ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 2/99 Tektonika zemských desek školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 2 NG1-90 Jan Dolista 14. 03.
Tektonika zemských desek Zadání: Určete roční změnu přímé spojnice dvou bodů ležících na různých tektonických deskách. Předpokládejte, že se tyto litosférické desky pohybují pouze horizontálním rotačním pohybem. Vektor úhlové rotace jednotlivých desek určete na základě známého vektoru rychlosti posunu na třech stanicích ležících na téže desce. (Vektory rychlostí jsou určeny metodami kosmické geodézie, o nichž bude přednášet prof. Kostelecký.) Číselné zadání 21 a 35: Antarktická deska stanice X Y Z v X v Y v Z [m] [m] [m] [m/rok] [m/rok] [m/rok] Rothera 909378.219-2264934.504-5872956.865 0.025 0.002 0.009 Amsterdam 1086061.543 4927963.013-3887828.277-0.011-0.006-0.001 Ile Des Petrals -1941059.579 1628659.353-5833613.495 0.020-0.006-0.002 Africká deska stanice X Y Z v X v Y v Z [m] [m] [m] [m/rok] [m/rok] [m/rok] Hartebeesthoek 5084641.525 2670349.942-2768497.868 0.001 0.019 0.016 Libreville 6287388.576 1071574.280 39147.203-0.002 0.022 0.030 Seychelles 3602870.770 5238174.333-516275.526-0.014 0.014 0.014 Souřadnice výpočetních bodů číslo bodu X [m] Y [m] Z [m] 14 (A) -1311703.2206 310815.0721-6213255.1215 35 (B) 4934528.6036 1321262.2795 3806479.5695 Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Určení vektoru úhlové rotace desek Pro každý z bodů (stanici) ležících na dané tektonické desce platí vzah: v = ω r, kde ω je vektor úhlové rotace desky, r je průvodič dané stanice v systému ITRS a v je vektor rychlosti pohybu stanice. Průvodič stanice v systému ITRS: X i r = Y i Z i Vektor rychlosti pohybu stanice v systému ITRS: v = Vektor rychlosti v systému ITRS zahrnuje jak horizontální složku rychlosti, tak vertikální složku. Pro další výpočet je však potřeba z vektoru vertikální složku rychlosti odstranit. Proto je nutné vektor transformovat ze systému ITRS do topocentrického systému, kde kladná osa X směřuje v Xi v Y i v Zi
k jihu, kladná osa Y na východ a kladná osa Z je ve směru průvodiče. K provedení této transformace je nutné nejprve určit geocentrické sférické souřadnice stanic (ρ, φ, λ). Délka průvodiče: Geocentrická šířka: ρ i = Xi 2 + Y i 2 + Zi 2 φ i = arcsin Z i ρ i Geocentrická délka: λ i = arctan Y i X i Získané souřadnice byly zobrazeny v mapách Google Maps a porovnáním se zákresem tektonických desek bylo zjištěno, na které desce stanice resp. výpočetní bod leží. Antarktická deska stanice φ λ barva značky A S 77.75885 E 166.66933 fialová ROTHERA S 67.43327 W 68.12439 žlutá AMSTERDAM S 37.61222 E 77.57141 oranžová ILE DES PETRALS S 66.52237 E 140.00144 červená
Africká deska stanice φ λ barva značky B N 36.69155 E 14.98981 tm. fialová HARTEBEESTHOEK S 25.73630 E 27.70754 žluté LIBREVILLE N 0.35167 E 9.67212 sv. fialová SEYCHELLES N 4.64257 E 55.47940 červená Rozdělení Země na tektonické desky zdroj: http://cs.wikipedia.org
Vektor rychlosti pohybu stanice v systému S,E,r je získán rotací: v Si v Xi v Ei = T v Y i, v ri v Zi kde matice rotace T je součinem dvou rotačních matic: T = R Y (90 φ i ) R Z (λ i ) Vektor rychlosti v horizontálním směru v systému ITRS je získán obrácenou rotací, přičemž prvek vektoru v ri odpovídající složce rychlosti ve směru průvodiče je položen rovný 0. v v i Xi v Si = v Y i = T T v Ei v Zi 0 Jelikož pro celou tektonickou desku platí jeden vektor úhlové rotace desky a k dispozici jsou tři stanice, byl vektor úhlové rotace určen vyrovnáním MNČ. Rozepsáním vektorového součinu v = ω r do jednotlivých složek vektorů jsou pro každou stanici získány tři rovnice pozorování: v X = ω Y Z ω Z Y v Y = ω Z X ω X Z v Z = ω X Y ω Y X Neznámými jsou složky vektoru ω. Vzhledem k jeho malým hodnotám lze přibližné hodnoty neznámých považovat za rovné 0. Vyrovnané hodnoty jsou pak rovny přírůstkům: ω = ( A T A) 1 A T l Vektor měření je sloupcovým vektorem, ve kterém jsou seřazeny vektory rychlostí stanic i = 1, 2, 3 v horizontálním směru. l = Matice plánu je matice derivací rovnic pozorování podle neznámých. Opět jsou zde seřazeny tři submatice pro stanice i = 1, 2, 3. kde A i = 2 Vektory rychlosti bodů A,B A = v 1 v 2 v 3 A 1 A 2 A 3, 0 Z i Y i Z i 0 X i Y i X i 0 Vektory rychlosti sledovaných bodů A,B jsou vektorovým součinem vektoru průvodiče daného bodu a vektoru úhlové rotace desky na které se bod nachází. v A = ω 1 r A v B = ω 2 r B r B
3 Roční změna vzdálenosti bodů A,B Ze souřadnic sledovaných bodů v základní epoše byl určen vektor souřadnicových rozdílů: AB = r B r A Délka mezi body A,B je pak velikostí tohoto vektoru. d AB = AB Zárověň byl určen jednotkový vektor směru spojnice bodů A,B. AB d AB AB = AB Průměty vektorů rychlosti bodů A,B do směru jejich spojnice byly určeny pomocí pravidla pro skalární součin: u v = u v cos θ, kde v je vektor rychlosti bodu a u směrový vektor spojnice. Jelikož vektor směru spojnice je jednotkový, je skalární součin přímo průmětem vektoru v do tohoto směru. A = AB v A B = AB v B Roční změna délky A,B je pak rozdílem velikosti posunů ve směru spojnice: Nová délka spojnice A,B v epoše +1 rok: 4 Číselné výsledky Vektor úhlové rotace 1.desky (Antarktické) ω 1 = Vektor úhlové rotace 2.desky (Africké) ω 2 = dab = B A d AB = d A B + dab 5.99567 10 10 3.19723 10 09 3.52139 10 09 3.24014 10 10 4.22365 10 09 3.55646 10 09 [rad/rok] [rad/rok] Vektor rychlosti bodu A Vektor rychlosti bodu B v A = v B = 0.0188 0.0083 0.0044 0.0208 0.0188 0.0204 [m/rok] [m/rok]
Vektor souřadnicových rozdílů A,B AB = Délka spojnice bodů A,B v základní epoše Jednotkový směrový vektor spojnice bodů A,B 6246231.8242 1010447.2074 10019734.6910 d AB = 11850379.6917m AB = Průmět rychlosti bodu A do směru spojnice Průmět rychlosti bodu B do směru spojnice 0.52709 0.08527 0.84552 A = 0.0055m B = 0.0079m Změna délky mezi body A,B dab = 0.0024m Délka mezi body A,B v epoše +1rok d AB = 11850379.6942m Závěr: Ze souřadnic tří stanic (na Antarktické resp. Africké desce) a vektorů rychlosti stanic byl určen vektor úhlové rotace příslušné tektonické desky. K určení vektoru úhlové rotace desky z nadbytečného počtu měření bylo použito vyrovnání MNČ. Při určování rotace tektonické desky byl uvažován pouze horizontální pohyb stanic. Ze známé rotace zemských desek (Antarkticé a Africké) byly určeny vektory rychlosti sledovaných bodů A,B. Dle výše uvedených obrázků leží oba body u okrajů tektonických desek, tedy poblíž zlomu. Průmětem vektorů do směru spojnice byla určena roční změna vzdálenosti těchto bodů. Body se od sebe vzdalují rychlostí přibližně 2.4mm za rok. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou 10.03.2011 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)