6. ČÍSLICOVÉ FILRY MEODY NÁVRHU Návrh diskrétních filtrů - úvod Návrh filtrů FIR, metoda okénkování, klasická okna, návrh pomocí počítače Návrh filtrů IIR, ákladní typy filtrů, bilineární transformace Srovnání filtrů FIR a IIR 383ZS P6
NÁVRH DISKRÉNÍCH FILRŮ ÚVOD Návrh požadovaného průběhu H(e jθ ) ; požadovaná fáová charakteristika většinou neadána nebo požadována lineární fáe Specifikace: graficky - toleranční diagram, často číselně v db (povolené vlnění v propustném pásmu pass-band ripple- a minimální eslabení v ávěrném pásmustop-band attenuation) Obr. toleranční digram, DP V praxi je h(n) reálná posloupnost stačí adat H(e jθ ) v pásmu 0 θ π. Návrh filtru (po adání H(e jθ ) ):. FIR nebo IIR filtr?. Řád filtru? (např. Matlab) 3. Struktura filtru a výpočet koeficientů, případně ověření vlivu kvantování u hardwarových filtrů (x, y, b i, a i ). 4. Kontrola splnění adání (např.: Matlab freq, imp); při nesplnění opakování návrhu. 383ZS P6
NÁVRH FIR FILRŮ Základní metoda: užití FD a oken ( windowing ) Dáno: Požadovaná frekvenční charakteristika Pomocí IFD: h d π π jθ ( n) H ( e ) jnθ d e dθ π jθ ( e ) n jnθ H ( h ( n) e ) Frekvenčně selektivní filtry frekvenční charakteristika je periodická obdélníková funkce (nespojitosti mei pásmy), h d (n) jsou koeficienty F.Ř. této charakteristiky. a má nekonečně mnoho členů u FIR filtru nutnost ořínutí (rovnice pro H d (e jθ ) je F.Ř. v komplexním tvaru s reálnými koeficienty h d (n). Při použití konečného počtu těchto koeficientů dojde k Gibbsovu jevu, frekvenční charakteristika bude mít u skokových měn překmity). ato metoda v MALABu: příka fir Grafické náornění postupu této metody vi další blána d d 383ZS P6 3
Návrh dolní propusti FIR metodou FD a oken výchoí charakteristika A, výsledná B (v obr. p místo π a q místo θ) 383ZS P6 4
Zvlnění (amplitudové) modulové frekvenční charakteristiky filtru navrženého metodou okénkování le potlačit tím, že se pro omeení délky h(n) použije jiné než obdélníkové okno. ZÁKLADNÍ OKNA POUŽÍVANÁ PŘI NÁVRHU DISKRÉNÍCH FILRŮ Kauální okna: obdélníkové (pravoúhlé), Hann, Hamming, Blackmann, trojúhelníkové OBDÉLNÍKOVÉ (PRAVOÚHLÉ) OKNO Definice: w ( n) pro 0 n L, w ( n) jinde O O 0 Jde o kauální jednotkový diskrétní obdélníkový impuls délky L M+, takže jeho spektrum je: OKNO HANN Definice: w W O jθl ( L) θ θ e j j ( e ) W ( ) jθ e e jθ e πn L sin sin ( θl / ) ( θ / ) ( n) cos pro 0 n L, w ( n) jinde HN HN 0 383ZS P6 5
OKNO HAMMING Definice: w πn L ( n) 0.54 0.46 cos pro 0 n L, w ( n) jinde HM HM 0 OKNO BLACKMAN Definice: w w BL BL ( n) πn 0.4 0.5 cos + 0.08 cos L ( n) 0 jinde 4πn pro 0 n L, L OKNO ROJÚHELNÍKOVÉ (BARLEOVO, ale v Matlabu odchylná) Definice: w w w n L n L ( n) pro 0 n ( L ) ( n) pro ( L ) ( n) 0 jinde. /, / n L, O 383ZS P6 6
PRŮBĚH ZÁKLADNÍCH OKEN V ČASOVÉ OBLASI (symetrická okna délky M) 383ZS P6 7
SPEKRA ZÁKLADNÍCH OKEN (PRŮBĚH VE FREKVENČNÍ OBLASI) (Matlab: prohlížení oken: wvtool, de: symetrická okna (u DF: periodická okna)) 383ZS P6 8
ZÁKLADNÍ VLASNOSI KLASICKÝCH OKEN PRO NÁVRH FILRŮ FIR Náev okna obdélník Hann. postranní Šířka hlavního Šířka přechodného Minimální eslabení oblouk oblouku pásma -3 db 4π/(M+),8π/(M+) db -3 db 8π/(M+) 6,π/(M+) 4 db Hamming -4 db 8,5π/(M+) 6,6π/(M+) 53 db Blackman -57 db π/(m+) π/(m+) 74 db trojúhelník -5 db 8π/(M+) 5,6π/(M+) 5 db NÁVRH DOLNÍ PROPUSI FIR h d d ( jθ ) ( jθ e pro θ θ, H e ) pro θ θ π H 0 h d π ( ) ( jθ ) jnθ sin( nθh ) sin( nθh ) n H e e dθ L θ π π d π n h π h nθ h 383ZS P6 9
Jde o funkci sinc(x); doporučené hodnoty θ h jsou θh ( 0.3π; 0. 5π) periodické frekvenční charakteristiky je (-π, π).). (Základní interval ČÍSELNÝ PŘÍKLAD: DP FIR, L7, f VZ 00 H, f h 5 H, požadována lineární fáe. b i?, h(n)?, H(e jθ )? Řešení: θ h h π f f h v π ; ( n) b h( n) ( nπ / ) sin n b n, n nπ / 3 ( π) b.5, b / π, b 0, / 3 Je tedy 0 0 b3 h( n) δ 3π H π ( n 3) + δ( n ) + δ( n) + δ( n + ) δ( n + 3) π 3π 3 3 jθ ( ) 0.5 + ( + ) ( + ), a tedy H ( e ) 0.5 + cosθ cos( 3θ) π 3π π 3π 383ZS P6 0
H(e jθ ) neávisí na časovém posunu impulsní odevy, takže posuvem h d (n) doprava o polovinu její délky ískáme kauální filtr se stejnou frekvenční charakteristikou. Důsledkem posuvu je ale měna původně nulové fáe na fái lineární. Násobení h d (n) oknem Hann délky rovné L M + odpovídá ve frekvenční oblasti konvoluci ideální frekvenční charakteristiky filtru s frekvenčním spektrem okna Hann. Protože okno Hann (a všechna používaná okna) má nižší postranní oblouky než okno obdélníkové, překmity v modulové frekvenční charakteristice se sníží. Protože je ale šířka hlavního oblouku těchto oken širší než u okna obdélníkového, rošíří se přechodné pásmo filtru. 383ZS P6
Příklad DP FIR délky 50, θ h 0.4π (f NORM 0.4) be okna (tj. s oknem obdélník) a s oknem Hann: 383ZS P6
DALŠÍ MEODY NÁVRHU FIR FILRŮ Nejdůležitější metod návrhu FIR filtrů je NÁVRH FILRU S KONSANNÍM ZVLNĚNÍM ( EQUIRIPPLE DESIGN ) optimální návrh FIR filtrů. Metoda okénkování - největší chyby v okolí přechodného pásma. PARKS MCCLELLANŮV ALGORIMUS - aložen na Remeově výměnném algoritmu využívá aproximace frekvenční charakteristiky pomocí Čebyševových polynomů. Amplitudová frekvenční charakteristika - konstantní vlnění v propustném pásmu a v ávěrném pásmu. akto navržená dolní propust má větší minimální eslabení v ávěrném pásmu než DP navržená metodou okénkování. Maximální chyba mei navrženou a požadovanou frekvenční charakteristikou filtru je tímto algoritmen minimaliována (minmax algoritmy). Může být dána délka filtru L a povolená kolísání v propustném a ávěrném pásmu a program určí frekvence přechodného pásma, nebo může být dáno L a požadované hraniční frekvence přechodného pásma θ a θ a program určí δ a δ.. V MALABu je tento algoritmus využit v příkau breme(n, f, a), který navrhuje vícepásmový FIR filtr délky Ln+ s lineární fáí, s přechodnými pásmy a s předepsanými hodnotami esílení v definovaných frekvenčních pásmech. Velikost kolísání v jednotlivých pásmech určí algoritmus a je možné ji jistit grafu frekvenční odevy. Vedle metody Parks-McClellan le pro návrh FIR filtrů použít MEODU FREKVENČNÍHO VZORKOVÁNÍ, u které si volíme hodnoty L vorků v H d (k) (požadované frekvenční charakteristice v DF) a impulsní odevu nejdeme aplikací IDF na posloupnost těchto vorků. Frekvenční odevy v FD a DF se ale shodují jen v těchto vorcích, jinde mohou být velké odchylky. 383ZS P6 3
NÁVRH IIR FILRŮ OBVYKLE: Z ANALOGOVEHO PROOYPOVEHO FILRU (AF), H() JE RACIONALNI LOMENA FUNKCE. PŘENOS AF: POMOCÍ L, V ROVINĚ p, PŘENOS DF: POMOCÍ Z, V ROVINĚ O ZACHOVÁNÍ PODSANÝCH VLASNOSÍ (SABILIY) AF: IM OSA ROVINY p JEDNOKOVA KRUŽNKICE V ROVINĚ LEVÁ POLOROVINA p VNIŘEK JEDNOKOVÉ KRUŽNICE V ZÁKLADNÍ MEODY PŘECHODU p : INVARIANNOS IMPULSNÍ ODEZVY NÁHRADA DERIVACÍ DIFERENCEMI BILINEÁRNÍ RANSFORMACE 383ZS P6 4
ZÁKLADNÍ YPY FREKVENČNĚ SELEKIVNÍCH FILRŮ BUERWORH H(ω) - maximálně plochá v propustném pásmu monotonní (be překmitů) v celém pásmu frekvencí strmost v přechodném pásmu roste s řádem filtru Dolnofrekvenční propust Butterworth, řád, 4. 5 a 7.4 IIR LP BUER, f d 0.4 MODUL ZESILENI. 0.8 0.6 N, 4, 5, 7 0.4 0. 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 NORMOVANA FREKVENCE (θ f π ) 383ZS P6 5
ČEBYŠEV (ČEBYŠEV A ČEBYŠEV ) DEFINOVANÉ ROVNOMĚRNÉ ZVLNĚNÍ V PROPUSNÉM PÁSMU (CHEBY) NEBO ZÁVĚRNÉM PÁSMU (CHEBY) PŘECHODNÉ PÁSMO: UŽŠÍ NEŽ BUERWORH Dolnofrekvenční propusti CHEBY A CHEBY, ŘÁD, 4, 5 a 7:.4 IIR LP CHEBY, f h 0.4, R p db.4 IIR LP CHEBY, f h 0.4, Rs 0 db,. N, 4, 5, 7. N, 4, 5, 7 MODUL ZESILENI 0.8 0.6 0.4 MODUL ZESILENI 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 NORMOVANA FREKVENCE (θf π ) 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 NORMOVANA FREKVENCE (θ f π ) 383ZS P6 6
ELIPICKÉ (CAUEROVY) FILRY FREKVENČNÍ CHARAKERISIKA MÁ DEFINOVANÉ ZVLNĚNÍ V OBOU PÁSMECH NEJUŽŠÍ PŘECHODNÉ PÁSMO (PRO DANÉ N, ω h, δ a δ ) Dolní propusti CAUER PRO ŘÁD, 4 a 5, R p db, R s 0 db.4 IIR DP, ELLIP, f h 0.4, Rp db, Rs 0 db. N, 4, 5 MODUL ZESILENI 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 NORMOVANA FREKVENCE (θ π) 383ZS P6 7
BILINEÁRNÍ RANSFORMACE Základní metoda k převodu přenosu filtru roviny p do roviny, naleení H() H A (p); Odvoení převodního vtahu ideální derivátor, nulové počáteční podmínky ( ) ( ) ( ) () ()dt t y t x p p X p Y p H dt t dx t y t t A 0, ) ( ) ( ( ) n t n t, 0 Lichoběžníkové pravidlo, numerická integrace ( ) ( [ ( ) ( ) [ ] ) ] ( ) ( ) ( ) ( ), + + n y n y n x n x n y n y n x n x, ( )( ) ( )( ) + Y X ( ) ( ) ( ) ( ) + + p pro p H X Y H A 383ZS P6 8
Zobraení roviny p do roviny je dáno vtahy p + + p p Jde o konformní obraení (vájemně jednonačné, obrauje přímky na kružníce a naopak a achovává úhly). Imaginární osa roviny p je obraena na jednotkovou kružnici a levá polorovina p na (celý) vnitřek jednotkové kružnice. Pro stabilní prototypový analogový filtr dostaneme stabilní filtr diskrétní. Celý rosah analogových frekvencí ω A se obraí do ákladního intervalu frekvence diskrétního filtru. Vtah mei frekvencemi ω A a θ je nelineární: jθ e p jω A j + + e θ L θ j tg ωa θ arctg Nemůže vniknout aliasing. Nejsou totožné mení frekvence AF a DF. Deformuje se fáová charakteristika AF. (v obráku: p je π, q je θ a w je ω). 383ZS P6 9
Naleení meních frekvencí výchoího AF pro adané mení frekvence DF: (v obráku: p je π, q je θ, d je δ a w je ω) Příklad: Najděte mení frekvence vorového AF, mají-li mení frekvence odpovídajícího DF být f kh, f,6 kh a je-li f VZ 8 kh. ( ) ( ) θ ω / ω π tan i Řešení: užít vtahu: i arctg Ai Ai fi θ 383ZS P6 0
Bilineární transformace achovává ákladní vlastnosti analogových frekvenčně selektivních filtrů (akmitávání,monotonnost) a řád filtru. Neachovává ale tvar impulsní odevy ani odevy na skok. Příklad: Najděte diskrétní filtr odpovídající (analogovému) pasivnímu integračnímu článku. POROVNÁNÍ VLASNOSÍ FIR FILRŮ A IIR FILRŮ. FILRY FIR Jsou vždy stabilní. Fáová charakteristika může být přesně lineární. Řád filtru bývá vysoký, proto je poždění filtru poměrně velké. Nejužívanější je transversální struktura. Rušivý impuls na vstupu ovlivní výstup jen krátkou dobu. Vliv chyb kvantování ávisí na délce filtru. Nemůže dojít k nestabilitě nebo vniku meních cyklů. FILRY IIR Mohou být nestabilní. Používají se převážně jako filtry typu DP, HP, PP a PZ. Řád filtru je nižší než u filtrů FIR (do 0), proto bývá rychlost reakce větší než u FIRF. I krátký rušivý vstupní impuls může ovlivnit trvale výstup filtru. Nejužívanější je kaskáda členů. řádu realiovaných jako PF. Vlivem kvantování může dojít k nestabilitě a mením cyklům. Fáe kauálního IIR filtru nemůže být přesně lineární. 383ZS P6