3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek i,j,k ortonormální vektory Společná velikost vektorů j (x,y) souřadnicová rovina (y,z) souřadnicová rovina (x,z) souřadnicová rovina x,y,z osy V technické praxi se převážně užívá pravotočivý kartézský systém
3.1.Kartézský souřadnicový systém p...půdorysna n...nárysna m...bokorysna x...základnice x = p n y = p m z = n m B 2...nárys bodu B B 1...půdorys bodu B B 3...bokorys bodu B Poloha bodu B v prostoru je určena trojicí čísel x,y,z. Jsou to orientované vzdálenosti bodu B od souřadnicových rovin. Trojici (x,y,z) říkáme kartézské souřadnice
3.2 Základní pojmy Mongeova promítání p...půdorysna n...nárysna x...základnice x p n B 2...nárys bodu B B 1...půdorys bodu B B 2 B 1...ordinála Spojnice sdružených průmětů (ordinála) B 1,B 2, (B 1 B 2 ), je kolmá k základnici. Přiřazení mezi body v prostoru a sdruženými průměty je vzájemně jednoznačné B B1,B2
3.2 Základní pojmy Mongeova promítání p...půdorysna n...nárysna x...základnice x p n B 2...nárys bodu B B 1...půdorys bodu B B 2 B 1...ordinála Spojnice sdružených průmětů (ordinála) B 1,B 2, (B 1 B 2 ), je kolmá k základnici. Přiřazení mezi body v prostoru a sdruženými průměty je vzájemně jednoznačné B B1,B2
3.4 Průměty základních útvarů Přímka a v obecné poloze N = a n..nárysný stopník přímky a P = a p..půdorysný stopník přímky a a 2...nárys přímky a a 1...půdorys přímky a b...nárysně promítací rovina přímky a a...půdorysně promítací rovina přímky a Sdružené průměty a 1,a 2 určují přímku a v prostoru jednoznačně. Je-li dán jeden průmět bodu A přímky a, lze jednoznačně určit zbývající průmět bodu A
3.4 Průměty základních útvarů Přímka a v obecné poloze N 2..nárysný průmět nárysného stopníku přímky a N 1..půdorysný průmět nárysného stopníku přímky a P 2.. nárysný průmět půdorysného stopníku přímky a P 1.. půdorysný průmět půdorysného stopníku přímky a a 2...nárys přímky a a 1...půdorys přímky a Sdružené průměty a 1,a 2 určují přímku a v prostoru jednoznačně. Je-li dán jeden průmět bodu A přímky a, lze jednoznačně určit zbývající průmět bodu A
3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy přímky, h n, f p, c x 12 h 2...nárys přímky h jako bod h 1...půdorys přímky h kolmice na základnici N h n..nárysný stopník přímky P h p..půdorysný stopník přímkynevlastní bod
3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy přímky, h n, f p, c x 12 h 2...nárys přímky h jako bod h 1...půdorys přímky h kolmice na základnici N h n..nárysný stopník přímky P h p..půdorysný stopník přímkynevlastní bod
3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka horizontální h p, h 2...nárys přímky h - h 2 x 12 h 1...půdorys přímky h N h n..nárysný stopník přímky P h p..půdorysný stopník přímky-nevlastní bod N 1 půdorysný průmět nárysného stopníku N 2 nárysný průmět nárysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka horizontální h p, h 2...nárys přímky h - h 2 x 12 h 1...půdorys přímky h N h n..nárysný stopník přímky P h p..půdorysný stopník přímky-nevlastní bod N 1 půdorysný průmět nárysného stopníku N 2 nárysný průmět nárysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka frontální, f n, f 2...nárys přímky f f 1...půdorys přímky f- f 1 x 12 N f n..nárysný stopník přímky - nevlastní bod P f p..půdorysný stopník přímky P 1 půdorysný průmět půdorysného stopníku P 2 nárysný průmět půdorysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů Hlavni přímky, přímka frontální, f n, f 2...nárys přímky f f 1...půdorys přímky f- f 1 x 12 N f n..nárysný stopník přímky - nevlastní bod P f p..půdorysný stopník přímky P 1 půdorysný průmět půdorysného stopníku P 2 nárysný průmět půdorysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů a) třemi body B 2 C 2 Určení roviny: A 2 x 12 B 1 A 1 b) dvěma různoběžkami u2 C 1 B 2 v2 x 12 u1 B 1 v1 c) dvěma rovnoběžkami a 2 b 2 x 12 a 1 b 1 d) přímkou a bodem M p p 2 M 2 x 12 V Mongeově promítáni budeme rovinu která není kolmá k průmětně, zadávat pomocí sdružených průmětů určujících prvků. p 1 M 1
3.4 Průměty základních útvarů Určení roviny třemi body Rovina může být určena rovnou stopami. n a = a n..nárysná stopa roviny p a = a p..půdorysná stopa roviny n 2 x 12 p 1 n 2 nárysný průmět nárysné stopy roviny p 1 půdorysný průmět půdorysné stopy roviny Pří hledání stop roviny využijeme faktu že stopníky přímek ležících v rovině nutně leží na stopách roviny.
3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy roviny a) půdorysně promítací b) nárysně promítací c) kolmá k základnici d) rovnoběžná s některou z průměten Polohu roviny považujeme za zvláštní když je kolmá k některé z průměten, případně k oběma. Půdorysem roviny s (s p) je přímka, kterou označíme s 1, nárysem je celá průmětna.
3.4 Průměty základních útvarů Zvláštní polohy roviny a) půdorysně promítací b) nárysně promítací c)kolmá k základnici d)rovnoběžná s některou z průměten Je-li rovina v obecné poloze, můžeme z jednoho průmětu bodu roviny, podobně jako u přímky, určit zbývající průmět. U zvláštních poloh roviny tomu tak vždy není.
3.4 Průměty základních útvarů Půdorysně promítací rovina Je-li rovina v obecné poloze, můžeme z jednoho průmětu bodu roviny, podobně jako u přímky, určit zbývající průmět. U zvláštních poloh roviny tomu tak vždy není.
3.5 Polohové úlohy Vzájemná poloha přímek a) různoběžné b) rovnoběžné c)mimoběžné Zkoumáme-li vzájemnou polohu základních útvarů, tj. bodů, přímek a rovin, vycházíme z toho, že rovnoběžné promítaní zachovává incidenci. Takže platí A m A 1 m 1, A 2 m 2 Snadno nahlédneme, že sdružené průměty různoběžných přímek (v obecné poloze) jsou dvojice různoběžných přímek, jejichž průsečíky leží na kolmici k základnici. R a b R 1 a 1 b 1, R 2 a 2 b 2, R 1 R 2 x 1,2 Pro sdružené průměty přímek a b v obecné poloze platí: a1 a2, a2 b2.
3.5.1 Úloha Je dán půdorysný průmět bodu A 1. Najdi A 2 tak aby bod ležel v rovině určené různoběžkami b, c.
3.5.2 Hlavní přímky roviny
3.5.2 Úloha Sestrojte hlavní přímky v rovině s, která je dána třemi body A, B, C. Dáno: s = (A,B,C ) Hledáme: h horizontální hlavní přímku h p, h s Řeš obdobnou úlohu. Hledáme: f frontální hlavní přímku f n, f s
3.5.3 Úloha Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s Dáno: s = (A,B,C ), m. Hledáme: M m s Této metodě se říká také metoda krycí přímky
3.5.3 Úloha Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s Dáno: s = (A,B,C ), m. Hledáme: M m s Této metodě se říká také metoda krycí přímky
3.5.3 Úloha Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s Této metodě se říká také metoda krycí přímky
3.6 Metrické úlohy Úlohy při nichž řešíme velikosti úseček a úhlů Definice. Úhel dvou mimoběžných přímek je definován jako úhel dvou s nimi rovnoběžných různoběžek Definice. Přímka je kolmá k rovině je-li kolmá ke všem přímkám roviny Věta. Přímka je kolmá k rovině je-li kolmá alespoň ke dvěma různoběžným přímkám roviny Poznámka. Rovina je kolmá k rovině jestliže obsahuje alespoň jednu přímku k ní kolmou
3.6.1 Sklápění promítací roviny do průmětny
3.6.2 Úloha Sestrojte skutečnou velikost úsečky AB. Jiné řešení úlohy: sklápěj úsečku AB do hlavní roviny p p procházející bodem A použij pro sklápění nárysně promítací roviny
3.6.3 Úloha Zobrazte rovnostranný trojúhelník DABC ležíci v rovině s,(s n), je-li dána jeho strana AB. Zobrazíme jedno ze dvou řešení.
3.6.4 Úloha Zobrazte kružnici k=(s,r) ležíci v rovině s,(s n). Snadno nahlédneme, že sdružené průměty kružnice ležící v promítací rovině můžeme sestrojit přímo bez sklopení kružnice.
3.6.5 Přímka kolmá k rovině Poznámka. Kolmice m k rovině s je kolmá ke všem přímkám roviny s, tedy i k hlavním přímkám (stopám) této roviny. Věta. Pravý úhel mezi přímkami a,b se pravoúhlým promítáním zachová, je-li alespoň jedno jeho rameno rovnoběžné s průmětnou p nebo v ní leží. 3.6.6 Úloha Daným bodem M sestrojte přímku m kolmou k rovině s
3.6.6 Úloha Daným bodem M sestrojte přímku m kolmou k rovině s V našem případě se omezíme pouze na nalezení průmětů kolmice, nehledáme průsečík s rovinou s
3.6.7 Úloha Daným bodem M sestrojte rovinu kolmou k dané přímce m.
3.6.7 Úloha Daným bodem M sestrojte rovinu kolmou k dané přímce m. V našem případě se omezíme pouze na nalezení průmětů kolmice, nehledáme průsečík s rovinou s
To je konec