1. Přenos členu ISŠ Nová Paka, Kumburská 846, 50931 Nová Paka V praxi potřebujeme znát časový průběh výstupního signálu, vyvolaný vstupním signálem známého průběhu. Proto zavádíme tzv. přenos, charakterizující přenosové vlastnosti daného členu. Vlastnosti daného členu popisuje diferenciální rovnice. Řád diferenciální rovnice určuje i řád členu. Známe-li přenos členu v matematickém tvaru a násobíme-li jím funkci, která vyjadřuje průběh vstupního signálu, získáme funkci vyjadřující průběh výstupního signálu. Nejčastěji pracujeme s obrazy funkcí v Laplaceově transformaci a proto i nejčastěji používaným přenosem je obrazový neboli operátorový přenos G(p. x G x 2( p ( p 1( p a Operátorový přenos je tedy určen poměrem obrazů výstupního a vstupního signálu, pro náš příklad G ( p x 2( p x 1( p Použijeme-li pro příklad rovnici setrvačného členu 1. řádu dostaneme výraz: G 1 ( p a1 p + a0 Tento člen je charakterizován dvěma konstantami: zesílením K a časovou konstantou T v sekundách. Aby tyto konstanty mohly být v přenosu obsaženy, výraz upravíme. Čitatel i jmenovatel přenosu vydělíme koeficientem a 0 1 a 1 0 a1 G( p kde K a T a1 a0 a0 p + 1 a0 Dosadíme-li tyto konstanty zpět do výrazu pro přenos, získáme obecný tvar operátorového přenosu setrvačného členu l. řádu K G( p T p + 1 b Frekvenční přenos získáme tak, že na vstup systému přivedeme harmonický signál. Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh u( t U 0 sin ω U 0 amplituda vstupního signálu, ω úhlová frekvence (1/s t strana 1/10
Vstupní signál sinusového tvaru x 1 (t a výstupní signál sinusového tvaru x 2 (t můžeme symbolicky vyjádřit pomocí fázorů (komplexních čísel x 1(jω a x 2(jω. Frekvenční přenos G (jω se pak definuje jako komplexní číslo, které se rovná podílu těchto fazorů: G j ( ω X 2( jω X ( jω 1 Např. frekvenční přenos setrvačného členu 1. řádu je tedy: K G( j ω jω T + 1 c Přenos v decibelech získáme tak, že amplitudu frekvenčního přenosu upravíme podle rovnice: G (db db 20log G( j ω strana 2/10
2. Přechodová charakteristika Dynamické vlastnosti členu velmi názorně ukazuje přechodová charakteristika. Je to nejednodušší případ, kdy na vstup členu přivedeme konstantní signál x 1(t jednotkový skok, nebo impuls a zkoumáme jak se v čase mění výstupní signál x 2(t. Vpodstatě se jedná o odezvu na jednotkový skok. Na vodorovnou osu vynášíme čas, na svislou osu funkční hodnotu x 2 (t. U setrvačného členu jde o známé exponenciální průběhy: Normovaná přechodová charakteristika setrvačného členu vznikne vynášíme-li místo času relativní čas t/t. Pro různé hodnoty je možné použít tabulku normované přechodové charakteristiky. strana 3/10
Z přechodové charakteristiky je vidět, že přechodový děj se v podstatě ustálí asi za tři časové konstanty (95 % ustálené hodnoty. Při časech mnohem menších, než je časová konstanta členu T, narůstá výstupní signál téměř lineárně. V čase t T je výstupní signál 63,2 % z ustálené hodnoty dané zesílením K. Snadno nakreslíme přechodovou charakteristiku tak, že z počátku a konce hodnoty K vedeme tečny k charakteristice, jejichž průsečík je dán časovou konstantou T. Křivka prochází body 0,632 při t T a 0,95 při t 3T. Představiteli setrvačných členů 1. řádu jsou ty obvody nebo technická zařízení, které obsahují jednu energetickou kapacitu, tj. součástku schopnou v sobě akumulovat energii. Mohou to být již uvedené členy RC, kdy K l a TRC, nebo členy LR, kdy K l a T L/R. Mechanické setrvačné členy jsou nejčastěji reprezentovány elektromotory, u kterých vstupním svalem je vstupní napětí a výstupní veličinou otáčky nezatíženého motoru. Velmi často pracujene s tepelně setrvačnými členy, jejichž vstupní veličinou je příkon a výstupní veličinou je teplota. Jsou to nejčastěji různé pícky. Měření přechodových charakteristik členů s pomalými přechodovými ději (tj. s dlouhými časovými konstantami je snadné. V pravidelných časových intervalech čteme na měřících přístrojích velikost výstupního signálu x 2. Začátek přechodového děje, a tedy počáteční čas t 0, je dán připojením jednotkového skokového signálu na vstup členu. Tak měříme například přechodové charakteristiky pecí. Přechodové charakteristiky členů s krátkými časovými konstantami zjišťujeme osciloskopem, jehož obrazovka má dlouhý dosvit. Současně s připojením jednotkového vstupního skokového signálu (t 0 se jednorázově spustí časová základna osciloskopu. Svítící bod vykreslí na obrazovce přechodovou charakteristiku členu. Tímto způsobem se například snímá přechodová charakteristika různých elektromotorů. K zjišťování dynamických vlastností velmi rychlých obvodů (např. elektronických zesilovačů lze použít běžný osciloskop, který je synchronizován obdélníkovým signálem x 1 (t přivedeným na vstup zkoumaného členu. Na obrazovce pak sledujeme odezvu na obdélníkový signál, který je vlastně opakovanou přechodovou charakteristikou. Z přechodové charakteristiky se také pozná typ členu - statický, astatický. Statický člen - výstup statického členu se po přivedení jednotkového skoku na vstup za určitou dobu ustálí, jeho hodnota se dále nemění. Příkladem může být teplota topné tělesa, otáčky motoru ap. Astatický člen - výstup astatického členu se po přivedeni jednotkového skoku na vstup neustálí, stále roste či klesá. V technické praxi dojde k zastavení růstu či poklesu vlivem konstrukčního omezení. Příkladem může být píst hydraulického válce, úhel natočení rotoru motoru, udržování hladiny ve vaně ap. Největší význam přechodových funkcí či charakteristik je v tom, že je lze velmi snadno získat experimentálně. Na příklad ponecháme-li teploměr se ustálit v chladné vodě o dané teplotě a potom jej rychle přendáme do teplé vody a zapisujeme časový průběh teploty kterou ukazuje; získáme přechodovou charakteristiku. Nebo jiný příklad přechodové charakteristiky je rychlé zatížení motoru (např. spalovacího, elektromotoru, zátěží přes spojku. Otáčky motoru začnou klesat a jejich průběh je přechodová charakteristika daného motoru. strana 4/10
3. Frekvenční charakteristika v komplexní rovině je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(jω v komplexní rovině, když za úhlovou frekvenci ω dosazujeme hodnoty 0 až. Vstupní sinusový signál můžeme do komplexní roviny nakreslit jako vektor (1+j0. Do komplexní roviny můžeme nakreslit vektory, znázorňující přenosy daného členu pro zvolené frekvence ω v rozsahu od nuly do nekonečna. Délka vektoru určuje absolutní hodnotu neboli jeho amplitudu \G(ω\. Úhel mezi vektorem a kladnou části reálné osy je fází přenosu neboli fázovým posunem φ mezi vstupním a výstupním signálem daného členu při zvolené frekvenci. U jednoduchých známých členů můžeme snadno nakreslit vektory výstupních signálů pro různé úhlové frekvence metodou konstrukce vektorových diagramů. Při kreslení frekvenční charakteristiky nekreslíme celé vektory, ale pouze body určující jejich konce, ke kterým napíšeme příslušnou úhlovou frekvenci. Posloupnost frekvencí pak vytvoří stupnici frekvence přímo na frekvenční charakteristice. Spojením konců vektorů totiž získáme vlastní charakteristiku. Frekvenční charakteristika dynamického členu v komplexní rovině je tedy čára spojující konce vektorů příslušejících frekvencím, které jsou uvedeny na frekvenční charakteristice. Pro libovolnou frekvenci můžeme zakreslit vektor přenosu jako úsečku spojující počátek souřadnic s bodem na charakteristice, který je označen požadovanou frekvencí. Amplitudu přenosu udává délka vektoru, fázi udává úhel mezi vektorem a kladnou částí reálné osy. Na reálné ose můžeme číst reálnou složku přenosu, na imaginární ose čteme imaginární složku přenosu. strana 5/10
Výhodou této charakteristiky je názornost. Podle jejího průběhu lze rychle a na první pohled určit charakter dynamického členu a řád (kolika kvadranty charakteristika prochází, tolikátého řádu je člen. Nevýhodou je často nevhodné měřítko frekvence, takže přesnost čtení hodnot přenosu je pro některé frekvence nedostačující. Frekvenční charakteristika setrvačného členu 1. řádu (prochází jedním kvadrantem Praktické sestrojení charakteristiky: Frekvenční přenos G(jω upravíme na složkový tvar komplexního čísla : G(jωRe G(jω + j Im G(jω a Sestavíme si tabulku, kde k voleným hodnotám ω na kalkulačce počítáme hodnotu a Re část a b Im část. Podle této tabulky pak frekvenční charakteristiku zkonstruujeme. b Ještě je možný a často používaný způsob konstrukce frekvenční charakteristiky z exponenciálního tvaru komplexního čísla. Z matematiky víme, že komplexní číslo a+jb můžeme vyjádřit ve složkovém nebo goniometrickém nebo exponenciálním tvaru a + jb A (cosϕ + j sin ϕ kde A + A 2 2 a b - amplituda b ϕ arctg - fázový posun a e jϕ Frekvenční charakteristika 2. řádu (prochází dvěma kvadranty strana 6/10
Frekvenční charakteristika 0. řádu (neprochází žádným kvadrantem strana 7/10
4. Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích Tyto charakteristiky jsou běžně používány v nízkofrekvenční technice (např. frekvenční charakteristiky zesilovačů, mikrofonů apod.. Na vodorovnou osu vynášíme úhlovou frekvenci ve frekvenčních dekádách. Frekvenční dekáda je úsek, jehož krajní úhlové frekvence jsou v poměru 10:1. Všechny dekády jsou stejně široké. Rozestupy mezi frekvencemi jsou logaritmické. Je zřejmé, že nulovou i nekonečně velkou frekvenci nelze v dekádách na rozdíl od komplexní roviny znázornit. Logaritmické měřítko, nahoře dvě dekády, dole jen jedna dekáda. V logaritmických souřadnicích znázorňují frekvenční přenos dvě charakteristiky (amplitudová a fázová. Na svislou osu vynášíme v lineárním měřítku amplitudu (absolutní hodnotu přenosu v decibelech G db 20 log / G j / ( ω Křivku znázorňující frekvenční závislost amplitudy nazýváme amplitudovou frekvenční charakteristikou. Na svislou osu, kterou pro přehlednost kreslíme na pravou stranu, vynášíme v lineárním měřítku fázi, nejčastěji v úhlových stupních. Tak získáme fázovou frekvenční charakteristiku. Na obr. jsou logaritmické frekvenční charakteristiky setrvačného členu (1. řádu. strana 8/10
Logaritmické frekvenční charakteristiky jsou výhodnější než frekvenční charakteristiky v komplexní rovině pro snadnější a přesnější čtení úhlové frekvence. Nevýhodou je, že se skládá ze dvou částí. Průběh amplitudových charakteristik s velkou přesností aproximovat lomenou přímkou. Úhlové frekvence lomu jsou určeny převrácenou hodnotou příslušné časové konstanty daného dynamického členu. Při frekvenci lomů je zpravidla maximální rozdíl (chyba mezi aproximativní a skutečnou charakteristikou 3 db, charakteristika se zpravidla lomí o 20 db na dekádu. Mezi aproximativní amplitudovou a fázovou charakteristikou dynamického členu (s výjimkou členů s dopravním zpožděním následující závislost: a Je-li amplitudová charakteristika rovnoběžná s osou frekvence (což znamená, že amplituda přenosu je v určitém frekvenčním pásmu frekvenčně nezávislá, pak je fáze přenosu nulová. b Klesá-li amplitudová charakteristika o 20 db na dekádu (tj, -20 db/dek, je fáze -90, c Při -40 db/dek je fáze -180 atd. d Naopak při vzestupu amplitudové charakteristiky o 20 db na dekádu je fáze v příslušném frekvenčním pásmu +90, e Při 40 db/dek je fáze +180 atd. Při lomu amplitudové charakteristiky o každých 20 db na dekádu se tedy mění fáze o 90, přičemž je znaménko změny fáze v souladu se znaménkem změny směru amplitudové charakteristiky. Tato závislost, kterou formuloval Bode, umožňuje přibližně nakreslit fázovou frekvenční charakteristiku dynamického členu (bez dopravního zpoždění, známe-li amplitudovou charakteristiku, kterou lze na rozdíl od rázové snadno změřit. Velkou předností logaritmických charakteristik je, že výsledná amplitudová i fázová charakteristika sériově zapojených členů je dána grafickým součtem dílčích charakteristik. Na obr. jsou logaritmické frekvenční charakteristiky setrvačného členu 1. řádu se zesílením K a časovou konstantou T. Uhlová frekvence lomu je určena převrácenou hodnotou časové konstanty. (Kolik je zlomů, tolik je frekvencí lomu, tolikátého je řádu. Na obrázku je vidět maximální odchylka amplitudové charakteristiky od lomené přímky (-3 db i maximální odchylku fázové charakteristiky ( ± 45 od lomené přímky, která ji aproximuje. Logaritmické charakteristiky můžeme zkonstruovat pomocí frekvenčního přenosu pro mnoho zvolených úhlových frekvencí, při čemž můžeme přenos rozdělit na reálnou složku Re G(jω a na imaginární složku Im G(jω. Přitom vypočítáme amplitudu přenosu v decibelech pomocí Pythagorovy věty 2 ( Re G ( G 2 / G ( jω / ( jϖ + Im ( jω G 20 log / ( ω db G j / strana 9/10
Fáze pro zvolené frekvence pak určíme ze vztahu pro výpočet tangens v pravoúhlém trojúhelníku: ImG( jω tg ϕ ReG takže: ϕ ( jω ImG arctg ReG Máme-li k dispozici frekvenční charakteristiku v komplexní rovině, můžeme pro zvolené frekvence přečíst absolutní hodnoty (amplitudy přenosu z délek příslušných vektorů a vypočítat logaritmické míry přenosu v decibelech. Příslušné fáze můžeme změřit úhloměrem nebo vypočítat ze složek přenosu. Získané hodnoty zapsané do tabulky pak vyneseme do logaritmických souřadnic. Body spojíme tak, abychom získali aproximativní přímkové charakteristiky. Podobně můžeme sestrojit frekvenční charakteristiku v komplexní rovině, máme-li logaritmické charakteristiky. Postup bude samozřejmě opačný. Semilogaritmický papír ke ztažení Logaritmický papír ke ztažení ( jω ( jω strana 10/10