II Polynomy S polynomy (mnohoč leny) se setkáváme jž na střední š kole a pozdě j pak v kuzu matematcké analýzy, kde se polynom chápe jako eálná funkce Zá kladnívlastnost II Defnce Nechť a 0, a,, a n jsou lbovolná eálná, esp komplení čísla, n je nezáponé celé číslo a nechť je lbovolné komplení číslo, pak výaz f = a 0 a a n n nazýváme polynomem pomě nné (s eálným, esp komplením koefcenty), výazy a k k jeho č leny, a 0 absolutním č lenem, čísla a k koefcenty, přčemžkoefcent a n nazýváme vedoucím koefcentem polynomu f Je-l vedoucí koefcent a n =, říkáme, že polynom f je nomovaný Je-l a n 0 nazýváme číslo n stupně m polynomu f Přtom přpouš tíme n = 0, takže vš echna nenulová eálná, popř komplení čísla považujeme za polynomy stupně nula Polynom, po jehožvš echny koefcenty platí a 0 = a = = a n = 0, se nazývá nulový Tomuto polynomu stupeň nepřřazujeme Je-l a n 0 a n přozené číslo, pak se ovnce a 0 a a n n = 0 nazývá algebacká ovnce stupně n Je nutné s uvě domt ozdíl mez pojmy nulový polynom (vš echny koefcenty jsou nula) a polynom stupně nula (f = a 0, kde a 0 0) Po nulový polynom a polynomy stupně nula budeme používat společ ný název konstantní polynomy, polynomy stupně budeme nazývat lneání polynomy, polynomy stupně kvadatcké polynomy a polynomy stupně kubcké polynomy Polynom lze defnovat téžjako uspořádanou n-tc f = (a 0, a,, a n ) Z této defnce přímo plyne, že dva polynomy f = (a 0, a,, a n ) a g = (b 0, b,, b n ) s jsou ovny, pávě tehdy, kdyžse ovnají vš echny odpovídající s koefcenty, tj: f = g a = b po = 0,,, n II Defnce Nechť f = a 0 a a n n a g = b 0 b b m m jsou polynomy, a n 0, b m 0, m n Pak defnujeme: souč et polynomů f g takto: f g = (a 0 b 0 ) (a b ) (a m b m ) m a m m a n n a souč n polynomů f g takto: f g = c 0 c c nm nm kde c = a b 0 a - b a 0 b, = 0,,, nm (c 0 = a 0 b 0, c = a b 0 a 0 b, c = a b 0 a b a 0 b, atd až c nm = a n b m ) Z defnce souč tu a souč nu dvou polynomů je hned patné, že souč et souč n jsou opeace, po něžplatí asocatvní a komutatvní zákon a že platí dstbutvní zákon mez sčítáním a násobením Platnost všech tří zmíně ných zákonů je bezpostředním důsledkem jejch platnost po komplení čísla II Věta Nechť f, g a h jsou polynomy, h 0 4
Pak z ovnce fh = gh plyne f = g fh = gh fh gh = 0 (f g)h = 0 h 0 a tedy f g = 0 f = g II4 Věta Nechť f je polynom stupně n a g polynom stupně m Pak estují pávě jeden polynom d a pávě jeden polynom z takové, že C platí: f = gd z, kde z je buď nulový polynom, nebo polynom stupně k < m Polynom d se nazývá podíl a polynom z zbytek dě lení polynomu f polynomem g Je-l n < m, výš e uvedený vztah platí po d = 0 a po z = f, C Nechť je n m Vedoucí č len a n n polynomu f dě líme vedoucím č lenem b m m polynomu g Dostaneme (a n /b m ) n-m = c n-m n-m Nyní učíme z = f c n-m n-m g C, kde z je buď nulový polynom nebo polynom stupně l < n a) Je-l z nulový polynom, popř je-l stupně l < m, je vě ta dokázána, neboť stačí položt z = z a d = c n-m n-m b) Je-l však z stupně l m, opakujeme postup uvedený na začátku bodu, přčemž místo polynomu f vezmeme v úvahu polynom z Tím dostaneme polynom z = z c l-m l-m g, takže platí f = (c n-m n-m c l-m l-m )g z c) Takto postupujeme dále a uvedený postup ukončíme ažkdyžpolynom z je buď nulový nebo stupně < m ( n) Pak stačí položt z = z a d = c n-m n-m c l-m l-m c 0 Nakonec zbývá dokázat, že polynomy z a d jsou uč eny jednoznač ně Předpokládejme, že tomu tak není, tj že estují ješ tě další polynomy z a d, kteé splňují dokazovaný vztah, tj že platí záoveň f = gd z, f = gd z Odeč tením obou tě chto ovnc dostaneme (d d ) g = z z Kdyby d d, měl bychom na levé staně ovnce polynom stupně k m a na pavé staně polynom stupně j < m To však je spo (jsou-l s polynomy ovné, musí mít stejný stupeň) a tedy d = d Potom gd z = gd z a tedy z = z Příklad II Polynom f = 4 dě lte polynomem g = 5
Řešení Použtím algotmu dě lení se zbytkem dostáváme: ( 4 ) : ( ) = 6 5 = d ( 4 6 9 ) 6 7 6 5 6 5 0 5 6 6 = z Je tedy 4 6 6 = 6 5 Děltel Největšíspolečný děltel II Defnce Říkáme, že polynom g 0 dě lí polynom f pávě tehdy kdyžzbytek po dělení polynomu f polynomem g je oven nule Polynom g pak nazýváme dě ltelem polynomu f a značíme g f II Věta Polynom g je dě ltelem polynomu f pávě tehdy, kdyžestuje polynom d s vlastností f = g d Dů kaz Jestlže g f, pak za d lze vzít podíl po dě lení f polynomem g Naopak, estuje-l polynom d s vlastností f = g d, pak d je jednoznač ně uč ený podíl po dě lení polynomu f polynomem g a nula je přísluš ný zbytek Tedy g f II Pomocná tvzení Z defnce děltelnost bezpostředně vyplývají následující jednoduchá, ale č asto užívaná pomocná tvzení Polynom nultého stupně je dě ltelem každého polynomu Je-l g ovno nenulové konstantě a, pak stačí zvolt d = a - f Jestlže g f, f 0, pak st g st f st f = st g st d, 0 st g a 0 st d st g st f Jestlže g f a h g, pak h f f = g d, g = h e, f = h [e d] 4 Jestlže g f, pak cg f, kde c je lbovolné nenulové číslo f = g d, f = [cg] [c - d] 6
II4 Defnce Polynom, kteý dě lí dva dané polynomy se nazývá jejch společ ným dě ltelem Podle pomocného tvzení je polynom nultého stupně společ ným děltelem lbovolných dvou polynomů Polynomy, kteé jžnemají žádného dalšího společ ného dě ltele, se nazývají nesoudě lné Z defnce vyplývá, že každé dva polynomy mají společ ného dě ltele II5 Defnce Společ ný dě ltel d polynomů g a f se nazývá jejch nejvě tším společ ným dě ltelem pávě tehdy kdyžje dě ltelný lbovolným společ ným dě ltelem polynomů g a f Symbolcky lze vlastnost nejvě tšího společ ného děltele d polynomů g a f vyjádřt takto: d f a d g, e f a e g e d Jestlže d je nejvě tší společ ný děltel polynomů g a f, pak každý polynom cd, kde c 0, je ovněžnejvě tší společ ný děltel těchto polynomů Nepá zdná množna všech nejvě tších společ ných děltelů polynomů g a f je tedy množna všech nenulových konstantních násobků jednoho (lbovolného) nejvě tšího společ ného děltele daných dvou polynomů Ten, jehož nejvyšší koefcent je oven, budeme znač t (g, f) Estuje jednoduchá metoda, kteá nám umožň uje po koneč ném poč tu mechanckých koků nejvě tší společ ný děltel dvou polynomů nalézt Tato metoda pochází od Euklda (původně byla fomulována po přozená čísla) a nazývá se Eukldů v algotmus Eukldův algotmus spočívá v opakovaném použtí dě lení se zbytkem (vz větu II4) Nechť f a g jsou nenulové polynomy Pak estují polynomy d a z tak, že f = g d z kde st z < st g g = z d z kde st z < st z z = z d z kde st z < st z z k- = z k- d k- z k- kde st z k- < st z k- z k- = z k- d k z k kde st z k < st z k- z k- = z k d k kde tedy z k označ uje poslední nenulový zbytek Vzhledem k tomu, že st g je celé nezáponé číslo a že st g > st z > st z >, musíme skuteč ně po koneč ném poč tu koků dojít ke zbytku, jehožstupeň je oven nule II6 Věta Nechť f a g jsou nenulové polynomy Pak poslední nenulový zbytek v Eukldově algotmu je nejvě tším společ ným dě ltelem polynomů f a g Ověříme, že pvek z k splňuje defnc nejvě tšího společ ného dě ltele polynomů f a g Z poslední ovnost v Eukldově algotmu plyne, že z k z k- Z předposlední ovnost plyne, že z k z k- (neboť z k z k- a z k z k ) Z předpředposlední ovnost plyne z k z k- (neboť z k z k- a z k z k- ) Takto postupujeme nahou aždostaneme z k g a nakonec z k f Nechť po polynom e platí e f a e g Z pvní ovnost v Eukldově algotmu je z = f g d, a tedy platí e z Z duhé ovnost je z = g z d, a tedy platí e z Postupujeme-l takto dolů, dostaneme nakonec, že e z k Použív áme-l Eukldův algotmus pouze k výpoč tu nejvě tšího společ ného děltele dvou polynomů, pak pacujeme jenom se zbytky povádě ných dělení, přčemž je zřejmě jedno, zda k výpoč tu použjeme daný zbytek nebo lbovolný jeho nenulový konstantní 7
násobek Z důkazu vě ty II4 plyne, že pak můžeme v kteémkol koku kteéhokolv dě lení v Eukldově algotmu násobt kteýkolv z polynomů lbovolným nenulovým číslem Tímto se můžeme př paktckých výpoč tech č asto vyhnout zlomkům, kteé by komplkovaly výpoč et Příklad II Nalezně te nejvě tší společ ný dě ltel polynomů f = 4 4 a g = 0 Řešení: ( 4 4 ) : ( 0 ), 4 9 9 ( 4 0 ) 5 9 9 5 7 7 ( 0 ) 5 5 0 5 6 ( 0 ) : ( 5 6), 5 ( 5 8) 5 6 ( 5 5 0) 9 7 ( 5 6) : ( ), ( ) 6 ( 6) 0 Tedy: polynom je nejvě tším společ ným dě ltelem polynomů f a g Kořeny polynomu II Defnce Reálné, popř komplení číslo c nazveme kořen polynomu f, pávě tehdy kdyžf(c) = 0 Kořen polynomu f je také kořenem algebacké ovnce f = 0 Znamená to, že číslo c vyhovuje algebacké ovnc a 0 a a n n = 0, tj že platí a 0 a c a n c n = 0 V nejjednodušších případech z předchozí defnce vyplývá, že: kořenem nulového polynomu je každé eálné, esp komplení číslo polynom stupně 0 nemá žádný kořen polynom stupně (f = a a 0 ) má pávě jeden kořen Polynomy, esp algebacké ovnce, vyšších stupňů obecně kořen mít mohou, ale nemusí Záleží na tom, zda kořeny hledáme v obou kompleních nebo eálných čísel Hledání kořenů daného polynomu, esp hledání kořenů algebacké ovnce, je jedním ze 8
základních poblémů celé algeby Obecně však neestuje žádný algotmus, kteý by umožň oval přesně uč t vš echny kořeny daného polynomu, esp algebacké ovnce Dále se budeme zabývat vlastnostm kořenů polynomu f, obdobná tvzení platí po kořeny algebacké ovnce f = 0 Vyplývá to z defnce II II Bé zoutova věta Číslo c je kořenem polynomu f stupně n pávě tehdy když C platí f = ( c) g, kde g je polynom stupně n s vedoucím koefcentem b n- = a n Dů kaz Je-l f = ( c) g, dostaneme po = c vztah f(c) = 0 g(c) = 0, cožznamená, že c je kořenem polynomu f Nechť = c je kořenem polynomu f, takže f(c) = 0 Pak f = f f(c) = a 0 a a n n (a 0 a c a n c n ) = = a ( c) a ( c ) a n ( n c n ) = ( c) g, kde g je polynom stupně n s vedoucím koefcentem b n- = a n 0 II Defnce Je-l číslo c kořenem polynomu, potom lneání polynom -c nazýváme kořenovým č ntelem polynomu f Číslo c se nazývá k-násobným kořenem polynomu f, jestlže (-c) k dě lí polynom f a (-c) k nedě lí polynom f Je-l k =, říkáme, že kořen c je jednoduchý II4 Věta Číslo c je k-násobným kořenem polynomu f pávě tehdy kdyžestuje polynom h tak, že f = (-c) k h a h(c) 0 Dů kaz plyne přímo z defnce II : nechť f = (-c) k h a h(c) 0 Pak (-c) k dě lí f Jestlže (-c) k dě lí f, potom f = (-c) k g po dosazení (-c) k h = (-c) k g po vykácení h = (-c) g a tedy h(c) = 0, cožje spo Poto (-c) k nedě lí f, tzn c je k-násobným kořenem polynomu f V celé řadě paktckých úloh potřebujeme velm č asto daný polynom dě lt polynomem -c Například: př výpoč tu hodnoty f(c) př ověřování, zda c je kořen polynomu f př zjšťování násobnost kořene c Využív áme toho, že hodnota f(c) je ovna zbytku po dě lení polynomu f polynomem -c Dě lení polynomu f polynomem -c lze paktcky okamžtě povést pomocí algotmu nazývaného Honeovo sché ma, kteý s nyní odvodíme Nechť f = a 0 a a n n je polynom stupně n a c je lbovolné číslo Pak f = (-c) g, kde je konstantní polynom, = f(c) Stupeň g je n-, tzn g je polynom tvau g = b 0 b b n- n- Po dosazení: a 0 a a n n = (-c) (b 0 b b n- n- ) Poovnáním koefcentů u stejných mocnn dostáváme: 9
a n = b n- b n- = a n a n- = b n- c b n- b n- = c b n- a n- a = b 0 - c b b 0 = c b a a 0 = - c b 0 f(c) = = c b 0 a 0 Vdíme tedy, že koefcenty podílu g zbytek = f(c) lze velm jednoduš e vypočítat V pa budeme používat přehlednou tabulku (schéma): a n a n- a a a 0 c a n c b n- a n- c b a c b a c b 0 a 0 b n- b n- b b 0 = f(c) V honím řádku tabulky jsou vepsány vš echny koefcenty polynomu f vč etně případných nul! Ve spodním řádku postupně vypočítáváme koefcenty podílu g a zbytek = f(c) Příklad II Je dán polynom f = 6 6 5 9 4 8 4 6 Dokažte, že c = je kořenem polynomu f a uč ete násobnost tohoto kořene Řešení: Opakovaně povádíme dělení polynomem tolkát, aždojdeme k nenulovému zbytku Potom celkový poč et nulových zbytků v povedených děleních nám udává hledanou násobnost kořene c = Paktcky postupujeme tak, že opakovaně použív áme Honeovo schéma po c = na pávě získaný řádek 6 9 8 4 0 6 4 0 4 8 0 4 4 0 0 0 0 4 9 Vdíme, že číslo je 4-násobným kořenem polynomu f II5 Základní věta algeby Každý polynom f stupně n má alespoň jeden komplení kořen (tj buď eálný, nebo magnání) Dů kaz přesahuje možnost tohoto úvodního kuzu algeby Poznamenejme pouze, že větu popvé dokázal v 799 Cal Fedch Gauss (777 855), a to š est ůzným způsoby, třebaže se o její důkaz maně pokouš el mnozí matematc před ním II6 D Álembetova věta Počítáme-l každý k-násobný kořen za k kořenů, má polynom f stupně n pávě n kompleních kořenů Označíme-l tyto kořeny c, c,, c n, je možné polynom f ozložt na tva f = a n ( c )( c ) ( c n ) 0
Dů kaz Tato vě ta je důsledkem základní vě ty algeby a Bézoutovy vě ty Podle základní vě ty algeby má polynom f alespoň jeden kořen Označíme jej c Podle Bézoutovy vě ty je f = ( c ) f, kde f je polynom stupně n- (s vedoucím koefcentem b n- = a n ) Podobně polynom f (pokud je jeho stupeň n- ) má alespoň jeden kořen Označíme jej c a podle Bézoutovy vě ty platí f = ( c ) f nebol f = ( c ) ( c ) f, kde f je polynom stupně n- (s vedoucím koefcentem b n- = a n ) Je-l n- a postupujemel takto dále, dostaneme nakonec vztah f = ( c )( c ) ( c n ) f n, kde f n je polynom stupně n-n = 0 s vedoucím koefcentem b 0 = a n 0 II7 Defnce Ř ekneme, že polynom f (st f ) je educblní (ozložtelný) pávě tehdy kdyžestují polynomy g, h (st g, st h ) takové, že f = gh Jnak je polynom f educblní (neozložtelný) Polynomy g a h nazýváme faktoy II8 Poznámka Zřejmě platí: Lneání polynom f = a a 0 = a (-c) (kde c je kořen) je educblní Polynom f = a a a 0 = a (-c )(-c ) je educblní, stejně jako je educblní každý polynom vyššího stupně než Takový polynom lze podle D Álembetovy věty ozložt na tva f = a n ( c )( c ) ( c n ) 4 Hledá níkořenů polynomů stupněnžšího než 5 a) Polynomy stupně a : Hledání kořenů polynomů stupně je tvální záležtost Žác se je učí najít jžna základní š kole Na střední š kole se hledají kořeny polynomu stupně (řešení kvadatcké ovnce) Pomocí dskmnantu se uč uje, zda má daná ovnce 0, nebo eálné kořeny Pozdě j se počítají kořeny magnání Poto se výpoč tem kořenů polynomů stupně a nebudeme zabývat a budeme tuto poblematku považovat za známou b) Polynomy stupně: Rovněžpo polynomy stupně estují vzoce po přímý výpoč et kořenů Tyto vzoce se nazývají Cadanovy vzoce a jsou samozřejmě podstatně složtě jší nežvzoce po výpoč et kořenů kvadatckého polynomu Obecnou kubckou ovnc ay by cy d = 0 s eálným koefcenty a 0, b, c, d převedeme na tzv edukovanou nomovanou kubckou ovnc p q = 0 s eálným koefcenty b substtucí y = a dě lením koefcentem a a Na pvní pohled by se mohlo zdát, že Cadanovy vzoce jsou stejně efektvním nástojem po výpoč et kořenů kubcké ovnce, jako byly vzoce po výpoč et kořenů kvadatcké ovnce Př blžším zkoumání však bzy zjstíme, že význam Cadanových vzoců je především teoetcký a jejch užteč nost př paktckých výpoč tech je č asto velm poblematcká Často aconální kořen bývá vyjádřen ve složtém aconálním tvau Tak např ovnce 8 = 0 má zřejmě kořen c = Cadanovy vzoce jej vyjadřují ve složtém tvau c = 9 80 9 80
Z paktckého hledska bývá užteč ně jší (má-l kubcká ovnce celočíselné koefcenty) použít vě ty II7 o aconálních kořenech c) Polynomy stupně4: Také po polynomy stupně 4 estují vzoce po přímý výpoč et kořenů z jeho koefcentů Vš echny tyto vzoce byly známy užv 6 století Dlouhou dobu se potom matematkové snažl nalézt podobné vzoce po kořeny polynomů stupně 5 Tepve v pvní polovně 9 století bylo dokázáno, že takové vzoce (využívající sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocňování) po polynomy stupně vě tšího nežč tyř neestují 5 Vztahy mez kořeny a koefcenty II4 Věta Nechť f = a n n a n- n- a a a 0 je polynom, kteý má kořeny c,, c n Pak platí: a n- /a n = (c c c n ) a n- /a n = c c c c c n- c n a n- /a n = (c c c c c c 4 c n- c n- c n ) a 0 /a n = ( ) n (c c c n ) Polynom f = a n n a n- n- a a a 0, kteý má kořeny c,, c n lze ozložt na tva f = a n ( c )( c ) ( c n ) Tedy: a n n a n- n- a a a 0 = a n ( c )( c ) ( c n ) Jestlže na pavé staně vynásobíme kořenové faktoy a poovnáme koefcenty u stejných mocnn k na obou stanách této ovnce, dostáváme hned tvzení vě ty Vztahy mez kořeny a koefcenty mají nejvě tší využtí př řeš ení kvadatcké ovnce a a a 0 = 0, esp p q = 0 V tomto případě platí: (c c ) = a /a = p a c c = a 0 /a = q II5 Poznámka: Tyto vztahy odvodl okolo 600 fancouzský matematk Fanços Vète Poto se vztahy mez kořeny a koefcenty č asto nazývají Vètovy vzoce Přísluš né dílo vš ak bylo uveřejně no ažpo smt autoa 6 Jednoduché typy algebacký ch ovnc a) Rozklad na kořenové faktoy pomocívytý ká ní: Příklad II4 Najdě te kořeny polynomu 6 Řešení: 6 = ( ) ( ) = ( )( ) = = ( )( )( ) Polynom má kořeny c =, c = a c =
b) Metoda neučtý ch součntelů: Příklad II5 Najdě te kořeny polynomu 4 4 Řešení: Polynom s eálným koefcenty lchého stupně musí mít alespoň jeden eálný kořen c Tedy: 4 4 = ( c)( p q), po oznásobení: 4 4 = (p c) (q cp) cq Poovnáme-l koefcenty u stejných mocnn dostaneme soustavu ovnc: p c = 4 p = c 4 q cp = 0 q = cp cq = 4 4 = cq = c p = c (c 4) c = p = 6, q = A tedy platí 4 4 = ( )( 6 ) Polynom má kořeny c =, c = a c = c) Bnomcké ovnce: Bnomcká ovnce má tva n a = 0, kde a je nenulové komplení číslo Ř eš t j lze dvě ma metodam: algebacky (ozkladem na kořenové faktoy) a gonometcky (převedením na výpoč et n-té odmocnny z kompleního čísla) Pvní způsob lze povést v jednodušších případech, kdy se nám podaří ozklad povést, duhý způsob je možný vždy Př pác s bnomckou ovncí je výhodné vyjádřt komplení číslo a = (a, a ) v gonometckém tvau: a = a (cosα snα), kde a = platí vztahy: cosα = a a, snα = a a, 0 α < π a a a po ampltudu α Bnomcká ovnce n a = 0 má pávě n ůzných kompleních kořenů tvau: α kπ α kπ c = n k a cos sn po k = 0,,, n n n kde symbol n a značí kladnou eálnou odmocnnu z čísla a, kteá je jednoznač ně uč ená Příklad II6 Najdě te kořeny bnomcké ovnce 6 = 0 Řešení: Zde je a = = a α = π = 80 Tedy: = ( cos0 sn 0 ) c = 0 ( cos90 sn ) c = 90 = ( cos50 sn ) c = 50 = ( cos 0 sn ) c = 0 = ( cos 70 sn ) c = 70 = 4
( cos 0 sn ) c = 0 = 5 Daná bnomcká ovnce má kořeny ±, ( ± ), ( ± ) d) Tnomcké ovnce: Ř eš ení tnomckých ovnc tvau a n b n c = 0 povádíme pomocí substtuce n = y, čímž dostaneme kvadatckou ovnc ay by c = 0 Označíme-l její kořeny y = A a y = B, přejde daná tnomcká ovnce ve dvě bnomcké ovnce tvau n A = 0, n B = 0 Příklad II7 Najdě te kořeny tnomcké ovnce 6 5 6 = 0 Řešení: Položme = y Tím přejde daná ovnce na kvadatckou ovnc y 5y 6 = 0 Její kořeny jsou y = a y = Zbývá poto ješ tě vyřeš t bnomcké ovnce = a = a) Rovnce = má kořeny =, = ( ), = ( ) b) Rovnce = má kořeny 4 =, 5 = ( ), 6 = ( ) Daná tnomcká ovnce má tedy š est kořenů,,, 4, 5, 6 e) Recpoké ovnce: Algebacká ovnce a n n a n- n- a a 0 = 0, kde a n 0, se nazývá: ecpoká ovnce duhu, jestlže a n- = a po = 0,,, n ecpoká ovnce duhu, jestlže a n- = a po = 0,,, n Např: 4 ( ) ( ) = 0 je ecpoká ovnce duhu 5 4 5 = 0 je ecpoká ovnce duhu (postřední koefcent u ecpokých ovnc duhu sudého stupně je vždy 0) Nula není nkdy kořenem žád n é ecpoké ovnce Dále má-l ecpoká ovnce kořen c, pak musí mít také kořen c Recpoká ovnce duhu, lchého stupně má vždy kořen c = Po jejím vydě lení polynomem obdžíme ecpokou ovnc duhu, sudého stupně Recpoká ovnce duhu má vždy kořen c = Po jejím vydě lení polynomem obdžíme ecpokou ovnc duhu Př studu ecpokých ovnc se tedy můžeme omezt na řeš ení ecpokých ovnc duhu, sudého stupně Příklad II8 Ř eš me ovnc 6 6 5 5 44 4 44 5 6 = 0 4
Řešení: Jedná se o ecpokou ovnc duhu Poto má kořen c = Po vydě lení kořenovým č ntelem dostaneme ovnc 6 5 4 6 = 0, cožje ecpoká ovnce duhu, lchého stupně Ta má kořen c = Po vydě lení kořenovým č ntelem dostaneme ovnc 6 4 5 8 5 6 = 0 Toto dě lení lze povést pomoc Honeova schématu: 6 5 44 0 44 5 6 6 6 0 6 5 8 5 6 0 Rovnc vydě líme a upavíme na tva: 6( - ) 5( - ) 8 = 0 Nyní použjeme substtuc y = -, y = - 6(y ) 5y 8 = 0 6y 5y 50 = 0 5 0 Kořeny této ovnce jsou y = a y = Zbývá tedy vyřešt dvě ovnce: 5 = nebol 5 = 0, kteá má kořeny = a = 0 = nebol 0 = 0, kteá má kořeny = a 4 = Daná ecpoká ovnce má tedy kořeny =, =, = a 4 = 7 Polynomy s aconá lním a celý m koefcenty Nyní budeme hledat kořeny polynomů, s nmžse v pa nejč astě j setkáme, tzn polynomů s aconálním a celým koefcenty Podívejme se nyní opě t na vě tu II4 (dě lení polynomů se zbytkem) Budou-l f a g polynomy s aconálním koefcenty, g 0, budou podíl d a zbytek z polynomy s aconálním koefcenty Podobně jestlže polynomy f a g jsou polynomy s celočíselným koefcenty, g 0 a vedoucí koefcent g je oven ±, jsou podíl d a zbytek z téžpolynomy s celočíselným koefcenty Ke každému polynomu f s aconálním koefcenty zřejmě estuje celé číslo z a polynom s celočíselným koefcenty tak, že f* = z f (za číslo z stačí vzít např nejmenší společ ný násobek jmenovatelů všech koefcentů polynomu f) Polynomy f* a f mají stejné aconální kořeny Vdíme tedy, že př hledání aconálních kořenů polynomů s aconálním koefcenty se můžeme omezt pouze na polynomy s celočíselným koefcenty Zabývejme se tedy hledáním aconálních kořenů polynomů s celočíselným koefcenty Jestlže nula je k-násobným kořenem polynomu g s celočíselným koefcenty, pak se polynom g dá napsat ve tvau g = k (a n n a n- n- a a a 0 ), kde a 0 0 přč emžpolynom v závoce má zřejmě stejné nenulové aconální koefcenty jako původní polynom g Stačí nám tedy, abychom se zabýval hledáním nenulových aconálních kořenů polynomů s celoč íselným koefcenty, jejchžabsolutní č len je ůzný od nuly 5
II7 Věta Nechť aconální číslo s (kde, s jsou nesoudě lná) je kořenem polynomu f, f = a n n a n- n- a a a 0, kde a Z a a 0 0 Pak platí: a 0 a s a n Po dosazení kořene s do algebacké ovnce dostáváme: n n a n a n n- a n a 0 = 0 s s s Odtud po vynásobení číslem s n dostáváme: a n n a n- n- s a s n- a 0 s n = 0 Tuto ovnc nyní upavíme dvojím způsobem: a 0 s n = ( a n n- a n- n- s a s n- ) Cožznamená, že a 0 s n Podle předpokladu jsou, s jsou nesoudě lná a musí tedy platt a 0 a n n = s( a n- n- a s n- a 0 s n- ) Tudížs a n n Ale, s jsou nesoudě lná, a tedy s a n II7 Dů sledek Nechť celé číslo z je kořenem polynomu z vě ty II7 Pak platí z a 0 Tvzení plyne z předchozí vě ty, neboť z = z Paktcký výpoč et aconálních kořenů polynomu f z věty II7 spočívá v tom, že vypíš eme vš echna možná aconální čísla s (kde, s jsou nesoudě lná), splňující podmínky a 0 a s a n a vybeeme z nch (nejlépe pomocí Honeova schématu) ta čísla, kteá jsou kořenem daného polynomu Čísel s je koneč ně mnoho, přesto však může být uvedená metoda velm pacná Následující vě ta nám umožní snížt poč et vyš etřovaných čísel s II7 Věta Nechť aconální číslo s (kde, s jsou nesoudě lná) je kořenem polynomu f s celočíselným koefcenty Potom po lbovolné celé číslo m platí: ( ms) f(m) Specálně tedy: ( s) f(), esp ( s) f( ) Vydě lme daný polynom f = a n n a n- n- a a 0 (kde a Z) polynomem ( m) Dostaneme f = ( m) g f(m), kde g = b n- n- b b 0 má celočíselné koefcenty 6
Potom: n f = 0 = m (b n- n s s s b s b 0 ) f(m) odkud po vynásobení číslem s n a úpavě dostáváme: s n f(m) = ( ms)( b n- n- b s n- b 0 s n- ) Obě závoky jsou celá čísla, tzn ( ms) s n f(m) Ale ( ms) a s n jsou nesoudě lná (neboť jnak estuje pvočíslo p tak, že p ( ms) a p s n p s p ( ms) ms = Pak ale, s nejsou nesoudě lná spo) A tedy ( ms) f(m) Příklad II9 Nalezně te vš echny aconální kořeny polynomu g = 5 4 Řešení: Nejpve vytkneme a vynásobíme číslem : g = ( 6 4) Vdíme, že nula je dvojnásobným kořenem polynomu g Zbývající (nenulové) kořeny získáme vyš etřováním aconálních kořenů polynomu f = 6 4 Je-l s (kde, s jsou nesoudě lná) kořenem polynomu f (a tedy polynomu g), pak podle vě ty II7: 4 =,,,, 4, 4 s s =, (u jednoho z čísel, s stačí uvažovat pouze kladné dě ltele!) Dále vypíš eme všechny možné hodnoty s, kde, s jsou nesoudě lná a pod ně hodnoty s a s Podle vě ty II8 musí platt: ( s) f() = 7, esp (s) f( ) = 9 Vyš ktáme tedy vš echny zlomky s po něž(s) nedě lí 9 a ( s) nedě lí 7 Dostaneme: 4 4 = s s = 0 5 dě lí 9? s = 0 5 dě lí 7? Vdíme, že z původních osm hodnot s nám zbývají k ověření pouze dvě, a to a Ověření, zda se jedná o kořeny polynomu f povedeme Honeovým schématem, pomocí ně hožzjstíme, že je kořen a není Dohomady tedy dostáváme, že aconální kořeny polynomu g jsou čísla 0 a 8 Devace polynomu Tayloův ozvoj II5 Defnce Nechť f = a n n a n- n- a a a 0 je polynom Devací polynomu f pak nazýváme polynom f, defnovaný: je-l st f pak f = n a n n- (n )a n- n- a a jnak f = 0 7
II8 Poznámka: Pojem devace známe z matematcké analýzy, kde je zaveden pomocí pojmu lmty V naš em případě nemůžeme tímto způsobem postupovat (nemáme v algebře zavedený pojem lmta), a poto defnujeme devac polynomu fomálně, pomocí č stě algebackých postředků Ncméně je vdě t, že obě pojetí splývají a lze dokázat, že základní vlastnost devace budou zde stejné jako v matematcké analýze Např je-l polynom f stupně n, pak jeho devace f je polynom stupně n II8 Defnce Nechť c je lbovolné číslo Polynom f = c 0 c (-c) c (-c) c n (-c) n nazýváme Tayloovým ozvojem polynomu f o středu c II8 Věta Ke každému polynomu f n-tého stupně a k lbovolnému číslu c estuje pávě jeden Tayloův ozvoj polynomu f o středu c, a to c ( c) ( c) n f = f(c) f (c) f ( c ) f (n) (c)!! n! Dokážeme jednoznač nost ozvoje a vzoec z vě ty II8 Předpokládejme, že polynom f má Tayloův ozvoj f = c 0 c (-c) c (-c) c n (-c) n Potom f(c) = c 0 f = c c (-c) nc n (-c) n-, f (c) = c f = c c (-c) n(n-)c n (-c) n-, f ( c ) = c f (n) = n!, f (n) (c) = c n Dokážeme estenc ozvoje V ovncích f = (-c) q c 0 q = (-c) q c q = (-c) q c q n- = (-c) q n- c n- q n- = (-c) q n c n- vyjadřujících dě lení polynomem -c se zbytkem, jsou c 0, c n- konstanty a polynomy q, q,, q n- mají stupně n-, n-,,0 Polynom nultého stupně q n označíme c n Rovnce postupně násobíme, c, ( c),, ( c) n- Po seč tení vš ech ovnc dostaneme f = c 0 c (-c) c (-c) c n (-c) n Příklad II0 Najdě te Tayloův ozvoj o středu c = polynomu f = 5 4 5 Řešení: Pomocí Honeova schématu vypočítáme nejpve koefcenty polynomu q a f( ) Číslo f( ) je koefcent c 0 Tayloova ozvoje polynomu f Analogcky vypočítáme koefcenty polynomu q a číslo q ( ), cožje koefcent c Tayloova ozvoje polynomu f Analogcky pokač ujeme dále 8
0 4 5 7 4 = c 0 6 5 8 = c 9 7 = c 4 = c 5 = c 4 = c 5 f = 4 8( ) 7( ) 4( ) 5 ( ) 4 ( ) 5 9 Oddělová nívícená sobný ch kořenů II9 Věta Nechť c je k-násobný kořen polynomu f Je-l k =, pak c není kořenem polynomu f Je-l k >, pak c je (k )-násobným kořenem polynomu f c je k-násobný kořen polynomu f Poto podle vě ty II4 estuje polynom h tak, že f = ( c) k h kde h(c) 0 f = k( c) k- h ( c) k h = devace souč nu = ( c) k- (k h ( c) h ) Je-l k =, pak f (c) = h(c) 0, tzn c není kořenem polynomu f Je-l k >, pak označ me g = k h ( c) h Takže f = ( c) k g, kde g(c) 0 a tedy c je (k )-násobným kořenem polynomu f II9 Věta Nechť f je nekonstantní polynom a nechť d je nejvě tší společ ný dě ltel polynomů f a f a nechť f = d g Potom má polynom g stejné kořeny jako polynom f, ale každý pouze jednoduchý Vzhledem k tomu, že polynom d je děltelem polynomu f, musí estovat polynom g, a to pávě jeden Každý kořen polynomu g je zřejmě kořenem polynomu f Naopak: nechť c je k-násobný kořen polynomu f Je-l k =, pak c není kořenem polynomu f, tzn c není an kořenem polynomu d Poto musí být c jednoduchým kořenem g Je-l k >, pak ( c) k f, ( c) k nedě lí f, ( c) k- f, ( c) k nedě lí f Potom vš ak ( c) k- d a ( c) k nedě lí d [kdyby totž ( c) k d, pak z toho, že d f dostáváme ( - c) k f spo] Poto c je (k )-násobným kořenem polynomu d a tedy musí být jednoduchým kořenem g Pomocí předchozí věty můžeme oddě lt vícenásobné kořeny polynomu f Místo hledání kořenů původního polynomu f pak stačí hledat kořeny polynomu g, kteý v případě, že f má kořeny vysokých násobností, je podstatně nžšího stupně Je jasné, že předchozí vě ta nám nepomůže v případě, kdy polynom f nemá vícenásobné kořeny Příklad II Pomocí oddě lování vícenásobných kořenů nalezně te kořeny polynomu f = 6 6 4 4 9 4 Řešení: f = 6 5 4 8 9
Pomocí Eukldova algotmu (podobný výpoč et s poveďte sam!) zjstíme, že nejvě tší společ ný dě ltel polynomů f a f je polynom d = 4 5 Polynom g získáme tak, že polynom f dě líme polynomem d (výpoč et s opě t poveďte sam: g = ) g = = ( )( ), cožznamená, že původní polynom f má dva kořeny: c =, c = 0 Polynomy s eá lný m koefcenty II0 Věta o magnáních koř enech Nechť f je polynom s eálným koefcenty, kteý má kořen c = u v (u,v R) Polynom f má potom také kompleně sdužený kořen c = u v Je-l kořen c k-násobný, je kořen c k-násobný Dů kaz Potože c je kořenem polynomu f, platí f(c) = a n c n a n- c n- a c a 0 = 0 Utvoříme k číslu f(c) číslo kompleně sdužené 0 = ( c) n n f = a n c an c L ac a0 = a n c n a n- c n- a c a 0 = f( c ), neboť a k = a k (jde o eálná čísla) Potože f( c ) = 0, znamená to, že c je kořenem polynomu f II0 Dů sledek: Polynom s eálným koefcenty lchého stupně má alespoň jeden eálný kořen II0 Poznámka: Vě ta II0 platí jen po polynomy s eálným koefcenty, nkol po polynomy s magnáním koefcenty Tak např polynom 4 má kořen c =, ale nemá kořen c = II04 Věta Polynom s eálným koefcenty f je educblní v R pávě tehdy když f je lneání nebo kvadatcký se záponým dskmnantem Zřejmé: lneání polynom je educblní a kvadatcký polynom se záponým dskmnantem nemá žádný eálný kořen a je tedy téžv R educblní Nechť f je educblní v R a není lneání (st f ) Pak ale f nemá žádný eálný kořen (jnak z Bézoutovy věty plyne, že f je educblní, cožje spo) a podle základní věty algeby musí mít magnání kořen c C\R Podle předchozí věty je téžčíslo c kořenem polynomu f a polynom g je polynom s eálným koefcenty g = (-c)(- c ) = (c c ) c c Polynom g dě lí polynom f, to znamená, že estuje polynom h tak, že f = gh Potom však musí být st h = 0 (jnak spo s tím, že f je educblní v R) Odtud: st f = st g st h = Tedy f je kvadatcký polynom s eálným koefcenty, kteý nemá žádný eálný kořen, tzn f musí mít záponý dskmnant 0
II05 Dů sledek: Každý polynom s eálným koefcenty je souč nem koneč ného poč tu polynomů s eálným koefcenty stupně nejvýš Fakto nultého stupně je nejvyšší koefcent tohoto polynomu, lneání faktoy tvau c odpovídají eálným kořenům a kvadatcké faktoy tvau (cc) c c odpovídají kořenům neeálným Rozklad daného polynomu na souč n faktoů je jednoznač ný (až na pořadí faktoů) Raconá lnífunkce II Defnce: Raconální funkcí P() ozumíme podíl dvou eálných polynomů f a g, kde polynom g je nenulový Defnč ním oboem aconální funkce P() je množna vš ech eálných čísel, po něžplatí, že nejsou kořeny polynomu g Raconální funkce P() se nazývá yze lomená, jestlže stupeň polynomu f je menší nežstupeň polynomu g II Poznámka: Každý polynom je téžaconální funkce Není vš ak yze lomená funkce II Věta: Každou aconální funkc lze jednoznač ně ozložt na souč et polynomu a yze lomené aconální funkce Podle vě ty II4 platí: f = gd z, kde stupeň polynomu z je menší nežstupeň polynomu g f z Potože polynom g je nenulový, můžeme jím celou ovnost vydě lt: = d g g d je hledaný polynom a g z je yze lomená aconální funkce Příklad II 6 4 5 7 6 = 6 5 9 7 (Použl jsme algotmus popsaný v příkladu II) II4 Defnce: Pacální (jednoduché) zlomky jsou aconální lomené funkce tvau ( ), c ( p q) n kde A, B, c, p, q R, n N a polynom p q nemá eálné kořeny, tj p 4q < 0 A n A B, II5 Věta: Nechť P() = g f je aconální yze lomená funkce s k k Nechť polynom g = a ( c ) ( c ) ( p q) ( p q) L l n L, s
přč emž ( ) m s s l k = L L (tj polynom g je stupně m), 0 4 < q p, =,,, l Pak yze lomenou aconální funkc můžeme psát jako souč et pacálních zlomků, přč emž -násobnému eálnému kořenu c odpovídá souč et zlomků ( ) ( ) c A c A c A L a páu kompleně sdužených s -násobných kořenů polynomu ( ) s q p odpovídá souč et s zlomků ( ) ( ) s s s q p C B q p C B q p C B L Příklad II Raconální lomenou funkc P() = ( )( )( ) ( ) 4 9 4 ozložte na souč et pacálních zlomků Řešení: Jmenovatele nejpve ozložíme na souč n kořenových č ntelů: P() = ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 9 4 9 4 = Rozklad na pacální zlomky bude mít tva: P() = ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 4 F E F E D C B B B A A II6 Výpočet konstant: Metoda neuč tých koefcentů: Rovnost vznklou po ozkladu na pacální zlomky vynásobíme polynomem ve jmenovatel Dostaneme ovnost dvou polynomů Poovnáním koefcentů u jednotlvých mocnn dostaneme soustavu lneáních algebackých ovnc po hledané koefcenty, kteá má vždy pávě jedno řeš ení Metoda dosazovací: Rovnost vznklou po ozkladu na pacální zlomky vynásobíme polynomem ve jmenovatel Dostaneme ovnost dvou polynomů Do této ovnost dosadíme za tolk hodnot, kolk se v dané ovnost vyskytuje neznámých konstant Dostaneme soustavu lneáních ovnc po neznámé konstanty Metoda dosazovací je výhodná, jestlže má polynom ve jmenovatel eálné kořeny Jejch hodnoty pak dosazujeme za Příklad II4 Rozložte na pacální zlomky ( )( ) 5
Řešení: Rozklad na pacální zlomky bude mít následující tva: 5 A B C = ( )( ) ( ) Tuto ovnost vynásobíme polynomem ve jmenovatel ( )( ) a dostaneme: 5 = A( ) B( )( ) C( ) (*) Koefcenty A, B, C můžeme vypočítat obě ma metodam Metoda neuč tých koefcentů: 5 = A( ) B( ) C( ) 5 = (A B) ( A B C) (A B C) Poovnáme koefcenty u jednotlvých mocnn : : 5 = A B : = A B C 0 : = A B C Ř eš ení soustavy: A =, B =, C = Metoda dosazovací: = dosadíme do (*): 0 6 = 9A A = = dosadíme do (*): 5 = C C = = 0 dosadíme do (*): = B B = 5 Závě : ( )( ) ( ) =