Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí rozděleí... 7.3 Ověřováí hypotézy o rovosti rozptylů dvou orálě rozděleých základích souborů... 9.4 Ověřeí hypotézy o rovosti středích hodot dvou orálě rozděleých základích souborů....5 Ověřováí hypotézy o odlehlosti krajích ěřeí ve výběru z orálího rozděleí... 3.6 Ověřováí hypotézy o skupiové systeatické chybě... 5
Teorie chyb a vyrovávací počet Testováí statistických hypotéz Pokud potřebujee apř. ověřit, jestli áhodý výběr byl provede ze základího souboru se záý paraetre, ebo jestli se charakteristiky získaé z ěkolika výběrů téhož základího souboru avzáje výrazě liší, pak provádíe tzv. testy výzaosti statistických hypotéz. Obecý postup testováí statistických hypotéz: Forulace ulové hypotézy H a alterativí hypotézy H Nulová hypotéza H je předpoklad o existeci základího souboru s jistý paraetre. Závažá je v této souvislosti forulace tzv. alterativí hypotézy H tj. hypotézy, kterou přijee, když eplatí ulová hypotéza. Je rozhodující pro určeí jedostraé ebo oboustraé kritické hodoty testovacího kriteria. Forulace hypotéz o ezáé paraetru ůže být: ) H : =, H :, pak přichází v úvahu oboustraý test, oboustraý test se vyezuje tehdy, eexistuje-li důvod, proč by testovací statistika (testovací kriteriu) ěla ít buď je kladé, ebo je záporé zaéko. ) H : =, H :, ebo H : =, H :, pak v obou případech použijee jedostraý test. Volba hladiy výzaosti Volba testovacího kritéria Testovací kritériu je zvoleá fukce, obsahující testovaý výběrový paraetr. (Zvoleou fukcí ůže být apř.: rozděleí, studetovo t-rozděleí, Fisherovo F-rozděleí) Hladia výzaosti je pravděpodobost, že hodota testovacího kritéria překročí určitou kritickou hodotu. Prakticky se ejčastěji volí =,5 ebo =,. Hodoty testovacího kriteria, které se vyskytou s pravděpodobostí eší ež se azývají statisticky výzaé. Určeí rozděleí pravděpodobosti testovacího kritéria a výpočet kritických hodot (oboustraých ebo jedostraých) pro hladiu výzaosti Porovat vypočteou a kritickou hodotu testovacího kritéria a vyslovit závěr o testovaé hypotéze H Při testováí ulové hypotézy se ůžee dopustit dvou druhů chyb: ) chyby prvího druhu, tj. chyby, že zaítáe ulovou hypotézu, ačkoliv je ve skutečosti správá pravděpodobost padutí kritické hodoty testovacího kriteria io obor ulové hypotézy je rova právě hladiě výzaosti ) chyby druhého druhu, tj. chyby, že ezaítáe ulovou hypotézu, ačkoliv je esprává její pravděpodobost ozačíe O vzájeé vztahu obou druhů chyb platí, že za eěěých podíek sižováí pravděpodobosti chyby jedoho druhu vede ke zvyšováí pravděpodobosti chyby druhého druhu. Sahou je iializovat obě chyby.
Teorie chyb a vyrovávací počet V případě, že přijíáe ulovou hypotézu: Pravděpodobost, že se vyvarujee chyby I. druhu, je. S touto pravděpodobostí čiíe správé rozhodutí o ověřovaé hypotéze. V případě, že přijíáe alterativí hypotézu: Pravděpodobost, že se vyvarujee chyby II. druhu, je. S touto pravděpodobostí čiíe správé rozhodutí o ověřovaé hypotéze. Zároveň pravděpodobost azýváe silou testu. Síla testu ukazuje aději, s jakou test zjistí, že testovaá ulová hypotéza H eplatí a platí alterativí hypotéza H A. Velikost síly testu je ovlivěa rozsahe výběru: čí větší je rozsah výběru, tí více iforací o skutečosti se využívá, a tí s větší pravděpodobostí zaítee eplatou ulovou hypotézu ve prospěch alterativí. Zázorěí kritických oblastí pro oboustraé testy. O P přijato O zaítuto Vztah ezi chybou I. druhu a II. druhu pro případ jedostraé hypotézy. O P přijato O zaítuto 3
Teorie chyb a vyrovávací počet. Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí Testujee hypotézu, že áhodý výběr (který charakterizujee výběrový průěre x ) je provede ze základího souboru (který je charakterizovaý středí hodotou Ex X ). Odlišíe případ, kdy záe a ezáe základí středí chybu σ: a) Záe základí středí chybu σ Forulace ulové hypotézy: H : Ex X Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex X Budee tedy provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X x X t x Veličia t á orálí rozděleí. Pro hladiu výzaosti ajdee z tabulek kritickou hodotu t. V případě, že: t zaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti a přijee alterativí t hypotézu t ezaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti t b) Nezáe základí středí chybu σ V případě, že ezáe, ahradíe ji výběrovou středí chybou: vv, kde v i x xi H Forulace ulové hypotézy: : Ex X Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex X Budee opět provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X x X t x Veličia t á t-studetovo rozděleí pro stupňů volosti. Pro hladiu výzaosti ajdee z tabulek pro oboustraý test přío kritickou hodotu t. V případě, že: t zaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti a přijee alterativí t hypotézu t ezaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti t 4
Teorie chyb a vyrovávací počet. Příklad: Byl provede áhodý výběr o rozsahu 5 ze základího souboru s orálí rozděleí N ;9. Posuďte, zda výběr s výběrový průěre x odpovídá výběru z orálího rozděleí základího souboru. Hladiu výzaosti volte: a), 5 b), Řešeí: Forulace ulové hypotézy: H : Ex Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex Budee provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X t 5 3,33 3 Z tabulek orálího rozděleí ajdee kritickou hodotu pro:,5, 5 hodotu t t, 96,5,, 5 hodotu t t, 58 Porováí zjistíe: při, 5 t > při, t >,5 t 3,33 >,96 t 3,33 >,58 Vyslovíe závěr: zaítáe ulovou hypotézu : Ex hypotézu H : Ex N ;9. H a přijíáe alterativí. Tz., že výběr ebyl provede ze základího souboru. Příklad: Byl provede áhodý výběr o rozsahu 5 ze základího výběru, který á orálí rozděleí a je charakterizovaý základí průěre X a odhade základí středí chyby 34. Posuďte, zda výběr s výběrový průěre x odpovídá výběru z orálího rozděleí základího souboru. Hladiu výzaosti volte: a), 5 b), Řešeí: Forulace ulové hypotézy: H : Ex Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex Budee provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X t 5,94 34 Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee kritickou hodotu pro oboustraý test: 5
Teorie chyb a vyrovávací počet,5, 4 hodotu,, 4 hodotu t t, 6,5 t t, 8,5 Porováí zjistíe: při, 5 t > při, t > t,94 >,6 t,94 >,8 Vyslovíe závěr: zaítáe ulovou hypotézu : Ex hypotézu H : Ex H a přijíáe alterativí. Tz., že výběr ebyl provede ze základího výběru charakterizovaého základí průěre X a odhade základí středí chyby 34. 3. Příklad (str. 8, Melou, Militký): Byl provede áhodý výběr 3 a z rozsáhlejšího (základího) výběru 56, A B který byl charakterizová průěre X 33, 43 a odhade základí středí chyby, 5. Posuďte, zda áhodé výběry A 3 a B odpovídají výběru z rozsáhlejšího výběru 56. Hladiu výzaosti volte: a), 5 b), Výběr 3 ze základího výběru: A 38,99 39,75 33,6 333,8 333,6 33,5 38,4 33,63 33,7 33,5 33,8 33,9 39,36 39,6 39,6 39,7 33,39 333,47 33,59 33,5 39,49 39, 33,63 33,64 33,85 36,6 39,9 33,66 38,57 33,45 33,54 33, Výběr ze základího výběru: B 38,99 39,75 33,6 333,8 33,6 33,35 38,4 33,63 33,7 33,5 6
Teorie chyb a vyrovávací počet. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí rozděleí Testujee hypotézu, že áhodý výběr (charakterizovaý výběrovou středí chybou ) je provede ze základího souboru (charakterizovaého základí středí chybou ). Podle forulace úlohy(alterativí hypotézy) se volí jedostraý ebo oboustraý test. Forulace ulové hypotézy: H : Z Forulace alterativí hypotézy: a) H : Z oboustraý test b) H : Z pravostraý test c) H : Z levostraý test Testovací kriterie bude:, kde vv Z tabulek rozděleí ajdee kritickou hodotu pro: a) pro oboustraý test rozdělíe a levou a pravou strau grafu rozděleí a z tabulek odečtee kritické hodoty a levé straě (dolí ez) a a pravé straě (horí ez) b) pro levostraý test bude kritická hodota a levé straě grafu rozděleí c) pro pravostraý test bude kritická hodota a pravé straě grafu rozděleí Nulovou hypotézu budee zaítat, když: a) při oboustraé testu ebo b) při levostraé testu (zda se zešil rozptyl) c) při pravostraé testu (zda se zvětšil rozptyl). Příklad: V áhodé výběru o rozsahu 5 byla určea výběrová středí chyba 4. Posuďte, zda se jedá o výběr ze základího souboru se základí středí chybou 3 a hladiě výzaosti, 5. Řešeí: Jedá se o oboustraé test. Forulace ulové hypotézy: H : 3 Forulace alterativí hypotézy: H : 3 oboustraý test Testovací kriterie bude: 4 68 44,8 9 Z tabulek rozděleí ajdee kritickou hodotu: 7
a levé straě (dolí ez), 4,975 a pravé straě (horí ez) 39, 4,5 Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Má platit:, ale eplatí protože,4 44,8 39, 4 je Teorie chyb a vyrovávací počet Zaítáe ulovou hypotézu a tvrdíe, že výběr eí provede ze základího souboru se základí středí chybou 3.. Příklad: Stroj pracuje s rozptyle výrobků, charakterizovaý základí středí chybou 3. Po havárii stroje byla provedea série 5 výrobků a zjištěa výběrová středí chyba 4. Posuďte, zda se po havárii zvětšil rozptyl výrobků a hladiě výzaosti, 5. Řešeí: Forulace ulové hypotézy bude stejá, jako v předchozí příkladě, ale s jiou alterativí hypotézou: Forulace ulové hypotézy: H : 3 Forulace alterativí hypotézy: H : 3 pravostraý test Testovací kriterie bude: 4 68 44,8 9 Z tabulek rozděleí ajdee kritickou hodotu: a pravé straě (horí ez) 36, 4,5 Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože je 44,8 36, 4 zaítáe ulovou hypotézu a tvrdíe, že po havárii je rozptyl větší, ež rozptyl vyplývající ze základí středí chyby 3. 8
Teorie chyb a vyrovávací počet.3 Ověřováí hypotézy o rovosti rozptylů dvou orálě rozděleých základích souborů Testujee hypotézu, že dva výběrové rozptyly a ze dvou výběrů o rozsahu a odpovídají rozptylů ze dvou základích souborů, pro které platí rovost základích středích chyb, tedy. Test se většiou používá jako oboustraý. Testovací kritérie je veličia: F, kde vv a vv Tato veličia á F-rozděleí s a stupi volosti. Ve vzorci volíe vždy. Z tabulek F-rozděleí ajdee pro zvoleou hladiu výzaosti kritickou hodotu F. Nulovou hypotézu zaítáe při F. F. Příklad: Posuďte výzaost rozdílu ezi dvěa výběrovýi rozptyly a to: v prvé výběru byla určea výběrová středí chyba 3 z 6 ěřeí a ve druhé výběru výběrová středí chyba z ěřeí. Hodoceí proveďte a hladiě výzaosti, 5. Řešeí: Jedá se o oboustraý test hypotézy. Forulace ulové hypotézy: H : Forulace alterativí hypotézy: H : Testovací kriterie bude: 96 F,8 44 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro, 5 hodotu F F 3,5 5, ),5 ( Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože F tedy,8 3, 5 ulovou hypotézu ezaítáe, tedy ezaítáe předpoklad F rovosti rozptylů obou základích souborů. F : 9
Teorie chyb a vyrovávací počet.4 Ověřeí hypotézy o rovosti středích hodot dvou orálě rozděleých základích souborů Testujee hypotézu, že dva výběry s výběrovýi průěry x a x s výběrovýi středíi chybai a jsou výběry ze dvou základích souborů, pro které platí rovost jejich středích hodot Ex Ex. Test se většiou používá jako oboustraý. Testovací kriteriu volíe podle toho, zda rozptyly základích souborů jsou, či ejsou stejé. Musíe tedy ejprve provést test rozdílu ezi dvěa rozptyly podle předchozího testu, který rozhodee, zda: a) oba rozptyly se výzaě eliší b) oba rozptyly se výzaě liší V případě, že se: a) oba rozptyly výzaě eliší, použijee testovací kriteriu: x x t kde: vv vv veličia t á t-studetovo rozděleí s ( ) stupi volosti. Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee pro zvoleou hladiu výzaosti hodotu t. Nulovou hypotézu budee zaítat při t t b) oba rozptyly výzaě liší, použijee testovací kriteriu: x x vv vv t kde Vypočteou hodotu t porováe s hodotou t, kterou určíe: t t, Hodoty t, t a, t, jsou kritické hodoty odečteé z tabulek t-studetova rozděleí pro hladiu výzaosti a stupě volosti a. Nulovou hypotézu zaítáe při t. t
Teorie chyb a vyrovávací počet. Příklad: Posuďte výzaost rozdílu ezi dvěa výběrovýi průěry a hladiě výzaosti,5. Prví výběr o rozsahu 6 á průěr x 5 a výběrovou středí chybu 3, druhý výběr o rozsahu á průěr x 9 a výběrovou středí chybu. Řešeí: Nejprve zhodotíe oba rozptyly: Forulace ulové hypotézy: H : Forulace alterativí hypotézy: H : Testovací kriterie bude: 96 F,8 44 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro, 5 hodotu F F 3,5 5, ),5 ( Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože F tedy,8 3, 5 ulovou hypotézu ezaítáe, tedy ezaítáe předpoklad F F : rovosti rozptylů obou základích souborů, oba rozptyly se tedy výzaě eliší. H : E x E x Forulace ulové hypotézy: Forulace alterativí hypotézy: H : Ex Ex Testovací kriterie bude: x x t 5 9 53 6 6 3,5 6 Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee pro, 5 a ( ) stupňů volosti hodotu: t,6 t,5 Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Z porováí vychází t číselě 3,5, 6, proto zaítáe ulovou hypotézu a tvrdíe, že t hodoceé výběry ejsou ze základích souborů se stejou středí hodotou.
Teorie chyb a vyrovávací počet. Příklad: Posuďte výzaost rozdílu ezi dvěa výběrovýi průěry a hladiě výzaosti,5. Prví výběr o rozsahu 6 á průěr x 5 a výběrovou středí chybu 4, druhý výběr o rozsahu á průěr x 9 a výběrovou středí chybu. Řešeí: Nejprve zhodotíe oba rozptyly: Forulace ulové hypotézy: H : Forulace alterativí hypotézy: H : Testovací kriterie bude: 68 F 3,8 44 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro, 5 hodotu F F 3,5 5, ),5 ( Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože F tedy 3,8 3, 5 ulovou hypotézu zaítáe, tedy zaítáe předpoklad rovosti F F : rozptylů obou základích souborů, oba rozptyly se tedy výzaě liší. H : E x E x Forulace ulové hypotézy: Forulace alterativí hypotézy: H : Ex Ex Testovací kriterie bude: x x 5 9 t,7 68 44 6 Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee kritické hodoty: t 5),3,5 (,5 ( ) t,3 kritické hodoty dosadíe do vzorce pro výpočet t : t 68 44 t,3,3,, t 6,6 68 44 6 Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Z porováí vychází t číselě,7, 6, proto ezaítáe ulovou hypotézu, tedy t ezaítáe předpoklad, že hodoceé výběry jsou ze základích souborů se stejou středí hodotou.
Teorie chyb a vyrovávací počet.5 Ověřováí hypotézy o odlehlosti krajích ěřeí ve výběru z orálího rozděleí Testujee hypotézu, že všecha ěřeí patří do výběru z orálího rozděleí. Používají se dva typy testů:. typ testu: V daé výběrové souboru vypočítáe výběrový průěr x a středí opravu: vv v, kde vi x li l i aěřeé hodoty Vyhledáe opravu s axiálí absolutí velikostí. Testovací kriterie bude veličia: vax v Veličia á rozděleí, pro které jsou kritické hodoty uvedey v tabulce: Tabulka kritických hodot, \ 3 4 5 8 5 5,,4,7,95,37,54,8,96 3,7,5,4,69,87,7,9,49,6,7,,4,64,79,4,5,33,45,54, a hladiy výzaosti Odlehlý ěřeí bude to ěřeí, pro které bude platit:, Toto ěřeí vyloučíe ze souboru ěřeí a vypočítáe ový průěr, středí opravu a postup budee případě opakovat pro další odlehlá ěřeí.. typ testu: Výběrové hodoty seřadíe podle velikosti l l l, vypočítáe testovací kriteriu z axiálí hodoty rozdílu dvou sousedích hodot a krajích seřazeého výběru: l l l l ebo l l l l Veličia á rozděleí, pro které jsou kritické hodoty uvedey v tabulce:, a hladiy výzaosti 3
Tabulka kritických hodot, Teorie chyb a vyrovávací počet \ 3 4 5 8 5 5 3,,99,89,78,59,53,44,39,36,34,5,94,76,64,47,4,34,3,8,6,,89,68,56,4,35,8,5,3, Pokud pro ěřeí l, l (posledí ebo prví) bude platit,, takové ěřeí vyloučíe a postup budee opakovat pro případá další odlehlá ěřeí.. Příklad: Byl provede soubor ěřeí: 83, 88, 84, 78, 8, 8, 86, 8, 98, 83, 85, 8. Hodota 98 vzbuzuje podezřeí, že jde o chybu hrubou. Posuďte a hladiě výzaosti,, zda hodota 98 patří do daého výběru. Řešeí:. typ testu: Vypočítáe výběrový průěr x a středí opravu: l x 84, vv v 4,9 Vyhledáe opravu s axiálí absolutí velikostí: l 9 98 Testovací kriterie bude veličia: vax x l9 84, 98,8 v v 4,9 Z tabulky odečtee kritické hodoty pro a, : Protože,,,66, vylučujee hodotu l 98 ze souboru ěřeí a vypočítáe ový 9 průěr a středí opravu a soubor zovu otestujee.. typ testu: Seřadíe podle velikosti: 78, 8, 8, 8, 8, 83, 83, 84, 85, 86, 88, 98 Vypočítáe testovací kriteriu: l l 98 88,5 l l 98 78 Z tabulky odečtee kritické hodoty Protože,,48 pro a, : vylučujee hodotu l 98 ze souboru ěřeí.,, 9 4
Teorie chyb a vyrovávací počet.6 Ověřováí hypotézy o skupiové systeatické chybě Teto postup testováí se používá v případě podezřeí, že ěřeí obsahuje systeatické chyby závislé a jisté faktoru. Podle tohoto faktoru rozdělíe áhodý výběr o celkové rozsahu N a k skupi tak, aby předpokládaý charakter systeatické chyby byl přibližě kostatí uvitř skupi a proělivý ve skupiách avzáje. Podklade bude středí chyba, vypočteá z oprav ěřeí k dílčí průěrů ve skupiách proti středí chybě, vypočteé z oprav dílčích průěrů k celkovéu průěru. Vypočtee: skupiové průěry x j (počet prvků ve skupiě j ); j =,,, k opravy k dílčí průěrů vij x j lij, i,,..., j celkový průěr X (celkový počet prvků N ) opravy dílčích průěrů k celkovéu průěru V j j X x Testovat budee hypotézu o epřítoosti systeatické chyby tedy o áhodosti rozdílu ezi oběa středíi chybai. Test se požívá jako pravostraý. Testovací kritérie bude veličia: k I středí chyba vypočteá z oprav F, kde I jv j k k dílčí průěrů ve skupiách II j k II v středí chyba vypočteá z oprav ij N k j i dílčích průěrů k celkovéu průěru Tato veličia á F-rozděleí s I k a N k stupi volosti. V tabulkách F-rozděleí ajdee pro hladiu výzaosti a počet stupňů volosti j II j I a F a ůžee vyslovit závěr o kritickou hodotu F. Testovaou hypotézu zaítáe při F přítoosti skupiové systeatické chyby závislé a faktoru, podle kterého byly vytvořey skupiy. II Příklad: ověřováí hypotézy o skupiové systeatické chybě Úhel byl a staovisku zaěře ve třech růzých deích dobách ( ráo, odpolede a v oci ) v celkové počtu N = ěřeí. Aalýzou výsledků rozhoděte a hladiě výzaosti,5, zda a ěřeí epůsobila refrakčí systeatická chyba. Výsledky ěřeí: ráo:, 4, 8, 4, 6,,, 9; 8 ; odpolede: 3, 33, 37, 3, 38, 35, 39; 7 ; v oci: 38, 3, 39, 3, 3, 33; 3 6. Řešeí: Skupiy ěřeí poecháe tak, jak byly ěřey, pro působeí případé refrakčí chyby je rozhodující deí doba ěřeí. Testujee hypotézu o áhodé rozdílu ezi středíi chybai a, tj. o epůsobeí refrakčí chyby. I II skupiové průěry x j opravy k dílčí průěrů v ij vv ráo x = 4 +4-4 - +3 +4-5 86 odpolede x = 35 +3 + - +4-3 -4 58 v oci x 3 = 34-4 + -5 +4 + + 66 5
Teorie chyb a vyrovávací počet Celkový průěr: Středí chyby: I II k X N l 64 3,5 j x j 553 8 3,5 4 7 3,5 35 6 3,5 34 77 k jv j j 3 N k k j j i v ij 3 V X 8 86 58 66, 7 I 77 Testovací kritériu: F 3, 7 II,7 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro hladiu výzaosti, 5 a, 8 kritickou hodotu F 3, 6. Protože F F, zaítee ulovou hypotézu a soudíe a přítoost systeatické refrakčí chyby závislé a deí době. I II 6