Relativiatická fyzika a astrofyzika I. Geometrie

Transkript

1 Reltivitická fyzik strofyzik I Geometrie Definice: Nechť g je metrický tenzor jeho komponenty vůči souřdnicové zi jsou g.dále nechť je g -1 inverzní mtice k g její komponenty k příslušné zi jsou g. zvedání indexu: snižování indexu: délkový element: V =g V V =g V d s 2 =g d x d x finní konexe: = 1 2 g g, g, g, kde je, x. Riemnnův tenzor křivosti: Ricciho tenzor: Ricciho sklár: R =,, R =R R=g R. Tenzor je geometrický ojekt, jehož komponenty vůči dné ázi se trnsformují podle prvidl '... T '... = x' x t x x '...

2 Příkld č.1: Určete metrické koeficienty geometrie zdné délkovým elementem d l 2 =d r 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2. Příkld č.2: Určete metrické koeficienty geometrie zdné délkovým elementem d s 2 = 1 2/ rd t 2 1 2/ r 1 d r 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2 njděte kompnenty inverzní mtice metrického tenzoru. Příkld č.3: Určete kovrintní komponenty V vektoru V s kontrvrintními komponentmi V geometrii, která je zdná délkovým elementem d l 2 = y 2 d x 2 xz d y 2 2y 2 d x d y xyd z 2. Příkld č.4: Njděte trnsformci, při které se metrik trnsformuje n tvr d l 2 =d 2 2 d 2 d l 2 =d x 2 d y 2. Příkld č.5: Njděte koeficienty finní konexe vůči souřdnicové zi v geometrii zdné délkovým elementem d l 2 =d u 2 u 2 d v 2 2uv d u d v. v Příkld č.6: Určete koeficienty finní konexe pro geometrii zdnou délkovým elementem d s 2 = 1 2/ rd t 2 1 2/ r 1 d r 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2. Příkld č.7: Určete koeficienty Riemnnov tenzoru křivosti v geometrii zdné délkovým elementem ) d l 2 =d 2 sin 2 d 2, ) d l 2 =d r 2 r 2 d 2, c) d l 2 =d 2 sinh 2 d 2. Příkld č.8: Z Riemnnov tenzoru z příkldu 7(c) určete příslušný Ricciho tenzor Ricciho sklár.

3 Příkld č.9: Určete jk se udou trnsformovt prciální derivce kontrvrintních komponent 4- vektoru V při trnsformci x x '. Příkld č.10: Určete jk se udou trnsformovt kovrintní derivce kontrvrintních komponent 4- vektoru V při trnsformci x x '. Příkld č.11: Ukžte, že se komponenty finní konexe tenzoru třetího řádu. netrnsformují jko komponenty Kovrintní derivce: T Geodetický pohy V ; =V, V, W ; =W, V, ; =T, T T, Čtyř-rychlost: Rovnice geodetiky: d U d U = d x d U U =0 Příkld č.1: Sestvte rovnici geodetiky pro přípd gemometrie zdné délkovým elementem ) d s 2 =d r 2 r 2 d 2, ) d s 2 =d 2 sin 2 d 2. Příkld č.2: Ukžte, že rovnice geodetiky lze njít z Hmiltonových pohyových rovnic užitím hmiltoniánu H= 1 2 g p p,

4 kde g jsou kontrvrintní komponenty metrického tenzoru p jsou kovrintní komponenty čtyř-hynosti testovcí částice. Příkld č.3: Sestvte rovnice geodetiky pro pohy testovcí částice v poli Schwrzchildovy černé díry. Příslušná geometrie zdná délkovým elementem má tvr d s 2 = 1 2/ rd t /r 1 d r 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2. Příkld č.4: Ukžte, že p t p jsou integrály pohyu ve Schwrzchildově geometrii. Dále ukžte, že p t = E je kovrintní energie měřená vůči nekonečnu p =L z je zimutální moment hynosti testovcí částice. Příkld č.5: S pomocí integrálů pohyu normovcí podmínky pro velikost čtyř-hynosti určete efektivní potenciál pro částici pohyující se v ekvtoriální rovině Schwrzchildovy černé díry. Příkld č.6: Pomocí Hmiltonových rovnic njděte nenulové komponenty finní konexe v přípdě Schwrzchildovy geometrie. Příkld č.7: Ukžte, že pohyovou rovnici fotonu, pohyujícího se v ekvtoriální rovině sttické, sféricky symetrické, černé díry, můžeme psát ve tvru d u 2 = u3 u2 2 d, kde je u=1/r je zimutální úhel. Příkld č.8: Njděte řešení rovnice v přípdě tzv. slého ohyu, tj. 1/ <<1. Řešení příkldu č.7 č.8: Apendix Geometrie Nejprve se určí nenulové komponenty finní konexe: = cos sin, = =cotg, dále se určí nenulové prciální derivce finní konexe, = cos2,, = 1 sin 2 =,, nkonec nenulové komponenty Riemnnov tenzoru, R = R = sin 2, R = R =1.

5 Ricciho tenzom má potom komponenty R = 1, R = sin 2 Ricciho sklár je R= 2. Řešení příkldu č.7c č.8: Nejprve se určí nenulové komponenty finní konexe: = cosh sinh, = =coth, dále se určí nenulové prciální derivce finní konexe, = cosh2,, = 1 sinh 2 =,, nkonec nenulové komponenty Riemnnov tenzoru, R = R = sinh 2, R Ricciho tenzom má potom komponenty R =1, R =sinh 2 Ricciho sklár je R=2. = R = 1. Řešení příkldu č.2: Npíšeme Hmiltonovy pohyové rovnice ve tvru Geodetický pohy Hmiltonián je ze zdání roven x = H, p p = H x. H= 1 2 g p p. Z první Hmiltonovy rovnice dostneme z druhé Hmiltonovy rovnice, užitím d x d =1 2 g p 1 2 g p =g p d x d = p, dostneme

6 protože pltí g, p p g d p d = 1 2 g, p p = 1 2 g, p p (*), g g, =g g, g, g =0. Nkonec, z rovnice (*) održíme výsledek d p d = 1 2 g g, g, g, p p, kde ylo využito vzthu g, p p = 1 2 g, p p 1 2 g, p p. Finální tvr rovnice geodetiky potom je d p d p p =0. Řešení příkldu č.4: Nejprve se určí, užitím p t =g t p, dosdí se z rovnice geodetiky dostneme d p t d =g t, p p d p g t d d p d = p p d p t d =g t, p p g t 1 2 g [ g, g, g, ] p p, =g t, p p 1 2 t g, g, g, p p protože g g t. Anlogicky dostneme = 1 2 g, t p p =0 protože g g. d p d = 1 2 g, p p =0 Dále pro r>>1 dostáváme p t p t. Protože jsou kontrvrintní komponenty 4-hynosti v

7 Minkowského protoročse rovny p =mc 2, p, kde je =1 v 2 1/2, dostáváme výsledek kde je E=mc 2. V přípdě p pro r>>1 dostneme kde je = d t d =1 v2 1/2 p t = E, p =r 2 p =mr 2d d r mv =L, v = d d t.