Příklady k přednášce 13 - Návrh frekvenčními metodami Michael Šebek Automatické řízení 2015 30-3-15
Nastavení šířky pásma uzavřené smyčky Na přechodové frekvenci v otevřené smyčce je (z definice) Hodnota L( jωc ) T( jωc ) = 1 + L( jω ) ale ještě závisí na fázi L( jω c ), tedy na PM Pro PM = 90 je L( jω ) = j a má fázi - 90, takže c j 1 T( jωc ) = = 0.707 1 j 2 V tomto případě je tedy šířka pásma uzavřené smyčky právě rovna přechodové frekvenci otevřené smyčky! ω BW = ω c c L( jω c ) = 1 Pro menší PM hodnota T( jω c ) roste, vzniká rezonanční špička. Tím se šířka pásma ωbw posouvá doprava, ale obvykle nepřekročí 2ω c Je tedy obvykle ωc ωbw 2ωc Proto nastavujeme ω (OL!!!) s cílem zajistit požadované ω (CL!!!) c BW Michael Šebek ARI-13-2013 2
Souvislost ω c a ω BW Bodeho graf T( jω) s vyznačenou ω a hodnotami ω c BW pro různé PM Obvykle je ω ω 2ω c BW c Pro druhý řád bez nul je v závislosti na ζ vynesen v grafu poměr 1 0.95 0.9 0.85 ω c ω BW 1 0.8 2 4 ωc 2ζ + 1+ 4ζ 1 =,1 2 4 2 ωbw (1 2 ζ ) + 4ζ 4ζ + 2 2 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Michael Šebek ARI-13-2013 3 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 ζ 1 2
Opakování: ustálené chování z Bodeho grafu >> L=(1+s)/(2+s)/(3+s), M =15dB v=value(l,0),l=l/v*10^(15/20),k=value(l,0),bode(l) L = 34 + 34s / 6 + 5s + s^2 K = 5.6234 >> KpdB=20*log10(abs(value(L,j*.01))), Kp=10^(15/20) KpdB = 15.0003, Kp = 5.6234 >> einfty = 1/(1+Kp) einfty = 0.1510 počáteční sklon je 0 a tak systém je typu 0 (bez astat.) počáteční hodnota asymptoty je 15 db a tak je 15 20 K = 15d B = 10 = 5. 623 p ustálená odchyl. na skok je estep,ss = 1 1+ K p = 0.151 ( ) L=(1+s)/(2+s)/(3+s)/s,v=value(coprime(s*L),0);L=L/v*10, L = 60 + 60s / 6s + 5s^2 + s^3 Kv=value(coprime(s*L),0),bode(L) Kv = 10 ω =10 počáteční sklon je 20 db/dek a tak systém je typu 1 (s astatismem 1. řádu) protažená počáteční asymptota protíná nulovou přímku pro frekvenci ω =10 a tak je K = 10 ustálená odchylka na rampu je v e ( ) 1 0.1 ramp = K v = Michael Šebek Pr-ARI-12-2013 4
Srovnání časového a frekvenčního chování Michael Šebek Pr-ARI-12-2013 5
Příklad: Nastavení K p regulátorem P Soustava 5 Gs () = s + 2 +32dB K e p ss = 2.5, K = 20 log 2.5 = 8dB p,db 1 = = 0.29 1+ K p Chceme K e ss,2 ss,2 0.01 p,2 99 ess,2 p,2,db Použijeme K 1 e = K = = = 20 log 99 = 40dB K 99 2.5 p,2 = = = K p db p,2, p,db 39.6 K = K K = 40 8 = 32dB (pozor - výsledek je moc rychlý, s velkou špičkou akčního zásahu ) 6
Příklad: Nastavení K v regulátorem P 58390 Soustava má 1 Gs () = Kv = 16.22 eramp ( ) = = 0.0617 s( s+ 36)( s+ 100) Kv Chceme-li odchylku na rampu zmenšit 10x, musíme nastavit K v = 162.2 A tedy zvětši zesílení 10x, čímž dostaneme 583900 Ls () = Takže s s+ 36 s+ 100 ( )( ) ale pozor, výsledek je nestabilní! Tady P regulátor úlohu nevyřeší! 7
Příklad: Nastavení zesílení na požadovaný PM Pro systém řízení polohy z obrázku nastavte zesílení předzesilovače tak, aby měl výsledný systém při skoku reference překmit 9.5% Z požadavku na překmit vypočteme požadované tlumení (dominantních pólů) ln(%os 100) ln(0, 095) ζ = = = 0.5996 0, 6 2 2 2 2 π + ln (%OS 100) π + ln (0,095) a z toho požadované PM 2ς 2 0.6 PM = arctan = arctan = 1.0326 59.2 2 4 2 4 2ς + 1+ 4ς 2 (0.6) + 1+ 4 (0.6) Přenos otevřené smyčky je s neurčitým K Abychom mohli nakreslit Bodeho graf a navrhovat graficky, musíme zvolit nějakou hodnotu K. Tak třeba pro K = 3.6 dostaneme Ls () = s s L K = 3.6 100K ( + 36)( s+ 100) () s = s s 360 ( + 36)( s+ 100) 8
Tedy nakreslíme Bodeho graf a na něm najdeme frekvenci, pro kterou je fáze Z grafu tedy odečteme Pro tuto frekvenci je amplituda a proto musíme zvětšit zesílení o 44,2 db, tedy cca 162.2 krát Tím dostaneme hledané Ls () = s s 58390 ( + 36)( s+ 100) Nezbytná simulace ověří správnost návrhu Pro pozdější pokračování příkladu ještě odměříme Kv = 16.22 e ( ) = 0.0617 ramp ( ( )( )) L ( s) 360 s s 36 s 100 K = 3.6 = + + L( jω ) = 180 + 59.2 = 120.8 ω =14.8rad s L( ω ) = M( ω ) = 0.0062 = 44.2dB 44.2 db 120.8 Pokračování ω =14.8rad s 9
Příklad: Nastavení PD Přenos soustavy (aircraft attitude) Specifikace e 0.000443 K 1 e = 2257 ramp, ss v ramp, ss PM 80 Nejprve nastavíme K p = 181.19, abychom zvýšili K v,1 = 12.5 na K v =2258 a tím zajistili požadovanou ustálenou odchylku Dále budeme hledat složku ( 1+ KDs) PD regulátoru pro přenos Gs () = 4500 s( s+ 361.2) K p 45dB K v,1 = 12.5 K v,2 = 2257 KGs () = P 815350 s( s+ 361.2) 10
Pokračování: Nastavení PD Vykreslíme Bodeho graf přenosu ( 1 K s) Ls () = KP + D Gs () 815350 = s s+ 361.2 + ( ) ( 1 K ) Ds pro K d = 0 Najdeme ω D, na které je PM = požadavek (fáze regulátoru na ω D ) = 80-45 = 35 kde je tedy fáze = -180 + 35 = -145 To je ω D = 516 Vypočteme 1 1 KD = = = 0.0019 ω 516 Výsledné L má Bodeho graf Specifikace je splněna: PM = 84.9 D 145 Fáze PD regulátoru ω D = 35 516 45 0.1K P K D ω D = KP KD 10K P K D 11
Pro přenos soustavy Ještě jeden příklad: Nastavení PD Gs () = s s 7 1.5 10 + 3408.3s+ 1204000 2 ( ) Řekněme, že jsme již navrhli K P = 1 a teď nastavme K D v PD regulátoru pro dobré PM Nakreslíme Bodeho graf pro hodnoty ( 1+ KDs) K D = 0, 0.002, 0.005, 0.02 Nekompenzovaný systém (K d = 0) má PM = 7.78 Pokud bychom chtěli dosáhnout PM = 58.5 PM = 80, musel by regulátor PM = 47.6 přidat 72,22 a to na nové ω c Z grafu vidíme, že se to nepodaří, protože vyšší zesílení regulátoru PM = 7.78 posunuje ω c k vyšším frekvencím, Kde fáze nekompenzovaného systému klesá rychleji než ji kompenzátor přidá. PM = 25.9 12
Pro přenos soustavy Gs () = Najděte PI regulátor, který zlepší z PM = 22.6 na PM new = 65 Nakreslíme Bodeho graf Ls () = ( + ) 815350K s K K 2 s ( s+ 361.2) P I P nejprve pro K p = 1 a K I = 0 Z požadavku PM new =65 najdeme ω c,new = 170 rad/s a vypočteme K P G j ( ωc, new ) db 20 21.5 20 815350 s( s+ 361.2) = 10 = 10 = 0.084 K I volíme tak, aby byla zlomová frekvence o dekádu menší než ω c,new K K = ω 10 K I P c, new = K ω 10 = 0.084 170 10 1.42 I P c, new Příklad: Nastavení PI ω = 868 13 115 PM new = 65 ω c, new = 170 c PM = 22.6
Příklad: Nastavení PI Pro toto K = 1.42 vypočteme přenos a nakreslíme Bodeho graf Naměříme PM new =59, což specifikaci nesplňuje Zkusíme tedy ještě vzít ještě menší K I (= posunout zlom, frek. ještě více vlevo), Např. K I = 0.07 vede na přenos L () s = 2 2 s PM new = 64.3 I ( ) 815350KP s+ KI KP 68489( s + 16.9) Ls () = = 2 2 s ( s+ 361.2) s ( s+ 361.2) 68489( s + 0.833) s ( s+ 361.2) 14
Pro přenos soustavy 815265 Gs () = s( s+ 361.2) Najděte PI regulátor, který zlepší z PM=22.6 na PM=65 Nakreslíme Bodeho graf Ls () = ( + ) 815265K s K K 2 s ( s+ 361.2) P I P nejprve pro K p = 1 a K I =0 Z požadavku PM new = 65 najdeme ω c,new = 170 rad/s a vypočteme Příklad: Nastavení PI K P G j ( ωc, new ) db 20 21.5 20 = 10 = 10 = 0.084 Dále vykreslíme Bodeho rafpřenos pro toto nové K p a několik různých K I = 0; 0.008; 0.08;0.8;1.6 PM = 65 ω c, new = 170 ω = 868 c PM = 22.6 15
PID Viz doplňkový text 16
Zadání: Pro soustavu Fs () = Příklad: Návrh regulátoru Lag 1 ( + 2)( s+ 30) s s navrhni Lag regulátor splňující tyto specifikace: e, 0.05, PM 45 ss ramp Řešení: 1. Najdeme hodnotu zesílení zajišťující požadovanou odchylku: () () K L1 s = KF s = s( s+ 2)( s+ 30) 1 1 1 60 60 ess, ramp = = = = 0.05 K = 1200 K lim sl ( s) K K 0.05 v s 0 2 30 Tento OL přenos dává špatné PM a GM 1 >> K=1200;F=1/s/(s+2)/(s+30);L1=K*F L1 = 1200 / 60s + 32s^2 + s^3 >> [GM,PM,om_cp,om_cg]=margin(tf(L1)) GM = 1.6000 PM = 6.6449 om_cp = 7.7460 om_cg = 6.1031 >> GM_dB = 20*log10(GM) GM_dB = 4.0824 Michael Šebek ARI-13-2013 17
Příklad: Návrh regulátoru Lag 2. Nakreslíme Bodeho graf L 1200 L1 () s = s s+ 2 s+ 30 ( )( ) Z požadovaného PM vypočteme potřebnou fázi =125 a na ní najdeme nové ω c,new = 1.28 rad/s Na této frekvenci zjistíme potřebné zeslabení Magnitude (db) Phase (deg) 50 40 30 20 10 180 + 45 + 10 0-10 -90-135 -180 C( jω ) = 22.1dB c, new db System: untitled1 Frequency (rad/s): 1.31 Magnitude (db): 22.1 System: untitled1 Frequency (rad/s): 1.28 Phase (deg): -125-225 10-1 10 0 10 1 3. Vypočteme parametr a z naměřených hodnot nebo z přenosu a C( jω ) = 22.1dB c, new db 1 22.1 C( jω ) c, new 20 20 = C( jω ) = 10 db = 10 = 0.0785 c, new ( / ) >> aa=1/abs(value(l1,j*1.28)) aa = 0.0761 Michael Šebek ARI-13-2013 18
4. Vypočteme nulu a pól 5. Výsledný regulátor je p c z c ω 10 c, new = = Příklad: Návrh regulátoru Lag 0. 128 = az = 0.0785 0.128 = 0.0101 c C lag () s as + pc 0.0785s + 0.0101 = = s+ p s+ 0.0101 c 6. Konečně ověříme splnění specifikací Michael Šebek ARI-13-2013 19
Příklad: Návrh regulátoru Lag 6. Magnitude (db) 100 80 60 40 20 0-20 -40-60 -80 Bode Diagram 20 20 rad/s rad/s -100-90 System: untitled3 Phase Margin (deg): 49 Delay Margin (sec): 0.65 At frequency (rad/s): 1.32 Closed loop stable? Yes Phase (deg) -135-180 49-225 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 F ( d/ ) >> Kv=value(coprime(s*L2),0), e_ss_ramp=1/kv Kv = 20.0000, e_ss_ramp = 0.0500 Michael Šebek ARI-13-2013 20
Jiný příklad: Kompenzace Lag V systému řízení polohy bylo předchozí 58390 Ls () = metodou nastaveno zesílení tak, že s( s+ 36)( s+ 100) Výsledný systém má překmit 9.5% a 1 Kv = 16.22 eramp ( ) = = 0.0617 Kv Přidejte Lag kompenzaci tak, aby ustálená odchylka na rampu byla 10x menší a přitom se překmit nezhoršil Požadavek na ustálený stav vede na K v = 162.2, takže musíme zesílení ještě zvětšit 10, čímž dostaneme 583900 Ls () = Požadavek překmitu 9.5% vede na s( s+ 36)( s+ 100) ς = 0.6 PM = 59.2 Protože Lag sníží PM málo, ale přece jen (počítáme se zhoršením PM = 5 12 ), uvažujeme raději PM = 59.2 + 10 = 69.2 Najdeme frekvenci ω, pro kterou je fáze L( jω ) = 180 + 69.2 = 110.8 21
Pokračování: Kompenzace Lag Z požadované fáze 110.8 určíme frekvenci ω = 9.8rad s 24dB Ls () = ( + 36)( s+ 100) s s 583900 A z ní pak současnou hodnotu 20 log M ( ω ) = 24 db 110.8 ω = 9.8rad s Protože z definice PM má pro ω být 20log M ( ω ) = 0dB ω = 9.8rad s Musí lag provést na frekvenci zeslabení 24dB 22
Pokračování: Kompenzace Lag Nakreslíme asymptotu pro vysoké frekvence ve 20 log M ( ω ) = 24 db 1 α T = 0.062 rad s 20dB dek 24dB 1 T = 0.98rad s Horní rohovou frekvenci ω volíme cca dekádu vlevo od ω = 9.8rad s, tj. asi 1 T = 0.98rad s Odtud pokračujeme nahoru se sklonem 20dB dek až k 0dB, což dosáhneme pro 1 α T = 0.062 rad s Dosazením do dostaneme s+ 1 T s+ 0.98 Cs () = = s+ 1 T s+ 0.062 To má správný tvar, ale ještě ne zesílení, takže nastavíme DC zesílení kompenzátoru 0.063 s + 0.98 K DC() s = KCs C () = C = 1 α = p z DC(0) = 1 = 0dB s + 0.062 23 α ( )
Pokračování: Kompenzace Lag Výsledek je 583900 ( + 36)( s+ 100) s s 0.063( s + 0.98) = s + 0.062 36787( s + 0.98) s s ( + 36)( s+ 100 )( s+ 0. 062) Kompenzovaný systém Lag Kompenzátor Zesílený nekompenzovaný systém Step response Ramp response 24
Opět se vrátíme k průběžnému příkladu řízení polohy a navrhněme regulátor dle specifikací: OS 20%, K v = 40, T p = 0,1s Nejprve nastavíme zesílení tak, aby K v = 40 K = lim sl( s) = 0.0278K = 40 K = 1440 v s 0 Dosadíme a dále pracujeme dále s přenosem Ze zadaných specifikací vypočteme PM a ω BW : Příklad: Kompenzace Lead Ls () = Ls () = 100K ( + 36)( s+ 100) s s 144 000 ( + 36)( s+ 100) ln(%os 100) 2ς ζ = 0.456 PM = arctan 48.1 2 2 π + ln (%OS 100) 2 4 2ς + 1+ 4ς π ωbw = ( ς ) + ς ς + = 2 1 ζ T p s s 2 4 2 1 2 4 4 2 46.6 rad s 25
Příklad: Kompenzace Lead Nakreslíme Bodeho graf pro Ls () = Tento nekompenzovaný systém má PM = 34,1 Pomocí kompenzace Lead zvýšíme PM na požadovanou hodnotu Jelikož Lead také zvyšuje ω C, přidáme ještě určitý korekční faktor, abychom kompenzovali nižší fázi nekompenzovaného systému pro vyšší ω C Faktor zvolíme 10º Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze 144 000 ( + 36)( s+ 100) s s 48.1 34 + 10 = 24.1 26
Příklad: Kompenzace Lead Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze 48,1-34 + 10 = 24,1 Celkem musí mít kompenzovaný systém PM = 48.1 a ω BW = 46.6rad s Pokud by nebyl výsledek uspokojivý, musíme zopakovat návrh s jiným korekčním faktorem Z požadavku na přírůstek fáze máme φ max = 24.1 a z toho Dále je β 1 sinφ 1+ sinφ max = = max 0.42 1 D( ωmax ) = = 3.76dB β Když vybereme ωc, new = ωmax, tak na této frekvenci musí být amplituda nekompenzovaného systému -3,76 db Podle toho najdeme ω max Michael Šebek Pr-ARI-13-2012 27
Příklad: Kompenzace Lead Na Bodeho grafu pro Ls () = s s 144 000 ( + 36)( s+ 100) naměříme ω max = 39 rad s. Pak z a β = 0.42 vypočteme ω max 3.76dB ω = 39 rad s max ω max = T 1 β 1 1 = 25.3, = 60.2 T Tβ a z toho nakonec dostaneme hledaný regulátor 1 s + 1 25.3 ( ) T s + Ds = = 2.38 β 1 s + s + 60.2 βt 28
Příklad: Kompenzace Lead Výsledek: Kompenzovaný systém Nekompenzovaný systém Lead kompenzátor Simulace: OS% = 22.6, PM = 45.5, ω = 39 rad s ω = 68.8rad s, T = 0.075s, K = 40 BW p v C 29