GEOMETRIC PROGRAMMING IN EVALUATING OF EXPERIMENTAL DATA GEOMETRICKÉ PROGRAMOVÁNÍ PŘI VYHODNOCOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNĚ STANOVENÝCH DAT

Transkript

1 40. MEZINÁRODNÍ KONFERENCE EXPERIMENTÁLNÍ ANALÝZY NAPĚTÍ 40 th INTERNATIONAL CONFERENCE EXPERIMENTAL STRESS ANALYSIS VI. 2002, PRAHA/PRAGUE, CZECH REPUBLIC GEOMETRIC PROGRAMMING IN EVALUATING OF EXPERIMENTAL DATA GEOMETRICKÉ PROGRAMOVÁNÍ PŘI VYHODNOCOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNĚ STANOVENÝCH DAT 1 Úvod Tomáš Mreš 1 Vyhodnocování nměřených dt provedených experimentů se sebou přináší celou řdu problémů. Jedním tovým vážným problémem je npříld stnovení prmetrů mteriálových modelů z experimentálně zísných dt. Zde ve své prvé podsttě jde o problém njít tové hodnoty prmetrů modelu, by součet druhých mocnic rozdílu nměřených hodnot hodnot odpovídjících hlednému modelu byl minimální. Tto chvlně známá metod zvná jo metod nejmenších čtverců spdá mezi úlohy o nlezení minim dné funce. Mtemticých metod zbývjících se problémem nlezení minim dné funce je celá řd, ne všechny jsou vš zcel vhodné řešení onrétních úolů. V přípdě řešení nší úlohy je v drtivé většině přípdů hledán extrém funce mjící tvr součtu součinů mocnin hledných prmetrů. Řešením úlohy tového tvru se zbývá metod zvná Geometricé progrmování. Termín progrmování se z historicých důvodů používá pro oznčení mtemticé formulce prmetricých optimlizčních úloh pro metody jejich řešení. Geometricé progrmování je jednou tovou formulcí metodou. Již od čsů Pierre de Fermt Pierre de Fermt [-má] * 1601, Beumont de Lomgne, 12. I. 1665, Cstres.) je známo, že jisté nerovnosti pomáhjí řešit speciální optimlizční úlohy. V šedesátých letech dvcátého století pánové Peterson, Duffin Zener precizně popsli využití vlstností nerovnosti uvádějící vzth mezi váženým ritmeticým průměrem váženým geometricým průměrem, teré se říá geometricá nerovnost, řešení prmetricé optimlizční úlohy shor uvedeného tvru. V letech sedmdesátých byl postup shor citovné práce znčně zobecněn pnem D. J. Wildem n řešení úloh následujícího typu. min X ν g 0, g 0 = m 0 při splnění vedlejších podmíne mjících tvr µ, M = n h, 1) de z = 1 nebo 1 0 < z g z 1, = 1, 2,..., q), 2) g = m i=m 1 +1 µ, 3) de q je počet vedlejších podmíne 2), m 0 počet členů cílové funce, m m 1 ) počet členů -té vedlejší podmíny, m = m q je celový počet členů M je počet návrhových veličin X µ. 1 ing. Tomáš Mreš, Ústv mechniy, Česé vysoé učení technicé, Technicá 4, Prh 6, e-mil: mres@sgi.fsid.cvut.cz 163

2 2 Geometricé progrmování Termín progrmování se z historicých důvodů používá pro oznčení mtemticé formulce prmetricých optimlizčních úloh pro metody jejich řešení. Geometricé progrmování je jednou tovou formulcí metodou. Zmíněná formulce je, j shor vidno, vyjádřen v třídě funcí mjících tvr součtu součinů mocnin návrhových proměnných X µ známých oeficientů c i. Již od čsů Pierre de Fermt 2 je známo, že jisté nerovnosti pomáhjí řešit speciální optimlizční úlohy. V šedesátých letech dvcátého století pánové Peterson, Duffin Zener [Geometric Progrmming: Theory nd Appliction. New Yor, J.Wiley 1967.] precizně popsli využití vlstností nerovnosti uvádějící vzth mezi váženým ritmeticým průměrem váženým geometricým průměrem, teré se říá geometricá nerovnost, řešení prmetricé optimlizční úlohy shor uvedeného tvru, v přípdě, že oeficienty c i jsou všechny ldné ftory z jsou rovny jedné. Postup řešení úlohy shor uvedené pro oeficienty c i obou znméne pro hodnoty z rovny jedné či méně jedné) byl sestven n záldě shor citovné práce pnem D. J. Wildem [Globlly Optiml Design. New Yor, John Wiley nd Sons 1978.] v letech sedmdesátých. Geometricá nerovnost říá že, vážený ritmeticý průměr je nejméně t veliý jo vážený geometricý průměr, tedy pltí m U i U i, 4) de U i jsou libovolná nezáporná čísl jsou libovolné ldné váhy, teré splňují podmínu normy Geometricá nerovnost se nvíc stává rovností právě dyž δ 1 + δ δ m = 1. 5) U 1 = U 2 =... = U m. 6) Princip využití geometricé nerovnosti 4) řešení primární úlohy 1), 2) 3 si uážeme n úloze nlézti minimum funce g 0 dné vzthem 1) 4, de všechny vystupující oeficienty c i jsou ldné n terou nejsou uvleny žádné vedlejší podmíny vyjm podmíny ldnosti návrhových veličin X µ. 5 Uvžujme tedy primární úlohu min g, 7) g = u 1 + u u m, de u i = c i X i1 1 X i X im M, 8) c i > 0, X µ > 0, i = 1, 2,..., m), µ = 1, 2,..., M). 9) Položením dostáváme geometricou nerovnost 4) ve tvru u 1 + u u m u i = U i 10) u1 δ 1 ) δ1 u2 δ 2 ) δ Pierre de Fermt [-má] * 1601, Beumont de Lomgne, 12. I. 1665, Cstres. 3 Této úloze se v teorii geometricého progrmování říá primární úloh. 4 Funce g 0 slove primární funce. 5 Proměnné X µ se nzývjí primární proměnné. um δ m ) δm. 11) 164

3 Doszením z u i dle 8) do posledního vzthu dostáváme de g V, X µ ) = c1 δ 1 ) δ1 c2 δ 2 ) δ2... cm δ m ) δm X D 1 1 X D X D M M, 12) D µ = iµ, µ = 1, 2,..., M). 13) Funci V, X µ ) proměnných δ 1, δ 2,..., δ m X 1, X 2,..., X M se říá předduální funce. Lze doázt, 6 že minimum nší funce g je rovno mximu duální funce vδ) duálních proměnných při splnění M + 1 lineárních vedlejších podmíne. Tedy de min g = gx µ) = mx V, X µ ) = V, X µ) = v mx, 14) X µ,x µ v ) = c1 při splnění lineárních vedlejších podmíne δ 1 v mx = mx v ), 15) ) δ1 ) δ2 ) δm c2 cm..., δ 2 δ m iµ = 0, µ = 1, 2,..., M), 16) = 1, 17) 0 7, i = 1, 2,..., m). 18) Této úloze se říá úloh duální. Vzhledem tomu, že funce v má při uvžování c i > 0 0 mximum ve stejném bodě jo funce 8 ln v, hledáme mximum onávní 9 funce ln v při splnění lineárních vedlejších podmíne 16), 17) 18). Je-li nvíc počet M primárních proměnných X j o jednu menší nežli počet m členů u i funce g, 10 potom vedlejší podmíny duální úlohy mjí pouze jedno řešení duální úloh se reduuje n řešení soustvy lineárních rovnic, což je sutečnost stojící zdůrznit. Njdeme-li bod, v němž duální funce v) doshuje svého vázného mxim, p minimlizční bod primární úlohy X 11 nlezneme užitím podmíny, že geometricá nerovnost se stává rovností jedině pltí-li 12 6 Derivcí logritmu prvé strny výrzu 12). 7 Je-li = 0, potom uvžujeme ci ) δi = 1. 8 Funce ln x je onávní n onvexní množině všech ldných čísel x. Proto pro c i > 0 i = 1, 2,..., m) 0 i = 1, 2,..., m) je funce ln vδ) funcí onávní. 9 Přičemž si uvědomme vlittivní rozdíl mezi problémem nlezení globálního extrému původní neonvexní funce, o teré nevíme, oli má loálních extrémů, problémem nlezení mxim onávní funce, de toto mximum je mximem jediným. 10 Čehož lze dosáhnout vhodnou formlizcí původní úlohy funční optimlizce zejmén vhodnou formulcí onstručních cílů vhodným sestvením mtemticého modelu, či jistými mtemticými obrty v průběhu trnsformce funční optimlizční úlohy n úlohu prmetricé optimlizce. 11 Zde X = X 1, X 2,..., X M ). 12 Srvn. vyjádření 6) n str

4 u i X ) δ i = K, 19) de K je onstnt shodná pro všechn i. Tto podmín vede n vzth pro nlezení minimlizujícího bodu primární úlohy X µ ve tvru c i X i1 1 X i X im M = vδ ) δ i, i = 1, 2,..., m) ) Vezmeme-li v úvhu shor položené podmíny c i > 0, X µ > 0, i = 1, 2,..., m), µ = 1, 2,..., M), 21) potom zlogritmováním vzthů 20) dostáváme soustvu lineárních rovnic pro proměnné ln X µ M iµ ln X µ = ln vδ ) δ i c i ). 22) V přípdě úlohy s vedlejšími podmínmi je nutné použít metodu Lgrngeových multipliátorů vznilý problém řešit opět užitím geometricé nerovnosti. 3 Obecná úloh geometricého progrmování Postup řešení obecné úlohy geometricého progrmování 23) ž 26) byl n záldě shor předstvené filozofie využití geometricé nerovnosti zejmén n záldě práce pánů Peterson, Duffin Zener vytvořen pnem Wildem v sedmdesátých letech dvcátého století. Shodně jo v přípdě úlohy 7) n str. 164 je primární úloh nlezení minim funce při splnění vedlejších podmíne mjících tvr m 0 M g 0 = c i µ, 23) X µ > 0 14, µ = 1, 2,..., M), 24) 0 < z g z 1, = 1, 2,..., q), 25) de z = 1 nebo 1 g = m i=m 1 +1 µ, 26) de q je počet vedlejších podmíne 25), m 0 počet členů cílové funce, m m 1) počet členů -té vedlejší podmíny m = m q je celový počet členů, převeden n řešení duální úlohy nlézti mximum duální funce vδ) dné vzthem 27) při splnění duálních vedlejších podmíne 29), 30) 31). Tto duální úloh má tvr mx v, v = σ δ 1,...,δ m m ci ) σi q =1 λ h ) σ, 27) 13 V tomto vzthu δ = δ 1, δ 2,..., δ m) znčí mximlizční bod duální úlohy. 14 Tto podmín vyplývá z odvození vzthu mezi primární duální úlohou geometricého progmování. V přípdě proměnných X µ nbývjících obou znméne je možné použít substituci X µ = X + µ X µ, de X + µ > 0, X µ >

5 de λ = z m i=m 1 +1 σ i, h = při splnění lineárních vedlejších podmíne m i=m 1 +1 σ i, = 1, 2,..., q), σ i = sgn c i, i = 1, 2,..., m), 28) σ i iµ = 0, µ = 1, 2,..., M), 29) m 0 σ i = σ 30) 0, i = 1, 2,..., m). 31) Řešení této duální úlohy se zčíná rozřešením vedlejších podmíne 29) 30), dy z onstntu σ se volí číslo +1 či 1 t, by byl splněn podmín 31). Tímto dostáváme vyjádření duálních proměnných ve tvru 15 = d i + d ij r j, i = 1, 2,..., m), 32) de r j, j = 1, 2,..., m M 1, jsou tzv. bázové proměnné, teré mjí vyhovovt podmínce ldnosti duálních proměnných d i + d ij r j 0, i = 1, 2,..., m). 33) Duální funce, jo funce záldních proměnných, má nyní tvr de vr) = σ m ci ) σi q =1 λ h ) σ, 34) λ = z m i=m 1 +1 σ i, h = m i=m 1 +1 σ i, = 1, 2,..., q), σ i = sgn c i, i = 1, 2,..., m) 35) = d i + d ij r j, i = 1, 2,..., m). Následuje řešení úlohy njíti mximum této funce vr) při splnění vedlejších podmíne d i + d ij r j 0, i = 1, 2,..., m). 36) 15 K zísání tohoto řešení je vhodné použít tzv. singulárního rozldu mtice soustvy. 167

6 Duální cílová funce vš v tomto přípdě není obecně onávní funcí ne vždy zde zísáme onávní funci prostým zlogritmováním funce vr). Pltí vš poznám o možnosti úprvy počtu primárních proměnných z jistých oolností té počtu členů v primární funci primárních vedlejších podmínách, tím reduovt duální úlohu n řešení soustvy lineárních rovnic. N závěr je nutné určit hodnoty primárních proměnných X µ, v nichž primární funce doshuje svého vázného minim. Obdobně jo v disutovném přípdě funce s ldnými oeficienty c i lze tyto proměnné určit ze vzthů X ij j = σ i δ iσvδ ), i = 1, 2,..., m 0 ), 37) X ij j = σ i δ i λ δ ), i = m 1 + 1, m 1 + 2,..., m ), = 1, 2,..., q), 38) de δ je vetor duálních proměnných, v nichž duální funce v doshuje svého mxim. Poslední soustvu nelineárních rovnic lze opět zlogritmováním převést n soustvu lineárních rovnic Závěr Vyhodnocování nměřených dt provedených experimentů se sebou přináší celou řdu problémů. Jedním tovým vážným problémem je npříld stnovení prmetrů mteriálových modelů z experimentálně zísných dt. Zde ve své prvé podsttě jde o problém njít tové hodnoty prmetrů modelu, by součet druhých mocnic rozdílu nměřených hodnot hodnot odpovídjících hlednému modelu byl minimální. Tto chvlně známá metod zvná jo metod nejmenších čtverců spdá mezi úlohy o nlezení minim dné funce. Mtemticých metod zbývjících se problémem nlezení minim dné funce je celá řd, ne všechny jsou vš zcel vhodné řešení onrétních úolů. V přípdě řešení nší úlohy je v drtivé většině přípdů hledán extrém funce mjící tvr součtu součinů mocnin hledných prmetrů. Řešením úlohy tového tvru se zbývá metod zvná Geometricé progrmování. Termín progrmování se z historicých důvodů používá pro oznčení mtemticé formulce prmetricých optimlizčních úloh pro metody jejich řešení. Geometricé progrmování je jednou tovou formulcí metodou. V předložené práci se rozebírá filozofie využití geometricé nerovnosti řešení jistého v prxi experimentátor čsto se vysytujícího) typu extremální úlohy podává se prticý návod postupu jejího řešení. 5 Poděování Autor si dovoluje n tomto místě vyjádřit své poděování GAČR 106/00/1477 z podporu jíž se mu dostlo. 16 Vzhledem σ i = sgn c i, i = 1, 2,..., m). 168