54 9 Sestvování pohybových rovnic metodmi nlyticé mechniy Obecná rovnice dynmiy Pro ždé těleso romě prcovních setrvčných sil uvážíme i prcovní setrvčné momenty s tím, že setrvčné síly umístíme do těžišť ednotlivých těles setrvčné momenty vztáhneme těžištím. Po rozepsání do slože p pro soustvu N těles můžeme psát N P P P ( ɺɺ ) ( ɺɺ ) ( ɺɺ ) F n ix mi xi δ xi + Fix mi yi δ yi + Fiz mi zi δ zi + S = ( Q + Q ) δ q = 0 + ( M I ɺɺ ϕ ) δϕ + ( M I ɺɺ ϕ ) δϕ + ( M I ɺɺ ϕ ) δϕ (9.8) P P P i = ix ix ix ix iy iy iy iy iz iz iz iz = Rovnice (9.8) sou rovnice slární neobshuí vzbové síly, de proto o hlvní pohybové rovnice soustvy. Rovnice (9.8) e nzýván obecnou rovnicí dynmiy pro soustvu těles Soustv se pohybue t, že lgebricý součet virtuálních prcí všech prcovních setrvčných zobecněných silových účinů e v ždém omžiu roven nule. Postup při sestvení pohybové rovnice pomocí obecné rovnicepro rovinou soustvu hmotných těles s edním stupněm volnosti čsově nezávislých vzbách: - Anlyzueme pohyby do prcovního schémtu zreslíme smysly pohybů rotcí ednotlivých těles. ále do prcovního schémtu zreslíme všechny prcovní setrvčné silové účiny. Setrvčné síly umisťueme do těžišť, setrvčné momenty vzthueme těžištím. -Anlyzueme vzby, není li něterá ideální, p příslušný vzební silový účine zhrneme do prcovních 3- Vybereme záldní zobecnělou souřdnici q. 5- Všechn posunutí pootočení vyádříme pomocí záldního t. nlezneme vzthy = f(δ q ) d =f(δ q). V přípdě onstntních převodů e pro tento účel možné používt vzthy mezi rychlostmi známé z inemtiy (vzthy mezi virtuálními posunutími sou v tomto přípdě stené o mezi rychlostmi), podmíny vlení pod. V přípdě neonstntních převodů n prcovním digrmu zvolíme pevný počáte n záldě geometricých souvislostí vyádříme souřdnice x,, y působišť všech prcovních setrvčných sil pomocí zvolené zobecněné souřdnice q t. nlezneme x ( q ), y ( q ). Podobně v místě působišť všech prcovních setrvčných momentů nlezneme závislosti ϕ ( q ). Vricí těchto vzthů p zistíme vzthy δx = f(δ q), δy = f(δ q) d =f(δ q) 6- Npíšeme výrz pro celovou virtuální práci všech prcovních i setrvčných silových účinů. Položíme-li v tomto výrzu oeficient u δ q roven nule, dostneme pohybovou rovnici dné soustvy. Poznám: J e zřemé ze vzthu (9.8), obecnou rovnici dynmiy e možné používt i pro soustvy s více stupni volnosti, systém nezávislých pohybových rovnice přitom zistíme t, že položíme rovno nule postupně oeficienty u ednotlivých δ q. 54
55 Příld 9. N obrázu e soustv nehmotných pá určená e zvedání břemen. Určete zrychlení břemene o hmotnosti m při působení síly veliosti F. Hmotnosti pá tření znedbete. A = C C... Obr. 9.4 Soustv pá pro zdvihání břemene F g s F Řešení: o prcovního schémtu zreslíme působící vněší setrvčné sily příslušná virtuální posunutí působišť těchto sil (zísáme virtuálním pohybem soustvy). Soustv má 0 volnosti, proto počet nezávislých posunutích e rovno. Zvolíme záldní posunutí (npř. u působící síly t. ) vyádříme zbylá posunutí pomocí tohoto záldního tím, že se soustvou myšleně pohneme. odu udělíme virtuální posunutí, virtuální posunutí bodu e. Z vlstností podobných troúhelníů plyne, že δ ra =. ále pltí, že δ rc = A, b tže můžeme psát δ rc =. Podobně postupueme dále zistíme, že δ r = C. Proto b b pltí tedy =. Nyní dosdíme do obecné rovnice dynmiy b s s ( Fi Fi ) ri Fg r F ra F r 0 δ A = + δ = δ + δ + δ = 55
56 V nšem přípdě tedy pltí (znmén u ednotlivých členů určíme podle výsledu slárního součinu!) δ A = Fδ r F δ r m δ r = 0. g Po doszením z = dostáváme b F mg m δ r = 0. b b Virtuální posunutí e obecně nenulové t. δ r 0. Pltí tedy b = F mg m Příld Obecná rovnice dynmiy e v tomto přípdě ( mg m) δ x + ( Iα) = 0 δ x osdíme-li inemticé rovnice δϕ = α = dostáváme r r ( mg m) I x = 0 r δ Virtuální posunutí závží δ x e obecně nenulové, proto pltí že výrz v hrnté závorce e roven nule. Odtud dostáváme pro hodnotu zrychlení závží vzth mg = I m + r 56
57 Lgrngeovy rovnice II Z pohybových rovnice integrcí vznily vzthy pro práci A, výon P, E, E p,.můžeme vš postupovt obráceně t. pohybovým rovnicím můžeme doít n záldě derivování slárních veličin A, P, E, E p,. To e přípd Lgrngeových rovnic II. Má-li soustv n 0 volnosti, p pomocí Lgrngeových rovnic II dostneme systém pohybových rovnic pomocí výrzu d E E E p E + + = Q, d t q (9.37) ɺ q q qɺ de =,, n, E e celová ineticá energie soustvy, E p e celová potenciální energie N soustvy, E = bivi e Ryleighov dissiptivní funce Q sou zobecněné síly i= příslušné zobecněným souřdnicím q. V přípdě onstntních převodů můžeme Q určit z rovnosti výonu sutečně působících nepotenciálových silových účinů P s = F i.vi + M.ω výonu práce sil zobecněných Pzob = Q q ɺ. Postup při sestvování pohybových rovnic pomocí Lgrngeových rovnic II pro rovinnou soustvu s edním stupněm volnosti onstntními převody: ) Ověříme zd soustv má 0 V onstntní převody ) o prcovního schémtu zreslíme směry všech posunutí pootočení určuících polohu ednotlivých těles soustvy. Ze souboru všech posunutí pootočení vybereme nezávislou souřdnici q. ále do prcovního schémtu zreslíme nepotenciálové prcovní síly Fi prcovní momenty M (v přípdě neideálních vzeb síly tření zhrneme mezi prcovní síly). 3) Zistíme převodní vzthy mezi rychlostmi vyádříme všechny trnslční popř. rotční rychlosti pomocí qɺ. Stené převody pltí i mezi souřdnicemi. 4) Z pomoci převodních vzthů pro soustvu určíme závislosti celové E E ( q, q) E ( ) p = E p q E ( qɺ ) = ɺ, 5) o rovnosti Q q ɺ = F i.vi + M.ω dosdíme převodní vzthy určíme zobecněnou sílu Q 6) osdíme do L.R. II 57
58 Postup při sestvování pohybových rovnic pomocí Lgrngeových rovnic II pro rovinnou soustvu s n 0 volnosti neonstntními převody: ) Zistíme pro soustvu počet stupňů volnosti ze souboru všech posunutí pootočení vybereme nezávislé ( záldní ) souřdnice q ) o prcovního schémtu zreslíme nepotenciálové prcovní síly F i prcovní momenty M (v přípdě neideálních vzeb síly tření zhrneme mezi prcovní síly). Ve zvolené souřdné soustvě vyádříme souřdnice působištˇ prcovních silových účinů pomocí zobecněných souřdnic t. definueme xi ( q ), yi( q ) ϕ ( q ). erivcí těchto vzthů podle čsu p zísáme vyádření všech rychlostí pomocí rychlostí zobecněných. ále ndeme vyádření virtuálních posunutí δ xi, δ yi δϕ pomocí virtuálních pohybů δ q pomocí vricí n n n xi yi ϕ t. používáme vzthy δ xi = δ q, δ yi = δ q, δϕ = δ q. q q q = 3) Z pomoci převodních vzthů mezi souřdnicemi rychlostmi určíme závislosti celové E = E qɺ, q, E = E ( q ) E ( qɺ ) ( ) p p 5) Zobecněné síly Q určíme z rovnosti virtuální práce δ A = F δ x + F δ x + M δϕ s xi i yi i účinů = sutečně působících nepotenciálových silových virtuální práce n zob = δ zobecněných sil t položíme δ As δ Azob = δ A Q q = =. Zobecněné síly Q,Q Q n přitom dostneme po doszení z δ xi, δ yi δϕ o oeficienty u δq, δq...δq n. Něteré zobecněné silové účiny mohou být přitom nulové. 6) osdíme do L.R. II 58
y 59 Příld 9.5. Těleso o hmotnosti m e zvedáno horizontální silou P smýáním po dvou doonle hldých přímách (viz. obr.9.6). Sestvte hlvní pohybovou rovnici. A e T e y T ϕ P x x T x Obr.9.6. Schémticé znázornění zdání příldu 9.5. Řešení. Těleso má eden stupeň volnosti. Z zobecněnou souřdnici zvolíme úhel ϕ, protože pomocí ně určíme sndno polohy působišť prcovních setrvčných sil. Pltí EK = m ( vt x + vt y ) + ITω, Ep = mgyt, de ω = ɺ ϕ, vt x =ɺ xt, vt y =ɺ yt. Z obrázu e zřemé, že xt = e cosϕ, xɺ T = e ɺ ϕ sinϕ, yt = e sinϕ, yɺ T = e ɺ ϕ cosϕ, Po doszení do Lgrngeovy funce dostáváme L = EK Ep = ( IT + me ) ɺ ϕ mg sinϕ. Zobecněnou sílu určíme z rovnosti virtuálních prcí nepotenciálních prcovních zobecnělých sil Qδϕ = Pδ x. Veliost virtuálního posunutí δ x dostneme vricí souřdnice x t. x = ecosϕ, δ x = e sinϕ δϕ, tže potom pro zobecněnou sílu dostáváme Q = Pe sinϕ. Po doszení do L.R. II úprvách dostneme vlstní pohybovou rovnici I + me ϕ Pe sinϕ + e cosϕ = 0. ( T ) 59
60 60
6 6 om. cv.. Závží hmotnosti m 3 e zvěšené n nehmotné niti přes ednoduchý ldostro dle obr. Hmotnosti lde sou m, momenty setrvčnosti eich osám otáčení sou I, I. Vypočítete zrychlení závží m 3, estliže e volně spustíme směrem dolů. + + = 3 3 3 4 r i r i g