ÚSTAV TERMOMECHANIKY AV Č R, v.v.i.

VÝZKUMNÁ ZPRÁVA Z-8/8 ÚSTAV TERMOMECHANIKY AV Č R, v.v.i. ODVOZENÍ DISPERZNÍCH VZTAHŮ PRO ANIZOTROPNÍ TLUSTÉ DESKY V SYSTÉMU MAPLE OLGA ČERVENÁ, PETR HORA Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i. 8

Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., Dolejškova 5, 8 Praha 8 http://www.it.cas.cz/

Obsah Seznam obrázků Disperzní křivky v anizotropních deskách 6. Úvod.......................................... 6. Metoda parciálních vln................................ 7. Izotropní deska.................................... 8.. Mindlinova metoda oddělených módů.................... 9. Kubická deska..................................... 9.. směr šíření φ =................................. směr šíření φ = 5................................ směr šíření < φ < 5.............................5 Ortotropní deska................................... 5.5. směr šíření φ =............................... 5.5. směr šíření φ = 9.............................. 7.5. směr šíření < φ < 9............................ 9 Interpretace falešných kořenů. Izotropní deska..................................... Ortotropní deska................................... Výpisy programů - Maple 6. Christoffel cubic ortho.mw.............................. 6. dc cubic ortho.mw.................................. 58 Výsledky 7. Izotropní deska.................................... 7. Kubická deska..................................... 75. Ortotropní deska................................... 88 Literatura

Seznam obrázků. Parciální vlny v nekonečné izotropní desce: a) SH, b) SV, c) P........... 7. Materiálové osy X, Y, Z libovolně orientované k osám anizotropní desky x, y, z.. 8. Modely Mindlinových okrajových podmínek..................... 9. Deska s anizotropií orientací () a směr šíření v rovině desky........... Disperzní křivky pro symetrické módy izotropní desky................ Průběh funkce (.9) pro symetrické módy....................... Disperzní křivky pro antismetrické módy izotropní desky.............. Průběh funkce (.) pro antismetrické módy....................5 Disperzní křivky pro symetrické módy v ortotropní desce a směr šíření....6 Průběh funkce (.67) pro symetrické módy pro ortotropní desku pro φ =...7 Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ =.........8 Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ =........ 5.9 Disperzní křivky pro antisymetrické módy v ortotropní desce a směr šíření. 5. Průběh funkce (.68) pro antisymetrické módy pro ortotropní desku pro φ = 5. Disperzní křivky v izotropní desce.......................... 7. Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese............... 76. Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese............... 77. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese............... 78.5 Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese.............. 79.6 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese.............. 8.7 Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese.............. 8.8 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese.............. 8.9 Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese.............. 8. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese.............. 8. Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese.............. 85. Disperzní křivky pro směr šíření φ = v kubické dese.............. 86. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v kubické dese.............. 87. Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce............. 89.5 Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce............. 9.6 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce............. 9.7 Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce............ 9.8 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce............ 9.9 Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce............ 9. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce............ 95. Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce............ 96. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce............ 97. Disperzní křivky pro směr šíření φ = v ortotropní desce............ 98

. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce............ 99.5 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 5 v ortotropní desce.............6 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 55 v ortotropní desce.............7 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 6 v ortotropní desce.............8 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 65 v ortotropní desce.............9 Disperzní křivky pro směr šíření φ = 7 v ortotropní desce............. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 75 v ortotropní desce............ 5. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 8 v ortotropní desce............ 6. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 85 v ortotropní desce............ 7. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 89 v ortotropní desce............ 8. Disperzní křivky pro směr šíření φ = 9 v ortotropní desce............ 9 5

Disperzní křivky v anizotropních deskách. Úvod Na začátku uvedeme krátký souhrn rovnic elastodynamiky ([] []), na které budeme navazovat v dalším výkladu. Pohybové rovnice: T = ρü T ij,j = ρü i, Konstitutivní vztahy: T = C S T ij = C ijkl S kl, (.) Vztahy výchylky-deformace: S = { u + ( u) T } S kl = {u k,l + u l,k }, kde T je tenzor napětí druhého řádu, S je tenzor deformací druhého řádu, C je tenzor elastických modulů čtvrtého řádu, u je vektor výchylek a ρ je hustota materiálu. Napětí přes libovolný povrch s normálou n je dáno: T n T ij n j. Obecně, napětí a výchylky musí být na rozhraní spojité. Tenzor napětí T je symetrický, tj. T ij = T ji. Tenzor deformací S je taktéž symetrický, tj. S kl = S lk. Tenzor elastických modulů C má navíc hlavní symetrii, tj. C ijkl = C klij. Důsledkem těchto symetrií je existence maximálně nezávislých elastických konstant pro nejanizotropnější materiál. Se zvětšující se úrovní symetrie materiálu počet nezávislých elastických konstant klesá, např. pro kubické krystaly a pouze pro izotropní materiály. Zkrácený zápis Pro výpočetní účely je často jednodušší uvažovat 6 nezávislých složek tenzoru napětí a deformací uspořádaných do vektorového tvaru: T = [T T T T = T T = T T = T ] T, S = [S S S S = S S = S S = S ] T, kde jsme použili inženýrskou definici příčných deformací (proto ten činitel u některých členů). Dále budeme používat velké dolní indexy k označení zkráceného zápisu. Tedy {ij = I = ; ij = I = ; ij = I = ; ij = I = ; ij = I = 5; ij = I = 6}. Někdy je nutné přecházet tam a zpět mezi reprezentací tenzorovou (matice řádu ) a reprezentací vektorovou (vektor o délce 6). Např. pro získání složek napětí a deformací v jiných souřadných soustavách je jednodušší použít maticovou (tenzorovou) reprezentaci, ale jinak je téměř vždy výhodnější používat zkráceného zápisu. 6

() l z l() z l () z l () z l(5) z l z (6) a) b) c) Obrázek.: Parciální vlny v nekonečné izotropní desce: a) SH, b) SV, c) P. Konstitutivní vztahy ve zkráceném zápisu přejdou na T T T T T 5 c c c c c 5 c 6 c c c c c 5 c 6 = c c c c c 5 c 6 c c c c c 5 c 6 c 5 c 5 c 5 c 5 c 55 c 56 S S S S S 5 T I = C IJ S J. T 6 c 6 c 6 c 6 c 6 c 65 c 66 S 6. Metoda parciálních vln Ke studiu šíření napěťových vln v izotropních deskách se používají dvě analytické metody: metoda založená na potenciálech s následnou separací proměnných a novější metoda parciálních vln, u které se řešení skládá z jednoduchých vln exponenciálního typu, které putují mezi okraji desky, viz obr.. (SH-příčná horizontální, SV-příčná vertikální, P-podélná). Tato druhá metoda vede k řešení rychleji a přináší lepší náhled do fyzikální povahy vlnového šíření. Při řešení problému šíření vln v anizotropních deskách máme výběr analytické metody zjednodušen. Lze totiž použít pouze metodu parciálních vln. Pro obecné anizotropní médium jsou parciální vlny odvozeny z Christoffelovy rovnice, viz [] ( kiicij k Jj ρω δ ij ) uj =, (.) která byla odvozena z předpokládaného řešení ve tvaru u = u exp [i (k x x + k y y + k z z ωt)], kde u = ˆxα x + ŷα y + ẑα z (.) v pohybové rovnici pro anizotropní prostředí. Ve vztahu (.) se předpokládá sčítání přes opakující se indexy a je užito obvyklé značení indexů i, j = x, y, z a I, J = xx, yy, zz, yz, xz, xy. Matice k ii je k x k z k y k ii = k y k z k x (.) k z k y k x a k Jj je její transpozicí. Materiálové vlastnosti desky jsou popsány hustotou ρ a elastickými konstantami c IJ. 7

z Z y X Y d d x Obrázek.: Materiálové osy X, Y, Z libovolně orientované k osám anizotropní desky x, y, z. Základní princip metody parciálních vln spočívá v jejich vazbě na ostatní vlny přes odrazy na okrajích desky. Vyplývá to ze skutečnosti, že každá parciální vlna na obr.. nebo v anizotropním problému znázorněném na obr.. musí mít stejnou hodnotu k x. To je k x = k = ω/v, kde v je fázová rychlost vlny v desce. Rovnice (.) pak přejde na tvar u j = α j exp [ik(x + l z z)], (.5) s j = x, y, z a l z = k z /k x pro každé parciální vlnové řešení. Substitucí vztahu (.5) do (.) získáme soustavu tří homogenních lineárních rovnic pro α x, α y a α z, kde jsou koeficienty funkcemi ρ, c IJ a ω/k = v. Netriviální řešení existuje, pouze pokud je determinant soustavy nulový. To vede na polynom šestého řádu pro l z, který má šest reálných nebo komplexně sdružených kořenů l z (n), n =,... 6. Parciální vlnové řešení definované těmito kořeny odpovídá třem dopadajícím a třem odraženým vlnám, viz obr.. pro izotropní desku. V anizotropní desce se obvykle parciální vlny neseparují na čistě horizontálně a vertikálně polarizované. K tomu dochází pouze při speciální orientaci materiálu a desky. Vztahy pro parciální vlny jsou nyní u j = 6 n= C n α (n) j exp [ ik(x + l (n) z z) ], (j = x, y, z). (.6) V dalším kroku se vyšetřuje vazba mezi parciálními vlnami na okraji desky. Pro volný povrch desky je třeba splnit následující okrajové podmínky T xz = T yz = T zz =, (.7) na každém povrchu desky, z = ±d viz obr... Substitucí vztahů (.6) do okrajových podmínek (.7) dostaneme soustavu šesti homogenních lineárních rovnic, ve kterých jsou koeficienty C n funkcemi ρ, c IJ, ω/k = v a kd. Opět netriviální řešení existuje, pouze pokud determinant soustavy je roven nule, což určuje disperzní vztah mezi ω a k.. Izotropní deska Disperzní vztahy pro izotropní desku lze rozdělit do tří samostatných rovnic, jak je uvedeno v [], [6] a [5]. SH-módy (Nπ) = (dω/c ) (dk), (.8) 8

kde N je přirozené číslo včetně nuly a c je fázová rychlost příčných vln. Symetrické (dilatační) módy: kde δ = ( v δ β sinh (kd δ) cosh (kd β) ) sinh (kd β) cosh (kd δ) =, (.9) v c, β = v c rychlost, c rychlost podélných a c rychlost příčných vln. Antisymetrické (ohybové) módy: c, k je vlnové číslo, d je polovina tloušťky desky, v je fázová ( v δ β sinh (kd β) cosh (kd δ) c ) sinh (kd δ) cosh (kd β) =. (.).. Mindlinova metoda oddělených módů Pro snažší pochopení chování symetrických a antisymetrických módů vyvinul Mindlin [7] metodu oddělených módů, která spočívá v zavedení speciálních okrajových podmínek nebo T xz =, u z = (.) T zz =, u x =. (.) Tyto okrajové podmínky nelze realizovat v praxi, ale lze je simulovat namazanými tuhými poloprostory (viz obr.. vlevo) a mikroskopickým řetízkem (viz obr.. vpravo). Pro tyto speciální okrajové podmínky degenerují symetrické a antisymetrické módy do oddělených SVmódů, popsaných vztahem (.8), a oddělených P-módů, popsaných následujícím vztahem (Mπ) = (dω/v L ) (dk). (.) Obrázek.: Modely Mindlinových okrajových podmínek. Mindlinovy disperzní křivky jsou spolu s disperzními křivkami pro symetrické a antisymetrické módy izotropní desky zakresleny v obr.... Kubická deska Disperzní chování v anizotropních deskách závisí na směru šíření. Uvažujeme desku s anizotropií orientací () a vyšetřujeme šíření v rovině desky. Směr šíření je dán úhlem φ mezi osou x a vlnovým vektorem viz obr... Nejdříve zaměříme na směry šíření v rovinách symetrie krystalu. Pro kubickou desku jsou to směry šíření [] a [], (tj. φ = a φ = 5 ). 9

z z d y y d x φ x Obrázek.: Deska s anizotropií orientací () a směr šíření v rovině desky... směr šíření φ = V tomto případě se Christoffelova rovnice (.) redukuje na c + c l z (n) ρv (c + c ) l z (n) c ( + l z (n) ) ρv (c + c ) l z (n) c + c l z (n) ρv kde α x (n), α y (n) na a a α (n) z α x (n) α y (n) α (n) z =, (.) jsou složky polarizace n-té parciální vlny. Determinant soustavy se rozdělí (c + c l (n) z c ( + l (n) z ) ρv = (.5) ρv )(c + c l (n) z ρv ) (c + c ) l (n) z =. (.6) SH-módy Uvažujme první dva kořeny l z (n) rovnice (.5), které spojíme s n = 5, 6. Odpovídající parciální vlny l z (5) = (ρv /c ), α (5) =, SH (.7) l z (6) = l z (5), α (6) = α (5), kde v = ω/k, jsou horizontálně polarizované. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.8) Jedná se o čistě SH-módy stejně jako v izotropním případě. Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.6) l (n) z = B ± B A c c, (.9) kde A = c c (c ρv )(c ρv ) a B = (c ρv ) c + (c ρv ) c (c + c ),

vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): l z () B + B = A α x () (c + c ) l z (), α () = c c α y () =, α z () c + c l z () ρv SV (.) P l () z = l () z, α () = l () z = B B A c c, α () = l () z = l () z, α () = α x () α () z α x () α y () α z () α x () α () z, =. (c + c ) l () z c + c l () z ρv, (.) Vztahy jsou odvozeny pomocí systému pro symbolické výpočty Maple. Rovnice (.) až (.) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky T xz = T zz = jsou splněny, pokud platí ( ) ( ) ( tan l z () kd c α x () + c α z () l z () ( ) = ( ) ( tan l z () kd c α x () + c α z () l z () α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () ) ) (.) nebo ( tan ( tan l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ). (.) Rovnice (.) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.) závislost pro antisymetrické módy. Mindlinovy okrajové podmínky (.) resp. (.) jsou splněny, pokud platí nebo sin ( l () z kd ) = (.) sin ( l () z kd ) =. (.5) Tyto disperzní závislosti (.8) a (.) až (.5) byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Disperzní křivky pro SH módy, symetrické a antisymetrické módy v kubické desce jsou pro směr šíření φ = zakresleny spolu s Mindlinovými disperzními křivkami v obr...

.. směr šíření φ = 5 V případě, kdy má deska s kubickou anizotropií orientaci () a vyšetřujeme směr šíření [], tj. φ = 5, se Christoffelova rovnice redukuje na (c + c ) + c ( + l z (n) ) ρv (c + c )l z (n) α x (n) c l z (n) + (c c ) ρv α (n) y =. (c + c )l z (n) c + c l z (n) ρv α z (n) (.6) Determinant soustavy se rozdělí na ( ) ( ) (c + c ) + c ( + l z (n) ) ρv c + c l z (n) ρv (c + c ) l z (n) = (.7) a SH-módy Dva kořeny l z (n) (n = 5, 6) rovnice (.8) SH l (5) z = c l (n) z + (c c ) ρv =. (.8) (c c ) + ρv c, α (5) =, l (6) z = l (5) z, α (6) = α (5), (.9) odpovídají parciálním vlnám pro horizontálně polarizované módy. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.) Opět se jedná se o čistě SH-módy stejně jako v předchozím případě. Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.7) kde l (n) z = B ± B A C, (.) A A = c c, B = (c + c ) ρv + (c c ) (c + c ) + c C = ( c, ρ v ) ( c, + c, + (c, ρ v ) ), vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): a

SV P l () z = B + B A C, α () = A l () z = l () z, α () = l () z = B B A C, α () = A l () z = l () z, α () = α x () α y () α z () α x () α () z α x () α y () α z () = α x () α () z, =. (c + c )l () z (c + c ) + c ( + l () z ) ρv (c + c )l () z (c + c ) + c ( + l () z ) ρv, (.) (.) Rovnice (.6) až (.) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky volného povrchu desky (T xz = T yz = T zz = ) jsou splněny, pokud platí ( tg ( tg l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ), ) (.) nebo ( tg ( tg l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ). (.5) Rovnice (.) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.5) závislost pro antisymetrické módy. Mindlinovy okrajové podmínky (.) resp. (.) jsou splněny, pokud platí nebo sin ( l () z kd ) = (.6) sin ( l () z kd ) =. (.7) Disperzní závislosti (.) a (.) až (.7) byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy oddělené módy jsou spolu s disperzními křivkami pro symetrické, antisymetrické a SH módy desky s kubickou anizotropií a směr šíření φ = 5 zakresleny v obr...

.. směr šíření < φ < 5 Uvažujeme opět desku s kubickou anizotropií a orientací () a vyšetřujeme obecný směr šíření v rovině desky jak je znázorněno na obr... Christoffelova rovnice má v tomto případě tvar kde K A + c + c l z (n) ρv K B (c + c )l z (n) ( ) K B l z (n) + c K A ρv (c + c )l z (n) c + c l z (n) ρv K A = sin φ cos φ (c c c ), K B = ( cos φ ) (c c c ) sin φ cos φ. α x (n) α y (n) α (n) z =, (.8) V tomto případě se už nevyskytují SH-módy, ale pouze symetrické a antisymetrické módy. Determinant soustavy vede následující bikubickou rovnici: kde A =c c, A l 6 z + B l z + C l z + D =, (.9) B = (c c ) c + ( c c (c + c ) ρv ) c, ( ( ) ( ) C = ( c + c ) ρ v c K A + KB) + c c KA + ρ v c + (c + c ) ( K A ρ v ) ( c + c c KA + ρ v ) + c (c c ), D = ρ v 6 + ρ v ( c + c ) + ( ) ( ) ρ v c KA (K A + c c ) + KB ρ v c ( c + c ) + c c. Tvary rovnic (.8) a (.9) jsou odvozeny v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Tato rovnice je dále řešena numericky v Matlabu, [5]. Okrajové podmínky volného povrchu desky (T xz = T yz = T zz = ) jsou splněny, pokud platí C A cotg ( l () z kd ) + C B cotg ( l () z kd ) + C C cotg ( l (5) z kd ) = (.) nebo kde C A tg ( l () z kd ) + C B tg ( l () z kd ) + C C tg ( l (5) z kd ) = (.) C A = ( ) [ c α z () l z () + c α (5) y l z (5) ( ) ( )] α () z + l z () α () y l z () l (5) z + α z (5), C B = ( ) [ c α z () l z () + c α () y l z () C C = ( ) [ c α z (5) l z (5) + c α () y l z () α y (n) = K A + ρv K B ( α (5) z + l z (5) ( α () z + l z () ) α (5) y l z (5) ) α () y l z () ( l () z + α z () ( l () z + α z () ( ), α l z (n) z (n) = (c + c )l z (n) + c ρv c c l z (n) )], )] a pro n =,,5.

Rovnice (.) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.) závislost pro antisymetrické módy. Disperzní závislosti byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola. a tvary polarizací parciálních vln α y a α z v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy okrajové podmínky T xz =, u z = nebo T zz =, u x = lze pro kubickou desku použít při φ = a φ = 5. Tedy pouze v případě, kdy sagitální rovina tvoří rovinu symetrie krystalu a lze tedy oddělit SH-módy. Pro obecný úhel šíření, kdy nelze oddělit SHmódy, jsme k získání oddělených módů museli doplnit první dvojici výše uvedených okrajových podmínek o podmínku T yz = a druhou dvojici o podmínku u y =. Takto doplněné podmínky jsou splněny, pokud platí sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =,, 5 a N =,,,... (.) Tyto disperzní závislosti jsou odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Zobecněné Mindlinovy oddělené módy spolu s disperzními křivkami pro symetrické a antisymetrické módy desky s kubickou anizotropií a směry šíření φ =, 5,, 5,, 5,, 5,, jsou zakresleny v obr.....5 Ortotropní deska Nyní budeme vyšetřovat desku ortotropní anizotropií. Opět se nejdříve zaměříme na směry šíření v rovinách symetrie krystalu, tj. pro ortotropní desku směry šíření [] a [], (tj. φ = a φ = 9 )..5. směr šíření φ = V tomto případě se Christoffelova rovnice (.) redukuje na c + c 55 l z (n) ρv (c + c 55 ) l z (n) c l z (n) + c 66 ρv (c + c 55 ) l z (n) c 55 + c l z (n) ρv Determinant soustavy se rozdělí na a (c + c 55 l (n) z α x (n) α y (n) α (n) z =. (.) c l (n) z + c 66 ρv = (.) ρv )(c 55 + c l (n) z ρv ) (c + c 55 ) l (n) z =. (.5) SH-módy Uvažujme první dva kořeny l z (n) rovnice (.), které spojíme s n = 5, 6. Odpovídající parciální vlny l z (5) ρv = c 66, α (5) =, SH c (.6) l z (6) = l z (5), α (6) = α (5) 5

jsou horizontálně polarizované. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby Jedná se o čistě SH-módy. sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.7) Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.5) kde l (n) z = B ± B A c c 55, (.8) A = c c 55 (c ρv )(c 55 ρv ) a B = (c ρv )c + (c 55 ρv )c 55 (c + c 55 ), vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): l z () B + B = A α x () (c + c 55 )l z (), α () = c c 55 α y () =, α z () c + c 55 l z () ρv SV (.9) P l () z = l () z, α () = l () z = B B A c c 55, α () = l () z = l () z, α () = α x () α () z α x () α y () α z () α x () α () z, =. (c + c 55 )l () z c + c 55 l () z ρv, (.5) Rovnice (.) až (.5) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky T xz = T zz = jsou splněny, pokud platí ( tan ( tan l () z l () z ) ( kd ) = kd c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( ) ( α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () ) ) (.5) nebo ( tan ( tan l () z l () z ) kd ) = kd ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ). (.5) 6

Rovnice (.5) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.5) závislost pro antisymetrické módy. Mindlinovy okrajové podmínky (.) resp. (.) jsou splněny, pokud platí sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =, a N =,,,... (.5) Rovnice (.5) pro n = představuje disperzní závislost pro oddělené SV-módy a pro n = závislost pro oddělené P-módy. V souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola., jsou odvozeny disperzní závislosti (.7) a (.5) až (.5). Mindlinovy disperzní křivky jsou spolu s disperzními křivkami pro SH módy, symetrické a antisymetrické módy desky s ortotropní anizotropií zakresleny v obr....5. směr šíření φ = 9 V tomto případě se Christoffelova rovnice (.) redukuje na c + c l z (n) ρv (c + c ) l z (n) c 55 l z (n) + c 66 ρv (c + c ) l z (n) c + c l z (n) ρv Determinant soustavy se rozdělí na a (c + c l (n) z α x (n) α y (n) α (n) z =. (.5) c 55 l (n) z + c 66 ρv = (.55) ρv )(c + c l (n) z ρv ) (c + c ) l (n) z =. (.56) SH-módy Uvažujme první dva kořeny l z (n) rovnice (.55), které spojíme s n = 5, 6. Odpovídající parciální vlny l z (5) ρv = c 66, α (5) =, SH c 55 (.57) l z (6) = l z (5), α (6) = α (5), jsou horizontálně polarizované. Pro splnění okrajových podmínek je třeba, aby sin ( l (5) z kd ) = l (5) z = Nπ/kd pro N =,,,... (.58) Jedná se opět o čistě SH-módy. Symetrické a antisymetrické módy Čtyři kořeny l (n) z (n =,,, ) rovnice (.56) l (n) z = B ± B A c c, (.59) 7

kde A = c c (c ρv )(c ρv ) a B = (c ρv )c + (c ρv )c (c + c ), vedou na zbývající parciální vlny typu P a SV. Znaménko plus vede na kvazipříčné vlny (n =, ) a znaménko mínus na kvazipodélné vlny (n =, ): l z () B + B = A α x () (c + c )l z (), α () = c c α y () =, α z () c + c l z () ρv SV (.6) P l () z = l () z, α () = l () z = B B A c c, α () = l () z = l () z, α () = α x () α () z α x () α y () α z () α x () α () z, =. (c + c )l () z c + c l () z ρv, (.6) Rovnice (.5) až (.6) jsou odvozeny v souboru Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Okrajové podmínky T xz = T zz = jsou splněny, pokud platí nebo ( tan ( tan ( tan ( tan l () z l () z l () z l () z ) ( kd ) = kd ) kd ) = kd c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ( c α x () + c α z () l z () ) ( ) ( ) ( α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () α x () l z () + α z () ) ( α x () l z () + α z () ) ) (.6) ) ). (.6) Rovnice (.6) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.6) závislost pro antisymetrické módy. Disperzní závislosti pro oddělené módy jsou následující: sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =, a N =,,,... (.6) Rovnice (.6) pro n = představuje disperzní závislost pro oddělené SV-módy a pro n = závislost pro oddělené P-módy. Disperzní závislosti (.58) a (.6) až (.6) byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy disperzní křivky spolu s disperzními křivkami pro SH módy, symetrické a antisymetrické módy desky s ortotropní anizotropií pro směr šíření φ = 9 jsou zakresleny v obr... 8

.5. směr šíření < φ < 9 Uvažujeme opět desku s ortotropní anizotropií a orientací () a vyšetřujeme obecný směr šíření v rovině desky, jak je znázorněno na obr... Christoffelova rovnice má v tomto případě tvar kde g = sin φ c 55 + cos φ c, g = sin φ c + cos φ c 55 ρ v, g 9 lz + g g 5 lz + g 7 g 6 l z g 5 lz + g 7 g lz + g g l z g 6 l z g l z g 8 lz + g g = sin φ cos φ (c c + c c 66 ) + c 66 ρ v, g = sin φ cos φ (c c + c c 55 ), g 5 = sin φ cos φ (c c 55 ), g 6 = sin φ (c + c ) + cos φ (c + c 55 ), α x (n) α y (n) α (n) z g 7 = sin φ cos φ ( sin φ (c c c 66 ) cos φ (c c c 66 ) ), g 8 =c, g 9 = sin φ c + cos φ c 55, g = sin φ c + cos φ c + (c + c 66 ) sin φ cos φ ρ v. =, (.65) V tomto případě se už nevyskytují SH-módy, ale pouze symetrické a antisymetrické módy. Determinant soustavy vede následující bikubickou rovnici: kde A =p p 5, A l 6 z + B l z + C l z + D =, (.66) B = (p p 5 + p p 6 p 5 q, ) sin φ + (p p + p 5 p 6 p q ) cos φ (p + p p 5 + p 5 ) χ C =p p 5 r + p 6 r + sin φ cos φ (q p q p q + p q ) + χ r, D =r + ( r 5 + ( S + S 5 χ + p 6 ) χ ) χ, r = (p + p 6 ) sin φ cos φ + S χ, r =S q sin φ + (q p ) sin φ cos φ q cos φ (S 5 + ) χ, r = (q p p 5 ) sin φ + (q p p ) cos φ S + (p + p 5 + ) χ, r = ( p 6 S ( p p 6 q ) sin φ cos φ ) S 5, r 5 = ( p p 6 q ) sin φ cos φ S S 5 p 6 (S + S 5 ), 9

p = c /c, p 5 =c 55 /c, q = ( p + p 8 ) p 8, S =p sin φ + p cos φ, p = c /c, p 6 =c 66 /c, q = ( p 5 + p 7 ) p 7, S =p sin φ + p cos φ, p = c /c, p 7 =c /c, q =p p p S 5 =p sin φ + p 5 cos φ, p = c /c, p 8 =c /c, q =p p 7 + p 5 p 8 + p 7 p 8, χ =ρ ω /c. Tvary rovnic (.65) a (.66) jsou odvozeny v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Rovnice (.66) je pak dále řešena numericky v Matlabu, [5]. Okrajové podmínky volného povrchu desky (T xz = T yz = T zz = ) jsou splněny, pokud platí nebo kde ( C A = ( C B = C C = D x (n) D y (n) D z (n) E x (n) E y (n) α x (n) α y (n) α (n) z = D x () D () C A cotg ( l () z kd ) + C B cotg ( l () z kd ) + C C cotg ( l (5) z kd ) = (.67) y D () C A tg ( l () z kd ) + C B tg ( l () z kd ) + C C tg ( l (5) z kd ) = (.68) x D y () D x (5) D y () D x () D y (5) ( D x () D y (5) D x (5) D y () = α x (n) l z (n) + α z (n), = α y (n) l z (n), = α (n) z = α (n) x cos φ, = α (n) y sin φ, = g g 8 l (n) z ) [ ) [ l z (n) c + α x (n) c, D z (5) + D z () + ) [ D () z + + (g g + g g 8 g ) l (n) z + g g, ( ) ] E x (5) E y (5) cos φ (c c ) c c 55, ( ) ] E x () E y () cos φ (c c ) c c 55, ( ) ] E x () E y () cos φ (c c ) c c 55, = g 5 g 8 l z (n) + (g g 6 g 7 g 8 g g 5 ) l z (n) ) g g 7, ((g g 5 g g 6 ) l z (n) (g g 6 g g 7 ) l z (n), pro n =,, 5, a hodnoty g až g 8 jsou stejné jako v rovnici (.65). Rovnice (.67) představuje disperzní závislost pro symetrické módy a rovnice (.68) závislost pro antisymetrické módy. Disperzní závislosti byly odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola. a tvary polarizací parciálních vln α y a α z v Christoffel_cubic_ortho.mw, viz kapitola.. Mindlinovy okrajové podmínky T xz =, u z = nebo T zz =, u x = lze pro ortotropní desku použít při φ = a φ = 9. Pro obecný úhel šíření, kdy nelze oddělit SH-módy, jsme k získání oddělených módů museli doplnit první dvojici výše uvedených okrajových podmínek o podmínku T yz = a druhou dvojici o podmínku u y =. Takto doplněné podmínky jsou splněny, pokud platí sin ( l (n) z kd ) = l (n) z = Nπ/kd pro n =,, 5 a N =,,,... (.69) Tyto disperzní závislosti jsou odvozeny v souboru dc_cubic_ortho.mw, viz kapitola..

Interpretace falešných kořenů Při numerických výpočtech disperzních závislostí tlustých desek pro ortotropní materiály jsme narazili na problém s výskytem falešných disperzních křivek. V následujících kapitolách provedeme interpretaci tohoto jevu a ukážeme si, proč se nejedná o skutečné disperzní křivky. Jelikož se podobné chování vyskytuje i u disperzních křivek pro izotropní tlustou desku, začneme analýzou disperze v izotropních deskách.. Izotropní deska Disperzní závislosti v izotropní desce jsou dány vztahy (.9) a (.). Průběh disperzních větví pro symetrické resp. antisymetrické módy je znázorněn na obr.. resp. obr.., Poissonovo číslo je.. 5 falešná křivka řez pro dané kd v [m/s] 5 c 5 5 Obrázek.: Disperzní křivky pro symetrické módy izotropní desky Po dosazení za δ a β do vztahu (.9) je zřejmé, že kořenem by pro symetrické módy měla být i rychlost c. Na obr.. je vynesena levá strana rovnice (.9) v závislosti na fázové rychlosti v v řezu zobrazeném na obr... Že se nejedná o skutečný kořen disperzní závislosti, se lze přesvědčit výpočtem odpovídajících výchylek. Výchylky ve směru osy x pro symetrické módy jsou dány vztahy: u x = i [( ) ] c v sinh(kd β) cosh(kz δ) + β δ sinh(kd δ) cosh(kz β), (.) k v c výchylky ve směru osy z u z = δ [( c v k v c ) ] sinh(kd β) sinh(kz δ) + sinh(kd δ) sinh(kz β). (.)

- c c - Re(f ) Im(f ) - 5 6 7 8 v [m/s] Obrázek.: Průběh funkce (.9) pro symetrické módy. 5 falešná křivka řez pro dané kd v [m/s] 5 c 5 5 Obrázek.: Disperzní křivky pro antismetrické módy izotropní desky Dosadíme-li do těchto vztahů v = c, vyjdou nám výchylky nulové a nejedná se tudíž o skutečnou disperzní křivku. Obdobně pro antisymetrické módy po dosazení za δ a β do vztahu (.) je zřejmé, že kořenem by měla být tentokrát rychlost c. Na obr.. je vynesena levá strana rovnice (.) v závislosti na fázové rychlosti v v řezu zobrazeném na obr... Že se nejedná o skutečný kořen disperzní závislosti, se lze opět přesvědčit výpočtem odpovídajících výchylek: u x = i [( ) ] c v cosh(kd β) sinh(kz δ) + β δ cosh(kd δ) sinh(kz β), (.) kv c u z = δ [( ) ] c v cosh(kd β) cosh(kz δ) + cosh(kd δ) cosh(kz β). (.) kv c Dosadíme-li do těchto vztahů v = c, vyjdou nám výchylky nulové a nejedná se tudíž o skutečnou disperzní křivku. Při numerickém hledání kořenů nám tyto falešné křivky nedělají problémy, neboť neprotínají nulu.

- c c - Re(f ) Im(f ) - 5 6 7 8 v [m/s]. Ortotropní deska Obrázek.: Průběh funkce (.) pro antismetrické módy Disperzní vztahy pro obecný úhel šíření φ v ortotropní desce jsou dány vztahy (.67) a (.68). 8 falešné křivky řez pro dané kd v [m/s] 6 5 6 kd [-] Obrázek.5: Disperzní křivky pro symetrické módy v ortotropní desce a směr šíření Průběh vypočtených disperzních větví pro směr šíření φ = pro symetrické módy ortotropní desky je znázorněn na obr..5. Materiál použitý pro výpočty (uhlíkový kompozit) měl následující parametry: c = 8. GPa, c = c =.95 GPa, c =.8 GPa, c 55 = c 66 = 6.7 GPa, c = c = 6.9 GPa, c = 7. GPa a ρ = 58 kg/m, []. Na tomto obrázku je zajímavý především výskyt dvou bezdisperzních křivek (vykresleny čárkovaně). Tyto křivky se kříží s ostatními, což je v rozporu s teorií. Jelikož nás zajímala příčina jejich vzniku, vykreslili jsme si do obr..6 levou stranu rovnice (.67); šipkami je zvýrazněna poloha falešných kořenů. Z obrázku je vidět, že na rozdíl od případu izotropní desky, kde se funkce nuly dotkla, zde ji protíná. Proto numerický program bez problémů průsečík s nulou detekoval jako platný kořen disperzní křivky. Museli jsme proto hledat nějakou jinou metodu jak odstranit tyto falešné kořeny. Vykreslili jsme si tedy v jejich okolí průběhy proměnných C A, C B a C C z rovnice (.67),

x Re(f ) Im(f ) f 5 5 5 5 5 v [m/s] Obrázek.6: Průběh funkce (.67) pro symetrické módy pro ortotropní desku pro φ = viz obr..7 a.8 (reálná část je vykreslena černě, imaginární šedě). Z obrázků je patrné, že v místech falešných kořenů jsou všechny tři proměnné C A, C B i C C rovny nule a proto je splněna rovnice (.67). Z těchto důvodů byl program doplněn o zachytávání falešných kořenů, které je založeno na detekci nulovosti proměnných C A, C B a C C. Následnou analýzou jsme zjistili, že výchylky pro symetrické módy v těchto falešných kořenech jsou nulové. Průběh vypočtených disperzních větví pro antisymetrické módy ortotropní desky pro směr šíření φ = je znázorněn na obr..9. Na tomto obrázku se vyskytuje pouze jedna bezdisperzní křivka. Tato křivka se opět kříží s ostatními. Na obr.. je vykreslena levá strana rovnice (.68). Z obrázku je opět vidět, že zde funkce nulovou hodnotu protíná. Stejně jako v případě symetrických módů je tento falešný kořen způsoben nulovostí všech tří proměnných C A, C B a C C, viz obr..8. Následnou analýzou jsme zjistili, že i výchylky pro antisymetrické módy v tomto falešném kořenu jsou nulové. 5 C A C B -5 6 7 8 9 v [m/s] Obrázek.7: Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ = C C

5 C A C B -5 5 5 5 v [m/s] Obrázek.8: Průběhy parametrů C A, C B, C C pro ortotropní desku pro φ = 8 C C falešná křivka řez pro dané kd v [m/s] 6 5 6 kd [-] Obrázek.9: Disperzní křivky pro antisymetrické módy v ortotropní desce a směr šíření 5 x f x Re(f ) Im(f ) 5 5 5 5 5 v [m/s] Obrázek.: Průběh funkce (.68) pro antisymetrické módy pro ortotropní desku pro φ = 5

Výpisy programů - Maple. Christoffel cubic ortho.mw V tomto souboru je odvozen tvar Christoffely rovnice, tvary jejích kořenů a polarizací parciálních vln pro kubickou a ortotropní desku. Tento soubor je vytvořen systémem pro symbolické výpočty Maple, [] Pro kubickou desku a směr šíření φ = jsou to rovnice (.) až (.), směr šíření φ = 5 rovnice (.6) až (.) a pro obecný směr šíření rovnice (.8) a (.9). V případě ortotropní desky jsou zde odvozeny pro směr šíření φ = rovnice (.) až (.5), směr šíření φ = 9 rovnice (.5) až (.6) a pro obecný směr šíření rovnice (.65) a (.66). 6

Determinant charakteristické rovnice vede na bikubickou rovnici pro lz. Nalezení koeficientů této bikubické rovnice. Ty budou dále použity ve funkcích Fortho fi.m > restart; > #material:= cubic; material:= ortotropic; smer:=phi; #smer:=; # () #smer:=pi/; # () - cubic #smer:=pi/; # () - ortotropic * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material := cubic material := cubic smer := φ smer := material := cubic smer := π material := ortotropic material := ortotropic smer := φ smer := Vytvoření Christoffelovy matice ve shodě s článkem []: material := ortotropic smer := π > with(linearalgebra): > Kmat := <<kx,, > <, ky, > <,, kz> <, kz, ky> <kz,, kx> <ky, kx, >>: > ky :=: kz := kx*lz: kx := : Tenzor elastických modulů > if material = cubic then dd := <<c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <,,, c[,],, > <,,,, c[,], > <,,,,, c[,]>>: else dd := <<c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <c[,], c[,], c[,],,, > <,,, c[,],, > <,,,, c[5,5], > <,,,,, c[6,6]>>: end if: Matice transformace soustavy souřadnic dle [] (str. 9 - šestirozměrný prostor). 7

> alu := Transpose(<<a[,]^, a[,]^, a[,]^> <a[,]^, a[,]^, a[,]^> <a[,]^, a[,]^, a[,]^>>): aru := *Transpose(<<a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]>>): alb := Transpose(<<a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]> <a[,]*a[,], a[,]*a[,], a[,]*a[,]>>): arb := Transpose( <<a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,]> <a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,]> <a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,], a[,]*a[,]+a[,]*a[,]>>): aa := <<alu, alb> <aru, arb>>: Rotace okolo osy z. > a := <<cos(f), -sin(f), > <sin(f), cos(f), > <,, >>: Rotovaná matice > d_rot := Multiply(Multiply(aa,dd),Transpose(aa)): d_rot := Map(simplify,d_rot): f:=smer: Charakteristická rovnice : Christoffelova matice - rho v > ChM := Multiply(Multiply(Kmat,d_rot),Transpose(Kmat)) -Multiply(rho*v^,IdentityMatrix()): ChM. Pro směr φ předpokládáme ChM v následujícím tvaru: (pořadí g je takové, aby odpovídalo publikacím [7], [8] a []) > material:=material; smer:=smer; if smer = phi then if material = cubic then K_a:=factor(select(has,ChM[,],cos)); ChM := algsubs(k_a=k_a,chm): K_b:=(ChM[,]); ChM := subs(k_b=k_b,chm); print( ChM =ChM); print(k_a=simplify(k_a)); print(k_b=simplify(k_b)); else N:=<<lz^*g[9]+g[] lz^*g[5]+g[7] lz*g[6] >, <lz^*g[5]+g[7] lz^*g[]+g[] lz*g[] >, 8

<lz*g[6] lz*g[] lz^*g[8]+g[]>>; print( N =N); end if; else ChM:=ChM; end if; * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: ChM := material := cubic smer := φ K A + c, + lz c, ρ v K B lz c, + lz c, K B K A ρ v + ( lz + ) c, lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v K A = ( c, c, + c, ) sin(φ) cos(φ) K B = ( cos(φ) ) cos(φ) ( c, c, + c, ) sin(φ) * nebo: material := cubic ChM := smer := c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v * nebo: material := cubic ChM := smer := π c, + c, + c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v 9

* nebo: N := material := ortotropic smer := φ lz g 9 + g lz g 5 + g 7 lz g 6 lz g 5 + g 7 lz g + g lz g lz g 6 lz g lz g 8 + g * nebo: ChM := material := ortotropic smer := c, + lz c 5,5 ρ v lz c, + lz c 5,5 lz c, + c 6,6 ρ v lz c, + lz c 5,5 lz c, + c 5,5 ρ v * nebo: material := ortotropic ChM := Součin Christofellovy matice s vektorem α smer := π c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c 5,5 + c 6,6 ρ v lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v > Alpha:=Vector(,symbol=alpha): if material = ortotropic and smer = phi then ChM_alpha:=(Multiply(N,Alpha)): else ChM_alpha:=(Multiply(ChM,Alpha)): end if: Řešení Christoffelovy rovnice - nalezení tvaru pro α. > material:=material; smer:=smer; eq:=equate(chm_alpha,vector()): if material = cubic then if smer = phi then alpha[]:=: alpha[]:=solve( eq[],alpha[]): alpha[]:=solve( eq[],alpha[]): for i in [,,5] do alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]);

alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); end do: else alpha[]:=-denom(solve( eq[],alpha[])); alpha[]:=solve( eq[],alpha[]); alpha[]:=solve( eq[],alpha[]); if smer = Pi/ then alpha[]:=factor(alpha[]/); alpha[]:=expand(alpha[]/); end if; for i in [,] do alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); alpha[,i]:=subs(lz=lz[i],alpha[]); end do: alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; end if: elif smer = phi then # material=ortotropic alpha[]:=: alpha[]:=solve(eq[],alpha[]): alpha[]:=solve(eq[],alpha[]): alpha[]:=simplify(alpha[]): Alpha:=Map(sort,Alpha*denom(alpha[]),lz): for i in [,,5] do alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); end do: else alpha[]:=-denom(solve(eq[],alpha[])); alpha[]:=solve(eq[],alpha[]); alpha[]:=solve(eq[],alpha[]); for i in [,] do alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); alpha[,i]:=collect(subs(lz=lz[i],alpha[]),lz[i]^); end do: alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; alpha[,5]:=; end if: if smer = phi then for i from to do for j in [,,5] do print(alpha[i,j]=alpha[i,j]); end do: end do: else for j in [,,5] do

for i from to do print(alpha[i,j]=alpha[i,j]); end do: end do: end if; * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material := cubic smer := φ α, = α, = α,5 = α, = α, = α,5 = K B lz c, c, + K A + ρ v K B lz c, c, + K A + ρ v K B lz 5 c, c, + K A + ρ v α, = α, = α,5 = lz (c, + c, ) lz c, c, + ρ v lz (c, + c, ) lz c, c, + ρ v lz 5 (c, + c, ) lz 5 c, c, + ρ v * nebo: material := cubic smer := α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + lz c, ρ v α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + lz c, ρ v α,5 = α,5 = α,5 =

* nebo: material := cubic smer := π α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + c, + c, + lz c, ρ v α, = lz (c, + c, ) α, = α, = c, + c, + c, + lz c, ρ v α,5 = α,5 = α,5 = * nebo: material := ortotropic smer := φ α, = g 8 g lz + ( g + g 8 g + g g ) lz + g g α, = g 8 g lz + ( g + g 8 g + g g ) lz + g g α,5 = g 8 g lz 5 + ( g + g 8 g + g g ) lz 5 + g g α, = g 8 g 5 lz + (g 6 g g 8 g 7 g g 5 ) lz g g 7 α, = g 8 g 5 lz + (g 6 g g 8 g 7 g g 5 ) lz g g 7 α,5 = g 8 g 5 lz 5 + (g 6 g g 8 g 7 g g 5 ) lz 5 g g 7 α, = (g 5 g g g 6 ) lz + (g 7 g g g 6 ) lz α, = (g 5 g g g 6 ) lz + (g 7 g g g 6 ) lz α,5 = (g 5 g g g 6 ) lz 5 + (g 7 g g g 6 ) lz 5 * nebo: material := ortotropic smer := α, = ( c, c 5,5 ) lz α, = α, = c, + lz c 5,5 ρ v α, = ( c, c 5,5 ) lz α, =

α, = c, + lz c 5,5 ρ v α,5 = α,5 = α,5 = * nebo: material := ortotropic smer := π α, = ( c, c, ) lz α, = α, = c, + lz c, ρ v α, = ( c, c, ) lz α, = α, = c, + lz c, ρ v α,5 = α,5 = α,5 = Pro i ={,,6} platí lz[i]=-lz[i-] pro směr φ: α[,i]= α[,i-], α[,i]= α[,i-], α[,i]= -α[,i-], a pro směry, π/ a π/: α[,i]= -α[,i-], α[,i]= α[,i-], α[,i]= α[,i-]. Tyto substituce jsou použity v dc cubic ortho.mw při odvozování disperzních vztahů. Koeficienty α budou použity v Matlabu v cubic fi.m a ortho fi.m Pro směry, π/ a π/ rozklad ChM na dvě submatice M, M (anti-)symetrické módy a SH módy; poslední člen součinu ChM alpha je roven determinantu submatice M a ten musí být nulový. Pro směr φ je čitatel prvního členu součinu ChM alpha je roven determinantu matice (ChM nebo N) a ten musí být nulový. > if smer <> phi then M := SubMatrix(ChM,[,],[,]): M := SubMatrix(ChM,[],[]): sd:= Determinant(M): sd:= Determinant(M): if material = cubic then ChM_alpha[]:=simplify(ChM_alpha[]-sd): else ChM_alpha[]:=simplify(numer(ChM_alpha[])-sd): end if: else if material = cubic then

det:=factor(determinant(chm)); ChM_alpha[]:=simplify(numer(ChM_alpha[])-det): else ChM_alpha[]:=simplify(numer(ChM_alpha[])-Determinant(N)): end if: end if: simplify(chm_alpha); Určení hodnot g až g pro ortotropní materiál a směr φ > if material = ortotropic and smer = phi then c :=ChM[,]: g[9]:=coeff(c,lz,): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g[9]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g9a :=simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): g[9] :=g9a: g[]:=coeff(c,lz,): for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(g[]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,rho) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: ga:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])) +simplify(add(i,i=[a[]]))+a[]: g[]:=ga: #************************************************************ c :=ChM[,]: g[5]:=coeff(c,lz,): g[7]:=coeff(c,lz,): g7a :=algsubs(c[,]+*c[6,6]-c[,]=pom,g[7]): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g7a)do if has(i,pom) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g7b:=a[]: g7c:=simplify(mul(i,i=[a[]])): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g7b) do if has(i,pom) then A[]:=A[],i; else A[]:=A[],i; end if end do: 5

g7d :=factor(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])): pom :=c[,]+*c[6,6]-c[,]: g7e :=g7d*g7c: g[7]:=g7e: #************************************************************* c :=ChM[,]: g[6]:=coeff(c,lz,): for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(g[6]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,c[,]) then A[]:=A[],i; else A[]:=A[],i; end if end do: g6a:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g6a) do if has(i,sin) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g6b:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])): g[6]:=g6b: #************************************************************* c :=ChM[,]: g[]:=coeff(c,lz,):a[]:=null: A[]:=NULL: for i in op(g[]) do if has(i,c[5,5]) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g[]:=simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): g[]:=coeff(c,lz,): A[]:=NULL: A[]:=NULL: for i in op(g[]) do if has(i,cos) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: g[]:=simplify(add(i,i=[a[]]))+simplify(add(i,i=[a[]])): #************************************************************* c :=ChM[,]: g[]:=coeff(c,lz,): g[]:=factor(g[]): #************************************************************* c :=ChM[,]: g[8]:=coeff(c,lz,): g[]:=coeff(c,lz,):a[]:=null: A[]:=NULL: for i in op(g[]) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[], i; end if end do: 6

g[]:=simplify(add(i,i=[a[]]))+add(i,i=[a[]]): print(simplify(n-chm)); end if: * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: V [7], [8] a [] je uveden tvar g[7] následovně: > if smer = phi then g_7:= sin(phi)*cos(phi)* (c[,]-c[,]+*c[6,6]+cos(phi)^*(c[,]-*c[,]+c[,]-*c[6,6])); simplify(g_7+g[7]); end if; * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: g 7 := sin(φ) cos(φ) (c, c, + c 6,6 + (c, c, c 6,6 + c, ) cos(φ) ) Tedy g 7 = -g[7] α[,n] a α[,n] pro n=,,5 se v [7], [8] a [] od zdejšího vyjádření liší znaménkem u g 7. > printlevel:=: if material = ortotropic and smer = phi then for i from to do g[i]:=g[i] end do; end if; * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: g := cos(φ) c, + sin(φ) c 5,5 g := sin(φ) c, + cos(φ) c 5,5 ρ v g := sin(φ) cos(φ) (c, c, c 6,6 + c, ) + c 6,6 ρ v g := cos(φ) sin(φ) (c, c, + c, c 5,5 ) g 5 := cos(φ) sin(φ) (c, c 5,5 ) g 6 := sin(φ) (c, + c, ) + cos(φ) (c, c 5,5 ) g 7 := ( cos(φ) ( c, + c, + c 6,6 ) + sin(φ) (c, + c 6,6 c, ) ) cos(φ) sin(φ) g 8 := c, g 9 := sin(φ) c, + cos(φ) c 5,5 g := cos(φ) c, + c, sin(φ) + (c, + c 6,6 ) cos(φ) sin(φ) ρ v Po úpravách dostáváme následující tvary, ty jsou použity v Matlabu v ortho fi.m 7

> if material = ortotropic and smer = phi then g[]:=algsubs(c[,]-*c[,]+c[,]-*c[6,6]=lambda[5],g[]); g[]:=algsubs(c[,]-c[5,5]=lambda[],g[]): g[]:=factor(algsubs(c[,]-c[,]=lambda[],g[])); g[5]:=algsubs(c[,]-c[5,5]=lambda[],g[5]); g[7]:=algsubs(c[,]+*c[6,6]-c[,]=lambda[],g[7]): g[7]:=algsubs(c[,]+*c[6,6]-c[,]=lambda[],g[7]); end if: if material = ortotropic and smer = phi then for i in {,,5,7} do g[i]:=g[i] end do; Lambda[]:=c[,]-c[5,5]; Lambda[]:=c[,]-c[,]; Lambda[5]:= -(Lambda[]+Lambda[]); Lambda[]:=c[,]+*c[6,6]-c[,]; Lambda[]:=c[,]+*c[6,6]-c[,]; end if; * pro ortotropní materiál a směr φ se zde zobrazí: g := sin(φ) cos(φ) Λ 5 + c 6,6 ρ v g := cos(φ) sin(φ) ( Λ + Λ ) g 5 := cos(φ) sin(φ) Λ g 7 := cos(φ) sin(φ) (sin(φ) Λ cos(φ) Λ ) Λ := c, c 5,5 Λ := c, c, Λ 5 := Λ Λ Λ := c, + c, + c 6,6 Λ := c, c, + c 6,6 Řešení charakteristické rovnice výpočet determinantu Pro směry, π/ a π/ rozklad ChM na dvě submatice (anti-)symetrické módy a SH módy. subdeterminant = symetrické a antisymetrické módy > if smer <> phi then d:=coeff(sd,lz,); d:=coeff(sd,lz,); d:=coeff(sd,lz,); print( material =material); print( smer =smer); print(m=); if material = cubic then if smer = then B[]:=select(has,d,{c[,],rho}); B[]:=remove(has,d,{c[,],rho}); B[]:=factor(select(has,B[],c[,])) +factor(remove(has,b[],c[,])+c[,]^); 8

B[]:=factor(B[]-c[,]^); print(lz^=(-b+sqrt(b^-a))//d); print(lz^=(-b-sqrt(b^-a))//d); a:=factor(*d*d); b:=b[]+b[]; print(a=a); print(b=b); else d:=*d; d:=*d; d:=*d; B[]:=select(has,d,rho); B[]:=remove(has,d,{c[,]^,rho}); B[]:=select(has,d,c[,]^); print(lz^=(-b+sqrt(b^-*a*c))//a); print(lz^=(-b-sqrt(b^-*a*c))//a); a:=d; b:=factor(b[])+factor(b[])+b[]; c_print:=factor(d)); print(a=a); print(b=b); print(c=c_print); end if; print(simplify(d-b)); else #ortotropic for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(d) do if has(i,c[,]) then A[]:=A[],i ; elif has(i,v) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if: end do: B[]:=factor(add(i,i=[A[]])); if smer= then B[]:=factor(add(i,i=[A[]])+c[5,5]^); B[]:=factor(add(i,i=[A[]])-c[5,5]^); else B[]:=factor(add(i,i=[A[]])+c[,]^); B[]:=factor(add(i,i=[A[]])-c[,]^); end if; print(lz^=(-b+sqrt(b^-a))//d); print(lz^=(-b-sqrt(b^-a))//d); a:=*d*factor(d); b:=b[]+b[]+b[]; print(a=a); print(b=b); end if: else det := factor(determinant(chm)): end if: 9

* podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material = cubic smer = [ c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, ] lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v = lz = lz = B + B A c, c, B B A c, c, A = ( c, + ρ v ) ( c, + ρ v ) c, c, B = c, ( c, + ρ v ) c, ( c, + ρ v ) (c, + c, ) * nebo: material = cubic smer = π [ c, + c, + c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, ] lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v = lz = B + B A C A lz = B B A C A A = c, c, B = v ρ (c, + c, ) + (c, + c, ) (c, c, ) + c, C = ( c, + ρ v ) ( ρ v c, c, c, ) * nebo: material = ortotropic smer = [ c, + lz c 5,5 ρ v lz c, + lz c 5,5 ] lz c, + lz c 5,5 lz c, + c 5,5 ρ v = lz = lz = B + B A c 5,5 c, B B A c 5,5 c,

* nebo: A = c 5,5 c, ( c, + ρ v ) ( c 5,5 + ρ v ) B = c, ( c, + ρ v ) c 5,5 ( c5,5 + ρ v ) (c, + c 5,5 ) material = ortotropic smer = π [ c, + lz c, ρ v lz c, + lz c, lz c, + lz c, lz c, + c, ρ v lz = B + B A c, c, lz = B B A c, c, ( A = c, c, c, + ρ v ) ( c, + ρ v ) ] = B = c, ( c, + ρ v ) c, ( c, + ρ v ) (c, + c, ). subdeterminant = SH módy > if smer <> phi then print( material =material); print( smer =smer); print(m=); if material = cubic and smer = then print(expand(isolate(determinant(m)=,lz^))); else print(isolate(determinant(m)=,lz^)); end if; end if; * podle zvoleného materiálu a směru se tu zobrazí jedna z možností: material = cubic smer = [ lz c, + c, ρ v ] = lz = + ρ v c, * nebo: material = cubic smer = π

[lz c, + c, c, ρ v ] = * nebo: lz = c, + c, + ρ v c, material = ortotropic smer = [ lz c, + c 6,6 ρ v ] = lz = c 6,6 + ρ v c, * nebo: material = ortotropic smer = π [ lz c 5,5 + c 6,6 ρ v ] = lz = c 6,6 + ρ v c 5,5 Řešení pro směr φ: determinant = symetrické a antisymetrické módy Ze vzniklé bikubické rovnice získáme členy u koeficientu 6.,.,. a -tého řádu. V následujícím použijeme tyto substituce (pro ortotropní materiál): p[]:=c[,]/c[,]: p[]:=c[,]/c[,]: p[]:=c[,]/c[,]: p[]:=c[,]/c[,]: p[5]:=c[5,5]/c[,]: p[6]:=c[6,6]/c[,]: p[7]:=c[,]/c[,]: p[8]:=c[,]/c[,]: > if smer = phi then print( material =material); print( smer =smer); print(a*lz^6+b*lz^+c*lz^+d=); if material = cubic then unprotect(d); K_6 := coeff(det,lz,6): K_ := factor(coeff(det,lz,)); K_ := coeff(det,lz,): K_ := coeff(det,lz,): #********************************************************* A[]:=select(has,K_,rho); A[]:=remove(has,K_,rho); A[]:=factor(select(has,remove(has,A[],rho),c[,])); A[]:=factor(select(has,A[],rho)); A[5]:=remove(has,A[],{rho,c[,]}); B:=add(-A[i],i =..5)*(-A[]); #********************************************************* A[]:=factor(select(has,K_,rho^)); A[]:=factor(select(has,K_,{K_A^,K_B^}));

A[]:=factor(select(has,K_,{c[,]^,c[,]^})): A[]:=simplify(remove(has,A[],K_A))*select(has,A[],K_A); A[]:=remove(has,K_,{rho^,K_A^,K_B^,c[,]^,c[,]^}): A[5]:=select(has,A[],{K_A,rho}): A[5]:=factor(remove(has,A[5],c[,]))+factor(select(has,A[5],c[,])); A[6]:=factor(remove(has,A[],{K_A,rho})); C:=add(A[i],i in {,5,,,6}); #********************************************************* A[]:=select(has,K_,v^6): A[]:=factor(select(has,K_,v^)): A[]:=factor(select(has,K_,{K_A,K_B})): A[]:=(factor(select(has,(select(has,A[],K_A),K_A))) +remove(has,(select(has,a[],k_a),k_a)))*remove(has,a[],k_a): A[]:=remove(has,K_,{v^6,v^,K_A,K_B}): A[]:=factor(select(has,A[],rho))+factor(remove(has,A[],rho)): D:=add(A[i], i=..); print( A =K_6); print( B =B); print( C =C); print( D =D); else # material = ortotropic ac_6:= simplify(coeff(det,lz,6)/c[,]^): C_6 := algsubs(c[,]/c[,]=p[],ac_6): C_6 := algsubs(c[5,5]/c[,]=p[5],c_6); print( A =C_6); #************************************************************** C_:= expand(simplify(coeff(det,lz,)/c[,]^)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[],C_)): C_:=expand(algsubs(c[5,5]/c[,]=p[5],C_)): C_:=expand(algsubs(c[6,6]/c[,]=p[6],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[7],C_)): C_:=expand(algsubs(c[,]/c[,]=p[8],C_)): C_:=expand(algsubs(rho*v^/c[,]=chi^,C_)): for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(c_) do if has(i,chi) then A[]:=A[],i ; elif has(i,cos) then A[]:=A[],i ; else A[]:=A[],i; end if end do: for j from to do B[j]:=simplify(add(i,i=[A[j]])) end do: r_chi:=factor(b[]): r_c:=b[]/cos(phi)^+b[]: r_s:=b[]: for i from to do A[i]:=NULL: end do: for i in op(r_c) do if has(i,{p[],p[6]}) then A[]:=A[],i; else A[]:=A[],i; end if end do: