikosti poloos hyperboly Je dána hyperbola 9 6y + 6+ 96y 5= Určete vzdálenost ohniska této hyperboly od její asymptoty Vypočtěte délku tětivy hyperboly, která prochází jejím ohniskem kolmo na hlavní osu hyperboly 9 Hyperbola prochází bodem M = 6; 5, je souměrná podle os soustavy souřadnic a velikost hlavní poloosy je Napište rovnice kolmic spuštěných z levého (resp horního) ohniska hyperboly na její asymptoty Bod M dělí vzdálenost mezi ohnisky hyperboly 9 6y = v poměru FM : FM = :, kde F je levé ohnisko hyperboly Bodem M je vedena přímka svírající s kladnou částí osy úhel 5 Najděte průsečíky této přímky s asymptotami hyperboly Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejímiž asymptotami jsou souřadnicové osy a která prochází bodem A = ; [ ] Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejímiž asymptotami jsou souřadnicové osy a která prochází bodem A = ; Zjistěte velikost jejích poloos a souřadnice ohnisek [ ] Napište rovnici rovnoosé hyperboly, která má střed v bodě S = [ ; ] a velikost hlavní poloosy je Určete souřadnice ohnisek Napište rovnici rovnoosé hyperboly, která má střed v bodě S = [ ; ] a jedno z ohnisek má souřadnice F = [ ; ] 5 Napište rovnici rovnoosé hyperboly, která má výstřednost, prochází bodem B = [ ; ] a jedna její asymptota je přímka = 6 Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejíž hlavní osa leží na přímce y+ =, jedna asymptota je přímka y = a prochází bodem C = [ ; 5] 7 Napište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsek přímky + y 6= vyťatý hyperbolou y = Analytická geometrie - parabola Je dána parabola = y Určete souřadnice jejího ohniska a napište rovnici její řídící přímky Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko F = [ ; ] Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = [ ; ] Napište rovnici paraboly, která má vrchol V = [ ; ], prochází bodem [ 6; ] y Určete souřadnice jejího ohniska a napište rovnici její řídící přímky B = a osu rovnoběžnou s osou
5 Napište rovnici paraboly, jejíž ohnisko má souřadnice F = [ ; ] a řídící přímka d je dána rovnicí y = 6 Napište rovnici paraboly, která má vrchol v bodě V = [ ; n ] a prochází body A = [ ; ] a [ ; 6] Určete souřadnice jejího ohniska a napište rovnici její řídící přímky 7 Napište rovnici paraboly, která a) prochází body O = [ ; ] a [ ; ] prochází body O = [ ; ] a B = [ ; ] a je souměrná podle osy y B = A = a je souměrná podle osy ; b) Sestavte rovnici geometrického místa bodů stejně vzdálených od počátku soustavy souřadnic a od přímky = Určete průsečíky této křivky s osami souřadnic 9 Napište rovnici paraboly a její řídící přímky, jestliže parabola prochází průsečíky osy prvního a třetího kvadrantu s kružnicí + y + 6 = a je souměrná podle jedné osy kartézského systému souřadnic Napište rovnici kružnice, která má střed v ohnisku paraboly y = p a která se dotýká řídící přímky paraboly Určete průsečíky paraboly a kružnice Napište rovnici paraboly a její řídící přímky, jestliže parabola prochází průsečíky přímky + y = a kružnice + y + y = a je souměrná podle osy y Zrcadlová plocha světlometu vznikla otáčením paraboly kolem její osy souměrnosti Průměr skla reflektoru je cm a hloubka reflektoru je cm V jaké vzdálenosti od vrcholu parabolického zrcadla je třeba umístit bodový zdroj dálkového světla? Určete vzájemnou polohu přímky p: 7y+ = a paraboly y Určete vzájemnou polohu přímky q: = a paraboly 5 Určete vzájemnou polohu paraboly ( ) parametru k = 6y = 9 y = a přímky p: y = k+ v závislosti na reálném 6 Parabole y = je vepsán rovnostranný trojúhelník, jehož jeden vrchol je počátek soustavy souřadnic Určete souřadnice jeho ostatních vrcholů 7 Napište rovnice tečen vedených k parabole y = z bodu A = [ ; ] Napište rovnice tečen vedených k parabole ( ) = ( y + ) bodem [ 5; ] 9 Je dána parabola ( ) ( A = [ ; 5] a B = [ ; ] A = y+ = 6 ) Napište rovnici tečny, která je rovnoběžná s přímkou určenou body Napište rovnici paraboly, která se dotýká přímky p: y 7 =, má ohnisko rovnoběžná s osou y 5 F = ; a její osa je Ohniskem paraboly ( y ) = ( + ) je vedena přímka svírající s kladnou částí osy úhel Napište rovnici této přímky a určete délku vzniklé tětivy
ŘEŠENÍ Analytická geometrie - kružnice + y = ( + ) + ( y ) =6, y y ( ) 5 ( ) + 6 + 9= ( y ) + + = ( ) + + y 5 = 5 y y + + 6 = a) sečna: P = [ ; ] = [ ; ] ; b) sečna: [ ; ] 6 a) S = [ ; ], r = ; b) není kružnice 7 ( ) ( y ) + + = 5 ( ) ( ) 9 + y 6 = 5 9 ( ) ( ) + y+ = 9 k ( ) + ( y ) =, k ( ) ( y ) : : 5 + 5 = 5 P = = ; 7 7 ; c) vnější přímka kružnice tečna: c =± 5, sečna: c ( 5; 5), vnější přímka: c 5; 5 ( ) ( y ) + + = 5 + y = 5 + y = 6 ( ) + y = 5 y 5=, y+ 5= + y =, y Analytická geometrie - elipsa + y = 6, F = ;, 5 + 6y = ( ) + + = = [ ] = [ ] ; F = ; 5 + y =, A = ; 5, B = ; 5 [ ; ] 7 A = [ ; ], B = [ ; ], C = [ 6; ], D = [ ; 6] + y+ =, + y = = [ ; ] 9 + y 7 =, + y 6= y 9=, y = ; A =, B = ; 5, C = ; 5, D = ; 5 a =, b =, F = ; + 7, F = ; 7 5 je to elipsa: [ ; ], C = [ ; ], [ ; ] 5 5 + y+ 5 =, D = ; ( ), A = [ ; ], B = [ ; 5], C = [ ; ], D = [ 6; ] S =, a = 6, b = ; F = ;, F = + ; D = ; C = [ ; ], [ ] 6 elipsa: + 9y = 6 7 ( ) ( ) 9 + 5 y+ = 5 + 9 y = 6, A = [ ; ], [ ; ] sečna: P = [ ; ] = [ ; ] 9 sečna: P = [ ; ] = [ ; ] B =, m ; - tečna; m ; ; - sečna; m ; - vnější přímka elipsy ( ) ( ) a) + y = 9; b) F = 6;, G = 6; ; c) pro libovolný bod X elipsy (vyjma bodů A a B) má trojúhelník konstantní obvod; d) jedná se o bod C nebo D; e) nelze - bod M leží uvnitř elipsy 5 P = ; + y =, y = 5 + y =, 5y 9= 6 y+ =, y+ 9= Analytická geometrie - hyperbola 9y 7 d = d = ab b + a ab a + b 9 P 5 = ;, 5 P = ; = 6 9 6y = [ ] = ; 5 = [ ; 5]
9 5y = 975 y =, A = ;, B = ; 7 a =, b = 6, ; a = 5, 9 9 tečna: [ 5; 6] 5 ( ) ( y ) 9 + + 6 = 6 9 6y = e = S = [ ; ], A = [ ; 6], B = [ ; ], F = [ ], F = [ ] b = ; F = [ ], F = [ ] 5; T = ; asymptoty: y =± 5 9 tečna: T = ; vnější přímka hyperboly = 5y =, + y 6= 9 + y+ =, y+ = P = ; 7 7 y = [ ] = ; y =, a b, ; = = F = [ ], F = [ ] ; y + =, [ 5; ] ; F =, F = [ ] ; 6 Analytická geometrie - parabola F = ; y =6 ; d: y =,5 y =9 nebo = y 9 + =, ( ) ( y ) F = ;, d: 65 y = p p + y = p = ; p, p P = ; p,5 cm = y, d: y = ; ; y =, + y+ = 5 6, 6 P = O = 6; = 6; 7 9y = 6, a =, v( F, a) = ; 9 5 6 5 y + = ( + ) y = nebo + y = 7 ( ) ( ) + y = 5 ( ) ( = y ) b = y = + 6 ( y+ ) = 6( ), [ 5; ] 7 a) y =, b) F =, d: = = y y = ( + ) ; s : P V [ ; ] P = [ ; ] = [ ; ] 9 y =, d: = ; = = ; s y: = y, d: sečna: P = [ 5;5] = [ ; 6] rovnoběžka s osou: P = ; y = 5 5 5 5 5 5 5 k ; - tečna; k ; ; 5 5 5 5 - sečna; k ; ; 5 5 - vnější přímka; k = - rovnoběžka s osou paraboly 6 A = 6;, B = 6; 9 y = 7 =, + y+ = ( ) = ( y + ) y + =, y 6= + y + = ; 6 6