I. 4. l Hospitalovo pravidlo

Transkript

1 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 235 I. 4. l Hospitalovo pravidlo Věta (l Hospitalovo pravidlo). Buď 0 R. Nechť je splněna jedna z podmínek 0 f() 0 g() 0, 0 g() +. Eistuje-li (vlastní nebo nevlastní) 0 0 f () g (), pak eistuje také 0 f() g() 0 f () g (). f() g() a platí V roce 92 bylo dokázáno, že autorem tohoto pravidla je Johann I. Bernoulli ( ), jehož byl Guillaume Francois Antoine de l Hospital (66 704) žákem. Na základě poznámek z Bernoulliových přednášek vydal l Hospital v roce 696 první tištěnou učebnici diferenciálního počtu Analýza nekonečně malých veličin. Výpočet it s neurčitými výrazy pomocí l Hospitalova pravidla: 0 (f() g()) 0 f() g() + analogicky jako předchozí úprava; 0 0 f()g() 0 f() g() 0 0 ; 0 0 0, 0, f() g() e g() ln f() e (g() ln f()) předchozí případ 0 0. g() f() 0 0 ; f()g()

2 236 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (27) Vypočtěte itu l H.p

3 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 237 (28) Pro a > 0 vypočtěte itu a. a 0 0 l H.p. a ln a ln a.

4 238 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (29) Vypočtěte itu cos sin. cos 0 0 sin l H.p. sin sin + cos 0 0 l H.p. cos cos + cos sin 2.

5 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 239 (220) Vypočtěte itu cos(π) +. ( ) 2 cos(π) + 0 ( ) 2 0 l H.p. π sin(π) 0 0 2( ) l H.p. π 2 cos(π) 2 π2 2.

6 240 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (22) Následující příklad ukazuje, že ne vždy je vhodné použít l Hospitalovo pravidlo l H.p l H.p. 2 +, čímž jsme se dostali zpět k zadání. Řešení příkladu bez použití l Hospitalova pravidla vede k výsledku

7 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 24 (222) Vypočtěte itu tg 2 ln(tg ). π 4 tg 2 ln(tg ) 0 π π 4 4 l H.p. ln(tg ) tg cos 2 2 tg2 π 2 tg cos 2 π sin2 π sin 2 π 4 4 sin 2. sin2 2 2 sin cos 2

8 242 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (223) Vypočtěte itu ln( + sin ). sin 4 ln( + sin ) 0 0 sin 4 l H.p. cos +sin 4 cos

9 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 243 (224) Vypočtěte itu ( sin ) tg. π 2 ( sin ) tg 0 π π 2 2 sin cotg l H.p. sin 2 cos 0. π 2 0 0

10 244 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (225) Vypočtěte itu ( sin ). 2 ( sin ) sin 2 2 sin 0 0 l H.p. sin 2 sin + 2 cos + 2 cos 2 sin 0 0 l H.p. cos 2 cos + 4 cos 4 sin 2 sin 2 cos 6. cos 2 sin + 2 cos 0 0 l H.p.

11 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 245 (226) Vypočtěte itu ( sin ). e ( sin ) e sin (e ) sin 0 0 l H.p. e e cos e sin + (e ) cos 0 0 l H.p. e + sin e sin + e cos + e cos (e ) sin 2.

12 246 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (227) Vypočtěte itu ( + ). sin ( + ) sin 0 sin + 0 sin l H.p. cos + sin + cos 0 0 l H.p. sin + cos + cos sin 0

13 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 247 (228) Vypočtěte itu ( ) (e 2 ) ( ) ( ) ( e 2 ) (e 2 ) 2 2 (e 2 0 ) l H.p. e 2 +2 e 2 2 e (e 2 ) e 2 e 2 +2 e e e l H.p. 2 e 2 +2 e 2 +4 e 2 4 e 2 +8 e e e l H.p. 4 e 2 +8 e 2 8 e 2 +6 e e 2 +6 e e 2 6.

14 248 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (229) Vypočtěte itu ( ). ln ( ) ln + ln ( ) ln ln + ln + ln ln l H.p. 0 0 l H.p. ( + 2 )

15 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 249 (230) Vypočtěte itu ( 2 ln ). 2 ( 2 ln 2 ( ln + 2(2 ) ) 2 2 ln 0 2( 2 0 ) ln l H.p. ) ln l H.p. 4 8 ln

16 250 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (23) Vypočtěte itu ( ). ln( + ) ( ln( + ) ( + ln( + ) + + ) ± ) + + ln( + ) ln( + ) ln( + ) 0 0 l H.p. ( + ) ln( + ) l H.p.

17 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 25 (232) Vypočtěte itu ln. + ln 0 ln ( ) + + l H.p. + 2 ( ) 0. +

18 252 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (233) Vypočtěte itu (π 2 arctg ) ln. (π 2 arctg ) ln 0 π 2 arctg 0 0 l H.p. ln 2 ln ln 2 2 ln ln 2 2 ln l H.p. l H.p. 4 ln ln 4 ln l H.p

19 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 253 (234) Vypočtěte itu e. e 0 e l H.p. e 0.

20 254 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (235) Vypočtěte itu e. + + e + e 0 l H.p. + 2 e 2 e e

21 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 255 (236) Vypočtěte itu e. e e 0 l H.p. 2 e e 0. 2 e

22 256 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (237) Vypočtěte itu e e l H.p. e 2 ( )( 2) e Je vidět, že situace se zhoršila a tudy cesta nevede. Upravme tedy zadání a počítejme znovu. e 2 00 e 2 l H.p e 2 ( 2) e 2 použijeme ještě 49 l Hospitalovo pravidlo 0 50! e

23 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 257 (238) Vypočtěte itu (cos 3) 2. neboť platí ln cos 3 (cos 3) 2 e ( 2 ln cos 3) e 9 2, l H.p. 3 sin 3 cos cos 3 2 cos 3 6 sin sin 3 2 cos l H.p.

24 258 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (239) Vypočtěte itu [ ( π )] cotg 2 tg 4 +. neboť platí [ ( π )] cotg 2 tg 4 + e {cotg(2) ln[tg( π +)]} 4 e, { cotg(2) ln 2 sin(2) ln [ ( π )]} tg 4 + ( cos(2) ln π + ) 4 sin 2 ( π + ) + cos(2) 4 tg( π +) cos 4 2 ( π +) 4 2 cos l H.p..

25 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 259 (240) Vypočtěte itu. + neboť platí + e +( ln ) e, + ( ) ln + ln 0 0 l H.p. +.

26 260 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (24) Vypočtěte itu (tg ) tg 2. π 4 (tg ) tg 2 e π [tg(2) ln(tg )] 4 e, π 4 neboť platí sin(2) ln(tg ) cos 2 [tg (2) ln (tg )] π π cos(2) ln(tg ) + sin(2) tg cos 2 2 sin 2 π l H.p..

27 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 26 (242) Vypočtěte itu ( sin ) 2. neboť platí ( sin ln 2 ( sin ) cos sin 2 2 sin ) ln sin 2 e ( sin 2 ln ) e 6, l H.p. (cos ) sin sin l H.p. cos sin cos 4 sin cos sin 4 sin + 2 cos 0 0 l H.p. cos 4 cos + 2 cos 2 sin 6.

28 262 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (243) Vypočtěte itu ( arctg ). neboť platí ( arctg ln arctg ( arctg ) + 2 arctg 2 ) ln arctg e ( arctg ln ) e 0, což je ita typu 0, neboť platí 0 arctg l H.p. + 2 arctg + 2 arctg l H.p. ( + 2 ) arctg 0 ( ) arctg l H.p. 2 arctg ( ) arctg l H.p. 2 arctg arctg ( + 2 ) arctg 2 6( + 2 ) arctg

29 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 263 (244) Vypočtěte itu +(cotg )sin. neboť platí +(cotg )sin e + (sin ln cotg ), (sin ln cotg ) 0 ln cos sin + + sin ( ) sin + sin 2 cos sin2 cos + l H.p. + sin cos 2 0. sin cos sin 2 cos sin 2

30 264 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (245) Vypočtěte itu ( sin ) cos. neboť platí ( ( sin sin ln cos cos sin sin 2 sin ) cos e ( sin ln cos ) e 3, ) ln sin cos 0 0 l H.p. 0 0 l H.p. cos sin cos sin sin cos 0 0 l H.p. sin 2 + sin 2 sin cos sin 2 + sin cos l H.p. (cos ) sin sin 2 sin sin cos 2 sin cos + sin cos 2 cos cos + sin 2 cos cos cos 2 4 sin

31 I. 4. l Hospitalovo pravidlo 265 (246) Rozhodněte, zda je funkce spojitá. f() { cos 2 sin 3 Pomocí l Hospitalova pravidla dostaneme cos 2 sin 3 0 π 2 π 2 0 l H.p. 2 π 2, π,, 2 π cos 2 sin 3 2 sin 2 sin cos 2 cos 3 π 2 což znamená, že funkce f() není spojitá. 3 2,