5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy pokud jsou buď rovnoběžné nebo mimoběžné. Vzdálenost rovnoběžných přímek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. U mimoběžných přímek je situce složitější. Volíme různé dvojice bodů n přímkách získáme různé vzdálenosti hledáme tkovou dvojici bodů, by vzdálenost byl nejmenší (jko u všech osttních definic) body, které použijeme, leží n přímce, která je k oběm mimoběžkám kolmá ( zse t kolmost). Vzdálenost dvou mimoběžných přímek p, q je délk úsečky PQ, kde body P, Q jsou popořdě průsečíky mimoběžek p, q s jejich kolmou příčkou. Př. : Je dán stndrdní krychle, = = 4cm. Urči vzdálenosti přímek. ), b), c), d), ) vzdálenost přímek, Přímky jsou rovnoběžné zvolíme libovolný bod přímky npříkld bod. Přímkou kolmou n přímku procházející bodem je přímk ptou této kolmice je bod vzdálenost bodu od přímky je rovn = 4cm. Tto vzdálenost je tké vzdáleností přímek. b) vzdálenost přímek, 1
Přímky jsou rovnoběžné zvolíme bod. Přímkou kolmou n přímku procházející bodem je přímk ptou této kolmice je bod vzdálenost bodu od přímky se rovná délce úsečky. Z prvoúhlého trojúhelníku : = + = + = = osdíme: = = 4 = 5, 66 cm c) vzdálenost přímek, Přímky jsou mimoběžné hledáme jejich příčku, která bude n obě kolmá njdeme úsečku, její délk je vzdálenost přímek, je = 4cm. d) vzdálenost přímek, Přímky jsou mimoběžné hledáme přímku, která je k oběm kolmá, tkovou přímkou je přímk, vzdálenost přímek se rovná délce úsečky tedy 4 cm.
Př. 3: Je dán stndrdní krychle, = = 4cm. Urči vzdálenost přímek,. Nkreslíme obdélník : osdíme: Přímky, jsou nvzájem rovnoběžné (body,,, tvoří vrcholy rovnormenného lichoběžník) hledáme vzdálenost libovolného bodu přímky od přímky (nebo nopk). Zvolíme npříkld bod, ptou kolmice n přímku, je bod (úsečk je osou i výškou lichoběžník). Její délku bychom mohli určit z lichoběžník, jinou možností je nkreslit si obdélník, ve kterém ob body leží vypočítt ji z něj. Úsečk je přeponou prvoúhlého trojúhelníku. trn je čtvrtinou úhlopříčky podstvy, její délk je tedy 4 = + = + 4 4 9 = + = + = 16 8 8 3 3 = = 8 3 3 = = 4 = 4,4cm. Př. 4: Je dán prvidelný čtyřboký jehln V, = = 4cm, V = v = 5cm. Urči vzdálenost přímek V.. 3
V ledáme kolmou příčku přímek V. Tto příčk určitě leží v rovině V (tto rovin je kolmá n přímku zároveň obshuje přímku V ). P Q Nkreslíme si trojúhelník V. V v P élku strny V určíme z prvoúhlého trojúhelník V : V = V + = v + 4v + V = v + = 4 4 4v + 4v + V = = 4 K výpočtu délky úsečky v P využijeme vzorec pro obsh trojúhelníku = b vb. osdíme délky strn výšek v trojúhelníku V = V P V v v P = = = V 4v + 4v + v 4 5 oszení: P = = cm = 3, 71cm 4v + 4 5 + 4 V : v b vb = = 4
Př. 5: Je dán prvidelný čtyřstěn, = = 6cm. Urči vzdálenost přímek. ledáme kolmou příčku přímek. Tto příčk určitě leží v rovině (tto rovin je kolmá n přímku zároveň obshuje přímku ). P Trojúhelník je rovnormenný, určíme si délku strny z trojúhelníku. élku výšky určíme z prvoúhlého trojúhelník : = oplníme velikosti strn do trojúhelník. 3 3 P = = 4 3 = = 4 4 3 élku výšky trojúhelník P určíme z prvoúhlého P : 3 P = P = 3 P = = = 4 4 4 P = = oszení: P = = 6cm = 4,4cm 5
Př. 6: Petáková: strn 93/cvičení b) c) strn 93/cvičení 3 b) c) hrnutí: U rovnoběžných různoběžných přímek postupujeme stejně jko u rovin. Vzdálenost mimoběžek určíme jko délku nejkrtší (k oběm přímkám kolmé) příčky. 6