Limita funkcie y 2 2 1 1 2 1 y 2 2 1 lim 3 1 1 Čo rozumieme pod blížiť sa?
Porovnanie funkcií y 2 2 1 1 y 2 1 2 2 1 lim 3 1 1 1-1+
Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu a, že pre každé číslo a, z tohto okolia je f() b < GEOMETRICKY Pozn. Nezáleží na tom, ako sa správa funkcia v bode =a, tento bod v definícii nevystupuje, iba jeho okolie.
VYTVORME PÁS Nech: 2 2 1 3 2 2 2 1 1 Hľadáme okolie, z ktorého môžme vyberať, aby sme sa od 3 nevzdialili ďalej ako o 1 2 1-1+ Dosadíme do definície: Ku každému, vieme nájsť také = /2 okolie bodu 1, že pre každé číslo 1 z tohto okolia je f() 3 <
Neeistencia limity Nedokážeme nájsť také okolie bodu c, aby všetky funkčné hodnoty pre tieto padli do pásu všetky funkčné hodnoty pre akekoľvek padnú mimo pásu Pre tento pás neeistujú vhodné
Výpočet limít úpravami Pri úpravách odstraňujeme zakázané
Nevlastná limita Funkcia má v čísle a nevlastnú limitu (- ), keď ku každému číslu K, eistuje také okolie čísla a, že pre každé a z tohto okolia je f()>k (f()<k ). K lim f a Nedokážem funkciu v danom bode ohraničiť
Funkcia má v čísle a nevlastnú limitu, keď ku každému číslu K, eistuje také okolie čísla a, že pre každé a z tohto okolia je f()>k (f()<k ). Pre ľubovolné K má platiť 1 1 2 K Dosadíme do definície: 1 1 K Funkcia má v čísle a=1 nevlastnú limitu, lebo ku každému číslu K, eistuje také okolie čísla a=1: 1 že pre každé 1 z tohto okolia je f()>k. 1 K
Limita v nevlastnom čísle Čo rozumieme pod blížiť? Funkcia má v nevlastnom bode, limitu b, ak ku každému číslu >0, eistuje také okolie (k, ) nevlastného bodu, že pre každé z tohto okolia, t.j >k platí: f()-b <. lim f b
Limita postupnosti Postupnosť funkcia s definičným oborom prirodzených číslam lim a n b n n n a b 0 0 0 : n a n0 Postupnosť má limitu b, vtedy, ak ku každému >0, eistuje určitý člen postupnosti a n0 od ktorého všetky ďalšie členy sa líšia od hodnoty b menej ako.
Zhrnutie Funkcia môže mať limitu: Konečnú, rovnú hodnote a (vlastná limita) Nekončne veľkú (nevlastná limita) Nemusí eistovať (napr. ak limita sprava sa nerovná limite zľava)
Pomocné vety Ak funkcia f, g majú v bode a limity: lim f ( ) a lim g( ) c a b lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) b c a a a lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) b c a a a f ( ) lim f( ) a b lim ak lim g( ) 0 a g( ) lim g( ) c a a
Pomocné vety Ak funkcia f, g majú v bode a limity: lim f( ) a lim g( ) a c lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) c a a a lim f ( ) g( ) lim g( ) c a a Neurčité výrazy, výpočet treba urobiť osobitne, často pomôže vhodná úprava 0,,, 0 0
Príklad, ktorý ukazuje, ako je dôležité rozumieť, čo znamená blížiť sa k bodu. Toto som si mohol dovoliť iba v prípade, že neberem do úvahy pri úpravach bod 0, inak by som delil nulov!!!!
2 2 lim 3 1
UKÁŽKY NIEKTORÝCH ČASTO POUŽÍVANÝCH LIMÍT
Jednotková kružnica s orientovaným uhlom meranie uhlov Oblúková miera veľkosť uhla sa vyjadruje dĺžkou oblúka, ktorý vytínajú ramená uhla na kružnici s jednotkovým polomerom so stredom vo vrchole uhla. y s r radiany 360 2 0 0 1rad 57 1745 A 1 radián 180 stupne
Sínus a kosínus pre malé uhly (v radiálnoch) Geometrická definícia sinusu a kosínusu sínus protiľahlá k prepone kosínus priľahlá k prepone pre oblasť malých φ: pre oblasť malých φ: 2 cos 12sin 2
Pomocná veta Zovretá funkcia Ak v okolí bodu a platí : g f h( ) a ak eistujú limity: tak eistuje tiež limita: lim g L c lim f L c lim L c
zodpovedá dĺžke oblúku
tg sin cos
lim 0 sin 1 cos sin OAB 2 1 1 2 2 2 1tg ODC 2 2 2 blúk OAC R sin lim 1 0 Všetko sú párne funkcie, nerovnosti platia pre okolie bodu 0 cos sin 1 sin cos 1 cos 0 sin 1 1 cos
Vypočítajme tan lim 0 sin m lim mn, 0 0 sin n 3 sin 2 lim 0 1 cos lim 1 0 2
EULLEROVE ČÍSLO DEFINOVANÉ CEZ LIMITU POSTUPNOSTI
n 1 n 1 1 1 1 1 yn 1 1 nn 1 n 2 n 1n 2... 3 n 1! n 2! n 3! n 1 1 1 1 nn 1n 2... n k 1... nn 1n 2... n n 1 k k! n n! n n n n 1 n n 1 n 2...2.1 a b a na b a b... b 1.2 1.2.3... n n n n 1 n 2 2 n 1 1 1 1 1 2 y n 1 11 1 1 1... n 2! n 3! n n 1 1 2 k1 1 1 2 n1 1 1... 1... 1 1... 1 k! n n n n! n n n n 1 1 1 1 1 1 2! 3! n! 2 2 2 y n 11... 11... 2 n1 Geometrický rad 2 yn Y n je monotónne rastúce s n a nepresiahne 3. Číslo ku ktorému sa približuje sa nazýva Eullerove a má hodnotu e2,718282... 3
Špecialne limity lim 1 1 e lim 0 1 1 e
Vypočítajme 0 lim ln 3 ln lim n n n 1 lim cos n 2 cot g
Nekonečne malé funkcie, ekvivalencia funkcií Pod nekonečne malou funkciou v bode = 0 rozumieme funkciu, pre ktorú: lim f( ) 0 0 Uvažujme dve funkcie 1 a 2 nekonečne malé v okolí bodu 0. Označme: 1 lim A 0 2 lim 0 1 2 A Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1 Obe funkcie môžeme v okolí bodu 0, nahrádzať jednu za druhú
Ekvivalencia nekonečne malých veličín Pod nekonečne malou funkciou v bode = 0 rozumieme funkciu, pre ktorú: lim f( ) 0 0 lim 0 1 2 A Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1 Obe funkcie môžeme v okolí bodu 0, nahrádzať jednu za druhú
Nekonečne malé funkcie, ekvivalencia funkcií Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1 Funkcie 1 a sú 2 rovnakého rádu malosti Funkcie 1 je vyššieho rádu malosti ako 2 Funkcie 1 je nižšieho rádu malosti ako 2 Funkciu sú v okolí bodu 0 ekvivalentné vzájomne nahraditeľné
Príklady ekvivalentných funkcií v okolí bodu nula 0 sin lim 1 0 sin tg lim 1 0 tg n 1 1 n lim 1 1 1 n 0 n 1 1 1 lim 1 1 1 0 1 2 2 Ukážeme, že pre R a 0: 1 1 n n 1 n n 1 n 2...2.1 a b a na b a b... b 1.2 1.2.3... n n n n 1 n 2 2 n
Ukážka využitia aproimácie 1 1 1 lim 1 1 1 0 1 2 2 0,003 2 1 2 627 625 2 625 1 25 1 25, 040 625 2 625 627 25.039968...
Ukážka využitia aproimácie V radianoch sin lim 1 sin 0 sin 0, 017444 180 180 0 sin1 0,017452...
Matematické kyvadlo l l h
mg sin F l y mg
mg sin F l Pri malých uhloch to vyzerá ako na priamke, zakrivenie kružnice sa nestihlo prejaviť mg F mgsin Zväčšenina y Nahradíme sin uhlom v oblúkovej miere: y l F mg l g l y y l
Určte, ako sa mení hustota materialu pri tepelnej rozťažnosti m m 1 t V 1 t V 0 0 1 1 lim 1 1 1 1 1 0